Potencial Eletrostatico slides

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18/12/2012
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O Potencial 
Eletrostático
O Potencial Eletrostático
• Introdução
• Energia Potencial Eletrostática
• Potencial Eletrostático
• Energia do Campo Elétrico
• Superfícies Equipotenciais
• O Potencial Eletrostático em Diversas Situações
• Circulação e Rotacional
Introdução
• Em princípio, a lei de Coulomb (e,
consequentemente, a lei de Gauss) nos dá
tudo o que precisamos saber na eletrostática.
Ou seja, conhecendo a carga e posições das
partículas, podemos encontrar todas as forças
elétricas. Ou ainda, se dermos liberdade para
as cargas se moverem livremente sob a ação
de outros tipos de força, podemos encontrar a
configuração de equilíbrio, isto é, o arranjo no
qual a distribuição de cargas permanecerá
estática.
• Podemos, no entanto, aumentar nossa
compreensão se introduzirmos outros
conceitos, como por exemplo o conceito da
energia.
• Vimos, no estudo da mecânica, que as
expressões para energia cinética e potencial
nos ajudaram a descobrir conexões entre os
estados de um sistema em dois instantes
diferentes, sem precisarmos conhecer os
detalhes do que estava ocorrendo neste
sistema entre estes dois instantes.
• Vamos agora considerar a energia dos
sistemas eletrostáticos. Energia Potencial Eletrostática
• Na mecânica, vimos que se ܥ é um caminho
entre dois pontos ଵܲ e ଶܲ, o trabalho realizado
por uma força ܨԦ ao longo deste caminho é:
ܹሺ௖ሻ௉భ→௉మ ൌ න ܨ
Ԧ ∙ ݀Ԧ݈
௉మ
௉భሺ஼ሻ
onde o elemento de linha ݀Ԧ݈ tem a orientação
de ܥ.
• Se ܨԦ é uma força central, ܨԦ ൌ ܨሺݎሻ̂ݎ, onde ̂ݎ é
o versor da direção radial, com origem no
centro das forças, então o trabalho torna‐se
ܹሺ௖ሻ௉భ→௉మ ൌ න ܨ
Ԧ ∙ ݀Ԧ݈
௉మ
௉భሺ஼ሻ
ൌ න ܨ ݎ ݀ݎ
௥మ
௥భ
Que não depende do caminho ܥ, mas apenas
dos pontos inicial e final.
• Quando o trabalho realizado por uma dada
força depende apenas dos pontos inicial e
final (e não do caminho ܥ entre eles), dizemos
que esta força é uma força conservativa, e
podemos escrever:
න ܨ ݎ ݀ݎ
௥మ
௥భ
ൌ െ ܷ ݎଶ െ ܷ ݎଵ
onde define‐se
ܷ ݎ ≡ െ නܨ ݎᇱ ݀ݎ′
௥
௥బ
onde ݎ଴ é um ponto escolhido
arbitrariamente, onde toma‐se ܷ ݎ଴ ൌ 0.
• A função ܷሺݎሻ é chamada de energia
potencial.
• Como dito anteriormente, uma força é
conservativa, quando o trabalho realizado por
ela em um dado deslocamento, não depende
do caminho escolhido. Logo, todas as forças
centrais são conservativas.
• Isto implica que na
figura ao lado,
ܹሺ஼భሻ ൌ ܹሺ஼మሻ
• Além disso, se
tomarmos o sentido
inverso no caminho ܥଶ,
teremos
ܹሺ஼మሻ ൌ െܹሺି஼మሻ
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• Desta forma, temos
ܹሺ஼భሻ ൌ ܹሺ஼మሻ
⇒ න ܨ ݎ ݀ݎ
஻
஺ሺ஼భሻ
ൌ න ܨ ݎ ݀ݎ
஻
஺ሺ஼మሻ
⇒ න ܨ ݎ ݀ݎ
஻
஺ሺ஼భሻ
െ න ܨ ݎ ݀ݎ
஻
஺ ஼మ
ൌ 0
⇒ න ܨ ݎ ݀ݎ
஻
஺ሺ஼భሻ
൅ න ܨ ݎ ݀ݎ
஺
஻ሺ஼మሻ
ൌ 0
⇒ ර ܨ ݎ ݀ݎ
஼
ൌ 0
• A integral de linha de ܨԦ sobre um circuito
fechado ܥ é chamada de circulação de ܨԦ ao
longo de ܥ.
• Temos então que a condição necessária e
suficiente para que uma força seja
conservativa é que sua circulação ao longo de
qualquer caminho fechado seja igual a zero:
ර ܨԦ ∙ ݀Ԧ݈
஼
ൌ 0 
• De forma geral, se uma força é conservativa
então
න ܨԦ ∙ ݀Ԧ݈
௉మ
௉భ
ൌ െ ܷ ଶܲ െ ܷ ଵܲ ൌ െ න ܷ݀
௉మ
௉భ
ܨԦ ∙ ݀Ԧ݈ ൌ െܷ݀
• Em coordenadas cartesianas,
ܨԦ ∙ ݀Ԧ݈ ൌ ܨ௫݀ݔ ൅ ܨ௬݀ݕ ൅ ܨ௭݀ݖ
e
ܷ݀ ൌ
߲ܷ
߲ݔ
݀ݔ ൅
߲ܷ
߲ݕ
݀ݕ ൅
߲ܷ
߲ݖ
݀ݖ
• Temos então
ܨ௫ ൌ െ
డ௎
డ௫
; ܨ௬ ൌ െ
డ௎
డ௬
; ܨ௭ ൌ െ
డ௎
డ௭
⇒ ܨԦ ൌ െ
߲ܷ
߲ݔ
,
߲ܷ
߲ݕ
,
߲ܷ
߲ݖ
ൌ െߘܷ ൌ െgrad	ܷ
Onde ߘ ൌ డ
డ௫
,
డ
డ௬
,
డ
డ௭
é o operador nabla em
coordenadas cartesianas.
• O gradiente é uma espécie de “derivada
tridimensional” de uma função escalar.
• Se o projetarmos sobre uma direção de versor ̂ݏ
teremos a derivada direcional na direção ̂ݏ
߲ܷ
߲ݏ
ൌ ̂ݏ ∙ grad ܷ
• Em coordenadas cilíndricas, temos que o
elemento de caminho ݀Ԧ݈ tem a forma
݀Ԧ݈ ൌ ݀ߩ, ߩ݀ߠ, ݀ݖ
Assim
ܨԦ ∙ ݀Ԧ݈ ൌ ܨఘ݀ߩ ൅ ܨఏߩ݀ߠ ൅ ܨ௭݀ݖ
e
ܷ݀ ൌ
߲ܷ
߲ߩ
݀ߩ ൅
߲ܷ
߲ߠ
݀ߠ ൅
߲ܷ
߲ݖ
݀ݖ
logo
ܨԦ ൌ
߲ܷ
߲ߩ
,
1
ߩ
߲ܷ
߲߮
,
߲ܷ
߲ݖ
ൌ െgradܷ
• E em coordenadas esféricas temos
݀Ԧ݈ ൌ ݀ݎ, ݎ݀ߠ, ݎsenߠ݀߮
Assim
ܨԦ ∙ ݀Ԧ݈ ൌ ܨ௥݀ݎ ൅ ܨఏݎ݀ߠ ൅ ܨఝݎsenߠ݀߮
e
ܷ݀ ൌ
߲ܷ
߲ݎ
݀ݎ ൅
߲ܷ
߲ߠ
݀ߠ ൅
߲ܷ
߲߮
݀߮
logo
ܨԦ ൌ
߲ܷ
߲ݎ
̂ݎ ൅
1
ݎ
߲ܷ
߲ߠ
ߠ෠ ൅
1
ݎsenߠ
߲ܷ
߲߮
ො߮ ൌ െgradܷ
• Resumindo, o gradiente de uma função
escalar qualquer pode ser escrito:
Em coordenadas cartesianas:
grad	݂ ൌ
߲݂
߲ݔ
ଓ̂ ൅
߲݂
߲ݕ
ଔ̂ ൅
߲݂
߲ݖ
෠݇  
Em coordenadas cilíndricas:
grad	݂ ൌ
߲݂
߲ߩ
ߩො ൅
1
ߩ
߲݂
߲߮
ො߮ ൅
߲݂
߲ݖ
෠݇
E em coordenadas esféricas:
grad ݂ ൌ
߲݂
߲ݎ
̂ݎ ൅
1
ݎ
߲݂
߲ߠ
ߠ෠ ൅
1
ݎsenߠ
߲݂
߲߮
ො߮  
• Para duas partículas carregadas, temos que a
energia potencia eletrostática será dada por
ܷ ݎ ൌ െ නܨ ݎᇱ ݀ݎᇱ
௥
௥బ
ൌ െ
ݍଵݍଶ
4ߨߝ଴
න
݀ݎᇱ
ݎ′ଶ
௥
௥బ
ܷ ݎ ൌ
ݍଵݍଶ
4ߨߝ଴
1
ݎ
െ
1
ݎ଴
• Geralmente toma‐se o ponto de referência como
estando no infinito, i. e. ܷ ݎ଴ ൌ ܷ ∞ ൌ 0
Assim, a energia potencial de duas partículas
carregadas é dada por
ܷ ݎ ൌ
ݍଵݍଶ
4ߨߝ଴
1
ݎ
ൌ
ݍଵݍଶ
4ߨߝ଴
1
ݎԦଶ െ ݎԦଵ
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• Vê‐se que quando as partículas tem carga de
mesmo sinal, a energia potencial associada ao
par é positiva, e vice‐versa.
• Dado o princípio da superposição, temos que a
energia potencial associada a um número ܰ de
partículas pode ser escrita como a soma das
energias potenciais obtidas para a interação entre
cada par de partículas
ܷ ൌ
1
4ߨߝ଴
෍෍
ݍ௜ݍ௝
ݎԦ௝ െ ݎԦ௜
ே
௝ୀଵ
௝ିଵ
௜ୀଵ
ൌ
1
2
1
4ߨߝ଴
෍෍
ݍ௜ݍ௝
ݎԦ௝ െ ݎԦ௜
ே
௝ୀଵ
௝ஷ௜
ே
௜ୀଵ
• Podemos generalizar a equação anterior para
o caso em que as cargas estão distribuídas
continuamente
ܷ ൌ
1
2
1
4ߨߝ଴
ඵ
݀ݍ௜݀ݍ௝
ݎԦ௝ െ ݎԦ௜
Potencial Eletrostático
• A partir da definição do campo elétrico temos
ܧ ൌ
ܨԦ
ݍ଴
ൌ െ
1
ݍ଴
grad	ܷ ൌ െgrad
ܷ
ݍ଴
ܧ ൌ െgrad	ܸ
Onde definimos o potencial eletrostático
ܸ ≡
ܷ
ݍ଴
Que é o trabalho realizado contra a força
elétrica para levar uma carga unitária do
ponto ଵܲ até o ponto ଶܲ
• Vê‐se que a unidade de ܸ no SI é o
Joule/Coulomb, definido como Volt
ܸ ൌ
ܬ
ܥ
≡ ܸ	ሺVoltሻ
• Vê‐se também que o campo elétrico pode ser
escrito em unidades de volt/metro.
ܧ ൌ
ܰ
ܥ
ൌ
ܸ
݉
• Da definição acima temos que
ܸ ݎଶ െ ܸ ݎଵ ൌ െ න ܧ ∙ ݀Ԧ݈
௉భ
௉భ
 
• Para uma carga pontual ݍ na origem, o potencial
no ponto ݎ toma a forma
ܸ ݎ െ ܸ ݎ଴ ൌ െ
ݍ
4ߨߝ଴
න
݀ݎᇱ
ݎᇱଶ
௥
௥బ
ൌ
ݍ
4ߨߝ଴
1
ݎ
െ
1
ݎ଴
• Novamente, tomaremos o ponto de referência no
infinito, ܸ ݎ଴ → ∞ ൌ 0, o que fornece
ܸ ݎ ൌ
ݍ
4ߨߝ଴
1
ݎ
• Novamente, pelo princípio da superposição
temos que o potencial produzido por uma
distribuição de cargas puntiformes toma a forma
ܸ ݎ ൌ෍
ݍ௝
4ߨߝ଴
1
ݎ௝
ே
௝ୀଵ
onde ݎ௝ é a distância da carga ݆ ao ponto ܲ.
• Para uma distribuição contínua de cargas
ܸ ݎ ൌ
1
4ߨߝ଴
න
݀ݍ
ݎ
• Como V é uma função escalar, em geral, ao
invés de calcular ܧ diretamente, é mais
simples calcular ܸ e em seguida obter ܧ a
partir do grad ܸ.
• Deve‐se levar em consideração que a expressão
ܸ ݎ ൌ
1
4ߨߝ଴
න
݀ݍ
ݎ
é válida para uma distribuição finita de cargas,
pois tomamos o potencial nulo no infinito.
• Em geral, se desejarmos calcular o potencial
produzido por uma distribuição infinita, teremos
que utilizar a equação
ܸ ݎଶ െ ܸ ݎଵ ൌ െ න ܧ ∙ ݀Ԧ݈
௉భ
௉భ
 
• Temos ainda que a energia potencial
associada a uma carga puntiforme e uma
distribuição continua de cargas pode ser
escrita como
ܷ ൌ
1
2
1
4ߨߝ଴
ඵ
݀ݍ௜݀ݍ௝
ݎԦ௝ െ ݎԦ௜
ൌ
1
2
න ݀ݍ௜
1
4ߨߝ଴
න
݀ݍ௝
ݎԦ௝ െ ݎԦ௜
ܷ ൌ
1
2
න݀ݍ௜ܸ ݎԦ௜ ൌ
1
2
නߩ ݎԦ ܸ ݎԦ ܸ݀
Energia do Campo Elétrico
• Como vimos anteriormente, a energiapotencial
associada a uma distribuição de cargas pode ser
escrita em termos do potencial elétrico
ܷ ൌ
1
2
නߩ ݎԦ ܸ ݎԦ ܸ݀
Usando a equação de Poisson, div	ܧ ൌ ఘ ఌబ⁄ ,a
equação acima pode ser reescrita como
ܷ ൌ
ߝ଴
2
නܸ ݎԦ 	divܧܸ݀
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• Usando a identidade
div ݂ݒԦ ൌ ݂divݒԦ ൅ ݒԦ ∙ grad݂
temos
ܸdivܧ ൌ div ܸܧ െ ܧ ∙ gradܸ
ൌ div ܸܧ ൅ ܧଶ
logo
ܷ ൌ
ߝ଴
2
න ܧଶܸ݀
௏
൅
ߝ଴
2
න div ܸܧ ܸ݀
௏
ܷ ൌ
ߝ଴
2
න ܧଶܸ݀
௏
൅
ߝ଴
2
ර ܸܧ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
• Onde a superfície fechada ܵ envolve todo o
volume ܸ. Como o campo elétrico se estende
por todo o espaço, devemos calcular as
integrais em todo o espaço.	
• Na segunda integral temos que ܸ ∝ ଵ ௥⁄ ,
ܧ ∝ ଵ ௥మ⁄ e ܵ ∝ ݎ
ଶ. Logo ∮ௌ → 0 quando
ܴ → ∞. Assim
ܷ ൌ
ߝ଴
2
න ܧଶܸ݀
௏
ൌ න ݑܸ݀
௏
Onde ݑ ≡ ఌబா
మ
ଶ
é a densidade de energia do
campo elétrico.
• Voltaremos a falar nisso no próximo assunto
Superfícies Equipotenciais
• Uma superfície em que ܷ é constante é
chamada de superfície equipotencial. Se ݀Ԧ݈ é o
deslocamento sobre uma superfície
equipotencial, então
ܷ݀ ൌ െܨԦ ∙ ݀Ԧ݈ ൌ 0
⇒
ܷ݀
ݍ଴
ൌ െ
ܨԦ
ݍ଴
∙ ݀Ԧ݈ ൌ 0
⇒ ܸ݀ ൌ െܧ ∙ ݀Ԧ݈ ൌ 0
• Tal resultado significa que ܧ é perpendicular à
superfície equipotencial (ܧ ٣ ݀Ԧ݈), ou seja, as
linhas de campo de um campo conservativo
são trajetórias ortogonais das superfícies
equipotenciais deste campo.
Superfícies equipotenciais 
de um campo uniforme Superfícies equipotenciais 
de uma carga puntiforme
Superfícies equipotenciais 
de um dipolo elétrico
Cálculo do Potencial Eletrostático em 
Diversas Situações
• Fio Infinito
• Dois planos infinitos e paralelos
• Casca esférica
• Anel isolante uniformemente carregado
• Disco circular isolante uniformemente
carregado
• Anel isolante uniformemente carregado (fora
do eixo)
• Dipolo elétrico
Circulação e Rotacional
• Desenvolvemos o conceito de divergência,
uma propriedade local de um campo vetorial,
a partir de uma integral de superfície sobre
uma superfície fechada arbitrária.
• Neste mesmo espírito, iremos tentar extrair
alguma propriedade local de um campo
vetorial, a partir da integral de linha deste
campo sobre uma curva fechada ܥ.
• A curva ܥ pode ser vista como a fronteira de
alguma superfície ܵ.
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• Como já visto, a integral de linha de uma
campo vetorial ao longo de uma curva
fechada é chamada de circulação, e será
denotada pela letra Γ,
Γ ൌ ර ܣԦ ∙ ݀Ԧ݈
஼
• Onde ݀Ԧ݈ é um elemento de caminho, um vetor
infinitesimal tangente à ܥ em cada ponto.
• Existem dois sentidos nos quais ܥ pode ser
percorrido, devemos escolher ݀Ԧ݈ de tal forma
que não haja ambiguidade.
• Agora vamos
dividir a curva ܥ
usando o circuito
ܤ , formando
desta forma dois
caminhos, ܥଵ e ܥଶ,
cada um incluindo
ܤ como parte
dele.
• Tomando a integral de
linha sobre cada percurso,
no mesmo sentido, vemos
que a soma das duas
circulações, Γଵ e Γଶ, será
igual à circulação original
sobre ܥ.
• Isso ocorre
porque o circuito
B é atravessado
em direções
opostas nas duas
integrações.
• Posteriores
subdivisões do
circuito ܥ em
muitos loops não
alterarão o valor
da integral de
linha original.
• Logo
ර ܣԦ ∙ ݀Ԧ݈
஼
ൌ෍ර ܣԦ ∙ ݈݀௜
஼೔
ே
௜ୀଵ
ou
Γ ൌ෍Γ௜
ே
௜
• Se continuarmos a subdividir indefinidamente,
teremos, no limite, uma quantidade
característica do campo vetorial ܣԦ em uma
vizinhança local.
• Quando subdividimos um loop, criamos loops
com menor circulação e, consequentemente,
com menor área delimitada. Logo, é de se
esperar que o comportamento local esteja
associado à razão entre a circulação e a área
delimitada pelo loop.
• Define‐se então o rotacional de um campo
vetorial ܣԦ, rot ܣԦ, da seguinte forma:
• A componente do rot ܣԦ na direção do vetor
unitário ො݊ é o limite de uma integral de linha por
unidade de área, a medida que a área delimitada
pela curva tende a zero, sendo esta área
perpendicular a ො݊. Isto é,
ො݊ ∙ rot	ܣԦ ൌ lim
ௌ→଴
1
ܵ
ර ܣԦ ∙ ݀Ԧ݈
஼
Onde a curva ܥ, que delimita ܵ, está em um
plano normal a ො݊.
• Embora seja pouco utilizada, existe outra
definição para o rotacional:
O rotacional de um vetor é o limite da razão
entre a integral de seu produto vetorial com a
normal traçada para fora, sobre uma superfície
fechada, e o volume envolvido por essa
superfície quando este volume tende a zero, a
saber
rot	ܣԦ ൌ lim
௏→଴
1
ܸ
ර ො݊ ൈ ܣԦ	݀ܵ
ௌ
Esta definição é equivalente à primeira.
ොܽ ∙ rot ܣԦ ൌ lim
௏→଴
1
ܸ
ර ොܽ ∙ ො݊ ൈ ܣԦ	݀ܵ
ௌ
ොܽ ∙ rot	ܣԦ ൌ lim
௏→଴
1
ܸ
ර ܣԦ ∙ ሺߦ݀Ԧ݈ሻ
ௌ
ොܽ ∙ rot	ܣԦ ൌ lim
௏→଴
1
ߦܵ
ර ߦܣԦ ∙ ݀Ԧ݈
஼
• Rotacional em coordenadas cartesianas ݔ, ݕ, ݖ
ݎ݋ݐ	ܣԦ ൌ
߲ܣ௭
߲ݕ
െ
߲ܣ௬
߲ݖ
ଓ̂ ൅
߲ܣ௫
߲ݖ
െ
߲ܣ௭
߲ݔ
ଔ̂
൅
߲ܣ௬
߲ݔ
െ
߲ܣ௫
߲ݕ
෠݇
• Rotacional em coordenadas cilíndricas ߩ, ߠ, ݖ
ݎ݋ݐ	ܣԦ ൌ
1
ߩ
߲ܣ௭
߲ߠ
െ
߲ܣఏ
߲ݖ
ߩො ൅
߲ܣఘ
߲ݖ
െ
߲ܣ௭
߲ߩ
ߠ෠
൅
1
ߩ
߲ ߩܣఏ
߲ߩ
െ
߲ܣఘ
߲ߠ
෠݇
• Rotacional em coordenadas esféricas ݎ, ߠ, ߮
ݎ݋ݐ ܣԦ
ൌ
1
ݎݏ݁݊ߠ
߲ ݏ݁݊ߠܣఝ
߲ߠ
െ
߲ܣఏ
߲߮
̂ݎ
൅
1
ݎ
1
ݏ݁݊ߠ
߲ܣ௥
߲߮
െ
߲ ݎܣఝ
߲ݎ
ߠ෠
൅
1
ݎ
߲ ݎܣఏ
߲ݎ
െ
߲ܣ௥
߲ߠ
ො߮
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• Teorema de Stokes.
 Vimos acima que a circulação de um campo
vetorial ao longo de um circuito fechado ܥ pode
ser obtida a partir da soma da circulação ao longo
de circuitos menores, logo
ර ܣԦ ∙ ݀Ԧ݈
஼
ൌ෍ර ܣԦ ∙ ݈݀௜
஼೔
ே
௜ୀଵ
ൌ෍
1
௜ܵ
ර ܣԦ ∙ ݈݀௜
஼೔
ே
௜ୀଵ
Δ ௜ܵ
No limite Δ ௜ܵ → 0 temos
ර ܣԦ ∙ ݀Ԧ݈
஼
ൌ lim
୼ௌ೔→଴
෍
1
௜ܵ
ර ܣԦ ∙ ݈݀௜
஼೔
ே
௜ୀଵ
Δ ௜ܵ ൌ න rot	ܣԦ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
ර ܣԦ ∙ ݀Ԧ݈
஼
ൌ න rot ܣԦ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
 Este resultado é conhecido como teorema de
Stokes: A integral de linha de um campo
vetorial ao longo de uma curva fechada é igual
à integral da componente normal do seu
rotacional sobre qualquer superfície limitada
pela curva.
• Como o campo elétrico é conservativo, temos
que a sua circulação é zero,
ර ܧ ∙ ݀Ԧ݈
஼
ൌ 0
• Aplicando o teorema de Stokes obtemos,
ර ܧ ∙ ݀Ԧ݈
஼
ൌ න rot	ܧ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
ൌ 0
Logo
rot	ܧ ൌ 0
• Temos então que se um campo vetorial é
conservativo, então o seu rotacional é nulo.
Potencial de Condutores
• No interior de um condutor em equilíbrio
eletrostático temos ܧ ≡ 0, logo
ܸ 2 െ ܸ 1 ൌ െන ܧ ∙ ݀Ԧ݈
ଶ
ଵ
ൌ 0
ܸ 1 ൌ ܸ 2 ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁
• Consideremos um
condutor com uma
cavidade e sem
cargas livres.
• Se tomarmos uma
superfície gaussiana
coincidente com a
superfície interna
do condutor que
limita a cavidade,
teremos
Φௌ ൌ ර ܧ ∙ ݀ Ԧܵ ൌ
ௌ
0
• Mas isso não significa que não existem cargas
na superfície ܵ, significa somente que a carga
total é nula.
• Poderíamos ter cargas positivas e distribuídas
sobre a superfície.
• Mas isso não significa que não existem cargas
na superfície ܵ, significa somente que a carga
total é nula.
• Poderíamos ter cargas positivas e distribuídas
sobre a superfície, com linhas de campo
iniciando nas cargas + e terminando nas
cargas ‐
• Tomando um circuito 
fechado, passando por 
dentro do condutor e 
pela cavidade temos,
ර ܧ ∙ ݀Ԧ݈
୻
ൌ න ܧ ∙ ݀Ԧ݈
௉మ
௉భ
് 0
• Contrariando a condição decampo conservativo.
• Desta forma, temos que:
Se não há cargas dentro da cavidade, não pode
haver cargas na superfície interna;
ܧ ≡ 0 não só no interior do material condutor,
mas também em toda a cavidade
• Os resultados acima valem para cavidades de
qualquer formato, não apenas as esféricas, como
obtidas por Newton para o caso gravitacional.
• Valem também para quaisquer campos
eletrostáticos externos ao condutor, ou seja, a
cavidade é blindada da ação de campos externos
(gaiola de Faraday).
• Se uma carga ݍ for introduzida na cavidade,
sem tocar no condutor, temos que, como
Φௌ ൌ 0, as linhas de força que emanam de ݍ
deverãoterminar em cargas negativas na
superfície da cavidade, ou seja, a presença de
uma carga ݍ induz uma carga െݍ na superfície
interna da cavidade.
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7
• Contato entre condutores
oSe dois condutores esféricos de raios ݎଵ e
ݎଶ	, com carga ݍଵ e ݍଶ, estiverem separados
por uma distância ݀ ≫ ሺݎଵ, ݎଶሻ então o valor
potencial sobre a superfície de cada um é
pouco influenciado pela presença do outro.
oSe eles forem conectados por um fio
condutor, a carga total (ݍ ൌ ݍଵ ൅ ݍଶ ) se
redistribui até eles ficarem com o mesmo
potencial (desprezando novamente a
influência de um sobre o outro e a
influência do fio)
ଵܸ ൎ ଶܸ
ݍ′ଵ
4ߨߝ଴ݎଵ
ൎ
ݍ′ଶ
4ߨߝ଴ݎଶ
ݍ′ଵ
ݍ′ଶ
ൌ
ݎଵ
ݎଶ
oTemos, pela conservação de carga, que
ݍ ൌ ݍ′ଵ ൅ ݍ′ଶ , logo ݍ′ଵ ൌ ݍ
௥భ
௥భା௥మ
e
ݍ′ଶ ൌ ݍ
௥మ
௥భା௥మ
oComo ߪ ൌ ௤
ସగ௥మ
temos
ߪଵ
ߪଶ
ൌ
ݍ′ଵ
ݍ′ଶ
ݎଶ
ݎଵ
ଶ
ൌ
ݎଶ
ݎଵ
ߪଵ
ߪଶ
ൌ
ݎଶ
ݎଵ
oO resultado acima significa que a densidade
de carga é inversamente proporcional ao
raio de curvatura da superfície condutora.
oComo em um condutor ܧ ൌ ఙ
ఌబ
então o
campo elétrico também será inversamente
proporcional ao raio de curvatura da
superfície condutora, ou seja, o campo é
mais intenso na vizinhança de uma ponta.
oO campo elétrico nas proximidades da
ponta de um material condutor pode
tornar‐se tão intenso a ponto de
transformar o ar em condutor e, com isso,
produzindo correntes elétricas no mesmo.
Esse fenômeno recebe o nome de efeito
corona.
oPara que esse fenômeno surja, o campo
elétrico tem que ser da ordem de
3 ൈ 10଺ܸ/݉.
oO valor do campo elétrico que transforma
um isolante em condutor é chamado de
rigidez dielétrica do condutor, desta forma,
a rigidez dielétrica do ar é 3 ൈ 10଺ܸ/݉.
Equação de Poisson para ܸ
• Da equação de Poisson temos
ߘ ∙ ܧ ൌ
ߩ
ߝ଴
e sendo o campo eletrostático conservativo,
ܧ ൌ ߘܸ, temos
ߘ ∙ ߘܸ ൌ
ߩ
ߝ଴
ߘଶܸ ൌ
ߩ
ߝ଴
Que é a equação de Poisson para o potencial 
eletrostático.
• O operador ߘଶ é chamado de laplaciano e
também é escrito na forma ∆.
• Em coordenadas cartesianas, o laplaciano é
dado por
∆≡ ߘଶ ൌ
߲ଶ
߲ݔଶ
൅
߲ଶ
߲ݕଶ
൅
߲ଶ
߲ݖଶ
• Em uma região do espaço que não contenha
cargas, ߩ ൌ 0, a equação de Poisson toma a
forma
ߘଶܸ ൌ 0
Que é conhecida como a equação de Laplace.
Identidades do cálculo vetorial
• Sejam ݂ e ݃ duas funções escalares e ܣԦ e ܥԦ
dois campos vetoriais. Temos as seguintes
identidades:
rot grad݂ ൌ 0 ;   div rot	ܣԦ ൌ 0 
grad ݂݃ ൌ ݂	grad݃ ൅ ݃	grad݂
div ݂ܣԦ ൌ ݂	divܣԦ ൅ ܣԦ ∙ grad݂
rot ݂ܣԦ ൌ ݂	rot	ܣԦ ൅ grad݂ ൈ ܣԦ
div ܣԦ ൈ ܥԦ ൌ ܣԦ ∙ rot ܥԦ െ ܥԦ ∙ rot ܣԦ