Cálculo - Lista Técnicas de Integração

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Universidade Federal de Goiás Prof: Maxwell Dis
iplina: Cál
ulo I
Instituto de Matemáti
a e Estatísti
a Gyn, 04/11/15 Turma: Físi
a
LISTA 15�Té
ni
as de Integração
1) Cal
ule as seguintes integrais:
a)
∫ √
1 + x2 dx b)
∫ √
1− x2 dx 
)
∫ √
x2 − 1 dx d)
∫
1
1− x2 dx e)
∫
x
(x+ 2)2 − 3 dx
2) Agora que vo
ê já fez o exer
í
io a
ima, 
al
ule as seguintes integrais:
a)
∫
1√
A+Bx2
dx b)
∫
x+ 1√
1 + x2
dx 
)
∫ √1 + ln2(x)
x
dx d)
∫
cos(x) sin(x)√
1 + cos2(x)
dx e)
∫ √
1 + x
2
√
x
dx
3) Cal
ule as seguintes integrais: a)
∫
dx
x2 + 2x+ 5
b)
∫
dx
x2 + x− 2 
)
∫
dx
x2 + x+ 1
4
4) Suponha que 1 g de uma substân
ia quími
a A 
ombine 
om 3 g de outra substân
ia B para formar o
omposto C, e que hajam ini
ialmente 50 g de A e 33 g de B. Denotando por Q(t) a quantidade de C no
instante t, tem-se que Q(t)/4 
orrespondem à massa da substân
ia A e 3Q(t)/4 
orrespondem à de B. Assim,
as quantidades remanes
entes de A e B após t segundos são, respe
tivamente, 50 − Q(t)/4 e 33 − 3Q(t)/4.
Supondo ainda que a taxa Q′(t) de formação do 
omposto C seja propor
ional ao produtos das quantidades
remanes
entes, segue-se que Q(t) satisfaz à equação
(∗∗) Q′(t) = k (50−Q(t)/4) (33− 3Q(t)/4) = K (200−Q(t)) (44−Q(t))
em que k e K são 
onstantes.
a) Para obter a função Q(t), primeiro 
al
ule a integral
∫
dx
(200− x)(44− x) .
(Di
a: es
reva a fração
1
(200− x)(44 − x) =
A
200− x +
B
44− x.)
b) Use a equação (∗∗), o item anterior e subtituição de variáveis para obter uma expressão de Q(t) em termos
da 
onstante K e de uma 
onstante arbitrária L.
) Determine a 
onstante L usando a 
ondição ini
ial Q(0) = 0.
d) Determine a maior quantidade de C que pode ser produzida apartir da reação dada.
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