Breve estudo de Cálculo I

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TABELA DE DERIVADAS
ݔ௡ ݊ݔ௡ିଵ
cosሺݔሻ
senሺݔሻ
t݃ሺݔሻ
secሺݔሻ
cossecሺݔሻ
cotgሺݔሻ
arccosሺݔሻ
arcsenሺݔሻ
arct݃ሺݔሻ
arcsecሺݔሻ
arccossecሺݔሻ
arccotgሺݔሻ
coshሺݔሻ
senhሺݔሻ
t݄݃ሺݔሻ
sechሺݔሻ
cossechሺݔሻ
cotghሺݔሻ
arccoshሺݔሻ
arcsenhሺݔሻ
arct݄݃ሺݔሻ
arcsechሺݔሻ
arccossechሺݔሻ
arccotghሺݔሻ
ࢊ࢟
ࢊ࢞ࢌሺ࢞ሻ ࢌ′ ࢞ 	࢕࢛	
ࢊ࢟
ࢊ࢞ࢌሺ࢞ሻ ࢌ′ ࢞ 	࢕࢛	 1
ݔ ∗ ln	ܽ
lnሺݔሻ 1ݔ
݁௫ ݁௫
log௔ ݔ
ܽ௫ ܽ௫ ∗ lnሺܽሻ
cosሺݔሻ
	െsenሺݔሻ
secଶሺxሻ
െcotg ݔ ∗ cossec	ሺxሻ
െcossecଶ	 x
1
1 െ ݔ²
െ1
1 െ ݔ²
1
1 ൅ ݔ²
െ1
1 െ ݔ²
1
ݔ ∗ ݔଶ െ 1
coshሺݔሻ
senhሺݔሻ
sechଶሺxሻ
െsech x ∗ tghሺxሻ
െcotgh ݔ ∗ cossech	ሺxሻ
െcossechଶ	 x
1
1 ൅ ݔ²
1
ݔଶ െ 1
1
1 െ ݔଶ
െ1
1 െ ݔଶ
െ1
ݔ ∗ 1െ ݔଶ
െ1
ݔ ∗ ݔଶ െ 1
െ1
|ݔ| ∗ ݔଶ ൅ 1
tg x ∗ sec	ሺxሻ
 
TABELA DE INTEGRAL
ࢌሺ࢞ሻࢌሺ࢞ሻ නࢌሺ࢞ሻ 	ࢊ࢞
ln ݔ ൅ ܿ1ݔ 	OU		ܺିଵ
݁௫ ൅ ܿ݁௫
ܽ௫
ln |ܽ| ൅ ܿܽ
௫
ݔ௡
െcos ݔ ൅ ܿ
sen ݔ ൅ ܿ
t݃ ݔ ൅ ܿ
sec ݔ ൅ ܿ
cossec ݔ ൅ ܿ	
cotg ݔ ൅ ܿ
arccos ݔ ൅ ܿ
arcsen ݔ ൅ ܿ
arct݃ ݔ ൅ ܿ
arcsec ݔ ൅ ܿ
arccossec ݔ ൅ ܿ
arccotg ݔ ൅ ܿ
cosh ݔ ൅ ܿ
senh ݔ ൅ ܿ
t݄݃ ݔ ൅ ܿ
sech ݔ ൅ ܿ
cossech ݔ ൅ ܿ
cotgh ݔ ൅ ܿ
arccosh ݔ ൅ ܿ
arcsenh ݔ ൅ ܿ
arct݄݃ ݔ ൅ ܿ
arcsech ݔ ൅ ܿ
arccossech ݔ ൅ ܿ
arccotgh ݔ ൅ ܿ
cosሺݔሻ
	senሺݔሻ
secଶሺxሻ
නࢌሺ࢞ሻ 	ࢊ࢞
െcotg ݔ ∗ cossec	ሺxሻ
െcossecଶ	 x
1
1 െ ݔ²െ1
1 െ ݔ²
1
1 ൅ ݔ²
െ1
1 െ ݔ²
1
ݔ ∗ ݔଶ െ 1
coshሺݔሻ
senhሺݔሻ
sechଶሺxሻ
െsech x ∗ tghሺxሻ
െcotgh ݔ ∗ cossech	ሺxሻ
െcossechଶ	 x
1
1 ൅ ݔ²
1
ݔଶ െ 1
1
1 െ ݔଶ
െ1
1 െ ݔଶ
െ1
ݔ ∗ 1െ ݔଶ
െ1
ݔ ∗ ݔଶ െ 1
െ1
|ݔ| ∗ ݔଶ ൅ 1
tg x ∗ sec	ሺxሻ
x୬ାଵ
n ൅ 1 n ് െ1
PROPIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS 
 
1. ׬݇	݀ݔ ൌ kx ൅ c 
 
2. ׬݇	݂ሺݔሻ	݀ݔ ൌ k	 ׬ ݂ሺݔሻ	݀ݔ 
 
 
3. ׬ሾ݂ሺݔሻ ൅ ݃ሺݔሻሿ	݀ݔ ൌ 	׬ ݂ሺݔሻ݀ݔ ൅	׬݃ሺݔሻ݀ݔ 
 
4. ׬ሾ݂ሺݔሻ െ ݃ሺݔሻሿ	݀ݔ ൌ 	׬ ݂ሺݔሻ݀ݔ െ	׬݃ሺݔሻ݀ݔ 
 
 
5. ׬݂ሺݔሻ ∗ ݃ሺݔሻ ൌ 	׬ ݂ሺݔሻ ∗ ݃ሺݔሻ 
 
Só pra lembrar que não é que nem derivada: 
 f ᇱሺxሻ ∗ gᇱሺxሻ ൌ ݂ᇱሺݔሻ݃ሺݔሻ ൅ ݂ሺݔሻ݃′ሺݔሻ 
 
6. ׬ ௙ሺ௫ሻ௚ሺ௫ሻ = ׬
௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ 
Só pra lembrar que não é que nem derivada: 
 ୤ᇲሺ୶ሻ௚ᇱሺ௫ሻ ൌ
௙ᇲሺ௫ሻ௚ሺ௫ሻି௙ሺ௫ሻ௚ᇱሺ௫ሻ
ሺ௚ሺ௫ሻሻ² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
1. ׬ ݂ሺݔሻ	݀ݔ ൌ ܨሺܾሻ െ ܨሺܽሻ௕௔ 
 
2. ׬ ݂݇ሺݔሻ	݀ݔ ൌ ݇	 ׬ ݂ሺݔሻ݀ݔ௕௔௕௔ 
 
3. ׬ ሾ݂ሺݔሻ േ ݃ሺݔሻሿ	݀ݔ ൌ 	׬ ݂ሺݔሻ	݀ݔ	 േ	׬ ݃ሺݔሻ	݀ݔ௕௔௕௔௕௔ 	 
 
4. ׬ ݂ሺݔሻ	݀ݔ ൌ 	׬ ݂ሺݔሻ	݀ݔ ൅	׬ ݂ሺݔሻ	݀ݔ௕௖௖௔௕௔ 
 
5. ׬ ݂ሺݔሻ݀ݔ ൌ 	െ׬ ݂ሺݔሻ݀ݔ௔௕௕௔ 
 
6. ׬ ൫െ݂ሺݔሻ൯݀ݔ ൌ 	െ׬ ݂ሺݔሻ௕௔௕௔ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. At= 
 
 
ଵ
௕
௔
 
ଶ
௖
௕
 
ଷ
ௗ
௖
 
ସ
௘
ௗ
 
 
 
 
 
 
 
 
8. ଵ ݂ ݔ 	݀ݔܾܽ ଶ ݃ ݔ 	݀ݔ
ܾ
ܽ 
௧ ܣ1 െ ܣ2 
 
 
௧ ݂ ݔ െ ݃ሺݔሻ ݀ݔ
ܾ
ܽ
 
݂ሺݔሻ → ݂ݑ݊çã݋	݀݁	ܿ݅݉ܽ 
݃ሺݔሻ → ݂ݑ݊çã݋	݀݁	ܾܽ݅ݔ݋ 
 
Trigonometria Hiperbólica 
 
Algumas identidades 
 
 
cosh 𝑥 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 senh 𝑥 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
 
t𝑔ℎ 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 
cosh 𝑥 
 
sech 𝑥 = 
1
cosh 𝑥 
 cossech 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 
 
cotgh 𝑥 =
cosh 𝑥 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 
 
cosh² x − senh ² 𝑥 = 1 
cosh −x = cosh 𝑥 
senh −x = − senh 𝑥 
1 − tgh ² 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐² 𝑥 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑦 cosh 𝑥 
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑦 senh 𝑥 
Propriedades de Logaritmo 
 
 
 
 (propriedade do tombo) 
 (mudança de base) 
 
Anotações Gerais 
 Taxa Média de variação: (substitui direto os valores) 
 
 Taxa instantânea de variação: Deriva a função. 
 
 Regra da Cadeia: 
 
 Regra de L’Hospital: ܔܑܕ࢞→?
ࢌᇱሺ࢞ሻ
ࢍᇱሺ࢞ሻ (para casos de indeterminação do tipo 
૙
૙ e 
ஶ
ஶ)