2016 07 22 Cálculo C Lista 1 gabarito

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UFBA - Ca´lculo C - 2016/1 Turma 10 - Prof.o Vinicius C. Laass
Lista de Exerc´ıcios 1 com gabarito
(1) Um pequeno lago conte´m, inicialmente, 1.000.000 de galo˜es (aproximadamente 4.550.000 litros)
de a´gua e uma quantidade desconhecida de um produto qu´ımico indeseja´vel. O lago recebe a´gua
contendo 0,01 grama dessa mesma substaˆncia por gala˜o a uma taxa de 300 galo˜es por minuto. A
mistura sai a mesma taxa, de modo que a quantidade de a´gua no lago permanece constante. Suponha
que o produto qu´ımico esta´ distribu´ıdo uniformemente no lago.
(a) Escreva uma equac¸a˜o diferencial cuja soluc¸a˜o e´ a quantidade de produto qu´ımico no lago em
um instante qualquer. R:
dq
dt
= 300(10−2 − q10−6).
(b) Qual a quantidade de produto qu´ımico que estara´ no lago apo´s um per´ıodo muito longo de
tempo? R: q → 104g. Esta quantidade limite depende da quantidade presente inicialmente?
R: Na˜o.
(2) Sua piscina, contendo 60.000 galo˜es (cerca de 273.000 litros) de a´gua, foi contaminada por 5 kg de
uma tinta na˜o to´xica que a deixa a pele de um nadador com uma cor verde nada atraente. O sistema
de filtragem da piscina pode retirar a a´gua, remover a tinta e devolver a´gua para a piscina a uma
taxa de 200 gal/min (atenc¸a˜o com as unidades de medida).
(a) Seja q(t) a quantidade de tinta na piscina em qualquer instante de tempo t. Modele q(t) atrave´s
de uma equac¸a˜o diferencial. R: q′ = − q
300
q(0) = 5000 g.
(b) Resolva a equac¸a˜o do item (a). R: q(t) = 5000e−t/300
(c) Voceˆ convidou alguns amigos para uma festa em torno da piscina que esta´ marcada para comec¸ar
em 4 horas. Voceˆ ja´ verificou que o efeito da tinta e´ impercept´ıvel se a concentrac¸a˜o e´ menor
do que 0,02 g/gal. Seu sistema de filtragem e´ capaz de reduzir a concentrac¸a˜o de tinta a esse
n´ıvel em 4 horas? R: Na˜o
(d) Encontre o instante t em que a concentrac¸a˜o de tinta alcance, pela primeira vez, o valor de
0,02 g/gal. R: t = 300 ln(25/6) ∼= 7, 136 h.
(e) Qual deveria ser a taxa do fluxo de a´gua no filtro suficiente para obter a concentrac¸a˜o de
0,02 g/gal dentro de 4 horas? R: 250 ln(25/6) ∼= 256, 78 gal/min.
(3) Nos itens abaixo, determine a ordem da equac¸a˜o diferencial e classifique em linear ou na˜o-linear.
(a) t2
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sin t R: Segunda ordem, na˜o-linear.
(b) (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et R: Segunda ordem, na˜o-linear
(c)
d4y
dt4
+
d3y
dt3
+
d2y
dt2
+
dy
dt
+ y = 1 R: Quarta ordem, linear.
(d)
dy
dt
+ ty2 = 0 R: Primeira ordem, na˜o-linear.
(e)
d2y
dt2
+ sin(t + y) = sin t R: Segunda ordem, na˜o-linear.
(f)
d3y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2 t)y = t3 R: Terceira ordem, linear.
(4) Nos itens abaixo, verique que a func¸a˜o (ou func¸o˜es) dada(s) e´ (sa˜o) soluc¸a˜o (soluc¸o˜es) da equac¸a˜o
diferencial.
(a) y′′ − y = 0; y1(t) = et y2 = cosh t R: Sim e sim.
(b) y′′ + 2y′ − 3y = 0; y1(t) = e−3t y2(t) = et R: Sim e sim.
(c) ty′ − t = t2; y = 3t + t2 R: Na˜o.
(d) y′′′′ + 4y′′′ + 3y = t; y1(t) =
t
3
y2(t) = e
−t +
t
3
R: Sim e sim.
1
2
(e) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2 y2(t) = t−1 R: Sim e sim.
(f) t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0, t > 0; y1(t) = t−2 y2(t) = t2 ln t R: Sim e na˜o.
(g) y′′ + y = sec t, 0 < t < pi2 ; y = (cos t) ln cos t + t sin t R: Sim.
(h) y′ − 2ty = 1; y = et2
∫ t
0
e−s
2
ds + et
2
R: Na˜o.