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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de Matemática MAT0314 - Matemática para Engenharia III Prova 1.1 2015.1 Aluno: Nota: Instruções quanto a consulta: 1. Permitido a consulta da "colinha". 2. Proibido o uso de qualquer tipo de calculadora, celulares, tablets e computadores. Alunos acessando qualquer um destes eletrônicos receberá nota zero na Prova 1.1. Instruções quanto a entrega da prova e atrasos: 1. Não é permitido entregar a prova antes das 13:20. 2. Não será permitida a entrada de alunos atrasados após a saída do primeiro aluno. Instruções quanto a correção da prova: 1. Esta prova representa 50% da nota da UNIDADE I. 2. Só serão corrigidas questões respondidas nas folhas da prova. Questões respondidas a lápis não terão direito a revisão de prova. 3. Será avaliado o desenvolvimento da questão em conjunto com a resposta. Um problema com a resposta correta e sem o desenvolvimento receberá nota zero na questão. 4. Organização e clareza também serão avaliadas na correção. Correção: Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Total 1. (2,0) Considere a equação diferencial dy dx = y − cosx (a) (1,0) Prove que para qualquer condição inicial y(x0) = y0, a solução do problema de valor inicial existe e é única. Solução. Vamos aplicar o Teorema da Existência e Unicidade 1 (TEU1). f(x, y) = y − cosx fy(x, y) = 1 Ambas as funções f e fy são contínuas em todo o R 2 . Logo, para qualquer ponto (x0, y0) é possível achar um retângulo aberto R contendo esse ponto e que f, fy sejam contínuas. Portanto, para qualquer condição inicial, existe uma única solução do PVI definida em (x0−δ, x0+δ) para algum δ > 0. (b) (1,0) Resolva a equação com a condição inicial y(0) = 2. Solução. A EDO é linear e não separável, devemos resolver usando o método do fator integrante. Escrevendo a EDO na forma padrão dy dx − y = − cosx, identificamos p(x) = −1 e q(x) = − cosx. Usando a tabela de integrais dada µ = e ∫ pdx = e−x e ∫ µq dx = − ∫ e−x cosx dx = −e −x(− cosx+ sinx) 2 = e−x(cosx− sinx) 2 . Colocando na fórmula y(x) = 1 µ (∫ µq dx+ C ) = 1 e−x ( e−x(cosx− sinx) 2 + C ) = (cosx− sinx) 2 + Cex Para achar C, usamos que y(0) = 2: 2 = cos 0− sin 0 2 + C ⇒ 2 = 1 2 + C ⇒ C = 3 2 . Solução do PVI: y(x) = (cosx− sinx) 2 + 3 2 ex 2. (2,5) O crescimento de uma população de insetos é dada por dP dt = P (10− P ), onde P a quantidade de mosquitos (em milhares) no tempo t (em meses). O campo de direções da equação é dado na figura abaixo. (a) (0,5) Se a população inicial for de 9.999 insetos, ela pode chegar a 10.001 insetos? Por que? Solução. Não. Analisando o campo de direções, vemos que a população de 9.999 insetos irá sempre crescer tendendo a população limitante de 10.000 quando t→∞. (b) (0,5) A população limitante, limt→∞ P (t) depende da população inicial? Explique sua resposta. Solução. Não depende, a população limitante é sempre 10.000 insetos. Analisando o campo de direções vemos que se a população inicial for maior que 10.000 ela decresce tendendo a população limitante quando t→∞. Se a população inicial for menor que 10.000 ela cresce tendendo a população limitante quando t→∞. (c) (1,5) Considere que a população inicial é de 5.000 insetos, determine o tempo até que a população chegue a 7.500 insetos. Solução. Devemos resolver o PVI { P ′ = P (10− P ) P (0) = 5 Esta EDO não é linear, entretanto ela é separável. Separando as variáveis temos P ′ P (10− P ) = 1 =⇒ ∫ dP P (10− P ) = ∫ 1 dt Usando a tabela de integrais dada: 1 10 ln ∣∣∣∣ PP − 10 ∣∣∣∣ = t+ C. Para achar a constante C, usamos que P (0) = 5: 1 10 ln ∣∣∣∣ 55− 10 ∣∣∣∣ = 0 + C =⇒ 110 ln 1 = C =⇒ C = 0. A solução implícita do PVI é dada por t = 1 10 ln ∣∣∣∣ PP − 10 ∣∣∣∣ . Para achar t tal que a população é de 7.500 insetos, basta substituir na solução: t = 1 10 ln ∣∣∣∣ 7.57.5− 10 ∣∣∣∣ = 110 ln ∣∣∣∣7.52.5 ∣∣∣∣ = 110 ln 3 meses 3. (2,5) Era meio-dia em um dia de junho em Natal: 27 o C. O detetive Ed Mort chegou à cena do crime e encontrou o sargento inclinado sobre o corpo. O sargento disse que havia vários suspeitos. Se eles soubessem a hora exata da morte, eles poderiam reduzir a lista de suspeitos e encontrar o assassino. O detetive Ed Mort apanhou um termômetro e mediu a temperatura do corpo: 34 o C. Ao retornar às 13h, descobriu que a temperatura do corpo era 30,5 o C. Determine, aproximadamente, a que horas ocorreu o assassinato, sabendo que a temperatura normal do corpo é 37 o C. Assuma que: • a temperatura em Natal se manteve constante durante todo o dia, e • a Lei de resfriamento de Newton se aplica. • ln(7/10)/ ln(2) ≈ −0, 5146 Solução. Lei de resfriamento de Newton: dT dt = k(M − T ), onde M é a temperatura ambiente. Logo, M = 27. Este problema pode ser resolvido de várias maneiras. A EDO é linear e separável. Além disso, pode-se usar diferentes referenciais para os tempos dados. A solução apresentada aqui usa separação de variáveis e assume meio-dia como sendo o tempo t = 0 e 13hs como sendo o tempo t = 1. Separando variáveis: T ′ (27− T ) = k =⇒ ∫ dT (27− T ) = ∫ k dt =⇒ − ln |27− T | = kt+ C Vamos utilizar os dados T (0) = 34 e T (1) = 30, 5 para determinar as constantes k e C: • T (0) = 34: − ln |27− 34| = 0 + C =⇒ C = − ln 7 • T (1) = 30, 5: − ln |27− 30, 5| = k − ln 7 =⇒ k = − ln 3, 5 + ln 7 Usando a propriedades do logaritmo: k = ln ( 7 3, 5 ) = ln 2 Achamos a solução implícita do problema: − ln |27− T | = t ln 2− ln 7 Queremos o tempo em que T = 37: − ln |27− 37| = t ln 2− ln 7 =⇒ − ln 10 + ln 7 = t ln 2 =⇒ t ln 2 = ln ( 7 10 ) =⇒ t ≈ −0, 5146 Como definimos meio-dia como o tempo t = 0, o assassinato ocorreu cerca de 0, 5 horas antes do meio dia. Portanto o assassinato ocorreu cerca de 11:30 da manhã. 4. (3,0) Considere a equação diferencial (2x2 + 3y2 − 20)y′ + xy = 0 (a) (0,5) A equação é linear? Separável? Exata? Solução. • Não é linear: o coeficiente de y′ depende de y. • Não é separável: a soma (2x2 + 3y2 − 20) impossibilita a separação de variáveis. • Não é exata: pelo TE (My = x) 6= (Nx = 4x) (b) (1,0) Multiplique a equação por yn e determine o valor de n que tornam a equação resultante exata. Solução. Multiplicando por yn chegamos a (2x2yn + 3y2+n − 20yn)y′ + xyn+1 = 0. Na EDO resultante: M˜ = xyn+1 N˜ = 2x2yn + 3y2+n − 20yn. Para ser exata, ela deve satisfazer o TE, isto é ∂M˜ ∂y = ∂N˜ ∂x Fazendo as contas, devemos ter (n+ 1)xyn = 4xyn O que implica que a EDO será exata se n+ 1 = 4, ou seja, se n = 3 . (c) (1,5) Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original. Solução. Apesar das duas EDOs serem diferentes, o conjunto solução de ambas é o mesmo. Logo, basta resolver a exata: (2x2y3 + 3y5 − 20y3)y′ + xy4 = 0. Integrando F (x, y) = ∫ M˜ dx = ∫ xy4 dx = x2y4 2 + g(y). Derivando a F (x, y) calculada acima com respeito a y devemos ter N˜ : ∂F ∂y = 2x2y3 + g′(y) = 2x2y3 + 3y5 − 20y3 Portanto, g′(y) = 3y5 − 20y3 ⇒ g(y) = y 6 2 − 5y4 + C1 Encontramos assim F (x, y) = x2y4 2 + y6 2 − 5y4 + C1. A solução implícita da EDO é dada por F (x, y) = C2. Portanto a solução geral implícita da EDO é x2y4 2 + y6 2 − 5y4 = C onde C = C2 − C1. Tabela de Integrais ∫ tα dt = tα+1 α + 1 + C, α 6= −1 ∫ eat dt = eat a + C ∫ 1 t− a dt = ln |t− a|+ C ∫ 1 t(a− t) dt = 1 a ln ∣∣∣∣ tt− a ∣∣∣∣+ C ∫ eat sin btdt = eat(a sin bt− b cos bt) a2 + b2 + C ∫ eat cos btdt = eat(a cos bt+ b sin bt) a2 + b2 + C
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