Prova 3.2 - Viviane Klein - UFRN

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Matemática
MAT0314 - Matemática para Engenharia III
Prova 3.2 2015.1
Aluno: Nota:
Instruções quanto a consulta:
1. Permitido a consulta da "colinha"e o uso de calculadora científica.
2. Proibido o uso de qualquer de calculadora, celulares, tablets e computadores. Alunos acessando qualquer
um destes eletrônicos receberá nota zero na Prova 3.2.
Instruções quanto a entrega da prova e atrasos:
1. Não é permitido entregar a prova antes das 13:20.
2. Não será permitida a entrada de alunos atrasados após a saída do primeiro aluno.
Instruções quanto a correção da prova:
1. A prova 3.2 e o trabalho representam 50% da nota da UNIDADE III.
2. Só serão corrigidas questões respondidas nas folhas da prova. Questões respondidas a lápis não terão
direito a revisão de prova.
3. Será avaliado o desenvolvimento da questão em conjunto com a resposta. Um problema com a resposta
correta e sem o desenvolvimento receberá nota zero na questão.
4. Organização e clareza também serão avaliadas na correção.
Correção:
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Trabalho: Série de Taylor
Trabalho Extra: Eq.do Calor/Onda
Total
1. (1,0) Uma corda é distendida e fixada ao eixo x em x = 0 e x = pi para t > 0. Se as vibrações transversais
ocorrem em um meio que oferece uma resistência proporcional à velocidade instantânea, então a equação
da onda toma a forma
uxx = utt + ut, 0 < x < pi, t > 0,
com as condições de contorno:
u(0, t) = u(pi, t) = 0.
Considere que a corda tem velocidade inicial zero e posição inicial f(x).
Aplique o método de separação de variávies supondo que u(x, t) = X(x)T (t) e mostre, passo-a-passo, que
achar a solução de u(x, t) precisamos resolver as equações diferenciais ordinárias
X ′′(x) + λX(x) = 0,
T ′′(t) + T ′(t) + λT (t) = 0.
Não é necessário resolver as EDOs.
Solução. Vamos supor que a solução da equação diferencial parcial (EDP) é dada na forma
u(x, t) = X(x)T (t).
Como u é solução, deve satisfazer a equação. Calculando as derivadas parciais temos,
uxx = X
′′(x)T (t), ut = X(x)T ′(t), utt = X(x)T ′′(t),
substituindo na EDP
X ′′(x)T (t) = X(x)T ′′(t) +X(x)T ′(t).
Organizando e separando as variáveis
X ′′(x)T (t) = X(x)(T ′′(t) + T ′(t))⇐⇒ X
′′(x)
X(x)
=
T ′′(t) + T ′(t)
T (t)
.
Para que a igualdade acima possa acontecer é necessário que
X ′′(x)
X(x)
e
T ′′(t) + T ′(t)
T (t)
sejam iguais a uma
constante. Por conveniência, chamaremos esta constantes de −λ.
Desta forma,
X ′′(x)
X(x)
= −λ⇐⇒ X ′′(x) = −λX(x)⇐⇒ X ′′(x) + λX(x) = 0,
e
T ′′(t) + T ′(t)
T (t)
= −λ⇐⇒ T ′′(t) + T ′(t) = −λT (t)⇐⇒ T ′′(t) + T ′(t) + λT (t) = 0,
conforme queríamos demonstrar.
2. (4,0)
(a) (1,0) Esboce o gráfico de f(x) por pelo menos três períodos dado que:
• f é uma função par;
• f é uma função periódica com período 2pi;
• no intervalo [0, pi], a função f é definida por
f(x) =
{
1, 0 < x < pi/2,
2, pi/2 < x < pi.
Solução.
x
f(x)
2
−pi
2
pi −3pi
2
2pi −5pi
2
3pi
1
−pi
2
pi−3pi
2
−2pi−5pi
2
−3pi
(b) (1,5) Encontre a série de Fourier da f(x).
Solução. A série de Fourier de uma função é dada por
SF [f ] =
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an cos
(npix
L
)
+ bn sin
(npix
L
)]
.
Para determiná-la, é necessário calcular os coeficientes a0, an's e bn's. Como f é uma função par,
sabemos que
a0 =
1
L
∫ L
−L
f(x) dx =
2
L
∫ L
0
f(x) dx,
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
(npix
L
)
dx =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(npix
L
)
dx, e
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sin
(npix
L
)
dx = 0.
O parâmetro L representa metade do período de f(x), logo L = pi. Assim,
a0 =
2
L
∫ L
0
f(x) dx =
2
pi
∫ pi
0
f(x) dx =
2
pi
(∫ pi/2
0
1 dx+
∫ pi
pi/2
2 dx
)
=
2
pi
(
x
∣∣∣pi/2
0
+ 2x
∣∣∣pi
pi/2
)
=
2
pi
(pi
2
+ pi
)
= 3,
an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(npix
L
)
dx =
2
pi
∫ pi
0
f(x) cos(nx) dx =
2
pi
(∫ pi/2
0
cos(nx) dx+
∫ pi
pi/2
2 cos(nx) dx
)
=
2
pi
(
sin(nx)
n
∣∣∣∣pi/2
0
+ 2
sin(nx)
n
∣∣∣∣pi
pi/2
)
=
2
npi
(
sin
(npi
2
)
− 2 sin
(npi
2
))
= − 2
npi
sin
(npi
2
)
.
Como visto em aula, sin
(npi
2
)
= 0 se n é par e sin
(
(2n− 1)pi
2
)
= (−1)n+1. Portanto somente os
termos ímpares serão não nulos.
Resposta:
SF [f ] =
3
2
+
∞∑
n=1
− 2
npi
sin
(npi
2
)
cos(nx).
Resposta Simplificada:
SF [f ] =
3
2
+
∞∑
n=1
2(−1)n
(2n− 1)pi cos((2n− 1)x).
(c) (1,5) Dando um valor conveniente para x, use a série encontrada no item (b) e o Teorema da
Convergência da Série de Fourier para mostrar que
∞∑
n=1
(−1)n
2n− 1 = −
pi
4
.
Solução. Para resolver esta questão precisamos da resposta simplificada do item anterior
SF [f ] =
3
2
+
∞∑
n=1
2(−1)n
(2n− 1)pi cos((2n− 1)x).
Escolhendo x = 0 temos que cos((2n − 1)x) = cos 0 = 1 para todo n. Além disso, em x = 0 a série
de Fourier da f(x) converge para 1. Logo,
1 =
3
2
+
∞∑
n=1
2(−1)n
(2n− 1)pi ,
implicando
1− 3
2
=
∞∑
n=1
2(−1)n
(2n− 1)pi .
Tirando a constante
2
pi
do somatório chegamos a
−1
2
=
2
pi
∞∑
n=1
(−1)n
(2n− 1) .
Portanto,
−pi
4
=
∞∑
n=1
(−1)n
(2n− 1) ,
como queríamos demonstrar.
Observação: outra escolhas de x eram possíveis.
3. (2,0) Encontre a solução formal do problema de corda vibratória
utt = 4uxx, 0 < x < 2, t > 0;
u(0, t) = 0, u(2, t) = 0, t > 0;
u(x, 0) = 1, 0 < x < 2;
ut(x, 0) = 8 sin(2pix)− 3 sin(5pix), 0 < x < 2.
Solução. Sabemos que a solução do problema da corda vibrante de comprimento L e presa nas extremidades
tem solução
u(x, t) =
∞∑
n=1
{[
an cos
(
npiαt
L
)
+ bn sin
(
npiαt
L
)]
sin
(npix
L
)}
,
onde α2 = 4 e L = 2. Resta determinar as constantes an e bn que sabemos estar relacionadas com a posição
(f(x)) e velocidade (g(x)) inicial da corda pelas fórmulas
f(x) =
∞∑
n=1
an sin
(npix
L
)
, ou seja, an =
2
L
∫ L
0
f(x) sin
(npix
L
)
dx,
e
g(x) =
∞∑
n=1
bn
npiα
L
sin
(npix
L
)
, ou seja, bn
npiα
L
=
2
L
∫ L
0
g(x) sin
(npix
L
)
dx.
Calculando os an's através da integral com f(x) = 1
an =
2
L
∫ L
0
f(x) sin
(npix
L
)
dx =
2
2
∫ 2
0
sin
(npix
2
)
dx = − 2
npi
cos
(npix
2
)∣∣∣∣2
0
= − 2
npi
[cos(npi)− 1] = 2
npi
[1− (−1)n]
Como g(x) = 8 sin(2pix)−3 sin(5pix) fica mais fácil determinar os bn's através do somatório. Como (substituindo
L = α = 2)
8 sin(2pix)− 3 sin(5pix) =
∞∑
n=1
bn(npi) sin
(npix
2
)
,
concluímos que todos os bn's são zero com exceção de
b4(4pi) = 8⇐⇒ b4 = 2
pi
e de
b10(10pi) = −3⇐⇒ b10 = − 3
10pi
.
Como encontramos infinitos an's e apenas dois bn's não nulos, fica mais fácil separar o somatório em u(x, t) em
dois para representar a resposta (substituindo L = α = 2)
u(x, t) =
∞∑
n=1
an cos(npit) sin
(npix
2
)
+
∞∑
n=1
bn sin(npit) sin
(npix
2
)
.
Substituindo os coeficientes encontrados, temos que
u(x, t) =
2
pi
sin(4pit) sin(2pix)− 3
10pi
sin(10pit) sin(5pix) +
∞∑
n=1
{
2
npi
[1− (−1)n] cos(npit) sin
(npix
2
)}
.
Algumas integrais:
1.
∫
sin(ax) dx =
− cos(ax)
a
2.
∫
cos(ax) dx =
sin(ax)
a
3.
∫
sin(ax) sin(bx) dx =
b sin(ax) cos(bx)− a cos(ax) sin(bx)
a2 − b2
4.
∫
cos(ax) cos(bx) dx =
a sin(ax) cos(bx)− b cos(ax) sin(bx)
a2 − b2
5.
∫
x2 sin(ax) dx =
2x
a2
sin(ax) +
(
2
a3
− x
2
a
)
cos(ax)
6.
∫
x2 cos(ax) dx =
2x
a2
cos(ax) +
(
x2
a
− 2
a3
)
sin(ax)7.
∫
ex sin(ax) dx =
ex(sin(ax)− a cos(ax))
a2 + 1
8.
∫
ex cos(ax) dx =
ex(a sin(ax) + cos(ax))
a2 + 1
9.
∫
x sin(ax) dx =
sin(ax)
a2
− x cos(ax)
a
10.
∫
x cos(ax) dx =
cos(ax)
a2
+
x sin(ax)
a