Estatística e Probabilidade para Ciência da Computação

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1 | P á g i n a 
Estatística & Probabilidade – UNEB EAD – Prof. Rolando Restany 
 
CURSO: Licenciatura em Ciências da Computação 
DISCIPLINA: Estatística e Probabilidade 
PROF. AUTOR: Rolando Restany 
 
Estatística 
& 
Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 | P á g i n a 
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Apresentação do módulo: 
 
Caro(a) aluno(a), 
Ao elaborarmos este módulo didático levamos em consideração a necessidade de 
dar suporte adequado para os seus estudos na disciplina Estatística e Probabilidade 
no curso de Licenciatura em Ciências da Computação. Nosso objetivo, ao escrevê-lo 
é dar condições para que você licenciando(a), possa compreender as idéias e 
teorias básicas desta disciplina atribuindo significado a elas e oportunamente possa 
aplicá-las nas mais diversas situações do mundo real. 
O módulo está estruturado em temas, que se compõem de conteúdos. São três os 
temas que iremos abordar: No tema 01, trataremos da Estatística Descritiva; no 
tema 02 daremos início ao estudo das Probabilidades e por fim no tema 03 
conheceremos alguns modelos probabilísticos e suas aplicações. 
Dentro de cada tema, procuramos abordar a teoria de forma clara e inteligível, 
dando exemplos de sua aplicação imediata através de questões resolvidas e ao 
mesmo tempo permitindo que você exerça sua autonomia e procure fixar seus 
conhecimentos através dos exercícios propostos. Ademais, sugestões de pesquisa e 
atividades são dadas para que assim você possa adquirir novos conhecimentos 
além das fronteiras desse material. 
Dessa forma, esperamos que este módulo contribua para o seu crescimento, tanto 
intelectual quanto pessoal, que o leve a ter um excelente desempenho na disciplina 
que irá cursar, influenciando de forma positiva a sua formação acadêmica. 
 
O autor 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação da disciplina: 
 
Vivemos em um mundo no qual a circulação de informações é maior a cada dia e 
onde as pesquisas de opinião ganham mais espaço. Sendo assim, é necessário que 
as pessoas sejam capazes de ler e interpretar gráficos e tabelas, perceber 
tendências e analisar criticamente as informações que recebem. Além disso, em 
muitas ocasiões, essa análise de informações é seguida de uma tomada de decisão, 
e, para isso, deve-se levar em consideração quão favorável são as chances de se 
obter sucesso dentro do que se pretende alcançar ou obter. 
Este é um dos objetivos da disciplina que você licenciando(a) irá cursar. Ao 
estudarmos Estatística, saberemos que ela é o ramo da Matemática que permite, de 
forma organizada, recolher dados sobre uma população, uma amostra ou uma 
pesquisa, analisá-los e tirar conclusões. O estudo das probabilidades nos dará 
condições da avaliar, a partir de informações coletadas, os riscos ou chances de 
algo acontecer. 
No decorrer do curso, que possui 60 horas, você também contará com o ambiente 
virtual de aprendizagem (AVA) no qual, outros materiais e atividades estarão à sua 
disposição, bem como atividades avaliativas. 
Esperamos que você possa obter o máximo de proveito no estudo desta disciplina e 
sempre que julgar necessário, busque orientação junto a equipe de professores; eles 
ficarão felizes em poder auxiliá-los com suas dúvidas e questionamentos! 
 
Um forte abraço e sucesso nos estudos! 
 
 
 
 
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Sumário: 
Apresentação dos conteúdos ........................................................................................................ 06 
Tema 01: Estatística Descritiva ...................................................................................................... 06 
1. O que é Estatística? ....................................................................................................................... 06 
2. Estatística descritiva ...................................................................................................................... 06 
    2.1 Coleta e organização de dados ................................................................................................ 07 
3. Tabelas e distribuição de freqüências ........................................................................................... 11 
4. Exercícios propostos ...................................................................................................................... 15 
5. Medidas de posição ....................................................................................................................... 19 
6. Exercícios propostos ...................................................................................................................... 26 
7. Outras medidas de posição ........................................................................................................... 28 
8. Medidas de dispersão .................................................................................................................... 32 
         8.1 Variância .................................................................................................................................. 32 
         8.2 Desvio padrão .......................................................................................................................... 34 
9. Exercícios propostos ...................................................................................................................... 36 
10. Medidas de posição e dispersão para dados agrupados em classes .......................................... 37 
11. Exercícios propostos .................................................................................................................... 39 
 
Tema 02: Introdução a Probabilidades .......................................................................................... 41 
1. Experimento aleatório ................................................................................................................... 41 
2. Espaço amostra ............................................................................................................................. 42 
3. Evento ............................................................................................................................................ 43 
4. Evento complementar ................................................................................................................... 43 
5. Exercícios propostos ...................................................................................................................... 44 
6. Probabilidades em um espaço amostral equiprovável ................................................................. 45 
7. Exercícios propostos ...................................................................................................................... 49 
8. Probabilidade da união de dois eventos ....................................................................................... 50 
9. Exercícios propostos ...................................................................................................................... 51 
10. Probabilidade condicional ........................................................................................................... 52 
11. Exercícios propostos .................................................................................................................... 53 
12. Probabilidade de dois eventos simultâneos ................................................................................ 54 
13. Exercícios propostos ....................................................................................................................55 
14 O teorema da Probabilidade Total ............................................................................................... 56 
15. Exercícios propostos .................................................................................................................... 59 
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Tema 03: Modelos Probabilísticos ................................................................................................. 61 
1. Variáveis aleatórias........................................................................................................................ 61 
2. Tipos de variáveis aleatórias ......................................................................................................... 62 
3. Função de probabilidade ............................................................................................................... 62 
4. Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas ......................................................... 64 
         4.1 Distribuição de Bernoulli ......................................................................................................... 64 
                4.1.1 Esperança e Variância numa distribuição de Bernoulli .................................................. 64 
         4.2 Distribuição Binomial .............................................................................................................. 66 
                4.2.1 Esperança e Variância numa distribuição Binomial ....................................................... 67 
     4.3 Exercícios propostos ............................................................................................................... 71 
     4.4 Distribuição de Poisson ........................................................................................................... 73 
               4.4.1 Esperança e Variância numa distribuição de Poisson ..................................................... 74 
         4.5 Exercícios propostos ................................................................................................................ 75 
5. Modelos probabilísticos para vaiáveis aleatórias contínuas ......................................................... 77 
    5. 1. Distribuição Normal ............................................................................................................... 77 
    5.2 A curva normal padrão ou reduzida ........................................................................................ 78 
    5.3 A área sob a curva normal padrão ou reduzida ....................................................................... 79 
    6. Exercícios propostos ...................................................................................................................... 83 
Glossário ....................................................................................................................................... 86 
Referências ................................................................................................................................... 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação dos conteúdos: 
 
Neste módulo estudaremos os seguintes conteúdos: Estatística Descritiva, que 
compreende o tema 01. Dentro desse tema trataremos dos conteúdos: coleta e 
organização de dados, distribuição de freqüências, medidas de posição, medidas de 
dispersão, dentre outros. No tema 02 damos início ao estudo das probabilidades. 
Neste tema estudaremos os conteúdos: espaço amostral, eventos, probabilidades 
num espaço amostral equiprovável, probabilidade condicional, probabilidade de dois 
eventos simultâneos. 
Por último, finalizamos com o tema 03 que aborda os principais modelos 
probabilísticos. Dentre deste tema trataremos dos seguintes conteúdos: variáveis 
aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas: distribuição de 
Bernoulli, distribuição binomial, distribuição de Poisson e modelos probabilísticos 
para variáveis aleatórias contínuas: distribuição normal. 
 
 
 
 
 
 
 
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Tema 01: Estatística 
Descritiva 
 
 
1. O que é Estatística? 
De um ponto de vista moderno, a Estatística é freqüentemente definida como um 
método de tomada de decisão em face da aleatoriedade dos fenômenos. De 
maneira sucinta podemos dizer que, a Estatística é o ramo da Matemática que 
permite, de forma organizada, recolher dados sobre uma população, uma amostra 
ou uma pesquisa, analisá-los e tirar conclusões. 
Embora já fossem realizados censos da população desde a antiguidade, a 
Estatística, enquanto ciência, só começou a se desenvolver no início do século 
passado. A sua importância tem aumentado e atualmente é essencial não só para a 
Matemática como para as demais ciências e, especialmente, para a vida cotidiana. 
O estudo da Estatística moderna compreende dois grupos: a Estatística Descritiva 
ou Dedutiva e a Estatística Inferencial ou Indutiva que consiste em deduzir ou tirar 
conclusões a respeito das propriedades de um universo a partir de uma amostra. O 
processo de generalização, que é característico do método indutivo, está associado 
a uma margem de incerteza. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e 
métodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades. 
Nesse tema nosso foco é o estudo da Estatística Descritiva. 
2. Estatística descritiva 
É o ramo da Estatística, que consiste num conjunto de métodos desenvolvidos para 
coletar, organizar, apresentar e descrever dados numéricos. Vamos conhecer alguns 
dos objetivos da Estatística Descritiva: 
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1ª Encontrar um método apropriado de coletar dados numéricos eficientemente e 
acuradamente para um dado problema. 
2ª Determinar um formato eficiente, tal como uma apresentação tabular, para a 
organização dos dados de uma forma sistemática e ordenada, de maneira que a 
informação fornecida pelos dados possa ser observada com grande facilidade e 
precisão. 
3ª Apresentar dados numéricos, sejam organizados ou não, de forma que as 
características e o comportamento dos dados são clara e facilmente revelados. Tais 
apresentações São feitas por meio de métodos gráficos. 
4ª Sumarizar ou descrever cada característica ou propriedade dos dados por um 
simples número, tal como uma média, uma porcentagem ou alguma outra medida 
apropriada, a qual é calculada a partir dos dados por meio de uma fórmula derivada 
a partir de algum princípio válido. 
2.1 Coleta e organização de dados. 
Em qualquer estudo estatístico, começamos por definir a pesquisa que será feita, 
que dados serão recolhidos, como serão organizados esses dados e de que forma 
serão analisadas as variáveis envolvidas para que possamos descrever a situação 
pesquisada. O conjunto de dados obtidos do estudo de um determinado fato é 
chamado variável1 estatística. Existem dois tipos de variáveis estatísticas: 
Variáveis quantitativas - referem-se a quantidades e podem ser medidas em uma 
escala numérica. Exemplos: idades de pessoas, preço de produtos, pesos de recém 
nascidos. 
As variáveis quantitativas subdividem-se em dois grupos: variáveis quantitativas 
discretas e variáveis quantitativas contínuas. Variáveis discretas são aquelas que 
assumem apenas determinados valores tais como 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dando saltos de 
 
1 Variável é uma abstração que se refere a um determinadoaspecto do fenômeno que está sendo 
estudado. Podemos afirmar que a quantidade colhida da safra anual de soja é uma variável. 
Representemos essa variável pela letra X. Essa variável pode assumir diversos valores específicos, 
dependendo dos anos de safra, por exemplo, X1986, X1990 e X1992. Esses valores que a variável 
assume em determinados anos não são a própria variável, mas valores assumidos ela para 
determinados objetos ou pessoas da amostra ou da população. Se uma amostra tiver 50 indivíduos 
podemos referimo-nos a X como sendo a variável nota de estatística e a X30 como a nota de um 
indivíduo particular, no caso o trigésimo. 
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descontinuidade entre seus valores. Normalmente referem-se a contagens. Por 
exemplo: número de vendas diárias em uma empresa, número de pessoas por 
família, quantidade de doentes por hospital. As variáveis quantitativas contínuas são 
aquelas cujos valores assumem uma faixa contínua e não apresentam saltos de 
descontinuidade. Exemplos dessas variáveis são os pesos de pessoas, a renda 
familiar, o consumo mensal de energia elétrica, o preço de um produto agrícola. As 
variáveis quantitativas contínuas referem-se ao conjunto dos números reais ou a um 
de seus subconjuntos contínuos. 
Variáveis Qualitativas - referem-se a dados não numéricos. Exemplos dessas 
variáveis são: o sexo das pessoas, a cor, o grau de instrução. 
As variáveis qualitativas subdividem-se também em dois grupos: as variáveis 
qualitativas ordinais e as variáveis qualitativas nominais. As variáveis qualitativas 
ordinais são aquelas que definem um ordenamento ou uma hierarquia. 
Podemos citar como exemplos o grau de instrução, a classificação de um estudante 
no curso de estatística, as posições das 100 empresas mais lucrativas, etc. As 
variáveis qualitativas nominais por sua vez não definem qualquer ordenamento ou 
hierarquia. São exemplos destas a cor, o sexo, o local de nascimento, etc. 
Os dados estatísticos podem ser organizados em tabelas ou gráficos. As tabelas 
são quadros que resumem conjuntos de observações. Vejamos um exemplo: 
Tabela 01: As dez mais 
Na lista a seguir, estão as dez cidades brasileiras que mais cresceram de 1970 a 1996, considerando-se o PIB per capita 
Florianópolis (SC) 6,0% Cuiabá (MT) 4,6% 
Itajubá (MG) 5,7% Macaé (RJ) 4,5% 
Igarassu (PE) 5,7% Toledo (PR) 4,5% 
Dourados (MS) 5,3% Belo Horizonte (MG) 4,4% 
Patos de Minas (MG) 4,7% Belém (PA) 4,4% 
Fonte: Ipea (Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada), disponível em: 
<http://www.ipea.gov.br/sites/000/2/livros/cidadesmediabrasileiras/capitulo4_desenvolvimento.pdf> 
 
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Vamos comentar sobre os elementos que são característicos de uma tabela e que 
estão presentes no exemplo dado: 
? título: indica o assunto da tabela; 
? cabeçalho: indica o que cada coluna contém; 
? corpo: são os dados da tabela; 
? colunas indicadoras: especificam o conteúdo das linhas; 
? fonte: mostra de onde foram recolhidos os dados para organizar a tabela. 
Também refere-se ao veículo de comunicação de onde a tabela ou o gráfico 
foi extraído. 
Outro modo de organizar dados estatísticos é por meio de gráficos. O gráfico 
estatístico e uma forma de apresentar dados estatísticos de modo que permita, ao 
pesquisador e ao público em geral, uma percepção rápida e viva dos dados 
pesquisados. 
A função do gráfico, portanto, é comunicar informações visualmente. Há diferentes 
tipos de gráficos que diariamente, podem ser encontrados em jornais, revistas e até 
na televisão. Vamos conhecer alguns tipos: 
Gráfico em linha ou curva: é um tipo de gráfico que utiliza uma linha poligonal para 
representar os dados estatísticos. É muito empregado na identificação de tendências 
de aumento ou diminuição dos valores numéricos de uma dada informação. 
 
Gráfico 01 – Poupança bruta entre 2001 e 2005 
Fonte: IBGE, 2006; contas trimestrais. 
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Gráfico em barras ou colunas: trata-se de um gráfico cartesiano e nele os dados 
são representados por meio de retângulos dispostos verticalmente ou 
horizontalmente. 
 
Gráfico 02 – Percentual de crianças fora da escola na região norte 
Fonte: IBGE, Censo 2006 
Gráfico em setores: é o tipo de gráfico construído utilizando-se um círculo. Seu 
emprego é adequado quando desejamos comparar parte dos dados com o total 
deles. Esse total é representado por um círculo dividido em tantos setores quantas 
são as partes correspondentes aos dados. As áreas dos setores são proporcionais 
aos respectivos dados que representam. 
 
Gráfico 03 – Distribuição de empresas por setor do grupo Benchmark 
Fonte: http://www.mdic.gov.br/arquivos/ 
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Ainda em se tratando de dados, podemos pensar no seguinte questionamento: 
Como nós podemos organizar os dados de uma forma mais eficiente, na qual se 
possa apresentar uma quantidade maior de informações? 
Uma maneira de organizar um conjunto de dados para melhor representá-los é por 
meio de uma tabela de distribuição de freqüências. É disso que trataremos a seguir. 
3. Tabelas e distribuição de freqüências. 
A análise estatística se inicia quando um conjunto de dados torna-se disponível de 
acordo com a definição do problema da pesquisa. Um conjunto de dados seja de 
uma população ou de uma amostra contem muitas vezes um número muito grande 
de valores. Além disso, esses valores, na sua forma bruta, encontram-se muito 
desorganizados. Eles variam de um valor para outro sem qualquer ordem ou padrão. 
Os dados precisam então ser organizados e apresentados em uma forma 
sistemática e seqüencial por meio de uma tabela ou gráfico. Quando fazemos isso, 
as propriedades dos dados tornam-se mais aparentes e tornamo-nos capazes de 
determinar os métodos estatísticos mais apropriados para serem aplicados no seu 
estudo. 
Vamos tentar entender a partir da seguinte situação: Numa classe o professor de 
Cálculo resolveu fazer uma pesquisa para verificar de que região do Brasil 
procediam os pais de seus alunos. As informações coletadas foram organizadas 
numa tabela de freqüências absolutas: 
Tabela 02: Local de origem 
Local de origem Número de pais 
Nordeste 12 
Norte 01 
Sudeste 21 
Sul 05 
Centro-Oeste 05 
Fonte: Autoria própria 
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A freqüência absoluta de um acontecimento (ou observação) é o número de vezes 
que ele é observado. 
Utilizaremos a notação af para representar a freqüência absoluta. 
Vejamos a próxima situação: 
Em duas turmas do 3º ano do ensino médio; 3ª A e 3º B, foi feita uma pesquisa 
sobre o esporte favorito dos alunos. A turma A tem uma população2 de 32 alunos e a 
turma B tem uma população de 24 alunos. A pesquisa com essas duas populações 
revelou os seguintes resultados: 
Tabela 03: Meu esporte favorito 
Turma 
Esporte 
3ª A 3ª B 
Futebol 11 10 
Basquete 12 09 
Vôlei 04 04 
Outros 05 01 
Total 32 24 
Fonte: Autoria própria 
Vamos analisar com detalhes as informações que são apresentadas. Verificamos 
que há 11 alunos no 3º A e 10 alunos no 3º B que preferem futebol. Será que 
podemos concluir que o futebolé mais preferido na turma A que na B? Não 
necessariamente, porque as turmas não têm o mesmo número de alunos, neste 
caso, o mesmo número de elementos de nossa pesquisa. Para compararmos, 
devemos calcular que fração de cada turma representa os alunos que optaram pelo 
futebol. Ao fazermos isso estamos calculando a freqüência relativa (que 
representaremos por rf ). A freqüência relativa é o valor da freqüência absoluta 
dividido pelo número total de observações. 
 
2 População é o conjunto dos elementos em estudo. 
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É conveniente determinar a freqüência relativa quando desejamos comparar 
resultados de estudos feitos em populações com um número deferente de 
elementos. 
No exemplo citado, a freqüência relativa para a turma A será 11 0,344
32r
f = ≅ . Uma 
vez que a turma A possui 32 alunos e destes 11 preferem futebol. Para a turma B, 
sua freqüência relativa será 10 0, 417
24r
f = ≅ , já que a turma possui 24 alunos e 
destes 10 preferem futebol. Em outras palavras, 34,4% da turma A preferem futebol 
e 41,7% da turma B preferem futebol. Observamos então que embora a turma A 
possua mais alunos que optaram por futebol, esse esporte é mais preferido na turma 
B. É nessa turma que é maior a porcentagem de alunos que preferem futebol. 
Exercício Resolvido 01. 
Considerando a pesquisa sobre os esportes favoritos mostrada anteriormente, 
analise as preferências por outros esportes em cada turma. 
Resolução: 
Calcularemos a freqüência relativa para cada um dos outros esportes em cada 
turma: 
 Turma A Turma B 
basquete: 
12 0,375
32r
f = ≅
 
 09 0,375
24r
f = ≅ 
vôlei: 04 0,125
32r
f = ≅ 04 0,167
24r
f = ≅ 
outros: 
05 0,156
32r
f = ≅ 01 0,042
24r
f = ≅ 
 
No caso do basquete, observamos que embora 12 alunos da turma A o tenham 
escolhido e 9 alunos da turma B também, as freqüências relativas são iguais. 
Quanto ao vôlei, em cada turma há 4 alunos que o preferem. Porém, as freqüências 
relativas são diferentes: 12,5% na turma A e 16,7% na turma B. Portanto, o vôlei é 
mais popular na turma B. 
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4. Exercícios Propostos. 
1. A tabela abaixo mostra o número de horas que os 40 alunos do curso de 
Estatística dormem por noite: 
Número de horas 10 04 06 08 12 
Número de alunos 14 05 05 03 13 
 
a) Construa uma tabela para as freqüências relativas. 
b) Construa um gráfico de barras que represente as freqüências relativas. 
2. Um atleta de salto em distância obteve, em 30 tentativas, os seguintes valores, 
em metros: 
6,67 6,82 6,67 6,90 6,67 7,05 6,90 6,82 6,82 6,82 
7,10 7,05 6,82 6,82 6,90 7,10 6,90 7,05 7,05 7,10 
6,82 6,82 6,90 6,67 6,82 6,90 6,90 7,10 7,05 6,90 
 
a) Organize os dados numa tabela com a freqüência absoluta. 
b) Nesta mesma tabela calcule a freqüência relativa referente à distância de cada 
salto. 
c) Quais os saltos cuja freqüência relativa foi superior a 10%? 
d) Qual foi a porcentagem de saltos superiores a 7 metros? 
Indicação de leitura: 
Mesmo ainda nas séries iniciais é possível ensinar os alunos a coletar dados e 
construir gráficos. Convidamos você a ler como isso é feito na reportagem que está 
disponível em: < http://homolog.novaescola.abril.com.br/matematica/pratica-
edagogica/alfabetizacao-estatistica-427480.shtml > 
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Até agora vimos como são calculadas as freqüências para variáveis quantitativas 
discretas. Nesse caso a tabulação dos resultados é mais simples. Mas quando 
tratamos de variáveis quantitativas contínuas os valores observados devem ser 
tabulados em intervalos de classes3. 
Vamos, agora, a partir de um exemplo, construir uma distribuição de freqüência e ao 
longo da sua construção identificaremos conceitos presentes em uma distribuição de 
freqüências para uma variável contínua. 
Suponhamos que as quantidades de dados (em Megabytes) utilizados por um grupo 
de clientes de uma empresa de internet móvel sejam dadas pela tabela a seguir: 
280 280 305 310 310 320 
330 340 340 365 369 370 
371 375 380 390 400 400 
 
Como você pode observar nesta tabela, a simples organização dos dados em um 
rol4 (no nosso caso trata-se de um rol crescente) aumenta muito a capacidade de 
informação destes. Ainda nesta tabela, você pode verificar que a menor quantidade 
de dados utilizados foi de 280 Mb, e a maior, 400 Mb, o que nos fornece uma 
amplitude total5 de variação da ordem de 120 Mb. 
Neste caso, para elaborar uma distribuição de freqüências é necessário que 
primeiramente, se determine o número de classes (k) em que os dados serão 
agrupados. Por questões de ordem prática e estética, sugere-se utilizar de 5 a 20 
classes. O número de classes (k) a ser utilizado, pode ser calculado em função do 
número de observações (n). Como o número de observações foi 18, faremos 
18 4, 242k = ≅ ; por se tratar de um número inteiro utilizaremos 5 classes (estamos 
 
3 Intervalos nos quais os valores da variável analisada são agrupados. 
4 Rol é a mais simples organização numérica. É a ordenação dos dados em ordem crescente ou 
decrescente. 
5 Corresponde à diferença entre o maior e o menor valor observado em um conjunto de dados. 
Notaremos por A. 
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utilizando o mesmo critério de arredondamento para algarismos significativos 
aprendidos no ensino médio). 
Para identificar uma classe, devem-se conhecer os valores dos limites inferior e 
superior da classe, que delimitam o intervalo de classe. Deste modo, surge a 
necessidade de definir a natureza do intervalo de classe, se é aberto ou fechado. 
Portanto, podemos ter exemplo de notação dos diferentes tipos de intervalos: 
intervalos abertos6 (280 Mb – 320 Mb); intervalos fechados7 (280 Mb |–| 320 Mb). 
Pode-se ter ainda intervalos mistos8, como por exemplo: (280 Mb |– 320 Mb). 
 
Após você determinar o número de classes (em nosso exemplo 5 classes) em que 
os dados serão agrupados, deve-se, então, determinar a amplitude do intervalo de 
classe (c). Para calcularmos a amplitude do intervalo de classe, vamos 
primeiramente calcular a amplitude total dos dados (A), que corresponde à diferença 
entre o maior valor observado e o menor valor observado. No nosso caso, teremos: 
A 400 280 120= − = . 
Com base neste valor da amplitude total (A) calculado, vamos obter a amplitude do 
intervalo de classe (c), como é mostrado a seguir: 
A 120 24
5
c
k
= = = 
Em geral, o valor do resultado é também arredondado para um número inteiro mais 
adequado. Aqui utilizaremos 30c = . 
Deve ficar claro para você, que existem outros procedimentos para determinação da 
amplitude do intervalo de classe que podem ser encontrados na literatura. 
Vamos agora organizar na tabela abaixo os dados do nosso exemplo. Nela constam 
os limites inferior e superior de cada uma das 5 classes de freqüência e a suas 
freqüências absoluta e relativa. 
 
6 É aquele no qual os limites de classe (inferior e superior) não pertencem a ele. 
7 É aquele no qual os limites de classe (superior e inferior) pertencem à classe em questão. 
8 É aquele em que um dos limites pertence à classe, e o outro, não. 
18 | P á g i n a 
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Classe Freqüência absoluta Freqüência relativa 
280 – 310 3 0,12 (12 %) 
310 – 340 4 0,16 (16 %)340 – 370 6 0,24 (24 %) 
370 – 400 7 0,28 (28 %) 
400 – 430 5 0,20 (20%) 
Total 25 1,00 (100 %) 
 
Observa-se na tabela acima, formada por intervalos abertos (6 acima, que o limite 
superior de cada classe coincide com o limite inferior da classe seguinte. Mas nem 
sempre isso poderá ocorrer dessa forma. 
Outra forma seria escolher o limite inferior e o superior das classes de modo que o 
menor valor observado esteja localizado no ponto médio9 (PM) da primeira classe. 
Utilizando esse raciocínio o limite inferior pode ser obtido fazendo-se: 
lim inf menor valor 2
c= − . Definindo, então, o limite inferior da primeira classe, para 
obtermos as classes da nossa distribuição, basta que somemos a amplitude do 
intervalo de classe a cada limite inferior. 
Você sabia? 
Florence Nightingale (1820-1910) é conhecida por muitos como a fundadora da 
profissão de enfermeira, mas ela também salvou milhares de vidas utilizando a 
estatística. Ao encontrar um hospital em más condições sanitárias e sem 
suprimentos, tratou de melhorar essas condições e passou a utilizar a estatística 
para convencer as autoridades da necessidade de uma reforma médica mais ampla. 
Elaborou gráficos originais para mostrar que, durante a guerra da Criméia, morreram 
mais soldados em conseqüência de más condições sanitárias do que em combate. 
 
9 É a média aritmética entre os limites inferior e superior. 
19 | P á g i n a 
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Florence Nightingale foi a pioneira na utilização não só da estatística social como 
das técnicas de gráficos. 
5. Medidas de posição. 
As medidas de posição ou de tendência central constituem uma forma mais sintética 
de apresentar os resultados contidos nos dados observados, pois representam um 
valor central, em torno do qual os dados se concentram. As medidas de tendência 
central mais empregadas são a média, a mediana e a moda. 
A média aritmética é a mais usada das três medidas de posição mencionadas, por 
ser a mais comum e compreensível delas, bem como pela relativa simplicidade do 
seu cálculo, além de prestar-se bem ao tratamento algébrico. A média (que 
representaremos por X ) é definida como a soma das observações dividida pelo 
número de observações. Se tivermos, por exemplo, n valores, temos: 
1 2 1...
n
i
n i
x
x x xX
n n
=+ + += =
∑
 
Utilizamos a média para observar o valor em torno do qual os dados se distribuem. 
Ela é tanto mais representativa quanto menor for a variação dos dados. Das três 
medidas de tendência central, a que mais utilizamos no dia a dia é a média 
aritmética. Nós a encontramos por todo lado. Costumamos calcular, por exemplo, a 
média dos resultados dos testes, a média de quilômetros rodados por um automóvel 
com um litro de combustível, a média das temperaturas, a média dos salários, etc. 
Mas, como proceder quando os dados estiverem agrupados na forma de uma 
distribuição de freqüência em classes? Neste caso, lança-se mão da chamada 
Hipótese Tabular Básica10 para o cálculo da média. Então, você vai calcular a média 
por meio da seguinte expressão: 
1
1
1
i
i
i
n
i a n
i
i rn
i
a
i
x f
X x f
f
=
=
=
= =
∑ ∑∑
 
 
10 Hipótese na qual todas as observações contidas numa classe são consideradas iguais ao ponto 
médio da classe. 
20 | P á g i n a 
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Sendo ix : ponto médio da classe i; iaf : freqüência absoluta da classe i; irf : 
freqüência relativa da classe i. 
Exercício Resolvido 02. 
Calcule a média aritmética para os dados agrupados em classes na tabela seguinte: 
Renda mensal (em salários mínimos) iaf 
2 |– 4 3 
4 |– 6 5 
6 |– 8 10 
8 |– 10 5 
10 |– 12 3 
 
Resolução. 
Inicialmente organizaremos a tabela inserindo os pontos médios e produto 
ia i
f x⋅ : 
 
Renda mensal (em salários mínimos) iaf ix i
a if x⋅
 
2 |– 4 3 3 9 
4 |– 6 5 5 25 
6 |– 8 10 7 70 
8 |– 10 5 9 45 
10 |– 12 3 11 33 
Total 26 182 
 
21 | P á g i n a 
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Logo 182 7.
26
X = = 
 
Quando calculamos uma média em que as grandezas envolvidas não têm todas a 
mesma importância, então é apropriado que usemos a média aritmética 
ponderada, pois ela leva em consideração o grau de importância (fator de 
ponderação ou peso) de cada grandeza. Vejamos um exemplo: 
Exemplo 01: 
Suponhamos que, em um bimestre, um professor tenha realizado duas avaliações: a 
mensal, com peso 1, e a bimestral, com peso 2. Um aluno que tirou nota 3 na 
mensal e 7 na bimestral obteve média dada por: 
3 1 7 2 5,7
3
X ⋅ + ⋅= ≅ 
Observe que neste exemplo o “fator de ponderação” foi o peso de cada prova. 
 
A média geométrica dos n elementos de determinado conjunto de dados é a raiz 
enésima do produto de todos os seus elementos. Seu valor é obtido pela expressão: 
1
g
n
n i
i
x
=
= ∏ 
Essa média é pouco aplicada em distribuições de freqüência. A média geométrica 
tem sua grande aplicação no cálculo de números índices e no estudo de fenômenos 
cujas variações são proporcionais a um valor inicial. 
Exemplo 02: 
A média geométrica dos números 3; 36 e 54 é 3 3g 3 36 54 5832 18.= ⋅ ⋅ = = 
 
Consideraremos ainda a média geométrica ponderada que é utilizada quando os 
elementos do conjunto de dados possuem diferentes graus de importância. Ela é 
22 | P á g i n a 
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calculada ao atribuirmos pesos aos valores possíveis da variável. Quando os dados 
aparecem na forma de uma distribuição de frequências, os pesos utilizados serão as 
frequências absolutas. Seu valor é obtido pela expressão: 
p
1
g i
n
fn i
i
x
=
= ∏ 
aqui temos in f=∑ ou ian f=∑ . 
Exemplo 03: 
Para os dados presentes na tabela que segue a média geométrica ponderada será: 
ix 1 3 5 7 total 
if 2 4 3 1 10 
 
10 2 4 3 1 10 10
pg 1 3 5 7 1 81 125 7 70875 3,055= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ≅ 
 
 
A média harmônica (que simbolizaremos por h ) é o inverso da média aritmética dos 
inversos dos valores observados. Simbolicamente, para uma amostra, temos: 
1 2 1
1
11
1 1 1...
1
n
i
n i
n
i i
x
x x x nh
n n
x
=
=
+ + +
= = =
∑
∑
 
Exemplo 04: 
A média harmônica dos três valores 4, 10 e 16 é: 
23 | P á g i n a 
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3 3 7, 271 33
801 1 1
4 10 16
h = = ≅
+ +
 
Vale observar que para os mesmos dados a média aritmética é 10 e a média 
geométrica é 8,62. Para qualquer série de dados cujos valores não são todos os 
mesmos e que não incluem o zero, a média harmônica é sempre menor que tanto a 
média aritmética como a média geométrica. 
A mediana (que representaremos por Me) de um conjunto finito de valores, 
dispostos em ordem crescente ou decrescente de grandeza, é o valor central, se o 
conjunto tiver um número ímpar de elementos, ou é a média aritmética dos valores 
centrais, se o conjunto tiver um número par de elementos. 
Queremos deixar claro para você que todos os conjuntos finitos de valores (ou de 
dados de uma determinada observação) têm mediana. Ademais, se o conjunto tiver 
um número ímpar de elementos, a mediana será sempre um valor do próprio 
conjunto; se tiver um número par de elementos, a mediana poderá ser ou não um 
elemento deste conjunto. 
Exemplo 05: 
Observe o cálculo da mediana dos seguintes conjuntos de dados: 
a) 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Aqui temos Me 3= . 
b) 1, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 7.Aqui temos 3 3Me 3
2
+= = , que é um valor pertencente ao 
conjunto. 
c) 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 7. Aqui temos 3 4Me 3,5
2
+= = ; que é um valor não pertencente 
ao conjunto. 
 
Quando os dados estão agrupados em classes devemos encontrar a classe 
mediana. Neste caso, utilizaremos a seguinte expressão: 
24 | P á g i n a 
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iMd L m i
md
E F c
f
−= + ⋅ , em que: 
Li: limite inferior da classe mediana; Fi: freqüência acumulada anterior à classe 
mediana; fmd: freqüência absoluta da classe mediana e c: amplitude do intervalo da 
classe mediana. Vamos entender melhor estudando o seguinte exemplo: 
Exemplo 06. 
Para a tabela de dados que segue desejamos encontrar a mediana do conjunto de 
dados apresentados: 
Classes if iF ix 
4 |− 8 2 2 6 
8 |− 12 4 6 10 
12 |− 20 10 16 16 
20 |− 26 3 19 23 
26 |− 40 2 21 33 
Total 21 88 
 
Para este exemplo o elemento mediano é obtido pela relação: 21 10,52 2
n = = . A 
terceira classe é a classe mediana daí 12iL = , ainda nesta mesma classe a 
amplitude do intervalo é 8c = , a freqüência acumulada anterior é 6, ou seja 6iF = e 
a freqüência absoluta simples da classe mediana é 10, ou seja, 10if = . Portanto: 
10,5 6Md 12 8 15,6
10
−= + ⋅ = . 
A moda (que representaremos por Mo), de um conjunto de valores é o elemento que 
ocorre com mais frequência dentro desse conjunto. 
25 | P á g i n a 
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A moda pode ser calculada para qualquer tipo de variável. Sua função é possibilitar 
a percepção de uma forte tendência, de uma preferência ou de uma rejeição 
evidente. Um conjunto de dados pode não ter moda por não ter um único elemento 
que ocorra mais frequentemente que os outros: 
Conjunto de dados Valores mais freqüentes 
7 9 9 9 10 10 12 9 
3 5 8 10 12 15 16 não há 
3 4 4 4 5 5 7 7 7 4 e 7 
 
Observe que no primeiro conjunto de dados, o valor mais freqüente é 9, logo a moda 
desse conjunto de dados é 9. No segundo caso, não há um único valor que seja 
mais freqüente, logo não há moda. No terceiro caso, há dois valores mais 
freqüentes: 4 e 7. Temos, assim, um caso de situação bimodal, ou seja, esse 
conjunto de dados possui duas modas. 
Quando os dados não estão em intervalos de classes, basta olhar o valor que ocorre 
com maior freqüência. Para dados agrupados em intervalos de classes, você poderá 
calcular a moda por meio do método de Czuber, que se baseia na influência das 
classes adjacente na moda, deslocando-se no sentido da classe de maior 
freqüência. A expressão que você utilizará é: 
1
i
1 2
Mo L d c
d d
= + ⋅+ 
 
Nesta expressão temos que Li: limite inferior da classe modal; d1: diferença entre a 
freqüência da classe modal e a imediatamente anterior; d2: diferença entre a 
freqüência da classe modal e a imediatamente posterior; e c: amplitude da classe 
modal. 
Exercício Resolvido 03: 
26 | P á g i n a 
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A tabela abaixo mostra a variação da temperatura mínima (em ºC) registrada numa 
cidade no sul do Brasil entre 15 e 21 de agosto: 
Data 15/08 16/08 17/08 18/08 19/08 20/08 21/08 22/08 23/08
Temperatura 
(ºC) 
4,6 10,4 9,9 15,1 12,4 17,5 15,1 10,5 12,1 
 
a) Qual é a moda das temperaturas? 
b) Qual é a média aritmética das temperaturas? 
c) Calcule a mediana dos dados da tabela. 
Resolução: 
a) A moda das temperaturas é 15,1ºC; porque esta foi a temperatura mais freqüente. 
b) Para calcular a média aritmética das temperaturas, fazemos: 
4,6 10,4 9,9 15,1 12,4 17,5 15,1 10,5 12,1 11,96 12º
9
X C+ + + + + + + += ≅ ≅ 
c) Para calcular a temperatura mediana, o conjunto de dados deve ser inicialmente 
ordenado: 
4,6 – 10,4 – 9,9 – 10,4 – 10,5 – 12,1 – 12,4 – 15,1 – 15,1 – 17,5 
Como o número de elementos do conjunto é ímpar e o valor central é 12,1ºC; este é 
o valor da mediana. Portanto, Me=12,1ºC. 
 
6. Exercícios propostos. 
1. Calcule a média, a moda e a mediana do seguinte conjunto de valores: 
3; –3; 5; 1; 4; 9; 2; –4; 0; 10; 5 
27 | P á g i n a 
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2. As temperaturas máximas diárias de uma cidade, no inverno, foram medidas 
durante 10 dias: 
21ºC – 17ºC – 19ºC – 25ºC – 26ºC – 19ºC – 16ºC – 15ºC – 15ºC – 18ºC 
Determine a mediana das temperaturas. 
3. Os dados ordenados abaixo referem-se ao tempo de espera (em minutos) de 10 
pessoas que foram atendidas em um posto de saúde durante uma manhã: 
1 – 5 – 8 – 9 – x – 16 – 18 – y – 23 – 26 
Sabendo que o tempo médio de espera foi de 14 minutos e o tempo mediano foi de 
15 minutos, determine os valores de x e y. 
4. Calcule a média aritmética para a seguinte tabela de dados: 
Massa 
(kg) 
5 |–25 25 |–45 45 |–65 85 |–105 105 |–125 105 |–125 125 |–145 145 |–165 
ia
f 04 06 14 26 14 08 06 02 
 
 
Em um conjunto de dados, a mediana, a moda e a média não necessariamente 
devem apresentar o mesmo valor. Uma informação importante é de que a mediana 
não é influenciada pelos valores extremos. Comparando os resultados encontrados 
para uma amostra em relação às medidas de posição estudadas e verificando a 
inter-relação entre elas, você pode concluir que seus valores podem nos dar um 
indicativo da natureza da distribuição dos dados. Vejamos o seu comportamento 
através das curvas na figura a seguir: 
 
28 | P á g i n a 
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Figura 01: Distribuição assimétrica à esquerda e à direita respectivamente. 
Fonte: Autoria própria 
 
7. Outras medidas de posição 
Outras medidas de posição denominadas chamadas de separatrizes são também 
utilizadas no tratamento dos dados de uma determinada série estatística. A principal 
característica das medidas separatrizes consiste na separação da série de dados 
em partes iguais que apresentam o mesmo número de valores. As principais são os 
quartis, decis e percentis. 
No caso da mediana, vimos que ela divide o conjunto em duas metades. Já o quartil, 
separa o conjunto em quatro partes iguais; o decil, em dez partes e, finalmente, o 
centil (ou percentil), em cem partes iguais. 
Vamos observar o esquema proposto abaixo em que a linha horizontal representa 
uma série de dados que estão respectivamente divididos pela mediana, quartil, decil 
e percentil. 
 
|-------------------|-------------------| 
 Md 
|---------|---------|---------|---------| 
 Q1 Q2 Q3 
|----|----|---|----|----|----|----|----|----|---| 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
|----|----|---|----|----|----|----|----|----|----| 
 C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90 
 
 
Daí, concluímos sem maiores dificuldades que: Md = Q2 = D5 = C50. 
29 | P á g i n a 
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Os quartis são valores de um conjunto de dados ordenados, que os dividem em 
quatro partes iguais. 
O primeiro quartil é o valor da variável cuja freqüência relativa acumulada é 0,25 (ou 
25 %). O terceiro quartil é o valor da variável cuja freqüência relativa acumulada é 
0,75 (ou 75 %). O primeiro quartil é maior do que um quarto dos valores observados 
e menor do que três quartos destes valores. O terceiro quartil é maior do que três 
quartos dos valores observados e menor do que um quarto destes valores. O 
segundo quartil confunde-se com a mediana. 
Utilizando o mesmo raciocínio temos, por exemplo, que o percentil 40 é o valor da 
variável que é maior do que 40% das observações. Generalizando, o percentil x, é ovalor da variável que é maior do que x% das observações. Em outras palavras, o 
percentil x é o valor da variável correspondente ao valor de freqüência relativa 
acumulada de x%.O primeiro decil é o valor da variável que supera um décimo (ou 
10%) do total de observações. Se tivermos 200 observações, o segundo decil será 
aproximadamente a observação de posto 40. Vamos ler e estudar com atenção o 
exemplo que construiremos a seguir para quartis. Antes, porém, daremos um roteiro 
resumido de como encontrar essas medidas para um certo conjunto de dados. 
? Determinamos o valor de n (somando a coluna da freqüência absoluta 
simples, ( if )); 
? Calculamos o valor de ( i
i
X n
N
⋅ ) (independentemente de n ser par ou ímpar!); 
em que Xi = é a x-ésima separatriz desejada, i=1, 2, ..., 99; e Ni é o número 
de partes que irá separa o banco de dados, Ni=4, 10 ou 100. 
? Construímos a coluna da iF (freqüência acumulada); 
? Comparamos o valor de ( i
i
X n
N
⋅ ) com os valores da iF , iniciando da iF da 
primeira classe (a mais de cima) e fazendo a seguinte pergunta: "esta iF é 
maior ou igual a (Xi.n/Ni) ?". Se a resposta for NÃO, passamos à iF da classe 
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe 
correspondente! Esta será a nossa classe da x-ésima separatriz, ou seja, a 
classe da sep. X. 
30 | P á g i n a 
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? Finalmente, aplicaremos a fórmula da sep X, extraindo os dados desta classe 
da sep X, que acabamos de encontrar! Sua expressão é: 
( )
Sep X inf
i
i
i
i
X n F anterior
N
l h
f
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, em que h = amplitude da classe 
(diferença entre o maior e menor valor). 
 
Exemplo 07: 
Para o conjunto abaixo, determine o valor do terceiro quartil. 
Xi fi 
0 |― 10 
10 |― 20 
20 |― 30 
30 |― 40 
40 |― 50 
2 
5 
8 
6 
3 
 
1º passo: Encontraremos n e calcularemos 3 4
n⋅ : Basta somarmos os valores de fi 
e sem muita dificuldade encontramos n=24. Logo, 3 3 24 18
4 4
n⋅ ⋅= = . 
2º passo: Construímos a iF : 
Xi fi Fi 
0 |― 10 
10 |― 20 
20 |― 30 
2 
5 
8 
2 
7 
15 
31 | P á g i n a 
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30 |― 40 
40 |― 50 
6 
3 
21 
24 
 
3º passo. Comparamos os valores da Fi com o valor 18, (lembre: 
3 3 24 18
4 4
n⋅ ⋅= = ) 
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil: 
Xi fi Fi 
0 |― 10 
10 |― 20 
20 |― 30 
30 |― 40 
40 |― 50 
2 
5 
8 
6 
3 
2 
7 
15 
21 
24 
? 2 é maior ou igual a 18? NÃO! 
? 7 é maior ou igual a 18? NÃO! 
? 15 é maior ou igual a 18? NÃO! 
? 21 é maior ou igual a 18? SIM! 
 
 
Como a resposta SIM surgiu na Fi da quarta classe (30 |― 40), diremos que esta 
será nossa classe do terceiro quartil! 
4º passo. Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do Q3, que 
acabamos de identificar! Temos nesse caso que Xi = 3; e Ni = 4. 
( )
3
3
3
Q inf
18 15Q 30 10
6
Q 35
i
i
i
i
X n F anterior
N
l h
f
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−⎡ ⎤= + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
=
 
Indicação de vídeo: 
Agora sugerimos que você complemente seus estudos assistindo ao vídeo 
disponível em: < http://www.youtube.com/watch?v=oq015gZwtrc&feature=related> 
32 | P á g i n a 
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8. Medidas de dispersão. 
Suponhamos que seu professor de estatística tenha interesse em comparar o 
desempenho das turmas em que leciona durante um semestre letivo. Para isso, 
considerou a média final de cinco alunos de cada uma de suas quatro turmas: 
turma A: 5 – 5 – 5 – 5 – 5 
turma B: 5 – 6 – 5 – 4 – 5 
turma C: 3 – 7 – 6 – 5 – 4 
turma D: 1 – 8 – 5 – 2 – 9 
 
Se ele calcular as médias aritméticas das notas de cada uma das turmas, notará nos 
quatro casos, que a média da turma é igual a 5,0. Limitando nossa análise a apenas 
esse valor, concluiremos que as turmas apresentam desempenho médio igual. Isso, 
porém, não é suficiente, pois esse valor esconde informações em relação à 
homogeneidade ou heterogeneidade do desempenho dos alunos de uma mesma 
turma. Daí surge a necessidade de se definir uma medida que revele o grau de 
variabilidade das notas de uma turma, de modo que a análise efetuada não fique 
comprometida. 
8.1 Variância 
Sejam x1, x2, x3, ..., xn os valores assumidos por uma variável X e x a média 
aritmética desses valores. Chamamos variância de X e indicamos por Var(x) ou 
2σ (σ é uma letra grega chamada signa) ao número real positivo: 
( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 22 1
n
i
n i
x xx x x x x x
n n
σ =
−− + − + + −= =
∑…
 
33 | P á g i n a 
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É importante salientar que cada parcela da soma apresentada no numerador é uma 
diferença que traduz o quanto o valor observado se distancia do valor médio, sendo, 
assim, uma medida do grau de variabilidade dos dados em estudo. 
Voltando ao exemplo apresentado inicialmente, temos: 
• turma A: 5x = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0
5
σ − + − + − + − + −= = 
O valor zero indica que todos os alunos apresentaram desempenho idêntico. 
• turma B: 5x = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 5 5 6 5 5 5 4 5 5 5 0,4
5
σ − + − + − + − + −= = 
O valor muito pequeno indica neste caso que os alunos dessa turma apresentaram 
desempenho bem próximos. 
• turma C: 5x = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 3 5 7 5 6 5 5 5 4 5 2
5
σ − + − + − + − + −= = 
Esse valor não tão pequeno, revela certo grau de heterogeneidade no desempenho 
dos alunos da turma, não existindo uma diferença significativa. 
• turma D: 5x = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 1 5 8 5 5 5 2 5 9 5 10
5
σ − + − + − + − + −= = 
Neste último caso, o valor encontrado revela uma diferença significativa no 
desempenho dos alunos dessa turma, existem alunos com desempenho muito bons 
ou muito ruins. 
Como você pode observar a variância é definida como uma soma de quadrados, 
sendo, portanto, uma média quadrática. Por exemplo, se estivéssemos estudando a 
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altura dos alunos de uma turma, a altura média seria expressa em metros (m), 
porém a variância seria expressa em metros quadrados (m2), o que acarretaria uma 
incompatibilidade em relação às unidades. Para uniformizá-las, definiremos uma 
nova medida: o desvio padrão. 
8.2 Desvio Padrão 
Sejam x1, x2, x3, ..., xn os valores assumidos por uma variável X. Chamamos desvio 
padrão de X – indicaremos pela letra grega sigma (σ ) – a raiz quadrada da 
variância de X: 
( ) ( ) ( )2 2 21 2 nx x x x x x
n
σ − + − + + −= … 
Observaremos agora um exemplo no qual veremos a importância de conhecermos 
essa medida. 
Exemplo 08: 
Na tabela seguinte estão representadas as taxas percentuais de população urbana 
no mundo: 
Continente África 
América 
do Norte 
América 
Central 
América 
do Sul 
Ásia Europa Oceania 
População 
urbana (%) 
37 76 53 79 36 74 74 
 
Vamos inicialmente, calcular a média e o desvio padrão do porcentual da população 
urbana, levando em consideração os sete continentes aí apontados: 
37 76 53 79 36 74 74 61,3%
7
x + + + + + += ≅ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 37 61,3 76 61,3 53 61,3 74 61,3 74 61,3 307,35
5
σ − + − + − + + − + −= ≅… 
35 | P á g i n a 
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Tirando a raiz quadrada da variância temos a medida do desvio padrão, neste caso, 
307,35 17,53%σ = = . 
Desejamos obter informações mais precisas acercados continentes, então, 
agruparemos os mesmos em dois blocos (os com as menores taxas e os com as 
maiores taxas): 
Bloco I Bloco II 
África América do Norte 
América Central América do Sul 
Ásia Europa 
 Oceania 
 
Calcularemos a média e o desvio padrão em cada bloco: 
Bloco I: 
37 53 36 42%
3
x + += = 
( ) ( ) ( )2 2 22 37 42 53 42 36 42 60,67
3
σ − + − + −= ≅ , segue que 60,67 7,78%σ = ≅ . 
Bloco II: 
76 79 74 74 75,75%
4
x + + += = 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 76 75,75 79 75,75 74 75,75 74 75,75 3,78
4
σ − + − + − + −= ≅ , segue que 
3,78 1,94%σ = ≅ . 
Observamos que ao dividirmos os continentes em blocos, o valor do desvio padrão 
sofreu uma redução considerável: no bloco I, o desvio registrado foi de 7,78%; e no 
bloco II, o valor encontrado foi de 1,94%.(Lembre que quando os continentes não 
36 | P á g i n a 
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estavam agrupados em blocos, o desvio padrão encontrado foi de 17,53%). Este 
exemplo reforça a idéia de que o desvio padrão é uma medida que revela se há, ou 
não, homogeneidade num determinado conjunto de dados. 
Propriedades do desvio padrão. 
1. Somando-se ou subtraindo-se um valor constante a cada elemento de um 
conjunto de dados, o desvio padrão no se altera. 
2. Multiplicando se ou dividindo se por um valor constante a cada elemento de um 
conjunto de dados, o desvio padrão fica multiplicado ou dividido pela constante. Por 
exemplo, se o custo médio da cesta básica é de R$ 56,00; com desvio padrão de R$ 
6,10 e se o governo aumentar em 5% o preço de todos os produtos, em quanto 
ficará a dispersão no custo da cesta básica após o aumento? Com base na 
propriedade mencionada teremos: 56 · 1,05 = 58,80 e o desvio padrão: 6,10 · 1,05= 
6,41. 
Saiba mais: 
As primeiras estatísticas foram realizadas para os governantes das grandes 
civilizações antigas tomarem conhecimento dos bens que o Estado possuía e como 
estavam distribuídos pela população. 
O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido por 
Heródoto o qual diz que em 3050 a. C. se efetuou um estudo da riqueza da 
população do Egito, cuja finalidade era averiguar quais os recursos humanos e 
econômicos disponíveis para a construção das pirâmides. 
9. Exercícios Propostos. 
1. Em um colégio funciona uma cantina. Os gastos diários de 12 alunos com a 
cantina estão abaixo relacionados (em reais): 
0,80 – 1,20 – 0,90 – 1,40 – 2,00 – 1,00 – 1,50 – 1,50 – 0,80 – 1,50 – 1,00 – 0,80 
a) determine o gasto médio diário de um aluno na cantina; 
b) determine a variância e o desvio padrão; 
37 | P á g i n a 
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c) determine a moda dos gastos diários na cantina. 
2. Com o objetivo de verificar o comportamento do consumidor, um órgão de defesa 
do consumidor registrou o seguinte número de queixas ao longo de dez dias: 
58 – 39 – 63 – 60 – 95 – 48 – 56 – 72 – 75 – 80 
a) determine a média e a mediana do número de queixas recebidas, 
b) determine o desvio padrão dos dados apresentados acima. 
3. Na tabela seguinte estão representadas as taxas de analfabetismo nos 
continentes: 
Continente África 
América 
do Norte 
América 
Central 
América 
do Sul 
Ásia Europa Oceania 
Analfabetismo 
(%) 
40,3 1,1 11,7 11,7 24,9 1,3 4,6 
 
a) calcule a média e o desvio padrão da taxa de analfabetismo referente aos dados 
dos sete continentes destacados na tabela. 
b) considerando apenas a América do Norte, a Europa e a Oceania, determine a 
média da taxa de analfabetismo, 
c) Intuitivamente, o desvio padrão nesses continentes (calculado no item anterior) é 
maior ou menor do que o obtido no item (a)? Comprove sua resposta, efetuando 
para isso os cálculos necessários. 
10. Medidas de posição e dispersão para dados agrupados em 
classes 
Suponhamos que uma variável quantitativa apresente seus valores agrupados em 
classes de intervalos. Para calcularmos as medidas de posição (média, mediana e 
moda) e medidas de dispersão (variância e desvio padrão), é necessário supor 
que,em cada classe, os valores se distribuem de forma simétrica em torno de um 
ponto médio daquele intervalo. Desse modo, se uma classe contém n valores, 
38 | P á g i n a 
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assumimos que esses n valores são iguais ao correspondente ponto médio da 
classe. A partir daí, devemos seguir o mesmo procedimento usado para dados não 
agrupados. 
Entenderemos melhor como proceder neste caso (com dados agrupados em 
classes) estudando o exemplo que segue: 
Exemplo 09: 
Uma empresa de televisão a cabo encomendou uma pesquisa que avaliasse o grau 
de satisfação de seus assinantes. Cada um dos oitenta entrevistados foi instruído a 
dar uma nota de 0 a 100 para os serviços prestados pela empresa. Os resultados 
estão apresentados na tabela seguinte: 
Nota Freqüência absoluta 
0 |– 20 04 
20 |– 40 13 
40 |– 60 32 
60 |– 80 25 
80 |– 100 06 
 
Como iremos determinar a nota média e o desvio padrão dada à empresa de 
televisão a cabo nesta pesquisa? 
Ao observarmos o primeiro intervalo (notas de 0 a 20), passaremos a admitir que as 
quatro notas nessa classe sejam iguais ao ponto médio do intervalo, que é 10. Na 
classe seguinte (notas de 20 a 40), vamos supor que as treze notas registradas 
sejam iguais a 30 e assim por diante. Portanto, considerando que os pontos médios 
dos intervalos dados são 10, 30, 50, 70 e 90, calculamos a média como segue: 
10 4 30 13 50 32 70 25 90 6 54
80
x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = 
39 | P á g i n a 
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O cálculo da variância e do desvio padrão obedece à mesma suposição: todos os 
valores dentro de uma classe são iguais ao ponto médio da classe. Assim: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 10 54 4 30 54 13 50 54 32 70 54 25 90 54 6 374
80
σ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅= = 
Daí, segue que 374 19,34σ = ≅ . 
 
11. Exercícios Propostos. 
1. O número de erros de português (ortografia, acentuação, concordância, etc.) 
encontrado por página de um trabalho escolar está relacionado na tabela seguinte: 
Número de erros Freqüência absoluta 
0 |– 2 6 
2 |– 4 4 
4 |– 6 3 
6 |– 8 1 
 
a) determine a média, a mediana e a moda dos lados da tabela, 
b) determine o desvio padrão para os dados apresentados. 
 
2. Um radar fotográfico, instalado em uma rodovia na qual o limite de velocidade é 
de 100 km/h, registrou em uma semana x multas por excesso de velocidade, assim 
distribuídas: 
Velocidade em km/h Número de ocorrências 
101 |– 108 34 
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108 |– 115 41 
115 |– 122 35 
122 |– 129 22 
129 |– 136 18 
 
a) determine o valor de x, 
b) calcule a média, a moda, a mediana e o desvio padrão da velocidade dos veículos 
multados, 
c) se o valor das multas varia de acordo com a faixa de velocidade ultrapassada, 
começando por R$ 180,00 e aumentando sempre 20% em relação à faixa anterior, 
determine o valor médio das multas aplicadas. 
 
Indicação de site: 
Faça uma visita ao site: < http://leg.ufpr.br/~shimakur/CE055/node6.html > e 
pesquise um pouco mais sobre os conteúdos abordados neste tema! 
Registre sua idéia!! 
Como uma maneira inteligente e sistemática, gostaríamos de sugerir que ao final 
deste tema você reserve um tempo para fazer uma breve análise dos conteúdos 
estudados, anotando os pontos principais, as idéias e definições envolvidas. Não 
esqueça de anotar também as dificuldades encontradas, para que possam ser 
discutidas e compartilhadas com os demaiscolegas de estudos e equipe de 
professores. 
 
 
41 | P á g i n a 
Estatística & Probabilidade – UNEB EAD – Prof. Rolando Restany 
Tema 02: Introdução 
a 
Probabilidades 
 
 
Diariamente, milhões de pessoas em nosso país e em outras partes do mundo, em 
busca de diversão e também dinheiro, apostam em loterias, bingos, compram 
raspadinhas, gastam moedas em caça níqueis, arriscam a sorte em cassinos e em 
outros tipos de jogos. Independente do valor apostado, que pode ser de apenas R$ 
1,00; ou chegar a quantias milionárias; os jogos de azar sempre despertaram a 
atenção e curiosidade das pessoas que sonham com uma vida mais fácil e tranqüila 
proporcionada pelo dinheiro que poderiam ganhar nestes tais jogos. 
De agora em diante, neste tema 02, passaremos a estudar um pouco sobre a Teoria 
das Probabilidades, que nos revelará entre diversas outras coisas, que é preciso ser 
muito, mas muito “sortudo” para faturar uma quantidade considerável de dinheiro 
nesses jogos. 
É importante que você saiba, que, embora os jogos de azar tenham historicamente 
impulsionado o desenvolvimento da Teoria das Probabilidades, essa interessante 
parte da Matemática tem aplicações notáveis em outras ciências, como Biologia (em 
genética, por exemplo), finanças, marketing e econometria (conjunto de técnicas 
matemáticas para quantificar fenômenos econômicos). 
1. Experimento aleatório 
Imaginemos a seguinte situação: você lança um dado para o alto e observa a face 
que aparece voltada para cima. Previamente não é possível saber qual resultado vai 
ocorrer, já que existem seis possibilidades distintas (os valores de 1 a 6 que 
apresentam as faces do dado). Da mesma maneira, quando escolhemos 
42 | P á g i n a 
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aleatoriamente uma carta do baralho, não é possível previamente saber de que valor 
e naipe será a carta escolhida. 
Experimentos assim são chamados de experimentos aleatórios, pois, mesmo 
repetidos em condições idênticas, podem apresentar diferentes resultados. De fato, 
uma vez tendo saído a face seis do dado, nada garante que no próximo lançamento 
ela sairá novamente. Tal variabilidade aqui comentada deve-se ao acaso. A seguir 
listamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: 
? Lançar uma moeda e observar a face de cima; 
? Lançar um dado e observar a face de cima; 
? Lançar um dado várias vezes e observar as sequências obtidas; 
? De uma urna contendo bolas brancas e bolas pretas, retirar uma e observar a 
sua cor; 
? De um baralho contendo 52 cartas, selecionar uma carta e observar o seu 
naipe. 
2. Espaço amostral 
Consideremos um experimento aleatório. O conjunto de todos os possíveis 
resultados desse experimento é chamado de espaço amostral e indicado pela letra 
grega ômega (Ω ). Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por 
( )n Ω . A seguir listamos alguns exemplos de espaços amostrais: 
? Lançamos uma moeda honesta11 e observamos e observamos a face voltada 
para cima. Neste caso temos: { },K CΩ = , em que K: cara e C: coroa; além 
disso, observa-se que ( ) 2n Ω = . Chamaremos cada um desses resultados 
possíveis de ponto amostral. 
? Uma urna contém cinco bolas vermelhas (V) e quatro bolas brancas (B). Duas 
bolas são extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Na primeira 
 
11 Aqui chamamos de moeda honesta aquela na qual as chances de sair cara ou coroa são as 
mesmas. 
43 | P á g i n a 
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extração poderemos ter uma bola vermelha ou branca e na segunda extração 
também. Observamos então a sequência de cores das bolas retiradas: 
 ( ) ( ) ( ) ( ){ }, ; , ; , ; ,V V V B B V B BΩ = e, portanto, ( ) 4n Ω = . Cada par acima é 
um dos pontos amostrais de Ω . 
3. Evento 
Três colegas de curso resolveram rifar um smartphone a fim de arrecadar dinheiro 
para a festa de formatura. A rifa constava de 50 cupons numerados de 1 a 50. 
(Observe que neste caso, o resultado do sorteio é um experimento aleatório cujo 
espaço amostral é { }1, 2, 3, 4, , 49, 50Ω = … . Vendidos todos os números, os três 
fizeram os seguintes prognósticos em relação ao número que seria sorteado: 
? Alan arriscou que o número sorteado seria primo. Neste caso, os resultados 
que interessam a Alan são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 
47. 
? Cássio garantiu que o número sorteado seria múltiplo de 6; desse modo, os 
números do seu palpite são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48. 
? Marcos afirmou que o número sorteado seria maior que 42. Os casos 
favoráveis a Marcos são: 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 e 50. 
Observamos que cada conjunto de n[úmeros que formam um dos palpites dos três 
colegas é um subconjunto de Ω . Vamos denominar cada um deles de evento de Ω . 
Agora, a partir dos conceitos de espaço amostral e evento, introduziremos logo à 
frente a idéia intuitiva da probabilidade de ocorrer determinado evento. 
4. Evento complementar 
Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Ω . Chamamos evento 
complementar de E – indicado por Ec – ao evento que ocorre quando E não ocorre. 
Observações: 
Quando E = Ω , o evento é dito evento certo. Quando E =∅ , o evento é dito evento 
impossível. Retomando o exemplo dos três colegas que desejam rifar o smartphone; 
44 | P á g i n a 
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o evento ocorrer uma rifa formada por números de três algarismos é um evento 
impossível, já que as rifas são numeradas de 1 a 50. 
Exemplo 01: 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se, ao acaso, uma bola 
dessa urna. Seja “E o evento ocorrer múltiplo de 3”, vamos determinar Ec. 
Temos { }1, 2, 3, , 9, 10Ω = … e { }3, 6, 9E = . Assim, { }1, 2, 4, 5, 7, 8, 10CE = e 
representa o evento “não ocorrer múltiplo de 3”. Note que CE E∪ = Ω e CE E∩ =∅ . 
5. Exercícios propostos: 
1. Uma urna contém três bolas vermelhas e uma bola branca. Retiramos, 
sucessivamente, duas bolas dessa urna. Construa o espaço amostral 
correspondente, se a extração é feita: 
a) com reposição; 
b) sem reposição. 
2. Um dado é lançado e se observa o número da face voltada para cima. Determine 
os seguintes eventos: 
a) ocorrer múltiplo de 2; 
b) ocorrer número primo. 
3. Uma moeda é lançada duas vezes sucessivamente, e, se observa a sequência de 
faces obtidas. Qual é o evento “ocorrer faces diferentes”? 
4. Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Determine os eventos: 
a) E1: a soma dos pontos obtidos é igual a 7; 
b) E2: a diferença dos pontos obtidos, em valor absoluto, é igual a 1. 
 5. Serão sorteados três prêmios iguais entre os alunos: André, Carlos, Ricardo, Léo, 
Maria e Clara. O evento E é formado pelos agrupamentos em que há “pelo menos 
dois meninos premiados”. Determine Ec. 
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6. Probabilidades em um espaço amostral equiprovável 
Consideremos um espaço amostral Ω , formado por k pontos amostrais: 
{ }1 2 3, , , , ka a a aΩ = … . Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um 
número real pi, chamado probabilidade do evento {ai}, tal que: 
? 0 1ip≤ ≤ , 
? 
1
1
k
i
i
p
=
=∑ , ou seja, 1 2 1kp p p+ + + =… . 
A menos que mencionemos o contrário, consideraremos nosso estudo em espaços 
amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma 
probabilidade de ocorrer. 
Assim, denotando por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos 
amostrais de Ω , temos: 
vezes
11 1
k
p p p k p p
k
+ + + = ⇒ ⋅ = ⇒ =…���	��
 
Por exemplo, ao lançarmos uma moeda, a probabilidade de ocorrercara ou coroa é 
de 12 . A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos 
amostrais { }1 2 3, , , , rE a a a a= … , com r k≤ , é dada por: 
( )
vezes
1 1 1
r
rp E k k k k= + + + =…����	���
 , daí temos que ( )
( )
( )
n E
p E
n
= Ω . 
Como E ⊂ Ω , temos que ( ) ( )n E n≤ Ω . Dessa forma ( ) ( )( )
n E
p E
n
= Ω é tal que 
( )0 1p E≤ ≤ . Essa definição de probabilidade é intuitiva, ou seja, a probabilidade de 
ocorrer determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis 
(isto é, aqueles que nos interessam) e o número de casos possíveis (ou número total 
de casos). 
Exemplo 02: 
46 | P á g i n a 
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Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da 
urna. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 
10? 
Neste problema temos { }1, 2, 3, , 15Ω = … e { }10, 11, 12, 13, 14, 15E = , assim: 
 ( ) ( )( )
6 2 0,4 40%
15 5
n E
p E
n
= = = = =Ω 
Exercício Resolvido 01: 
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a 
probabilidade de esse número ser: 
a) menor que 3? 
b) maior ou igual a 3? 
Resolução: 
Neste problema temos { }1, 2, 3, 4, 5, 6Ω = , assim: 
a) Seja E o evento “o número é menor que 3”, temos { }1, 2E = . Então 
( ) ( )( )
2 1 0,333 33,33%
6 3
n E
p E
n
= = = = ≅Ω … 
b) Observe que o evento “o número é maior ou igual a 3” é o evento complementar 
em relação ao evento anterior, de fato { }3, 4, 5, 6cE = e, 
( ) ( )( ) 4 2 0,666 66,66%6 3
c
c
n E
p E
n
= = = = ≅Ω … . Note sempre que ( ) ( ) 1cp E p E+ = . 
Exercício Resolvido 02: 
Numa comunidade residem 100 pessoas.Uma pesquisa sobre os hábitos 
alimentares dessa comunidade revelou que: 
? 25 pessoas consomem carnes e verduras; 
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? 83 pessoas consomem verduras; 
? 39 pessoas consomem carnes. 
Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de ela: 
a) consumir exclusivamente carnes? 
b) ter o hábito alimentar de não comer nem carne nem verduras? 
Resolução: 
Para este problema construiremos um diagrama que ilustrará melhor a situação, 
representaremos nele carnes por C e verduras por V. 
 
? Há 25 pessoas na interseção de C e V; 
? O número de pessoas que consomem exclusivamente verduras é 83-25=58; 
? O número de pessoas que consomem exclusivamente carnes é 39-25=14; 
? Observando que 25+58+14=97, há três pessoas que não consomem carnes 
nem verduras. 
Assim as probabilidades pedidas são: 
a) ( )1 14 14%100p E = = 
b) ( )2 3 3%100p E = = 
Carnes Verduras 
58 
1425
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Exercício Resolvido 03: 
Uma moeda é viciada de tal modo que, com ela, obter cara (K) é três vezes mais 
provável que obter coroa (C). Qual é a probabilidade de se conseguir cara em um 
único lançamento desta moeda? 
Resolução: 
Neste problema, o espaço amostral não é equiprovável, pois ( ) ( )p K p C≠ . 
Entretanto, como já mencionado em outro exemplo, vale sempre ( ) ( ) 1p K p C+ = (ou 
100%). Como por hipótese ( ) ( )3p K p C= ⋅ , segue que 
( ) ( ) ( ) 13 1 4p C p C p C⋅ + = ⇒ = e, portanto, ( ) 34p K = . 
 
Observação: 
Nestes exemplos, foi possível construir o espaço amostral representando cada um 
dos seus pontos amostrais. Muitas vezes, porém, fica muito difícil e trabalhoso 
descrever todos os pontos amostrais. Dessa forma, as técnicas estudadas em 
análise combinatória nos permitirão determinar o número de elementos tanto do 
espaço amostral Ω como do evento E, sem que seja necessário explicitar ambos. 
Vejamos no exemplo a seguir: 
Exercício Resolvido 04: 
Uma turma de estudantes de engenharia tem 20 rapazes e 25 moças. Deseja-se 
formar, por meio de sorteio, uma comissão de cinco alunos para representar a 
classe. Qual a probabilidade de essa comissão vir a ser formada exclusivamente por 
rapazes? 
Resolução: 
O número total de elementos de Ω é igual ao número de modos de se escolher uma 
comissão qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. Trata-se, portanto, de 
um agrupamento no qual a ordem de escolha não importa, ou seja, uma 
49 | P á g i n a 
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combinação. Assim, ( ) 45,5n CΩ = . O evento E que nos interessa é aquele em que 
“todos os alunos da comissão são rapazes”. O número de comissões possíveis 
neste caso é dado por 25,5C . Assim, a probabilidade pedida é dada por: 
( ) ( )
( )
20, 5
45, 5
20!
5! 20 5 !
0,0126 1, 26%45!
5! 45 5 !
C
p E
C
−= = ≅ =
−
 
7. Exercícios propostos: 
1. Um dado honesto é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. 
Qual a probabilidade de esse número ser maior que quatro? 
2. Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Uma bola é extraída ao 
acaso da urna, e seu número é observado. Qual a probabilidade de o número 
sorteado ser: 
a) múltiplo de 12? 
b) quadrado perfeito? 
3. Paulo quer telefonar para convidar uma colega para sair. Ela sabe que o telefone 
dela é 3852 473__, mas não consegue se lembrar do último algarismo. Se Paulo só 
possui um único crédito para fazer uma ligação e decide “chutar” o último algarismo, 
qual a probabilidade de ele acertar o telefone da colega? 
4. Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de: 
a) a soma dos pontos obtidos ser maior ou igual a nove? 
b) o primeiro número obtido ser maior que o segundo? 
5. Uma classe tem 30 alunos. Uma comissão de quatro alunos é escolhida para uma 
reunião com a diretoria da escola. Qual a probabilidade de os dois melhores alunos 
fazerem parte da comissão? 
6. Numa classe de 55 alunos, 21 praticam vôlei e basquete, 39 praticam vôlei e 33 
praticam basquete. Um aluno da classe é escolhido ao acaso. 
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a) Qual a probabilidade de o aluno escolhido praticar um, e somente um, desses 
esportes? 
b) Qual é a probabilidade de o aluno escolhido não praticar nenhum esporte? 
Você sabia? 
Que a probabilidade de ganhar na sena fazendo apenas um jogo é de uma em 16 
milhões, muito menor que: morrer atingido por um raio, que é de uma em um milhão. 
É bem mais provável você sofrer um acidente aéreo, pois a probabilidade é de uma 
em 1,6 milhão; porém a probabilidade de viver 100 anos é de uma em 10 mil. 
8. Probabilidade da união de dois eventos 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω . Desejamos investigar uma 
expressão que nos dê a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, ou seja, 
a probabilidade do evento A B∪ . Há dois casos a considerar: 
? Quando A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ou seja, a ocorrência 
de um exclui a ocorrência do outro ( A B=∩ ∅ ). Neste caso: 
( ) ( ) ( )A B A Bp p p∪ = + 
? Quando A e B não forem mutuamente exclusivos e neste caso há ocorrência 
simultânea dos eventos A e B ( A B∩ ≠∅ ). Neste caso: 
( ) ( ) ( ) ( )A B A B A Bp p p p∪ = + − ∩ . 
Exemplo 03: 
Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso 
dessa urna. 
a) Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3? 
Consideremos os eventos A, “o número é múltiplo de 2”, e B, “o número é múltiplo 
de 3”. Desejamos encontrar ( )A Bp ∪ . Temos: 
{ }A 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24= , daí ( ) ( )( )
A 12A
25
n
p
n
= =Ω . Por outro lado, 
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{ }B 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,