Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo

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Modelagem Dinâmica do Processamento 
Primário de Petróleo: Conceitos 
Fundamentais e Aplicação em Controle de 
Processos. 
 
 
 
 
 
Giovani Cavalcanti Nunes 
Petróleo Brasileiro S.A. - PETROBRAS 
 
 
Ofélia de Q.F. Araújo e Jose Luiz Medeiros 
Escola de Química 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
 2
 
 
1 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS 
 
A dinâmica e o controle de processos constituem uma área interdisciplinar que envolve: 
 
• Engenharia de processos: entender um processo é a base para modelá-lo e 
controlá-lo. Um modelo do processo a controlar deve ser desenvolvido para 
compreender os fundamentos da sua operação e testar estratégias de controle. 
 
• Engenharia de controle: oferece métodos e técnicas para operar em condições 
ótimas (ou sub-ótimas) em todos os níveis hierárquicos. Estratégias de controle são 
propostas para atingir metas de operação 
 
• Engenharia de software: a abordagem de simulação ou solução de controle deve 
ser implementada de forma apropriada em plataforma e software adequados 
 
Estas três áreas – processo, controle e tecnologia da informação – respondem perguntas 
como: “o que”, “porque”, como e “de que forma” e têm por objetivos: 
 
• Aumentar produtividade 
• Aumentar rendimento 
• Diminuir consumo de energia 
• Diminuir emissão de poluentes 
• Reduzir produtos for a de especificação 
• Segurança 
• Aumentar vida dos equipamentos 
• Operabilidade 
 
Este texto apresenta a dinâmica e o controle de processos baseado em métodos matemáticos 
gerais empregados na descrição de sistemas de processamento primário de petróleo, 
empregando ambiente MATLAB®/SIMULINK® (The Mathworks, Inc) para investigas ar 
relação entre as variáveis de entrada e as respostas do sistema, e testar estratégias de 
controle desenvolvidas. Na primeira parte, apresentam-se aspectos de modelagem de 
processos off-shore típicos, e, na seqüência, são introduzidas as bases para controle destes 
processos. 
 
As atividades envolvidas no desenvolvimento de Sistemas de Controle estão resumidas no 
diagrama da Figura 1.1. 
 
 3
 
Figura 1.1: Síntese de Sistemas de Controle 
 
Para ilustrar um sistema de controle típico, apresenta-se na Figura 1.2 o controle de nível de 
um separador bifásico. 
 
 
 
Figura 1.2: Controle PID de Separador Bifásico 
 
O diagrama de blocos da malha de controle é apresentado na Figura 1.3. Nesta, r(t) é o 
valor de referência (ou set-point) para a variável de resposta controlada, h(t). u(t) é a ação 
do controlador enviada à válvula de controle, ou “elemento final de controle”, produzindo a 
entrada manipulada Lout(t). O processo controlado, isto é, o separador, recebe também a 
influência da perturbação Lin(t). A resposta do processo, h(t), é medida por um sensor, o 
 4
elemento primário de controle e o seu sinal é comparado ao valor de referência, produzindo 
o “erro de controle”. A função do controlador é de corrigir este erro. 
 
Figura 1.3: Diagrama de Blocos do Separador com Controle PID 
 
Os elementos da malha de controle seguem padrão de instrumentação pneumático (sinal de 
3 a 15 psig), analógico (4 a 20 mA) ou digital (1 a 5 V). Normalmente, o padrão adotado é 
o analógico, e as válvulas, geralmente com atuadores pneumáticos, necessitam de um 
conversor de corrente para pressão (I/P). 
 
Neste texto, são introduzidos elementos de controle de processos para possibilitar que um 
engenheiro iniciante adquira os conhecimentos básicos que lhe permitam analisar e 
determinar a melhor configuração de controle para processos de produção de petróleo. 
Serão apresentadas estratégias de controle monovariáveis, ou SISO (single input single 
output), na estrutura de realimentação (feedback) da Figura 2.7, com ênfase na sintonia de 
controladores PID. Outras estratégias como controle cascata, controle antecipatório 
(feedforward), controle override e controle multivariável serão igualmente abordadas 
 
Na seleção das estratégias e sintonia das malhas de controle, modelos de processos offshore 
fazem-se necessários e são tratados a seguir. 
 5
 
2 MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
O desenvolvimento das equações que relacionam as diferentes variáveis (de entrada e de 
saída) e a determinação dos parâmetros associados é conhecido como modelagem 
matemática de processos. Adota-se em modelagem aplicada a controle representação de 
Entrada-Saída, conforme ilustrado na Figura 2.1. 
 
 
Figura 2.1: Representação de Entrada-Saída 
 
No contexto de controle de processos, as variáveis de entrada são entradas manipuladas e 
perturbações (que afastam o processo do seu estado estacionário) e as variáveis de saída são 
respostas, normalmente controladas. 
 
Com esta finalidade, são usadas equações de balanço (massa, energia e momento) que 
descrevem o comportamento do processo a partir das leis que regem os fenômenos físicos e 
químicos. A esta forma de obtenção dos modelos dá-se o nome de modelagem 
fenomenológica. Também são utilizadas equações empíricas (um conjunto de equações 
algébrico - diferenciais, em princípio sem relação com as equações de balanço), gerando 
um modelo cuja estrutura (número e tipo de equações) e parâmetros são obtidos a partir de 
dados experimentais, por correlação ou ajuste. A esta forma de modelar dá-se o nome de 
identificação de processos. Uma vez determinado o modelo do processo, a resolução 
numérica das equações permite determinar os valores que as variáveis de saída deverão 
adotar em diferentes condições de operação (variáveis de entrada), este procedimento é 
chamado de simulação de processos. A Figura 2.2 esquematiza as três situações. 
 
 
 
Figura 2.2: Simulação, Identificação e Controle 
 
2.1 Classificação dos Modelos de Processos 
 
Os modelos podem ser classificados de acordo com a natureza das equações envolvidas. 
 
 6
a) Quanto à dependência na variável tempo: o modelo é estacionário se todas as variáveis 
são independentes do tempo e é dito dinâmico se uma ou mais variáveis são dependentes 
da variável tempo. 
 
b) Quanto à linearidade: Para um processo com várias variáveis de entrada e saída 
consideremos y o vetor de variáveis de saída e u o de variáveis de entrada, o modelo do 
processo pode ser representado de forma geral por: 
H(y,u,t)
dt
dy = . (2.1) 
Se a função H(y,u,t) e as condições de contorno forem lineares o modelo é dito linear . 
Caso contrário, o modelo é não-linear. Embora a natureza apresente, em geral, 
comportamentos não lineares, os modelos lineares são muito utilizados pela facilidade do 
tratamento matemático. Deve-se considerar que um modelo linear é uma aproximação, às 
vezes grosseira, da realidade, e sabendo disto, os resultados obtidos na simulação de um 
modelo linear devem ser utilizados com cautela. 
 
c) Quanto a variações espaciais: um modelo de parâmetros concentrados apresenta 
parâmetros e variáveis de saída homogêneos em todo o sistema representado. As equações 
resultantes são Equações Diferenciais Ordinárias, com o tempo como variável 
independente. Como exemplo, tem-se a representação dinâmica de um reator CSTR. Um 
modelo de parâmetros distribuídos, por outro lado, considera variações espaciais no 
comportamento do sistema, e portanto é representado por Equações Diferenciais Parciais. 
Como exemplo, cita-se o reator PFR, dinâmico. 
 
A modelagem de processos pode ser realizada a partir das leis fundamentais de física e 
química (fenomenológica), a partir da informação contida nas variáveis de processo 
registradas ao longo do tempo (empírica), ou em abordagem híbrida fenomenológica / 
empírica. Genericamente os modelos são de parâmetros distribuídos (dependentes do tempo 
e do espaço) e não lineares. 
 
Considere o sistema da Figura 2.3 com N entradas e M saídas e onde as letras Q e W 
representam calor e trabalhointercambiados com o meio, respectivamente. 
 
 
Q
W
.
..
1
2
N .
..
1
2
M
s
Entradas Saídas
 
 
Figura 2.3: Sistema a ser Modelado 
 7
 
As equações de estados são obtidas aplicando-se o Princípio da Conservação. Para uma 
grandeza S, tem-se que: 
 
 
[ [ [Acú mulo de S]
[tempo]
[Entrada de S]
[tempo]
Saída de S]
[tempo]
Geraç ão de S]
[tempo]
[Consumo de S]
[tempo]
= − + − 
 
A modelagem rigorosa é aquela que se baseia nos princípios básicos de preservação de 
Massa (total e por componentes), Energia e Momentum, assim como nas relações 
constitutivas. Na modelagem para controle, entretanto, busca-se preferencialmente modelos 
de parâmetros concentrados (dependentes do tempo apenas) e linear. Isto porque há uma 
vasta teoria de controle linear que nos possibilita executar os projetos de sistemas de 
controle com muita eficiência. Neste sentido, é necessário que o engenheiro saiba com 
precisão as implicações das simplificações adotadas. O modelo precisa ser simples o 
suficiente para ser implementado e também capaz de captar a essência do problema 
dinâmico que se quer solucionar. Duas metodologias são freqüentemente empregadas: 
 
a) Metodologia Empírica (Identificação de Processos) 
 
O número e tipo de equações a serem utilizadas em um modelo empírico é determinado de 
acordo com o comportamento dinâmico do processo. Uma análise quantitativa e qualitativa 
dos efeitos experimentais apresentados nas variáveis do processo (saídas) quando 
introduzidas perturbações nas condições de operação (entradas), conjuntamente com 
critérios de projeto, permitem determinar a estrutura do modelo (número e tipo de 
equações) e os parâmetros associados. No esquema ilustrado na Figura 2.4, observa-se que 
o comportamento do modelo proposto é comparado ao do processo para validar a proposta 
do modelo. A parametrização permite ajustar o modelo escolhido de forma a reproduzir o 
mais fielmente possível o comportamento do processo. 
 
 
 
Figura 2.4: Modelagem Empírica 
 
 8
Na parametrização, os parâmetros do modelo são ajustados de forma a minimizar a 
diferença y y calc− , onde y calc é a saída calculada de acordo com o modelo proposto e y as 
saídas do processo. Em geral, a minimização é realizada a partir do erro quadrático 
( )y ycalc− 2 . 
 
Os modelos identificados podem também ser baseados na resposta ao impulso ou ao 
degrau. Perturba-se o sistema e sua resposta no tempo é avaliada. No E&P, este 
procedimento é adotado com freqüência na implantação de controle preditivo nas UPGNs. 
Sua utilização se justifica pela dificuldade de se modelar um sistema complexo como uma 
torre de destilação pois há muitas variáveis interagindo. 
 
 
b) Metodologia Analítica 
 
Utiliza os princípios fundamentais (leis físicas e químicas) para determinar as equações 
diferenciais e algébricas que compõem o modelo. Na formulação do modelo, os passos 
importantes a serem seguidos são: 
 
• Esboçar diagrama esquemático do processo, rotulando todas as variáveis relevantes; 
• Definir limites físicos; 
• Determinar e selecionar as variáveis de perturbação e resposta; 
• Determinar o âmbito de utilização do modelo. 
• Formular hipóteses simplificadoras que reduzam a complexidade do modelo mas 
retenham as características mais relevantes do comportamento dinâmico do processo (o 
modelo não deve ser mais complicado do que o necessário aos objetivos pré-
determinados); 
• Fixar as condições de operação (variáveis) e parâmetros que serão considerados 
invariáveis com o tempo (constantes). 
• Aplicar as leis apropriadas para descrever estados em regime estacionário e em regime 
dinâmico; 
• Verificar a consistência matemática do modelo: o grau de liberdade deve ser zero. 
Verificar a consistência de unidades nos termos das equações; 
• Manter em mente as técnicas disponíveis para resolução do modelo matemático; e 
• Verificar se os resultados do modelo descrevem o fenômeno físico modelado. Nesta 
etapa, cabe comparar dados experimentais de entrada e saída do processo com 
resultados de simulações feitas a partir dos dados de entrada experimentais. 
 
 
 
 
 
 9
Exemplo 2.1 Vasos Horizontais 
 
Considere um vaso horizontal atmosférico (tanque). O balanço de massa na fase líquida é 
aplicado para obtenção de modelo que relacione a resposta do processo (nível) às variáveis 
de entrada Lin e Lout, respectivamente as vazões de alimentação e de descarga. 
 
inL
L
 
 
Figura 2.5: Vaso Cilíndrico Horizontal - Exemplo 
 
 
No vaso horizontal, a relação entre o volume e a altura é não linear (ver o Apêndice 1). 
 
)()()()())((2)( tLtL
dt
tdhththDC
dt
tdV
outin −=−= (2.2) 
 
Como a variável de interesse é o nível, o balanço de massa resultante é: 
 
)())((2
)()()(
ththDC
tLtL
dt
tdh outin
−
−= (2.3) 
 
Para a equação da válvula (ver Apêndice 2), temos. 
)(
0693,0
)()( thCvtvtLout ⋅⋅= γρ (2.4) 
 
onde: 
 
h(t) – altura de líquido 
Lin (t) – vazão volumétrica de líquido na entrada 
Lout (t) – vazão volumétrica de líquido na saída 
C – comprimento do vaso 
D – diâmetro do vaso 
CvMAXL – coeficiente de vazão 
v(t) – abertura da válvula de líquido (0 < v < 1) 
d – densidade do líquido 
γ – peso específico do líquido 
 10
ρ – massa específica do líquido 
 
Observe-se que, se a abertura da válvula for mantida constante, a vazão é função da altura 
de líquido no vaso. 
 
2.2 Linearização 
 
Para os sistemas lineares, e em particular sistemas lineares invariantes no tempo, existem 
métodos de solução das equações diferenciais que podem ser utilizados de forma geral. 
Quando o modelo resulta em equações não-lineares, e para poder utilizar as técnicas de 
análise de sistemas lineares, recorre-se, freqüentemente, à técnica de linearização em torno 
do ponto de operação. Considere uma função g(x) não linear em x(t). Expandindo-se os 
termos não lineares, g(x), em série de Taylor em torno de um valor nominal, x0, e 
desprezando-se os termos de ordem superior) tem-se. 
( ) )( + )()(
0x=x
oxxdx
xdgxgxg −≅ 0 (2.5) 
 
Por exemplo, para 3xxg =)( , uma aproximação linear na vizinhança do ponto x0 6= é: 
 ( )g x x x x xl x x( ) = + −3 2 00 03 (2.6) 
 
O gráfico pode ser construído em linguagem MATLAB: 
 
x=linspace(0,10,100) ; % Gera 100 pontos entre 0 e 10 
g = x.^3; 
g1 = 216+3*6^2*(x-6); 
plot(x,g,'b',x,g1,'g--') % Calcula as funções g e g1 
xlabel ('x') 
ylabel ('g(x)') 
 
 
Figura 2.6: Linearização de Equações Não-Lineares 
 
 11
 
Na Figura 2.6, observa-se que o modelo linear só é uma aproximação razoável do modelo 
não-linear na vizinhança do ponto x0 6= . 
 
Exemplo 2.1: 
 
Dada uma válvula de controle descrita pela Equação 2.7, a linearização da equação 
considerando-se a abertura fixa (x constante) é 
)(
,
)( thCvxtLout ⋅⋅= γρ 06930 (2.7) 
Expandindo em serie de Taylor temos 
)( 0
0
hhKLL houtout −+= (2.8) 
onde 
0069300
hCvxLout ⋅⋅= γρ , , e 0206930 h
CvxK
γ
ρ ,
⋅= (2.9) 
 
Exemplo 2.2 
 
O volume e o nível de uma vaso horizontal representado na Figura 2.5 estão relacionados 
pela Equação (2.10). 
 
hhDC
dh
dV )(2 −= (2.10) 
 
ou 
 
2 ( )2 2cos 2
4
D h hCD D h D hV a
D D D
⎡ ⎤⎛ ⎞−− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 (2.11) 
 
Aplicando-se expansão em série de Taylor em torno do ponto de operação h0 tem-se: 
 
)()(2 0
00
hhhhDCVV
hh
−−+= (2.12) 
 
onde 
 
 12
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
D
hD
D
hhD
D
hD
aCDV h
0000
2 2)(
2
2
cos
40
 
 
Para h0 = D/2, tem-se 
 
)2(2
DhCDVV T −=− (2.13) 
 
ondeD = diâmetro (que corresponde a altura total do vaso) e VT = volume total do vaso. 
Considerando-se as variáveis desvios em relação a estados de referência, Vref = VT/2 e href = 
D/2: 
 
Vol = V - VT/2 (2.14) 
 
y = h – D/2 (2.15) 
 
a Equação 2.13 pode ser reescrita como 
 
yCDVol ⋅= (2.16) 
 
Note-se que, neste caso, a derivada em relação ao tempo é 
 
dt
dyCD
dt
dVol ⋅= (2.17) 
 
A Figura 2.7 mostra as diferenças resultantes da linearização. Vê-se que em torno da 
metade do vaso os erros são menores. 
 
Analogamente, a expansão em série de Taylor pode ser empregada para linearizar equações 
diferenciais ordinárias não-lineares: 
))(()( txf
dt
tdx = (2.18) 
Linearizando-se em torno do estado estacionário x resulta em 
 
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ]xtxtdx
txdfxf
dt
xtxd
dt
tdx −≅−= + )(
x
 (2.19) 
Assim, definindo a variável desvio como sendo 
xtxy −= )( (2.20) 
Obtém-se 
 13
( ) ( )[ ]
( ) ( ) y(t) dt
d
x=tx
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡≅
tdx
txdfty (2.21) 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
11
0
V
h
D
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
Vlinear
h
D
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
10 h
D 
Figura 2.7: Não linearidade do nível em vasos horizontais 
 
No caso das funções com múltiplas variáveis dependentes, tem-se: 
( )
( )
( ) [ ] ( ) [ ] u
du
,vxdfty 
xd
x,vdf
dt
dyx ,v f
dt
dx 
, v, xxf
dt
dx
, v, xxf
dt
dx
vv
x=x
vv
x=x
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
≈⇒=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=
==
212
2
211
1
 
 (2.22) 
onde vvu −= e xxy −= são representações vetoriais. 
Adota-se na continuidade do desenvolvimento, que o valor inicial corresponde ao estado 
estacionário. Ou seja, as análises partirão sempre do repouso e adotam-se as seguintes 
convenções: 
 x0 = valor inicial 
x = valor no estado estacionário 
 14
y = sinal de saída do sistema, variável desvio em relação ao estado estacionário. 
u = sinal de entrada do sistema, variável desvio em relação ao estado estacionário. 
 
Exemplo 2.3 
Utilizando-se as linearizações efetuadas para a válvula (Exemplo 2.1) e para o volume do 
vaso (Exemplo 2.2), propõe-se um modelo linear do vaso horizontal da Figura 2.5. Do 
Exemplo 2.2, tem-se que o balanço de massa linearizado é dado pela Equação (2.3). 
)()()( tLtL
dt
tdhCD outin −= (2.23) 
Substituindo-se a expressão para Lout obtida no Exemplo 2.1, tem-se: 
))(()()( hthKLtL
dt
tdhCD outin −−−= (2.24) 
Lembrando que no estado estacionário (zerando a variação temporal da equação do balanço 
de massa) outin LL = obtém-se: 
[ ] ))(()()( hthKLtL
dt
hthdCD inin −−−=− (2.25) 
E, definindo-se as variáveis desvio ( ) ( ) hthty −= e ( ) ( ) inin LtLtu −= resulta 
)()()( tutKy
dt
tdyCD =+ (2.26) 
Dividindo-se por K e definindo-se 
hCvxDCTp γρ 0690.
⋅⋅⋅= e 
Cvx
h
K p ⋅=
γρ 0690.
 (2.27) 
obtém-se: 
)()()( tuKty
dt
tdyT pp =+ (2.28) 
 
Exemplo 2.4 
Em uma variação do Exemplo 2.1, a linearização da equação da válvula considerando-se a 
abertura, x, como variável e não mais o nível, com expansão em série de Taylor tem-se: 
 
)( vvKLL voutout −+= (2.29) 
 
onde 
 15
hCvvLout ⋅⋅= γρ 0693,0 e 20693,0
hCvvKv
⋅⋅= γρ (2.30) 
 
Adotando-se as variáveis desvio, outout LtLty −= )()( e vtvtu −= )()( , resulta em 
 
)()( tuKty v−= (2.31) 
 
Exemplo 2.5. 
Com as linearizações efetuadas para a válvula (Exemplo 2.4) e para o volume do vaso 
(Exemplo 2.3) obtém-se um segundo modelo linear do vaso horizontal. Do Exemplo 2.2, 
tme-se que o balanço de massa torna-se igual a: 
outin LtLdt
tdhCD −= )()( (2.32) 
Substituindo-se a expressão para Lout obtida no Exemplo 2.4 (Equação 2.30), tem-se: 
))(()()( vtvKLtL
dt
tdhCD voutin −−−= (2.33) 
Lembrando que outin LL = , então 
[ ] ))(()()( xtvKLtL
dt
hthdCD vinin −−−=− (2.34) 
Definindo-se as variáveis desvio ( ) ( ) inin LtLtu −=1 e xtxtu −= )()(2 resulta em 
)()()( 21 tuKtudt
tdyT vp −= (2.35) 
onde 
CDTp = e 206930
hCvxKv
⋅⋅= γρ , (2.36) 
 16
 
3 RESOLUÇÃO DE EDOs LINEARES POR TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
A transformada de Laplace é utilizada para resolução de equações diferenciais ordinárias 
(EDO) lineares ou linearizadas. O sistema originalmente descrito no espaço t transforma-se 
em equações algébricas no espaço s, um número complexo. 
 
O método apresenta 3 etapas: 
 
1) Transformação da EDO (linear) em equação algébrica; 
2) Resolução da Equação Algébrica resultante em termos da variável independente s 
3) Aplicação da transformada inversa para obter a resolução da EDO. 
 
De forma esquemática, o procedimento é descrito na Figura 3.1. 
 
 
 
Figura 3.1: Transformada de Lapalce 
 
Por definição, para t>0: 
 
∫==
∞ −
0
dtetfsFtfL st)()())(( 
 
Existem diversas referências com Tabelas de Transformadas de Laplace, onde as 
transformações são obtidas diretamente. A Tabela 3.1 é um exemplo resumido. 
 
 
Exemplo 3.1 
 
)cos()( wttf = (3.1) 
 
Aplicando a transformada de Laplace, obtém-se: 
∫==
∞ −
0
dtewtsFtfL st)cos()())(( (3.2) 
e, aplicando-se a Identidade de Euler, 
2
wtiwti eewt
−+=)cos( , resulta em 
∫ +=∫ +=
∞ +−−−∞ −−
00 2
1
2
1 dteedteeesF wtiswtisstwtiwti )()()( )()( (3.3) 
 
 17
ou 
 
2222
0
2
2
1
2
1
ws
s
ws
s
iws
e
iws
esF
wtiswtis
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−−=
∞+−−− )()(
)( (3.4) 
 
 
Tabela 3.1: Algumas Transformadas de Laplace 
 
 f(t) F(s) 
1 ( )tδ , Impulso unitário 1 
2 A , Degrau 
s
A 
3 rt , Rampa 
2s
r 
4 τ/te− , Exponencial 
1
1
+sτ 
5 ate 
as −
1 
6 τ/te−−1 
)( 1
1
+ss τ 
7 tn-1 
ns
n )!( 1− 
8 
)!(
/
1
1 1
−
−−
n
et tn
n
τ
τ , (n>0) ( )ns 1
1
+τ 
9 ( )tsen ω 
22 s+ω
ω 
 
 
Exemplo 3.2 
 
1=)(tf (3.6) 
 
Pela definição da Transformada de Laplace, tem-se: 
ss
edtesF
t
t
st
st 11
00
==∫=
∞=
=
−∞ −)()( (3.7) 
 
 
Exemplo 3.3 
 
Neste Exemplo, apresentam-se as Transformadas de derivadas: 
 
 18
a) Derivada de Primeira Ordem 
 
∫==
∞ −
0
dtetfsFtfL st)(')())('( (3.8) 
Definindo-se 
 
⎩⎨
⎧
==
−== −−
)(');(
;
tfvtfv
dtsedueu stst
 (3.9) 
 
e lembrando que ∫ ∫−= vduuvudv : 
 
)()()()()( ssFfdtetfsetfsF stst +−=∫+=
∞ −∞− 0
00
 (3.10) 
 
b) Derivada de Segunda Ordem 
 
[ ]⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=−−=
−==
∫==
∞ −
)()()()()()()(
)()}({)}('{)(
)('')())(''(
0000
0
2
0
dt
dfsfsFs
dt
dffssFssF
dt
dftf
dt
dsLtf
dt
dLsF
dtetfsFtfL st
 (3.11) 
 
c) Derivada de Ordem n 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
∫==
−
−
=
−−
∞ −
1
1
0
21
0
0 n
n
t
nnn
stn
dt
fd
dt
dfsfssFssF
dtetfsFtfL
...)()()(
)('')())((
 (3.12) 
 
Exemplo 3.4 
 
Para integrais, a Transformada de Laplace é: 
∫∫=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧∫
∞ −∞ ' ')'()(
t
st dttfedttfL
000
 (3.13) 
 
Definindo-se: 
 
 19
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∫=
−==
−
−
)(;')'(
;
'
tfdvdttfv
s
edueu
t
st
st
0
 (3.14) 
 
tem-se: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∫=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧∫
∫−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∫−=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧∫
=
∞
∞ −∞−∞
s
sFdttf
s
dttfL
dttf
s
edttf
s
edttfL
t
t
sttst
)(')'()(
)(')'()(
'
'
000
0000
1
 (3.15) 
 
Exemplo 3.5 
 
Considere 
 
0000022
2
===++ )('),()(,)()()( yyty
dt
tdy
dt
tyd (3.16)Aplicando-se a Transformada de Laplace a cada termo de uma EDO, obtém-se a Equação 
algébrica no domínio de Laplace 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=
−=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+−=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
)()}({
)()()(
])()([)()(
sYtyL
yssF
dt
tdyL
dt
dysysFs
dt
tydL
0
0022
2
 (3.17) 
 
obtém-se 
 
01202 22 =++∴=++ )()()()()( sYsssYssYsYs (3.18) 
 
 
3.1 Transformada de Laplace de Funções Básicas 
 
Neste item, a transformada de Laplace de algumas funções úteis em controle de processos 
são apresentadas. 
 
a) Degrau 
 
 
f(t) 
t=0 
 20
 
 
 
⎩⎨
⎧
≤
>==
)(,
)(,
)()(
00
01
tt
tt
ktkutf (3.19) 
 
s
kdtekdtetuktuLktfL stst =∫=∫==
∞ −∞ −
00
1.)())}(({)}({ (3.20) 
 
b) Rampa 
 
⎩⎨
⎧
≤
>==
)(,
)(,
)()(
00
0
tt
ttkt
ktkutf (3.21) 
 
 
 
 
 
 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
∫==
∞
−
∞ −
2
0
2
0
1
s
k
ss
tketfL
dttektuLktfL
st
st
)}({
))}(({)}({
 (3.22) 
 
 
c) Seno 
 
)()( wtsentf = (3.23) 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=∫ +=
∫==
∞ −−
∞ −
22
0
0
2
1
ws
wdteeesF
dtewtsensFtfL
stwtiwti
st
)()(
)()())((
 (3.24) 
 
d) Exponencial 
 
atetf −=)( (3.25) 
)(
)())((
as
dteesFtfL stat +=∫==
∞ −− 1
0
 (3.26) 
 
 
k 
f(t) 
t=0 
 21
3.2 Propriedades e Teoremas da Transformada de Laplace 
 
A Transformada de Laplace desfruta da propriedade de linearidade, ou seja: 
 { } )()()()( sbFsaFtbftafL 2111 +=+ (3.27) 
 
Alguns teoremas são de utilidade na análise dinâmica de processos: 
 
a) Teorema do deslocamento em t 
 
Aplica-se a atrasos de transporte: 
 
⎩⎨
⎧
<
≥−=
0
00
0 tt
ttttf
tg
,
),(
)( (3.28) 
 
Ou, em gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
)()()}({ sFedtettfttfL stst 0
0
00
−−∞ =∫ −=− (3.29) 
 
b) Teorema do deslocamento em s 
 
)()()()}({ )( asFdtetfedtetfetfeL tasatstatat −=∫=∫= −−
∞−∞
00
 (3.30) 
 
c) Teorema do Valor Final 
 
Este teorema permite calcular valor de estado estacionário no domínio de Laplace. 
 
)(lim)(lim ssFtf st 0→∞→ = (3.31) 
 
d) Teorema do Valor Inicial 
 
Analogamente, para calcular valor logo após a aplicação de uma perturbação, ainda no 
domínio de Laplace. 
 
)(lim)(lim ssFtf st ∞→→ =0 (3.32) 
f(t)
t0 
g(t) 
 22
 
Exemplo 3.6 
 
Função Pulso 
 
 
 
 
 
 
 
)(,
,
,
,
)( áreahtk
ttt
tth
t
tf 0
0
0
0
0
00
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤
≤≤=
<
= (3.33) 
 
)()()()}({ stst e
st
ke
s
h
s
htthuthutfL 01
0
0
−− −=−=−−= (3.34) 
 
Observe-se que a Função Impulso é o limite do pulso quando t0 tende a zero: 
 
kst
st
ke
st
k
t
st
t ==− →−→ 0
0
0
0
0 0
0
0
1 lim)(lim (3.35) 
mas 
 
...
!!
+−+−=−
32
1
33
0
22
0
0
0
ststste st (3.36) 
 
para k=1, tem-se 
 
⎩⎨
⎧
=
∞=⇒=
1
00
)}({ tL
ht
δ (3.37) 
 
3.3 Inversão de Transformadas de Laplace 
 
Para se obter a resolução da EDO, é preciso transformar o resultado da equação algébrica 
(em s) para t. Para tal, utiliza-se a EXPANSÃO HEAVISIDE ou EXPANSÃO EM 
FRAÇÕES PARCIAIS. 
 
Seja, F s Q s
P s
( ) ( )
( )
= , onde a ordem de Q(s) e P(s) são, respectivamente M e N (M≤ N), a 
inversão é feita em três etapas: 
 
1. Fatora-se P(s) em termos das suas raízes (polos de F(s)), e reescreve-se F(s) como: 
f(t) 
0 t0 
h 
 23
 
F s Q s
P s
A
s p
B
s p
W
s pN
( ) ( )
( ) ( ) ( )
...
( )
= = − + − + + −1 2 (3.38)
 
 
2. As constantes A, B ... W são calculadas: 
 
A s p F s s p
B s p F s s p
W s pN
F s s pN
= → −
= → −
= → −
lim ( ( ).( ))
lim ( ( ).( ))
...
lim ( ( ).( ))
1 1
2 2
 (3.39)
 
 
3. Pelo uso da Tabela, encontrar a transformada inversa termo a termo. 
 
f t L A
s p
L B
s p
L W
s pN
( ) {
( )
} {
( )
} ... {
( )
}= − − +
−
− + +
−
−
1
1
1
2
1
 (3.40)
 
 
Se pj = ...= pj+m-1 é um pólo com multiplicidade m, a expansão inclui termos da forma: 
 
( ) ( )mj
mj
j
j
j
j
ps
R
ps
R
ps
R
−++−+−
−++ 1
2
1 ... (3.41) 
 
Em resumo, a inversão recai em três possíveis situações de acordo com as raízes da 
Equação Característica P(s) = 0. 
 
Tabela 3.2: Inversão de Transformada de Laplace 
 
Raízes de Equação 
Característica 
Termo da Expansão em 
Frações Parciais 
Termo no Domínio do 
Tempo 
Raiz real não-repetida 
ps
A
− 
ptAe 
Raízes complexas 
conjugadas ( ) 22 wps
CBs
+−
+ )( θ+wtsenDe pt 
22 CBD += 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
C
Ba tanθ 
Raízes Repetidas m vezes ∑ −=
m
j
j
j
ps
A
1 )(
 ∑ −=
−
m
j
j
jpt
j
tA
e
1
1
1)!(
 
 
 
A Expansão em Frações Parciais pode ser feita no ambiente MATLAB, conforme 
detalhado no Exemplo 3.7. 
 24
 
Exemplo 3.7 
 
Deseja-se obter x(t) com expansão em Frações parciais para 
 
24 26s 9s s
)( 23 +++
+= sssX
2
 
 
% Coeficientes de P(s) e Q(s) em ordem decrescente de potências de s 
P = [1 9 26 24]; 
Q = [1 1]; 
[R,P,K] = residue(Q,P) 
 
A execução destes comandos fornece : 
 
R = 
 -1.5000 
 2.0000 
 -0.5000 
 
P = 
 -4.0000 
 -3.0000 
 -2.0000 
 
K = 
 [] 
 
 
Logo : 
 
( ) ( ) ( )2
50
3
02
4
51
+
−++++
−=
sss
sX ,,,)( 
 
e, pela entrada 5 da Tabela 3.1 : 
 
x(t) = -1,5e - 4t +2e -3t - 0,5e - 2t 
 25
 
 
4 REPRESENTAÇÃO “ENTRADA – SAÍDA”: FUNÇÕES DE 
TRANSFERÊNCIA 
 
4.1 Funções de Transferência 
 
Existem diversas formas de representar um processo através de um modelo matemático. 
Uma forma muito utilizada é a representação de entrada e saída. Em geral é possível 
descrever um sistema linear como: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y a y a y a y b u b u b u b u n mn n n n m m m m0 1 1 1 0 1 1 1+ + + + = + + + + ≥− − − −L L& & ; (4.1) 
 
onde y e u são funções do tempo e f k é a derivada de ordem k de f. As derivadas de ordem 
um estão representadas acima como y& e u& . 
 
Uma forma de representação muito utilizada em controle de processos é a de "função de 
transferência". A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo está 
definida como a transformada de Laplace da saída (resposta do sistema) sobre a 
transformada de Laplace da entrada (excitação ou perturbação no sistema), supondo todas 
as condições iniciais iguais a zero. 
 
A definição de variáveis desvio permite obter condições iniciais iguais a zero para 
resolução das equações diferenciais ordinárias (EDO's) do modelo. A "variável desvio" é 
definida como o afastamento da variável do seu valor no estado estacionário ou valor de 
referência, e foi introduzida no texto no Capítulo 2, nos Exemplos 2.1 a 2.5 de 
linearizações. Na continuação do texto, dado que as funções de transferência que serão 
utilizadas estão definidas para variáveis desvio, fica entendido que todas as variáveis são 
variáveis desvio. Esta transformação de variável é representada graficamente na seguinte 
Figura 4.1. 
1
1.5
2
2.5
x(t)
xs
 
Figura 4.1: Variável Desvio 
 26
 
4.2 Resolução de Sistemas Lineares 
 
A função de transferência do sistema representado pela Equação 4.1 é obtida 
transformando-se, em primeiro lugar, a EDO para o domínio de Laplace: 
 
 
( )
a y s s a y s s a y s s a y s b u s s b u s s b u s s b u s
n m
n n
n n
m m
m m0 1
1
1 0 1
1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + = + + + +
≥
−
−
−
−L L 
 (4.2) 
e, rearranjando, obtém-se: 
 
( )
y s
u s
b s b s b s b
a s a s a s an m
m m
m m
n n
n n
( )
( )
= + + + ++ + + +
≥
−
−
−
−
0 1
1
1
0 1
1
1
L
L (4.3) 
 
Cada função de transferência pode ser representada graficamente por um bloco (que 
substitui o quociente de polinômios), uma entrada (representando à variável independente) 
e uma saída (representando à variável dependente). Sistemas complexos podem ser 
representados graficamente através de blocos interligados. Este tipo de representação é 
muito útil pois permite tratar sistemas complexos a partir de blocos simples com operações 
de soma e multiplicação. Para exemplificar suponhamos que um processo é descrito por 
duas equações diferenciais: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y a y a y a y b u b u b u b u n mn n n n m m m m0 1 1 1 0 1 1 1+ + + + = + + + + ≥− − − −L L& & ; (4.4) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )c u c u c u c u d x d x d x d x l pl l l l p p p p0 1 1 1 0 1 1 1+ + + + = + + + + ≥− − − −L L& & ; (4.5) 
 
Usando o conceito de função de transferência, obtém-se: 
 
( )mn
sG
asasasa
bsbsbsb
sU
sY
nn
nn
mm
mm
≥
=++++
++++=
−
−
−
−
)(
)(
)(
1
1
1
10
1
1
10
L
L
 (4.6) 
( )pl
sG
cscscsc
dsdsdsd
sX
sU
ll
ll
pp
pp
≥
=++++
++++=
−
−
−
−
)(
)(
)(
2
1
1
10
1
1
10
L
L
 (4.7) 
 
Neste sistema, a representação em blocos de entrada e saída resultaria em dois blocos com a 
saída do segundo coincidindo com a entrada do primeiro, conforme mostrado na Figura 4.2. 
 
 
 27
 
 
Figura 4.2: Representação Entrada-Saída em Diagrama de Blocos 
 
 
Pode-se operar a equação algébrica obtendo-se: 
 
( )
( )
Y s
X s
b s b s b s b
a s a s a s a
d s d s d s d
c s c s c s c
l p
n m
m m
m m
n n
n n
p p
p p
l l
l l
( )
( )
= + + + ++ + + +
+ + + +
+ + + +
≥
≥
−
−
−
−
−
−
−
−
0 1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
L
L
L
L
 (4.8) 
Isto é: 
 
)()(
)(
)( sGsG
sX
sY
21= (4.9) 
 
A Equação 4.9 e a Figura 4.2 permitem concluir que a função de transferência entre a saída 
Y(s) e a entra U(s) coincide com o produto das funções de transferência que se apresentam 
no caminho entre as duas variáveis. A solução no domínio de Laplace consiste agora em, 
uma vez definida a função de perturbação x(t), calcular a transformada inversa de Laplace 
de: 
 
)()()()( sXsGsGsY 21= (4.10) 
 
ou seja 
 ( ))()( sYty -1L= (4.11) 
 
A seguir são apresentados alguns esquemas de diagramas de blocos e se descrevem as 
regras básicas de operações com blocos. 
 
 
4.2.1 Diagrama de blocos 
 
No item anterior, definiu-se a primeira operação em diagrama de blocos, dois blocos em 
série podem ser substituídos por um único bloco e a função de transferência que este 
representa é o produto das duas funções de transferência dos blocos individuais. 
 
Para um sistema representado por: 
 
)().()().()()()( sUsGsUsGsYsYsY 2121 +=+= (4.12) 
 
 28
tem-se o seguinte diagrama de blocos da Figura 4.3: 
 
 
 
Figura 4.3: Representação em Diagrama de Blocos da Equação 4.12 
 
onde se apresentam dois novos elementos, o ponto de ramificação, destacado na Figura 4.4 
 
 
 
Figura 4.4: Ponto de Ramificação 
 
e o ponto de soma, na Figura 4.5. 
 
Figura 4.5: Ponto de Soma 
 
Um diagrama de blocos muito utilizado em controle é o que representa um sistema com 
realimentação da saída (feedback), mostrado na Figura 4.6. 
 
Figura 4.6: Realimentação da Saída: Feedback 
 
A redução deste diagrama a um bloco único é obtida por manipulação algébrica: 
 
)()()( sXsGsY = 
)()()()( sYsHsUsX −= 
 29
( ))()()()()( sYsHsUsGsY −= 
)()()()()()( sYsHsgsUsGsY −= 
)()()()()()( sUsGsYsHsGsY =+ 
 ( ) )()()()()( sUsGsYsHsG =+1 
 
ou 
 
)()(
)(
)(
)(
sHsG
sG
sU
sY
+= 1 (4.13) 
 
Conclui-se que qualquer diagrama de blocos pode ser reduzido a um único bloco. A 
resolução de um sistema dinâmico de uma entrada e uma saída, independente da sua 
complexidade inicial, pode ser transformado em um problema representado por um único 
bloco e resolvido de forma análoga à apresentada no item anterior (Equações 4.10 e 4.11). 
 
Para fins de análise do sistema dinâmico e controle, a função de transferência pode ser 
interpretada como um ganho entre o sinal de saída e o de entrada. Este ganho apresenta 
uma parte estática (ganho estático) e uma parte dinâmica (ganho dinâmico). O ganho 
estático é o valor do ganho quando o tempo tende a infinito (que pode ser obtido aplicando 
o teorema do valor final à função de transferência). O ganho dinâmico é a parte da função 
de transferência dependente da variável de Laplace s, definido pelas transformadas das 
equações diferenciais que descrevem o processo. 
 
Em resumo, o modelo de um processo obtido no domínio do tempo (t) pode ser 
representado no domínio complexo (s) como um modelo de Entrada-Saída (Input-Output), 
e o procedimento para desenvolver este modelo é representado de forma esquemática na 
Figura 4.7. 
 
 
Exemplo 4.1 
 
Considere dois tanques de mistura perfeita, com seus volumes constantes, V1e V2, vazão 
volumétrica é F e concentração molar é C. O modelo do processo pode ser obtido a partir 
de: 
 
a) Balanço de massa por componente para tanque 1: 
 
)()()()( tFCtFCtFC
dt
dC
V 1120
1
1 αα +−+= (4.14) 
 
-Balanço de massa por componente para o tanque 2: 
 
 30
))()(()( tCtCF
dt
dC
V 211
2
2 −+= α (4.15) 
 
 31
Modelo Dinâmico do Processo
EDO e Equações Algébricas
 Obter Modelo Estacionário
(zerando derivadas temporais)
Leis
Fundamentais
 Hipóteses
Simplificadoras
 Linearizar Termos Não-Lineares
Subtrair Equação Estacionária
da Equação Dinâmica
Definir Variáveis Desvio
Aplicar Transformada de
Laplace (Condições Iniciais 0)
Eliminar Todas as Saídas Exceto
a de Interesse
Eliminar Todas as Entradas Exceto
a de Interesse
Dividir Saída por Entrada
Funções
de
Transferência
Repetir para todas as 
Entradas
Repetir para todas as 
Saídas
 
 
Figura 4.7: Procedimento para Construção de Funções de Transferência 
 
 32
V 
1 
C 
1 
V 
2 
C 
2 
F 
C 0 (t) 
C 
1 (t) F 
C 
2 (t) 
α F 
 
Figura 4.8: Exemplo 4.1 – Dois Tanques em Série com Reciclo 
 
 
Definindo-se: 
 
 
)(
 ,
)(
,
)( F
FK
F
V
F
V
αατατ +=+=+= 11
2
21
1
1 
 
tem-se: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
+=+
)()(
)(
)()()(
)(
tCtC
dt
tdC
tKCtKCtC
dt
tdC
12
2
2
201
1
1
τ
ατ
 (4.16) 
 
Para serem consistentes com o modelo, as condições iniciais devem cumprir as seguintes 
relações: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
)()(
)()()(
0102
020001
CC
KCKCC α
 
 
que são obtidas considerando que o processo está em repouso no instante t=0. Como as 
condições iniciais não são zero, devem-se transformar as variáveis originais para variáveis 
desvio. Assumindo que: 
 
C t C t C
C t C t C
C t C t C
desvio
desvio
desvio
0 0 0
1 1 1
2 2 2
0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= +
= +
= +
 
 
e, para simplificar a notação, retira-se a palavra desvio, obtendo-se: 
 
 33
)()(
)(
)()()()(
tCtC
dt
tdC
tKCtKCtC
dt
tdC
12
2
2
201
1
1
=+
+=+
τ
ατ
 
 
Aplicando a transformada de Laplace ao modelo anterior tem-se: 
 
)(ˆ
)(
)(ˆ
)(
)(ˆ sC
s
KsC
s
KsC 211
011
1 +++= τ
α
τ (4.17) 
)(ˆ
)2(
=(s)2Cˆ sCs 11
1
+τ (4.18) 
 
E a representação em diagrama de blocos é: 
 
 
 
Figura 4.9: Exemplo 4.1 –Diagrama de Blocos 
 
Manipulando-se algebricamente (os blocos ou as equações), obtém-se:a função de 
transferênciaglobal: 
 
 
 (4.19) 
 
 
 
 
 
Kss
K
sC
sC
sG αττ −++== ))(()(ˆ
)(ˆ
)(
12110
2 
 34
5 RESPOSTAS DINÂMICAS 
 
A resposta dinâmica de um processo é o comportamento da variável de saída, para uma 
perturbação na variável de entrada. Os valores numéricos da resposta dinâmica (saída-y(t)) 
são obtidos resolvendo-se as equações diferenciais e algébricas que descrevem o processo, 
quando perturbado por um sinal externo (entrada-u(t))). 
Em geral, os processos reais consistem na combinação, mais ou menos complexa de 
sistemas básicos elementares. Assim é fundamental, para o conhecimento desses processos, 
ter uma noção exata do comportamento dos sistemas elementares. Assim, apresenta-se 
neste capítulo sistemas básicos e para, posteriormente, aplicá-los a sistemas de E&P. 
 
5.1 Resposta Dinâmica de Processos Lineares de 1ª Ordem 
 
5.1.1 Resposta a uma Perturbação Degrau 
 
Um sistema de 1ª ordem é representado (modelado) por uma EDO de 1ª ordem. Se o 
sistema é linear (ou linearizado), a equação que relaciona a saída y(t) com entradas u(t) para 
todo t é: 
 
a
dy t
dt
a y t b u t1 0
( )
( ) ( )+ = (5.1) 
 
A função u(t) é chamada de "perturbação de entrada", que corresponde ao termo de 
excitação da equação diferencial não homogênea (Equação 5.1). Este modelo representa 
dois tipos de processos com características de resposta dinâmica muito diferentes. 
 
 
a) Para a0 0≠ , define-se: 
 
0
1
a
a
P =τ (constante de tempo) 
 
0a
bK P = (ganho estático) 
 
e a equação diferencial é: 
 
)()()( tuPKtydt
tdy
P =+τ (5.2) 
 
A constante de tempo é uma medida da velocidade do processo em resposta a uma 
perturbação. KP, ganho estático, é uma medida da amplificação (ou redução) que o processo 
provoca sobre o sinal da entrada. 
 
Aplicando-se a transformada de Laplace, a função de transferência correspondente será: 
 
 35
1+== s
K
sU
sYsG
P
P
τ)(
)()( (5.3) 
 
A resposta deste modelo a uma perturbação degrau de magnitude "M" pode ser calculada 
multiplicando-se a função de transferência pela transformada de Laplace da função degrau 
 
(U s
M
s
( ) = ), obtendo-se: 
 
( ) s
M
s
KsY
P
P
1+= τ)( (5.4) 
 
Com a transformada inversa da Equação 5.4, obtém-se a resposta do modelo para uma 
perturbação degrau no domínio do tempo: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= )exp()(
P
P
tMKty τ1 (5.5) 
 
Existem alguns pontos da curva de resposta que têm relevância na análise do 
comportamento dinâmico do processo e, eventualmente, são utilizados como 
especificações no projeto de sistemas de controle. Um ponto importante é quando a variável 
independente t atinge a constante de tempo do modelo. 
 
632011 .))exp(()( PP MKMKty =−−= (5.5) 
 
Neste ponto, a saída atinge 63,2% do valor em estado estacionário. 
 
k=10; M=2; tau=1; 
t=linspace(0,10,20) ; 
plot(t, M*k.*(1-exp(-t/tau))) ; 
line([1,1],[0,M*k*(1-exp(-1))]) 
line([0,1],[ M*k*(1-exp(-1)),M*k*(1-exp(-1))]) 
text(2,M*k*(1-exp(-1)), '63.2% do valor do estado estacionário') 
text(1.5,0.5,'t = Constante de tempo') 
xlabel('Tempo'); ylabel('y(t)') 
 36
 
 
Figura 5.1: Resposta de Sistema de 1ª. Ordem a Perturbação Degrau de Amplitude M. 
 
Um outro ponto importante é quando a saída atinge 99% do valor em estado estacionário. 
Neste caso: 
 
P
P
PP t
tMKMK ττ 51990 ≅⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= )exp(, 
 
O ganho KP é uma medida de QUANTO e τP é uma medida de COMO varia a saída do 
modelo em função da perturbação de entrada. 
 
Note-se que, aplicando o teorema do valor final na Equação 5.4 fornece o valor do 
GANHO. 
P
P
P
s
MKs
s
M
s
Ksy =⋅⋅+=→ 10 τ)(lim 
 
Vê-se que, no infinito y é igual à amplitude da entrada, amplificada pelo KP, o ganho do 
processo no estado estacionário. 
 
Exemplo 5.1 
 
Analisemos agora o vaso horizontal do Exemplo 2.3. 
 
)()()( tuKty
dt
tdy
pp =+τ 
 37
 
onde 
hCvvDCp γρτ 0690.
⋅⋅⋅= e 
Cvv
h
K p ⋅=
γρ 069.0
 
Um aumento na área do tanque (aumento de C ou D) determina um aumento na constante 
de tempo. O sistema fica mais lento, o que é de se esperar pois o aumento de área implica 
num aumento de volume (capacidade), atrasando a resposta do nível à vazão da entrada. 
Um aumento no nível de estado estacionário h , aumenta τp e Kp, enquanto um aumento do 
coeficiente de descarga os diminui. 
 
b) Para a0 0= , define-se ganho estático como 
0a
bK P = , e, portanto, a função de 
transferência é: 
 
s
K
sU
sYsG P==
)(
)()( (sistema puramente capacitivo) (5.9) 
 
Para observar o comportamento deste modelo procede-se de forma semelhante ao caso 
anterior. Utilizando a transformada de Laplace da função degrau, a saída do modelo é: 
 
s
M
s
KsY P=)( (5.10) 
 
Calculando-se a transformada inversa da Equação (5.10), obtém-se a resposta do modelo 
para uma perturbação degrau no dominio do tempo. Ou seja, uma reta com inclinação dada 
pelo ganho KP e pela magnitude M da perturbação de entrada. Esta resposta pode ser 
interpretada como a integral da perturbação de entrada multiplicada pelo ganho KP, e por 
isto o processo de primeira ordem cujo modelo tem a0 0= é conhecido como integrador. 
 
Na prática, tendo em vista que o tanque está fisicamente limitado, a altura atinge o valor 
máximo de projeto, transbordando. Isto corresponde a um comportamento não linear 
chamado "saturação". 
 
 
5.1.2 Resposta de um Sistema de 1ª. Ordem a uma Perturbação Rampa 
 
A resposta de um sistema de primeira ordem a uma perturbação rampa de forma análoga à 
de sistemas de primeira ordem apresentado.A transformada de Laplace da função rampa é: 
 
U s
a
s
( ) = 2 (5.11) 
 
e a saída do processo perturbado com esta entrada é: 
 38
 
 ( ) s
B
s
B
s
A
s
a
s
KsY
P
P
P 2
2
1
2 11
++
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=+=
τ
τ)( 
 
Calculando a transformada inversa de Laplace da equação acima, obtém-se a resposta do 
modelo para uma perturbação rampa no domínio do tempo. 
 
atKtaKty P
P
P +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= 1)exp()( ττ 
( ) PP
P
P
s
ka
s
a
s
KA
P
ττ
ττ
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
−→ t
1slim 21 1
 
aKs
s
a
s
kB PP
P
s
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
→
2
20
1
1
τ
τ
lim 
P
P
P
s
kas
s
a
s
k
sd
dB ττ
τ
−=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
→
2
20
2
1
lim 
 
t=linspace(0,100,100); 
a=5; k=1; tau=10; 
y=k*a*tau*(exp(-t/tau)-1)+k*a*t; 
plot(t,y) 
axis([0 40 0 150]) 
xlabel('tempo') 
ylabel('y(t)') 
 
Figura 5.2: Resposta de Sistema de 2ª. Orden a Perturbação Rampa. 
 
 
 39
5.1.3 Resposta de um Sistema de 1ª. Ordem a uma Perturbação Senoidal 
 
Dada a função: 
 
u t Asen wt( ) ( )= 
 
e a transformada de Laplace é: 
U s
Aw
s w
( ) = +2 2 
 
Utilizando-se esta função como perturbação ao sistema linear, a resposta deste no domínio 
de Laplace é: 
 
 
)21)(s+s(
=
2wP
AwPKY(s)
+τ
 (5.3) 
 
e a sua transformada inversa: 
 
)cos
/
()( senwtwtPw
PtePw
PPw
APKty +−−
+
= τττ
τ 122
 (5.4) 
 
t=linspace(0,100,1000); 
a=5; k=1; tau=10; w=1; 
y=(k*a/(w^2*tau^2+1))*(w*tau*exp(-t/tau)-w*tau*cos(w*t)+sin(w*t)); 
plot(t,y) 
axis([0 100 -1.5 1.5]) 
xlabel('tempo'); ylabel('y(t)') 
 
 
Figura 5.3: Resposta de Sistema de 2ª. Ordem a Senoidal. 
 
 
 40
A sobreposição dos sinais de entrada e saída permite observar que, após um intervalo de 
tempo inicial, a resposta do processo resume-se a uma senoide de igual freqüência,com 
amplitude proporcional à entrada (de acordo com os parâmetros do processo) e defasada no 
tempo. 
 
t=linspace(0,100,1000); 
a=5; k=1; tau=10; w=.5; 
u=a*sin(w*t); 
y=(k*a/(w^2*tau^2+1))*(w*tau*exp(-t/tau)-w*tau*cos(w*t)+sin(w*t)); 
plot(t,y,t,u,t,zeros(size(u))) 
axis([0 100 -6 6]) 
xlabel('tempo') 
 
concluindo que a amplitude da resposta do processo é função da freqüência, quando 
perturbado por uma senoide de entrada. Também pode ser observado que há uma 
defasagem entre a senoide de entrada e a senoide de saída. Duas grandezas podem ser 
definidas para relacionar entradas e saidas de um processo perturbado por senoides, como 
função da freqüência da perturbação. Estas grandezas são: a relação ou razão de amplitudes 
(RA) e a defasagem (φ). Por razão de amplitudes entende-se o quociênte RA AS
AE
= , onde 
AS é a amplitude da senoide de saída e AE é a amplitude da senoide de entrada, e 
defasagem φ = φS - φE, onde φS é a fase da senoide de saída e φE é a fase da senoide de 
entrada. O cálculo destas grandezas será apresentado no capítulo de resposta em freqüência. 
 
5.2 Resposta Dinâmica de Processos de 2ª Ordem 
 
Um sistema de 2ª ordem pode ser descrito pela equação diferencial ordinária: 
 
a
d y
dt
a
dy
dt
a y b u t2
2
2 1 0+ + = ( ) 
 
Definindo-se para a0 0≠ 
 
0a
b
pK = (ganho estático) 
τ = a a 2 0 (período natural de oscilação do sistema) 
2 = a a
1
0
ξτ (onde ξ é o fator de amortecimento) 
 
tem-se: 
 
)(tupKydt
dy
dt
yd =++ ξττ 22
22 
 
Que corresponde à função de transferência: 
 41
 
1222 ++
==
ss
pK
sX
sYsG
ξττ)(
)()( (5.12) 
 
Um sistema de 2ª ordem decorre de: 
 
1. Processos multicapacitivos (dois sistemas de 1ª ordem em série); 
2. Processos inerentemente de 2ª ordem (processo com inércia e submetido a aceleração 
(e.g. manômetro em U) 
3. Processo de 1ª ordem e seu controlador. 
 
5.2.1 Resposta a uma Perturbação Degrau 
 
Perturbando-se o sistema de segunda ordem (Equação 5.12) com um degrau, a resposta do 
sistema será: 
s
M
ss
K
sY p
1222 ++= ξττ)( 
 
Calculando as duas raízes do denominador da função de transferência tem-se: 
 
τ
ξ
τ
ξ
τ
ξ
τ
ξ 12
2
12
1
−−−=−+−= pp e (5.13) 
 
No MATLAB: 
 
% Dados os parâmetros do sistema de segunda ordem, desenhar 
% as raízes no Plano s: 
hold on 
tau = 0.5; 
for xsi = 0 :0.2 :10 
% Escreve-se a equação característica como: tau^2 + 2*xsi*tau +1 
Raizes = roots([tau^2 + 2*xsi*tau +1]) ; 
plot (real(Raizes), imag(Raizes), '*') 
end 
 
 
Estas raízes, também chamadas polos da função de transferência, permitem escrever a 
saída do processo, fatorando o polinômio, como: 
 
spsps
pKsY
))((
)(
21 −−
= 
 
De acordo com as raízes da equação característica (os polos da função de transferência), a 
resposta pode ser superamortecida (ξ > 1 , raízes são reais e distintas), criticamente 
 42
amortecida (ξ = 1 ), raízes reais e repetidas) ou subamortecida (ξ < 1 , raízes complexas 
conjugadas). 
 
As saídas do processo para os três casos são: 
 
• ξ > 1 (raízes são distintas), a saída do processo no domínio do tempo é: 
 
)
//
()(
21
2
2
1
11 ττ
ττττ
−
−−−−=
t
e
t
e
MpKty (5.14) 
onde 
2
2
1
1
11
pp
−=−= ττ , 
 
• 1<ξ (raízes imaginárias) 
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
+⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −−−= ttteMpKty τ
ξ
ξ
ξ
τ
ξτξ 21
21
21
1 sincos/)( (5.15) 
 
• 1=ξ (raízes reais e repetidas) 
 
Seja p a raiz repetida, 
p
1−=τ 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= ττ
/)( tetMpKty 11 (5.16) 
 
Processos multi-capacitivos (tanques em série, por exemplo) são processos 
superamortecidos. O efeito do fator de amortecimento na resposta ao degrau de sistemas de 
segunda ordem representados pela Equação 5.12 está mostrado na Figura 5.4, construída 
com o código MATLAB apresentado a seguir. 
 
 
t=linspace(0,10,50); 
M=5; k=1; tau=.5; 
figure(1) 
hold on 
for xsi=0.2:0.2:1.4 
xsi 
 if xsi == 1 
 cor ='k'; 
 % Equação 5.16 
 p=roots([tau^2 2*xsi*tau 1]); 
 taur=-1/p(1) 
 y=k*M*(1-(1+t/taur).*exp(-t/taur)); 
 43
 plot(t,y,cor) 
elseif xsi > 1 
 cor ='b'; 
 % Equação 5.14 
 p1=-xsi/tau+sqrt(xsi^2-1)/tau; 
 p2=-xsi/tau-sqrt(xsi^2-1)/tau; 
 T1=-1/p1; 
 T2=-1/p2; 
y=k*M*(1-(T1.*exp(-t/T1)-T2.*exp(-t/T2))/(T1-T2)); 
 plot(t,y,cor) 
 else 
 cor ='g'; 
 % Equação 5.15 
 y=k*M*(1-exp(-t*xsi/tau).*(cos(sqrt(1-xsi^2)*t/tau)+ ... 
 xsi/sqrt(1-xsi^2).*sin(sqrt(1-xsi^2)*t/tau))); 
 plot(t,y,cor) 
 end 
end 
xlabel('tempo'), ylabel('y(t)') 
 
 
Figura 5.4: Impacto do Fator de Amortecimento na Resposta de Sistema de 2a Ordem 
a Perturbação Degrau 
 
Observe-se que quanto maior o fator de amortecimento mais lenta a resposta. Para 
processos sub-amortecidos (ξ < 1), a resposta apresenta característica oscilatória. Quanto 
menor o fator de amortecimento, mais suave é o amortecimento da oscilação, isto é, a 
oscilação permanece durante muito tempo. A resposta sub-amortecida, por sua importância 
em controle, é descrita por termos especiais: 
 
t=linspace(0,9,50); 
M=5; 
k=1; 
tau=.5; 
xsi=0.2; 
p1=-xsi/tau+sqrt(xsi^2-1)/tau; 
p2=-xsi/tau-sqrt(xsi^2-1)/tau; 
 44
y=k*M*(1-(exp(p2*t)*p1-exp(p1*t)*p2)/(p1-p2))/(p1*p2); 
plot(t,y,'g') 
hold on 
ee=1.25*ones(size(t)); 
plot(t,ee,'k') 
xlabel('tempo'), ylabel('y(t)') 
% Tempo de subida 
line([0.9,0.9],[0,1.25]); text(1,.1,'t_s') 
%Tempo de pico 
line([1.6,1.6],[0,1.9]); text(1.7,.1,'t_p') 
% Tempo de resposta 
plot(t,[ee+.05*ee],'b',t,[ee-.05*ee],'b'); line([7,7],[0,1.2]); 
text(7.1,.1,'t_r') 
% Overshoot 
line([1.6,3],[1.25,1.5]); line([1.6,3],[1.9,2.15]); 
line([3,3],[1.5,2.15]); text(3.1,1.8,'a'); text(1,.7,'b') 
%Razão de Decaimento 
line([1.6,1.6],[1.25,1.9]); line([3.2,3.2],[1.25,.92]); text(3.3,1.1,'c') 
% Período de oscilação 
line([4.8,4.8],[1.25,1.9]); line([1.6,4.8],[1.9,1.9]); text(3.2,2,'P') 
 
Figura 5.5: Características de Resposta de Sistema de 2a Ordem Sub-amortecido a 
Perturbação Degrau 
 
 
tempo de subida (ts): é o tempo para que a saída atinja o novo valor estacionário pela 
primeira vez. Caracteriza a velocidade do sistema subamortecido. Quanto menor o fator de 
amortecimento, menor será o ts. 
 
 45
tempo para o primeiro pico (tp): é o tempo para o processo alcançar seu primeiro valor 
máximo. 
 
tempo de respota (tr): é o tempo para o processo atingir e permanecer na faixa definida por 
±5% da resposta final (y(∞)). 
 
sobrepasso (OS="overshoot"): é a relação "a/b", onde "b" é o valor final da resposta e "a" 
é o valor máximo do desvio. 
 
OS = −
−
exp( )πξ
ξ1 2
 (5.17) 
 
razão de decaimento (DR="decay ratio"): é a relação entre as duas primeiras amplitudes 
("c/a"). 
 
DR OS= −
−
=exp( )2
1 2
2πξ
ξ
 (5.18) 
 
 
perído de oscilação (P): é o tempo decorrido entre dois picos sucessivos. Seja w é a 
freqüência do ciclo, tem-se: 
 
P =
−
=2
1 2 2
πτ
ξ
ω
π (5.19) 
 
período natural de oscilação (Pn): se ξ=1, não há amortecimento e o sistema oscilará com 
amplitude "sustentada", em um freqüência ω τn = 1 ., e Pn = 2πτ É esta propriedade do 
parâmetro ξ que deu origem ao seu nome. 
 
 
5.2.2 Resposta de um Sistema de 2ª ordem a uma Perturbação Senoidal 
 
A resposta de um sistema de segunda ordem (Equação 5.12) a uma perturbação senoidal é: 
 
Y s
A K p
s s s
( )
( )( )
= + + +
ω
ω τ ξτ2 2 2 2 2 1 
 
Obtém-se sob inversão da transformada de Laplace: 
 
)(
)()(
)( φω
ξττω
+
+−
= tsenApKty
222221
 (5.20) 
 46onde 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−−= 221
21
τω
ξωτφ tan (5.21) 
 
t=linspace(0,9,50); 
A=5; 
k=1; 
tau=1; 
hold on 
w=2; 
xi=.2; 
fi=0.7; 
% Resposta (sinal de saída) 
y=k*A*sin(w*t+fi)/sqrt((1-(w*tau)^2)^2+(2*xi*tau)^2); 
plot(t,y,'g') 
xlabel('tempo') 
% Sinal de entrada 
u=A*sin(w*t); 
plot(t,u,'b:') 
legend(['y(t)'; 'u(t)']) 
 
Figura 5.6: Resposta (y(t)) de Sistema de 2a Ordem a Entrada Senoidal (u(t)). 
 
 
Definindo $A como a amplitude de saída e A a amplitude da entrda, a razão entre as 
amplitudes (RA) é dada por: 
 
 47
RA A
A
Kp= =
− +
$
( ) ( )1 2 2 2 2 2ω τ ξωτ (5.22)
 
 
RA em função de ω é mostrado na Figura 5.7. 
 
tau=1; 
RAk=[]; Texto = []; 
w=linspace(0.1,7,100); 
for xsi=.2:.1:.8 
 RAk=[RAk [1./sqrt((1-(w*tau).^2).^2+(2*xsi*w*tau).^2)]']; 
 Texto=[Texto;num2str(xsi)]; 
end 
loglog(RAk) 
legend(Texto) 
xlabel('freq') 
ylabel('RA/k') 
 
 
 Figura 5.7: RA para Sistema de 2a Ordem. 
 
Para baixas freqüências, observa-se na Figura 5.7 que RA é aproximadamente um, decaindo 
na alta freqüência com uma inclinação de -1, independente do valor de ξ. Para valores de ξ 
menores o iguais a 0.707 as curvas de RA apresentam um máximo. Este máximo é chamado 
de pico de ressonância, o valor de freqüência e RA para esta situação podem ser calculados 
como: 
 
 48
0.707<0 ;max ≤−= ξτ
ξ 221
w (5.23) 
 
221 ξξ −2
K=RA (5.24) 
 
 
5.2.3 Sistema de 2ª Ordem Resultante da Presença de Controlador 
 
Os sistemas de segunda ordem, e de ordens superiores podem decorrer da presença de 
controladores. Como exemplo, tem-se um tanque com um controlador de nível que mantém 
atuando sobre a vazão de descarga. 
 
 
 
 Figura 5.8: Sistema de 2a Ordem: Tanque de Nível com Controlador. 
 
Aplicando-se o balanço de massa, obtém-se: 
 
A
dh t
dt
Fi t F t
( )
( ) ( )= − (5.25) 
 
F t Fs Kc SP h t
Kc
I
SP h t dt
t
( ) ( ( )) ( ( ))= + − + −∫τ 0 (5.26) 
 
e em variáveis desvio 
 
F t Kch t
Kc
I
h t dt
t
( ) ( ) ( )= − − ∫τ 0 (5.27) 
 
Substituindo-se (5.27) em (5.26), e aplicando-se transformada de Laplace obtém-se: 
 
 
 
 49
H s
Fi s
I s
Kc
I
Kc
As I s
K ps
s s
( )
( )
=
+ +
= + +
τ
τ τ τ ξτ2
2 2
1
2 1
 (5.28) 
 
 
onde 
C
I
K
Aττ = e 
A
K ICτξ
2
1= . Dependendo dos valores de sintonia do controlador (τI 
e Kc), a resposta a uma perturbação degrau será subamortecida, criticamente amortecida ou 
superamortecida. Ou seja, a sintonia determinará o comportamento dinâmico da malha. 
 
 
5.3 Resposta Dinâmica de Processos de Ordem Superior 
 
Um sistema de ordem N é descrito pela equação diferencial ordinária: 
 
 
 (5.29) 
 
5.3.1 Sistemas Multicapacitivos 
 
Considere os sistemas não-interagentes em série representados na Figura 5.9. 
 
 
 
Figura 5.9: Sistemas Não-Interagentes em Série 
 
A função de transferência global é: 
 
Y s
U s
G G G
K K K
s s sN
N
N
( )
( )
...
...
( )( )...( )
= = + + +1 2
1 2
1 21 1 1τ τ τ (5.30) 
 
 
Estes sistemas têm comportamento semelhante aos sistemas de primeira ordem. Isto pode 
ser observado fatorando-se a função de transferência, e calculando a transformada inversa. 
A solução do sistema global corresponde à soma das soluções de cada um dos sistemas de 
primeira ordem que o compõem. 
 
Exemplo 5.2 
O separador trifásico possui uma câmara de óleo que recebe o óleo proveniente da câmara 
de separação, esquematizado na Figura 5.10. 
 50
 
hThL
hW
Li + Gi 
CS 
LIC
CL 
L 0
L vert 
 
Figura 5.10: Separador Trifásico 
 
O sistema pode ser modelado como multi-capacitivo, abordando-se apenas a fase fase 
oleosa. Considera-se, neste exemplo, que a vazão que verte da câmara de óleo para a 
câmara de separação é uma função linear da altura sobre o vertedouro, vertvert khL = . Temos 
então modelos lineares para as duas câmaras. 
1
1
1
1
1
+= s
K
su
sy
p
p
τ)(
)(
 
e 
1
2
2
2
2
+= s
K
su
sy
p
p
τ)(
)( 
Os índices 1 e 2 indicam as câmaras de separação e de óleo, respectivamente. Note-se que a 
vazão que verte da câmara de separação corresponde à entrada u(t) da câmara de óleo. 
Tem-se então que vertvert khL = , o que indica que u2 = KP y1 
111
1
1
1
+== s
K
su
sysG
p
p
τ)(
)()( 
e 
 
1
2
2
1
2
2 +== s
K
sy
sysG
p
p
τ)(
)()( 
 
1211 22211
2
2
2
1
1
++==+⋅+== ss
K
sG
s
K
s
K
sGsG
su
sy p
p
p
p
p
τξτττ )()()()(
)( 
com 
 51
2121
2
pppp ττττττ =→= 
11
2
2
21
21
21
≥=+=→+=
geométrica média
 aritmética média
pp
pp
pp ττ
ττξττξτ 
21 ppp
KKK = 
A resposta ao degrau de magnitude A 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−=
−−
2
2
1
1
12
11
p
t
p
t
eeAKty pp
pp
p
ττ ττττ)( 
 
 
Exemplo 5.2 
Sistemas Interagentes – Vasos Comunicantes em FPSO 
 
São sistemas multicapacitivos conforme esquematizado na Figura 5.11. 
 
 
 
 
Figura 5.11: Tanques Interagentes 
 
 
Considerando F
h h
R1
1 2
1
= − e F h
R2
2
2
= , tem-se que a entrada para o segundo tanque (F1) é 
função da altura deste tanque (h2), que por sua vez é função da vazão F1, isto pode ser 
conforme o balanço de massa abaixo. 
 
A
dh
dt
Fi F Fi
h h
R
A
dh
dt
F F
h h
R
h
R
1
1
1
1 2
1
2
2
1 2
1 2
1
2
2
= − = − −
= − = − −
 
 
ou 
 52
 
A R
dh
dt
h h R Fi
A R
dh
dt
h
R
R
h R
h
R
1 1
1
1 2 1
2 2
2
2
2
1
2 2
1
1
+ − =
+ + =
 
 
Aplicando-se a transformada de Laplace obtém-se: 
 
( ) ( ) ( ) ( )A R s h s h s R Fi s1 1 1 1 2 1+ − = (5.31) 
( ( )) ( ) ( )A R s
R
R
h s
R
R
h s2 2 1
2
1
2
2
1
1 0+ + − = (5.32) 
 
Combinando-se as Equações 5.31 e 5.32 chega-se à função de transferência 
 
h s
h s
R
R
A R s
R
R
2
1
2
1
2 2 1
2
1
( )
( )
( )
=
+ +
 (5.33) 
 
Substituindo (5.5) em (5.3) tem-se: 
 
12121
2
21
22
12121
2
21
21211
++++
=
++++
++=
sRAs
R
siF
sh
sRAs
RRsR
siF
sh
)()(
)(
 e 
)(
)(
)(
)(
ττττττττ
τ
 
 
onde 222111 RARA == ττ e 
 
Este sistema é sobre-amortecido. Por outro lado, devido justamente à interação, a estrutura 
de tanques que interagem é mais lenta que a estrutura de tanques que não interagem. 
 
5.3.2 Tempo Morto 
 
O tempo morto é uma característica presente em quase todos os processos de interesse. É a 
propriedade que um dado sistema tem de só responder a uma entrada após um certo 
intervalo de tempo, Ө, mostrado na Figura 5.12. A função deste atraso, no domínio do 
tempo, é descrita por 
 
( ) ( )θ−= tuty 
 
e a função de transferência é 
 53
 
( ) sesG θ−= 
 
Figura 5.12: Tempo Morto 
 
O tempo morto pode ser real ou efetivo. Neste caso, surge como aproximação de um grande 
número de capacidades em série. 
 
Exemplo 5.3 
 
Neste Exemplo, utiliza-se o balanço de massa do separador bifásico para determinar a 
média temporal da vazão de entrada. Considere o balanço material 
 
QoutQin
dt
dhCD −= 
 
A vazão de saída pode ser estimada por 
 
medido
medidoestimado dt
dhCDQoutQin += 
 
A média temporal deve ser efetuada ao longo do período T da perturbação 
 
∫
−
=
t
Tt
estimado
estimado T
dtQin
Qin 
 
T
dt
dt
dhCDQout
Qin
t
Tt
estimado
∫
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=54
 
Aplicando-se a transformada de Laplace: 
 
)()1()(1 she
T
CDsQout
Ts
eQin Ts
Ts
estimado
−− −+−= 
 
A função de transferência do tempo morto é uma função transcendental que, para uso 
prático, é aproximada por um cociente de polinômios. Utiliza-se freqüentemente as 
aproximações de Padé: 
 
Padé 1/1: e-
Padé 2 / 2: e-
D
D
τ
τ
τ
τ
τ τ
τ τ
s s
s
s s
s
s s
D
D
D D
D D
≅
−
+
≅
− +
+ +
1
2
1
2
1
2
2 2
12
1
2
2 2
12
 
 
Estas aproximações são adequadas para pequenos valores de tempo morto τD , como toda 
aproximação, à medida que se incorporam mais termos esta se torna mais precisa. 
 
 
5.3.3 Aproximação de Sistemas de Ordem Superior 
 
Vários processos podem ser descritos como um conjunto de processos conectados em série, 
por exemplo uma coluna de destilação pode ser descrita através de modelos para o tambor, 
o refervedor e os pratos. Decorre que, para fins de controle, uma coluna de destilação pode 
ser representada por duas constantes de tempo dominantes (tambor e refervedor, τ1 e τ2 ) e 
um tempo morto aparente que substitui a dinâmica dos modelos dos pratos. Este tempo 
morto pode ser aproximado considerando que cada prato introduz um tempo morto 
equivalente à sua constante de tempo. O modelo, enfim, pode ser representado por: 
 
))((
)(
1211 ++
−
=
ss
sKesG ττ
θ
 
 
onde 
 
 ∑=
=
NP
i i1
τθ (NP = número de pratos). 
 
 
 55
5.3.4 Sistemas com Resposta Inversa 
 
A resposta inversa é o resultado de dois efeitos opostos. 
Na Figura 5.13, se 1
2
1
2
1 >>
K
K
τ
τ , a resposta a um degrau na entrada u assume o padrão 
dinâmico esquematizado na Figura 5.14. 
 
Figura 5.13: Diagrama de Blocos de Processo com Resposta Inversa 
 
Figura 5.14: Resposta Dinâmica de Processo com Resposta Inversa 
 
Exemplo 5.4 
Os sistemas que apresentam resposta inversa têm um número ímpar de zeros positivos. A 
resposta de um processo com zero no semi-plano direito descrito pela função de 
transferência 
 
 56
))((
)()(
1512
31
++
−=
ss
ssG 
 
 apresenta a resposta inversa obtida com os comandos MATLAB a seguir: 
 
 
>> num=[-3 1];den=poly([-1/2 -1/5]); 
>> G=tf(num,den) 
 
Transfer function: 
 
 -3 s + 1 
----------------- 
s^2 + 0.7 s + 0.1 
 
» tfinal=50; 
» step(G,tfinal) 
 
 
Figura 5.15: Resposta Inversa: Simulação da Resposta ao Degrau (Exemplo 5.4) 
 
Como exemplo de resposta inversa em processos off-shore, cita-se o fall back de líquido no 
riser. 
 
 
5.4 Estabilidade 
 
Um sistema descrito pela função de transferência G(s) perturbado com um sinal u(s) tem 
como saída no domínio de Laplace y(s). 
 ( )( ) ( )
( )( ) ( ) nmsUpspsps
zszszs
sUsGsY
n
m ≤−−−
−−−== );()()()( L
L
21
21 
 
 57
onde z’s são ditos ZEROS e p’s POLOS. A função de transferência sempre pode ser 
representada como soma de frações simples com denominadores da forma. 
 
( ) ( ) ( )y s G s u s
A
s p
A
s p
A
s p
u sn
n
( ) ( ) ( ) ( )= = − + − + + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
2
2
L 
 
Analisando-se G(s) observa-se que, se a função de transferência tiver um polo com parte 
real positiva, a transformada inversa deste termo (entrada 5 da Tabela 3.1) é uma função 
exponencial crescenteC e p t1 1 . Dado que o sinal de saída é formado pela soma de 
exponenciais, e que um destes termos é continuamente crescente, a saída será ilimitada. 
Desta forma, defini-se que: 
 
Se a função de transferência de um sistema dinâmico apresentar um polo 
com parte real positiva, o sistema é INSTÁVEL. Logo, todos os polos de 
uma função de transferência devem estar localizar no semi-plano esquerdo 
(SPE) do plano complexo s para que o sistema seja estável. 
 
 Estável
Im
Re
 
 
Figura 5.16: Lugar Geométrico de Polos Estáveis 
 
Observe-se que o denominador da função de transferência de um sistema, quando igualado 
a zero, fornece a Equação Característica deste sistema: 
 ( )( ) ( ) 021 =−−− npspsps L 
 
E que as raízes desta equação são os polos da função de transferência, e definem a 
estabilidade do sistema. 
 
As raízes da equação característica são facilmente obtidas para sistemas racionais no 
MATLAB, conforme exemplificado a seguir. 
 
Exemplo 5.5 
 
Dada a malha feedback apresentada na Figura 5.13 
 
 58
 
Figura 5.17: Malha de Controle Feedback 
 
com 
 
CCMVLP KGGGs
GG ===+== 1)2(
8
3 
 
tem-se, por álgebra dos blocos, que 
 
MPVC
L
GGGG
G
sL
sC
+= 1)(
)( 
 
Logo, a Equação Característica da malha feedback é: 
 
01 =+ MPVC GGGG 
 
Substituindo-se os valores 
 
088126
082
0
2
81
23
3
3
=++++
=++
=++
C
C
Ksss
Ks
s
)(
)(
 
 
O valor atribuído por KC altera as raízes da equação característica. No MATLAB, é 
possível construir este cenário: 
 
KC=[2 4 6 7 8 9 ]; 
Texto=[]; 
simb = ['o', 's', '*', 'd', 'p', '>']; 
for i=1:length(KC) 
 P = [1 6 12 8+8*KC(i)]; 
 r = roots(P); 
 plot(real(r),imag(r), simb(i)) 
 hold on 
 59
 Texto=[Texto; ['K_C = ' num2str(KC(i))]]; 
end 
xlabel('Real') 
ylabel('Imaginário') 
legend(Texto) 
 
 
Figura 5.18: Raízes da Equação Característica em Função de KC 
 
Observa-se que valores de KC>8 tornam positiva a parte real de um par de raízes 
complexas, tornando a malha instável. O gráfico da Figura 5.18 é conhecido como o Lugar 
das Raízes (Root Locus). 
 
Uma definição de estabilidade muito utilizada é a de estabilidade BIBO (Bounded Input 
Bounded Output). O conceito baseia-se em que um sistema dinâmico estável, quando 
perturbado por uma entrada finita, produz uma saída finita, independente do seu estado 
inicial. Uma perturbação finita é aquela que sempre permanece entre um limite superior e 
um limite inferior (e.g. senoide e degrau). 
 
Note-se que, nos sistemas off-shore, é o escoamento multifásico a maior fonte de 
instabilidades no processamento offshore. O escoamento em golfada severa ocorre 
naturalmente em linhas com inclinação negativa. Outra fonte possível de instabilidades 
ocorre quando numa malha de controle os valores de sintonia ultrapassam certos limites. 
 
5.4.1 Critério de Estabilidade de Routh 
 
A estabilidade do processo pode ser testada sem que seja necessário resolver a equação 
característica para obtenção dos polos. O método de Routh indicará a existência de polos 
 60
positivos, e é aplicável tanto a malhas fechadas quanto abertas, bastando, apenas, utilizar a 
equação característica apropriada. 
 
Para um processo de ordem N, tem-se a seguinte equação característica: 
 
a s a s a s aN
N
N
N+ + + =− −1 1 1 0 0... (5.34) 
 
onde aN é positivo. Uma condição necessária (mas não suficiente) para estabilidade do 
processo é que todos os coeficientes na equação característica sejam positivos e não nulos. 
Caso esta condição seja obedecida, constrói-se a MATRIZ DE ROUTH ({n+1} linhas): 
 
a a a
a a a
b b b
c c
n n n
n n n
b
− −
− − −
2 4
1 3 5
1 2
1 2
...
...
...
... ...
... 
onde
 
 
1
2131
1
1
321
1 b
baabc
a
aaaab nn
n
nnnn −−
−
−−− −=−= 
.
 
etc
b
baab
c
a
aaaa
b nn
n
nnnn
1
3151
2
1
541
2
−−
−
−−− −=−=
 
 
 
O Critério de Estabilidade de Routh é uma condição necessária e suficiente para que todas 
as raízes da equação característica se encontrem no SPE. Esta condição é que todos os 
elementos da 1ª coluna da Matriz de Routh sejam positivos. 
 
Exemplo 5.6 
 
Para a malha feedback do Exemplo 5.5, deseja-se saber que valores de KC causam 
instabilidade. 
 
Avaliando-sea equação característica, 
 
088126 23 =++++ CKsss 
 
 61
A primeira condição de estabilidade de Routh é obedecida se (8+KC)>0. Logo 
 
KC < 8 deve ser satisfeita para que o sistema seja estável. Contudo, esta é uma condição 
necessária mas não suficiente, restando aplicar a 2ª. Condição (obtida a partir da Matriz de 
Routh): 
 
( )( )
088
0
6
881126
886
121
C
C
C
K
K
K
+
+−
+
)( 
 
Logo, as condições de estabilidade adicionais são: 
 ( )
1088
808872
−>>+
<>+−
CC
CC
KK
KK
 
 
Logo, qualquer KC positivo menor que 8 garantirá estabilidade da malha. Esta conclusão 
ratifica o resultado apresentado na Figura 5.18. 
 
 
5.4.2 Método da Substituição Direta 
 
O eixo imaginário é a fronteira entre as regiões de estabilidade (SPE e SPD). Este eixo 
corresponde a raízes puramente imaginárias (s = ± ωi). Logo, substituindo s por ωi na 
Equação Característica do processo fornece o limite de estabilidade para o sistema 
dinâmico. 
 
Exemplo 5.7 
 
Voltando à malha do Exemplo 5.5, aplica-se o método da Substituição Direta. 
 
088126 23 =++++ CKsss 
 
Substituindo-se s por ωi tem-se 
 
088126 23 =+++−− CKwiwiw 
 
Parte Real = 0 
0886 2 =++− CKw (5.35) 
 
Parte Imaginária = 0 
0123 =+− ww (5.36) 
 62
 
Da Equação 5.36, obtém-se 
 
w = 3.4641rad/s 
 
e, substituindo este resultado na Equação 5.35 (1): KC,CRÍTICO = 8, confirmando o resultado 
obtido anteriormente. Este é o valor de KC limite de estabilidade. 
 
 63
 
6 PROJETO DE MALHAS DE CONTROLE 
 
Apresenta-se, neste Capítulo, controle de processos SISOs (Single Input Single Output). 
Utiliza-se como ilustração a malha de controle de nível do separador, cujo diagrama de 
blocos é reescrito na Figura 6.1. 
 
Figura 6.1: Malha Feedback para Controle de Nível de Vaso Horizontal 
 
 
A função de transferência da malha fechada (o sistema controlado), calculada por álgebra 
de blocos, é: 
 
)()( sR
GGGG
GGG
sY
mPvc
Pvc
+= 1 + )(sLGGGG
G
in
mPvc
d
+1 (6.1) 
 
Y(s) = Gs(s)R(s) + Gr(s) Lin(s) 
 
Esta representação auxilia na percepção de dois desafios que o sistema de controle tem que 
resolver: 
 
Controle regulatório ou rejeição de perturbações (R(s) = 0, Lin(s) ≠ 0). No caso 
considerado, controle de nível no separador, considera-se que o setpoint é um valor fixo 
(R(s) = 0, em variável desvio) e que o controle deve atuar para manter a variável controlada 
no valor desejado, ou seja, Y(s) = 0. 
 
Y(s) = Gr(s) Lin(s) (6.2) 
 
 64
O sistema de controle deve fazer com que a variável controlada não acompanhe as 
variações da perturbação. O ideal é que Gr(s) = 0. Assim Y(s) = 0. Observando-se a 
constituição de Gr(s) conclui-se que um aumento de Gc(s) (no denominador da função de 
transferência) conduz mais rapidamente ao objetivo almejado. 
 
Controle servo ou rastreamento de setpoint variável. (R(s) ≠ 0, L(s)=0). É o caso do 
controle de um braço mecânico de um robô. 
 
Y(s) = Gs(s) R(s) (6.3) 
 
O sistema de controle deve fazer com que a variável controlada acompanhe, da melhor 
forma possível, o valor desejado. O ideal é que Gs(s) = 1. Assim Y(s) = R(s). Novamente, 
observando-se a forma da Gs(s), conclui-se que esse objetivo pode ser aproximado mais 
facilmente elevando-se Gc(s). 
Em processos contínuos, o mais comum é o controle regulatório. Normalmente, os 
processos operam com poucas modificações. Em situações de partida ou parada, em 
alterações de estado estacionário de operação ou em processos em batelada o controle servo 
torna-se relevante. Na prática, Gd(s) é raramente conhecida, optando-se, freqüentemente no 
projeto de malhas para o problema servo, esperando-se que um desempenho adequado 
também se verificará na operação regulatória. 
 
6.1 Controladores PID 
 
São controladores que atuam, em função do erro de controle, definido por: 
 
e(t) = r(t) – cm (t) (6.1) 
 
onde r(t) é o valor de referência para a variável controlada (set-point) e cm(t) é a variável 
controlada medida pelo elemento final de controle (o sensor). 
 
Na sua atuação, três 3 ações são empregadas: Proporcional (P), Integral (I) e Derivativa 
(D). Estas ações são usadas de forma isolada (P) ou combinadas (PI, PD ou PID). Este tipo 
de controlador responde pela maioria das malhas de controle industrial, tendo sido 
introduzido no mercado nos anos 40, na versão pneumática. 
 
São descritos pela lei de controle, na forma paralela: 
 
))()()(()(
dt
tdedtteteKtp D
t
I
C ττ +∫+= 0
1 (6.2) 
 
onde )(tp está em variável desvio: 
 
sptptp −= )()( (6.3) 
 
 65
ps é denominado bias do controlador, isto é, o sinal de controle na ausência de erro. 
Aplicando-se a transformada de Laplace na Equação 6.2, obtém-se a função de 
transferência do controlador PID ideal: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++== s
s
K
sE
sPsG D
I
CC ττ
11
)(
)()( (6.3) 
 
 
KC, τI e τD são denominados de Parâmetros de Sintonia e ponderam a contribuição dos 
respectivos termos na atuação do controlador PID. A seguir, apresentam-se as principais 
características destas três ações. 
 
6.1.1 Ação Proporcional 
 
A ação proporcional atua diretamente proporcional ao erro de controle: 
 
)()( teKptp cs += (6.4) 
 
e a sua função de transferência resume-se a: 
 
cC KsG =)( (6.5) 
 
O sinal do ganho determinará a ação do controlador. Para ganhos positivos, o controlador é 
dito de ação reversa (a saída do controlador aumenta com a redução do sinal da variável 
medida). Em caso contrário, o controlador é dito de ação direta. 
 
 
Figura 6.2: Ação Proporcional 
 
Verifica-se, pela Figura 6.2, que sob estabilização do erro, a saída do controlador 
permanecerá constante. Esta é uma desvantagem deste controlador, pois poderá conduzir a 
off-set (erro de estado estacionário). 
 
6.1.2 Ação Integral 
 
É descrita pela Equação: 
 
 66
dttetp
t
I
∫=
0
1 )()( τ (6.6) 
 
Esta ação, ao contrário da proporcional, não pode ser usada isoladamente pois a saída do 
controlador só será significativa após o erro persistir por um certo intervalo de tempo. 
Conseqüentemente, a ação integral é usada com a ação proporcional e é a forma mais 
comum de controladores feedback, conhecida como controle PI: 
 
})()({)( dtteteKtp
t
I
c ∫=
0
1
τ (6.7) 
 
A função de transferência do controlador PI é: 
 
)(
)(
)(
s
K
sE
sP
I
c τ
11+= (6.8) 
 
Com a combinação das duas ações (P+I), a saída do controlador é alterada assim que 
detectada variação no erro, devido à ação proporcional. Quando It τ= , a ação integral terá 
"repetido" a ação proporcional. Esta terminologia é usada em alguns controladores 
comerciais que têm a ação integral sintonizada como "repetições por min". 
 
 
Figura 6.3: Ação Proporcional e Integral 
 
Nota-se na Figura 6.2 que enquanto houver sinal de erro a saída do controlador será 
atualizada (pela ação integral), eliminando off-set. 
 
6.1.3 Ação Derivativa 
 
A ação derivativa contribui para a saída do controlador sempre que houver variação no erro 
(derivada do erro com o tempo). Esta característica torna inapropriado o seu uso em sinais 
com ruídos (a exemplo de sinais de nível e de vazão). Por outro lado, é muito usada em 
variáveis lentas como temperatura e composição, já que antecipa a saída do controlador. 
 
Esta ação é usada junto com a ação proporcional (controle PD) 
 67
 
))()(()(
dt
tdeteKtp DC τ+= (6.9) 
 
ou com a ação proporcional e integral (controle PID), quando assume a forma da Equação 
6.2. 
 
A função de transferência do controlador PID (Equação 6.3) corresponde a uma 
implementação em paralelo das três ações, conforme representado no diagrama de blocos