a2x²y + a₁xy + aoy = f(x) é chamada de Equação de Cauchy-Euler de segunda ordem. A solução deste tipo de equação está ligada a substituição da fun...

Para resolver a equação \(x^2y'' + 2xy' = 0\), podemos fazer a substituição \(y = x^m\). Vamos encontrar a solução geral: 1. Calculando a primeira e segunda derivadas de \(y = x^m\): \(y' = mx^{m-1}\) e \(y'' = m(m-1)x^{m-2}\). 2. Substituindo \(y\), \(y'\) e \(y''\) na equação dada: \(x^2(m(m-1)x^{m-2}) + 2x(mx^{m-1}) = 0\). 3. Simplificando a equação acima: \(m(m-1)x^m + 2mx^m = 0\), \(m^2x^m - mx^m = 0\), \(m(m-1)x^m = 0\). 4. Para que a equação seja satisfeita, temos duas soluções possíveis: \(m = 0\) ou \(m = 1\). Portanto, a solução geral da equação diferencial \(x^2y'' + 2xy' = 0\) é dada por: \(y(x) = c_1x^0 + c_2x^1\), \(y(x) = c_1 + c_2x\), onde \(c_1\) e \(c_2\) são constantes.