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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
Carlos Roberto Padovani
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Carlos Roberto Padovani é professor titular de Bioestatística do Instituto de Bio -
ciências, Unesp, câmpus de Botucatu, tendo atuado como professor e/ou orientador 
de Programas de Pós-Graduação da USP, Unicamp, Unesp, UFMT e UnB. Foi bol-
sista produtividade do CNPq; membro da Comissão de Avaliação de Programas de 
Pós-Graduação junto à Capes; coordenador da Área de Ciências Biológicas junto 
à Runesp, presidente da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria. 
Atualmente ministra disciplinas da área de Estatística na graduação e de Bioestatística 
e Metodologia da Pesquisa Científi ca em vários programas de Pós-Graduação na Unesp, 
com orientações em nível de Mestrado e Doutorado e supervisão de Pós-Doutorado.
O texto apresenta noções básicas, históricas e conceituais de delineamentos experimen-
tais, em particular dos planejamentos inteiramente casualizado e em blocos completos 
casualizados, complementado com os esquemas fatoriais, correlação e regressão linear 
simples e testes de aderência e associação para variáveis categorizadas. A abordagem não 
é realizada sob o aspecto tradicional de fórmulas e uso de “pacotes” computacionais para 
os cálculos estatísticos, mas sim, trazendo à realidade o planejamento e o desenvolvimento 
da experimentação aos alunos das áreas de Ciências Biológicas e da Saúde.
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DELINEAMENTO DE 
EXPERIMENTOS
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Universidade Estadual Paulista
 Reitor Julio Cezar Duriganr
Pró-Reitor de Graduação Laurence Duarte Colvara
Pró-Reitor de Pós-Graduação Eduardo Kokubun
Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini
 Pró-Reitora de Extensão Universitária Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-Reitor de Administração Carlos Antonio Gamero
Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagottol
Chefe de Gabinete Roberval Daiton Vieira
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DELINEAMENTO DE 
EXPERIMENTOS
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a Carlos Roberto Padovani
São Paulo
2014
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©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2014.
Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp
Padovani, Carlos Roberto
Delineamento de experimentos / Carlos Roberto Padovani. – 
São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Paulista,
Pró-Reitoria de Graduação, 2014
128 p. : tabs.
Bibliografia
ISBN: 978-85-7983-523-0
1. Planejamento Experimental. 2. Bioestatística. I. Título. II.
Universidade Estadual Paulista. Pró-Reitoria de Graduação.
 CDD 378.8161
P124d
Pró-reitorr Laurence Duarte Colvara
Secretária Joana Gabriela Vasconcelos Deconto
Assessoria José Brás Barreto de Oliveira 
 Maria de Lourdes Spazziani
 Valéria Nobre Leal de Souza Oliva
Técnica Bambina Maria Migliori 
 Camila Gomes da Silva
 Cecília Specian
 Eduardo Luis Campos Lima
 Gisleide Alves Anhesim Portes
 Ivonette de Mattos
 Maria Emília Araújo Gonçalves
 Maria Selma Souza Santos 
 Renata Sampaio Alves de Souza
 Sergio Henrique Carregari
Projeto gráfi co e diagramação Andrea Yanaguita
equipe
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PROGRAMA DE APOIO
À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
Considerando a importância da produção de material didático-pedagógi-
co dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, 
por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a
Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção
de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio
às aulas, material audiovisual, homepages, soft wares, material artístico e outras
mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibi-
lizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado
sob demanda.
Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade
acadêmica mais esta obra, “Delineamento de Experimentos”, de autoria do
Prof. Dr. Carlos Roberto Padovani, do Instituto de Biociências do Câmpus de
Botucatu, esperando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da
UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado.
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SUMÁRIO
 1. Delineamento de Experimentos 9
 1.1. Introdução 9
 1.2. Delineamento ou Planejamento ou Desenho (“Design”) do Experimento 13
 1.3. Delineamentos Experimentais 17
 1.4. Exemplos 18
 2. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) 20
 2.1. Introdução 20
 2.2. Modelo do Experimento DIC com Dados Balanceados 20
 2.3. Procedimento Estatístico: Análise de Variância 22
 2.4. Independência dos Erros 23
 2.5. Variância Constante (Homocedasticidade) 25
 2.6. Normalidade dos Erros 26
 2.7. Técnica da Análise de Variância (ANOVA) 29
 2.8. Coefi cientes de Determinação e Variação de um Experimento 33
 2.9. Comparações Múltiplas 34
 2.10. Exercícios (DIC com Dados Balanceados) 36
 2.11. Respostas dos Exercícios (DIC com Dados Balanceados) 38
 2.12. Modelo do Experimento DIC com Dados Não Balanceados 40
 2.13. Exercícios (DIC Não Balanceado) 43
 2.14. Respostas dos Exercícios (DIC Não Balanceado) 44
 3. Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) 47
 3.1. Introdução 47
 3.2. Modelo do Experimento (Biológico) 49
 3.3. Procedimento Estatístico: Análise de Variância 50
 3.4. Comparações Múltiplas 53
 3.5. Exercícios (DBCC) 54
 3.6. Respostas dos Exercícios (DBCC) 55
 4. Esquemas Fatoriais 57
 4.1. Introdução 57
 4.2. Esquema Fatorial a*b no DIC 58
 4.3. Exemplo de Fatorial a*b no DIC 63
 4.4. Esquema Fatorial a*b no DBCC 65
 4.5. Exemplo de Fatorial a*b no DBCC 68
 4.6. Exercícios (Esquemas Fatoriais: DIC e DBCC) 71
 4.7. Respostas dos Exercícios (Esquemas Fatoriais : DIC e DBCC) 72
 5. Análise de Aderência e Associação 75
 5.1. Introdução 75
 5.2. Teste de Aderência 75
 5.3. Teste de Homogeneidade 78
 5.4. Teste de Independência 82
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 5.5. Exercícios (Testes de Aderência e Associação) 84
 5.6. Respostas dos Exercícios (Testes de Aderência e Associação) 87
 6. Correlação Linear Simples 89
 6.1. Introdução 89
 6.2. Diagrama de Dispersão 90
 6.3. Coefi ciente de Correlação 91
 6.4. Teste de Hipótese da Correlação 94
 6.5. Exercícios (Correlação Linear Simples) 95
 6.6. Respostas dos Exercícios (Correlação Linear Simples) 98
 7. Regressão Linear Simples 101
 7.1. Introdução 101
 7.2. Modelo de Regressão Linear Simples 102
 7.3. Coefi ciente de Determinação 107
 7.4. Teste do Coefi ciente (Angular) de Regressão 108
 7.5. Exercícios (Regressão Linear Simples) 109
 7.6. Respostas dos Exercícios (Regressão Linear Simples) 112
 8. Bibliografi a 115
 9. Tabelas 117
 Tabela 9.1 Distribuição t de Student P t t t− < <( )= −⎡⎣ ⎤⎦0 0 1 a 117
 Tabela 9.2 DistribuiçãoQui-quadrado P χ χ α
2
0
2>( )=⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ 118
 Tabela 9.3 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 01, 119
 Tabela 9.4 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 05, 120
 Tabela 9.5 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 10, 121
 Tabela 9.6 Distribuição “studentized range” ( )q Tukey0 01 1, ; : %ϕ ( )[ ] 122
 Tabela 9.7 Distribuição “studentized range” ( )q Tukey0 05 5, ; : %ϕ ( )[ ] 124
 Tabela 9.8 Distribuição “studentized range” ( )q Tukey0 10 10, ; : %ϕ ( )[ ] 126
 Tabela 9.9 Valores críticos do coefi ciente de correlação linear de Pearson 
 (teste bilateral) 128
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1
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
1.1 INTRODUÇÃO
Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) nasceu em Londres no dia 17 de 
fevereiro de 1890 e bacharelou-se em Matemática pela Universidade de Cam-
bridge em 1912. Sua miopia exagerada salvou da convocação para o serviço mili-
tar na 1ª Guerra Mundial, defeito que possibilitou desenvolver um treinamento 
matemático de alta abstração (visualização no plano imaginário) o que deve ter 
contribuído para sua preferência pela apresentação hipergeométrica, possibili-
tando assim a exibir soluções singulares independentes de simbolismo algébrico.
No início do século XX, em 1919, após trabalhar dois anos como estatísti-
co e mais quatro como professor de matemática e física em escolas públicas 
recebeu o convite para criar e chefi ar um laboratório de estatística na Estação 
Experimental de Agricultura de Rothamstead, Inglaterra, onde permaneceu 
até 1933.
Durante este período, unido a outros estatísticos e pelo contato diário 
com problemas da área agrícola, Fisher desenvolveu os métodos de análise e 
os delineamentos experimentais, conforme descreve SALSBURG(2009). Car-
acteriza-se por delineamento do experimento ou delineamento experimental 
(experimental design, em inglês, diseño experimental, em espanhol) o modo 
de dispor as parcelas no experimento, ou seja, a maneira de designar os trata-
mentos às unidades experimentais ou parcelas. A técnica mais fi sheriana trata-
se de análise de variância. Juntamente com a análise de covariância, também 
de sua autoria, constitui-se no instrumental básico para interpretação dos re-
sultados dos experimentos planejados. Deve ser destacado que esses métodos 
procedentes do cotidiano agrícola se tornaram universais e aplicáveis em todas 
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as áreas de conhecimento: medicina, psicologia, engenharia, odontologia, bio-
logia, ecologia, entre outras.
Porém, como a formalização dos procedimentos ocorreu em um ambiente
agrícola, a origem dos termos técnicos da experimentação apresenta conota-
ção bem agronômica. Assim o termo parcela foi criado para designar a uni-
dade de área usada no experimento. Essa unidade de área era, originalmente,
uma faixa de terra ou um vaso. Hoje, parcela, tem um signifi cado mais geral,
pois, dependendo do experimento pode ser um animal, uma pessoa, uma peça
anatômica, um corpo de prova, entre várias outras possibilidades que podem
ser utilizadas como unidades experimentais. A terminologia mais utilizada,
atualmente consiste em designar parcela por unidade experimental, que con-
siste na unidade física ou biológica para conduzir o experimento.
De mesma maneira, o termo tratamento também foi introduzido pela área
agrícola. Indicava o que estava em comparação: fertilizantes, inseticidas, var-
iedades, nutrientes. Hoje o termo tratamento tem um signifi cado mais geral.
Muitos experimentos são feitos para comparar métodos, grupos, produ-
tos, máquinas, materiais e, inclusive, combinações destes. Mas o interesse, em
experimentação, nem sempre é de comparar tratamentos. Muitas vezes, pre-
tende-se apenas saber se determinado tratamento produz efeito (nesse caso,
compara-se um grupo que recebeu tratamento - Grupo Tratado – com um
grupo que não recebeu o tratamento – Grupo Controle ou Testemunha).
A respeito do grupo controle duas considerações quanto à sua constitu-
ição podem ser feitas: Controle Negativo e Controle Positivo. O grupo controle
negativo é composto por unidades experimentais que não recebem tratamento
(“virgem de tratamento”), ou recebem apenas placebo (substância inerte). No
entanto, o grupo controle positivo, constitui-se de unidades que recebem o
tratamento padrão ou convencional. Na prática, a terminologia grupo controle
ou testemunha é utilizada como sinônimo de controle negativo.
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Delineamento de Experimentos | 11
Embora o uso de grupo controle já esteja consagrado em experimentação,
na área médica, torna-se fundamental discutir a ética de constituir o grupo
controle negativo. Neste sentido, a experimentação com seres humanos exige
um aprofundamento quanto às questões éticas do uso de placebo (controle
negativo), inclusive pelo fato de se caracterizar por omissão de tratamento.
A exequibilidade do experimento está subordinada ao princípio básico da
repetição, segundo o qual indica que se deve ter repetições do experimento
para que seja possível produzir uma medida de variabilidade que permitirá a
realização dos testes de hipóteses sobre a presença de efeitos dos tratamentos
ou à estimação desses efeitos. O número de unidades experimentais (parcelas
ou repetições) para cada tratamento deve ser determinado a partir de informa-
ções sobre a variabilidade das parcelas em termos da variável resposta (depen-
dente), custo e poder dos testes de signifi cância.
Em experimentação a proposta básica que se formula consiste em com-
parar grupos, não apenas unidades. As medidas experimentais do mesmo 
grupo recebem o nome de repetições. Do ponto de vista estatístico é sem-
pre desejável que os experimentos tenham grande número de repetições por
grupo. Na prática, muitas vezes, o número de repetições fi ca limitado aos re-
cursos (físicos, fi nanceiros, materiais,...) disponíveis. Um dado importante que
deve ser considerado para o tamanho dos grupos, consiste em: quanto mais
homogêneo for o material - em termos de características que possam inter-
ferir nas observações ou medições que serão feitas - menor será o número de
repetições necessário para evidenciar o efeito signifi cativo de tratamentos.
No contexto experimental, defi ne-se fator como uma característica em es-
tudo da qual há interesse em verifi car a inferência sobre uma resposta do experi-
mento, conforme destacam ANDRADE & OGLIARI (2007). Os níveis do fator
constituem os tratamentos do estudo. Um fator é indicado como quantitativo
quando seus níveis são referentes a quantidades (doses de uma droga, níveis de
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adubação, etc). Por outro lado, um fator é referido qualitativo quando seus níveis 
são relativos a atributos (diferentes dietas, variedades de capim, etc).
Defi nidos os fatores e seus respectivos níveis que serão designados como 
os tratamentos do estudo, a unidade experimental (parcela) e a variável de-
pendente, torna-se necessário estabelecer qual o esquema de alocação dos 
tratamentos às unidades experimentais será utilizado, ou seja, como deve ser 
conduzido o delineamento experimental.
Para formar grupos tão iguais quanto possível é fundamental que os trata-
mentos sejam sorteados às unidades experimentais (casualização). Ou seja, o 
que importa é entenderque os tratamentos devem ser designados às unidades 
experimentais por puro e simples sorteio. A casualização teve início em 1920 
na área agronômica, porém, na pesquisa médica, só começou a ser aceita mui-
to mais tarde. A idéia de “sortear” os pacientes que irão receber o tratamento 
pode levantar questões de ética. Os que fazem objeções ao uso de casualização 
em experimentos médicos usam o argumento de que não é ético “sortear” o 
tratamento para alguns pacientes e deixar outros sem tratamento. Ora, essa 
objeção refere-se à condução do experimento e não à técnica de casualizar.
Não existem alternativas válidas para a casualização. O pesquisador que 
escolhe as unidades por critério próprio por melhores que sejam as intenções, 
introduz tendenciosamente nos resultados.
O princípio da casualização pode ser considerado como uma das maio-
res contribuições dos procedimentos estatísticos à ciência experimental, pois 
nele está assegurada a fi dedignidade das conclusões. O efeito de proceder a 
casualização constitui-se na garantia que parcelas (unidades experimentais) 
com características diferentes tenham igual probabilidade de serem designa-
das para todos os grupos.
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Delineamento de Experimentos | 13
1.2 DELINEAMENTO OU PLANEJAMENTO OU DESENHO (“DESIGN”) DO
EXPERIMENTO
O procedimento geral e comum na pesquisa científi ca consiste em formu-
lar hipóteses (afi rmativas sob julgamento) e verifi cá-las diretamente ou por suas
consequências. Neste sentido, faz-se necessário um conjunto de observações e o
planejamento de experimentos é então imprescindível para indicar o procedi-
mento que será utilizado para verifi car se as hipóteses são verdadeiras ou falsas.
As hipóteses são avaliadas por meio de métodos de tomada de decisão
estatística (teoria das probabilidades) cujos procedimentos quantitativos e
análises objetivas (teoria estatística) dependem da maneira sob a qual as ob-
servações foram obtidas. Procedimento bem distinto da matemática no qual
para calcular a área de uma fi gura plana, por exemplo, de um triângulo, basta
multiplicar sua base por sua altura e dividir por dois que se obtém de maneira
exata o valor numérico relativo à área desejada.
Nas áreas das ciências biológicas a situação é bem mais complexa, surgem
inúmeras causas de variação de controle impossível ou só parcialmente pos-
sível (variações genéticas, erros de medidas inerentes à precisão dos aparelhos,
efeitos sazonais, etc). Essas causas de variação, várias e às vezes até desconhe-
cidas ou mal conhecidas, acumulam variações nos dados observados que pos-
sibilitam alterar em menor ou maior intensidade os resultados das unidades
experimentais, cuja precisão deve ser discutida em termos probabilísticos de
quão prováveis são os valores encontrados. Neste contexto, troca-se a exatidão
da matemática pela construção probabilística das possibilidades dos resulta-
dos encontrados nos dados (precisão das informações estatísticas). O plane-
jamento experimental e a análise estatística dos resultados estão interligados
e, desta forma, devem ser considerados de maneira sucessiva nas pesquisas
científi cas de todas as áreas de conhecimento (Sampaio, 2010).
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS14 |
Existe uma semelhança muito expressiva entre o médico e o estatístico 
(“cuidador da saúde dos números”).
O primeiro passo para o médico é o diagnóstico (para o estatístico, o 
planejamento); saber onde há necessidade de cura (qual o modelo para coleta 
de dados). A primeira atitude dos médicos é examinar os sintomas – se você 
chegar ao médico já pedindo determinado remédio, não será atendido; antes, 
é preciso saber quais os sintomas aparentes do problema, detectando os sinto-
mas físicos (material e métodos) e emocionais (imparcialidade e não viés de 
planejamento) – para fi nalmente realizar a prescrição.
Assim acontece com a estatística, a análise dos dados (prescrição de remé-
dio) deve acontecer após o conhecimento dos sintomas (características da pes-
quisa em estudo) para que se tenha o diagnóstico (modelo do delineamento 
experimental).
Segundo Sir Ronald Aylmer Fisher, o arquiteto da estatística experimental: 
“Chamar o especialista em estatística depois que o experimento foi feito pode 
ser o mesmo que pedir para ele fazer um exame post-mortem. Talvez ele con-
siga dizer de que foi que o experimento morreu”.
A melhor maneira para a visualização sequencial destes aspectos consiste 
em considerar a circularidade do método científi co, no qual pode-se verifi car 
a necessidade e a importância do planejamento experimental juntamente com 
a análise estatística de dados.
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Delineamento de Experimentos | 15
Observações (2)
(Planejamento)
Formulação de hipóteses (1)
(Planejamento)
Verifi cação das hipóteses (3)
(Análise)
Desenvolvimento 
da Teoria (4)
Uma pesquisa científi ca estatisticamente planejada deve seguir a seguinte
sequência de passos quanto ao planejamento e execução: 
1. Enunciado claro do problema e formulação das hipóteses que serão estuda-
das (as hipóteses científi ca e estatística devem manter uma correspondên-
cia perfeita e o enunciado apresentar-se de maneira clara e objetiva).
2. Indicação dos fatores (variáveis independentes – variáveis controladas 
pelo pesquisador) do estudo (a escolha dos fatores e seus respectivos níveis
constituirão os tratamentos).
3. Indicação da unidade experimental (parcela). Deve ser defi nida no sentido 
de minimizar o erro experimental.
4. Indicação das variáveis (variáveis respostas) que serão medidas na unidade
experimental (a distribuição probabilística associada à variável resposta é
essencial para a escolha do método de análise estatística).
5. Indicação das regras e procedimentos pelos quais os diferentes tratamen-
tos (combinação de níveis de fatores) serão atribuídos às unidades experi-
mentais (processo de casualização ou aleatorização).
6. Análise estatística dos dados do experimento (tem como objetivo verifi car 
as hipóteses estabelecidas no início da pesquisa).
7. Descrição dos resultados analíticos com as medidas de precisão das estima-
tivas e o respectivo nível de signifi cância nas interpretações inferenciais.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS16 |
Para melhor entendimento das características e as etapas do planejamento
experimental, suponha que o interesse de um pesquisador consista em com-
parar duas dietas (normocalórica e hipercalórica) quanto ao desempenho
ponderal fi nal de ratos Wistar-Kyoto submetidos aos tratamentos (dietas) por
um período fi nal de 12 semanas.
Caracteriza-se que o experimento está planejado quando estão defi nidos:
i. a unidade experimental (animal – rato Wistar);
ii. a variável em análise (resposta) e a forma como será medida (variação per-
centual do ganho de peso, medido pela diferença 100( ) %PF PI
PI
- ), sendo
PF o peso fi nal e PI o peso inicial;
iii. tratamentos em comparação (dieta normocalórica e dieta hipercalórica);
iv. forma de designar os tratamentos às unidades experimentais (por sorteio)
considerando que os animais são homogêneos;
v. o número de ratos de cada dieta será de 12 unidades.
Os itens iv e v formam os princípios básicos da experimentação: casualiza-ção (fi dedignidade) e a repetição (exequibilidade).
As hipóteses de interesse da pesquisa são verifi cadas com a utilização de
métodos de análise estatística que dependem da maneira sob a qual as observa-
ções foram obtidas, ou seja, sob qual modelo de casualização dos tratamentos
às unidades experimentais os dados foram coletados. Portanto, planejamento
de experimentos e análise dos dados coletados sob o modelo operacional uti-
lizado não podem ser considerados isolados, pois a ordem dos acontecimentos
está em uma sequência dentro do desenvolvimento nas pesquisas.
O procedimento estatístico exigido ao analisar dados experimentais ou ob-
servacionais fundamenta-se em gerar modelos que explicitem as estruturas do
fenômeno biológico, as quais continuamente estão misturadas com variações
casuais, aleatórias ou acidentais. Quanto mais identifi cada e entendida forem
essas estruturas, maior conhecimento do fenômeno, assim como, melhores
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Delineamento de Experimentos | 17
serão as informações sobre os possíveis comportamentos do mesmo. Ou seja,
tem-se uma aproximação consistente da realidade biológica expressa num
modelo considerado (modelo é uma expressão resumida de algum fenômeno).
A percepção biológica e a identidade estatística com o processo estocástico
ponderam admitir cada observação composta por duas partes: uma previsível 
(controlada) e outra aleatória (não previsível).
Cada observação pode ser representada pelo modelo:
OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL + ALEATÓRIO , no caso aditivo, ou
OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL × ALEATÓRIO , no caso multiplicativo.
A parte previsível sistematiza o conhecimento que o pesquisador tem so-
bre o fenômeno, normalmente expressada por uma função matemática envol-
vendo parâmetros desconhecidos. À parte aleatória, dada sua característica de
não previsibilidade, exige-se que esteja sujeita a algum modelo probabilístico. 
A partir destas considerações, seguindo o planejamento proposto para a
coleta de informações (dados) nas unidades experimentais, o procedimento
estatístico consiste em estabelecer estimativas para os parâmetros desconhe-
cidos (propostos na parte sistematizada previsível segundo as hipóteses e os
objetivos do pesquisador), baseando-se em amostras observadas.
1.3 DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS
No contexto do planejamento de um experimento, torna-se essencial
defi nir a maneira como os tratamentos serão designados às unidades. O pro-
cesso de casualização envolvido no planejamento designando como os trata-
mentos serão alocados às unidades experimentais estabelecem o delineamento
do experimento. Nesse contexto, serão apresentados no presente texto, duas
situações comuns na área biológica, quais são: unidades homogêneas e uni-
dades heterogêneas, conforme descrito a seguir.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS18 |
i. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)
Consiste em alocar de maneira inteiramente ao acaso os tratamentos às 
unidades experimentais. Para sua realização, exigem-se unidades experi-
mentais homogêneas (similares).
ii. Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC)
Consiste em considerar grupos similares (blocos) de unidades experimen-
tais, quando o conjunto é heterogêneo, e alocar casualmente os tratamen-
tos às unidades experimentais dentro dos blocos.
Na área biomédica o termo bloco é, geralmente, substituído por estrato.
1.4 EXEMPLOS
Para melhor entendimento de um planejamento experimental são apre-
sentados a seguir dois exemplos práticos.
4.1 Planeje um experimento para estudar (comparar) o uso de sobredoses de vi-
tamina B12 na diminuição de aterosclerose, em pacientes com a doença.
Unidade experimental: paciente com a doença.
Variável resposta: diminuição da aterosclerose (diâmetro do calibre em mm).
Tratamentos em comparação: dose padrão, sobredoses baixa, média e alta.
Designação dos tratamentos: por sorteio.
Número de repetições: oito doentes por tratamento.
4.2 Planeje um experimento para comparar quatro métodos de ensino da Linguagem
Americana de Sinais em alunos de uma turma homogênea de 120 alunos.
Unidade experimental: aluno da turma.
Variável resposta: nota de um teste padrão de linguagem (0 a 100 pontos 
inteiros).
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Delineamento de Experimentos | 19
Tratamentos em comparação: métodos A, B, C, D.
Designação dos tratamentos: sorteio do aluno participante.
Número de repetições: 15 alunos por método.
Sob o aspecto dos delineamentos experimentais mais utilizados nos ex-
emplos práticos propostos em 1.4.1 e 1.4.2; o primeiro envolve como unidade 
experimental o ser humano (paciente com doença) com suas características 
biológicas heterogêneas, levando a necessidade do DBCC (são construídos 
grupos de quatro pacientes com características biológicas tão próximas quanto 
possível e então, procede-se o sorteio dos tratamentos). No segundo, como se 
trata de uma turma homogênea, o DIC é mais apropriado.
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2
DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC)
2.1 INTRODUÇÃO
O primeiro planejamento experimental a ser abordado trata-se do Delin-
eamento Inteiramente Casualizado (DIC), bastante simples quanto ao proces-
so de alocação dos tratamentos às unidades experimentais. Para melhor desen-
volvimento didático será apresentado, primeiramente com dados balanceados 
(mesmo número de repetições por tratamento) e, na sequência, com dados 
não balanceados (ausência da consideração de mesmo número de repetições 
por tratamento).
2.2 MODELO DO EXPERIMENTO DIC COM DADOS BALANCEADOS
Este delineamento consiste em designar os tratamentos às unidades ex-
perimentais por puro e simples sorteio, isto é, sem qualquer tipo de restrição 
(equiprobabilidade para cada unidade experimental receber qualquer um dos 
tratamentos). A operacionalização do procedimento de alocação dos tratamen-
tos fi ca condicionada à disponibilidade de parcelas similares no experimento 
(parcelas homogêneas). O entendimento de similaridade ou semelhança não 
deve ser confundido com igualdade (igualdade conceito muito matemático e 
“nada” provável em biologia).
Esse plano experimental é tão mais efi ciente quanto maior for o grau de 
homogeneidade entre as unidades experimentais em termos da variável de-
pendente. Se as unidades experimentais são heterogêneas, o número de parce-
las necessário para uma boa precisão pode ser muito grande (na prática deve-
se procurar outros planejamentos experimentais, tais como blocos ou utilizar 
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS22 |
variáveis auxiliares – covariáveis, pois estes podem reduzir o erro experimen-
tal).
Sob o aspecto dos procedimentos de testes estatísticos é aconselhável o 
balanceamento das repetições (todos tratamentos com igual número de 
repetições), embora nem sempre isso seja possível (principalmente na pes-
quisa com seres humanos quando o uso de grupo controle tem restrições de 
natureza ética).
O modelo estocástico que indica a forma da resposta biológica de uma 
unidade experimental submetidaa um dos tratamentos, isto é:
Resposta Biológica = Média Tratamento + Erro Casual Biológico, é descrito como
y (i ,...k j ,...,r)ij i ij= + = =μ ε e 1 1
sendo i o índice referente ao tratamento e j à unidade experimental.
2.3 PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO: ANÁLISE DE VARIÂNCIA
A análise de variância (ANOVA), embora exija o cálculo de variâncias, 
na verdade compara as médias dos tratamentos. Constitui-se numa extensão 
do teste t de Student (que compara apenas duas e só duas médias) para um 
número qualquer de médias. A estatística do teste para a ANOVA é calculada 
por meio do teste F (Fisher-Snedecor).
A lógica de uma análise de variância consiste em considerar a variação 
total existente nos dados desmembrada em duas partes: uma variação devida 
aos tratamentos e outra devida ao acaso (ou resíduo). A idéia é comparar a 
variação devida aos tratamentos com a variação devida ao acaso.
Algumas pressuposições básicas precisam estar satisfeitas para o uso da 
técnica da análise de variância, que são: i) os erros são variáveis aleatórias in-
dependentes; ii) a variância é constante (homogênea nos tratamentos); iii) a 
distribuição dos erros é normal ou aproximadamente normal.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 23
2.4 INDEPENDÊNCIA DOS ERROS
Uma regra prática consiste em utilizar um gráfi co de resíduos padroniza-
dos versus a ordem de coleta dos dados. Se a pressuposição de independência 
estiver satisfeita, os resíduos devem fi car distribuídos casualmente ao redor de 
zero, sem um padrão defi nido. Para a construção gráfi ca devem ser considera-
das as seguintes defi nições:
Resíduo ⇒ − •e y yij ij i= (resíduo relativo à j-ésima observação do i-ésimo 
grupo), i k j r= =1 1,..., ; ,..., .
Resíduo padronizado ⇒ =z
e
QMResij
ij
 (resíduo padronizado relativo à j-
ésima observação do i-ésimo grupo ), onde QMRes signifi ca Quadrado Médio 
Residual e tem seu valor dado por: QMRes S n S n kpool i i
i
k
= = −( )
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −( )
=
∑2 2
1
1 .
Para o entendimento da regra prática considere um conjunto homogêneo 
de 20 animais e quatro dietas para a comparação das alterações de pesos, cujos 
5 animais de cada dieta foram escolhidos por processo randômico (sorteio). 
As dietas estudadas foram:
A: dieta padrão;
B: dieta padrão suplementada com amendoim;
C: dieta padrão suplementada com girassol;
D: dieta padrão suplementada com abóbora.
Os ganhos de peso(g) avaliados considerando a variação absoluta entre o 
início e o fi nal do experimento, são apresentados na Tabela 2.1.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS24 |
Tabela 2.1 Ganhos de peso segundo dieta (g)
Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D
25 31 22 33
26 25 26 29
20 28 28 31
23 27 25 34
21 24 29 28
A Tabela 2.2 apresenta o resultado da estatística descritiva dos dados:
Tabela 2.2 Estatística descritiva das dietas
Dieta A B C D
Média 23,0 27,0 26,0 31,0
Variância 6,5 7,5 7,5 6,5
Portanto,
QMRes Spool= = × + × + × + ×( ) −( )=2 4 6 5 4 7 5 4 7 5 4 6 5 20 4 7 0, , , , , .
Os resíduos estão apresentados na Tabela 2.3.
Tabela 2.3 Resíduos dos ganhos de peso segundo dieta (g)
Resíduo (eijj) Resíduo Padronizado (zijjz )
A B C D A B C D
2 4 -4 2 0,756 1,512 -1,512 0,756
3 -2 0 -2 1,134 -0,756 0,000 -0,756
-3 1 2 0 -1,134 0,378 0,756 0,000
0 0 -1 3 0,000 0,000 -0,378 1,134
-2 -3 3 -3 -0,756 -1,134 1,134 -1,134
O gráfi co bidimensional dos pares (ordem da observação; resíduo pa-
dronizado) está apresentado na Figura 2.1.
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0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
-1,890
-1,512
-1,134
-0,756
-0,378
0,000
0,378
0,756
1,134
1,512
1,890
Zij
Observação
Figura 2.1. Gráfi co dos resíduos padronizados zij
A inspeção gráfi ca dos resíduos permite indicar que a pressuposição de
independência pode ser aceita. 
Em situações que se deseja um resultado mais objetivo, isto é, se há in-
teresse em um estudo mais avançado de delineamento de experimentos, re-
comenda-se aplicar o teste de Durbin-Watson para avaliar a signifi cância da
presença de dependência (autocorrelação) dos erros (Draper & Smith, 1998).
2.5 VARIÂNCIA CONSTANTE (HOMOCEDASTICIDADE)
Uma regra prática indicada por DEAN & VOSS (1999) sugere pressupor
que os resultados de uma ANOVA sejam considerados válidos desde que a
maior variância não exceda em três vezes a menor. BOX (1953) sugere que a
maior variância não deva exceder em quatro vezes a menor. No nível analítico,
no qual exige-se decisão mais objetiva, foram propostos diversos testes para a
igualdade de variâncias, destacando-se entre eles: Cochran, Hartley, Bartlett e
Levene. Em nosso caso, será utilizado o teste de Hartley que considera a razão
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS26 |
entre a maior e a menor variância, cuja estatística do teste é dada pela distri-
buição F.
Ou seja,
H k0 1
2
2
2 2: ...s s s= = = (Variâncias Homogêneas)
H1 : Existe s si i2 2¹ ’ , para i i¹ ’ (Variâncias Heterogêneas)
A estatística do teste é obtida considerando
F (S ,...,S )
(S ,...,S )
 ~ Fk
k
(glnum;glden)=
max
min
1
2 2
1
2 2 .
Sob a veracidade de H0 , a estatística F do teste de hipótese da homogenei-
dade de variâncias tem distribuição F (Fisher-Snedecor) com os parâmetros: 
graus de liberdade do numerador (glnum) e graus de liberdade do denomina-
dor (glden).
A regra de decisão é a habitual, isto é, F F(α glnum;glden)> ; , rejeita-se 
H0 ; caso contrário, não há rejeição.
No exemplo:
, t4 6ão
F S
S
= = =
=
max(S
min(S
 7,5
6,5
 
,ent
1
1
2
4
2
2
4
2 1 15
0 05
,..., )
,..., )
,
,α ; portanto, não se rejeiglnum glden F= = =⇒ 390 05 4 4( , ; ; ) ta H0.
2.6 NORMALIDADE DOS ERROS
Um processo prático consiste em fazer um gráfi co de probabilidades nor-
mais (“NORMAL PROBABILITY PLOT”). O gráfi co de probabilidade normal 
consiste em uma técnica gráfi ca que permite avaliar se existe ou não um conjun-
to de dados que apresenta aderência à distribuição normal de probabilidades. 
Os dados são plotados em um gráfi co cartesiano para verifi car se os pontos 
formam uma reta aproximada, levando-se em consideração que quanto mais 
afastados da reta situarem os pontos, maior fuga da normalidade apresenta a 
situação. Os resíduos padronizados ( Zij ) são colocados no eixo das abscissas 
e os escores da distribuição normal padronizada [valores esperados obtidos 
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 27
de P Z Fi( )£ ] no eixo das ordenadas, para i n=1, , . A cada i-ésimo resíduo, 
associa-se a frequência percentual acumulada empírica F i
ni
= −100
1
2( ) %, em 
seguida calcula-se P Z Fi( )£ .
Na presença da normalidade, os pontos fi carão em torno de uma reta que 
passa pela origem e tem coefi ciente angular 1. De maneira analítica, a hipótese 
de que a distribuição dos erros é normal pode ser colocada em teste utilizando-
se os testes de aderência de: Kolmogorov-Smirnov(KS), Shapiro-Wilks(SW) e 
Qui-quadrado(χ2).
Em linhas gerais, o pesquisadornão precisa preocupar-se com a não-
normalidade, o teste estatístico F é bastante robusto, ou seja, pequenas trans-
gressões à pressuposição de normalidade não afetam, substancialmente, o re-
sultado da análise de variância ANOVA, a menos que a distribuição dos erros 
tenha: i) curtose positiva; ii) assimetria. Nesses dois casos, têm-se falsas re-
jeições (mais diferenças signifi cantes do que, na realidade, existem).
Considerando o exemplo dos ganhos de peso segundo dieta com o total 20 
animais, tem-se F i ii =
− = −100 0 5
20
5 0 5( , ) % ( , )% . Com os valores dos resíduos pa-
dronizados ordenados em ordem crescente de magnitude constrói-se a Tabela 2.4.
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS28 |
Tabela 2.4 Resíduos padronizados ordenados e escores esperados sob normalidade
(Distribuição Z)
Ordem ( i ) Zij (ordenado) Fi (%) Escore Esperado
1 -1,512 2,5 -1,96
2 -1,134 7,5 -1,44
3 -1,134 12,5 -1,15
4 -1,134 17,5 -0,93
5 -0,756 22,5 -0,76
6 -0,756 27,5 -0,60
7 -0,756 32,5 -0,45
8 -0,378 37,5 -0,32
9 0,000 42,5 -0,19
10 0,000 47,5 -0,06
11 0,000 52,5 0,06
12 0,000 57,5 0,19
13 0,378 62,5 0,32
14 0,756 67,5 0,45
15 0,756 72,5 0,60
16 0,756 77,5 0,76
17 1,134 82,5 0,93
18 1,134 87,5 1,15
19 1,134 92,5 1,44
20 1,512 97,5 1,96
Para melhor entendimento do processo considere o resíduo padronizado 
de menor magnitude (-1,512). A ordem associada ao valor é i =1 e, logo, 
F1 5 1 0 5 2 5(%) ( , )% , %= − = . O escore esperado sob a distribuição normal pa-
dronizada é dado por P Z( , ) ,≤ =−0 025 1 96 . E assim, procede-se sucessiva-
mente até o escore padronizado de maior magnitude (1,512).
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 29
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5 2,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
-2,5
Escore
Esperado
Zij
2.7 TÉCNICA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA)
Quando se tem um experimento completamente ao acaso com um fator
fi xo (fonte de variação controlada em estudo), o interesse consiste em veri-
fi car a infl uência dos k níveis desse fator (k grupos ou k tratamentos) sobre
uma variável dependente (resposta) biológica Y em estudo. Uma maneira de
verifi car a existência dessa infl uência do fator consiste em comparar as médias
populacionais da variável Y sob os níveis do fator (tratamento = agente causal).
Um teste estatístico para verifi car a igualdade dessas k médias relativas aos
níveis do fator consiste na técnica da análise de variância (ANalysisNN Of O VAri-
ance, título em inglês que deriva a sigla ANOVA, utilizada na língua inglesa e,
muitas vezes na língua portuguesa). Embora o procedimento envolva o cálculo
de variâncias, seu objetivo fundamenta-se em comparar as médias dos níveis
do fator (tratamento).
A lógica da ANOVA para o delineamento inteiramente ao acaso é muito
simples, ou seja, resume-se em fracionar a variabilidade total dos dados em
duas fontes de variação ortogonais entre si, sendo uma devido a variação en-
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 29delineamento_de_experimentos-prova4.indd 29 28/05/2014 15:49:4028/05/2014 15:49:40
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS30 |
tre os níveis do fator (variação entre tratamentos) e outra, devido a variação 
dentro dos níveis (dentro de tratamentos). Esta última tem a fi nalidade espe-
cífi ca de estimar a variação atribuída ao acaso; enquanto a primeira, envolve 
a variação do acaso acumulada, devido aos níveis de tratamento. Feito isso, 
determina-se a razão da variação entre os níveis e a variação dentro dos níveis 
e, se o resultado obtido for “muito grande” a conclusão é estabelecida a favor 
das diferenças entre as médias dos níveis do fator (diferenças entre as médias 
dos tratamentos).
Deve ser considerado que para a utilização da técnica da ANOVA, embora 
o entendimento da lógica seja muito fácil, algumas pressuposições devem es-
tar satisfeitas, quais sejam: independência dos erros, normalidade dos dados 
e homogeneidade de variâncias; conforme será mostrado a seguir a partir dos 
dados da Tabela 2.5.
Considere um conjunto homogêneo de 20 animais e quatro dietas para a 
comparação das alterações de pesos, cujos 5 animais de cada dieta foram escol-
hidos por processo randômico (sorteio). As dietas estudadas foram:
A: dieta padrão;
B: dieta padrão suplementada com amendoim;
C: dieta padrão suplementada com girassol;
D: dieta padrão suplementada com abóbora.
Tabela 2.5 Ganhos de peso segundo dieta
Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D
25 31 22 33
26 25 26 29
20 28 28 31
23 27 25 34
21 24 29 28
23 (2,55) (*) 27 (2,74) 26 (2,74) 31 (2,55)
(*) média (desvio padrão)
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 31
Cada ganho de peso é uma resposta biológica do modelo geral
yij i ij i ij= + = + +μ ε μ τ ε , com i k=1,..., (número de tratamentos) e j r=1,...,
(número de repetições por tratamento), onde:
μ é a média geral comum a todas as observações defi nida como
, sendo
μi a média populacional de Y no i-ésimo tratamento;
ri o número de repetições no i-ésimo tratamento (no caso balanceado é o
valor comum r para todos tratamentos);
ti é o efeito do i-ésimo nível do fator na variável dependente Y e mede
o desvio da média μi em relação a m, isto é: τ μ μi i= − ;
eij é o erro casual não observável (em nosso estudo, variável aleatória in-
dependente e identicamente distribuída como N 0 2,s( ) ).
Neste sentido, tem-se:
a) E Yij i i( )= + =μ τ μ
b) Var Yij=( )=s2
c) Y Nij i~ ,μ σ2( )
Considerando satisfeitas as suposições de independência dos erros, nor-
malidade dos dados e homogeneidade das variâncias de tratamentos, a técnica
da ANOVA consiste em comparar a variação devida aos tratamentos (entre
tratamentos) com a variação devida ao acaso (ou resíduo, ou dentro de trata-
mentos).
Para o cálculo das causas de variação são determinadas:
a) Graus de liberdade (GL)
Total n n kr;
Tratamento k ;
duo n k k r
= − =
= −
= − = −( )
1
1
1
, onde 
Resí
b) Somas de quadrados (SQ)
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS32 |
SQTot y y y ny y
i
k
ij
j
r
i
k
ij
j
r
= − = − =
=
••
= =
••
=
••∑ ∑ ∑ ∑
1
2
1 1
2 2
1
1( ) onde 
nn
y
SQTrat y y y
r
ny
i
k
ij
j
r
i
k
i
j
r
i
i
= =
=
• ••
=
•
••
=
∑ ∑
∑ ∑= − = − =
1 1
1
2
1
2
2
;
( )
11
2
1
2
1
1
1
k
i
i
k
i ij
j
r
i
k
ij
ry -ny
y
r
y
SQRes y
∑ ∑
∑
∑
•
=
••
•
=
=
=
= −
 ; onde
;
( yy y y
r
SQTot SQTrati
j
r
i
k
ij
j
r
i
i
k
•
= = =
•
=
∑ ∑ ∑ ∑= − = −) .2
1 1
2
1
2
1
c) Quadrados Médios (QM)
QMTrat SQTrat k
QMRes SQRes n k
= −
= −
/ ( )
/ ( )
1
F QMTrat QMRes= /
As quantidades obtidas anteriormente são dispostas na Tabela 2.6, denom-
inada tabela de análise de variância.
Tabela 2.6 Tabela geral de ANOVA de um DIC balanceado
Causa de variação GL SQ QM F
Tratamentos k-1 SQTrat QMTrat QMTrat QMRes/
Resíduo n k- SQRes QMRes
Total n-1 SQTot
O teste de hipóteses relativo à Tabela 2.6 consiste em:
H0 : Não existe efeito de tratamentos ⇔ = == ⇔ = = = H Hk k0 1 0 10: ... : ...τ τ μ μ μ
H1 : Existe efeito de tratamentos ⇔ ≠ = Existe H i ki1 0 1: ( ,..., )t
Se F F k n k≥ − −( ; ; )a 1 , rejeita-se H0H . Caso contrário não há rejeição.
No exemplo, tem-se:
k = 4 (tratamentos) e r = 5 (repetições por tratamento);
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 33
y y•• ••= = =535 535 20 26 75, logo, / ,
y y y y y y y1 1 2 2 3 3 4115 23 135 27 130 26 15• • • • • • •= = = = = = =( ); ( ); ( ); 55 314( )y • =
SQTot = − =14587 00 14311 25 275 75, , ,
SQTrat= − =14475 00 14311 25 163 75, , ,
SQRes= − =275 75 163 75 112 00, , ,
QMTrat = =163 75 3 54 58, / ,
QMRes = =112 00 16 7 00, / ,
Tabela 2.7 ANOVA dos ganhos de peso
Causa de variação GL SQ QM F
Dietas 3 163,75 54,58 7,80 (p < 0,005)
Resíduo 16 112,00 7,00
Total 19 275,75
Conclui-se, no nível de signifi cância 5%, que existem diferenças entre as 
médias das alterações (ganhos) de pesos segundo as dietas estudadas (rejeita-
se H0 1 2 3 4 0: t t t t= = = = ). Ou seja, os resultados experimentais (com base 
no “p-value”) permitem rejeitar a hipótese de que as médias de tratamentos 
são iguais, ao nível de signifi cância de 5%.
2.8 COEFICIENTES DE DETERMINAÇÃO E VARIAÇÃO DE UM EXPERIMENTO
O coefi ciente de determinação ( R
2
) de um experimento é dado pela razão 
entre a SQTrat (variação devida aos tratamentos) e a SQTot (variação total 
dos valores observados), indicando a proporção da variação total explicada 
pela variação devida aos tratamentos ( 0 12£ £R ).
O coefi ciente de variação ( CV ) de um experimento é dado pela razão entre 
o desvio padrão (na ANOVA, consiste na raiz quadrada positiva de QMRes ) e
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS34 |
a média geral dos dados ( y·· ), indicando como os dados comportam-se (dis-
persão) em relação à média geral. A grandeza inversa do CV remete à idéia da
precisão dos dados experimentais.
No exemplo anterior, tem-se
= =R2 SQTrat SQTot/ , / , ,=163 75 275 75 0 5938 
(59,38% da variação total é explicada pela variação de tratamentos);
CV QMRes y= = =••/ , / , ,7 00 26 75 0 0989 
(9,89% estabelece-se como a dispersão relativa dos dados experimentais)
2.9 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS
A técnica da ANOVA permite ao pesquisador verifi car se existe efeito
dos tratamentos, mas não como as médias dos tratamentos diferem entre
si. Portanto, se constatar que existe efeito do fator em estudo, é interessante
complementar a análise a fi m de localizar as diferenças entre as médias dos
tratamentos. A resposta à complementação da ANOVA pode ser concretizada
(principalmente quando os níveis do fator são qualitativos) com um teste de
comparações múltiplas de médias.
Nessa linha de busca de uma resposta biológica mais interessante e in-
formativa foram propostos diversos testes que, em geral, levam o nome do
seu autor (Tukey, Duncan, Dunnet, Bonferroni, Scheff é, Newman-Keuls ou
Student-Newman-Keuls (SNK), e outros). Não existe um teste aceito como o
“melhor” deles; todos apresentam vantagens e desvantagens e situação mais
indicada para seu uso.
Os testes de comparações múltiplas permitem testar hipóteses do tipo:
H c ck k0 1 1 0: ...μ μ+ + = “versus” H c ck k1 1 1 0: ...μ μ+ + ≠ , com c ck1 0+ + =... . Essa 
combinação linear de médias, que refl ete uma situação de interesse biológico, 
é denominada contraste de médias.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 35
Na maioria das vezes, o interesse consiste na comparação de todas as dife-
renças entre médias de dois tratamentos. Dentro dessa linha de curiosidade a
opção será pelo método de Tukey.
O método de Tukey baseia-se na diferença honestamente signifi cante
(HSD=”Honestly Signifi cant Diff erence”), cujo princípio é encontrar a diferen-
ça mínima signifi cante que assegura a todas as comparações um nível comum
de signifi cância estabelecido a priori. Segundo Gomes (2009), o teste pode ser
utilizado para comparar todo e qualquer contraste entre pares de médias.
No experimento com dados balanceados o teste de Tukey é exato com o
seguinte procedimento operacional:
0 0H e H , com 0 1: : .’ ’μ μi i i i i i’− = − ≠ ≠μ μ
Calcula-se ( ) ( ) ( )HSD q
QMRes
rk
= = ; ;α ϕα Δ α
q k( ; ; )α ϕ é o quantil de or-
dem (1-α/2) da distribuição estatística denominada “studentized range” com 
parâmetros k (número de tratamentos) e j= −n k (graus de liberdade do re-
síduo). Os valores de q, considerando a=0,01 e a=0,05, estão tabelados e são 
encontrados em diversos livros de estatística experimental.
A regra de decisão é a habitual, ou seja:
Se y yi i• •− ≥ ( )’ Δ a , rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.
Similarmente, pode-se apresentar o intervalo de confi ança 100 1−( )a %
para a diferença de médias, cujos limites são dados por:
LI y y q QMRes
ri i
= −( )−• • ( )’ ; ;α ϕk
LS y y q QMRes
ri i
= −( )+• • ( )’ ; ;α ϕk
No exemplo relativo à Tabela 1, tem-se
q 0 05 4 16 4 05, ; ; ,( ) = ; logo, Δ 5 5 4 05
7 00
5
4 79% % , , ,( )= ( )= =HSD .
Ou seja, o valor mínimo que expressa a diferença signifi cante entre as mé-
dias dos ganhos de peso é da ordem de 4,79 unidades de peso. Neste sentido, as 
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 35delineamento_de_experimentos-prova4.indd 35 28/05/2014 15:50:0428/05/2014 15:50:04
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS36 |
únicas diferenças encontradas aconteceram entre as dietas A e D (8,00>4,79) 
e C e D (5,00>4,79).
Uma maneira elegante e redacional (textos científi cos e biológicos) de 
apresentar os resultados está disposta na Tabela 2.8.
Tabela 2.8 Média e desvio padrão do ganho de peso segundo a dieta
Dieta
HSD
A B C D
23 (2,55)a(1) 27 (2,74)ab 26 (2,74)a 31 (2,55)b 4,79
(1) duas médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não diferem entre si (p>0,05) pelo teste de Tukey
2.10 EXERCÍCIOS (DIC COM DADOS BALANCEADOS)
A seguir são apresentados alguns exercícios para o entendimento do 
planejamento experimental envolvido no DIC Balanceado (mesmo número de 
repetições por tratamento) e também para o treinamento dos cálculos abran-
gidos na técnica da ANOVA e no teste de comparações múltiplas de Tukey. As 
respostas dos exercícios são apresentadas no próximo item.
1. Para testar duas drogas diferentes usando grupo controle, um farmacolo-
gista pretende fazer um experimento com cobaias. Estão disponíveis 24 
cobaias, bastante similares. Como você planejaria o experimento?
2. Explique com detalhes o procedimento que você faria para designar cinco
tratamentos (A, B, C, D, E) para 25 unidades experimentais (ratos) similares.
3. Num laboratório de biofísica são usados quatro voltímetros diferentes. 
Para verifi car se os quatro voltímetros estão igualmente calibrados, mediu-
se a mesma força constante de 100 volts cinco vezes cada voltímetro. Os 
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 37
dados estão na tabela abaixo. Faça uma análise de variância e interprete o 
resultado (considerar α=0,05).
Voltagem segundo o voltímetro
Voltímetro
A B C D
117 115 118 125
120 110 123 121
114 116 119 123
119 115 122 118
115 114 118 118
4. Para detectar a presença de insetos daninhos nas plantações, colocam-se 
papelões untados com uma substância pegajosa e examinam-seos insetos 
capturados. Ao nível de 5% de signifi cância, que cores atraem mais inse-
tos? Os pesquisadores colocaram seus papelões de cada cor em posições 
aleatórias em um campo de aveia, e contaram o número de insetos captu-
rados.
Cor do papelão Insetos Capturados
Azul 16 11 20 21 14 17
Verde 37 32 20 29 37 32
Branco 21 12 14 17 13 20
Amarelo 45 59 48 46 38 47
Obs.: Como a variável “número de insetos” (contagem) não apresenta distribuição normal (variável discreta), para a análise 
dos dados considerar os valores observados sob a transformação raiz quadrada.
5. Considere o seguinte quadro de ANOVA da PAM:
Fonte de variação Soma Quadrados GL QM F
Entre Grupos 800 3 ? ?
Intragrupos ? ? 33,33 -
Total 2000
a. Qual tipo de ANOVA está apresentado no quadro?
b. Qual a conclusão no nível de 5% de signifi cância?
c. Qual a redação científi ca mais adequada para a conclusão sobre o resul-
tado do teste estatístico empregado?
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS38 |
6. Considere as seguintes dosimetrias de mercúrio no sangue (ppb) de gru-
pos expostos em garimpos da Amazônia Legal (Ferrari et al., Revista de 
Saúde Ocupacional, v.20, n.75, p.54-60, 1992).
Grupo Dosimetria Hg
Garimpeiros 24 19 25 23 13
Ribeirinhos 16 8 10 7 15
Índios 28 30 19 23 22
Controle 12 6 8 7 9
Verifi car, considerando o nível de signifi cância 5%, as diferenças entre as 
respostas médias dos grupos.
2.11 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DIC COM DADOS BALANCEADOS)
1. Cada grupo ( Controle, Droga 1 e Droga 2 ) será composto de oito coba-
ias alocadas por processo aleatório simples (casual ou randomizado ). A 
variável resposta será comparada quanto às médias dos grupos pela téc-
nica da ANOVA complementada com o teste de comparações múltiplas de 
Tukey, considerando o nível de 5% de signifi cância.
2. Os ratos são enumerados de 1 a 25 e, em uma urna são colocadas 25 eti-
quetas idênticas quanto ao tamanho, forma e cor sendo cinco marcadas 
com a letra A, cinco com B, cinco com C, cinco com D e, fi nalmente cinco 
com E. Em outra urna, são colocadas outras etiquetas enumeradas de 1 
a 25, correspondente aos 25 ratos da pesquisa. Procede-se com a realiza-
ção de sorteios em ambas as urnas, formando 25 pares constituídos pelo 
tratamento sorteado na primeira urna e o rato correspondente ao número 
sorteado na segunda.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 39
3. 
Tabela 1. ANOVA para a força dos voltímetros
Causa de variação GL SQ QM F
Voltímetro 3 150,00 50,00 7,41 (p<0,005)
Resíduo 16 108,00 6,75
Total 19 258,00
Tabela 2. Média (desvio padrão) da força segundo tipo de voltímetro
A B C D
117,00 (2,55) ab 114,00 (2,35) a 120,00 (2,35) b 121,00 (3,08) b
DHS (5%) = 4,71
4. 
Tabela 1. ANOVA para a raiz quadrada do número de insetos capturados
Causa variação GL SQ QM F
Cor do papelão 3 33,72 11,24 43,57 (p<0,001)
Resíduo 20 5,16 0,26
Total 23 38,88
Tabela 2. Média (desvio padrão) do número de insetos capturados(*) segundo cor
Azul Verde Branco Amarelo
4,04 (0,47) a 5,56 (0,60) b 4,00 (0,47) a 6,85 (0,49) c
DHS (5%) = 0,82
(*) Variável sob a transformação raiz quadrada
5. a. ANOVA para DIC balanceado (10 animais por grupo).
b. F= 266,67/33,33 = 8,00 (p < 0,001); portanto rejeita-se a hipótese de 
ausência de efeito de tratamentos.
c. No nível de 5% de signifi cância conclui-se que existe diferença entre as 
médias da PAM nos grupos estudados.
6. 
Tabela 1. ANOVA para a dosimetria de mercúrio no sangue (ppb)
Causa variação GL SQ QM F
Grupo 3 871,20 290,40 17,47 (p<0,001)
Resíduo 16 266,00 16,63
Total 19 1137,20
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS40 |
Tabela 2. Média (desvio padrão) da dosimetria de mercúrio no sangue segundo o
grupo
Garimpeiros Ribeirinhos Índios Controle
20,80 (4,92) b 11,20 (4,09) a 24,40 (4,51) b 8,40 (2,30) a
DHS (5%) = 7,39
2.12 MODELO DO EXPERIMENTO DIC COM DADOS NÃO BALANCEADOS
Em algumas situações, pode acontecer que o número de unidades experi-
mentais disponível não seja múltiplo do número de tratamentos que se pre-
tende comparar ou, ainda, começar o experimento com dados balanceados e
algumas unidades, por algum motivo alheio à vontade do pesquisador, torna-
rem-se perdidas para o experimento. Nessas situações, os tratamentos podem
fi car com números de repetições total ou parcialmente diferentes, ou seja, ex-
perimento com número diferente de repetições (dados não balanceados).
Talvez a primeira sugestão, com base no que já foi visto, seria “descartar
utilizando critérios randômicos” unidades experimentais para se ter os dados
balanceados nos tratamentos. Mesmo sendo, do ponto de vista da Estatística
Experimental, melhor que todos os tratamentos apresentem o mesmo número
de parcelas (a análise é realizada por procedimento exato), a importância bi-
ológica das informações das unidades experimentais é mais imperativa que
a simplicidade dos cálculos matemáticos do procedimento e, neste sentido, 
torna-se imprescindível um comportamento mais requintado para a situação.
Nessa situação, o caminho mais próximo às características da biologia aca-
ba sendo dado pelo procedimento anterior realizado com os dados balancea-
dos, adaptando-se as fórmulas dos cálculos aos experimentos com dados não-
balanceados. Esta nova maneira faz com que o processo exato seja direcionado
à forma aproximada.
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 41
Portanto, a teoria desenvolvida no DIC balanceado passa a ser explicitada 
com pequenas modifi cações nas somas de quadrados e no procedimento de 
Tukey.
Tem-se:
SQTot y nyij
j
r
i
k i
= − ••
==
∑∑ 2 2
11
, onde ri consiste nas repetições do i-ésimo trata-
mento e y
n
yij
j
r
i
k i
••
==
= ∑∑1
11
SQTrat y
r
nyi
ii
k
= −•
=
••∑
2
1
2 y yi ij
j
ri
•
=
=∑
1
SQRes y SQTot SQResij
y
r
i
k
j
r
i
k
i
i
i
= − = −•
===
∑∑∑ 2
111
2
.
O quadro da ANOVA permanece o mesmo do DIC para dados balancea-
dos.
Em relação ao teste de Tukey, calcula-se 
k e
Se y yi i ii• •− ≥ ( )’ ’Δ a , rejeita-se a hipótese de igualdade de médias. Caso
contrário, não há rejeição.
A Tabela 2.9 mostra os ganhos de peso (kg) no fi nal do experimento re-
alizado para comparar três rações comerciais em um lote de animais (suínos)
homogêneos (PADOVANI, 2002).
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 41delineamento_de_experimentos-prova4.indd 41 28/05/2014 15:50:0528/05/2014 15:50:05
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS42 |
Tabela 2.9 Ganho de peso (kg) segundo ração
Ração Ganho de Peso
A 7,12 6,91 6,30 6,72 6,68 6,80
B 8,15 8,45 8,92 9,15
C 6,58 7,04 6,46 7,12 7,06
r r r n1 2 36 4 5 15= = = =; ; ; 
y y y y y1 2 340 53 34 67 34 26 109 46 7 297• • • •• ••= = = = =, , , , , ; ; ; ; 33
SQTot = − × = − =810 3948 15 7 2973 810 3948 798 7588 11 63602, , , , ,
SQTrat= + + − = − =40 53
6
34 67
4
34 26
5
798 7588 809 0319 798 7588
2 2 2, , , , , , 110 2731,
Tabela 2.10 Quadro da ANOVA do ganho de peso
Causa Variação GL SQ QM F
Ração 2 10,2731 5,1366 42,22 (P<0,001)
Resíduo 12 1,3629 0,1136
Total 14 11,6360
Coefi ciente de Variação do experimento: CV = =100 0 11367 2973
4 62,
,
% , %
Coefi ciente de Determinação: R2 10 2731
11 6360
0 8829 88 29= =,
,
, ( , %) 
Teste de Tukey
a= 0 05, ; k = 3 (tratamentos); ϕ=12 (graus de liberdade do resíduo)
Δii
i i
i i
i ir r
r r
rr’ ’
’
’
, , ,= +
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
+3 77 0 1136
2
1 1 0 8985
Δ12 0 580= , ; Δ13 0 544= , ; Δ23 0 603= ,
y y A B1 2 126 755 8 6675 1 9125• •− = − = > ≠( ), , , Δ 
y y A C1 3 136 755 6 852 0 097• •− = − = < =( ), , , Δ 
y y B C2 3 238 6675 6 852 1 8155• •− = − = > ≠( ), , , Δ 
A Tabela 2.11 mostra a média e o desvio padrão do ganho de peso segundo
a ração comercial administrada.
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 42delineamento_de_experimentos-prova4.indd 42 28/05/2014 15:50:0528/05/2014 15:50:05
Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 43
Tabela 2.11 Média e desvio padrão do ganho de peso segundo ração
Ração A Ração B Ração C
6,755(0,273)a(1) 8,668(0,452)b 6,852(0,307)a
(1) duas médias seguidas de uma mesma letra não diferem (P>0,05) pelo teste de Tukey.
2.13 EXERCÍCIOS (DIC NÃO BALANCEADO)
1. Para testar duas drogas diferentes usando grupo controle, um farma-
cologista pretende fazer um experimento com cobaias. Estão disponíveis 
24 cobaias, bastante similares. Discuta o uso de grupos com diferentes 
repetições.
2. Considere as seguintes dosimetrias de mercúrio no sangue (ppb) de gru-
pos expostos em garimpos da Amazônia Legal (Ferrari et al., Revista de 
Saúde Ocupacional, v.20, n.75, p.54-60, 1992).
Grupo Dosimetria Hg
Garimpeiros 24 19 25 23 18
Ribeirinhos 13 10 12 8
Índios 28 30 24 26 25
Controle 10 6 8 9
Verifi car, considerando o nível de signifi cância 5%, as diferenças entre as
respostas médias dos grupos.
3. Considerar as seguintes avaliações nasométricas 
[nasalância(%)=100*(energia acústica nasal) / (energia acústica nasal+energia otoacústica oral)] 
do vocábulo “papai” isolado e inserido em frase (Di Ninno et al., Revista de
Atualização Científi ca PRÓ-FONO, v.13, n.1, p.71-77, 2001)
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 43delineamento_de_experimentos-prova4.indd 43 28/05/2014 15:50:1428/05/2014 15:50:14
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS44 |
4. 
Faixa Etária Nasalância (%)
Criança 10,5 11,6 12,3 8,9 9,2 9,6 10,9 11,0
Adolescente 11,5 10,2 13,9 12,0 10,4 10,0 14,1
Adulto 18,5 16,6 20,2 17,8 21,8 17,4
Considerando o nível de signifi cância 5%, avaliar as diferenças entre as 
respostas médias das nasalâncias.
2.14 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DIC NÃO BALANCEADO)
1. Do ponto de vista biológico, o grupo controle (animais que recebem o
placebo, ou seja, soro fi siológico por exemplo) é o referencial das com-
parações (padrão de referência para testar o efeito das drogas), logo deve 
ser o grupo agraciado com mais animais. O restante dos animais pode ser 
balanceado entre as duas drogas.
2. 
Tabela 1. Quadro da ANOVA da dosimetria de Hg
Causa variação GL SQ QM F
Grupos 3 1030,50 343,50 56,22 (p<0,001)
Resíduo 14 85,50 6,11
Total 17 1116,00
Tabela 2. Média (desvio padrão) da dosimetria segundo grupo
Garimpeiro Ribeirinho Índio Controle
21,80 (3,11) b 10,75 (2,22) a 26,60 (2,41) c 8,25 (1,71) a
DHS (G x R) = 4,82 DHS (G x I) = 4,54 DHS (G x C) = 4,82
DHS (R x I) = 4,82 DHS (R x C) = 5,08 DHS (I x C) = 4,82
3. 
Tabela 1. Quadro da ANOVA da nasalância
Causa variação GL SQ QM F
Faixas Etárias 2 256,01 128,01 49,81 (p<0,001)
Resíduo 18 46,28 2,57
Total 20 302,29
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Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 45
Tabela 2. Média (desvio padrão) da nasalância segundo faixa etária
Criança Adolescente Adulto
10,50 (1,19) a 11,73 (1,71) a 18,72 (1,94) b
DHS (Cr x Adol)=2,12 DHS (Cr x Adul)=2,21 DHS (Adol x Adul)=2,28
delineamento_de_experimentos-prova4.indd 45delineamento_de_experimentos-prova4.indd 45 28/05/2014 15:50:1428/05/2014 15:50:14
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3
DELINEAMENTO EM BLOCOS COMPLETOS 
CASUALIZADOS (DBCC)
3.1 INTRODUÇÃO
Quando o conjunto de unidades experimentais for relativamente heterogê-
neo (pequenos grupos de unidades similares, mas nenhum sufi cientemente
grande para um planejamento), o plano experimental inteiramente casualizado
torna-se pouco preciso, porque o erro experimental torna-se muito grande. A
partir das informações disponíveis, antes da realização do experimento, é pos-
sível agrupar as unidades experimentais em subconjuntos de unidades mais ho-
mogêneas, denominados blocos. A alocação das unidades experimentais entre
os tratamentos obedece a uma restrição imposta pelos blocos, ou seja, o procedi-
mento de casualização dos tratamentos às unidades experimentais é realizado
dentro de cada bloco. Quando todos os tratamentos aparecerem em todos os
blocos uma única vez, tem-se o Delineamento em Blocos Completo. Toda vez
que os tratamentos tornam-se presentes uma única vez em cada bloco, o número
de blocos coincide com o número de repetições (Banzatto & Kronka, 2006). Deve
ser observado, inclusive por possível confusão de nome, que a aleatorização está
sendo realizada nos tratamentos dentro dos blocos (restrição na casualização).
Na análise estatística de um experimento em blocos casualizados, ou como
normalmente se diz, um experimento em blocos, além dos fatores de interesse,
deve-se levar em conta o fator de controle experimental, blocos, diminuindo
desta maneira o erro experimental. Quanto maior for a heterogeneidade entre
blocos, maior será a efi ciência deste plano experimental em relação ao comple-
tamente aleatorizado. O delineamento em blocos também pode ser planejado
com repetições dos tratamentos dentro do bloco e além disso, de forma incom-
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS48 |
pleta. A análise estatística do delineamento em blocos completos ao acaso com
repetições torna-se relativamente fácil quando o número de unidades dentro
de cada bloco é múltiplo do número de tratamentos em comparação.
O termo bloco (sua origem é de fato agronômica, cujo objetivo referia-se
a faixa de terra de mesma fertilidade – fertilidade homogênea) tem um sen-
tido prático interessante na área biológica, ou seja, caracteriza-se como estrato
e tem como fi nalidade, o controle da homogeneidade dos animais quanto às
variáveis intervenientes.
No presente estudo os blocos são completos quanto aos tratamentos, isto
é, um bloco possui todos os tratamentos de interesse do estudo, alocados por
processo aleatório com uma repetição por bloco. A vantagem mais destacada
dos experimentos em blocos consiste em permitir o uso de unidades experi-
mentais heterogêneas. Os blocos controlam uma causa de variação e esta-
belecem uma restrição à casualização. Essa restrição à casualização devido à
constituição dos blocos indica para a não realização do teste estatístico para a
causa de variação blocos, ou seja, não faz sentido, pois se trata de uma fonte de 
variação de controle e não de interesse para a comparação. Se a fonte colocada
como blocos está no interesse do pesquisador para comparação, o esquema de
fatores torna-se o procedimento adequado para a combinação dos níveis dos
dois fatores em estudo.
Em resumo, podem ser destacados:
a. A casualização ocorre dentro dos blocos (os blocos são estratos defi nidos
quanto à heterogeneidade das unidades experimentais e, portanto fi xados
como controles).
b. Os blocos são completos quanto aos tratamentos pesquisados(cada bloco
deve conter todos os tratamentos do estudo).
c. É essencial que os blocos reúnam unidades similares (unidades semelhantes
dentro de blocos asseguram aos tratamentos única fonte de variação).
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Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | 49
d. Quanto maior a heterogeneidade entre blocos maior a efi ciência do delin-
eamento (a perda de heterogeneidade entre blocos indica a falta da neces-
sidade de controle local).
e. O tratamento aparece uma única vez dentro de cada bloco (razão de ser
denominado completo).
f. Os experimentos em blocos são feitos, essencialmente, para comparar
tratamentos (os blocos não são construídos para teste estatístico, mas 
como necessidade de controle).
g. Não deve ser feito o teste estatístico de blocos (blocos são utilizados como
fonte de controle da heterogeneidade, sem qualquer interesse de comparação).
h. Fazer blocos signifi ca impor uma restrição como controle às unidades ex-
perimentais (a designação casual dos tratamentos às unidades experimen-
tais dentro de cada bloco).
i. Exemplos biológicos de blocos: posição na estufa, ninhada, faixa de idade,
faixa de peso, uma partida de animais (lote), entre outros.
3.2 MODELO DO EXPERIMENTO (BIOLÓGICO)
O modelo de DBCC com k tratamentos e t blocos é dado por:
y i k j tij i j ij i i= + + = + = =( )μ β ε μ μ τ ; 1 1,..., ; ,..., ; onde:
m é a média geral comum a todas as observações;
ti é o efeito do i-ésimo nível do fator na variável dependente Y ;
b j é o efeito do j-ésimo bloco experimental;
eij é o erro casual não observável (independente e identicamente distribuí-
do com N 0 2,s( ) ).
Neste sentido, para o modelo de efeitos fi xos, tem-se:
a) E Yij i j( )= + +μ τ β ;
b) Var Yij( )=s2 ;
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DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS50 |
c) Y Nij i i j~ ,μ τ β σ+ +( )2 .
3.3 PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO: ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Todas as considerações realizadas para o DIC são também válidas para o 
DBCC (independência dos erros; variâncias homogêneas e normalidade dos 
dados).
Considere o seguinte conjunto de pesos de carcaças (kg) de coelhos (Ta-
bela 3.1) no acabamento segundo o tipo de dieta randomizada oferecida aos 
animais.
Tabela 3.1 Peso de carcaças (kg) de coelhos segundo dieta
Dieta
Raça
Norfolk Angorá I Angorá II Nova Zelândia I Nova Zelândia II
Padrão 1,28 1,08 1,06 1,36 1,19
Padrão+Rami 1,45 1,15 1,28 1,50 1,41
Padrão+Alfafa 1,38 1,08 1,17 1,43 1,26
Padovani, C. R. (2002). Exercícios de Estatística Básica e Experimental. Depto. Bioestatística, IB/UNESP, Botucatu-SP, 40p.
Cada peso de carcaça (kg) é uma resposta biológica do sorteio de três di-
etas dentro dos conjuntos de três animais tornados homogêneos pelas raças, 
cujo resultado biológico responde ao modelo:
yij i j ij= + + +μ τ β ε , com i k=1,..., (tratamentos) e j t=1,..., (blocos).
Neste modelo, a técnica da ANOVA consiste em fracionar a SQTotal em 
três fontes de variação: a primeira referente aos tratamentos ( SQTrat ), a se-
gunda relativa aos blocos ( SQBloco ) e, por fi m, a expressa nas fl utuações ca-
suais ( SQRes ).
Para a construção da tabela geral de ANOVA segundo as causas de varia-
ção são determinados:
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a) Graus de liberdade (GL)
Total n kt= − = −1 1 , onde n kt= ;
Tratamento k= −1 ;
Bloco t= −1 ;
Resíduo t k= −( ) −( )1 1 .
b) Somas de quadrados (SQ)
SQTot y y y nyij
j
t
i
k
ij
j
t
i
k
= −( ) = −••
==
••
==
∑∑ ∑∑2
11
2 2
11
; onde y n
yij
j
t
i
k
••
==
= ∑∑1
11
;
SQTrat y y y
t
nyi
j
t
i
k
i
i
k
= −( ) = −• ••
==
•
=
•∑∑ ∑2
11
2
1
2 ; onde y t
yi ij
j
t
•
=
= ∑1
1
;
SQBloc y y
y
k
nyj
j
t
i
k
j
j
t
= −( ) = −• ••
==
•
••
=
∑∑ ∑2
11
2
2
1
; onde y
k
yj ij
i
k
•
=
= ∑1
1
;
SQRes SQTot SQTrat SQBloc= − − .
c) Quadrados médios (QM)
QMTrat SQTrat k= −( )1
QMBloco SQBloco t= −( )1
QMRes SQRes k t= −( ) −( )⎡⎣ ⎤⎦1 1
d) Estatística F
F QMTrat QMRes=
As quantidades obtidas são dispostas na Tabela 3.2 da ANOVA.
Tabela 3.2 Tabela geral de ANOVA de um DBCC
Causa de variação GL SQ QM F
Blocos t -1 SQBloc QMBloc —
Tratamentos k-1 SQTrat QMTrat QMTrat QMRes
Resíduo t k−( ) −( )1 1 SQRes QMRes
Total tk -1 SQTot
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O teste de hipótese relativo à Tabela 3.2 consiste em:
H0H : Não existe efeito de tratamento H1:t1=tktt =...=0 H0H : m1=...=mk=m
H H ii1 0 0 1: : ,..., Existe efeito de tratamento Existe ⇔ ≠ =t kk( )
Sob a veracidade de H0 , a estatística F QMTrat
QMRes
= tem distribuição F
(Fisher-Snedecor) com parâmetros ( )k-1 (graus de liberdade do numerador)
e ( )( )t k- -1 1 (graus de liberdade do denominador).
A regra de decisão é a habitual, ou seja:
Se F F k t k≥ − −( ) −( )( )a ; ;1 1 1 , rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.
No exemplo, tem-se:
k = 3 (tratamentos) e t = 5 (blocos);
y•• =19 08, , logo, y•• = =19 08 15 1 272, , ;
SQTot = − =24 5678 24 2698 0 2980, , , ;
y y1 15 97 1 194• •= =( ), , ; y y2 26 79 1 358• •= =( ), , ; y y3 36 32 1 264• •= =( ), ,
SQTrat= − =24 3375 24 2698 0 0677, , ,
y• =1 4 11, ; y• =2 3 31, ; y• =3 3 51, ; y• =4 4 29, ; y• =5 3 86, ; 
SQBloc= − =24 4907 24 2698 0 2209, , , ;
SQRes= − − =0 2980 0 2209 0 0677 0 0094, , , ,
A Tabela 3.3 apresenta o resultado da ANOVA.
Tabela 3.3 Tabela ANOVA para o peso das carcaças
Causa Variação GL SQ QM F (valor p)
Blocos 4 0,2209 0,0552
Tratamentos 2 0,0677 0,0339 28,25 (p<0,01)
Resíduo 8 0,0094 0,0012
Total 14 0,2980
Conclui-se, no nível de 5% de signifi cância, que existem diferenças entre
os pesos médios de carcaças dos coelhos segundo as dietas estudadas.
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Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | 53
3.4 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS
O procedimento de comparações múltiplas de Tukey para o DBCC con-
siste nos seguintes passos:
H i i0 0: ’μ μ− = e H i i1 0: ’μ μ− ≠ , para i i¹ ’ .
Calcula-se a “Honestly Signifi cante Diference” 
HSD q QMRes
tk t k
a a a( )= ( )= −( ) −( )( )Δ ; ; 1 1 , onde t é o número de repetição de 
tratamentos (coincide com o número de blocos) e ( )q k; ;α ϕ é o quantil de ordem 
(1-a/2) da distribuição “studentized range” com parâmetros k (número de 
tratamentos) e j= − −( )( )t k1 1 (graus de liberdade do resíduo).
A regra de decisão do teste de hipóteses é a habitual, ou seja:
Se y yi i• •− ≥ ( )’ Δ a , rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.
Similarmente, pode-se apresentar o intervalo de confi ança de Tukey 
100 1( )%-a para a diferença de médias, cujos limites são dados por:
LI y y q QMRes
ti i k
= −( )−• • ( )’ ; ;α ϕ ,
LS y y q QMRes
ti i k
= −( )+• • ( )’ ; ;α ϕ .
No exemplo relativo aos dados do peso das carcaças tem-se:
q 0 05 3 8 4 04, ; ; ,( ) = ; logo, Δ 5 4 04 0 0012
5
0 063% , , ,( )= = .
Ou seja, o valor mínimo que expressa a diferença signifi cante α=0,05 entre 
os pesos médios das carcaças é 0,063kg. Os resultados das comparações estão 
expressos na