4aListadeExerccios Aplica es2002%5b1%5d.1 (1)

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Stela Maria Azevedo 
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA 
Curso: ENGENHARIA 
Disciplina: ALGEBRA LINEAR 
Professora: Stela Maria Azevedo 
2ª Lista de Exercícios 
 
1) Encontrar a equação da parábola y = ax
2
 +bx + c, sabendo que ela passa pelos pontos P1(1, 2); 
P2( 1, 12) e P3(4, 2). 
 
2) Bronze é uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre 60% e 
70%. Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre, deseja-se obter uma 
tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos do primeiro tipo de bronze e 
quantos quilos do segundo devem ser usados? 
 
3) Um par de tênis, duas bermudas e três camisetas custam juntos R$100,00. Dois pares de tênis, cinco 
bermudas e oito camisetas custam juntos R$235,00. Quanto custam juntos um par de tênis, uma 
bermuda e uma camiseta? 
 
4) Uma fábrica usa dois tipos de máquina P e Q para produzir dois produtos diferentes A e B. As 
máquinas P e Q podem trabalhar 80 e 60 horas por semana, respectivamente. Os dois produtos 
requerem, para serem produzidos, diferentes quantidades de tempo em cada uma das máquinas, como 
mostra a tabela abaixo 
 Produto A Produto B Horas de trabalho/semana 
Máquina P 2h 4h 80h 
Máquina Q 3h 2h 60h 
 
Determinar o número de unidades de cada produto que as máquinas P e Q podem produzir por semana, 
operando o tempo todo. 
 
5) Para controlar um certo tipo de praga numa safra de café devem ser usadas três unidades de um 
produto químico tipo A, duas unidades do tipo B e duas unidades do tipo C. Um barril do spray 
comercial P, contém uma unidade do produto químico A. Um barril do spray comercial Q, contém 
uma, duas e uma unidades, respectivamente, desses produtos. Um barril do spray comercial R contém 
uma unidade de cada produto. Quantos barris de cada tipo de spray devem ser usados para preparar 
exatamente a quantidade de produto químico necessário para o controle da praga? 
 
6) Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1g) determinou-se que: 
i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A; 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de 
vitamina C. 
ii) O alimento II tem 2 unidades de vitamina A; 3 unidades de vitamina B e 5 unidades de 
vitamina C. 
iii) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A; 3 unidades de vitamina C e não contém 
vitamina B.. 
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A; 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, 
a) Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III que fornece a 
quantidade de vitaminas desejada. 
 
Stela Maria Azevedo 
2 
b) Se o alimento I custa R$0,60 por grama e os outros dois custam R$0,10, existe uma 
solução custando exatamente R$1,00? 
 
7) A tabela abaixo exibe as porcentagens de albumina, carboidrato e lipídio em cada um dos alimentos 
A, B e C. Verifique se é possível combinar esses alimentos formando uma refeição que contenha 40% 
de albumina; 40% de carboidrato e 20% de lipídio 
 
 A B C 
Albumina 30% 50% 20% 
Carboidrato 30% 30% 70% 
Lipídio 40% 20% 10% 
 
8) A questão abaixo foi aplicada no Processo Seletivo Público da Petrobrás para o cargo de 
Engenheiro de Petróleo Júnior em 30 /09 /01 
A fiscalização de produtos derivados de petróleo flagrou o proprietário de um posto de combustível 
adulterando a gasolina vendida em seu estabelecimento com a adição de óleo dísel e solvente. No total 
existiam 30000 L dessa mistura que eram vendidos ao preço da gasolina comum. Se cada componente 
da mistura fosse vendido pelo seu preço correto, o faturamento com a venda dos 30000 L seria 30% 
inferior ao obtido com a venda da mistura adulterada ao preço da gasolina comum. O problema da 
fiscalização consistiu em determinar as quantidades desses derivados de petróleo que entraram na 
composição dessa mistura. Considerando R$ 1,70; R$ 0,80 e R$ 0,70 os preços de venda da gasolina 
comum, do óleo dísel e do solvente, respectivamente, e que o problema possa ser equacionado como 
uma equação matricial da forma AX = B, em que A e B são matrizes constantes e que X é a transposta 
da matriz linha [ x y z ], julgue os itens a seguir 
1. A matriz A é uma matriz quadrada 3 x 3 inversível 
2. A matriz B é uma matriz coluna, de dimensão 3 x 1 
3. Apenas com os dados apresentados não é possível para a fiscalização determinar a quantidade 
exata de cada um dos derivados de petróleo na composição da mistura. 
4. Se os derivados de petróleo constituintes da mistura fossem vendidos pelos seus preços 
corretos, o faturamento total com essa venda seria de R$35700,00 
5. Para obter o lucro mencionado, o falsário poderia ter usado13700 L de gasolina comum, 10000 
L de dísel e 6300 L de solvente. 
 
 
9) Circuitos Elétricos: Em um circuito elétrico é possível determinar a corrente em cada trecho em 
termos da resistência e da diferença de potencial. Na figura a seguir o símbolo representa 
 
uma bateria (medida em volts) que gera uma carga que produz uma corrente. A corrente sai da bateria 
do lado que contém a reta vertical mais longa. O símbolo representa um resistor. As 
resistências são medidas em ohms. A letras maiúsculas representam os nós, e i (medida em ampères) 
representa a corrente entre os nós. As setas indicam o sentido do fluxo da corrente. Se uma corrente é 
negativa isso significa que a corrente naquele trecho flui no sentido oposto ao da seta. 
Para obter as correntes são utilizadas as seguintes leis: 
1. Lei de Ohm: A diferença de potencial elétrico E em cada resistor corresponde a E = iR, onde R 
é a resistência em ohms 
2. Leis de Kirchhoff: 
i) Em cada nó a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem 
ii) Em cada ciclo fechado, a diferença de potencial total é zero 
 
 
 
 
Stela Maria Azevedo 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Usando a 1
a
 lei de Kirchhoff temos 
i1 i2 + i3 = 0 ( nó A ) 
i1 + i2  i3 = 0 ( nó B ) 
Observemos que as duas equações são equivalentes 
Aplicando agora as leis 1 e 2(ii) 
4i1 +2i2 = 8 ( ciclo superior) 
2i2 + 5i3 = 9 ( ciclo inferior ) 
 
Para encontrar as correntes resolva o seguinte sistema : 








9i5i2
8i2i4
0iii
32
21
321
 
(Exercício do livro Álgebra Linear e Aplicações – Steven J. Leon ) 
 
Respostas: 
1) y = x
2
 5x +6; 
2) 625 e 375; 
3) R$ 65,00; ( Sugestão: Efetue operações com as linhas do sistema encontrado para obter a linha ( 1 1 1 65 )). 
4) Produto A 10 unidades e produto B 15 unidades 
5) Com um barril do spray P e 2 barris do spray R a quantidade de produto químico é conseguida sem 
precisar do spray Q. 
6) a) Se x, y e z são as quantidades dos alimentos I, II e III respectivamente, então x = 3z  5; 
 y = 8  3z. Uma vez que x; y e z devem ser maiores ou iguais a zero temos que 5/3  z  8/3 
b) Sim, para x = 1 e y = z = 2. 
7) A refeição deve ser composta com 12,5% do alimento A; 62,5% do alimento B e 25% do alimento C 
8) Os itens 1 e 2 são falsos. Os demais são verdadeiros 
9) i1 = 1; i2 = 2; i3 = 1 
i3 
i2 
i1 
8 volts 
9 volts 
4 ohms 
3 ohms 2 ohms 
B A