Aula 7 Estatística e Probabilidade

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Prof. Lucio Borges de Araújo
Modelos Probabilísticos Discretos
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5.1 MODELOS PROBABILÍSTICOS
DISCRETOS
5.1.1 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
� Sejam uma única tentativa de um experimento onde 
só podem ocorrer dois possíveis resultados, “sucesso” e 
“fracasso”, como por exemplo:
a) Um jogador de basquete converter ou não um 
arremesso;
b) Uma peça produzido por uma Cia. ser defeituosa ou 
não
c) O primeiro filho de um casal ser masculino ou 
feminino;
� Seja "p" a probabilidade de sucesso e "q" a 
probabilidade de fracasso, onde p + q= 1. 2
� Seja X o nº de sucesso em uma única tentativa, logo X
pode assumir:
� Nesta condição, a V. A. X tem distribuição de
Bernoulli (ou Ensaio de Bernoulli), e sua f. p. é:
� � � � � ����	�, com x = 0,1
� Notação: X~Bernoulli(p);
� Propriedades:
a) E(X) = p
b) V(X) = pq 3
5.1.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
� Probabilidade de uma peça ser defeituosa é 10%.
Considere a VA X: número de peças defeituosas.
Para um exame realizado em 2 peças, a
distribuição de probabilidade de X é:
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� Se n= 3 peças avaliadas
5
� Para n peças avaliadas
� Considere um experimento na seguinte situação:
1. Número de tentativas fixas; 
2. Cada tentativa deve resultar numa falha ou 
sucesso; 
3. As probabilidades de sucesso devem ser iguais 
para todas as tentativas; 
4. Todas as tentativas devem ser independentes.
� Sejam, “p” probabilidades de sucesso e “q”
probabilidades de falha, ou seja p+q = 1, logo
q = p-1. 6
� Logo, a probabilidade de ocorrer x sucessos com n
tentativas será: 
� Assim a variável aleatória X = “nº de sucessos
obtidos em n tentativas” terá uma distribuição
Binomial com n tentativas e p probabilidade de
sucesso.
� Notação: X ~ Bin(n,p)
� Propriedades:
a) E(X) = n.p
b) V(X) = n.p.q
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� Exemplo: Cada Amostra de ar tem 15% de
chance de conter determinado poluente. Qual a
probabilidade de entre 18 amostras de ar:
a) Duas contenham o poluente?
b) No mínimo 4 amostra contenha o poluente? 
c) No mínimo 3 e menos que 7?
d) Calcule a esperança e variância
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� Exemplo: Apresente a distribuição de frequência e 
gráfico da distribuição de frequência, do número de 
meninas que pode ocorrer em uma família com 6 
crianças.
� Exemplo: Uma prova é constituída de 50 teste com 5 
alternativas, onde apenas uma é correta. Se um aluno 
não sabe nada da matéria e ele chuta todas as 
questões, calcule:
a) Probabilidade de acertar 5 questões?
b) Probabilidade de não acertar 5 questões?
c) Probabilidade de acertar pelos menos 3 questões?
d) Probabilidade de acertar mais de 3 questões?
e) Probabilidade de errar pelos menos 2 questões?
f) Probabilidade de errar mais de 2 questões?
g) Quantos testes acerta, em média, um aluno que não 
sabe nada da matéria? Qual a sua variância?
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5.1.3 DISTRIBUIÇÃO POISSON
� A distribuição de Poisson é empregada em
experimentos nos quais estamos interessado no
numero de sucessos ocorridos durante um
intervalo: que pode ser um intervalo de tempo,
espaço, etc. Como por exemplo:
i. O numero de suicídios ocorridos em uma cidade 
durante um ano;
ii. Numero de consultas a uma base dados em um 
minuto ;
iii. O numero de pedidos a um servidor por dia;
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� Note que nos exemplos acima, não há como
determinar-se a probabilidade de ocorrência de
um sucesso, mas sim a frequência media de sua
ocorrência, como por exemplo dois suicídios por
ano, a qual será que denominada 
.
� Em um experimento com estas características, e
assumindo-se que os sucessos sejam
independentes, a variável aleatória.
X = número de sucessos em um intervalo,
terá uma distribuição Poisson, com parâmetro 
.
� Notação: X ~ P(
)
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� A Função de Probabilidade é:
� � � � � �
�
�
�!
com x=0,1,2,....
� Propriedades
a) Esperança Matemática: �(�) � 
b) Variância: �(�) � 
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Exemplo: O Corpo de Bombeiros de uma
determinada cidade recebe, em média, 3 chamadas
por dia. Qual a probabilidade de receber:
a) 4 chamadas num dia. 
b) Nenhuma chamada em um dia. 
c) 20 chamadas em uma semana.
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� Exemplo: Supondo que as consultas num banco
de dados ocorrem de forma independente e
aleatória, com uma taxa média de três consultas
por minuto:
a) calculemos a probabilidade de que no próximo
minuto ocorram menos do que três consultas.
b) Calculemos a probabilidade de que nos próximos
dois minutos ocorram mais do que 5 consultas.
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