Analise de Variância

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Relatório de Probabilidade e Estatística
ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Grupo (06)
 
Cassio Lindemberg S. Teixeira
 Carolina Novaes Tanajura
 
 
 
ILHÉUS – BAHIA
2013
Introdução
A Analise de Variância pode ser entendido como uma técnica utilizada que permite verificar, se existe uma diferença significativa entre medias e se fatores exercem influencia em alguma variável dependente. 
Tais fatores podem apresentar-se da forma qualitativa ou quantitativa, porem a variável subordinada fundamentalmente devera ser continua.
Podemos aplicar principalmente ANOVA (analise of variance) é a comparação de medias originadas de diferentes grupos, que podem também ser denominadas de tratamentos, temos como exemplo media históricas de questões de satisfação, empresas que operam simultaneamente com diferentes rendimentos, entre muitas outras aplicações. Neste caso usaremos a analise de variância para verificar se existe diferença significativa entre os tratamentos, verificando o tempo de transmissão de pacotes de dados de grande porte, em alto nível de segurança, entre duas maquinas localizadas em continentes distintos, (duas sedes da empresa), de uma instituição internacional do sistema financeiro.
Para que seja feita uma analise de variância coerente, devemos seguir quatro conjecturas básicas precisas: 
Aditividade;
Independência ou aleatoriedade dos erros;
Normalidade dos erros;
Homogeneidade de variâncias dos erros.
Aditividade
Utilizando o teste de aditividade de Tukey (SNEDECOR & COCHRAN, 1967; STEEL, TORRIE & DICKEY, 1997) podemos verificar em nível de 5% de probabilidade de erro. Os efeitos que ocorrem no modelo estatístico devem ser aditivos. Se essa aditividade não ocorrer devido a alguma observação apresentar resultado muito discrepante da particularidade que esta sendo estudada. A identificação de algum resultado discrepante penderá dos efeitos principais. Este teste só pode ser aplicado quando se utiliza o delineamento em blocos ao acaso, ficando impedido de ser utilizado quando o experimento é realizado no DIC.
O Teste de Tukey para observar a não atividade consiste num método de testar a interação em um delineamento de dois fatores com apenas uma observação por combinação de tratamentos. E dado por:
 	(1)
Onde r é o numero de linhas, c o numero de colunas, é a observação a ijª célula, ; ; são nesta mesma ordem, a media de iª linha, a media de jª coluna e a media de todas as observações. AS e SD são as somas de quadrados dos efeitos principais. 
Independência ou aleatoriedade dos erros
O erros devido a aferições ou desvios devidos aos fatores não controlados devem ser autônomos. Essa autonomia dos erros pode ser garantida por um dos processos básicos de experimentação que é a casualização. As correlações entre os erros frequentemente não são notadas, já que as suas presenças são de difícil detecção.
Podemos testar esta hipótese mediante aplicação do teste de sequencia, que é um teste não paramétrico. Para podermos usar esse teste os erros são classificados de acordo com a distribuição de tratamentos no experimento, com numeração das unidades experimentais, podendo ser, por exemplo, da esquerda para a direita, até a ultima unidade experimental. Os erros são assinalados com as devidas unidades experimentais e marcados com sinal positivo, quando for positivo e com sinal negativo, quando for negativo.
A estatística do teste (r) é igual ao numero de vezes que trocamos um sinal por outro ao percorrer a sequencia de erros estabelecidos. Em uma sequencia estabelecida, existe n observações positivas e m observações negativas.
 	(2)
Onde r é o numero de trocas de sinais em uma determinada sequencia:
 	(3)
 	(4)
Devido a estatística z ter distribuição normal de media zero e variância um, podemos usar a tabela da distribuição normal padrão. Ao testar um valor calculado, podemos analisar , por exemplo, a 5%, quando o valor da estatística z, em valor absoluto, for maior que o valor de z tabelado, a hipótese da distribuição aleatória dos erros será rejeitada.
Normalidade dos erros
A normalidade dos resíduos é uma suposição essencial para que os resultados do ajuste do modelo de regressão linear sejam confiáveis. Podemos verificar essa suposição por meio do gráfico de Papel de Probabilidade e por meio de testes tais como Shapiro-Wilk, Anderson-Darling e Kolmogorov-Smirnov. 
O teste de Shapiro-Wilks testa se um conjunto de variáveis aleatórias, nativas de uma distribuição de probabilidade especifica. Mais comumente usado para teste de amostras de distribuição normal e de distribuição exponencial. O teste compara valores classificados da amostra com os valores correspondentes ordem estatística de uma distribuição especifica. Podemos verificar essa estatística através da formula abaixo:
 	(5)
Onde, é a jª maior observação, é a media da amostra eé a função da media e variância e covariância e covariância da ordem estatística.
Homogeneidade das variâncias dos erros ou Homocedasticidade 
A quarta e ultima conjectura nos diz que os erros experimentais devem ter homogeneidade de variâncias, isso nos implica dizer que devem possuir uma variância comum . Sendo Q. M. resíduo utilizado como termo de comparações na analise de variância, haverá uma perda de eficiência nas estimativas dos efeitos de tratamentos e perda de sensibilidade dos testes de comparação de medias, se ele for obtido à partir de medias de varias diferenças de tratamento. Afim de verificar essa pressuposição, testam-se variâncias amostrais dos erros experimentais estimados de cada tratamento, dados por s2i. Os pesquisadores dão maior ênfase para esta hipótese.
Usamos o teste de Cochran e o teste de Barlett, para testar tal pressuposição.
O teste de Cochran – Usamos este teste quando o numero de graus de liberdade é o mesmo para todas as variâncias, ou seja, quando o numero de repetição são iguais para os experimentos em analise. Então temos:
 	(6)
As hipóteses testadas são: 
H0: = = ...= vs H1: pelo menos uma das variâncias difere das demais.
Podemos comparar o valor de com o valor tabelado, com (t, r-1) graus de liberdade, a um nível α de significância. Rejeita-se a hipótese H0 de homogeneidade de variâncias quando ChCAL ≥ Ch TAB.
O teste de Bartlett – Pode-se usar este teste quando as estimativas de variâncias com ri – 1 graus de liberdade de i tratamentos são iguais, ou seja quando o numero de repetições por tratamento forem diferentes. A estatística do teste segue abaixo:
 	(7)
 Onde é o numero de repetições do tratamento i, é a variância amostral do tratamento i.
As hipóteses a serem testadas são:
H0: = = ...= vs H1: pelo menos uma das variâncias difere das demais.
Sob a hipótese de que os valores tomados por si2 serão de uma mesmo valor (variância comum ), a razão M/C tem distribuição aproximada de qui-quadrado (X2), onde C é um fator de correção dado por:
 	(8)
Pode-se rejeitar a hipótese H0 de homogeneidade de variâncias quando o valor calculado da razão M/C≥X2TAB, a um nível α de significância, com t-1 graus de liberdade.
Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)
Também denominado de delineamento experimental, pode ser definido como o plano que é dado na experimentação e também a forma como são organizadas as unidades experimentais . Delineamento pode se referir também a maneira como o tratamentos são oferecidos às unidades experimentais.
O DIC é considerado o delineamento mais simples  dentro daestatística. Nele as unidades experimentais são destinadas a cada tratamento de uma forma inteiramente casual (sorteio). Os experimentos formulados com este delineamento são denominados “experimentos inteiramente ao acaso”.
O DIC apresenta o seguinte modelo matemático:
Yij= µ+tj+eij	(9)
Onde “Yij” é o valor da observação referente ao iº tratamento, já jª repetição, “µ“ é uma constante, referente a media,” tj” é o efeito do tratamento i e “eij “
O DIC apresenta as seguintes características:
-Leva em conta apenas os princípios de repetição e casulização;
-Os tratamentos são divididos em parcelas de forma inteiramente casual;
-Exige que o material experimental seja semelhante e que as condições de estudo sejam completamente uniformes;
-Os aspectos que devem ser considerados na semelhança entre as U.E. são aqueles que interferem nas respostas das mesmas aos tratamentos;
-Ele geralmente é mais utilizado em experimentos nos quais as condições experimentais podem ser bastante controladas (por exemplo, em laboratórios);
-Esse delineamento também é recomendado em situações onde se corre risco de perder repetições durante o experimento.
Resultados 
Os tempos da transferência de dados de grande porte, estrão na tabela abaixo:
	Rep.
	A
	B
	C
	D
	1
	39,9
	38,1
	28,9
	40,8
	2
	38,7
	38,6
	29,4
	41,5
	3
	40,2
	38,9
	29,3
	44,9
	4
	38,2
	38,3
	31,0
	40,0
	5
	41,2
	38,7
	29,2
	49,7
	Soma
	198,2
	192,7
	147,8
	216,9
Inicialmente faremos um croqui do experimento, que nada mais é, do que um esboço que nos permite uma melhor analise dos dados.
CROQUI
	A
	A
	A
	A
	A
	B
	B
	B
	B
	B
	C
	C
	C
	C
	C
	D
	D
	D
	D
	D
Agora faremos a planilha de trabalho, que contem os dados e informações necessárias para obtermos a informações necessárias, a fim de concluir este trabalho.
Planilha de trabalho:
	 
	 
	 
	Repetições
	 
	 
	 
	Trat
	1
	2
	3
	4
	5
	TOTAL
	A
	 39,9
	 38,7 
	 40,2
	 38,2
	 41,2
	198,2
	B
	 38,1
	 38,6
	38,9
	 38,3
	38,7
	192,7
	C
	 28,9
	 29,4
	29,3
	31,0
	29,2
	147,8
	D
	 40,8
	41,5
	44,9
	40,0
	49,7
	216,9
	Soma
	 
	 
	 
	 
	 
	755,5
Logo em seguida temos a planilha de entrada de dados em ambiente computacional:
	Trat
	Rep.
	Y
	A
	1
	39,9
	A
	2
	38,7
	A
	3
	40,2
	A
	4
	38,2
	A
	5
	41,2
	B
	1
	38,1
	B
	2
	38,6
	B
	3
	38,9
	B
	4
	38,3
	B
	5
	38,7
	C
	1
	28,9
	C
	2
	29,4
	C
	3
	29,3
	C
	4
	31,0
	C
	5
	29,2
	D
	1
	40,8
	D
	2
	41,5
	D
	3
	44,9
	D
	4
	40,0
	D
	5
	49,7
Olhando a tabela acima e utilizando o modelo matemático DIC acima (9), podemos montar um sistema de equações lineares, conforme visto logo a seguir:
	Sistema de Equações lineares
	39,9= 
	μ +
	 +
	
	38,7= 
	μ +
	 +
	
	40,2= 
	μ +
	 +
	
	38,2=
	μ +
	 +
	
	41,2= 
	μ +
	 +
	
	38,1=
	μ +
	+
	
	38,6= 
	μ +
	+
	
	38,9=
	μ +
	+
	
	38,3= 
	μ +
	+
	
	38,7= 
	μ +
	+
	
	28,9= 
	μ +
	+
	
	29,4=
	μ +
	+
	
	29,3= 
	μ +
	+
	
	31,0=
	μ +
	+
	
	29,2= 
	μ +
	+
	
	40,8= 
	μ +
	 +
	
	41,5= 
	μ +
	 +
	
	44,9= 
	μ +
	 +
	
	40,0= 
	μ +
	 +
	
	49,7= 
	μ +
	 +
	
Para facilitar a resolução dos sistema linear montado acima, utilizasse o sistema matricial e é resolvido em ambientes computacionais. 
A matriz X é chamada matriz de delineamento; A matriz Y é chamada de matriz de resultados, onde são colocados os valores das estimativas de Y – variável-resposta; A matriz Ɵ é a matriz dos valores desconhecidos, que se quer determinar e, finalmente, a matriz , conhecida como matriz dos erros, valores atribuídos ao efeito do erro experimental em cada parcela, que por uma questão de determinação e quantificação do erro experimental, cuja magnitude deve ser geralmente igual a zero ou o mais perto disso possível, então:
Matrizes:
	 
	1
	1
	0
	0
	0
	 
	 
	39,9
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	1
	0
	0
	0
	 
	 
	38,7
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	1
	0
	0
	0
	 
	 
	40,2
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	1
	0
	0
	0
	 
	 
	38,2
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	1
	0
	0
	0
	 
	 
	41,2
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	1
	0
	0
	 
	 
	38,1
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	1
	0
	0
	 
	 
	38,6
	 
	 
	
	 
	 
	 μ
	 
	1
	0
	1
	0
	0
	 
	 
	38,9
	 
	 
	
	 
	 
	
	X=
	1
	0
	1
	0
	0
	 
	Y=
	38,3
	 
	Ԑ=
	
	 
	Ɵ=
	
	 
	1
	0
	1
	0
	0
	 
	 
	38,7
	 
	 
	
	 
	 
	
	 
	1
	0
	0
	1
	0
	 
	 
	28,9
	 
	 
	
	 
	5x1
	
	 
	1
	0
	0
	1
	0
	 
	 
	29,4
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	0
	1
	0
	 
	 
	29,3
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	0
	1
	0
	 
	 
	31,0
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	0
	1
	0
	 
	 
	29,2
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	0
	0
	1
	 
	 
	40,8
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	0
	0
	1
	 
	 
	41,5
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	0
	0
	1
	 
	 
	44,9
	 
	 
	
	 
	 
	 
	 
	1
	0
	0
	0
	1
	 
	 
	40,0
	 
	 
	
	 
	 
	 
	20x5
	1
	0
	0
	0
	1
	 
	20x1
	49,7
	 
	20x1
	
	 
	 
	 
 
Representada apenas por valores (0 e 1), que determinam a “presença” ou “ausência” de algum tipo especifico de efeito, devido a media e/ou a tratamentos.
Este é um sistema do tipo: Y = X * + { = 0}. A resolução de um sistema deste tipo, na forma matricial, que ocorre da seguinte maneira: (XT * X)-1 * Y = [(XT * X)-1 *(XT * X) = { 1}] * _ = (XT * X)-1 * Y.
Ao multiplicar a matriz X pela transposta XT, podemos encontrar valores desconhecidos, pois a quantidade de valores que queremos encontrar neste caso são cinco, que compõem a matriz. A divisão entre matrizes não é permitida, então invertemos para resolver o sistema.
Multiplicando X(20;5) por XT (5;20) obtém-se a matriz: (XT * X)→ (5;5), a saber:
Matriz transposta: 
	 
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	 =
	 
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	 
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	 
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	5x20
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	1
	1
	1
Ao multiplicarmos a trasposta pela inicial teremos a matriz abaixo:
	 
	 
	20
	5
	5
	5
	5
	 
	 
	5
	5
	0
	0
	0
	
	 
	 
	5
	0
	5
	0
	0
	 
	 
	5
	0
	0
	5
	0
	 
	5x5
	5
	0
	0
	0
	5
Ao calcularmos o determinante da matriz acima, encontraremos zero como resultado. 
Com o intuito de observar as variâncias e as médias, faremos a planilha de trabalho abaixo:
	 
	 
	 
	Repetições
	 
	 
	 
	Trat
	1
	2
	3
	4
	5
	TOTAL MÉDIA VARIÂNCIA I J 
	A
	 39,9
	 38,7 
	 40,2
	 38,2
	 41,2
	198,2 39,64 1,442 4 5
	B
	 38,1
	 38,6
	38,9
	 38,3
	38,7
	192,6 38,52 0,102 4 5
	C
	 28,9
	 29,4
	29,3
	 31,0
	29,2
	147,8 29,56 0,683 4 5 
	D
	 40,8
	41,5
	44,9
	 40,0
	49,7
	216,9 43,38 15,966 4 5
	Soma
	 
	 
	 
	 
	 
	755,5 151,1 18,193
A tabela abaixo mostra o valor das estimativas do erro experimental para cada parcela pela media de tratamento, deste modo temos:
	Trat/Rep
	1
	2
	3
	4
	5
	Total
	A
	 0,26
	-0,94
	0,56
	-1,44
	1,56
	0,0
	B
	 -0,42
	 0,08
	0,38
	 -0,22
	0,18
	0,0
	C
	 -0,66
	-0,16
	-0,26
	1,44
	-0,36
	0,0
	D
	-2,58
	 -1,88
	1,52
	-3,38
	6,32
	0,0
 
Segue abaixo o efeito dos tratamentos( valor da media de cada tratamento subtraídoda media geral) e podemos notar que a soma é nula, de acordo com a norma adotada para resolvermos o sistema que gerou as equações das somas de quadrados. Neste caso a media geral é igual a 37,77 assim temos:
	 1 =
	(39,64 – 37,77)=
	1,87
	tˆ 2 =
	(38,52 – 37,77)=
	0,75
	tˆ 3 =
	(29,56 – 37,77)=
	-8,22
	tˆ 4=
	(43,38 – 37,77)=
	5,61
	 
	soma=
	 
	 0,0
A soma de quadrados é igual a soma dos efeitos de tratamentos elevado ao multiplicado pelo valor do numero de repetições (j), então temos:
S.Q.Tr.=[( 1,87)²+( 0,75)²+ (-8,22)²+ (5,61)²] * 5 = 103,1
A Soma de quadrados do Resíduo ou erro é igual a soma de quadrados das estimativas do erro experimental em cada parcela, assim temos:
S.Q.R. = S.Q.E. = [(0,26)2 + (0,94)2 + ... + (6,32)2] = 30,24.
A Soma de Quadrados Total S.Q.T. resulta da doma de S.Q.R. + S.Q.Tr. = 103,1 + 30,24 = 133.3
Calculando Analise de variância (ANOVA) pelo método tradicional
I=4
J=5
G=
29126,5
28539,01
Obtenção de graus de liberdade:
G.L. Total →G.L.T. = I*J – 1 = 5*4 – 1 = 19
G.L. Tratamentos →G.L.Tr. = I – 1 = 4 – 1 = 3
G.L. Resíduo = →G.L.R. = G.L.T. – G.L.Tr. = 19– 3 = 16.
Calculo das Somas de Quadrados:
Soma de quadrados totais:
S.Q.T= 29126,5 - 28539,01 = 587,49
Soma de quadrados de tratamento:
S.Q.Tr=514,68
Soma de quadrados dos resíduos(dentro das amostras):
S.Q.R. = S.Q.T. - S.Q.Tr. = 587,49 – 514,68 = 72,81.
Agora podemos montar a tabela de ANOVA, como podemos ver abaixo:
	Causas de Variação 
	 GL
	Soma de Quadrados
	Quadrados Médios
	F
	Tratamentos
	3
	514,68
	171,56
	37,3
	Resíduos
	16
	72,81
	4,6
	
	Total
	19
	587,49
	
	
5% F (3;16) = 3,24 1% F (3;16) = 5,29 valores tabulados.
Calculando o valor de Coeficiente de Variação do experimento, a saber:
5,67%
Forma Alternativa de obtenção das Somas de Quadrados, e Consequentemente a ANOVA, mediante aplicação de calculo matricial:
Utilizando matrizes, podemos também encontrar as Somas de Quadrados, e consequentemente a ANOVA. Usando os efeitos de tratamentos, efeitos dos erros, assim como os totais, temos:
	TRAT
	REP
	PROD
	TRAT
	REP
	
	Ti
	Eij
	PROD
	A
	1
	39,9
	A
	1
	37,77
	1,87
	0,26
	39,9
	A
	2
	38,7
	A
	2
	37,77
	1,87
	-0,94
	38,7
	A
	3
	40,2
	A
	3
	37,77
	1,87
	0,56
	40,2
	A
	4
	38,2
	A
	4
	37,77
	1,87
	-1,44
	38,2
	A
	5
	41,2
	A
	5
	37,77
	1,87
	1,56
	41,2
	B
	1
	38,1
	B
	1
	37,77
	0,75
	-0,42
	38,1
	B
	2
	38,6
	B
	2
	37,77
	0,75
	0,08
	38,6
	B
	3
	38,9
	B
	3
	37,77
	0,75
	0,38
	38,9
	B
	4
	38,3
	B
	4
	37,77
	0,75
	-0,22
	38,3
	B
	5
	38,7
	B
	5
	37,77
	0,75
	0,18
	38,7
	C
	1
	28,9
	C
	1
	37,77
	-8,22
	-0,66
	28,9
	C
	2
	29,4
	C
	2
	37,77
	-8,22
	-0,16
	29,4
	C
	3
	29,3
	C
	3
	37,77
	-8,22
	-0,26
	29,3
	C
	4
	31,0
	C
	4
	37,77
	-8,22
	1,44
	31,0
	C
	5
	29,2
	C
	5
	37,77
	-8,22
	-0,36
	29,2
	D
	1
	40,8
	D
	1
	37,77
	5,61
	-2,58
	40,8
	D
	2
	41,5
	D
	2
	37,77
	5,61
	-1,88
	41,5
	D
	3
	44,9
	D
	3
	37,77
	5,61
	1,52
	44,9
	D
	4
	40,0
	D
	4
	37,77
	5,61
	-3,38
	40,0
	D
	5
	49,7
	D
	5
	37,77
	5,61
	6,32
	49,7
Em seguida, temos:
Total=(20x2)
Trat=(20x2)
Erros=(20x2)
Das matrizes obtidas, obtêm-se as respectivas transpostas, a saber:
Total=(2x20)
Trat=(2x20)
Erros=(2x20)
Ao multiplicarmos as matrizes transpostas pelas matrizes iniciais, obteremos as matrizes quadradas, o que nos possibilita calcular seu determinante. Os determinantes divididos pelo numero de unidades experimentais ou parcelas fornecem as respectivas somas de quadrados, a saber:
Total=(2x2)
Det=11749,75
S.Q.T= 587.48
Trat=(2x2)
Det= 10293,6
S.Q.Tr =
Erros=(2x2)
Det= 1456,2
S.Q.R = 
Com as somas de quadrados, obtém-se, facilmente, a ANOVA.
Obtenção dos Graus de Liberdade:
Obtenção de graus de liberdade:
G.L. Total →G.L.T. = I*J – 1 = 5*4 – 1 = 19
G.L. Tratamentos →G.L.Tr. = I – 1 = 4 – 1 = 3
G.L. Resíduo = →G.L.R. = G.L.T. – G.L.Tr. = 19– 3 = 16.
	Causas de Variação 
	 GL
	Soma de Quadrados
	Quadrados Médios
	F
	Tratamentos
	3
	514,68
	171,56
	37,3
	Resíduos
	16
	72,81
	4,6
	
	Total
	19
	587,49
	
	
5% F (3;16) = 3,24 1% F (3;16) = 5,29 
Os valores de 3 e 16 referentes aos graus de liberdade a 5% e 1% que são tabulados e podem ser encontrado em qualquer livro que trata deste respectivo assunto.
Calculando o valor de Coeficiente de Variação do experimento, a saber:
5,67%
Usando o teste F, foi notada uma diferença, desta forma iremos avaliar se essas diferenças são realmente consideráveis.
Estatística do teste de Tukey:
Quando é feita a análise de variância de um experimento com apenas dois tratamentos, podemos visualizar apenas pela média qual o melhor tratamento. Porém, quando há mais de dois tratamentos, fazendo apenas o teste de “f” (teste que mostra se existe diferença entre as médias dos tratamentos) não podemos indicar qual o melhor tratamento. Neste caso, é necessário aplicar um teste de comparação de médias dos tratamentos, daí podendo concluir qual o melhor tratamento.
Então os testes de comparação de média servem como  um complemento para o estudo da análise de variância. Há vários testes de comparação de médias, entre os quais podemos citar: teste de Tukey, teste de Duncan, teste de Scheffé, teste de Dunnet e teste de Bonferroni.
Teste de Tukey
-É um dos testes de comparação de média mais utilizados, por ser bastante rigoroso e fácil aplicação;
-Não permite comparar grupos de tratamentos entre si;
-É utilizado para testar toda e qualquer diferença entre duas médias de tratamento;
-É aplicado quando o teste “F” para tratamentos da ANOVA (análise de variância) for significativo.
* O teste de Tukey tem como base a DMS (diferença mínima significativa), representada no geral por ∆ .
Para calcularmos a estatística do Teste de Tukey, deve-se colocar as médias em ordem decrescente:
	m^c=
	29,56
	m^b=
	38,52
	m^a=
	39,64
	m^d=
	43,38
Iremos agora comparar duas a a duas, as medias acima:
	
	
	
	43,38-
	39,64=
	
	
	
	
	43,38-
	38,52 =
	
	
	
	
	43,38-
	29,56=
	
	
	
	
	39,64-
	38,52 =
	
	
	
	
	39,64-
	29,56=
	
	
	
	
	38,52-
	29,56=
	
(º) Existe uma diferença significativa entre as medias comparadas.
(N) Não existe diferença significativa entre as médias comparadas.
Com os resultados finais do Teste de Tukey, é possível observar que a maioria das médias apresentam diferenças significativas, as únicas comparações que estão de acordo ao nível de segurança são as comparações da média A com a média B e a média D com a média A.
Outra maneira de obter os resultados é utilizando o Excel, os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo:
	A
	B
	C
	D
	39,9
	38,1
	28,9
	40,8
	38,7
	38,6
	29,4
	41,5
	40,2
	38,9
	29,3
	44,9
	38,2
	38,3
	31
	40
	41,2
	38,7
	29,2
	49,7
	
	Anova: fator único
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	RESUMO
	
	
	
	
	
	
	
	
	Grupo
	Contagem
	Soma
	Média
	Variância
	
	
	
	
	39,9
	4
	158,3
	39,575
	1,895833
	
	
	
	
	38,1
	4
	154,5
	38,625
	0,0625
	
	
	
	
	28,9
	4
	118,9
	29,725
	0,729167
	
	
	
	
	40,8
	4
	176,1
	44,025
	18,51583
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	ANOVA
	
	
	
	
	
	
	
	
	Fonte da variação
	SQ
	gl
	MQ
	F
	valor-P
	F crítico
	
	
	Entre grupos
	430,5875
	3
	143,5292
	27,07672
	1,26E-05
	3,490295
	
	
	Dentro dos grupos
	63,61
	12
	5,300833
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Total
	494,1975
	15
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Conclusão
A partir dos valores obtidos na análise, pode se observar que o coeficiente de variação do experimento foi aproximadamente5,69%, apresentando uma diferença. Com a análise dessa diferença a partir do Teste de Tukey percebemos que ainda existe uma pequena diferença. Portanto, é necessário tomar cuidados necessários para que a qualidade seja mantida.