Apostila de CONJUNTOS

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Material de 
introdução ao estudo 
do Cálculo I 
Partes 1, 2 e 3 
 
O objetivo deste material é o de propiciar uma revisão 
dos conteúdos considerados básicos para o 
desenvolvimento de um curso de Cálculo 
 
Gil Marcos Jess 
01/02/2011 
 
2 
 
CONJUNTOS 
 
1. Conceito – pertinência 
Como o próprio nome sugere, conjunto dá idéia de uma lista ou coleção a qual 
pode ser de pessoas, animais, objetos, números, etc. 
Exemplos: 
a) conjunto dos alunos da PUC; 
b) conjunto dos signos do zodíaco; 
c) conjunto dos animais mamíferos; 
d) conjunto dos números primos. 
 
Chama-se de elemento a cada um dos objetos que formam o conjunto. Esses 
são indicados por letras minúsculas. Os conjuntos, por sua vez são indicados por 
letras maiúsculas. 
Um elemento pode ou não pertencer a um determinado conjunto. Quando um 
elemento pertence utilizamos o símbolo  e quando ele não pertence utilizamos o 
símbolo . 
Exemplos: 
x  A (lê-se: x pertence a A) 
x  B (lê-se: x não pertence a B) 
 
 
2. Representação de um conjunto 
Um conjunto pode ser representado de três maneiras: por extensão, por 
compreensão e através dos diagramas de Ven. 
 
1ª. Por extensão 
 Nesse caso, os elementos são enumerados, sendo escritos entre chaves e 
separados por vírgula. Por exemplo: 
 Conjunto dos dias da semana: 
 A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado} 
 
 Conjunto dos números ímpares positivos: 
B = {1; 3; 5; 7; ...} 
 
Conjunto dos números inteiros positivos menores que 130: 
C = {1; 2; 3; ...; 128; 129} 
 
2ª. Por compreensão 
 Nesse caso, o conjunto é representado por uma propriedade que caracteriza 
seus elementos de modo que se tenha certeza se um dado elemento pertence ou não 
ao conjunto. 
 Exemplos: 
a) A = {x | x  IN, x < 5} 
(lê-se: x tal que x pertence ao conjunto dos números naturais e x é menor que cinco) 
 
b) B = {b / b é vogal} (lê-se: b tal que b é uma vogal) 
 
 
3. Conjuntos Especiais 
 
 Conjunto vazio: 
Como o próprio nome sugere, conjunto vazio é aquele que não tem elementos. 
Exemplos: 
3 
a) A = {a / a é cinema da cidade de Curitiba} 
b) B = {x  IN | x < 0} 
 
Indicamos o conjunto vazio por { } ou . 
 
Conjunto Unitário: 
 É o conjunto que tem um único elemento. 
Conjunto finito: 
É o conjunto que tem um número limitado de elementos. 
 
Conjunto Infinito: 
 
É o conjunto com número ilimitado de elementos. 
 
Conjunto Universo: 
É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação 
particular, geralmente é representado pela letra U. 
 
 
Exercícios: 
1) Sendo IN = {0; 1; 2; 3; ...}, dar, por extensão, os seguintes conjuntos: 
a) A = {x | x = 2k, k  IN} 
 
b) B = {x  IN / x < 7} 
 
 
 
2) Represente os conjuntos abaixo por compreensão: 
a) A = {0; 4; 8; 12; ...} 
 
b) B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} 
 
 
4. Subconjuntos 
Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é um subconjunto de B se cada 
elemento de A for também elemento de B. 
Indicamos essa relação por: 
 
A  B A está contido em B ou B  A B contém A 
 
 Exemplo: 
 O conjunto A = {0; 2; 3} é um subconjunto de B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, 
pois cada elemento de A é também elemento de B. 
 Indicamos: 
 {0; 2; 3}  {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} ou A  B 
 
 Observações: 
 Adota-se que, para todo conjunto A,   A. 
 Se A  B e B  A, então A = B. 
 Escreve-se A  B (A não está contido em B) se A não for subconjunto 
de B. 
 Os símbolos  e  são utilizados para relacionar conjunto com conjunto 
enquanto que  e  relaciona elemento com conjunto. 
 
4 
 
5. Conjuntos numéricos 
 
Conjunto dos números naturais (N) 
N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}; 
N* = {1; 2; 3; 4; ...} 
 
 
Conjunto dos números inteiros (Z) 
Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} 
Z* = {..., -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...} “conjunto dos inteiros excluído o zero” 
Z+ = {0; 1; 2; 3; ...} “conjunto dos inteiros não negativos” 
Z - = {...; -3; -2; -1; 0} “conjunto dos inteiros não positivos” 
 
Conjunto dos números racionais (Q) 
 Além dos números inteiros, incluem-se nesse conjunto as frações. De um modo 
geral podemos definir esse conjunto como: 
 Q = 






 0b,b,a,
b
a
x|x
 
 
Temos que lembrar como representar números decimais na forma de fração. 
 1,5 =
10
15
=
2
3
 -1,75 =
100
175
-
=
4
7
-
 2,25 = 
100
225
=
4
9
 
 Esses exemplos se referem aos números decimais exatos. 
 
 0,666...=
3
2
=
9
6
 1,8333...=
6
11
 0,857142857142...=
7
6
 
 Esses exemplos se referem às dizimas periódicas ou infinitas. 
 
 
Conjunto dos números irracionais (Ir) 
São números com infinitas casas decimais que não formam período, isto é, não 
podem ser escritos na forma 
b
a
. São exemplos de números irracionais as raízes não 
exatas. 
Exemplos: 
2
, 
3
, 
5
,  , ... 
 
 
Conjunto dos números reais (IR) 
 
 
 
Assim são números reais: 
 Os números naturais;  Os números racionais; 
 Os números inteiros;  Os números irracionais. 
 
Não fazem parte dos números reais: 
n a
, com a < 0 e n sendo par. 
 
 
Exemplos: 
4
, 
25
, 
4 16
, ... 
IR = Q Ir 
5 
 
 
6. Relação de ordem no conjunto IR 
 
Dados dois números quaisquer a e b, somente uma das três opções é possível: 
a = b ou a > b ou a < b 
 
 A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor 
que o número real b. 
 
 Geometricamente, se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real. 
 
 
 
 
 A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior 
que o número real b. 
 
 Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real. 
 
 
 
 
 Podemos escrever também a 

 b (lê-se: a é menor ou igual a b) ou a 

 b (lê-
se: a é maior ou igual a b). 
 
 Um número real c está entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos 
representar isso com uma dupla desigualdade: a < c < b. 
 
 
 
 
 
 
7. Intervalos 
Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais. Assim, 
dados dois números reais a e b, com a < b, temos: 
 
a) intervalo aberto 
 
 
 
 
A bolinha  indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse 
intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, exclusive. 
 
b) intervalo fechado 
 
 
 
 
A bolinha  indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse 
intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive. 
 
 
a b 
a b 
Representação algébrica: 
 ou (a, b) ou ]a, b[ 
Representação algébrica: 
 ou [a, b] 
 
 
b a c 
6 
c) intervalo semi-aberto à direita 
 
 
 
 
 
 
d) intervalo semi-aberto à esquerda 
 
 
 
 
 
 Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características: 
 
 
 ax|Rx 
 ou (a, + ) 
 
 
 
 ax|Rx 
 ou [a, + ) 
 
 
 
 ax|Rx 
 ou (-, a) 
 
 
 
 ax|Rx 
 ou (-, a] 
 
 
 
Exemplos: 
1) Represente na reta real cadaum dos conjuntos abaixo: 
a) A = {x  IN | 5 < x 

 10} 
 
 
b) B = {x  IR / x < 3 e x > 5} 
 
 
c) C = [-2, 3) 
 
2) Escreva os conjuntos representados nas retas abaixo: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
Representação algébrica: 
 ou [a, b) ou [a, b[ 
Representação algébrica: 
 ou (a, b] ou ]a, b] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Exercícios: (com respostas) 
 
1) Dados os conjuntos A = {2; 3; 4; 5; 6} e B = {2; 4; 6}. Utilizando os símbolos , ,  
e , relacione: 
 
a) 2 ___ A 
b) A ___ N 
c) 4 ___ B 
d) A ___ B 
e) B ___ A 
f) {2} ___ A 
g) 1 ___ B 
h) {3, 4} ___ A
 
2) Seja D(a) o conjunto dos divisores inteiros e positivos do número real a. Escreva, 
por extensão, os conjuntos D(18) e D(50). 
 
 
3) Dê, por extensão, os seguintes conjuntos: 
 
a) A = {x / x = 2k, k  IN, k < 10} 
 
b) B = {x / x  Z e 3x + 8 = 0} 
 
c) C = {x / x  IN e x2 + x – 42 = 0} 
 
d) D = {x / x  Z e -5 < x 

3} 
 
e) E = {x / x  Z e |x| < 4} 
 
f) F = {x / x  IN e x é uma potência de 3} 
 
g) G = {x / x  IR e x2 + 16 = 0} 
 
 
4) Representar os conjuntos a seguir por compreensão: 
 
a) A = {1; 3; 5; 7; ...} 
 
b) B = {2; 3; 4; 5} 
 
c) C = 






,...
4
1
;
3
1
;
2
1
;1
 
 
5) Represente na reta real cada um dos conjuntos abaixo: 
a) A = {x  Z / -3 < x 

3} 
b) B={xIN / x < 5} 
c) C = {x  IR / x = 1, > 3} 
d) D = (-1, 4] 
e) E = (-, 3) 
f) F = [0, 4[
 
6) Escreva os conjuntos representados abaixo: 
a) 
 
 
b) 
 
 
8 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
Respostas dos exercícios: 
 
1. 
a)  
b)  
c)  
d)  
e)  
f)  
g)  
h) 
 
2. D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 
D(25) = {1; 2; 5; 10; 25; 50} 
 
3. a) A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 
18} 
a) B =  
b) C = {6} 
c) D = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} 
d) E = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} 
e) F = {1; 3; 9; 27; ...} 
g) G = 
 
4. a) A = {x | x = 2k + 1, k  N} 
a) B = {x  N | 2 

 x 

 5} 
b) C = 






 *N k ,
k
1
 x | x
 
 
5. a) d) 
 
b) e) 
 
c) f) 
 
 
6. a) (-1, 4) 
b) {x  R / x = 1, x = 2, 3 

 x 

 5} 
c) {x  R / x 

 -1, 2 < x < 4} 
d) (0, 5]
 
 
 
Intervalos com União e Intersecção: 
 
Exemplo: 
1) Dados os intervalos A = (-2,5] e B = [1.7], determinar : 
BA
e 
BA
. 
2) Dados os intervalos A = (-3,5] e B = [1,2), determinar: 
BA
e 
BA
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
Par Ordenado: 
 
Ao par de números reais a e b, dispostos em uma certa ordem,denomina-se par ordenado e 
indica-se por (a;b) ou (a,b) , onde: 
 
a representa a abscissa x e b representa a ordenada y. 
 
Propriedade: Dois pares ordenados (x;y) e (a;b) são iguais se, e somente se, x = a e y = b. 
 
 
    byeaxbayx  ;;
 
 
 
 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
 
 
1. Produto cartesiano 
Dados dois conjuntos, A e B, chamamos de produto cartesiano (A x B) o conjunto de 
pares ordenados em que a abscissa (x do ponto) pertence a A e a ordenada (y do ponto) 
pertence a B. 
 
 
Exemplos: 
1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}, temos: 
A x B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} 
B x A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} 
 
2. Relações: 
Dados dois conjuntos, A e B, chamamos de relação um subconjuto de A x B obtido 
através de uma lei de associação entre os elementos de A e B.Ou ainda é todo subconjunto de 
A x B, sendo A e B não-vazios. 
 
 
Exemplos: 
1) Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5} e B = {2; 4; 6; 8}, escreva as relações pedidas: 
a) R1 = {(x, y)  A x B / x + y = 5} 
 
 
b) R2 = {(x, y)  B x A / y = x - 1} 
 
 
3. Domínio (D), imagem (Im) e contra-domínio (CD) 
 Domínio é o conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares de uma 
relação. 
 Imagem é o conjunto formado por todos os segundos elementos dos pares de uma 
relação. 
 Contra-domínio é o conjunto de onde se tira a imagem. 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
4. Funções: 
Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, dizemos que a relação  de A em B é função 
se, e somente se, para todo x pertencente ao conjunto A, existe, em correspondência, um 
único y pertencente a B, tal que o par ordenado (x, y) pertença a . 
 
Simbolicamente: 
 
 
 
Exemplos: 
1) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2; 3} e B = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, escreva as relações 
pedidas e determine qual(is) delas representa(m) uma função. 
a) R1 = {(x, y)  A X B | y = x + 2} 
 
b) R2 = {(x, y)  A
2 | y = x2 + 1} 
 
c) R3 = {(x, y)  B x A | y
2 = x} 
 
2) Nas relações abaixo, verifique quais são funções. Caso não sejam, explique porque não 
são. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio de uma função: Chama-se domínio da função e indica-se por D(f), ao conjunto 
de todos os elementos pertencentes ao primeiro conjunto da relação. 
 
 
Contra-Domínio: Chama-se contradomínio de uma função e indica-se por CD(f), ao 
conjunto de todos os elementos pertencentes ao segundo conjunto participante da relação. 
 
 
 é função de A em B  x  A, I y  B | (x, y) 
  
11 
 
Imagem da função: Chama-se imagem da função e indica-se por Im(f), ao subconjunto de 
CD(f) formado por todos os elementos que participam da relação. 
 
 
5. Tipos de função 
 
 
 Função Par ou Ímpar: 
 
Função par: Uma função f é par se, para todo 
)( fDx
, tem-se 
)()( xfxf 
. 
 
Função ímpar: Uma função f é ímpar se, para todo 
)( fDx
, tem-se 
)()( xfxf 
 
 
 Função Crescente e Decrescente: 
 
Função crescente: Uma função 
BAf :
 é crescente em um conjunto A se, e 
somente se,
Axxxfxfxx  211212 ,),()(
. 
Função decrescente: Uma função 
BAf :
 é decrescente em um conjunto A se, e 
somente se,
Axxxfxfxx  211212 ,),()(
. 
 
 Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora. 
Função injetora:Uma função : A  B é dita injetora se para dois elementos distintos 
de A houver correspondência de dois elementos distintos em B, isto é, x1  x2  f(x1)  f(x2). 
 
 Função sobrejetora:Uma função : A  B é dita sobrejetora se a imagem de  for 
igual ao contra-domínio de , isto é, se não sobrar elementos no conjunto de chegada. 
 
 Função bijetora: Uma função : A  B é dita bijetora se for injetora e sobrejetora ao 
mesmo tempo. 
 
Para exercitar: 
No exemplo 2, classifique as funções conforme seu tipo. 
 
6. Valor numérico da função: 
Chamamos de valor numérico da função o valor que f(x) assume a partir de um dado 
valor atribuído a x. Por exemplo, sendo A = {-1; 0; 1}, B = {0; 1; 2; 3} e f: A  B, f(x) = x + 1, 
temos: 
f(-1) = 
f(0) = 
f(1) = 
Exemplos: 
1) Dado (x) = 2x + 1, calcular: 
a) f(0) = 
b) f(3) = 
c) f(x + 2) = 
d) f






2
x
 = 
 
2) Dado (x) = x2 – x, calcular: 
a) f(-1) = 
12 
 
b) f(3) = 
c) f(x – 1) = 
d) f(x + 2) = 
 
7. Função Composta: 
Seja 
BAf :
 e 
CBg :
, tem-se que 
CAfg :
de tal forma que 
))(()( xfgxfg 
. 
Onde 
CAfg :
 é chamada de função composta de g com f. 
 
Exemplos: Dados 
1)(  xxf
e 
xxxg  2)(
, determinar: 
 
a) 
fg
 b) 
gf 
 c) 
))1(( gf
 
 
Exercícios: (estes sem resposta) 
 
1) Sendo 
12)(  xxf
 e 
xxg 3)( 
, determinar 
))(( xff
 e 
))(( xgg
. 
2) Dadasas funções 
4)(  xxf
 e 
24))((  xxgf
determinar 
)(xg
. 
3) Sendo 
xxf 4)( 
, 
xxg 2)( 
 e 
1)(  xxh
determinar 
)))(((( xhgf
. 
4) Sendo 
184)2( 2  xxxf
 para todo x real, determinar 
)(xf
. 
 
 
 
8. Função Inversa: 
Existem funções que, sob certas condições, originam outras funções, denominadas funções 
inversas. 
Em verdade somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do 
domínio tem um único correspondente no contra-domínio (injetora) e este tem todos os seus 
valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação 
inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma 
função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é 
representada por f-1(x). 
 
Regra prática para obtenção da inversa: efetuar a troca entre as variáveis dependente e 
independente isolando ao final a variável dependente. Por exemplo em uma função onde x é a 
variável independente e y é a variável dependente, deve-se trocar o x pelo y e o y pelo x 
isolando o y novamente ao final. A função obtida será a inversa da função original. 
 
Exemplo: 
 
Seja uma função 
:f
 definida por 
23  xy
, determinar sua função inversa. 
Trocando as variáveis 
 
23  yx
 Isolando a variável 
3
2

x
y
 que é a f-1(x) ou inversa de f. 
 
9. Domínio de uma função em R 
Considere a função y = 2x – 1. Note que não há restrição quanto aos valores que x 
pode assumir. 
Observe agora a função 
2x
1
y


. Perceba que x não pode ser 2, senão: 
 
22
1
y


 

 
0
1
y 
 

 y não existe 
13 
 
 
Portanto o domínio de 
2x
1
y


 é: D(f) = R – {2} 
 
 
Temos que ter cuidado em alguns casos especiais: 
 
1º) quando a variável aparece no denominador; 
2º) quando a variável aparece como radicando de uma raiz índice par. 
3º) quando a variável aparece como antilogarítmo. 
 
 
Exercícios (com respostas): 
 
1) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, B = {1; 2; 3; 4} e C = {0; 2; 4; 6; 8}, escreva as 
relações pedidas e indique domínio, imagem e contra-domínio: 
a) R1 = {(x, y)  A x C / 
xy 
} 
 
b) R2 = {(x, y)  B x A / x = y} 
 
c) R3 = {(x, y)  B
2 / x + y = p, p é número primo} 
 
d) R4 = {(x, y)  B x C / y = 2x - 2} 
2) Dada a função 
7x3
13x5
y



, calcular: 
a) f(1) = 
b) f(2) = 
3) Dada a função g(x) = x2 – 1, calcular: 
a) g(x – 1) = 
b) g
 x
 = 
c) g(0) = 
d) O valor de x onde g(x) = 3 
e) O valor de x onde g(x) = 0 
 
4) Determinar o domínio das funções abaixo: 
 
a) 
1x
1x
)x(f
2
2



 
b) 
2x
6x2
y



 
c) 
1x
1
)x(f


 
d) 
4x)x(f 
 
e) 
2x
x3
y



 
f) 
3
3
2x
13x
y



 
 
14 
 
5) Seja A = {0; 1; 2} e B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Represente a relação R1 = {(x, y)  A X B | 
y = x + 3} e verifique se ela é função. Se for, calcule domínio, contra-domínio e 
imagem, se não for, diga por que não é. 
 
6) Sejam as funções definidas por (x) = 2x + a e g(x) = 5x - b. Calcule o valor de a e b 
de modo que se tenha (3) = 9 e g(1) = 3. 
 
7) Seja a função definida por (x) = mx + n, com m, n  R. Se (2) = 3 e (-1) = -3, 
calcule m e n. 
 
8) Dada a função : R  R definida por (x) = ax2 + b, com a, b  R, calcule a e b, 
sabendo que (1) = 7 e (2) = 22. 
 
: 
9) Analise os gráficos abaixo. Determine domínio e imagem e a seguir indique para quais 
valores de x a função é crescente, decrescente, positiva e negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos exercícios: 
 
1) 
a) R1 = {(0, 0); (4, 2)} 
b) R2 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)} 
c) R3 = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 3)} 
d) R4 = {(1, 0); (2, 2); (3, 4); (4, 6)} 
 
2) 
a) f(1) = 2 
b) f(2) = 3 
 
15 
 
 
3) 
a) g(x - 1) = x2 - 2x 
 b) g
 x
 = x - 1 
 c) g(0) = -1 
 d) x = 
2±
 
 e) x = 
±
1 
 
4) 
a) D(f) = IR 
b) D(f) = IR - {-2} 
c) D(f) = (1, +) 
d) D(f) = [4, +) 
e) D(f) = (-2, 3] 
f) D(f) = IR - {2} 
 
 
5) R1 = {(0, 3); (1, 4); (2, 5)} 
 D(f) = {0;1;2} 
 Im(f) = {3; 4; 5} 
 CD(f) = B 
 
6) a = 3; b = 2 
 
7) m=2;n=-1 
 
8) a=5;b=2 
 
9) 
 
a) D(f) = [-2, 2] 
 Im(f) = [-1, 1] 
 f. crescente: [-2, -)  (, 2] 
 f. decrescente: [-, ] 
 f(x) > 0, x  (-2, 0) 
 f(x) < 0, x  (0, 2) 
 
b) D(f) = (-, 4] 
 Im(f) = {-1}  (1, +) 
 f. crescente: não há 
 f. decrescente: (-, 0) 
 f(x) > 0, x  (-, 0) 
 f(x) < 0, x  [0, 4] 
 
c) D(f) [-3, 3] 
 Im(f) = [-1, 1] 
 f. crescente: não há 
 f. decrescente: [-3, 3] 
 f(x) > 0, x  (0, 3) 
16 
 
 f(x) < 0, x  (-3, 0] 
 
d) D(f) = [-3, +) 
 Im(f) = (-, 2] 
 f. crescente: não há 
 f. decrescente: [1, +) 
 f(x) > 0, x  [-3, 2) 
 f(x) < 0, x  (2, +) 
 
e) D(f) = IR 
 Im(f) = [-2, +) 
 f. crescente: [0, +) 
 f. decrescente: (-, 0] 
 f(x) > 0, x  (-, -2)  (2, +) 
 f(x) < 0, x  (-2, 2) 
 
f) D(f) = IR 
 Im(f) = [-2, +) 
 f. crescente: [2, +) 
 f. decrescente: (-, 0] 
 f(x) > 0, x  (-, 0]  (3, +) 
 f(x) < 0, x  (0, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU: 
A função do 1º grau ou função afim é toda função definida por: 
 
 
baxxf )(
 
Onde: 
a e b são números reais, tal que 
0a
; 
a é o coeficiente de x, conhecido como coeficiente angular. 
b é o coeficiente independente. 
 
Gráfico de uma função do primeiro grau: 
 
O gráfico de uma função do primeiro grau tem como gráfico uma reta não 
paralela aos eixos x e y. 
Para construção do gráfico é necessário que se tenha conhecimento sobre 
pelo menos dois de seus pontos. 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função 
2 xy
 
 
x 
2 xy
 (x;y) 
 ( ; ) 
 ( ; ) 
 
 
 Função Crescente ou Decrescente: 
 Em uma função do primeiro grau: 
 
 - Se a>0, a função 
baxy 
 é crescente. 
        








x
y
18 
 
 - Se a<0, a função 
baxy 
 é decrescente. 
 
Particularidade: 
 
Conhecido o gráfico de uma função do primeiro grau, como definir a função 
correspondente? 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
O processo para a determinação da função consiste basicamente na 
resolução de um sistema de equações formado a partir da substituição das 
coordenadas de dois pontos pertencentes à reta na função geral, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
           











x
y
19 
 
Zero ou raiz de uma função do primeiro grau: 
 
O valor de x para o qual a função 
baxy 
 se anula é dito zero ou raiz da 
função do primeiro grau. Para tal, basta que se faça: 
 
f(x)=0, o que no caso da forma geral da função : 
 
 
0bax
 
 
 
bax 
 
 
 
a
b
x 
 
De tal forma que é o único zero da função
baxy 
. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O zero ou raiz da função é o ponto onde a reta corta o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
Zero 
da 
função 
 
20 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA: 
 
Uma função é dita função do 2º grau ou função quadrática se for uma função 
:f cujalei de formação é indicada por: 
 
 
cbxaxxf  2)(
 onde: 
0,  aeceba
 
 
Gráfico de uma função do 2º grau: 
 
A função do 2º grau é representada graficamente em 

 por uma curva 
denominada parábola. 
 
 
 
O sentido da concavidade da parábola depende do sinal do número real a da 
função 
cbxaxxf  2)(
. De tal maneira que: 
 
 
 
 
Zeros ou raízes de uma função do 2º grau. 
21 
 
 
Os zeros ou raízes de uma função do 2º grau são os valores para os quais a 
0)( xf
. O que significa que determinar os zeros ou raízes da função do 2º 
grau advém da resolução da equação do segundo grau 
02  cbxax
, onde 
o chamado discriminante representado por 

, onde 
acb 42 
. 
 
 
 
Em função disso temos os seguintes casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vértice da Parábola: 
22 
 
O vértice da parábola é o ponto da curva correspondente à ordenada máxima 
ou mínima, e é indicado por 
);( VV yxV
 
 
A obtenção das coordenadas do vértice: 
 
Ordenada: 
 
 
ycbxax 2
 
0)(2  ycbxax
 
 
Existem valores reais de x quando 
0
, isto é: 
 



a
yayayacbycab
4
040440)(4 22
 
a
yv
4


 
 
Abcissa: 
Na função 
cbxaxy  2
substituindo y por 
a
yv
4


 
cbxaxyV 
2
 
a
cbxax
4
2 
 
0
4
2 


a
cbxax
 
0
4
422 


a
acb
cbxax
 
04444 22  acbacabxax
 
044 222  babxxa
 
Como 
acb 42 
 
222 4.4)4( baab 
 
2222 1616 baba 
 
logo: 
0
 
23 
 
e conseqüentemente: 
 
a
b
a
ab
xv
28
4
2



e portanto 
a
b
xv
2

 
 
 
A Imagem da função do 2º grau: 
 
É possível determinar o conjunto imagem de uma função do 2º grau, 
conforme o sinal de a. 
 
1) Se a>o 
 
Neste caso 
a
y
4


 
 
 
Neste caso o conjunto imagem é dado por: 
 





 

a
yyf
4
/)Im(
 
 
2) Se a<0 
 
Neste caso 
a
y
4


 
 
24 
 
 
 
Neste caso o conjunto imagem é dado por: 
 
 





 

a
yyf
4
/)Im(
 
 
 
Construindo o gráfico de uma função do 2º grau 
 
A construção do gráfico pode ser feita seguindo um conjunto de passos: 
 
1) Verificar o sinal de a, para identificação do sentido da concavidade. 
2) Determinar os zeros da função para conhecimento dos pontos nos 
quais a parábola corta o eixo x. 
3) Determinar o ponto onde a parábola corta o eixo y. 
4) Determinar as coordenadas do vértice. 
 
 
Exemplo: construir o gráfico da função 
252 2  xxy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
Estudo do sinal de uma função do primeiro grau: 
 
Estudar o sinal de uma função do primeiro grau (
baxy 
) é determinar os 
valores de x para os quais y = 0, y > 0 ou y < 0. 
 
Caso 1: Quando a > 0 (função crescente) 
 
        








x
y
26 
 
 
 
 
Caso 2: Quando a < 0 (função decrescente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando os dois casos podemos criar uma regra geral: 
 
 
 
 
 
 Zero da função 
 
27 
 
Exemplos: Estudar o sinal das seguintes funções: 
 
a) 
5 xy
 b) 
53  xy
 
 
 
Estudo do sinal de uma função do segundo grau. 
 
Estudar o sinal de uma função do segundo grau (
cbxaxy  2
) é 
determinar os valores de x para os quais y = 0, y > 0 ou y < 0. 
O estudo pode ser dividido em três casos de acordo com o sinal do 
discriminante: 
 
 
 
Caso 1) Quando o discriminante é positivo 
0
 
 
 
 
 
 Se a > 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
Se a < 0: 
 
 
 
 
 
Caso 2) Quando o discriminante é nulo 
0
 
 
 
Se a > 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Se a < 0: 
 
 
 
 
 
 
Caso 3) Quando o discriminante é negativo 
0
 
 
 
Se a > 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Se a < 0: 
 
 
 
 
 
 
 
Observando os casos podemos criar uma regra geral: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: Estudar o sinal das seguintes funções: 
 
a) 
862  xxy
 
 
b) 
232  xxy
 
 
c) 
243 2  xxy
 
 
Exercícios 
 
Estudar o sinal das seguintes funções: 
 
1) 
4
1
 xy
 
2) 
12  xy
 
3) 
3
2
2  xy
 
4) 
xy  4
 
5) 
13  xy
 
31 
 
6) 
342  xxy
 
7) 
42  xy
 
8) 
962  xxy
 
9) 
12  xxy
 
10) 
232  xxy
 
11) 
222  xxy
 
 
 
INEQUAÇÕES 
 
Uma expressão algébrica que apresenta o sinal de desigualdade (> , < , 

 , 

) é denominada inequação. “Resolver” uma inequação significa encontrar 
valores numéricos que tornem verdadeira a desigualdade expressa. 
Podemos ter: 
 
I) Inequações do primeiro grau: 
 
 Uma inequação do 1º grau com uma variável x pode ser escrita de uma das 
seguintes formas: 
 
 
0bax 0bax 0bax 0bax 
 
 
)0,(  aeba
 
 
 
Exemplos: Resolver em R: 
 
1) 
0153 x
 
2) 
082  x
 
3) 
2)1(2)32(4  xx
 
 
 
 
II) Inequações Simultâneas: 
 
Uma dupla desigualdade, do tipo f(x) < g(x) < h(x), pode ser resolvida 
decompondo-a em duas inequações simultâneas em x, do tipo: 
 
 f(x) < g(x) e g(x) < h(x) 
 
 
Exemplos: Resolver a inequação: 
xx 342 
 
 
 
 
32 
 
III) Inequações do segundo grau: 
 
Uma inequação do 2º grau com uma variável x está baseada em uma 
função do segundo grau 
)0()( 2  acbxaxxf
e pode ser expressa 
de uma das seguintes formas: 
 
 
0)( xf
 
0)( xf
 
0)( xf
 
0)( xf
 
 
 
 
Exemplos:Resolver as seguintes inequações: 
1) 
0342  xx
 
2) 
0222  xx
 
3) 
0122  xx
 
 
 
IV) Inequações na forma de produto: 
 
Sejam f(x) e g(x) funções na variável x. Podemos formar as seguintes 
inequações – produtos: 
 
 
0)().( xgxf
 
0)().( xgxf
 
 
 
0)().( xgxf
 
0)().( xgxf
 
 
 
Para resolvê-las, devemos estudar a variação de sinais de f(x) e g(x) 
separadamente. O sinal de f(x). g(x) é obtido através da composição 
das análises. 
 
 
Exemplos: Resolver as seguintes inequações na forma produto: 
 
1) 
0)4).(2(  xx
 
 
2) 
0)4).(1).(2(  xxx
 
 
3) 
0)124).(189( 22  xxxx
 
 
 
33 
 
 
V) Inequações na forma quociente: 
 
Sejam f(x) e f(x) funções na variável x. Podemos formar as 
seguintes inequações-quocientes : 
 
 
0
)(
)(

xg
xf 0
)(
)(

xg
xf 0
)(
)(

xg
xf 0
)(
)(

xg
xf 
 
 
Para resolvê-las, deve-se proceder da mesma forma adotada nas 
inequações-produto, visto que a regra de sinais do quociente é a 
mesma do produto. Importante lembrar que, na inequação-
quociente, o denominador deve ser sempre diferente de zero. 
 
Exemplos: Resolver as seguintes inequações: 
 
1)0
12
3



x
x
 
2) 
0
65
2
2
2



xx
xx
 
 
Exercícios: 
1) Inequações do primeiro e segundo grau e inequações 
simultâneas: 
 
a) 
912 x
 
b) 
562  xx
 
c) 
4)1()22(3  xx
 
d) 
10
1
5
31
4
1 xxx 




 
e) 
4852  xx
 
f) 
41223  xxx
 
g) 
09102  xx
 
h) 
0122  xx
 
i) 
822  xx
 
j) 
092  xx
 
 
2) Inequações produto e inequações quociente: 
 
a) 
0)2)(12(  xx
 
b) 
0)1)(3(  xx
 
34 
 
c) 
0)7)(23)(15(  xxx
 
d) 
0)107)(642( 22  xxxx
 
e) 
0)6)(1( 2  xxx
 
f) 
0
2
)3)(1(



x
xx
 
g) 
1
42
5



x
x
 
h) 
0
1
)2(



x
xx
 
i) 
0
2
)1)(5( 2



x
xx
 
j)
0
2
43
2
2



xx
xx
 
 
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 
 
 Módulo (ou valor absoluto) de um número 
 
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é 
definido da seguinte maneira: 
 
Então: 
 se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. 
 Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15 
 
 se x é negativo, | x | é igual a -x. 
 Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20 
 
O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um 
número real nunca é negativo. 






0 se ,
0 se ,
 
xx
xx
x
35 
 
Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a 
distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. 
Assim: 
 
 Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor 
que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a  -a < x < a. 
 
 
 Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior 
que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou 
seja: | x | > a  x > a ou x < -a. 
 
 
 Função modular 
 
Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por: 
 
 
Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas 
sentenças. 
 Determinação do domínio 
 Estudar o domínio de uma função significa determinar o conjunto dos 
valores de x que tornam possíveis as operações indicadas na lei de formação. 
Para tal é comum que se faça uso das inequações modulares: 
 
 






0 se ,
0 se ,
)(
xx
xx
xf
36 
 
 Exemplo 1: Determinar o domínio da função 
 
 
 Exemplo 2: Determinar o domínio da função 
 
 
 
 Gráfico de funções modulares 
 
 Para construir o gráfico de uma função modular, basta aplicar a definição do 
módulo de um número x, |x|: 
Exemplos: 
Construir o gráfico das seguintes funções: 
 
1. 
2)(  xxf
 
2. 
32)( 2  xxxf
 
3. 
4)(  xxxf
 
 
 
Exercícios: 
Construa o gráfico de: 
 
1) 
22)(  xxf
 
2) 
2)(  xxf
 
3) 
2)(  xxxf
 
4) 
65)( 2  xxxf
 
 
 
3||
1
)(


x
xf
|1|2)(  xxf
37 
 
 
 Equações modulares 
 
Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros 
será chamada equação modular. 
Sua resolução está baseada na aplicação da definição de módulo. 
Exemplos: 
1) Resolver as equações 
 
a) 
652  xx
 
b) 
xx 236 
 
c) 
0152
2
 xx
 
 
Exercícios: 
1) Resolver as seguintes equações modulares: 
 
a) 
482 x
 
b) 
4
2
43

x
 
c) 
1
12
3



x
x
 
d) 
243 x
 
e) 
0123
2
 xx
 
 
 
 
 Inequações modulares 
 
Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem 
módulos de expressões que contém a incógnita. 
 
Exemplos: 
1) Resolver as seguintes inequações: 
 
38 
 
a) 
332 x 
b) 
714 x
 
c) 
2
13
4



x
x
 
d) 
4322  xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Resolver as seguintes inequações modulares: 
 
a) 
21 x
 
b) 
422 x
 
c) 
1
2
3

x
 
d) 
2
13
32



x
x
 
e) 
1
2
2



x
x
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
A função 
*: f
, definida pela lei 
xaxf )(
sendo 
10  a
, recebe o nome de 
função exponencial de base a.Onde o número real a chama-se base da função 
exponencial. 
A condição de existência dada à base a é devida aos seguintes casos: 
 
- Se a < 0, podemos ter a = -4 e x = ½ temos que 
2
1
)4(xa
 então 
)(4 xa
. 
- Se a = 0, a = 0 e x = -3 temos que 
0
1
0
1
0
3
3   xx aa
 ( não é definida). 
- Se a = 1, a = 1 e x qualquer 
11  xxa
 observa-se que 
1)(  xftemosx
, que é 
uma função constante. 
39 
 
 
Gráfico de uma função exponencial: 
 
Feitas as restrições para a base a, a construção do gráfico deve ser feita com 
base me algumas considerações: 
 
 
 
 
1) Se a > 0 
 
 
 
 Construir o gráfico da função 
xxf 2)( 
 
 
 
x f(x) (x;y) 
-2 
-1 
0 
 1 
2 
 
 
Conclusões importantes sobre o gráfico: 
 
- O domínio da função ____________________ a imagem da função 
____________________ 
- A curva corta o eixo y em y = ____. 
- A função é _________________. 
- A curva nunca corta o eixo ______ . 
40 
 
 
2) Se 0 < a < 1 
 
 Construir o gráfico da função x
xf 






2
1
)(
 
 
 
x f(x) (x;y) 
-2 
-1 
0 
 1 
2 
 
 
Conclusões importantes sobre o gráfico: 
 
- O domínio da função __________________ a imagem da 
função____________________ 
- A curva corta o eixo y em y = ____. 
- A função é _________________. 
- A curva nunca corta o eixo ______ . 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: 
 
Toda equação cuja incógnita figura como expoente recebe o nome de equação 
exponencial. 
 
Exemplos: 
 
1) 
162 2 x
 2) 
622 1  xx
 
 
41 
 
De um modo geral a resolução de equações exponenciais é estabelecida através 
da obtenção de potências equivalentes nos dois membros da igualdade. Para tal 
deve-se fazer uso das propriedades das potências e finalmente estabelecer a 
comparação entre os expoentes. No entanto em alguns casos, a solução é mais 
difícil do que parece exigindo o uso de alguns artifícios. 
 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações considerando 
U
. 
 
1) 
642 x
 
2) 
9
1
32 x
 
3) 2
3
2
16
81
x







 
4) 
3055 1  xx
 
5) 
020222  xx
 
42 
 
 
 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS: 
 
Inequações exponenciais são desigualdades onde a variável figura como 
expoente. 
 
Exemplo: 
273 1 x
 
 
No procedimento de resolução é importante observar dois casos: 
 
Caso 1) Quando a base é maior ou igual a 1. 
 
Neste caso desenvolvemos a busca por potências equivalentes nos dois 
membros da desigualdade e devemos manter o sinal da desigualdade. 
 
Caso 2) Quando a base é positiva mas é menor do que 1. 
 
Neste caso desenvolvemos a busca por potências equivalentes nos dois 
membros da desigualdade, mas obrigatoriamente invertemos o sinal da 
desigualdade. 
 
Exemplos: ( considerar 
U
) 
 
1) 
93 2 x
 
 
2) 
27
1
3
1
2






x 
3) 
  xxx )1,0(1,0
2

43 
 
Exercícios: 
Resolver sendo 
U
as seguintes equações exponenciais: 
 
1) 
644 x
 
2) 
125
1
5 x
 
3) 3416 x 
4) 
4
25
5
2
3






x 
5) 
01,0102 x
 
6) 
21633 22  xx
 
7) 
13222 23   xx
 
8) 
xx 2.123222 
 
9) 
12 127
2
 xx
 
 
 
 
Resolver sendo 
U
as seguintes inequações exponenciais: 
 
1) 
82 1 x
 
2) 
813 x
 
3) 1114
5
2
5
2












x 
4) 13 42  xx 
5) 
32
2
1
2






x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 
Os logaritmos surgiram aproximadamente no século XVI através de John 
Napier, um escocês que não era matemático e que dedicou 20 anos de 
sua vida na invenção dos logaritmos até publicar seu trabalho em 1614. 
 
 
A DEFINIÇÃO DE LOGARÍTMO: 
 
Ao resolver uma equação exponencial busca-se sempre trabalhar com 
potências de mesma base. No entanto nem sempre isto é possível, é onde 
a aplicação dos logaritmos acabam sendo a única forma de solução. 
 
Admitindo dois números reais a e b, ambos positivos com 
1a
. Existe 
um único número real x tal que: 
 
 
ba x 
 
 
O número real 
x
, que satisfaz a equação acima é considerado, por 
definição o logaritmo de b na base a e indicado por: 
 
 
 
bx alog
 
 
Onde: 
 x é o logaritmo (
x
), 
 b é o logaritmando (
*
b
), 
 a é a base do logarítmo (
10  a
). 
 
Generalizando: 
 
 
x
a abxb log
 
 
ou ainda: 
 
 
Exemplos: 
 
1) 
162416log 42 
 
2) 
24335243log 53 
 
 
Como conseqüências da definição de logaritmo: 
 
O logaritmo de um número real b, numa certa base a é o expoente x 
que se deve atribuir à base a para se obter o número b. 
45 
 
Considerando sempre 
10  a
: 
 
Propriedades: 
 
 
A FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Seja um número a tal que 
*a
e 
1a
. É denominada função logarítmica 
à função 

*:f
 dada por: 
 
 
xxf alog)( 
 
 
 
GRÁFICO DE FUNÇÃO LOGARITMICA: 
 
São dois os casos a serem estudados: 
 
Caso 1) a>1 lembrando que x>0 devido ao domínio da função 

*:f
. 
 
Exemplo: construir o gráfico de 
xxf 2log)( 
 
 
x Cálculo f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) , o logaritmo de 1 em qualquer base é sempre 0. 
2) . 
3) 
4) . 
5) 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2) 0<a<1,ou seja, base positiva e menor que 1. 
 
 
Exemplo: construir o gráfico de 
xxf
2
1log)( 
 
 
 
 
x Cálculo f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando o gráfico: 
 
 D(f) = 
 Im(f) = 
 Função __________________. 
 Não corta o eixo ___. 
 Corta o eixo x no ponto _____. 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A inversa da função logarítmica: 
 
Exemplo : 
 
xxf 4log)( 
 a inversa será dada por : 
 
 
Verifique o comportamento dos gráficos visualizando com o auxílio do 
winplot. 
 
 
DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 
A determinação do domínio de uma função logarítmica é feita com a 
imposição das seguintes condições de existência: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: Determinar o domínio de : 
 
 
1) 
8log 6 xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
)2(log2  xy
 
 
 
 
 
Analisando o gráfico: 
 
 D(f) = 
 Im(f) = 
 Função __________________. 
 Não corta o eixo ___. 
 Corta o eixo x no ponto _____. 
 O logaritmando deve ser positivo. 
 A base deve ser positiva e diferente de 1. 
48 
 
 
3) 
)5(log 1   xy x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DOS LOGARÍTMOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)1,,,(  neapositivoscba
 
 
MUDANÇA DE BASE: 
Devido ao fato das propriedades operatórias dos logaritmos serem 
válidas somente quando aplicadas a logaritmos de mesma base, em 
alguns casos é necessário efetuar mudança de base. Tal mudança é feita 
através da expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
)11,,,(  ceapositivoscba
 
 
 
 
 
49 
 
Exemplo: 
 
Passe o 
64log16
 para a base 4. 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES LOGARITMICAS 
 
São equações cujos logaritmos apresentam incógnita no logaritmando, 
na base ou no logaritmo. 
 
Exemplos: 
 
1) 
2)12(log3 x
 
2) 
13log 2 x
 
3) 
116log 2  x
 
 
 
 
 
Na resolução dessas equações devem ser observadas: 
 
 
Exemplos: 
 
1) 
4)42(log2 x
 
2) 
1)(log 2
2
1  xx
 
3) 
48log)3(log)1(log 222  xx
 
4) 
06log)(log 2
2
2  xx
 
5) 
9loglog 24  xx
 
 
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS: 
 
São desigualdades que envolvem logaritmos. 
 
Exemplos: 
 Condições de existência para: 
Logaritmando – deve ser positivo, 
Base – deve ser positiva e diferente de 1. 
 Aplicação das propriedades dos logaritmos. 
 Se o conjunto solução da equação satisfaz as condições de 
existência. 
50 
 
 
1) 
4)42(log2 x
 
2) 
)3(log)12(log 55  xx
 
 
Na resolução de inequações logarítmicas devem ser aplicadas as 
propriedades dos logaritmos, as condições de existência e as 
propriedades descritas abaixo: 
 
Propriedade 1) Se a>1 (base maior que um) 
 
Nesse caso a função é crescente e a resolução é estabelecida com a 
manutenção da desigualdade. 
 
Propriedade 2) Se 0<a<1 (base maior que zero mas menor do que 1) 
 
Nesse caso a função é decrescente e a resolução é estabelecida com a 
inversão da desigualdade. 
 
Exemplos: 
 
1) Resolver em R a inequação 
8loglog 44 x
 
 
2) Resolver em R a inequação 
xx
2
1
2
1 log)12(log 
 
 
3) Resolver em R a inequação 
1)4(log)5(log 22  xx
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Construir o gráfico de: 
 
a) 
xy 3log
 b) 
xy
3
1log
 
 
2) Determinar o domínio das seguintes funções: 
 
 
a) 
)13(log3  xy
 
b) 
2
6
log5



x
x
y
 
c) 
5log 4 xy
 
d) 
)52(log 23  xxy
 
e) 
)26(log 32 xy x  
 
 
 
 
 
51 
 
3) Resolver as seguintes equações logarítmicas em: 
 
a) 
5)448(log 22  xx
 
b) 
2)1(log 21  xx
 
c) 
1)(log 23  xxx
 
d) 
)243(log)12(log 242  xxx
 
e) 
)1(log)3(log)1(log 442  xxx
 
 
4) Resolver as seguintes inequações logarítmicas: 
 
a) 
)12(loglog 22  xx
 
b) 
)(log)6(log
2
1
2
2
1 xx 
 
c) 
)189(log)78(log 25
2
5  xxxx
 
d) 
1log 23  xx