Matemática Financeira 2 Parte I

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MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA SMF-NITEROI 
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Aula 2 – Parte 1 
Juros Compostos ......................................................................................................................................... 2 
Fórmula do Montante Composto ........................................................................................................... 3 
Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ........................................................ 3 
Convenção Linear e Convenção Exponencial ................................................................................... 5 
Taxas Equivalentes................................................................................................................................... 20 
Taxa Nominal e Taxa Efetiva ................................................................................................................ 22 
Taxa Real e Taxa Aparente ................................................................................................................... 23 
Relação das questões comentadas .................................................................................................... 42 
Gabaritos ...................................................................................................................................................... 52 
 
 
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Juros Compostos 
 
No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período 
agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo 
período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. 
Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros 
compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados 
em cada período e o montante após o período de cada aplicação. 
Os juros gerados no primeiro ano são ����� ∙ 10.000 = 2.000 e o montante após 
o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. 
Os juros gerados no segundo ano são ����� ∙ 12.000 = 2.400 e o montante após 
o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. 
Os juros gerados no terceiro ano são ����� ∙ 14.400 = 2.880 e o montante após o 
terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. 
Os juros gerados no quarto ano são ����� ∙ 17.280 = 3.456 e o montante após o 
quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736. 
Os juros gerados no quinto ano são ����� ∙ 20.736 = 4.147,20 e o montante após 
o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. 
 
 
 
� Período de Capitalização 
 
O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é 
chamado de período de capitalização. 
Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os 
juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital. 
Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma 
vez por trimestre. 
E assim por diante. 
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Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na 
mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a 
mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este 
assunto em seções posteriores (taxas de juros). 
Fórmula do Montante Composto 
 
Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a 
seguinte fórmula básica: 
� = � ∙ (1 + �)� 
M → montante (capital + juros). 
C → Capital inicial aplicado. 
i → taxa de juros 
n → número de períodos. 
Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 
meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. 
Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. 
Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, 
utilizaremos a relação: 
� = � + � ⇔ � = � − � 
Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta 
 
Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma 
taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os 
seguintes períodos de capitalização: 
a) 1 mês 
b) 15 dias (meio mês) 
c) 2 meses 
Resolução 
a) Capitalização Simples 
�� = � ∙ (1 + � ∙ �) 
�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 1) = 1.100 
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Capitalização Composta 
�� = � ∙ (1 + �)� 
�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)� = 1.100 
Observe que, para � = 1, o montante simples é igual ao montante composto. 
b) Capitalização Simples 
�� = � ∙ (1 + � ∙ �) 
�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 0,5) = 1.050 
Capitalização Composta 
�� = � ∙ (1 + �)� 
�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)�,� = 1.048,81 
Observe que, para � = 0,5, o montante simples é maior do que o montante 
composto. 
c) Capitalização Simples 
�� = � ∙ (1 + � ∙ �) 
�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1 ∙ 2) = 1.200 
Capitalização Composta 
�� = � ∙ (1 + �)� 
�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)� = 1.210 
Observe que, para � = 2, o montante simples é menor do que o montante 
composto. 
Em resumo, temos as seguintes relações 
� = 1 O montante simples é igual ao montante 
composto. 0 < � < 1 O montante simples é maior do que o 
montante composto. � > 1 O montante simples é menor do que o 
montante composto. 
 
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Convenção Linear e Convenção Exponencial 
 
Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para 
o credor cobrar juros simples. 
Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o 
número de períodos for fracionário. 
Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 
meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 
meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o 
regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente). 
Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, 
podemos calcular o montante de duas maneiras: 
- Convenção Exponencial 
- Convenção Linear 
Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% 
ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado. 
- Convenção Exponencial 
A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado 
no expoente da expressão do montante. 
Assim, (1 )
nM C i= ⋅ + 
3,510.000 (1 0,10)M = ⋅ + 
3,510.000 1,10M = ⋅ 
O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão. 
10.000 1,395964M = ⋅ 
13.959,64M = 
- Convenção Linear 
A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, 
sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário. 
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Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear: 
(1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte 
fracionária do período. 
310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
310.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅ 
13.975,50M = 
Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o 
montante da convenção exponencial. 
01. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento 
de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de 
dois anos éa) R$ 45.000,00 
b) R$ 47.500,00 
c) R$ 60.000,00 
d) R$ 90.000,00 
e) R$ 50.000,00 
 
Resolução 
 
Basta aplicar a formula do montante composto. O capital aplicado é de R$ 
20.000,00, a taxa é de 50% = 50/100 = 0,50 ao ano e o tempo de aplicação é 
igual a 2 anos. 
 � = � ∙ (1 + �)� 
 � = 20.000 ∙ (1 + 0,50)� = 45.000,00 
 
Letra A 
 
02. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) O montante final de uma aplicação financeira de 
R$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos, durante 2 meses é: 
(A) R$ 2.080,80 
(B) R$ 2.122,42 
(C) R$ 2.020,00 
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(D) R$ 20.100,00 
(E) R$ 2.040,00 
Resolução 
Novamente devemos aplicar a fórmula do montante composto. 
� = � ∙ (1 + �)� 
O capital aplicado é de R$ 2.000,00, a taxa é de 2% ao mês e o tempo é igual 
a 2 meses. 
� = 2.000 ∙ (1 + 0,02)� = 2.000 ∙ 1,0404 
� = 2.080,80 
Letra A 
03. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois 
anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse 
investimento totalizava: 
(A) R$ 694,44. 
(B) R$ 1.400,00. 
(C) R$ 1.440,00. 
(D) R$ 1.514,12. 
(E) R$ 2.200,00. 
Resolução 
Mais uma questão idêntica. Mera aplicação da fórmula do montante 
composto... 
O capital é de R$ 1.000,00, o tempo de 2 anos e a taxa de 20% ao ano. 
� = � ∙ (1 + �)� 
� = 1.000 ∙ (1 + 0,20)� = 1.000 ∙ 1,44 
� = 1.440,00 
Letra C 
04. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) A taxa de juros mensal, juros compostos, que faz 
com que um capital aumente de R$ 1.500,00 para R$ 1.653,75 em dois meses 
é de: 
(A) 2% 
(B) 5% 
(C) 3% 
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(D) 10% 
(E) 8% 
Resolução 
Neste caso, o capital aplicado é igual a 1.500,00 e o montante da aplicação é 
igual a R$ 1.653,75. 
Assim, 
� = 1.500	"	� = 1.653,75 
O tempo de aplicação é igual a 2 meses. Queremos calcular a taxa mensal... 
� = � ∙ (1 + �)� 
1.653,75 = 1.500 ∙ (1 + �)² 
O número 1.000 que está multiplicando o segundo membro, “passa” dividindo 
o primeiro membro. 
(1 + �)� = 1,1025 
Vamos testar as alternativas. 
Letra A � (1 + 0,02)� = 1,0404 
Letra B � (1 + 0,05)� = 1,1025 (RESPOSTA) 
Gabarito: B 
05. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num 
CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao 
mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as 
operações com 4 casas decimais) 
a) 20.999,66 
b) 21.985,34 
c) 22.111,33 
d) 22.400,00 
e) 22.498,00 
 
Resolução 
� = � ∙ (1 + �)� 
 � = 20.000 ∙ 1,04# 
 
O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais. 
 
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1,04 × 1,04 = 1,0816 1,0816 × 1,04 = 1,124864 ≅ 1,1249 
 � = 20.000 ∙ 1,04# = 20.000 ∙ 1,1249 = 22.498,00 
Letra E 
06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um 
capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no 
valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o 
segundo capital ficou aplicado foi igual a 
a) 22 meses 
b) 20 meses 
c) 18 meses 
d) 16 meses 
e) 15 meses 
Resolução 
Aplicação a juros compostos: 
� = � ∙ (1 + �)�	� = 12.500 ∙ (1 + 0,08)�	� = 14.580 
Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado 
14.580 – 12.500 = 2.080. 
Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de 
aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa 
equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês. 
� = � ∙ � ∙ �	2.080 = 10.400 ∙ 0,0125 ∙ �	2.080 = 130 ∙ �	� = 16	'"("( 
Letra D 
07. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no 
tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos 
à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma 
unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. 
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Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso 
emprestar a juros 
a) compostos, sempre. 
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de 
tempo. 
c) simples, sempre. 
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. 
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. 
Resolução 
O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele 
em que o montante simples foi maior do que o montante composto). 
Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro 
simples será maior do que o juro composto. 
Letra E 
08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz 
uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se 
afirmar que: 
a) ) = log� - 
b) ) < - 
c) ) = - 
d) ) = √-/ 
e) ) > - 
Resolução 
Vimos que: 
� = 1 O montante simples é igual ao montante 
composto. 0 < � < 1 O montante simples é maior do que o 
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montante composto. � > 1 O montante simples é menor do que o 
montante composto. 
 
Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do 
que a convenção exponencial. 
Letra E 
09. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses 
e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: 
 
a) R$ 370,00 
b) R$ 372,00 
c) R$ 373,00 
d) R$ 375,10 
e) R$ 377,10 
Resolução 
De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a 
juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros 
simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês. 
� = � ∙ (1 + �)012 ∙ (1 + � ∙ �3456) 
� = 300 ∙ (1 + 0,10)� ∙ 71 + 0,10 ∙ 138 
� = 300 ∙ 1,21 ∙ 71 + 1308 = 363 ∙ 71 + 1308 
� = 363 + 36330 = 363 + 12,1 = 375,10 
Letra D 
 
010. (SERC/MS 2006/FGV) Determine o montante, em 75 dias, de um 
principal de 
R$ 5.000,00 a juros de 10% ao mês, pela convenção linear. 
(A) R$ 6.250,00 
(B) R$ 6.300,00 
(C) R$ 6.325,00 
(D) R$ 6.344,00 
(E) R$ 6.352,50 
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Resolução 
Vamos utilizar a fórmula do montante composto pela convenção linear. 
� = � ∙ (1 + �)012 ∙ (1 + � ∙ �3456) 
Ora, 75 dias = (60 + 15) dias = 2 meses e meio. 
� = 5.000 ∙ (1 + 0,10)� ∙ (1 + 0,10 ∙ 0,5) 
� = 5.000 ∙ 1,21 ∙ 1,05 
� = 6.352,50 
Letra E 
011. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido 
a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O 
montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a 
a) R$ 25.500,00 
b) R$ 24.932,05 
c)) R$ 24.805,00 
d) R$ 23.780,00 
e) R$ 22.755,00 
Resolução 
Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investido 
durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a parte 
fracionária do período (3 meses) será utilizada no regime simples. Como o ano 
tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 do ano= 0,25 anos. 
Assim, 
(1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
220.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 25)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
220.000 1,10 1,025M = ⋅ ⋅ 
24.805,00M =Letra C 
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012. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante 
seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas 
de investimento: 
I – Juros simples de 2% ao mês. 
II – Juros compostos de 1% ao mês. 
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. 
Assinale: 
a) se todas apresentarem o mesmo retorno. 
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. 
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. 
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. 
e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. 
Resolução 
I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses. 
� = � ∙ (1 + � ∙ �) = 10.000 ∙ (1 + 0,02 ∙ 6) = 11.200 
II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses. 
� = � ∙ (1 + �)� = 10.000 ∙ (1 + 0,01)9 = 10.615,20 
Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento. 
Letra D 
013. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um montante de R$ 1.000 
foi aplicado durante 6 meses em um banco à taxa de 21% ao ano, juros 
compostos e, a seguir, o montante resultante foi colocado em outro banco a 
juros de 20% ao ano, durante mais 1 ano. A taxa anual que faria com que o 
montante final fosse equivalente ao montante encontrado é 
a) 18,25% 
b) 16,00% 
c) 20,33% 
d) 25,00% 
e) 22,22% 
Resolução 
Vejamos qual o montante encontrado: 
 � = 1.000 ∙ (1 + 0,21)�,� ∙ (1 + 0,20)� = 1.320,00 
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Lembrando que 
 
1,21�,� = :1,21 = ;121100 = 1110 = 1,1 
 
O problema pede a taxa anual de modo que R$ 1.000,00 sejam aplicados 
durante 1,5 anos a uma taxa de juros compostos constante com montante 
igual a R$ 1.320,00. 
 1.320 = 1.000 ∙ (1 + �)�,� 
 1,32 = (1 + �)�,� 
 
1,32 = (1 + �)#� 
 
1,32� = <(1 + �)#�=� 
 
1,32� = <(1 + �)#�=� 
1,7424 = (1 + �)# 
 
Podemos neste momento testar as alternativas e verificar que 
 (1 + 0,2033)# = 1,74229 
 
Assim, a resposta é a letra C. 
 
014. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou 
metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% 
ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma 
taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações 
foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a 
juros compostos apresentou o valor de 
a) R$ 14.400,00. 
b) R$ 14.560,00. 
c) R$ 14.580,00. 
d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 16.400,00. 
Resolução 
Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos a 
metade do capital em cada uma das aplicações, então o capital das 
aplicações será x. 
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1ª aplicação (Regime Composto) 
Sabemos que � = � + � ⇔ � = � − � 
No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte. 
� = � ∙ (1 + �)� 
A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano (2 
semestres). 
� = > ∙ 1,08� 
� = 1,1664 ∙ > 
Como � = � − �, 
�� = 1,1664 ∙ > − > 
�� = 0,1664 ∙ > 
2ª aplicação (Regime Simples) 
�� = � ∙ � ∙ � 
Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 trimestres. 
�� = > ∙ 0,04 ∙ 4 
�� = 0,16 ∙ > 
A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00. 
�� + �� = 4.080 
0,1664 ∙ > + 0,16 ∙ > = 4.080 
0,3264 ∙ > = 4.080 
> = 12.500 
Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante. 
� = 1,1664 ∙ > 
� = 1,1664 ∙ 12.500 = 14.580,00 
Letra C 
015. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 
3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado 
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a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda 
aplicação, o montante obtido era de 
a) R$ 560,00 
b) R$ 585,70 
c) R$ 593,20 
d) R$ 616,00 
e) R$ 617,40 
 
Resolução 
Temos nessa questão duas aplicações: uma no regime de capitalização simples 
e outra na capitalização composta. É fato que o montante na capitalização 
simples é dado por (1 )SM C i n= ⋅ + ⋅ 
A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma unidade. 
Podemos aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado informou que a 
taxa é de 4% ao mês e o tempo é igual a 3 meses. Dessa forma, 
500 (1 0,04 3)SM = ⋅ + ⋅ 
500 1,12SM = ⋅ 
560SM = 
Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segunda 
aplicação. 
Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igual a 
R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses. 
O montante da capitalização composta é dado por (1 )
n
CM C i= ⋅ + . 
2560 (1 0,05)CM = ⋅ + 
2560 1,05CM = ⋅ 
617,40CM = 
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Letra E 
016. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros 
compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a 
outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo 
prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as 
duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. 
(Considere que 1,0312 = 1,425760) 
a) R$ 25 000,00. 
b) R$ 39 000,00. 
c) R$ 31 000,00. 
d) R$ 48 000,00. 
e) R$ 50 000,00. 
 
Resolução 
Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) será 
aplicada a juros compostos e a outra metade (C) será aplicada a juros 
simples. 
Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a soma do 
capital com os juros. 
M C J J M C= + ⇒ = − 
Capitalização Composta 
Capital aplicado: C 
Taxa de juros: 3% = 0,03 ao mês 
Tempo de aplicação: 12 meses 
Assim, o juro da capitalização composta será dado por: 
12(1 )CJ M C C i C= − = ⋅ + − 
121,03CJ C C= ⋅ − 
1, 425760 1CJ C C= ⋅ − ⋅ 
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0,425760CJ C= ⋅ 
Capitalização Simples 
Capital aplicado: C 
Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês 
Tempo de aplicação: 12 meses 
Assim, o juro da capitalização simples será dado por: 
SJ C i n= ⋅ ⋅ 
0,035 12SJ C= ⋅ ⋅ 
0, 42SJ C= ⋅ 
As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02. 
 
21.144,02S CJ J+ = 
0,42 0,425760 21.144,02C C⋅ + ⋅ = 
0,84576 21.144,02C⋅ = 
21.144,02
0,84576
C = 
25.000C = 
O capital total aplicado é	2 ∙ �. 
Logo, 2 50.000C⋅ = 
Letra E 
017. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e 
da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um 
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capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. 
Informações adicionais: log 3 ≅ 0,48 e log 1,03 ≅ 0,012. 
Assinale abaixo a única alternativa correta. 
a) 5 meses 
b) 10 meses 
c) 20 meses 
d) 30 meses 
e) 40 meses 
Resolução 
Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização também é 
mensal. 
Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montanteserá o triplo do 
capital (M = 3.C) 
Assim, 3M C= ⋅ . 
Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado por 
(1 )nM C i= ⋅ + . Temos então: 
(1 ) 3nC i C⋅ + = ⋅ 
(1 0,03) 3n+ = 
1,03 3n =
 
Para resolver esta equação exponencial, devemos “logaritmar” os dois 
membros. 
log1,03 log 3n =
 
Aplicando a propriedade do logaritmo da potência... 
log1,03 log 3n ⋅ = 
log 3
log1,03
n = 
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0, 48
0,012
n = 
 
0, 480 0480 480
40 meses.
0,012 0012 12
n = = = = 
Letra E 
Taxas Equivalentes 
 
Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital 
inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. 
Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a 
juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simples 
é o mesmo que falar em taxas proporcionais. 
Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos. 
Exemplo 
Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao 
mês? 
Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital 
inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. 
Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a 
seguinte equação: 
3 1(1 ) (1 )m tC i C i⋅ + = ⋅ + 
3(1 0,10) 1 ti+ = + 
1 1,331ti+ = 
0,331ti = 
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33,1%ti = 
Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. 
Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1 + �)� 
Exemplo 
Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao 
trimestre? 
Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação: 
(1 + �5�?5@)� = (1 + �A4BCDEA45@)F 
1 + �5�?5@ = (1 + 0,2)F 
1 + �5�?5@ = 2,0736 
�5�?5@ = 1,0736 
�5�?5@ = 107,36%	)H	)�H 
 
 
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Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
 
Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais 
(no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo 
“24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”. 
A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é 
chamada de taxa efetiva. 
No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a 
que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, 
uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal 
porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos 
juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por 
mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva 
quando o período a que a taxa se refere coincide como período de 
capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização 
mensal é uma taxa efetiva. 
São exemplos de taxas nominais: 
- 30% ao mês com capitalização diária. 
- 48% ao ano com capitalização bimestral. 
Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for 
coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% 
ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva. 
Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que 
estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”. 
A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos 
financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões 
sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são 
feitos com taxa nominal !!! 
Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve 
ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: 
 
I)>)	"J"K�L) = I)>)	MH'��)NMú'"OH	P"	Q"OíHPH(	P"	R)Q�K)N�S)çãH	RH�K�PH(	�)	K)>)	�H'��)N 
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Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa 
efetiva. 
Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral. 
1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será 
60%
10% a.b.
6
bi = = 
Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de 
taxas equivalentes. 
Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira: 
1 6(1 ) (1 )a bi i+ = + 
61 (1 0,10)ai+ = + 
61,10 1ai = − 
0,7715ai = 
77,15%ai = 
Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser 
utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 
60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada 
para efeito de cálculo será 10% a.b.. 
Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal 
diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal. 
Taxa Real e Taxa Aparente 
 
Imagine que Thiago fez uma aplicação financeira durante 2 anos e obteve um 
rendimento total de 80%. Mas nesse período de 2 anos houve uma inflação 
total de 60%. Então, na verdade, o ganho real não foi de 80%, pois se assim 
fosse, não estaríamos levando em conta a perda causada pela inflação! 
A taxa de 80% do nosso problema é denominada taxa aparente. 
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A taxa real é aquela que leva em consideração a perda influenciada pela 
inflação. 
E como calcular a taxa real nessa situação? 
Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes notações: 
 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
A I R I R= + + ⋅ 
No nosso exemplo: 
A = 80% = 0,8 
I = 60% = 0,6 
R → taxa real = ? 
A I R I R= + + ⋅ 
0,8 0,6 0,6R R= + + ⋅ 
0,8 0,6 1,6 R− = ⋅ 
1,6 0, 2R⋅ = 
0, 2 2
0,125
1,6 16
R = = = 
12,5%R = 
Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionário foi de 
12,5%. 
A expressão que fornece a taxa real em função da taxa aparente e da inflação 
é a seguinte: 
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1
A I
R
I
−
=
+
 
No nosso exemplo, 
0,8 0,6 0, 2
12,5%
1 1 0,6 1,6
A I
R
I
− −
= = = =
+ +
. 
018. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos 
anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é 
 
a) 114,70% 
b) 107,55% 
c) 109,90% 
d) 90,00% 
e) 119,70% 
 
Resolução 
 
Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 meses e que 1 ano 
é composto por 3 quadrimestres. Assim, 
 (1 + �5)� = (1 + �T)# 
 1 + �5 = (1 + 0,3)# 
 1 + �5 = 2,197 
 �5 = 1,197 = 119,70% 
Letra E 
 
019. (Senado Federal 2008/FGV) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, 
por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, 
com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o 
capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a 
taxa de juros simples ao bimestre seja: 
a) 5,0%. 
b) 5,5%. 
c) 6,0%. 
d) 6,5%. 
e) 7,0%. 
Resolução 
 
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Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve 
ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: 
 
I)>)	"J"K�L) = I)>)	MH'��)NMú'"OH	P"	Q"OíHPH(	P"	R)Q�K)N�S)çãH	RH�K�PH(	�)	K)>)	�H'��)N 
Como 1 semestre contém 2 trimestres, então: 
 
� = 20%2 = 10%	)H	KO�'"(KO" 
Vamos aplicar R$ 2.000,00, à taxa de juros efetiva de 10% ao trimestre 
durante 1 semestre. O número de períodos � é igual a 2 (trimestres). 
 � = � ∙ (1 + �)� 
 � = 2.000 ∙ (1 + 0,10)² 
 � = 2.420,00 
 
O que o problema pede? 
 
Aplique R$ 2.000,00 a juros simples, durante 6 meses (3 bimestres) e 
obtenha um montante igual a R$ 2.420,00. Qual a taxa bimestral? 
 
Já que a taxa pedida é bimestral, devemos utilizar o tempo em bimestres. 
 
Ora, o juro auferido no período é igual a R$ 420,00. 
 � = � ∙ � ∙ � 
 420 = 2.000 ∙ � ∙ 3 
 420 = 6.000 ∙ � 
 
� = 4206.000 = 0,07 = 7%	)H	-�'"(KO" 
Letra E 
 
020. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de juros 
semestral equivalente à taxa de 125% ao ano é igual a: 
(A) 45%. 
(B) 50%. 
(C) 61,25%. 
(D) 62,25%. 
(E) 275%. 
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Resolução 
 
Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1 + �)� 
Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: 
(1 + �5�?5@)� = (1 + �EDCDEA45@)� 
(1 + 1,25)� = (1 + �E)² 
(1 + �E)� = 2,25 
 
(1 + �E)� = 225100 
 
1 + �E = 1510 �E = 1,5 − 1 = 0,5 = 50% 
 
Letra B 
 
021. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente 
à taxa de 10% ao bimestre é: 
(A) 3,33%. 
(B) 30,00%. 
(C) 31,33%. 
(D) 33,10%. 
(E) 36,66%. 
 
Resolução 
 
Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1 + �)� 
Já que 1 semestre é o mesmo que 3 bimestres, temos a seguinte relação: 
(1 + �EDCDEA45@)� = (1 + �UBCDEA45@)# 
(1 + �E)� = (1 + 0,10)³ 
1 + �E = 1,331 
�E = 0,331 = 33,1% 
Letra D 
 
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022. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um principal de R$ 100.000,00, um indivíduo 
retirou o valor de R$ 150.000,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anual 
desse investimento, no regime de juros compostos, foi de: 
(A) 50%. 
(B) 125%. 
(C) 100%. 
(D) 5%. 
(E) 120%. 
 
Resolução 
 
Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado durante 1 semestre e montante 
obtido foi de R$ 150.000,00. Vamos calcular a taxa semestral. 
 � = � ∙ (1 + �)� 
 150.000 = 100.000 ∙ (1 + �)� 
 
(1 + �)� = 150.000100.000 
 1 + � = 1,5 
 � = 0,5 = 50%	)H	("'"(KO" 
 
Queremos calcular a rentabilidade anual. Basta calcular a taxa anual 
equivalente à taxa calculada. 
 
Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: 
(1 + �5�?5@)� = (1 + �EDCDEA45@)� 
 (1 + �5)� = (1 + 0,5)� 
 1 + �5 = 2,25 
 �5 = 1,25 = 125% 
 
Letra B 
 
023. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa 
de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, 
a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a 
mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo 
montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: 
(A) 14,89%. 
(B) 15,25%. 
(C) 16,33%. 
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(D) 18,45%. 
(E) 20,00%. 
 
Vamos considerar que o capital aplicado foi de R$ 100,00. 
 
Quando a taxa de juros compostos varia, podemos utilizar a seguinte fórmula 
para o cálculo do montante: 
 � = � ∙ (1 + ��)�V ∙ (1 + ��)�W 
 � = 100 ∙ (1 + 0,10)� ∙ (1 + 0,20)� 
 � = 132 
 
Queremos, para a mesma quantia de R$ 100,00, obter o mesmo montante 
com uma taxa anual efetiva única. 
 � = � ∙ (1 + �)² 
 132 = 100 ∙ (1 + �)² 
 
(1 + �)� = 132100 
 
Queremos calcular a raiz quadrada de 132/100. A raiz quadrada de 100 é 10. 
 
Existe um método muito bom para calcular raízes quadradas aproximadas. O 
método é chamado de Newton-Raphson e você pode aprendê-lo no seguinte 
artigo que eu escrevi na parte aberta do Ponto: 
http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/4950_D.pdf 
 
O método é descrito da seguinte maneira: 
2
2
a x
a
x
+
≅ , em que 2x é o quadrado perfeito mais próximo de a. 
 
√132 ≅ 132 + 11²2 ∙ 11 
 
√132 ≅ 25322 
 √132 ≅ 11,5 
 
Se quisermos uma aproximação melhor, basta substituir novamente > por 
11,5. 
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√132 ≅ 132 + 11,5²2 ∙ 11,5 
 
√132 ≅ 264,2523 
 √132 ≅ 11,489 
 
Voltando ao nosso problema... 
 
(1 + �)� = 132100 
 
1 + � = 11,48910 
 1 + � = 1,1489 
 � = 0,1489 = 14,89% 
 
Letra A 
 
024. (SERC/MS 2006/FGV) Determine a taxa efetiva anual correspondente a 
30% ao ano com capitalização semestral. 
(A) 60% 
(B) 63% 
(C) 65% 
(D) 67% 
(E) 69% 
 
Resolução 
 
Há uma taxa nominal assim descrita: 30% ao ano com capitalização semestral. 
Desta forma, a taxa semestral efetiva é igual a: 
 
�E = 30%2 = 15%	)H	("'"(KO" 
 
Queremos calcular a taxa efetiva anual equivalente. 
 
Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: 
(1 + �5�?5@)� = (1 + �EDCDEA45@)� 
 (1 + �5)� = (1 + 0,15)� 
 
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1 + �5 = 1,3225 
 �5 = 0,3225 = 32,25% 
 
Não há gabarito compatível e a questão foi anulada pela FGV. 
 
025. (BESC 2004/FGV) A taxa efetiva anual correspondente a 40% ao ano 
com capitalização semestral é: 
(A) 40% 
(B) 42% 
(C) 44% 
(D) 48% 
(E) 56% 
Resolução 
 
Questão idêntica à anterior. 
 
Há uma taxa nominal assim descrita: 40% ao ano com capitalização semestral. 
Desta forma, a taxa semestral efetiva é igual a: 
 
�E = 40%2 = 20%	)H	("'"(KO" 
 
Queremos calcular a taxa efetiva anual equivalente. 
 
Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: 
(1 + �5�?5@)� = (1 + �EDCDEA45@)� 
 (1 + �5)� = (1 + 0,20)� 
 1 + �5 = 1,44 
 �5 = 0,44 = 44% 
Letra C 
 
026. (SEFAZ/RJ 2007/FGV) A taxa efetiva anual equivalente a � ao ano, 
capitalizados X vezes ao ano é: 
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Resolução 
Outra questão idêntica!! 
 
Neste caso, temos uma questão literal. Perceba que a resolução é idêntica... 
 
Há uma taxa nominal assim descrita: � ao ano capitalizados X vezes ao ano. 
Desta forma, a taxa efetiva é igual a: 
 
�Y = �X 
 
A taxa efetiva anual será calculada da seguinte forma: 
 (1 + �5�?5@)� = (1 + �Y)Y 
 
1 + �5 = 71 + �X8
Y
 
 
�5 = 71 + �X8
Y − 1 
Letra D 
 
 
027. (Auditor da Receita Estadual – Amapá 2010/FGV) Seja i a taxa semestral 
de juros equivalente à taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juros 
compostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i é: 
(A) 28,2% 
(B) 26,1% 
(C) 24,6% 
(D) 22,8% 
(E) 20,0% 
Resolução 
Já que 1 semestre é o mesmo que 2 trimestres, temos a seguinte relação: 
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(1 + �EDCDEA45@)� = (1 + �A4BCDEA45@)� (1 + �E)� = (1 + 0,123)� 
 
1 + �E = 1,261129 
�E = 0,261129 
�E ≅ 26,1% 
Letra B 
028. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxaefetiva semestral, no sistema de 
juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, 
capitalizada bimestralmente? 
a) 75,0% 
b) 72,8% 
c) 67,5% 
d) 64,4% 
e) 60,0% 
Resolução 
Vamos analisar cada parte do enunciado. 
“ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”. 
Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), 
a taxa efetiva bimestral é dada por 
40%
20% a.b.
2
bi = = 
Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva 
semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. 
Lembrando que um semestre é composto por 3 bimestres. 
1 3(1 ) (1 )s bi i+ = + 
31 (1 0,20)si+ = + 
1,728 1 0,728si = − = 
72,8%si = 
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Letra B 
029. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de 
juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% 
b) 12,5508% 
c) 12,6825% 
d) 12,6162% 
e) 12,4864% 
Resolução 
Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é: 
�C = 12%12 = 1%	)H	'ê( 
Devemos fazer a comparação dos fatores (1 + �)� para o cálculo da taxa de 
juros anual. 
(1 + �5)� = (1 + �C)�� 
1 + �5 = (1 + 0,01)�� 
Consultando a tabela financeira: 
1 + �5 = 1,126825 
�5 = 0,126825 = 12,6825% 
Letra C 
030. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 
20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização 
trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. 
a) R$ 27.200,00 
b) R$ 27.616,11 
c) R$ 28.098,56 
d) R$ 28.370,38 
e) R$ 28.564,92 
Resolução 
Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral é: 
�A = 24%4 = 6%	)H	KO�'"(KO" 
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O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva é 
trimestral, então usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres. 
� = � ∙ (1 + �)� 
� = 20.000 ∙ (1 + 0,06)9 = 28.370,38 
Letra D 
031. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no 
valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a 
uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros 
a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 
 
a) Z(1,02)�[ − 1\ 
b) ](18 ∙ √1,36V^ − 1_ 
c) ](18 ∙ √1,24VW − 1_ 
d) ](3 ∙ √1,24 − 1_ 
e) ](6 ∙ √1,24` − 1_ 
 
Resolução 
 
O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa 
nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva 
mensal é de 24%/12 = 2%. 
 � = � ∙ (1 + �)� 
 � + � = � ∙ (1 + �)� 
 � = � ∙ (1 + �)� − � 
 � = � ∙ Z(1 + �)� − 1\ 
 � = 25.000 ∙ Z(1 + 0,02)�[ − 1\ 
 � = 25.000 ∙ Z(1,02)�[ − 1\ 
Letra A 
 
032. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado 
foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de 
inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de 
 
a) 12,00% 
b) 25,52% 
c) 16,52% 
d) 33,20% 
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e) 13,20% 
 
Resolução 
 
Para facilitar o processo mnemônico, chamarei de: 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
a = b + c + b ∙ c 
0,2320 = 0,10 + c + 0,10 ∙ c 
0,2320 − 0,10 = 1,10 ∙ c 
1,10 ∙ c = 0,1320 
c = 0,12 = 12% 
Letra A 
033. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período 
em que a inflação foi de20%, equivale a uma rentabilidade real de: 
(A) 20% 
(B) 44% 
(C) 50% 
(D) 55% 
(E) 60% 
 
Resolução 
Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
a = b + c + b ∙ c 
0,80 = 0,20 + c + 0,20 ∙ c 
0,60 = 1,20 ∙ c 
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c = 0,601,20 = 0,50 = 50% 
Letra C 
 
 
034. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, 
que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito 
a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual 
correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – 
INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a 
título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de 
R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 
(trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período 
foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: 
a) 5,2%. 
b) 4,8%. 
c) 5,0%. 
d) 5,8%. 
e) 5,5%. 
Resolução 
Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário mínimo 
(reajuste nominal). 
dB�B6B5@ = 350 e d3B�5@ = 380 
a = d3B�5@ − dB�B6B5@dB�B6B5@ = 380 − 350350 = 8,57% 
A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%. Calculemos 
o aumento real: 
a = b + c + b ∙ c 
0,0857 = 0,034 + c + 0,034 ∙ c 
0,0517 = 1,034 ∙ c 
c = 0,05171,034 = 0,05 = 5% 
Letra C 
 
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035. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, a 
ser pago ao final de um ano, a taxa de juros real a ser cobrada é igual a 10%, 
enquanto a taxa de inflação, para esse mesmo período, é de 5%. A taxa 
aparente anual para esse financiamento será de: 
(A) 50%. 
(B) 20%. 
(C) 15,5%. 
(D) 10%. 
(E) 5%. 
 
Resolução 
 
Basta aplicar diretamente a fórmula mencionada anteriormente. 
 a = b + c + b ∙ c 
 a = 0,05 + 0,10 + 0,05 ∙ 0,10 
 a = 0,05 + 0,10 + 0,005 
 a = 0,155 = 15,5% 
 
Letra C 
 
036. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 
20%. Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros 
aparente é: 
(A) 12%. 
(B) 22%. 
(C) 28%. 
(D) 30%. 
(E) 32%. 
 
Resolução 
 
Mais uma questão idêntica... 
 a = b + c + b ∙ c 
 a = 0,10 + 0,20 + 0,10 ∙ 0,20 
 a = 0,10 + 0,20 + 0,02 
 a = 0,32 = 32% 
Letra E 
 
 
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037. (SERC/MS 2006/FGV) De quanto diminui o seu salário real, se o seu 
salário nominal aumenta de 10% e há uma inflação de 40%? 
(A) 12% 
(B) 15% 
(C) 18% 
(D) 21% 
(E) 30% 
 
Resolução 
 
Se você recebe um aumento de 10% e a inflação no período foi de 40%, então 
o seu poder de compra diminui, obviamente. Ou seja, seu salário aumentou 
“pouco” se comparado com o aumento dos preços. Queremos então, saber 
qual foi a variação percentual real do salário, levando em conta a inflação. 
 a = b + c + b ∙ c 
 0,10 = 0,40 + c + 0,40 ∙ c 
 0,10 = 0,40 + 1,40 ∙ c 
 −0,30 = 1,40 ∙ c 
 
c = −0,301,40 
 c ≅ −0,2142 
 c ≅ −21,42% 
 
Letra D 
 
 
038. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de 
R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa 
real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente 
foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo 
investidor foi de 
a) R$ 27.060,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 26.460,00 
d) R$ 26.400,00 
e) R$ 25.800,00 
Resolução 
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Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
a = b + c + b ∙ c 
e = f, fgh + f, if + f, fgh ∙ f, if = f, igjh = ig, jh% 
Então o montante resgatado pelo investidor é dado por 
� = � ∙ (1 + �)� = 24.000 ∙ (1 + 0,1275)� = 27.060,00 
Letra A 
039. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de 
um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 
98.280,00, esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. 
Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 
5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período 
desta aplicação foi de 
a) 11,25% 
b) 12,5% 
c) 12,85% 
d) 13,65% 
e) 13,85% 
Resolução 
Para calcular a inflação acumulada podemos utilizar a seguinte 
fórmula: 
k = (i + li) ∙ (i + lg) ∙ ⋯ ∙ (i + ln) − i 
Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de: 
b = (1 + 0,05) ∙ (1 + 0,04) − 1 = 0,092 
Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos � = 1, pois queremos calcular 
a taxa real no período de 2 anos. 
� = � ∙ (1 + �)� 
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98.280 = 80.000 ∙ (1 + a)� 
a = 0,2285 
a = b + c + b ∙ c 
0,2285 = 0,092 + c + 0,092 ∙ c 
0,1365 = 1,092 ∙ c 
c = 0,13651,092 = 0,125 = 12,5% 
Letra B 
 
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Relação das questões comentadas 
 
01. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento 
de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de 
dois anos é 
 
a) R$ 45.000,00 
b) R$ 47.500,00 
c) R$ 60.000,00 
d) R$ 90.000,00 
e) R$ 50.000,00 
 
02. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) O montante final de uma aplicação financeira de 
R$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos, durante 2 meses é: 
(A) R$ 2.080,80 
(B) R$ 2.122,42 
(C) R$ 2.020,00 
(D) R$ 20.100,00 
(E) R$ 2.040,00 
03. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois 
anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse 
investimento totalizava: 
(A) R$ 694,44. 
(B) R$ 1.400,00. 
(C) R$ 1.440,00. 
(D) R$ 1.514,12. 
(E) R$ 2.200,00. 
04. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) A taxa de juros mensal, juros compostos, que faz 
com que um capital aumente de R$ 1.500,00 para R$ 1.653,75 em dois meses 
é de: 
(A) 2% 
(B) 5% 
(C) 3% 
(D) 10% 
(E) 8% 
05. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num 
CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao 
mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as 
operações com 4 casas decimais) 
a) 20.999,66 
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b) 21.985,34 
c) 22.111,33 
d) 22.400,00 
e) 22.498,00 
 
 
 
 
06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um 
capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no 
valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o 
segundo capital ficou aplicado foi igual a 
a) 22 meses 
b) 20 meses 
c) 18 meses 
d) 16 meses 
e) 15 meses 
07. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no 
tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos 
à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma 
unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. 
 
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso 
emprestar a juros 
a) compostos, sempre. 
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de 
tempo. 
c) simples, sempre. 
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. 
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. 
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08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz 
uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se 
afirmar que: 
a) ) = log� - 
b) ) < - 
c) ) = - 
d) ) = √-/ 
e) ) > - 
09. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses 
e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: 
 
a) R$ 370,00 
b) R$ 372,00 
c) R$ 373,00 
d) R$ 375,10 
e) R$ 377,10 
010. (SERC/MS 2006/FGV) Determine o montante, em 75 dias, de um 
principal de 
R$ 5.000,00 a juros de 10% ao mês, pela convenção linear. 
(A) R$ 6.250,00 
(B) R$ 6.300,00 
(C) R$ 6.325,00 
(D) R$ 6.344,00 
(E) R$ 6.352,50 
011. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido 
a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O 
montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a 
a) R$ 25.500,00 
b) R$ 24.932,05 
c)) R$ 24.805,00 
d) R$ 23.780,00 
e) R$ 22.755,00 
012. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante 
seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas 
de investimento: 
I – Juros simples de 2% ao mês. 
II – Juros compostos de 1% ao mês. 
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. 
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Assinale: 
a) se todas apresentarem o mesmo retorno. 
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. 
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. 
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. 
e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. 
013. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um montante de R$ 1.000 
foi aplicado durante 6 meses em um banco à taxa de 21% ao ano, juros 
compostos e, a seguir, o montante resultante foi colocado em outro banco a 
juros de 20% ao ano, durante mais 1 ano. A taxa anual que faria com que o 
montante final fosse equivalente ao montante encontrado é 
a) 18,25% 
b) 16,00% 
c) 20,33% 
d) 25,00% 
e) 22,22% 
 
014. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou 
metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% 
ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma 
taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações 
foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a 
juros compostos apresentou o valor de 
a) R$ 14.400,00. 
b) R$ 14.560,00. 
c) R$ 14.580,00. 
d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 16.400,00. 
015. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 
3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado 
a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda 
aplicação, o montante obtido era de 
a) R$ 560,00 
b) R$ 585,70 
c) R$ 593,20 
d) R$ 616,00 
e) R$ 617,40 
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016. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros 
compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a 
outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, jurossimples, no mesmo 
prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as 
duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. 
(Considere que 1,0312 = 1,425760) 
a) R$ 25 000,00. 
b) R$ 39 000,00. 
c) R$ 31 000,00. 
d) R$ 48 000,00. 
e) R$ 50 000,00. 
017. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e 
da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um 
capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. 
Informações adicionais: log 3 ≅ 0,48 e log 1,03 ≅ 0,012. 
Assinale abaixo a única alternativa correta. 
a) 5 meses 
b) 10 meses 
c) 20 meses 
d) 30 meses 
e) 40 meses 
 
 
018. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos 
anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é 
 
a) 114,70% 
b) 107,55% 
c) 109,90% 
d) 90,00% 
e) 119,70% 
 
019. (Senado Federal 2008/FGV) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, 
por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, 
com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o 
capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a 
taxa de juros simples ao bimestre seja: 
a) 5,0%. 
b) 5,5%. 
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c) 6,0%. 
d) 6,5%. 
e) 7,0%. 
020. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de juros 
semestral equivalente à taxa de 125% ao ano é igual a: 
(A) 45%. 
(B) 50%. 
(C) 61,25%. 
(D) 62,25%. 
(E) 275%. 
 
021. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente 
à taxa de 10% ao bimestre é: 
(A) 3,33%. 
(B) 30,00%. 
(C) 31,33%. 
(D) 33,10%. 
(E) 36,66%. 
 
022. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um principal de R$ 100.000,00, um indivíduo 
retirou o valor de R$ 150.000,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anual 
desse investimento, no regime de juros compostos, foi de: 
(A) 50%. 
(B) 125%. 
(C) 100%. 
(D) 5%. 
(E) 120%. 
 
023. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa 
de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, 
a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a 
mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo 
montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: 
(A) 14,89%. 
(B) 15,25%. 
(C) 16,33%. 
(D) 18,45%. 
(E) 20,00%. 
 
024. (SERC/MS 2006/FGV) Determine a taxa efetiva anual correspondente a 
30% ao ano com capitalização semestral. 
(A) 60% 
(B) 63% 
(C) 65% 
(D) 67% 
(E) 69% 
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025. (BESC 2004/FGV) A taxa efetiva anual correspondente a 40% ao ano 
com capitalização semestral é: 
(A) 40% 
(B) 42% 
(C) 44% 
(D) 48% 
(E) 56% 
026. (SEFAZ/RJ 2007/FGV) A taxa efetiva anual equivalente a � ao ano, 
capitalizados X vezes ao ano é: 
 
027. (Auditor da Receita Estadual – Amapá 2010/FGV) Seja i a taxa semestral 
de juros equivalente à taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juros 
compostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i é: 
(A) 28,2% 
(B) 26,1% 
(C) 24,6% 
(D) 22,8% 
(E) 20,0% 
028. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de 
juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, 
capitalizada bimestralmente? 
a) 75,0% 
b) 72,8% 
c) 67,5% 
d) 64,4% 
e) 60,0% 
029. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de 
juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% 
b) 12,5508% 
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c) 12,6825% 
d) 12,6162% 
e) 12,4864% 
030. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 
20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização 
trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. 
a) R$ 27.200,00 
b) R$ 27.616,11 
c) R$ 28.098,56 
d) R$ 28.370,38 
e) R$ 28.564,92 
031. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no 
valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a 
uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros 
a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 
 
a) Z(1,02)�[ − 1\ 
b) ](18 ∙ √1,36V^ − 1_ 
c) ](18 ∙ √1,24VW − 1_ 
d) ](3 ∙ √1,24 − 1_ 
e) ](6 ∙ √1,24` − 1_ 
 
032. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado 
foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de 
inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de 
 
a) 12,00% 
b) 25,52% 
c) 16,52% 
d) 33,20% 
e) 13,20% 
 
033. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período 
em que a inflação foi de20%, equivale a uma rentabilidade real de: 
(A) 20% 
(B) 44% 
(C) 50% 
(D) 55% 
(E) 60% 
 
 
 
 
 
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034. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, 
que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito 
a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual 
correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – 
INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a 
título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de 
R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 
(trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período 
foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: 
a) 5,2%. 
b) 4,8%. 
c) 5,0%. 
d) 5,8%. 
e) 5,5%. 
035. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, a 
ser pago ao final de um ano, a taxa de juros real a ser cobrada é igual a 10%, 
enquanto a taxa de inflação, para esse mesmo período, é de 5%. A taxa 
aparente anual para esse financiamento será de: 
(A) 50%. 
(B) 20%. 
(C) 15,5%. 
(D) 10%. 
(E) 5%. 
 
036. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 
20%. Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros 
aparente é: 
(A) 12%. 
(B) 22%. 
(C) 28%. 
(D) 30%. 
(E) 32%. 
 
037. (SERC/MS 2006/FGV) De quanto diminui o seu salário real, se o seu 
salário nominal aumenta de 10% e há uma inflação de 40%? 
(A) 12% 
(B) 15% 
(C) 18% 
(D) 21% 
(E) 30% 
 
038. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de 
R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa 
real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente 
foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo 
investidor foi de 
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a) R$ 27.060,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 26.460,00 
d) R$ 26.400,00 
e) R$ 25.800,00 
039. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de 
um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 
98.280,00, esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. 
Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 
5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período 
desta aplicação foi de 
a) 11,25% 
b) 12,5% 
c) 12,85% 
d) 13,65% 
e) 13,85% 
 
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Gabaritos 
 
01. A 
02. A 
03. C 
04. B 
05. E 
06. D 
07. E 
08. E 
09. D 
10. E 
11. C 
12. D 
13. C 
14. C 
15. E 
16. E 
17. E 
18. E 
19. E 
20. B 
21. D 
22. B 
23. A 
24. Anulada 
25. C 
26. D 
27. B 
28. B 
29. C 
30. D 
31. A 
32. A 
33. C 
34. C 
35. C 
36. E 
37. D 
38. A 
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39. B