Módulo 03 - Aritmética Binária

Prévia do material em texto

1
1
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 1
PCS 2215
Sistemas Digitais I
Módulo 03a – Aritmética Binária
Andrade, Marco Túlio Carvalho de
Margi, Cíntia Borges
Professores Responsáveis
versão: 2.0 (agosto de 2.013)
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 2
Aritmética Binária
1. Soma e Subtração com Números 
Decimais e Binários
2. Aritmética Modular
3. Operações em Decimal
4. Representação do Sinal no Sistema 
Binário
5. Notação e Operações em Sinal-Módulo 
(ou Sinal-Magnitude)
Conteúdo
2
2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 3
6. Sistemas Numéricos de Complemento da 
Base
7. Sistema de Representação de Números 
Binários em Complemento de 2
8. Sistema Numérico de Complemento da 
Base Diminuída ou Complemento da Base 
Menos Um
9. Sistema de Representação de Números 
Binários em Complemento de 1
Conteúdo
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 4
Aritmética Binária
10. Operações de Soma e Subtração em 
Complemento de 2
11. Operações de Soma e subtração em 
Complemento de 1
Bibliografia deste Módulo
Apêndice 
Conteúdo
3
3
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 5
Operações com números decimais (no papel):
 O resultado da operação (ex.: soma) pode ser 
decidido calculando-se os resultados parciais 
em fatias individuais: 
1o operando
2o operando
Resultado
da soma
SA
SB
S
Sinais Dígitos de magnitude (valor)
...
...
...
Ai+2
Bi+2
i+2
Ai+1
Bi+1
i+1
Ai
Bi
i
A0
B0
0
A1
B1
1
VA: Vai-um
VE: Vem-um
...
...
...
...
...
...
no ilimitado de fatias
1. Soma e Subtração com Números Decimais e Binários
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 6
Operações com números binários (no compu-
tador): O resultado da operação (ex.: soma) 
também pode ser decidido calculando-se os 
resultados parciais em fatias individuais, 
porém .........: 
1o operando
2o operando
Resultado
da soma
SA
SB
S
Dígitos bináriossinais  magnitude
...
...
...
Ai-1
Bi-1
i-1
Ai+1
Bi+1
i+1
Ai
Bi
i
VA: Vai-um
VE: Vem-um
...
...
...
...
...
...
no limitado de fatias
1. Soma e Subtração com Números Decimais e Binários
4
4
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 7
Operações com números decimais (no papel):
 O resultado da operação (ex.: subtração) 
pode ser decidido calculando-se os resultados 
parciais em fatias individuais: 
1o operando
2o operando
Resultado
da subtração
SA
SB
S
Sinais Dígitos de magnitude (valor)
...
...
...
Ai+2
Bi+2
i+2
Ai+1
Bi+1
i+1
Ai
Bi
i
A0
B0
0
A1
B1
1
EA: Empresta-um
...
...
...
...
...
...
no ilimitado de fatias EA: Empresta-um
1. Soma e Subtração com Números Decimais e Binários
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 8
Operações com números binários (no compu-
tador): O resultado da operação (ex.: subtra-
ção) também pode ser decidido calculando-se 
os resultados parciais em fatias individuais, 
porém .........: 
1o operando
2o operando
Resultado
da subtração
SA
SB
S
Dígitos bináriossinais  magnitude
...
...
...
Ai-1
Bi-1
i-1
Ai+1
Bi+1
i+1
Ai
Bi
i
...
...
...
...
...
...
no limitado de fatias EA: Empresta-um EA: Empresta-um
1. Soma e Subtração com Números Decimais e Binários
5
5
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 9
 Tabela 1.1.: Resultado de operações de soma
(adição) e subtração (diferença) de uma fatia
de números representados em binário:
– Vem-um, (Carry-in; cIN); Vai-um (Carry-
out; cOUT);
– Empresta-um (Borrow-in; bIN) – A ser
subtraído desta fatia, que é mais significati-
va, e para anterior que precisou emprestar;
– Empresta-um (Borrow-out; bOUT) – A ser
subtraído da fatia seguinte, que é mais
significativa que esta, e da qual esta
precisou emprestar.
1. Soma e Subtração com Números Decimais e Binários
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 10
1. Soma e Subtração com Números Decimais e Binários
cIN 
[bIN] 
x y  
(soma) 
c 
OUT 
d 
(diferença) 
b 
OUT 
0 0 0 0 0 0 0 
0 0 1 1 0 1 1 
0 1 0 1 0 1 0 
0 1 1 0 1 0 0 
1 0 0 1 0 1 1 
1 0 1 0 1 0 1 
1 1 0 0 1 0 0 
1 1 1 1 1 1 1 
 
6
6
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 11
 Desafio:
Desenvolver técnicas de realização de 
operações, que fundamentalmente 
estarão baseadas na escolha do tipo de 
representação que se utilizará para os 
números binários, a fim de resolver os 
empecilhos e problemas das operações 
de soma e subtração em binário.
1. Soma e Subtração com Números Decimais e Binários
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 12
2.1. Aritmética do Relógio (ou Circular)
 Alguns operadores da Aritmética 
convencional podem ser imaginados como 
sendo equivalentes a uma série de 
movimentos ao longo da linha dos números.
2. Aritmética Modular
 
1 2 9 3 4 5 6 8 7 
7
7
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 13
2.1. Aritmética do Relógio (ou Circular)
Equação elíptica: x3 – x2 = y2 + y
Resolução: é quase impossível resolver 
diretamente esta equação.
Solução trivial: x = 0 e y = 0  03 – 02 = 02 + 0
Solução ainda trivial mas um pouco mais 
interessante: x = 1 e y = 0  13 – 12 = 02 + 0
2. Aritmética Modular
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 14
2.1. Aritmética do Relógio (ou Circular)
Podem existir outras soluções para a Equação 
Elíptica mas, com uma quantidade infinita de 
números a investigar .
Aritmética do Relógio envolve cortar a 
linha dos números e curvá-la sobre si 
mesma, criando-se um anel de números
em vez de uma linha de números. 
2. Aritmética Modular
8
8
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 15
Tabela: Aritmética Convencional e do Relógio.
2. Aritmética Modular
Aritmética Convencional Aritmética do Relógio 
Dígitos = conjunto dos 
números Naturais = N 
 Dígitos = {0,1,2,3,4} 
4 + 0 = 4 4 + 0 = 4 
4 + 1 = 5 4 + 1 = 0 
4 + 2 = 6 4 + 2 = 1 
4 + 3 = 7 4 + 3 = 2 
4 + 4 = 8 4 + 4 = 3 
4 + 5 = 9 (4 + 4) + 1 = 4 
4 + 6 = 10 (4 + 4) + 2 = 0 
4 + 7 = 11 (4 + 4) + 3 = 1 
4 + 8 = 12 (4 + 4) + 4 = 2 
4 + ... = ... ((4 + 4) + 4) + ... = ... 
 
 
0 
4 1 
3 2 
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 16
2. Aritmética Modular 
 
 
 
Subtrair: Movimento do 
ponteiro no sentido anti-
horário 
 
 
 
Subtrair 4 intervalos a 
partir de 3 horas da tarde ...Somar: Movimento do 
ponteiro no sentido horário. 
 
... é equivalente a somar 8 
intervalos a partir de 3 horas 
da tarde. 
 
• Aritmética do Relógio pode permitir:
• Transformar uma subtração em uma 
adição, por exemplo;
• Alternativas de representação de 
números.
9
9
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 17
 Operações de subtração em decimal [1/3]:
0 13 18 . . . 0 13 18 0 13 18 0 13
499 1 4 918 . . . 1 4 911 1 4 910 1 418 9 
– 499 – 4 9 9 . . . – 4 9 9 – 4 9 9 – 4 9 9
000 9 9 9 . . . 9 9 2 9 9 1 9 9 0
(0) (–1) . . . (–8) (–9) (–10)
103 =1.000= 999 – (–1) = 992 – (–8) = 991 – (–9) = 990 – (–10)
Obs: Ao realizar a operação de subtrair 1.000 do 
resultado obtém-se o resultado correto.
3. Operações em Decimal
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 18
 Operações de subtração em decimal [2/3]:
0 0 9 18 . . . 0 9 18 0 9 0 9 17
1 1099 1 10 918 . . . 1 10 910 1 10189 1 10 818 
– 499 – 4 9 9 . . . – 4 9 9 – 4 9 9 – 4 9 9
600 5 9 9 . . . 5 9 1 5 9 0 5 8 9
(–400) (–401) . . . (–409) (–410) (–411)
103 =1.000= 599 – (–401) = 591 – (–409) = 590 – (–410) = 589 
– (–411)
Obs: Ao realizar a operação de subtrair 1.000 do 
resultado obtém-se o resultado correto.
3. Operações em Decimal
10
10
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 19
 Operações de subtração em decimal [3/3]:
0 9 0 9 9 . . . 0 9 9 0 9 9 0
1 10109 1 101018 . . . 1 101011 1 101010 1 10 0 0 
– 4 99 – 4 9 9 . . . – 4 9 9 – 4 9 9 – 5 0 0
510 5 0 9 . . . 5 0 2 5 0 1 5 0 0
(–490) (–491) . . . (–498) (–499) (–500)
103 = 1.000 = 509 – (–491) = 508 – (–492) = 502 – (–498) = 501 
– (–499) = 500 – (–500)
Obs: Ao realizar a operação de subtrair 1.000 do 
resultado obtém-se o resultado correto.
3. Operações em Decimal
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 20
O que está havendo com as operações 
anteriores?
3. Operações em Decimal
A operação 
que parece 
estar sendo 
feita
A operação 
que está 
sendo feita 
de fato
Faixa de 
valor Inteiro
Faixa de 
Represen-
tação 
Simbólica
m
– p .
q
103 + m
– p .
103 + q
De +499 até 0 De 499 até 0
De –1 até 
–500
De 999 até 
500
Tabela 3.1.
11
11
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 21
3. Operações em Decimal
Base decimal e 3 dígitos 
 Faixa de Números que 
se podem representar 
com 3 dígitos 
 
 +999 
 +998 
 .... 
 +501 
 +500 Valores inteiros Representação Simbólica 
 +499 +499 499 
 +498 +498 498 
 .... .... .... 
 +002 +002 002 
 +001 +001 001 
 000 000 000 
 –001 –001 999 
 –002 –002 998 
 .... .... .... 
 –498 –498 502 
 –499 –499 501 
 –500 –500 500 
 –501 
 .... 
 –998 
 –999 
 
Tabela 3.2.
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 22
 Pergunta: O que ocorre quando, adotada a
representação anterior, quer-se operar com o
valor numérico inteiro de “+877”?
3. Operações em Decimal
 Resultado pode ser obtido: 
 
0 9 9 
Complementando -se todos os dígitos 
de b–1 e somando -se 1 ao resultado. 
 
 1 101010 9 6 
 – 1 2 3 –
 3 + 1 
 8 7 7 6 7 
 Resultado é o 
Complemento b(123) 
 
 
 
Tabela 3.3.
12
12
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 23
 Resposta: Assumir que 877 representa o
valor –123 é possível se houver uma divisão
adequada no espaço de representação.
 Esta divisão foi apresentada na Tabela 3.2. –
Uma das possíveis associações de símbolos
utilizando-se três dígitos de representação.
 Tabela 3.4.: Obtida reescrevendo-se a Tabela
3.2. para este exemplo específico – Verifica-
se que o valor numérico inteiro +877 não
dispõe de uma representação simbólica
associada.
3. Operações em Decimal
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 24
3. Operações em Decimal
Tabela 3.4.
Base decimal e 3 dígitos 
 Faixa de Números que 
se podem representar 
com 3 dígitos 
 
 +999 
 .... 
 +877 
 .... 
 +500 Valores inteiros Representação Simbólica 
 +499 +499 499 
 .... .... .... 
 +001 +001 001 
 000 000 000 
 –001 –001 999 
 .... .... .... 
 –123 –123 877 
 .... .... .... 
 –500 –500 500 
 –501 
 .... 
 –999 
 
13
13
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 25
Exercício 3.1.
Escreva os passos de um algoritmo para 
efetuar a soma de dois números inteiros, 
dado que a únicas funções disponíveis são: 
SOMA (a,b) : soma dois inteiros não 
negativos.
MODIF (a,b) : devolve |a - b | (módulo da 
diferença).
INV (a) : Inverte o sinal de a.
3. Operações em Decimal
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 26
 Quando se efetúa uma operação de soma 
mentalmente (ex: -5 + 3 = -2) realiza-se uma 
série de comparações e tomam-se decisões.
 Ao reproduzir esta forma de aritmética no 
computador, em teoria estas comparações e 
decisões teriam que ser reproduzidas, o que 
poderia tornar o sistema computacional lento.
 Deve-se buscar então um sistema de 
representação dos operandos e realização das 
operações que não apresente esta limitação!
3. Operações em Decimal
14
14
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 27
 Diagrama de blocos
Operando A Operando B
Comparador
de Magnitude
Somador
Inversão
de Sinal
Operando A Operando B
3. Operações em Decimal
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 28
O Modelo de operação aritmética deve 
tratar:
Algoritmos complicados e lentos para 
realização da operação;
 Se possível reduzir operações a um único 
tipo implementado em hardware –
Exemplo: Realizando uma subtração por 
meio de adição;
3. Operações em Decimal
15
15
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 29
 Limitações de faixa de representação e 
de fatias disponíveis para isto;
Os problemas com a representação dos 
sinais e sua operação;
A questão do Vai-um, Vem-um, 
Empresta-um (Borrow-in), Empresta-um 
(Borrow-out).
3. Operações em Decimal
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 30
4. Representação do Sinal
Como representar o sinal (+ ou -) de um 
número a ser armazenado e processado 
em binário pelo computador? 
A solução mais adotada é utilizar o bit 
mais à esquerda para representar o sinal, 
sendo que:
0 indica positivo e 1 indica negativo.
4. Representação do Sinal no Sistema Binário
16
16
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 31
5.1. Notação Sinal-Magnitude(Módulo)Exemplo – Supondo-se palavras de 8 bits:
+ 27 = 0 0 0 1 1 0 1 1
- 27 = 1 0 0 1 1 0 1 1
Problemas:
– Há 2 representações para o número zero;
– Algoritmo de soma necessita de vários 
passos.
MóduloSinal
5. Notação e Operações em Sinal-Magnitude
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 32
5.1. Adição em Sinal-Magnitude
+ 15 = 0 0 0 0 1 1 1 1
+ 01 = 0 0 0 0 0 0 0 1
+ 16 = 0 0 0 1 0 0 0 0
Lembrar que o algoritmo necessita realizar 
várias operações intermediárias!
5. Notação e Operações em Sinal-Magnitude
17
17
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 33
 Faixa de representação de Complemento 
da Base:
 Uma representação para o zero – Uma 
representação a mais para os números 
negativos, que é o número – ([rn–1/2]CHÃO).
 Negação:
– Sinal-Magnitude – Muda-se o sinal;
– Complemento da Base – Calcula-se o 
complemento de um número de acordo com 
uma definição.
6. Sistemas Numéricos de Complemento da Base


































 1
2
nraté
2
nrDe
TETO
CHÃO
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 34
 Núm. D, notação posicional (n dígitos di):
D = dn-1dn-2...d1d0
 Complemento da Base r (sigla Inglês radix), do 
número D – Obtido subtraindo-se este número 
de rn  rn – D.
– Se 1 ≤ D ≤ rn-1,  1 ≤ rn – D ≤ rn-1;
– Se D = 0  rn – D = rn (exclui-se dígito 
extra).
 Decimal–Complem. de 10; Binário–Complemento de 2.
 Ex: Decimal – Base r = 10; n = 3 (3 dígitos); D = 345:
rn – D = 103 – 345 = ; 1000 – 345 = 655;
O Complemento da Base 10 de 345 é 655!
6. Sistemas Numéricos de Complemento da Base
18
18
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 35
 É necessária uma operação de subtração para 
calcular os Complementos da Base de um 
número D? Resposta: Não.
D = dn-1dn-2...d1d0; 0 ≤ d ≤ r-1; r
n = (rn – 1) + 1
(rn – D) = [(rn – 1) – D] + 1
 Número (rn – 1) é da forma <mm...mm>, onde 
m = r – 1 e existem n m’s.
 Exemplo: r = 10; n = 3. rn = 1000 = 999 + 1 = 
(rn – 1) + 1. Para D = 345; rn – D = 
= [(rn – 1) – D] + 1 = [(999) – 345] + 1 =
= [654] + 1 = 655. 
6. Sistemas Numéricos de Complemento da Base
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 36
 Definição: Complemento de um dígito 
individual di: Complementodi = r – 1 – di
 [(rn – 1) – D] obtida com esta complementação 
dígito a dígito e somando-se 1 ao resultado.
 Exemplo: r = 10; n = 4. rn = 10.000 = 9.999 + 1 
= (rn – 1) + 1.
 Regra: Complemento da Base do número D é 
obtido complementando-se os dígitos di de D e 
somando-se 1 ao resultado:
[(rn – 1) – D] + 1 = (rn – D) = ComplementoBase
6. Sistemas Numéricos de Complemento da Base
19
19
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 37
6. Sistemas Numéricos de Complemento da Base
 
INT 
Comp10 
2 Díg. 
Dec. 
 
INT 
Comp10 
2 Díg. 
Dec. 
 
INT 
Comp10 
2 Díg. 
Dec. 
 
INT 
Comp10 
2 Díg. 
Dec. 
 
INT 
Comp10 
2 Díg. 
Dec. 
+49 49 +29 29 +9 09 –11 89 –31 69 
+48 48 +28 28 +8 08 –12 88 –32 68 
+47 47 +27 27 +7 07 –13 87 –33 67 
+46 46 +26 26 +6 06 –14 86 –34 66 
+45 45 +25 25 +5 05 –15 85 –35 65 
+44 44 +24 24 +4 04 –16 84 –36 64 
+43 43 +23 23 +3 03 –17 83 –37 63 
+42 42 +22 22 +2 02 –18 82 –38 62 
+41 41 +21 21 +1 01 –19 81 –39 61 
+40 40 +20 20 0 00 –20 80 –40 60 
+39 39 +19 19 –1 99 –21 79 –41 59 
+38 38 +18 18 –2 98 –22 78 –42 58 
+37 37 +17 17 –3 97 –23 77 –43 57 
+36 36 +16 16 –4 96 –24 76 –44 56 
+35 35 +15 15 –5 95 –25 75 –45 55 
+34 34 +14 14 –6 94 –26 74 –46 54 
+33 33 +13 13 –7 93 –27 73 –47 53 
+32 32 +12 12 –8 92 –28 72 –48 52 
+31 31 +11 11 –9 91 –29 71 –49 51 
+30 30 +10 10 –10 90 –30 70 –50 50 
 Tab
el
a
 6
.1
.
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 38
6. Sistemas Numéricos de Complemento da Base
Tabela 6.2.
Complemento 
Dígito Binário Octal Decimal Hexadecimal 
0 1 7 9 F 
1 0 6 8 E 
2 – 5 7 D 
3 – 4 6 C 
4 – 3 5 B 
5 – 2 4 A 
6 – 1 3 9 
7 – 0 2 8 
8 – – 1 7 
9 – – 0 6 
A – – – 5 
B – – – 4 
C – – – 3 
D – – – 2 
E – – – 1 
F – – – 0 
 
20
20
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 39
7.1. Notação Complemento de 2
Números positivos: idem notação sinal-módulo;
Para inverter o sinal: inverte-se todos os bits 
(equivale a complementar de 1 cada um dos 
bits) e soma-se 1 ao resultado.
Exemplo: + 27 = 0 0 0 1 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 0
+ 1
- 27 = 1 1 1 0 0 1 0 1
x (-1)
Bits são
complementados
Resultado é 
incrementado
7. Representaç. de Nos. Binários: Complemento de 2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 40
T
a
b
el
a
 7
.1
.
7. Representaç. de Nos. Binários: Complemento de 2
Valor Inteiro Complemento10 de
1 Dígito Decimal
Complemento2 de
3 Dígitos Binários
4 4 –
3 3 011
2 2 010
1 1 001
0 0 000
–1 9 111
–2 8 110
–3 7 101
-4 6 100
21
21
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 41
Complemento da Base Diminuída ou 
Complemento da Base Menos Um – O 
Complemento de um número D de n 
dígitos
D = dn-1dn-2...d1d0
é obtido subtraindo-se D de (rn – 1):
(rn – 1) – D
Regra Prática: Complementar todos os 
dígitos di com relação a (r – 1).
8. Sistema Numérico de Complemento da Base 
Diminuída (Base Menos Um)
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 42
 Faixa de representação de Complemento 
da Base Diminuída (Base Menos Um): 
Desvantagem do sistema numérico de 
Complemento da Base Menos Um:
– Apresenta duas representações para o 
Zero.
8. Sistema Numérico de Complemento da Base 
Diminuída (Base Menos Um)


































 1
2
nraté1
2
nrDe
TETO
CHÃO
22
22
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 43
O sistema numérico Binário de Comple-
mento da Base Diminuída ou Comple-
mento da Base Menos Um, quando apli-
cado aos Números Binários, é denomina-
do Complemento de 1.
 Faixa de representação - Complemento de 1:
– Complemento de 1: Duas representações 
para o zero.
9. Representaç. de Nos. Binários: Complemento de 1


































 1
2
nraté1
2
nrDe
TETO
CHÃO
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 44
9.1. Notação Complemento de 1
Números positivos: idem notação sinal-módulo;
Para inverter o sinal: invertem-se todos os bits 
(o que equivale a complementar de 1 cada 
um dos bits).
Exemplo:
+ 27 = 0 0 0 1 1 0 1 1
- 27 = 1 1 1 0 0 1 0 0
+ 27 = 0 0 0 1 10 1 1
X (-1)
Bits são
complementados
X (-1)
Bits são
complementados
9. Representaç. de Nos. Binários: Complemento de 1
23
23
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 45
9. Representaç. de Nos. Binários: Complemento de 1
S-M Cp. 1 Cp. 2 S-M Cp. 1 Cp. 2
0000 0 0 0 1000 0 - 7 - 8
0001 + 1 + 1 + 1 1001 - 1 - 6 - 7
0010 + 2 + 2 + 2 1010 - 2 - 5 - 6
0011 + 3 + 3 + 3 1011 - 3 - 4 - 5
0100 + 4 + 4 + 4 1100 - 4 - 3 - 4
0101 + 5 + 5 + 5 1101 - 5 - 2 - 3
0110 + 6 + 6 + 6 1110 - 6 - 1 - 2
0111 + 7 + 7 + 7 1111 - 7 0 - 1
Tabela 9.1. – Exemplo para 4 bits
9.2. Comparação entre as representações
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 46
A Tabela de Equivalência de 
Representação Decimal e Representação 
Binária de Números de 4 Bits revela 
porque a representação de números em 
Complemento de 2 é a preferida para 
operações aritméticas 
Ver Tabela 10.1.
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
24
24
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 47
 Partir de (1000)2 = (-8)10 – Contando-se 
no sentido dos números positivos, cada 
número sucessivo em Complemento de 2 
é obtido somando-se 1 ao anterior.
Vale o mesmo para representação em 
Excesso-2m-1, mas não para 
Complemento de 1 e Sinal-Magnitude.
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 48
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
Tabela 10.1.
Decimal Complemento de 2 Complemento de 1 Sinal-Magnitude Excesso-2m-1
–8 1000 - - 0000
–7 1001 1000 1111 0001
–6 1010 1001 1110 0010
–5 1011 1010 1101 0011
–4 1100 1011 1100 0100
–3 1101 1100 1011 0101
–2 1110 1101 1010 0110
–1 1111 1110 1001 0111
0 0000 1111 ou 0000 1000 ou 0000 1000
+1 0001 0001 0001 1001
+2 0010 0010 0010 1010
+3 0011 0011 0011 1011
+4 0100 0100 0100 1100
+5 0101 0101 0101 1101
+6 0110 0110 0110 1110
+7 0111 0111 0111 1111
25
25
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 49
 Exemplos: +3 0011 -2 1110
+ +4 + 0100 + -6 + 1010
+7 0111 -8 1 1000
+6 0110 +4 0100
+ -3 + 1101 + -7 +1001
+3 1 0011 -3 1101
 Como o sistema de representação em 
Complemento2 usa o método de contagem –
Ver contador de 4 bits da Figura 10.1.. 
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 50
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
Figura 10.1.
0000
+0
+1
+3
+4
+5
+6
+7–8–7
–6
–1
–2
–5
–3
–4
1000
0001
0010
0011
0100
0111
0110
0101
1001
1010
1011
1100
1111
1110
1101
subtração de
números
positivos
adição de
números
positivos
 Complemento2 fazendo uso do método de 
contagem.
26
26
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 51
 Transbordo (ou Estouro ou Overflow) –
Ocorre se uma operação produz um resultado 
que extrapola o espaço de representação 
definido para o sistema numérico.
 Na representação de contagem modular (ou 
representação circular) da Figura 11.1. o 
transbordo ocorre durante a adição de dois 
números positivos quando a contagem passa 
pelo número “+7”. 
 Uma adição de dois números de sinais 
diferentes nunca produz transbordo.
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 52
Adição de dois números de sinais iguais 
pode produzir Transbordo. Exemplos:
–3 1101 +5 0101
+ –6 + 1010 + +6 + 0110
–9 1 0111 = +7 +11 1011= –5
–8 1000 +7 0111
+ –8 + 1000 + +7 +0111
–16 1 0000 = +0 +14 1110 = –2
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
27
27
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 53
Duas regras (equivalentes) – Determinar 
se há Transbordo em uma operação:
1-) Sinais dos operandos são iguais entre 
si e diferentes do sinal da soma;
2-) Vem-um (cIN) que chega na posição de 
sinal é  do Vai-um (cOUT) que sai da 
posição do sinal.
 Dois casos em que cIN  cOUT – Dois únicos 
casos em que x = y e o bit da soma é  de x e 
y [Tabela 10.2.].
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 54
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
Tabela 10.2.
c IN [b IN] x y  (s o m a) c OUT d (dif.) b OUT
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0
Regra 1: Sinalx = Sinaly  Sinal
0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
Regra 2: Na posição do Sinal c IN  c OUT
1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1
28
28
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 55
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
Tabela 10.3. Transbordo: Adição – Nos. de Sinais Iguais – Complemento de 2
Sinais Iguais Sinais Iguais
Decimal Complemento de 2 A e B Negativos Decimal
Complemento de 2
A e B Positivos
(–8)+( –8) 1000=1000 = 
U=1
0000
SA = SB  S; (K=0)
 (U=1); T = V
0 0000
–8 1000 Idem: T = V 0 + 0 0000+0000= 
U=0
0000=0
SA = SB = S; (K=0)
= (U=0); T = F
–7 1001 Idem: T = V +1 0001 Idem: T = F
–6 1010 Idem: T = V +2 0010 Idem: T = F
–5 1011 Idem: T = V +3 0011 Idem: T = F
(–4)+( –5) 1100+1011 = 
U=1
0111
SA = SB  S; (K=0)
 (U=1); T = V
(+3) + (+4) 0011 + 0100 =
U=0
0111 = +7
SA = SB = S; (K=0)
= (U=0); T = F
(–4)+( –4) 1100+1100 = 
U=1
1000
SA = SB = S;
(K=1)=(U=1);
T = F
(+4) + (+4) 0100 + 0100 =
U=0
1000
SA = SB  S; (K=1)
 (U=0); T = V
–4 1100 Idem: T = F +4 0100 Idem: T = V
–3 1101 Idem: T = F +5 0101 Idem: T = V
–2 1110 Idem: T = F +6 0110 Idem: T = V
(–1) + (–1) 1111+1111 = 
U=1
1110
SA = SB = S; (K=1)
= (U=1); T = F
+7 0111 Idem: T = V
–1 1111 Idem: T = F (+7) + (+7) 0111 + 0111 =
U=0
1110
SA = SB  S; (K=1)
 (U=0); T = V
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 56
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
Tabela 10.4. Transbordo: Adição – Nos. de Sinais Diferentes – Complemento de 2
Sinais Diferentes Sinais Diferentes
Decimal Complemento de 2
A Negativo e B Positivo
Decimal Complemento de 2
A Positivo e B Negativo
(–8)+(+0)1000 = 0000 = 
U=0
1000
SA SB;
(K=0)(U=0);
T = F
0 0000
–8 1000 Idem: T = F (+0)+(–8) 0000 + 1000 = 
U=0
1000 = –8
SA SB;
(K=0)=(U=0);
T = F
–7 1001 Idem: T = F +1 0001 Idem: T = F
–6 1010 Idem: T = F +2 0010 Idem: T = F
–5 1011 Idem: T = F +3 0011 Idem: T = F
–4 1100 Idem: T = F +4 0100 Idem: T = F
–3 1101 Idem: T = F +5 0101 Idem: T = F
–2 1110 Idem: T = F +6 0110 Idem: T = F
(–1) + (+7)1111 + 0111 = 
U=1
0110
SA SB;
(K=1)=(U=1);
T = F
+7 0111 Idem: T = F
–1 1111 (+7) + (–1) 0111 + 1111 =
U=1
1110 = +6
SA SB;
(K=1)(U=1);
T = F
29
29
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 57
 Subtração em Complemento de 2 - Nos. 
podem ser subtraídos como se fossem 
números ordinários sem sinal.
 Maioria dos circuitos implementados para a 
realização de subtração em Complemento de 
2 não realiza a subtração diretamente. Em vez 
disto o circuito complementa (faz a negação)do Subtraendo somando-lhe 1 (calculando seu 
complemento de 2), e então este é somado ao 
Minuendo usando-se as regras normais de 
adição.
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 58
 Exemplos: cIN = 1 cIN = 1 
+4 0100 0100 +3 0011 0011
– +3 – 0011 + 1100 – +4 – 0100 + 1011
+1 1 0001 –1 1111
cIN = 1 cIN = 1 
+4 0100 0100 +3 0011 0011
– –3 – 1101 + 0010 – –4 – 1100 + 0011
+7 0111 +7 0111
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
30
30
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 59
10. Aritmética em Complemento de 2 -
Outros exemplos:
+ 27 = 0 0 0 1 1 0 1 1 - 27 = 1 1 1 0 0 1 0 1
- 19 = 1 1 1 0 1 1 0 1 + 19 = 0 0 0 1 0 0 1 1
= 0 0 0 0 1 0 0 0 = 1 1 1 1 1 0 0 0
= + 8 = - 8
+
11111111 111
+
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 60
 Transbordo na Subtração em Complemen-
to de 2 - Utilizam-se as mesmas regras da 
adição, adaptando-se os nomes dos sinais:
1-) Sinais dos operandos resultam iguais 
entre si (depois de sua complementação) 
e diferentes do sinal da diferençao;
2-) Empresta-um (bIN) a ser subtraído da 
posição de sinal é  do Empresta-um
(bOUT) que deve ser somado à posição 
do sinal.
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
31
31
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 61
Aritmética em Complemento de 2 - Vantagens:
- Permite a execução de soma em um único 
passo, sem necessidade de se testar os 
sinais;
- A notação Complemento de 2 possui 
apenas uma representação para o zero 
(00..00);
- Não recicla o vai-um – Se ocorrer vai-um 
do sinal este NÃO deve ser adicionado ao 
resultado (ver Complemento de 1).
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 62
 Exercício 10.8.1. Faça as operações com 6 
bits (inclui o bit de sinal) em Complemento 
de 2. Indique a ocorrência de Transbordo:
a) + 19 + (–12) b) – 19 + (–12) 
b) + 19 + (+12) d) – 19 + (+12)
e) + 21 + (–11) f) – 21 + (–11)
g) + 21 + (+11) h) – 21 + (+11)
 Exercício 10.8.2. Idem anterior para a 
notação Complemento de 10 (base 10) usando 
3 dígitos.
10. Soma e Subtração em Complemento de 2
32
32
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 63
11. Aritmética em Complemento de 1
Vantagem: Permite a execução de soma em um 
único passo, sem necessidade de se testar os sinais.
Exemplos:
+ 27 = 0 0 0 1 1 0 1 1 - 27 = 1 1 1 0 0 1 0 0
- 19 = 1 1 1 0 1 1 0 0 +19 = 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 = - 8
+1
0 0 0 0 1 0 0 0 = + 8
+ +
11111
Reciclagem do vai-um 
11. Soma e Subtração em Complemento de 1
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 64
11. Aritmética em Complemento de 1
 Se ocorrer vai-um do sinal este deve ser 
adicionado ao resultado;
 Se os sinais das parcelas forem iguais 
entre si e diferentes do sinal do 
resultado obtido, indica ocorrência de 
Overflow (Transbordo).
11. Soma e Subtração em Complemento de 1
33
33
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 65
11. Aritmética em Complemento de 1
Exemplo – Com 4 dígitos:
1 0 1 0 + (-5) 
1 0 1 1 (-4)
0 1 0 1 
 Inconveniente - A notação complemen-
to de 1 também possui duas representa-
ções para o número zero (000..00 e 
111..11)
11
Resultado inválido
(transbordo)
Resultado positivo Parcelas negativas
11. Soma e Subtração em Complemento de 1
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 66
 Exercício 11.2.1. Faça as operações com 6 
bits (inclui o bit de sinal) em Complemento 
de 1. Indique a ocorrência de Transbordo:
a) + 19 + (–12) b) – 19 + (–12) 
b) + 19 + (+12) d) – 19 + (+12)
e) + 21 + (–11) f) – 21 + (–11)
g) + 21 + (+11) h) – 21 + (+11)
 Exercício 11.2.2. Idem anterior para a 
notação Complemento de 9 (base 10) usando 
3 dígitos.
11. Soma e Subtração em Complemento de 1
34
34
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 67
Lição de Casa
 Leitura Obrigatória:
– Capítulo 2 do Livro Texto.
 Exercícios Obrigatórios:
– Capítulo 2 do Livro Texto;
– Lista de Exercícios do Módulo 3.
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 68
Bibliografia Deste Módulo
[Andrade&Costa&Sichman&Tori-2.004] Andrade, 
Marco Túlio Carvalho de; Costa, Anna Helena Reali 
Costa; Sichman, Jaime; Tori, Romero; “Notas de Aula 
de PCS2214”; PCS/EPUSP, 2.004. 
[Knuth-1.998] Knuth, Donald E.; “The Art of 
Computer Programming – Seminumerical 
Algorithms”; Vol.2, Third Edition, Addison Wesley, 
1.998. 
[Fregni-1.996] Fregni, Edson; Ranzini, Edith. Teoria da 
Comutação: Introdução aos Circuitos Digitais (Partes 
1 e 2). Notas de Aula de PCS214, PCS/EPUSP, 
Agosto de 1.996. 
35
35
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 69
Bibliografia Deste Módulo
[Mowle-1.977] Mowle, Frederic J. A Systematic 
Approach to Digital Logic Design. Addison-Wesley 
Publishing Company, July 1.977;
[Ranzini-1.985] Ranzini, Edith. Notas de Aula de PEL 
213. Apostila, EPUSP, 1.985;
[Singh-1.997] Singh, Simon; “O Último Teorema de 
Fermat”; Editora Record, 1.997.
[Wakerly-2.000] Wakerly, John F.; “Digital Design –
Principles & Practices”; Third Edition, Prentice-Hall, 
2.000. 
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 70


































 1
2
nraté
2
nrDe
TETO
CHÃO
 Faixa de representação de Complemento 
da Base:


































 1
2
nraté1
2
nrDe
TETO
CHÃO
 Faixa de representação de Complemento 
da Base Diminuída (Base Menos Um): 
Apêndice
36
36
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária> PCS 2215 – Sistemas Digitais I 71


































 1
2
nraté
2
nrDe
TETO
CHÃO
 Faixa de representação de Sinal e Amplitude:


































 1
2
nraté1
2
nrDe
TETO
CHÃO
 Faixa de representação de Complemento 
da Base Diminuída (Base Menos Um): 
Apêndice - Sumarização
 Faixa de representação de Complemento da Base:
















 1111 nraténrDe
© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 <Aritmética Binária>PCS 2215 – Sistemas Digitais I 72
 Obtenção do complemento em Sinal e Ampli-
tude:
 Obtenção do complemento em Complemen-
to da Base Diminuída (Base Menos Um): 
Apêndice - Sumarização
 Obtenção do complemento em Complemen-
to da Base:
Complementa-se o Dígito do Sinal
(rn – D) = [(rn – 1) – D] + 1
[(rn – 1) – D]