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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 29 Assunto: Cálculo de áreas com integrais duplas. Integrais triplas em coordenadas cilíndricas Palavras-chaves: integrais duplas, integrais triplas, áreas,coordenadas cilíndricas Cálculo de áreas com integrais duplas Seja f(x, y) uma função definida em um conjunto limitado B. Se f(x, y) ≥ 0, então a integral dupla ∫ ∫ B f(x, y) dxdy nos fornece o volume do sólido formado pelos pontos que estão abaixo do gráfico de f(x, y) e acima do plano xy, isto é, o conjunto dos pontos dado por B = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ B e 0 ≤ z ≤ f(x, y)} Consideremos agora um prisma reto cuja base é um polígono de área a e sua altura mede h. O volume V desse primas é dado por V = área da base× altura = ah Assim, se a altura do prisma for igual a 1, o seu volume será igual a sua altura V = a.1 = a. Isso também é válido para sólidos semelhantes a primas retos, mas com bases que não são necessariamente polígonos Assim, sendo, quando calculamos a integral dupla da função constante e igual a 1 (ou seja, f(x, y) = 1) sobre um conjunto B, o volume obtido é igual a área do conjunto B. Portanto, área de B = ∫ ∫ B dxdy Exemplo 1 Use a integral dupla para determinar a área da circunferência de raio r. Resolução: Consideremos a circunferência de centro na origem e raio r. A = área da circunferência = ∫ ∫ D dxdy ; D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ r2} Vamos usar coordenadas polares { x = ρ cos θ y = ρ sin θ , ∣∣∣∣∂(x, y)∂(θ, ρ) ∣∣∣∣ = ρ , 0 ≤ θ ≤ 2pi e 0 ≤ ρ ≤ r Portanto, Dθρ = {(θ, ρ) ∈ R2; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ r} A função ϕ(θ, ρ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) leva o retângulo Dθρ no disco D. A = ∫ ∫ Dθρ ρ dθdρ = ∫ 2pi 0 ∫ r 0 ρ dθdρ = ∫ 2pi 0 [ ρ2 2 ]r 0 dθ = ∫ 2pi 0 r2 2 dθ = r2 2 ∫ 2pi 0 dθ = r2 2 [ θ ]2pi 0 = r2 2 2pi = pir2. Exemplo 2 Use a integral dupla para determinar a área compreendida pela cardióide ρ = 1 + sin θ. Resolução: A região interna à cardióide pode ser descrita em coordenadas polares por { 0 ≤ θ ≤ 2pi 0 ≤ ρ ≤ 1 + sin θ Portanto, a função ϕ(θ, ρ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) leva o conjunto 2 Cθρ = {(θ, ρ) ∈ R2; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ 1 + sin θ} na região C interna à cardióide. A = área de C = ∫ ∫ C dxdy = ∫ ∫ Cθρ ρ dθdρ = ∫ 2pi 0 ∫ 1+sin θ 0 ρ dρdθ Temos que, ∫ 1+sin θ 0 ρ dρ = [ ρ2 2 ]1+sin θ 0 = 1 2 [ ρ2 ]1+sin θ 0 = 1 2 (1 + sin θ)2 Portanto, A = ∫ 2pi 0 1 2 (1 + sin θ)2dθ = 1 2 ∫ 2pi 0 (1 + 2 sin θ + sin2 θ)dθ = 1 2 ∫ 2pi 0 ( 1 + 2 sin θ + 1 2 (1− cos 2θ) ) dθ = 1 2 ∫ 2pi 0 ( 3 2 + 2 sin θ − 1 2 cos 2θ ) dθ = 1 2 [ 3 2 θ − 2 cos θ − 1 4 sin 2θ ]2pi 0 = 1 2 [ 3 2 2pi − 2 cos 2pi − 1 4 sin 4pi − ( 3 2 .0− 2 cos 0− 1 4 sin 0 )]2pi 0 = 1 2 [3pi − 2− 0− (0− 2− 0)] = 3pi 2 Coordenadas Cilíndricas As coordenadas cilíndricas de um ponto P = (x, y, z) do R3 são os números θ, ρ e z em que z é o mesmo ”z” das coordenadas cartesianas de P , ρ é a distância da origem ao ponto (x, y, 0) e θ é o ângulo, medido no sentido anti-horário, entre o eixo x e o segmento de reta de extremidades na origem e no ponto (x, y, 0). (x, y, z) coordenadas cartesianas (θ, ρ, z) coordenadas cilíndricas Temos que 3 cos θ = x ρ ⇒ x = ρ cos θ sin θ = y ρ ⇒ y = ρ sin θ Portanto, as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas estão relacionadas pelas fórmulas x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z A função ϕ(θ, ρ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z) leva o paralelepípedo Bθρz = {(θ, ρ, z) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ z ≤ h} no cilindro B = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 ≤ r2, 0 ≤ z ≤ h} O determinante jacobiano da função ϕ é dado por ∂(x, y, z) ∂(θ, ρ, z) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂θ ∂x ∂ρ ∂x ∂z ∂y ∂θ ∂y ∂ρ ∂y ∂z ∂z ∂θ ∂z ∂ρ ∂z ∂z ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣ −ρ sin θ cos θ 0 ρ cos θ sin θ 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ = −ρ sin2 θ − ρ cos2 θ = −ρ Logo, ∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(θ, ρ, z) ∣∣∣∣ = ρ Portanto, a fórmula da mudança de variável na integral tripla de uma função f(x, y, z) sobre um conjunto B para coordenadas cilíndricas é a que segue ∫ ∫ B ∫ f(x, y, z) dxdydz = ∫ ∫ Bθρz ∫ f(ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρ dθdρdz Exemplo 3 Calcule ∫ ∫ E ∫ √ x2 + y2 dV onde E é o sólido contido no cilindro x2+y2 = 1, abaixo do plano z = 4 e acima do parabolóide z = 1− x2 − y2. Resolução: 4 O conjunto E pode ser descrito como segue E = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 ≤ 1, 1− x2 − y2 ≤ z ≤ 4} Portanto, temos 0 ≤ θ ≤ 2pi 0 ≤ ρ ≤ 1 1− ρ2 ≤ z ≤ 4 Assim a função ϕ(θ, ρ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z) leva o conjunto Eθρz = {(θ, ρ, z) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ 1, 1− ρ2 ≤ z ≤ 4} no conjunto E. Temos que ∫ ∫ E ∫ √ x2 + y2 dV = ∫ ∫ Eθρz ∫ √ (ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2ρ dθdρdz = ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 [∫ 4 1−ρ2 ρ2 dz ] dρdθ Resolvendo a integral mais interna teremos, ∫ 4 1−ρ2 ρ2 dz = ρ2 ∫ 4 1−ρ2 dz = ρ2 [ z ]4 1−ρ2 = ρ2[4− (1− ρ2)] = ρ2[3 + ρ2] = 3ρ2 + ρ4 Logo, ∫ ∫ E ∫ √ x2 + y2 dV = ∫ 2pi 0 [∫ 1 0 3ρ2 + ρ4 dρ ] dθ Resolvendo a integral interna obteremos, ∫ 1 0 3ρ2 + ρ4 dρ = [ ρ3 + ρ5 5 ]1 0 = 1 + 1 5 = 6 5 Portanto, ∫ ∫ E ∫ √ x2 + y2 dV = ∫ 2pi 0 6 5 dθ = 6 5 ∫ 2pi 0 dθ = 6 5 [ θ ]2pi 0 = 6 5 2pi = 12pi 5 Exemplo 4 Calcule a integral iterada ∫ 2 −2 ∫ √4−x2 −√4−x2 ∫ 2 √ x2+y2 (x2 + y2) dzdydx. Temos que, 5 I = ∫ 2 −2 ∫ √4−x2 −√4−x2 ∫ 2 √ x2+y2 (x2 + y2) dzdydx = ∫ ∫ E ∫ (x2 + y2) dxdydz em que o conjunto E é dado por E = {(x, y, z) ∈ R3;−2 ≤ x ≤ 2,− √ 4− x2 ≤ y ≤ √ 4− x2, √ x2 + y2 ≤ z ≤ 2} Portanto, em coordenadas cilíndricas, temos 0 ≤ θ ≤ 2pi 0 ≤ ρ ≤ 2 ρ ≤ z ≤ 2 Logo, I = ∫ ∫ Eθρz ∫ ρ2ρ dθdρdz = ∫ 2pi 0 ∫ 2 0 [∫ 2 ρ ρ3 dz ] dρdθ Resolvendo a integral mais interna obteremos, ∫ 2 ρ ρ3 dz = ρ3 ∫ 2 ρ dz = ρ3 [ z ]2 ρ = ρ3[2− ρ] = 2ρ3 − ρ4 Logo, I = ∫ 2pi 0 [∫ 2 0 (2ρ3 − ρ4) dρ ] dθ Calculando a integral interna teremos, ∫ 2 0 (2ρ3 − ρ4) dρ = [ ρ4 2 − ρ 5 5 ]2 0 = 24 2 − 2 5 5 = 8− 32 5 = 8 5 Portanto, I = ∫ 2pi 0 8 5 dθ = 8 5 ∫ 2pi 0 dθ = 8 5 [ θ ]2pi 0 = 8 5 2pi = 16pi 5 6
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