ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE APLICADA 3

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADEESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
APLICADAAPLICADA
DISTRIBUIÇÕES DEDISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
DISCRETADISCRETA
Autor: Me. Raimundo Almeida
R e v i s o r : H u g o E s t e v a m d e S a l e s C â m a ra
I N I C I A R
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introduçãoIntrodução
Nesta unidade, utilizaremos os resultados da estatística descritiva, apoiados com
a teoria básica das probabilidades para estudar algumas distribuições de
probabilidade.
As distribuições de probabilidade estão presentes em diversas aplicações do
nosso dia a dia, como na realização de experimentos simples (como lançamento
de um dado) e em exemplos mais complexos (como implantar um sistema de
controle da qualidade em uma linha de produção industrial).
Neste momento, concentraremos nossa atenção para as distribuições discretas,
focando nas Distribuições Binomial e de Poisson. Em outra oportunidade,
trabalharemos com a distribuição contínua mais estudada no mundo: a
distribuição Normal.
Bons estudos!
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Variáveis aleatórias são variáveis que assumem valores numéricos para cada
resultado de um experimento. Ainda, para ser classi�cada como aleatória, a
variável deve ser associada a valores determinados pelo acaso.
Para ilustrar o conceito de variável aleatória, considere o lançamento simultâneo
de dois dados. A tabela seguinte representa a combinação de possibilidades de
resultados do experimento.
VariáveisVariáveis
Aleatórias eAleatórias e
Distribuições deDistribuições de
ProbabilidadeProbabilidade
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Uma possível variável aleatória para esse experimento seria contar quantas
vezes sai o número 5 nesse lançamento:
Variável aleatória:
X: número de vezes que sai o número 5 no lançamento de dois dados.
Observe que existem 3 possibilidades de valores para a variável aleatória X:
   ,     e   .
Para cada variável aleatória, podemos relacionar uma distribuição de
probabilidade, que consiste em uma associação na qual, para cada valor da
V.A., associamos a sua probabilidade de ocorrência .
No exemplo do lançamento dos dados, para o caso da variável aleatória que
de�nimos, a distribuição de probabilidade é dada por:
Tabela 3.1 - Possíveis resultados no lançamento de dois dados
Fonte: Elaborada pelo autor.
= 0x1 = 1x2 = 2x3
( )xi
(P( ) = )x1 pi
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Tabela 3.2 - Distribuição de probabilidade para a variável aleatória X
Fonte: Elaborada pelo autor.
Toda variável aleatória que possui uma quantidade enumerável de valores
possíveis é classi�cada como discreta. Por exemplo, no caso da variável
aleatória de contagem do resultado 5 no lançamento do dado, temos um
conjunto de três possibilidades (0, 1 e 2). Logo, esse é um exemplo de variável
aleatória discreta.
Considere, agora, a quantidade de litros de óleo diesel produzidos em uma
indústria. Observe que as possibilidades de resultados para essa V.A. não se
restringem a números inteiros (0 litros, 1 litro, 2 litros, 3 litros,..., n litros,...),
podendo assumir qualquer valor real positivo, por exemplo, 3,816 litros. Nesse
caso, estamos tratando de uma variável aleatória contínua.
                       
       
       
       
xi pi
= 0x1
=p1
25
36
= 1x2
=p2
10
36
= 2x3
=p3
1
36
( )xi
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Como já mencionado, esta unidade será destinada para as variáveis discretas. Em
outra oportunidade, você conhecerá mais sobre as variáveis contínuas.
Histogramas de Distribuição de
Probabilidade Discreta
Um histograma é um grá�co de barras que associa cada classe a uma frequência,
podendo ser uma frequência absoluta ou relativa.
Para o caso das distribuições de probabilidade, o histograma terá cada classe
representando os possíveis resultados da variável aleatória. O eixo vertical
indicará a probabilidade de ocorrência de cada classe.
O histograma a seguir representa a distribuição de probabilidade da variável
aleatória X já mencionada anteriormente (número de vezes que sai o número 5
no lançamento de dois dados).
Figura 3.1 - Histograma da distribuição de probabilidade da V.A X
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Como estamos trabalhando com probabilidades, duas características comuns a
todas as distribuições podem ser observadas no histograma anterior:
1. , ou seja, a soma de todas as probabilidades é sempre
igual a 1.
2. , ou seja, para qualquer resultado da V.A., a probabilidade
associada é sempre um número real maior ou igual a zero e menor ou
igual a 1.
Medidas de Tendência Central
para Variáveis Aleatórias
Discretas
De modo análogo à forma que as medidas de média, variância e desvio-padrão,
podemos associar tais valores a cada variável aleatória. Ou seja, para cada
experimento, podemos de�nir várias variáveis aleatórias que, por sua vez, para
cada V.A. será associada a uma distribuição de probabilidades que, assim terá
uma média, uma variância e um desvio-padrão.
= 1∑ni=1 pi
0 ≤ ≤ 1pi
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A tabela seguinte contém a relação de fórmulas utilizadas para o cálculo dessas
medidas de tendência central e dispersão.
Figura 3.2 - Média, variância e desvio-padrão de uma variável aleatória discreta
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Tabela 3.3 - Medidas de tendência central e dispersão de uma variável aleatória
discreta
Fonte: Elaborada pelo autor.
No exemplo da variável aleatória X (número de vezes que sai o número 5 no
lançamento de dois dados), teremos as seguintes medidas.
1. MÉDIA
 vezes
2. VARIÂNCIA
vezes ao quadrado
3. DESVIO-PADRÃO
Média
     
Variância
 
Desvio-padrão
μ = [ ⋅ ]∑ xi pi
= [ ⋅ ]  =   [ ⋅ ] −σ2 ∑ ( − μ)xi 2 pi ∑ x2i pi μ
2
σ = [ ⋅ ]∑ ( − μ)xi 2 pi
− −−−−−−−−−−−−−
√
μ = 0 ⋅ + 1 ⋅ + 2 ⋅ = ≃ 0, 3325
36
10
36
1
36
12
36
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ≃ 0, 28σ2 (0 − 0, 33)2 25
36
(1 − 0, 33)2 10
36
(2 − 0, 33)2 1
36
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 vezes
A média, em uma V.A. discreta também é chamada de valor esperado da variável.
praticarVamos Praticar
A tabela a seguir corresponde à variável aleatória X que corresponde ao número de
banheiros em uma residência brasileira em dezembro de 2019.
σ = ≃ 0, 530, 28
− −−−
√
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Tabela 3.4 - Distribuição de probabilidade do número de banheiros em casas
brasileiras
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir dos dados da tabela, assinale a alternativa que corresponde ao número médio
de banheiros no Brasil em dezembro de 2019.
a) 1,87 banheiros.
b) 0,09 banheiros.
c) 1,15 banheiros.
d) 2,03 banheiros.
e) 3,44 banheiros.
                                                                         
0 0,01
1 0,29
2 0,53
3 0,17
x P (x)
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Agora que você já conhece as características gerais de uma variável aleatória
discreta e sua distribuição de probabilidade, vamos nos concentrarno estudo de
uma V.A. especí�ca que gera uma distribuição de probabilidade muito utilizada
em problemas do dia a dia de qualquer pro�ssional da área de exatas: a
distribuição Binomial.
Conceito
Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento
que satisfaz os seguintes requisitos:
1. O experimento tem um número �nito de tentativas.
2. As tentativas devem ser independentes (o resultado de qualquer
tentativa individual não afeta as probabilidades nas outras tentativas).
3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classi�cados em duas
Distribuição deDistribuição de
ProbabilidadeProbabilidade
BinomialBinomial
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categorias (em geral, chamadas de sucesso e fracasso).
4. A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as
tentativas (TRIOLA, 2013, p. 180).
Para exempli�car, voltemos ao exemplo da distribuição já trabalhada na seção
anterior (número de vezes que sai o número 5 no lançamento de dois dados).
Observe que nesse caso temos satisfeitos os quatro requisitos da de�nição de
probabilidade binomial:
1. O lançamento de dois dados pode ser interpretado como dois (número
�nito) lançamentos.
2. O resultado do primeiro lançamento do dado não interfere no resultado
do segundo lançamento, por isso são classi�cados como independentes.
3. Cada lançamento pode resultar em um sucesso (sair 5) ou em um
fracasso (sair um número diferente de 5).
4. A probabilidade de sair 5 é sempre igual a em cada um dos
lançamentos.
Em qualquer distribuição binomial, a probabilidade de ocorrência de sucessos
em um conjunto de tentativas pode ser calculada a partir da expressão seguinte:
sendo:
 a probabilidade de sucesso em uma tentativa;
 a probabilidade de fracasso em uma tentativa;
 o número de tentativas;
 a quantidade de sucesso nas tentativas.
Exercício resolvido:
No lançamento de dois dados não viciados, qual é a probabilidade de ocorrência
de exatamente UM resultado igual a 5?
X
1
6
P (x) = ,        (equação A)
n!
(n − x)!x!
pxqn−x
p
q
n
x n
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Solução:
Nesse exemplo, temos que (dois lançamentos), (um sucesso), 
 e .
Aplicando a equação A, temos:
Observe que o resultado encontrado no exercício acima coincide com o valor
indicado na distribuição de probabilidade da V.A. X, calculada na seção 1.
Para �xação do conteúdo, vamos a mais um exemplo do uso da fórmula A.
n = 2 x = 1
p = 1/6 q = 5/6
P (1) = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
2!
(2 − 1)!1!
( )1
6
1
( )5
6
2−1
2
1 ⋅ 1
1
6
5
6
10
36
reflitaRe�ita
A distribuição binomial é assim
denominada em virtude dos seus
cálculos de probabilidade serem
semelhantes ao desenvolvimento do
binômio .B = (x + y)a
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Exemplo:
A marca BRverde é uma empresa especializada em comunicação voltada para a
conscientização da população brasileira sobre os cuidados que devemos ter com
o meio ambiente e as consequências que podem resultar de um consumismo
desenfreado.
Para veri�car a e�cácia de suas ações, a empresa realizou uma enquete e
constatou que apenas 17% da população de Recife reconhecem a sua marca.
Numa família de 35 pessoas residentes em Recife, qual é a probabilidade de 2 ou
menos pessoas conhecerem a marca BRverde?
Solução:
Para responder a essa pergunta, considere o experimento que consiste em
escolher um dos 35 familiares e veri�car se ele conhece (sucesso) ou não
(fracasso) a marca BRverde. O que se deseja descobrir, para a população n=35, é
a probabilidade para .
Observe que a probabilidade de sucesso é igual a 17/100~=~0,17. Sendo assim, a
probabilidade de fracasso é igual a 1-0,17=0,83.
Aplicando a fórmula:
Como , temos:
x ≤ 2
P (0) = ⋅ ⋅ = 1, 47 ⋅
35!
(35 − 0)!0!
(0, 17)0 (0, 83)35−0 10−3
P (1) = ⋅ ⋅ = 9, 31 ⋅
35!
(35 − 1)!1!
(0, 17)1 (0, 83)35−1 10−3
P (2) = ⋅ ⋅ = 3, 67 ⋅
35!
(35 − 2)!2!
(0, 17)2 (0, 83)35−2 10−2
P(x ≤ 2) = P (0) + P (1) + P (2)
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.
praticarVamos Praticar
Uma prova contém 10 questões de múltipla escolha com 5 alternativas. Para acertar
uma questão, o aluno precisa assinalar a única alternativa que é correta. Nesse
contexto, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de um aluno que “chuta”
todas as questões acertar exatamente 3 exercícios?
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
P (x ≤ 2) = 0, 00147 + 0, 00931 + 0, 0367 = 0, 04748 = 4, 75
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Agora que já sabemos identi�car distribuições binomiais e calcular as
probabilidades nesse contexto, vamos aprender a determinar as principais
medidas de tendência central e dispersão.
A tabela a seguir corresponde às fórmulas para os cálculos de média, variância e
desvio-padrão (restritos apenas às distribuições binomiais).
DistribuiçãoDistribuição
Binomial - Média,Binomial - Média,
Variância eVariância e
Desvio-PadrãoDesvio-Padrão
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Tabela 3.5 - Medidas de tendência central e dispersão para uma distribuição binomial
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para exercitar, vamos calcular (mais uma vez) a média, a variância e o desvio-
padrão para a variável aleatória X que corresponde ao número de vezes que sai o
número 5 no lançamento de dois dados.
1. MÉDIA:
 vezes
2. VARIÂNCIA
 vezes ao quadrado
3. DESVIO-PADRÃO
 vezes
Observe que os resultados encontrados coincidem com os obtidos quando
aplicadas as fórmulas para distribuições discretas gerais.
Média
                                                      
Variância
                                           
Desvio-padrão
                                            
μ = np
= npqσ2
σ = npq− −−√
mu = np = 2 ⋅ ≃ 0, 331
6
= npq = 2 ⋅ ⋅ ≃ 0, 28σ2 1
6
5
6
σ = ≃ 0, 530, 28
− −−−
√
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praticarVamos Praticar
De�nimos que, em um dado experimento, um valor é classi�cado como não usual
quando este se distancia da média em um valor superior ao dobro do desvio padrão.
Considerando que uma pesquisa foi feita com 894 clientes de uma empresa, constatou-
se que 193 votaram na opção A, conforme �gura seguinte:
Pensando em um resultado estimado para essa pesquisa, determine o valor mínimo
usual de votos na opção A e assinale a alternativa correspondente.
a) 135 votos.
Figura 3.3 - Votantes na opção A
Fonte: Elaborada pelo autor.
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b) 142 votos.
c) 159 votos.
d) 168 votos.
e) 171 votos.
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Para �nalizar nosso estudo sobre variáveis discretas, concentraremos nossa
atenção a mais uma clássica distribuição: a distribuição de Poisson.
A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta
que se aplica a ocorrências de eventos ao longo de intervalos
especi�cados. A variável aleatória é o número de ocorrências do
evento no intervalo. O intervalo pode ser de tempo, distância, área,
volume ou alguma unidade simular. A probabilidade de ocorrência de 
vezes em um intervalo é dada pela fórmula:
em que 
(TRIOLA, 2013, p. 193)
Distribuição deDistribuição de
PoissonPoisson
x
x
P (x) =
⋅μx e−μ
x!
e ≃ 2, 7182.
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Para que a fórmula anterior possaser aplicada, devemos ter certeza de estar
trabalhando com um evento situado em algum intervalo, além de garantir que
cada ocorrência seja aleatória, independente e uniformemente distribuída nesse
intervalo.
saibamaisSaiba mais
A distribuição de Poisson difere de uma
distribuição binomial nestes aspectos
fundamentais:
1. A distribuição binomial é afetada pelo
tamanho da amostra e pela probabilidade ,
enquanto a distribuição de Poisson é afetada
apenas pela média .
2. Na distribuição de binomial, os valores
possíveis da variável aleatória são 0, 1,..., ,
mas uma distribuição de Poisson tem, para
valores possíveis de , 0, 1, 2, … , sem nenhum
limite superior.
O vídeo seguinte mostra mais sobre as
diferenças entre as distribuições binomial e de
Poisson.
ASS IST IR
n p
μ
x n
x
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Para exempli�car, considere o seguinte:
Na construção de um prédio residencial, ocorreram, nos últimos 42 dias, 17
acidentes de trabalho. Selecionando-se ao acaso um determinado dia, dentre os
42 avaliados, qual é a probabilidade de ter ocorrido 3 acidentes nesse dia?
Para responder a essa pergunta, considere uma distribuição de Poisson com
média igual a:
 acidentes.
Sendo assim, .
praticarVamos Praticar
Em um ano bissexto, houve 1687 nascimentos em uma cidade do interior do Rio
Grande do Sul. Selecionando aleatoriamente um dia desse ano, assinale a alternativa
que apresenta a probabilidade de termos exatamente 2 nascimentos nessa cidade.
a) Aproximadamente 3,58%
b) Aproximadamente 22,58%
c) Aproximadamente 15,58%
d) Aproximadamente 10,58%
e) Aproximadamente 8,58%
μ = = 0, 404817
42
P (3) = ≃ 0, 007375 = 0, 74
⋅0,40483 e−0,4048
3!
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indicações
Material
Complementar
L I V R O
Introdução à Estatística - Atualização
da Tecnologia - Capítulo 5
Mario F. Triola
Editora: LTC
ISBN: 9788521634256
Comentário: Neste livro, você encontrará outros
exemplos e aplicações de todo o conteúdo trabalhado na
unidade, além de inúmeros exercícios para fortalecer e
�xar seu aprendizado.
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W E B
Estatística - Aula 11 - Distribuições de
probabilidade - UNIVESP
Comentário: O vídeo em questão faz parte de uma
coleção de materiais didáticos disponíveis gratuitamente
no Youtube pela UNIVESP - Universidade Virtual do
Estado de São Paulo. Nele você poderá revisar todo o
conteúdo da unidade e acessar um canal repleto de
materiais sobre estatística e matemática em geral
Para conhecer o vídeo completo, acesse o link a seguir.
A C E S S A R
https://www.youtube.com/watch?v=j3Zbup0KMxYr
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conclusão
Conclusão
O material que você acabou de ler, vai auxiliar em diversos contextos da sua vida
pro�ssional, uma vez que qualquer distribuição de probabilidade discreta pode
ser estudada sob o viés do conteúdo desta unidade.
Com esse conhecimento, você já está apto a calcular a probabilidade de
ocorrência de defeitos em produtos numa linha de produção, calcular a chance
de aprovação em uma prova de múltipla escolha, analisar dados estatísticos
discretos sobre a ocorrência de um fenômeno e outras diversas aplicações úteis
no dia a dia de qualquer pessoa.
Para �xar o conteúdo, não se esqueça de exercitar bastante e, caso ache
necessário, revise a unidade.
referências
Referências
Bibliográ�cas
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PORTAL Action. 2.2 - Variável Aleatória Discreta. Disponível em:
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/22-variavel-aleatoria-discreta.
Acesso em: 10 fev. 2020.
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística: atualização da tecnologia. v. único.
11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
UNIVESP. Estatística - Aula 11 - Distribuições de Probabilidade. 2015.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=j3Zbup0KMxY. Acesso em:
22 dez. 2019.
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/22-variavel-aleatoria-discreta
https://www.youtube.com/watch?v=j3Zbup0KMxY