UNIDADE 04 - Aritmética digital operações e circuitos

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Aritmética digital: operações e circuitos 
APRESENTAÇÃO
Atualmente, existem milhares de sistemas digitais que realizam tarefas, controlam, calculam e 
inclusive tomam decisões pelas pessoas, facilitando o dia a dia.
Uma das tarefas desses sistemas é realizar cálculos de operações complexas, operações de 
simulação, processamento de algoritmos lógicos de alta complexidade e contas matemáticas. A 
pergunta é: como funcionam logicamente esses dispositivos? Como realizam as operações 
aritméticas básicas (adição, subtração, divisão e multiplicação) utilizando apenas números 
binários (0 e 1)?
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer as operações aritméticas binárias (adição, 
subtração, multiplicação e divisão), considerando seu sinal e realizando a forma de 
complemento de 2 quando necessário, além de outros sistemas de bases numéricas, como os de 
base octal e hexadecimal. Por fim, vai conhecer os circuitos eletrônicos que realizam operações 
aritméticas binárias, exemplos de implementação de circuitos integrados comerciais e resolução 
de exercícios utilizando base de números binários.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Descrever números binários positivos e negativos.•
Examinar as operações aritméticas em circuitos digitais. •
Interpretar circuitos aritméticos binários.•
DESAFIO
Você, que gosta de programação e aplicações de eletrônica utilizando plataformas de 
desenvolvimento, como o Arduino, sabe que automações ou aplicações podem facilitar a vida. 
Essas aplicações podem ser de baixa complexidade, como um contador digital, ou de grande 
complexidade, como prototipagem de sensoriamento e controle de processos industriais.
Muitos processos industriais precisam seguir uma trajetória de posição para seu bom 
funcionamento, como é o caso de braços robóticos ou a abertura e fechamento de uma válvula 
proporcional de comando elétrico.
Assim, imagine a seguinte situação:
Qual é o vetor que você deve colocar no compilador do Arduino, para que seja realizada essa 
onda? Resolva o Desafio e apresente os resultados em uma tabela com 21 pontos intermediários, 
com os valores apresentados em seus correspondentes binário, decimal, octal, hexadecimal e 
seus equivalentes em voltagem de saída.
INFOGRÁFICO
As operações aritméticas binárias podem ser realizadas de forma manual, sendo possível 
entender seu funcionamento. Porém, você sabe como são realizadas na prática, nos grandes 
processadores? Ou como vê-las funcionando em componentes eletrônicos discretos, de baixo 
custo, em um pequeno laboratório de eletrônica?
Existem componentes eletrônicos que são comercializados a baixo custo e realizam esse tipo de 
operações; um deles é o Circuito Integrado (CI) 74LS283, que é facilmente configurado para 
realizar adição e/ou subtração.
Neste Infográfico, você vai conhecer esse dispositivo e um exemplo de implementação de 
subtração de dois números de 4 bits, pois tal resolução está presente. No entanto, como em 
qualquer dispositivo eletrônico, é sempre recomendável verificar a folha de dados técnicos do 
fabricante.
CONTEÚDO DO LIVRO
Equipamentos eletrônicos que realizam cálculos matemáticos pesados, resolvem modelos de 
sistemas dinâmicos complexos e fazem todo tipo de operações matemáticas são comuns 
atualmente. Assim, muitas vezes, não é necessário realizar manualmente cálculos aritméticos 
básicos, pois celulares ou computadores podem fazê-los em segundos.
No entanto, como se realizam essas operações aritméticas elementares nesses dispositivos? Por 
serem sistemas digitais, como é feita a adição, subtração, divisão ou multiplicação em números 
binários?
No capítulo Aritmética digital: operações e circuitos, da obra Circuitos digitais, base teórica 
desta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar como são representadas as operações com 
números binários, sua representação com sinais e as operações básicas com esses números: 
adição, subtração, divisão e multiplicação. Também vai conhecer outros sistemas de numeração, 
como os de base octal (8) e hexadecimal (16). Por fim, vai compreender os circuitos eletrônicos 
que realizam operações aritméticas binárias e, mediante um exemplo, explicar seu 
funcionamento.
Boa leitura.
CIRCUITOS 
DIGITAIS
Anselmo Cukla 
Aritmética digital: 
operações e circuitos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever números binários positivos e negativos.
 � Examinar as operações aritméticas em circuitos digitais.
 � Interpretar circuitos aritméticos binários. 
Introdução
Atualmente, estamos rodeados por equipamentos eletrônicos e digitais 
que realizam diversas tarefas, sobretudo operações aritméticas, como 
celulares, tablets, alguns relógios, as próprias calculadoras e, sem dúvida, 
os computadores. Por incrível que pareça, todas as operações realizadas 
pelos computadores e pelas plataformas de processamento de dados 
complexos, no fundo, são traves de operações aritméticas e movimento 
de registros. E, embora não aprofundemos o assunto, é importante saber 
como são feitas as operações aritméticas básicas em forma digital.
Neste capítulo, você estudará, a partir da conversão de números biná-
rios, como são realizadas as operações aritméticas em sistemas digitais, 
analisando operações com números de comprimento finito, e como 
podemos interpretar os resultados. Antes, veremos como são tratados os 
números binários quando têm sinal negativo ou positivo, para fazermos 
as devidas operações aritméticas, além das bases octal e hexadecimal, 
outras formas de representação numérica. Finalmente, será abordado 
o caso em que se realizam essas operações com circuitos aritméticos 
binários, a partir de operações matemáticas básicas. 
1 Números binários positivos e negativos
Da mesma forma quando trabalhamos e realizamos cálculos com números 
na base decimal, ao operarmos com números binários, é bem provável que 
utilizemos tanto números positivos quanto negativos, os quais, necessariamente, 
devem ser diferenciados. De acordo com Tocci, Widner e Moss (2011), para 
facilitar o trabalho desses números adiciona-se aos números binários um bit 
de sinal. Por convenção, foi adaptado como o bit 0 ao sinal positivo, e como 
o bit 1 ao sinal negativo, como representado na Figura 1.
Figura 1. Representação de um número binário com sinal.
Fonte: Tocci, Widner e Moss (2011, p. 254).
Na Figura 1, podemos ver que o número binário 0110100 representa o 
número +52 em base decimal no registro A, e o bit 0 na posição A6 representa 
o sinal positivo. Do mesmo modo, o número –52 de base decimal do registro B 
pode ser representado em base binária, apenas devendo-se adicionar um sinal 1, 
como indicado na posição B6. O bit de sinal tem a finalidade de representar 
se o número é positivo ou negativo, normalmente armazenado em registros 
digitais. Esse tipo de representação também é conhecido como sinal-magnitude 
para números binários com sinal.
Aritmética digital: operações e circuitos2
De acordo com Tocci, Widner e Moss (2011) e Floyd (2007), para repre-
sentar números negativos na base binária, devemos observar outros métodos 
de representação de números binários, pois, com a forma sinal-magnitude, 
há maior dificuldade na hora de realizar operações aritméticas. Assim, outra 
forma de representação de números binários é a de complemento de 1, em 
que, em determinado número na base binária, os 1s se substituem por 0s e os 
0s por 1s, tal como apresentado em (1):
 (1)
De acordo com (1), o número binário na parte superior é o número binário 
original, e o inferior o complemento de 1.
A forma mais usual de representação do sinal de um número binário consiste 
no complemento de 2 — para a sua aplicação a um número binário, é realizado 
o complemento de 1 e, logo, se soma 1 à posição do bit menos significativo 
(TOCCI; WIDNER; MOSS, 2011), processo representado em (2).
(2)
De acordocom o apresentado em (2), pode-se afirmar que o complemento 
de 2 do número binário 11010101 é 00101011.
Para a representação do sinal, quando utilizamos complemento de 2, pre-
cisamos considerar as seguintes situações: 
 � se o número é positivo, o número é representado em forma direta, 
somente tornando-se necessário adicionar um 0 em frente do bit MSB 
(most-significant-bit — “bit mais significativo”), como apresentado 
na Figura 2; 
 � para o caso de números negativos, ao número de complemento de 2 se 
adiciona um bit de sinal 1 em frente do MSB, tal como visto na Figura 2, 
para o caso de –45 em base decimal.
3Aritmética digital: operações e circuitos
Figura 2. Representação de um número binário na forma de complemento de 2 com sinal.
Fonte: Adaptada de Tocci, Widner e Moss (2011).
0 1 0 1 1 0 1
1
Bit de sinal (+)
MSB
Bit de sinal ( )
Binário verdadeiro
Complemento de 2
0 1 0 0 1 1
= +4510
= 4510
A forma de complemento de 2 é a mais utilizada para realizar operações 
aritméticas em sistemas digitais. Para este estudo, todos os números binários 
terão representação do sinal como “0” para “+” e “1” para “–” no bit MSD; 
em todos os casos, quando o número binário for negativo, estará representado 
na forma de complemento de 2. Seguidamente, veremos as quatro principais 
operações aritméticas utilizando números binários: adição, subtração, mul-
tiplicação e divisão.
Sistema de numeração hexadecimal
Sua diferença quanto ao sistema binário reside no tipo de representação, 
já que o primeiro utiliza dois símbolos (0 e 1), o sistema decimal 10 símbolos 
(0 até 9) e o sistema hexadecimal uma base com 16 símbolos — uma base de 
representação que emprega os dígitos de 0 até 9 e, ainda, as letras de A até F 
(FLOYD, 2007; TOCCI; WIDNER; MOSS, 2011; TOKHEIM, 2013a).
O Quadro 1 apresenta uma relação comparativa entre o sistema decimal, 
o hexadecimal e o binário, observando-se que um mesmo número em base 
hexadecimal utiliza um único símbolo para a sua representação, enquanto, 
no sistema binário, são necessários quatro dígitos.
Aritmética digital: operações e circuitos4
Fonte: Adaptado de Tocci, Widner e Moss (2011).
Hexadecimal Decimal Binário
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
A 10 1010
B 11 1011
C 12 1100
D 13 1101
E 14 1110
F 15 1111
Quadro 1. Equivalência entre base binária, decimal e hexadecimal
Os sistemas em bases hexadecimais são largamente utilizados, pois existe 
uma equivalência direta com a base binária, possibilitando uma mais rá-
pida leitura de grandes números nessa base e um apropriado agrupamento. 
Empregamos essa base de representação em muitos tipos de aplicações, sendo 
uma das mais conhecidas a área de programação.
5Aritmética digital: operações e circuitos
Sistema de numeração octal
Outra forma de representação numérica, além da decimal, binária e hexade-
cimal, é a octal, na qual temos 8 símbolos envolvidos, de 0 até 7. O sistema 
numérico octal proporciona uma forma apropriada e rápida de conversão para 
o binário, e vice-versa, embora seja menos utilizado em sistemas digitais, como 
é o caso do hexadecimal (FLOYD, 2007; TOKHEIM, 2013a). No Quadro 2, 
apresentamos uma comparação entre esse sistema numérico e os demais já 
mencionados.
Decimal Octal Hexadecimal Binário
0 0 0 0000
1 1 1 0001
2 2 2 0010
3 3 3 0011
4 4 4 0100
5 5 5 0101
6 6 6 0110
7 7 7 0111
8 10 8 1000
9 11 9 1001
10 12 A 1010
11 13 B 1011
12 14 C 1100
13 15 D 1101
14 16 E 1110
15 17 F 1111
Quadro 2. Equivalência entre base octal, binária, decimal e hexadecimal
Aritmética digital: operações e circuitos6
O incremento da contagem do sistema numérico octal é similar ao do 
sistema decimal, com a diferença de que os dígitos 8 e 9 não são utilizados. 
Comumente, para evitar erros e identificar perfeitamente a qual base cor-
responde cada número representado, deve-se utilizar em subscrito a base de 
correspondência, por exemplo, 1210 está na base decimal, 1012 na base binária, 
178 na base octal e 1A16 na base hexadecimal.
A seguir, descreveremos as quatro operações aritméticas básicas realizadas 
na base binária. Vale ressaltar que sempre identificaremos no texto a base em 
que trabalharemos (binário, decimal, etc.); caso contrário, o número em ques-
tão apresentará um subscrito com a base correspondente, como já explicado.
2 Operações aritméticas em circuitos digitais
Assim como as operações matemáticas convencionais no sistema decimal que 
utilizamos no dia a dia, as operações aritméticas de soma, subtração, divisão e 
multiplicação também são tratadas no mundo digital. Para tanto, abordaremos 
a seguir as quatro operações fundamentais das matemáticas, contudo agora 
na base de representação dos números binários. 
Adição
De acordo com Tocci, Widner e Moss (2011), a operação em números binários 
é realizada do mesmo modo quando se opera com números decimas, como 
expressado em (3):
8 2 5
1 5 3
MSB LSB
+
9 7 8
(3)
onde o dígito menos significativo denomina-se LSB (least-significant-digit; 
“bit menos significativo”), justamente pelo qual se começa a fazer a operação. 
Como mencionado anteriormente, o dígito mais significativo chama-se MSB. 
7Aritmética digital: operações e circuitos
Para operar com números digitais, a lógica é similar da empregada para 
números decimais (FLOYD, 2007; TOCCI; WIDNER; MOSS, 2011); para 
a soma, podem ocorrer quatro situações quando trabalhamos com números 
binários: 1) os dois números são positivos; 2) o número positivo é de maior 
magnitude do que o negativo; 3) o número negativo é de maior magnitude do 
que o positivo; e 4) ambos os números são negativos, analisados a seguir com 
base em Tocci, Widner e Moss (2011).
Dois números positivos
Na adição de dois números positivos, obtém-se outro número positivo de maior 
magnitude que os dois primeiros. Em (4), é apresentado um exemplo de soma 
de dois números positivos.
0 0010110 (22)Sinal
+ 0 0011011 (27)
0 0110001 (49)
(4)
Nesse caso, o número binário é puro, ou seja, não foi complementado, 
e o resultado corresponderá à soma direta entre ambos os números positivos.
Número positivo de maior magnitude do que o negativo
Da mesma forma que acontece em números decimais, a soma de um número 
positivo de maior magnitude do que o negativo dá como resultado outro número 
positivo, como apresentado em (5) na soma de.
0 1000
1 1011+
0 00111Carry
(5)
Veja que ambos os números têm um bit de sinal, e o resultado é um nú-
mero positivo. No processo da soma, é gerado um quinto dígito da parcela do 
resultado (carry), cujo valor é 1. Esse carry sempre deve ser desconsiderado 
para esse caso. Assim, o resultado da operação é 8+ (–5) = 3 = 0 0011.
Aritmética digital: operações e circuitos8
Número negativo de maior magnitude do que o positivo
Essa operação oferece como resultado um número negativo em complemento 
de 2, como observado em (6), na soma de (–7) + 5.
1 1001
0 0101+
1 1110
(6)
Veja que o resultado da operação já apresenta um bit de sinal negativo, assim 
como esperado. Por outra parte, o resultado está na forma de complemento de 
2. Assim, para obter o resultado em binário puro, deve ser realizado novamente 
o complemento de 2; assim, o resultado de 1 1110 fica como 0 0010, ou seja, 2.
Ambos os números da operação são negativos
Assim como no caso anterior, aqui também o resultado é negativo, como 
vemos em (7), na soma de (–7) + (–5). 
1 1001
1 1011+
1 01001Carry
(7)
Como podemos observar em (7), o resultado apresenta um carry que é 
desconsiderado; para esse caso, o resultado é 1 0100. Com o complemento 
de 2, o resultado é 0 1100 = +12, como era de se esperar comparando com a 
mesma operação em decimal. 
9Aritmética digital: operações e circuitos
Existe uma condição chamada overflow, que acontece quando o resultado excede 
o número de bits dos números somados, resultando em um transbordamento da 
capacidade (conhecido como overflow). Um overflow pode ocorrer quando ambos 
osnúmeros têm o mesmo sinal e o número transbordado aparece como um sinal 
incorreto. Veja o exemplo da soma de dois números positivos de 8 bits cada um, para 
a qual o resultado é um número de 9 bits, como é o caso de 125 + 58 = 183.
Sinal
incorreto
Valor
incorreto
01111101
00111010+
01101111
Observe que o valor de 183 requer 8 bits para a sua representação, mas existem 
somente 7 bits para fazê-lo, além de um bit de sinal. Então, nessa operação, temos 
um overflow; quando o sistema que processa essa operação somente suporta 8 bits 
(7 + 1 bit de sinal), o resultado apresentado será incorreto.
Subtração com números binários e complemento de 2
De acordo com Floyd (2007), a subtração é um caso particular da soma ou 
adição: fazer a diferença de +10 (subtraendo) de +7 (minuendo) é similar a fazer 
a soma de –7 + 10. Assim, quando se realiza a subtração entre dois números 
binários, troca-se o sinal do subtraendo (fazendo o complemento de 2). 
Então, para fazer a operação de subtração de dois números binários com 
sinal, deve-se realizar o complemento de 2 do subtraendo e a soma convencio-
nal, eliminando, por consequência, qualquer bit de carry no final. A seguir, 
você pode observar um exemplo para compreender melhor o assunto.
Realize a seguinte subtração de números com sinais: 00001000-11100010, ou 8 – (–30).
0 0001000 Minuendo (+8)
Resultado (+38)
Subtraendo (complemento de 2 de –30)0 0011110+
0 0100110
Aritmética digital: operações e circuitos10
Veja que o exemplo utiliza um número positivo (minuendo) e um negativo (subtra-
endo), mas podem ser utilizadas quaisquer combinações de sinais, seguindo sempre 
a regra explicada. Contudo, devemos dar especial atenção ao sinal do resultado final, 
que, para o exemplo, foi positivo.
Multiplicação de números binários
De acordo com Tocci, Widner e Moss (2011), realizamos a multiplicação entre 
números binários da mesma maneira que fazemos com números decimais, 
porém, em sistemas binários, o processo é ainda mais simplificado, já que 
somente são utilizados 0 e 1. Para exemplificar, é realizada a operação de 
multiplicação de dois números binários (8), que em decimal seria, por exemplo, 
10 × 8 = 8010.
1010 1010
1000 1810
0000
×
0000
0000
1010
Resultado 1010000 8010
Multiplicador
Multiplicando
(8)
Podemos observar que foram utilizados números binários em forma direta, 
pois se tratava de números positivos. Antes de fazer a multiplicação com 
dois números negativos, será necessário fazer o complemento de 2 (deixá-los 
binários puros, sem sinal); naturalmente, o resultado será positivo. Quando os 
números têm sinais diferentes, o resultado será negativo, e o número negativo 
inicialmente deverá ser representado em complemento de 2 (um número binário 
puro e sem sinal, similar ao valor absoluto e positivo).
11Aritmética digital: operações e circuitos
Divisão de números binários
O procedimento para realizar a divisão de dois números binários é similar ao da 
divisão de dois números decimais, tal como é o caso apresentado na Figura 3, 
em que se realiza a divisão de 59 ÷ 5 = 11, e o resto é 4.
Figura 3. Exemplo de divisão de números 
binários (59 ÷ 5 = 11)10.
Resultado
Subtração binária
Resto
Na Figura 3, é realizado um procedimento similar ao operar com números 
decimais, com a ressalva de que as subtrações de números binários devem 
considerar o complemento de 2 do subtraendo. Esses cálculos precisam ser 
realizados como cálculos auxiliares. Observe que o resultado da divisão é 
10112 = 1110, e o resto é 1002 = 410.
Nesse exemplo, foram utilizados números positivos, mas, assim como 
mencionado anteriormente, quando se realizam operações com números 
negativos, estes devem ser convertidos para positivos, utilizando a operação 
de complemento de 2. Lembre-se de que, se os sinais do dividendo e divisor 
forem iguais, o resultado é positivo; caso os sinais sejam diferentes, o resultado 
será negativo.
3 Circuitos aritméticos binários 
Incrivelmente, uma das únicas funções realizadas pelos processadores dos 
celulares e computadores são as operações aritméticas. E, graças à tecnologia, 
a velocidade de operação desses processadores tem sido cada vez mais alta. 
A seguir, veremos alguns circuitos eletrônicos que realizam as operações 
Aritmética digital: operações e circuitos12
aritméticas anteriormente descritas, contudo, antes, discutiremos resumi-
damente como funciona internamente um processador digital realizando as 
operações aritméticas.
Unidade aritmética lógica 
A unidade aritmética lógica (arithmetic-logic-unit — ALU) constitui o cora-
ção de um processador digital no qual se realizam as operações aritméticas. 
De acordo com Tocci, Widner e Moss (2011) e Tokheim (2013b), o objetivo 
da ALU consiste em processar os dados binários enviados desde a memória 
e realizar operações aritméticas com eles. Na Figura 4, apresentamos um 
diagrama de blocos de uma ALU e as principais partes que a compõem.
Figura 4. Diagrama de blocos de uma ALU.
Fonte: Tocci, Widner e Moss (2011).
Como apresentado na Figura 4, uma ALU é formada por pelo menos dois 
registradores (registrador A e B) e um registrador acumulador, além de uma 
unidade de memória, um sistema de controle e um circuito lógico combinacional 
que realiza as operações aritméticas. Segundo Tocci,l Widner e Moss (2011), 
uma ALU opera da seguinte maneira: 1) a unidade de controle define quais 
endereços de posição da memória serão somados ao valor armazenado no 
registrador acumulador; a unidade de controle recebe instruções da unidade 
13Aritmética digital: operações e circuitos
de memória; 2) o número que será somado se transfere para o registrador B; 
3) o circuito lógico realiza a soma dos números do registrador B e do acu-
mulador. O resultado é devolvido ao acumulador para o armazenamento; 
4) o novo número que está no acumulador poderá ser armazenado na memória 
ou utilizado para uma próxima operação.
O registrador acumulador recebe esse nome porque acumula as sucessivas 
somas das operações aritméticas, aspecto importante, pois, ao acumular os 
resultados de operações intermediárias, como o caso da multiplicação ou da 
divisão como visto anteriormente, consegue prover a necessidade de armazenar 
temporariamente os resultados parciais. A seguir, veremos como funciona o 
circuito lógico, o encarregado das operações lógicas da ALU.
Somador binário paralelo
Todos os sistemas digitais que realizam operações aritméticas o fazem me-
diante a movimentação de registros, ou seja, em todas as operações feitas 
por um computador pessoal (processador de texto, vídeos, imagens, etc.) 
internamente são tratadas mediante a movimentação de registros e aritméticas 
lógicas entre dois números binários, similares a uma soma (FLOYD, 2007; 
TOCCI; WIDNER; MOSS, 2011). Assim, para entender essa premissa básica, 
estudaremos como funciona um somador binário paralelo.
Agora, reveremos, pela Figura 5, como funciona a soma binária entre dois 
números de 5 bits, raciocinando sobre como essa operação aritmética é tratada 
a partir do uso de registradores.
Figura 5. Processo de uma soma binária em uma ALU.
Fonte: Adaptada de Tocci, Widner e Moss (2011).
+
+
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
1 1 1 0 0
1 0 1 0 1
0 0 1 1 1
Primeira parcela
Armazenada
em registrador
acumulador
Armazenada em
registrador B
(A ser somado na
próxima posição)
Segunda parcela
Carry
Soma
Aritmética digital: operações e circuitos14
De acordo com a Figura 5, o processo se inicia com a soma dos bits LSB 
da primeira e segunda parcela. Nesse caso, há um carry de 1, pois 1 + 1 = 10. 
O carry corresponde ao bit excedente da operação da primeira coluna e é 
utilizado na operação da segunda coluna. Agora, na operação da segunda, 
estão envolvidos 3 bits na operação da soma, os bits da 1ª e da 2ª parcela e o 
carry (1 + 0 + 1 = 10), o que produz um novo carry, trasladado à 3ª coluna 
da operação. Observe que esse processo se repete a cada coluna, ou seja, 
a cada posição de bit do registrador.Como o processo é realizado bit a bit nos 
registradores, é possível usar um circuito lógico baseado em flip-flops para 
tal finalidade, como apresentado na Figura 6.
Figura 6. Diagrama de blocos de um somador paralelo completo de 5 bits.
Fonte: Adaptada de Tocci, Widner e Moss (2011).
No diagrama de blocos apresentado na Figura 6, os bits da primeira parcela 
(A0…A4) são armazenados no acumulador (ou registrador A). Já as variáveis 
da segunda parcela (B0…B4) provêm do registrador B e pertencem à segunda 
parcela da soma. As variáveis denominadas C (C0…C5) representam o carry 
correspondente à cada operação bit a bit de determinada coluna, e o carry 
representa o bit de overflow. Por outra parte, as variáveis S (S…S4) representam 
o resultado da operação de cada coluna.
15Aritmética digital: operações e circuitos
Para realizar essa operação de soma, o circuito somador (configuração 
também conhecida como somador completo paralelo) recebe as duas parcelas 
de números binários e, ainda, um bit de carry da posição anterior (caso tenha 
havido operação anterior). Normalmente, o valor de C0 é 0, quando trabalha 
o circuito em forma individual, ou pertence aos números LSB de um circuito 
lógico de maior quantidade de bits do que o exemplo apresentado (TOKHEIM, 
2013b). No entanto, há operações nas quais o valor de C0 pode ser 1.
Normalmente, um circuito somador completo utiliza três entradas (registros 
A, B e C) e gera duas saídas (S e carry). Assim, um somador completo tem 
A1, B1 e C1 como entradas, e S1 e C2 como saídas, e assim sucessivamente. Isso 
será repetido o número de vezes igual ao número de bits com os registros. 
No exemplo da Figura 6, o tamanho dos registros ou das parcelas do somador 
paralelo é de 5 bits; no entanto, no caso de computadores e celulares, esse 
número pode ser de 32 a 64 bits.
De acordo com Tocci, Widner e Moss (2011), a configuração da Figura 6 é 
chamada de somador paralelo pelo fato de que todos os bits das parcelas dos 
registros são inseridos em forma simultânea no somador; assim, as operações 
bit a bit são realizadas todas ao mesmo tempo. Isso se diferencia da operação 
que fazemos manualmente, pois realizamos a operação bit a bit em forma sub-
sequente. Por isso, a adição paralela representa um dos somadores mais rápidos.
Neste capítulo, abordamos os números digitais, e sua forma de representação 
em outras bases, como a decimal, a octal, a hexadecimal e a binária. Ainda, 
foram apresentadas as diferentes formas de escrever um número binário com 
sinal. Depois, descrevemos como se realizam as operações aritméticas básicas 
em um nível lógico. Por fim, apresentamos uma explicação e um exemplo de 
realização de operações aritméticas em nível de hardware ou circuitos lógicos.
TOCCI, R. J.; WIDNER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas digitais: princípios e aplicações. 11. ed. 
São Paulo: Pearson, 2011.
FLOYD, T. L. Sistemas digitais: fundamentos e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
TOKHEIM, R. Fundamentos de eletrônica digital: sistemas combinacionais. 7. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013a. (Série Tekne, v. 1).
TOKHEIM, R. Fundamentos de eletrônica digital: sistemas sequenciais. 7. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013b. (Série Tekne, v. 2).
Aritmética digital: operações e circuitos16
DICA DO PROFESSOR
A divisão é uma operação aritmética que envolve as outras três operações (multiplicação, adição 
e subtração). Isso é válido tanto para operações em números decimais como binários. Portanto, 
ao trabalhar com números binários, é muito importante compreender corretamente o uso dos 
sinais (complemento de 1 e complemento de 2) para realizar as operações aritméticas básicas.
Nesta Dica do Professor, você vai acompanhar um cálculo de divisão com números binários, 
utilizando o dividendo e o divisor com diferentes sinais, para obter um resultado negativo. Tal 
procedimento vai ajudar na compreensão de outros exercícios e na fixação do conhecimento da 
disciplina.
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EXERCÍCIOS
1) Um sistema de aquisição de dados realiza a medição de duas temperaturas e as 
converte para números digitais com sinal, em que cada número é representado com 
um total de 8 bits. Têm-se os valores T1 = 123o e T2 = 35o, e se deseja conhecer ∆T = 
T2 – T1.
Qual é o valor digital de ∆T, se o resultado é apresentado em 
complemento de 2?
A) ∆T = 0 1011000.
B) ∆T = 1 1011000.
C) ∆T = 1 0101000.
D) ∆T = 1 0100111.
E) ∆T = 0 0100111.
2) Você é programador e utiliza a plataforma Arduino para realizar atividades que 
envolvam eletrônica e programação e, assim, tarefas de automação e controle. 
Durante um ensaio, você pretende testar um conversor digital analógico (DAC) com 
resolução de 12 bits (0-1023 em binário), escrevendo valores no compilador para 
medir a voltagem de saída do conversor DAC. De acordo com a folha de dados do 
conversor, ele trabalha de 0-5 V; portanto, não aceita valores de referências de 
entrada negativa. Quando a entrada é 1023, a saída é 5 V; quando escreve 511, a 
saída é 2,5 V; e quando escreve 0, a saída é 0 V.
Agora, em vez de escrever valores em decimal, você deve escrevê-los em hexadecimal, 
já que o compilador somente aceita entradas em hexadecimal.
Assim, qual é o valor que deve ser escrito, para que a saída apresente uma tensão o 
mais próxima de 1 V?
A) FF.
B) CD.
C) 200.
D) 64.
E) 14 A.
Você está estudando as operações aritméticas em base binária a serem aplicadas em 
programação de sistemas digitais e dispõe de uma determinada plataforma de 
programação que realiza operações aritméticas trabalhando com uma resolução de 8 
bits + 1 bit de sinal.
Dessa forma, realizando operações de multiplicação de 25 x (–10), qual é sua 
3) 
representação, em binário, na forma de complemento de 2, do resultado dessa 
multiplicação?
A) 1 11111010.
B) 1 00000110.
C) 1 11111000.
D) 0 10000110.
E) 1 11111001.
4) A operação aritmética “mais completa” é a divisão, pois, quando se realizam os 
cálculos, é necessário utilizar as outras operações anteriores em forma conjunta, para 
obter o resultado. Isso, inclusive, é válido para operações com números binários com 
sinal, aplicando sempre as regras preestabelecidas para esses cálculos.
Qual é o resultado da divisão de 506/15?
A) 0 100001.
B) 1 110100.
C) 0 110100.
D) 1 100001.
E) 0 010110.
5) 
É possível fazer um somador binário extremamente rápido utilizando Flip-Flops discretos e 
uma alta velocidade de relógio que os comandam. O circuito apresentado na figura realiza 
as mesmas operações que você obteria se fizesse uma soma binária manualmente, mas ele 
as faz em paralelo, de forma simultânea.
 
Agora, a partir de um circuito similar ao da figura que utiliza 5 Flip-Flops (significa que 
tem 5 bits de resolução), calcule os valores dos carries (C5-C0), sabendo que o valor 
armazenado no registrador A é +17 e o valor armazenado no registrador B é +15.
A) 100000.
B) 101010.
C) 011111.
D) 100011.
E) 111110.
NA PRÁTICA
As operações aritméticas binárias podem ser e são executadas por sistemas digitais, como 
processadores, microcontroladores ou circuitos integrados (CI) dedicados a essa finalidade. 
Porém, é muito interessante montar e fazer funcionar um circuito digital que realize algum tipo 
de operação aritmética elementar.
Neste Na Prática, você vai ver como é possível construir um circuito eletrônico que realize a 
contagem de três números com um bit de resolução cada e, no final, obter um resultado de um 
único valor com dois bits de resolução. Tudo isso utilizando componentes eletrônicos discretos. 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Converter binário para hexadecimal
Neste vídeo, você verá uma aula de matemática sobre como converter um número binário para 
hexadecimal. 
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Converter binário para octal
Neste vídeo, você verá uma aula de matemáticasobre como converter um número binário para 
octal.
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