Fundamentos Básicos de Eletrotécnica

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FUNDAMENTOS BÁSICOS DE 
ELETROTÉCNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por 
Clovis Bombardelli, 
bombardelli@utfpr.edu.br 
 
 
Versão original: Junho / 2002 
1ª edição: Dezembro / 2009 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
Cotrim, A. A. M. B., Instalações Elétricas, 3a ed., Makron Books, São Paulo, 1993; 
Creder, H., Instalações Elétricas, 13 ed., LTC, Rio de Janeiro, 1997; 
Mamede Fo., Instalações Elétricas Industriais, 5a ed., LTC, Rio de Janeiro, 1997; 
Smith, J. Ralph, Circuitos, Dispositivos e Sistemas, Ed. Ao Livro Técnico 
(Capítulo 7 em diante) 
Watkins, A. J., Cálculo de Instalações Elétricas, Ed. Edgard Blücher, 2 vol. 
Vol 1: Parte 2 
Vol 2: todo 
 
 
 
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LEMBRETE 
 
 
 
O engenheiro como profissional, dentro de sua área de aplicação, deve ter competência para: 
 
 Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia; 
 Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados; 
 Conceber, projetar e analisar sistemas, produtos e processos; 
 Planejar, supervisionar, elaborar e coordenar projetos e serviços de engenharia; 
 Identificar, formular e resolver problemas de engenharia; 
 Desenvolver e/ou utilizar novas técnicas e ferramentas; 
 Supervisionar a operação e a manutenção de sistemas; 
 Avaliar criticamente a operação e a manutenção de sistemas; 
 Comunicar-se adequadamente nas formas escrita, oral e gráfica; 
 Atuar em equipes multidisciplinares; 
 Compreender e aplicar a ética e a responsabilidade profissional; 
 Avaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto social e ambiental; 
 Avaliar a viabilidade econômica de projetos de engenharia; 
 Assumir a postura de permanente busca de atualização profissional; 
 
 
Objetivos da Eletrotécnica: 
 
Fornecer subsídios técnicos ao aluno para entender a eletricidade, projetar instalações e efetuar 
manutenção de equipamentos elétricos, principalmente motores e iluminação em unidades 
industriais (projetar significa saber dimensionar corretamente todos os elementos de um circuito 
elétrico). 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Programação do conteúdo da disciplina de eletrotécnica: 
 
 1o bimestre 
 
 Definições fundamentais, unidades 
 Circuitos elétricos de corrente alternada em série 
 Circuitos elétricos de corrente alternada em paralelo 
 Circuitos elétricos mistos 
 Iluminação elétrica, células fotoelétricas. Normas de projeto. (NBR 5413) 
 
 
2o bimestre 
 
Circuitos polifásicos 
Transformação de energia elétrica em mecânica. Instalação de Motores 
Correção do fator de potência 
Proteção de circuitos e motores 
Dimensionamento de condutores. Normas de projeto. (NBR 5410) 
 
 
3o bimestre 
 
 Geradores. Associação de geradores. 
 Transformadores 
Conversores e retificadores 
 Segurança em eletricidade 
 Dispositivos semicondutores básicos 
 
 
4o bimestre 
 
 Eletroquímica aplicada 
 Eletrólise 
 Eletrodeposição de metais 
 
 
 
Trabalhos: 
 
Memorial de cálculo do projeto de iluminação industrial 
Memorial de cálculo do projeto de instalação de motores e dimensionamento dos circuitos 
Memorial de cálculo da estação alimentadora. Dimensionamento de transformador 
Dimensionamento do setor de eletrólise. Projeto elétrico industrial, (desenhos)
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1a aula: 
 
Objetivo: Introdução à eletricidade, definições fundamentais e variáveis envolvidas. 
 
Circuitos elétricos e seus elementos: 
 
Circuito elétrico é o caminho que as cargas elétricas seguem em sua totalidade, sendo sempre 
um caminho fechado, ou seja, as cargas sempre retornam ao ponto de partida, onde são novamente 
“empurradas” para frente. A função de “empurrar” as cargas elétricas cabe ao gerador, que na verdade 
apenas aumenta o estado de energia dos elétrons, impondo a eles uma diferença de potencial, fazendo 
com que eles circulem através do circuito. Em todo circuito, existirá sempre um ou mais pontos onde os 
elétrons recebem energia e um ou mais pontos onde eles perdem a energia. 
Aos elementos ligados aos circuitos, que também são chamados de dispositivos, pode-se 
encontrar: 
 
 Dispositivos geradores. Produzem a diferença de potencial, convertendo outra forma de energia 
em energia elétrica; 
 Disjuntores. Tem a finalidade de desconectar a eletricidade em caso de necessidade, para 
prevenir danos maiores aos dispositivos ligados ao circuito; 
 Interruptores. Tem a finalidade de permitir a qualquer pessoa, a desconexão segura dos 
dispositivos existentes num circuito da eletricidade; 
 Dispositivos consumidores. Tem a finalidade de converter a energia elétrica em qualquer outra 
forma de energia. 
 
Tipos de eletricidade: 
 
 CC (corrente contínua, estuda-se na física); 
 CA monofásica (corrente alternada com uma fase); 
 CA trifásica (corrente alternada, porém com três fases distintas). 
 
Natureza dos condutores e isolantes elétricos: 
 
São condutores: 
 
 Metais (elétrons livres conduzem a eletricidade); 
 Soluções eletrolíticas (íons conduzem a eletricidade); 
 Gases ionizados (íons conduzem a eletricidade); 
 Semicondutores (elétrons ativados ou em excesso na camada de valência do retículo cristalino 
conduzem a eletricidade, somente quando estes encontram um buraco portador no átomo 
vizinho); 
 Todos os demais materiais são mais ou menos isolantes, com pequenas exceções, sendo a grafite 
uma delas. 
 
Grandezas físicas envolvidas: 
 Quantidade de eletricidade (Q) coulomb, C 
 Corrente elétrica (I) ampère, A 
 Tensão (E) volt,V 
 Resistência elétrica, (R) ohm,
 Reatância indutiva (XL) ohm, 
 Reatância capacitiva (Xc) ohm, 
 Impedância (Z) ohm, 
 Condutância elétrica (G), siemens, S 
 Trabalho elétrico, energia elétrica, (W) joule, J ou kilowatthora, kWh 
 Potência, (P) watt, W 
 Frequência (f) hertz, Hz 
 Capacitância elétrica (C), farad, F 
 
 
 5 
Particularidades físicas: 
 
 Fase, adimensional; 
 Fator de potência, adimensional. 
 
Definições básicas: explicação sucinta das grandezas físicas envolvidas (variáveis de projeto) 
 
Quantidade de eletricidade ou carga elétrica: Assim como a unidade de massa (kg), de tempo (s) e de 
espaço (m), a quantidade de eletricidade (C) é uma unidade física fundamental, ou seja, não depende de 
outras grandezas. Por definição, a quantidade de eletricidade expressa a eletricidade que existem nos 
elétrons e este valor corresponde ao número 1,59 x 10 –19 C. 
 
Corrente elétrica: Quando um átomo adquire carga elétrica, sua tendência natural é voltar ao estado 
normal, ou seja, voltar a ser eletricamente neutro. Evidentemente, um corpo eletrizado tende a perder sua 
carga, libertando-se dos elétrons em excesso ou procurando receber para satisfazer a falta dos mesmos. 
Assim, é fácil concluir que, basta juntar dois corpos em situações elétricas diferentes para ter-se um fluxo 
de elétrons entre os mesmos, fluxo este que recebe o nome de corrente elétrica. Para se ter uma idéia 
exata da grandeza de uma corrente elétrica tornou-se necessário estabelecer um padrão, e, deste modo, 
fala-se do maior ou menor número de elétrons que passam por segundo num determinado ponto de um 
condutor, quando se quer dizer que a corrente é mais forte ou mais fraca. Define-se então como medida 
padrão de corrente elétrica o ampère, definido como a quantidade de eletricidade (coulomb) por segundo 
que flui num condutor 
 
Corrente elétrica é a quantidade de eletricidade que passa num condutor por unidade de tempo 
 
t
QI 
 (eq.1.1) 
 
Q = quantidade de corrente, em coulombs (C) 
t = tempo, em segundos (s) 
I = corrente elétrica, em ampère (A) 
 
Tensão: Sempre que um corpo é capaz de enviar elétrons para outro, ou dele receber estas partículas, 
dizemos que tem um potencial elétrico. Se um corpo A manda elétrons para um corpo B, diz-se que A é 
negativo em relação a B e, naturalmente, B é positivo em relação a A. Dois corpos entre os quais pode se 
estabelecer um fluxo de elétrons apresentam uma DIFERENÇA DE POTENCIAL. Esta diferença de 
potencial também é chamada de ddp, força eletromotriz, voltagem, pressão elétrica e tensão elétrica. 
De todos os termos, o último é mais empregado. A unidade é o Volt, simbolizada pela letra V. 
 
A tensão ou a diferença de potencial entre dois pontos é a causa da corrente elétrica 
 
Observação importante: Vê-se aqui que os elétrons sempre fluem do ponto mais negativo, onde existe 
excesso de elétrons, para o ponto mais positivo, onde ocorre a falta de elétrons. No entanto, para facilitar 
os cálculos, para evitar o uso de valores negativos, se convencionou tratar o ponto de maior potencial 
como sendo positivo, assim a corrente elétrica sempre flui do ponto de maior potencial (valor positivo) 
para o de menor potencial (valor negativo ou zero), que é de sentido contrário ao fluxo dos elétrons. 
 
A corrente elétrica tem sempre o sentido oposto ao fluxo dos elétrons. 
 
Resistência elétrica: A diferença fundamental entre os vários condutores e inclusive entre um condutor e 
um isolante é a maior ou menor resistência que um material oferece à passagem da corrente elétrica. 
Quanto menor for, mais condutor é o material, e no caso contrário, melhor isolante. A medida da 
resistência é dada em ohms. Esta resistência depende da natureza do material e das dimensões básicas do 
condutor ou isolante (área da seção transversal e comprimento) 
 
a
lR .
 (eq. 1.2) 
 
 
 6 
R= resistência elétrica, em ohm 
 resistividade específica do material, em ohm.mm2/m 
l = comprimento do condutor, em m 
a = área da seção transversal, em mm2 
 
A resistência de um condutor é diretamente proporcional à resistividade do material e ao 
comprimento do mesmo e inversamente proporcional à área da seção transversal 
 
Significa dizer que quanto maior o comprimento de um condutor maior será sua resistência, e, quanto 
maior for a área da seção transversal menor será sua resistência. A Resistividade do material também 
depende da temperatura em que o material se encontra, onde  é a taxa de incremento em oC, de 
acordo com a equação: 
 
)].(1.[ oo ttRR   (eq. 1.3) 
 
Resistividade do cobre: 0,0178 mm2/m a 15 oC  0,00393 oC 
Resistividade do alumínio: 0,028 mm2/m a 15 oC 0,00390 oC 
 
Observações: A resistividade pode se apresentar também com a unidade ohm.m. Neste caso, a área do 
condutor deve ser convertida para metros quadrados ao de ser aplicada na fórmula acima; 
Devido ao fato dos condutores reais terem área de seção transversal e material constante, sendo 
praticamente variável apenas o comprimento, para cada tipo de condutor é usual o fabricante apresentar, 
além de outros dados relevantes, a resistência específica do condutor, a qual tem como unidade básica 
ohm/m 
 
Reatâncias capacitiva, reatância indutiva e impedância: As dificuldades que a eletricidade tem para fluir 
dentro de um condutor aumentam quando a corrente é do tipo alternada, aparecendo outros tipos de 
impedimento devido à variação do campo elétrico e magnético formado ao longo de todo condutor. Estas 
oposições recebem o nome de reatância capacitiva e indutiva, respectivamente a variação do campo 
elétrico e ao campo magnético, sendo que o total de todas as oposições recebe então o nome de 
impedância. É importante notar que embora tais oposições tenham a mesma unidade, as mesmas não 
podem ser somadas algebricamente, conforme veremos mais adiante. 
 
Condutância: É o inverso da resistência, ou seja, a facilidade com que a eletricidade flui através de um 
condutor e é medida em siemens (S). 
 
R
G 1 (eq. 1.4) 
 
G = condutância, em siemens (S) 
R = resistência elétrica, em ohm (
 
Susceptância: É o inverso da reatância, tanto capacitiva como indutiva, e, da mesma maneira, é também o 
recíproco da reatância e é medida em siemens (S) 
 
X
B 1 (eq. 1.5) 
 
B = susceptância, em siemens (S) 
X = reatância elétrica, XC para reatância capacitiva ou XL para reatância indutiva, em ohm ( 
 
Admitância: É o inverso da impedância, ou seja, matematicamente é igual ao recíproco da impedância e 
também é medida em siemens (S) 
 
Z
Y 1 (eq. 1.6) 
 
Y = admitância, em siemens (S) 
Z = impedância elétrica, em ohm ( 
 7 
Trabalho e energia: Toda vez que um corpo se movimenta está sendo realizado um trabalho, o qual é 
calculado pela equação T=F.d. (força realizada x distância percorrida). Quando unimos com um condutor 
dois pontos entre os quais existe uma tensão elétrica, se estabelece uma corrente elétrica constituída por 
elétrons em movimento, e evidentemente realizando um trabalho, que pela sua natureza recebe a 
denominação de trabalho elétrico. Este trabalho produzido depende da quantidade de eletricidade 
conduzida, ou seja, quanto maior o número de “Coulombs” que percorrem o condutor, em conseqüência 
de uma determinada tensão aplicada aos seus extremos, maior será o trabalho realizado. Também é fácil 
concluir que quanto maior a tensão aplicada aos extremos do mesmo condutor, maior será a intensidade 
da corrente elétrica, portanto, maior será o trabalho. Para calcular quantitativamente o trabalho 
empregamos a fórmula fundamental 
 
QEW . (eq. 1.7) 
 
W = trabalho, em Joule (J) 
E = tensão elétrica, em V 
Q = Quantidade de eletricidade, em C 
 
O trabalho para transportar 1 Coulomb de eletricidade de um ponto a outro, entre os quais existe uma 
diferença de tensão de 1 Volt é chamado de Joule 
 
 
Vimos que: 
 
tIQ . (eq. 1.8) 
 
Por substituição, temos: 
 
tIEW ..
 (eq. 1.9) 
 
Observação: 
Energia é a capacidade de produzir trabalho. Quando dizemos que uma pilha tem energia, isto significa 
que ela é capaz de produzir um trabalho elétrico num condutor ligado aos seus terminais. Se a pilha, 
depois de algum tempo de uso, não pode produzir corrente no condutor dizemos que ela não tem mais 
energia, ou seja, capacidade de realizar trabalho. Ora, se o corpo só tem energia enquanto realizar 
trabalho é evidente que o máximo trabalho que ele poderá realizar corresponde ao máximo de energia que 
possui. Face ao exposto, designamos a energia gasta com as mesmas unidades de trabalho e utilizamos as 
mesmas equações para calcular o trabalho realizado. 
Lembrar também que a energia não é algo se gasta, mas sim se transforma em outras formas de energia, 
sendo que o trabalho realizado na verdade é o efeito útil da transformação de uma forma de energia em 
outra forma. 
Na verdade, quando se fala em gastar a energia, se trata de converter a mesma. 
Potência elétrica: Potência é a rapidez com que se gasta a energia, ou a rapidez com que se produz 
trabalho. Podemos dizer que é a energia gasta por unidade de tempo. 
 
t
WP  (eq. 1.10) 
 
P = Potência elétrica, em Watt (W) = J/s 
W = energia (ou trabalho), em J 
t = tempo, em s 
 
Observação: 
Consideremos alguns casos para o uso da palavra potência. No caso de um gerador, a potência elétrica é a 
energia que ele pode fornecer na unidade de tempo, ou o trabalho elétrico que ele pode realizar na 
unidade de tempo. Já a potência de uma lâmpada, valor que estamos habituados a ler nos bulbos das 
mesmas, significa a energia elétrica que é gasta pela lâmpada em cada unidade de tempo. 
Devido ao fato do joule e o watt serem muito pequenas para a maioria dos usos práticos, utilizam-se em 
seulugar múltiplos mais convenientes. É o KWh, que representa a energia de 1000 joules/segundo 
 8 
produzidos ou consumidos durante uma hora. Equipamentos que consomem ou produzem 1000 W a cada 
segundo, tem a potência de 1 KW. 
 
Outras unidades ainda usadas: Horsepower (HP) = 746 W 
 Cavalo-vapor (CV) = 736 W 
 
Rendimento ou eficiência: Sempre que um dispositivo qualquer é usado na transferência de energia, com 
ou sem transformação de um tipo para outro, como geradores de eletricidade, motores, transformadores, 
etc., uma parte da mesma energia é usada para fazer o próprio aparelho funcionar, constituindo o que 
chamamos de perda de energia. Assim, a relação entre a energia que o aparelho entrega (energia útil) e a 
energia que ele recebe (energia total) é o rendimento ou a eficácia do aparelho na transformação. 
Lembrando que a energia sempre se conserva, ou seja, não se perde nem se cria apenas se 
transforma e considerando que parte da energia é necessária ao funcionamento do aparelho, a qual 
normalmente se degrada em calor, que é uma forma de energia nem sempre desejada, fica fácil perceber 
que o rendimento de qualquer aparelho será sempre menor do que 1, (em termos percentuais, menor de 
100%). 
 
Frequência: Quando a corrente é alternada, isto significa dizer que a mesma varia em intensidade, ora 
subindo, ora descendo, e isto ocorre sucessivamente um número de vezes a cada tempo unitário. A 
medida desta alternação é a frequência com que a mesma ocorre e é medida em Hertz (Hz), que em 
termos físicos representa a quantidade de alternações por segundo 
 
Fase: Ao analisar duas oscilações alternadas distintas, de mesma frequência, as mesmas estão variando 
suas intensidades ao longo do tempo e estas alternâncias podem não ser sincronizadas, ou seja, quando 
uma sobe a outra sobe também. Chama-se fase ou também defasagem, ou também o ângulo de 
defasagem, o grau trigonométrico que existe entre as duas alternâncias. Quando estão em fase ambas 
passam pelo zero no mesmo instante. 
 
Anotações de aula: (anotar aqui todas as informações importantes comentadas em aula) 
 9 
2a aula: 
Objetivos: Corrente alternada, CA 
 
A maior parte da potência elétrica é gerada, transmitida e utilizada na forma de correntes alternadas em 
regime permanente. Também muito da comunicação da informação por fio ou rádio está na forma de 
sinais CA que variam em frequências de alguns ciclos por segundo até bilhões de ciclos por segundo. 
Certamente os mais comuns, mas não os mais difíceis, problemas encontrados na engenharia envolvem a 
análise de circuitos de CA e muitos livros foram escritos a respeito deste assunto. Estes são problemas 
práticos que surgem no projeto e na aplicação de equipamento elétrico. Eles são de interesse do 
engenheiro astronáutico no planejamento da instalação de um satélite transmissor, do engenheiro 
químico, na seleção de processos de controle remoto, do engenheiro de construção, no planejamento de 
uma linha de potência temporária, do engenheiro mecânico, na construção de um amplificador de 
vibração e do engenheiro industrial, no aperfeiçoamento do rendimento de uma instalação. Em resumo, 
no caso mais simples, o engenheiro deve pelo menos, saber projetar instalações de motores e iluminação e 
todos os seus acessórios. 
 
Diferenças fundamentais entre CA e CC (corrente alternada e corrente contínua): 
 
Na corrente contínua estão envolvidas basicamente as variáveis corrente, tensão e resistência, enquanto 
que em corrente alternada surgem novas variáveis decorrentes da sua própria natureza oscilante. São a 
frequência, a amplitude, a fase, corrente média e o fator de potência. Surgem também como oposição 
ao fluxo da corrente a reatância capacitiva e a reatância indutiva. Para o cálculo da queda de tensão 
em cada dispositivo usa-se a impedância. 
 
A corrente alternada mais simples que pode existir é aquela que apresenta tanto a corrente como a tensão 
oscilando na forma de uma onda senoidal em relação ao tempo. Esta onda é obtida pela componente 
vertical de um vetor girando em sentido anti-horário com uma velocidade angular constante igual a 
conforme mostrado na fig. 1. Uma revolução completa do vetor recebe o nome de ciclo e o intervalo de 
tempo que este ciclo necessita para se completar recebe o nome de período (T). A quantidade de ciclos 
que ocorrem por segundo recebe o nome de frequência (f), a qual é matematicamente igual ao recíproco 
do período. A unidade usada para a frequência é o hertz (Hz), seus múltiplos e submúltiplos. 
Figura 1 – onda senoidal 
 10 
Um ciclo completo percorre um ângulo total de  radianos. A velocidade angular do vetor é igual a f. 
Se o comprimento total do vetor é Vp, o valor instantâneo em qualquer tempo t é denominado de 
amplitude, igual a: 
 
).(. tsinVv p  (eq. 2.1) 
 
Onde: 
v = valor instantâneo da amplitude da onda senoidal 
Vp = comprimento do vetor giratório ou também denominado pico da amplitude 
= velocidade angular do vetor giratório 
t = tempo, em segundos 
 
Frequência: 
 


2
f (eq. 2.2) 
 
onde: 
f= frequência, em Hertz (Hz) 
 velocidade angular do vetor girante, em rad/s 
 
 
 
Figura 2 – defasagem entre duas ondas senoidais de mesma frequência 
 
Duas ondas senoidais que têm a mesma frequência, mas passam pelo zero em tempos diferentes são ditas 
fora de fase. O ângulo formado entre os dois vetores é chamado de ângulo de fase. Conforme mostra a 
figura 2, a voltagem v2 está adiantada em relação à v1, porque esta passa antes pelo ponto zero, e a 
diferença de fase é o ângulo. A onda senoidal da voltagem é completamente descrita pela sua frequência 
e sua amplitude independentemente de ser comparada com outro sinal de mesma frequência. Quando isto 
acontece a equação 2.1 deve-se ser substituída pela equação abaixo, mais geral, que inclui o ângulo de 
defasagem 
 
).(.   tsinVv p (eq. 2.3) 
 
Não é muito conveniente a combinação de ondas senoidais para a resolução gráfica de circuitos CA. É 
muito mais prático o emprego de vetores para a representação das grandezas senoidais que variam 
com o tempo. Conforme mostrado na fig. 1, uma senóide pode ser considerada como o 
desenvolvimento de um vetor de módulo invariável, que gira em sentido contrário ao dos ponteiros de 
um relógio, com velocidade angular constante  

Valor médio da corrente e tensão: 
 
Na corrente alternada existem duas ondas senoidais que podem ou não estarem defasadas entre si, tendo 
as seguintes equações: 
 11 
).(.
).(.




tsinVv
tsinIi
p
p
 (eq. 2.4) 
 
Estas equações fornecem a corrente e tensão instantâneas para qualquer valor de t, no entanto, para efeitos 
práticos, em corrente alternada, inclusive para cálculo da potência dissipada, deve ser usada o valor da 
corrente média que flui através de um condutor. Ou seja, o valor efetivo da corrente alternada é aquele 
que produz o mesmo efeito térmico de um resistor, quando o mesmo atravessado por uma corrente 
contínua deste valor. Para determinar este valor, o efeito térmico de uma corrente alternada é calculada 
pela média de todos os infinitos valores de I ao longo de um ciclo completo. O valor da corrente média do 
ciclo também conhecido como corrente RMS, é calculado pela relação: 
 
2
pII  (eq. 2.5) 
 
2
pVV  (eq. 2.6) 
 
Onde: 
I = corrente média quadrática (rms) 
Ip = corrente de pico 
V = tensão média quadrática (rms) 
Vp = tensão de pico 
 
De acordo com a fórmula acima, o valor efetivo da corrente alternada senoidal é simplesmente igual o 
valor de pico dividido pela raiz quadrada de 2 e este valor também é conhecido como valor RMS (root 
mean square ou média quadrática). Os aparelhos de medidas tanto de tensão, como de corrente são 
calibrados para mostrar este valor, senão a leitura destasvariáveis não seria obtida em aparelhos simples, 
tais como voltímetros e amperímetros comuns. 
Figura 3 – oscilação senoidal da tensão, corrente e potência 
 
Fator de potência: 
 
Supondo que a corrente e a tensão em alguma porção de um circuito elétrico seja dado pelas equações 
2.3, onde o ângulo de fase foi introduzido para prever a possibilidade existir defasagem entre a tensão e a 
corrente. A potência instantânea p é dada por: 
 
).()..(...   tsintsinIVivp pp (eq. 2.7) 
 
De acordo com esta equação, a potência instantânea nesta parte do circuito varia com o tempo e pode 
inclusive tornar-se negativa, como ilustrada na fig. 3. Interpretando esta potência negativa resulta que 
 12 
durante estas partes do ciclo, esta parte do circuito fornece energia ao restante do circuito, ou seja, durante 
estes intervalos de tempo o circuito passa de consumidor a fornecedor de energia. A equação acima, 
depois de integrada ao longo de um ciclo completo, fornece a equação: 
 
 coscos
2
. VIIVP pp  (eq. 2.8) 
 
Onde: 
P =potência total média de um ciclo completo 
V = valor médio (rms) para a tensão 
I = Valor médio (rms) para a corrente 
cos = fator de potência 
 
A existência do fator de potência na equação acima indica que a potência útil de um circuito CA não 
depende somente da tensão e da corrente, mas também da fase que existe entre a tensão e a corrente. 
Notar que quando o angulo de fase entre ambos for de 90 graus, o fator de potência é zero e devido a esse 
fato, a potência útil também será zero. Quando ambas estiverem em fase, o fator de potência é unitário, 
sendo então a potência idêntica àquela obtida com a corrente contínua. 
 
Reatância capacitiva: 
 
A reatância capacitiva aparece quando existem capacitores ligados no circuito. Capacitor são elementos 
elétricos formados por duas placas condutoras isoladas entre si ligadas cada uma a um dos pólos do 
circuito. A capacidade de um capacitor é dada pela equação 
 
CVQ  (eq. 2.9) 
 
Onde: 
Q = Quantidade de eletricidade armazenada nas placas, em coulomb 
C = capacitância, em farad 
V = Tensão aplicada nas placas, em volt 
 
Que em forma infinitesimal fica 
 
dt
dVC
dt
dQi  (eq. 2.10) 
 
Todo capacitor tem uma propriedade elétrica chamada de capacitância (C), a qual depende da geometria 
que existe entre as placas do capacitor, e esta é importante num circuito CA, porque a tensão varia com a 
carga do capacitor e consequentemente com a corrente. Integrando a equação diferencial acima para uma 
alternância senoidal, e substituindo-se a tensão e corrente de pico pelos respectivos valores RMS, obtém-
se: 
 
I
C
V

1
 (eq. 2.11) 
 
Onde: 
V = tensão nos terminais do capacitor 
Icorrente 
 
A equação acima mostra que a corrente alternada num capacitor incrementa a tensão alternada aplicada, 
analogamente à equação de Ohm para resistores (V = R.I). O fator de proporcionalidade que aparece na 
equação (1/C) é chamado de reatância capacitiva. Funciona analogamente ao cálculo da resistência da 
lei de Ohm, exceto pelo fato que a mesma diminui com o aumento da frequência. A unidade de medida 
para a reatância também é o Ohm, pois pela equação vemos que se trata da mesma grandeza usada pela 
lei de Ohm, ou seja, a queda de tensão por unidade de corrente que flui no condutor, a qual recebe o nome 
específico de Ohm (). Sabe-se que a tensão aplicada entre as placas de um capacitor é zero quando a 
 13 
corrente de carga é máxima, e vice-versa. Num circuito CA com capacitância pura, VC e I estão sempre 
defasados 90o, onde a corrente está sempre adiantada em relação a VC. 
 
C
XC

1
 (eq. 2.12) 
 
IXV C. (eq. 2.13) 
 
Num capacitor, a ddp entre as placas é zero quando a corrente é máxima e vice-versa. Portanto, EC 
e I estarão sempre defasados 90o elétricos. 
 
Reatância indutiva: 
 
Toda corrente elétrica é acompanhada de campo magnético que aparece ao redor do condutor. Alterações 
no campo magnético provocam alterações na corrente e vice-versa. Ou seja, toda variação na corrente de 
um condutor elétrico provoca a variação do campo magnético, que por sua vez, induz no condutor uma 
tensão induzida, a qual se opõe ao movimento dos elétrons, e esta tensão é dada pela expressão: 
 
dt
diLv  (eq. 2.14) 
 
Onde: 
v = tensão induzida, em Volt 
L = indutância, em henrie 
di/dt = variação da corrente em função do tempo 
 
A indutância, assim como a capacitância, também depende de fatores geométricos e das propriedades 
magnéticas dos materiais usados. A tensão induzida sempre atua de maneira a se opor a variação da 
corrente e aumenta com a taxa de incremento da corrente. A indutância em circuitos simples é pequena o 
suficiente para ser usualmente desprezada, exceto nos circuitos de alta frequência, onde ela adquire 
valores que não podem ser desprezados. Integrando a equação acima e substituindo-se os valores de pico 
pelos correspondentes valores RMS tem-se: 
 
LIV  (eq. 2.15) 
 
Esta equação mostra que a corrente alternada num indutor se incrementa com o aumento da tensão, 
novamente, da mesma forma que a Lei de Ohm para os resistores. A quantidade L recebe o nome de 
reatância indutiva e também é medida em Ohm. Notar que ao contrário da reatância capacitiva, esta 
aumenta com o aumento da frequência. Sabe-se que a indutância no circuito retarda o crescimento e a 
queda da corrente e sabe-se que a tensão de auto-indução é máxima quando a corrente de carga é zero, e 
vice-versa. Num circuito CA com indutância pura, VC e I estão sempre defasados 90o, onde a corrente está 
sempre atrasada em relação a VC. 
 
LXL  (eq. 2.16) 
IXV L .
 (eq. 2.17) 
 
A indutância num circuito retarda o crescimento e a queda de tensão e a força eletromotriz de auto-
indução é máxima quando I é igual a zero e vice-versa. Portanto, EL e I estarão sempre defasados 
90o elétricos. 
 
Impedância: 
 
Em todo e qualquer dispositivo elétrico, inclusive um simples condutor terá a ele associado, uma 
resistência elétrica, que depende da natureza do material usado na construção e uma reatância indutiva ou 
capacitiva ou muitas vezes ambas, as quais dependem unicamente da forma e da geometria usada na 
construção do dispositivo. A simples soma algébrica entre elas não é possível, pois a reatância sempre 
atua perpendicularmente em relação à resistência, formando sempre um triângulo retângulo. Fisicamente, 
isto significa dizer que a reatância tende sempre a defasar a corrente em relação à tensão, num máximo de 
 14 
90o. A reatância indutiva tende a atrasar a corrente em relação à tensão, enquanto que a reatância 
capacitiva faz o contrário, avança a corrente em relação à tensão. O ângulo de defasagem é o angulo 
formado entre a resistência elétrica e a reatância total do dispositivo, e a impedância é a soma vetorial de 
ambos os fatores, calculada pela equação: 
 
22 XRZ  (eq. 2.18) 
 
Onde 
R
X
arctan (eq. 2.19) 
 
ou também 
 
Z
X
arccos (eq. 2.20) 
 
 
Potência reativa: 
 
Desde que a potência em uma resistência é proporcional ao quadrado da corrente ou tensão, a potência é 
sempre positiva e a energia é dissipada através do ciclo inteiro. Em contraste, a indutância e a 
capacitância armazenam, mas não dissipam energia. Quando a corrente através de uma indutância está 
crescendo, a energia é transferida do circuito para o campo magnético, mas quando a corrente decresce, 
esta energia retorna. Similarmente, quando a tensão através de uma capacitância está aumentando, a 
energia é transferida para o campo elétrico e a potência é positiva. Quando a tensão diminui, esta energia 
retorna e a potência é negativa. A potência reativa recebe a unidade VAR (volt-ampère reativo) 
 
Potência aparente: 
 
A potência aparenteé medida em VA ou kVA (volt-ampère ou quilovolt-ampère). Pode-se visualizar a 
potência aparente no triângulo de potência, correspondendo à hipotenusa do mesmo, matematicamente 
pode ser entendida como uma quantidade complexa, com uma componente real igual à potência útil e 
uma componente imaginária igual à potência reativa. A potência aparente é uma medida prática da 
capacidade de um equipamento de CA. Em um transformador utilizado para abaixar a tensão a partir de 
um potencial de 4000 V até um potencial de 120 V, a saída admissível é limitada pelo aquecimento do 
transformador devido às perdas. Estas são determinadas pela tensão e pela corrente, e não são afetadas 
pelo fator de potência. O tamanho do transformador, requerido para alimentar uma carga industrial é 
determinado pela corrente aparente em Volt-ampère ao invés de pela potência em Watts. 
 
Potência útil: 
 
É aquela que realmente é convertida em trabalho elétrico. Esta potência é medida em W (Watt). Podemos 
entender melhor a eletricidade se pensarmos que parte da corrente que circula num condutor, irá produzir 
um trabalho útil e outra parte é armazenada no campo magnético e no campo magnético, sem gerar 
trabalho, mas esse acréscimo na corrente irá sempre implicar numa maior perda por calor gerado no 
condutor e também exigir mais do equipamento que “gera” a energia. 
 
Exemplo: 
Uma carga industrial consiste de um aquecedor elétrico de 30 kW e motores de indução de 150 kVA, 
operando com um fator de potência em atraso igual a 0,6. A potência é fornecida à instalação a partir de 
uma rede de 4000 V. Determinar a corrente total e o fator de potência da instalação. 
 
Considerando que um aquecedor opere com resistências elétricas e estas normalmente tem uma 
indutância e capacitância desprezíveis ou quase, portanto, considera-se que as mesmas tenham um fator 
de potência igual a 1. Os motores, ao trabalharem com fator de potência de 0,6, têm uma potência útil de 
90 kW e uma potência reativa de 120 kVA. Somando as componentes, tem-se potência útil total igual a 
90+30 = 120 kW, e potência reativa igual a 120+0 = 120 kVAr, cuja soma vetorial irá fornecer um valor 
de 170 kVA e um fator de potência combinado de 0,71. A corrente nesta instalação é: 
 
 15 
A
kV
kVA
V
PA 5,42
4
170
 
 
Para alimentar esta instalação a companhia de força local deve instalar um transformador capaz de 
fornecer 170 kVA, (isto desprezando a margem de segurança para sobrecargas) e fios suficientemente 
grossos para conduzir 42,5 A. Em adição aos 120 kW de potência fornecidos à instalação, a companhia de 
força deve gerar energia para suprir as perdas I2R em todos os equipamentos de geração, transmissão e 
distribuição. 
Para fornecer a mesma energia a uma instalação que operasse com fator de potência igual a 1, seria 
requerido apenas um transformador de potência de 120 kVA e fios nominais para apenas 30 A. As perdas 
na geração, transmissão e distribuição também serão menores. É razoável esperar que o preço da energia 
a esta segunda instalação seja menor refletindo o custo mais baixo para a companhia de força. Devido a 
tal fato, deve-se sempre em nome da economia, procurar deixar as instalações sempre com fator próximos 
da unidade. Algo em torno de 0,85 a 0,92. 
 
Anotações de aula: 
 16 
3a aula: 
Circuitos monofásicos em CA 
 
Os circuitos em CA, tanto em série, como em paralelo, apresentam as mesmas características gerais dos 
circuitos em CC, ou seja, 
 
Circuito em série: 
 
 A intensidade de corrente é a mesma em qualquer parte do circuito; 
 A tensão aplicada ao circuito é igual à soma das tensões parciais nos diversos elementos do mesmo. 
Entretanto, em CA a soma em apreço é vetorial; 
 A impedância total ou equivalente é a soma das impedâncias parciais. Na determinação da 
impedância total, associamos primeiro as resistências, indutâncias e capacitâncias, e, então, 
representamos a indutância na forma polar ou binômia. Às vezes, não são conhecidos os valores das 
resistências, indutâncias e capacitâncias parciais, mas são oferecidos os valores das impedâncias dos 
diversos elementos do circuito, o que facilita ainda mais o cálculo da impedância total, resumindo-se 
numa simples soma vetorial de quantidades conhecidas. 
 
nT ZZZZZ  ...321 (eq. 3.1) 
 
Onde: 
ZT = impedância total do ramo ou circuito em série, e é igual a soma de todas as impedâncias parciais 
existentes no ramo 
 A queda de tensão no ramo em série é dada pela equação 
 
IZV T. (eq. 3.2) 
 
Onde: 
ZT = impedância do ramo em série 
 
 Dissipa ou converte maior energia, de todos os dispositivos presentes num circuito, aquele que 
apresentar a maior impedância. 
 
Observação: Num circuito em série, nas representações gráficas, se usa sempre a corrente como 
referência. 
 
Circuito em paralelo: 
 
 A tensão aplicada em cada elemento do circuito é sempre a mesma; 
 A corrente total aplicada ao circuito é igual a soma das correntes parciais de cada elemento, 
novamente lembrando que em CA, a soma deve ser vetorial; 
 A o recíproco da impedância total ou equivalente é igual à soma dos recíprocos das impedâncias 
parciais, conforme a equação abaixo 
 
 
nT
nT
YYYYY
ZZZZZ


...
1
...
1111
321
321 (eq. 3.3) 
 
 A queda de tensão é dada pela equação 3.2 
 
IZV T. 
 
Onde: 
ZT = impedância total do circuito 
 
 Dissipa ou converte maior energia o dispositivo, aquele que apresentar a menor impedância. 
 
 
 17 
E
ER
 
 
 
Circuito monofásico em série RC: (filtro passa-alta) 
 
 
Neste circuito, R e C simbolizam, respectivamente, a resistência equivalente e a capacitância equivalente 
do circuito, e E é a tensão fornecida ao circuito. Notar que E compõe-se sempre de dois pontos onde um 
deles tem o potencial alto e o outro o potencial baixo ou geralmente considerado igual a zero, também 
designado como terra. A dificuldade encontrada pela fonte para estabelecer uma corrente elétrica é 
determinada pela soma vetorial de R e XC. A queda de tensão que ocorre em cada elemento é proporcional 
a sua oposição e ao quadrado da corrente que nele circula. Assim, neste circuito, na resistência R ocorre a 
queda de potencial ER e no capacitor a queda de potencial é EC. No entanto em CA, a tensão elétrica é 
uma entidade física vetorial, e esta deve ser considerada como tal. A soma das quedas parciais de tensão 
em cada elemento do circuito nunca pode ser feita de forma algébrica, mas vetorialmente. Podemos 
representar as tensões do circuito acima como um triângulo retângulo como mostrado na figura abaixo: 
 
22
LR EEE  
 
A tensão E é a soma vetorial das componentes ER e EC. Podemos também representar vetorialmente as 
tensões do circuito num sistema de eixos cartesianos tomando como referência, a corrente, que por sua 
vez é representada no eixo horizontal, devido ao fato da mesma ser, num circuito em série, igual em 
qualquer parte do circuito. Assim, o vetor resultante mostrará por sua vez, o valor de cada componente e o 
angulo de defasagem da tensão em relação à corrente (eixo x), observando que neste tipo de circuito a 
corrente fica sempre adiantada em relação à tensão. Devido a esse fato, diz-se que circuitos capacitivos 
apresentam sempre fator de potência adiantado. 
 
Considerando que 
22 )( C
R
XR
R
E
E

 (eq. 3.4) 
 
C
XC

1
 (eq. 3.5) 
 
 depende da frequência. Ao plotar a expressão 3.4, em função da frequência, verifica-se que a tensão ER 
é muito pequena em baixas frequências e é igual à entrada para valores de alta frequência, conforme 
mostra a fig. abaixo. Devido a este fato, este tipo de circuito leva o nome de filtro passa-alta, e a 
frequência onde ocorre fRCé chamada de frequência de meiapotência. 
 
Filtro passa-alta 
 18 
Circuito monofásico em série RL: (filtro passa-baixa) 
 
Neste circuito, R e L, simbolizam, respectivamente, a resistência equivalente e a auto-indução equivalente 
do circuito. A impedância deste circuito é a soma vetorial de R e XL. A tensão aplicada ao circuito é a 
soma vetorial de ER e EL e o valor do angulo de defasagem depende da razão entre os valores R e XL. 
Novamente, como nos circuitos em série capacitivos, podemos representar as oposições, as tensões e 
também as potências na forma de triângulo retângulo 
 
Como se pode observar, ao representar as tensões deste circuito num sistema de coordenadas cartesianas, 
a tensão EL atrasa a corrente em relação a E, e isto mostra que um circuito indutivo sempre se opõe a um 
circuito capacitivo. Devido a esse fato, diz-se que circuitos indutivos apresentam sempre fator de 
potência em atraso. 
 
Considerando que 
22 )( LR
R
E
ER

 (eq. 3.6) 
LXL  (eq. 3.7) 
 
 depende da frequência. Ao plotar a expressão 3.6, em função da frequência, verifica-se que a tensão EL 
é muito pequena em baixas frequências e é igual a entrada para valores de alta frequência, conforme 
mostra a fig. abaixo. Devido a este fato este tipo de circuito leva o nome de filtro passa-baixa, e a 
frequência onde ocorre 
 
12 
R
fL
 é chamada de frequência de meia potência. 
 
 
Filtro passa-baixa 
 
 
E
ER
 19 
Circuito monofásico em série RLC: 
Neste circuito, três situações podem ocorrer: 
 
 
 
Circuitos monofásicos em paralelo e mistos: 
 
 Circuito em paralelo circuito paralelo misto 
 
Na resolução dos circuitos em paralelo é conveniente trabalhar com a admitância. Ao fazermos 
representações gráficas é conveniente tomar a tensão como referência, visto que esta grandeza apresenta o 
mesmo valor entre os terminais de todos os ramos do circuito. Na resolução dos circuitos mistos devem 
ser aplicados, onde couberem os conhecimentos referentes aos circuitos em série e em paralelo. 
 
O problema da ressonância: 
 
Quando é estabelecida a igualdade entre a reatância indutiva e a reatância capacitiva,
 
dizemos que o 
circuito está em ressonância. Para os circuitos em série, implica dizer que existirá a igualdade entre as 
tensões EC e EL, enquanto que nos circuitos em paralelo existirá a igualdade entre as correntes IC e IL. Esta 
condição é desejável em vários circuitos usados na eletrônica, mas pode trazer conseqüências 
desagradáveis, com danos para os elementos de um circuito, quando não é prevista. Sabemos que a 
 20 
reatância indutiva é diretamente proporcional à frequência e que a reatância capacitiva depende 
inversamente da mesma. Assim, quando alimentamos um circuito com uma fonte CA e fazemos a 
frequência variar desde um valor praticamente nulo até um valor alto, podemos observar o crescimento da 
reatância indutiva e a queda da reatância capacitiva. Numa determinada frequência as duas grandezas 
tornam-se iguais e o circuito apresentará então características especiais que correspondem à condição 
denominada ressonância. A equação para o cálculo da frequência de ressonância é dada pela expressão: 
 
LC
fr
2
1
 (eq. 3.9) 
 
Na condição de ressonância, tem-se: 
 
Para os circuitos em série: 
 A impedância do circuito ou da malha torna-se mínima, ficando reduzida ao valor da resistência; 
 A intensidade de corrente é máxima, como conseqüência do exposto no item anterior; 
 O circuito torna-se resistivo; 
 Toda energia aplicada ao circuito é gasta para vencer sua resistência; 
 
Para os circuitos em paralelo: 
 A impedância do circuito ou da malha torna-se máxima, ficando novamente igual ao valor da 
resistência; 
 A intensidade de corrente é mínima; 
 O circuito torna-se apenas resistivo; 
 Toda energia aplicada ao circuito é gasta para vencer sua resistência; 
 
Correção do fator de potência: 
 
O fator de potência de um circuito deve ser mantido aproximadamente igual a 1. Isto, porque um fator de 
potência muito baixo implica no encarecimento da instalação e em maiores perdas nos condutores, pois 
são necessárias maior corrente e maior potência aparente para a obtenção de uma determinada potência 
real, o que se pode concluir observando a expressão abaixo: 
cosE
PI  (eq. 3.10) 
 
Onde: 
I = corrente, em ampère (A) 
P = potência , em Watt (W) 
cos  = fator de potência, adimensional 
 
A tensão aplicada aos circuitos industriais, nas residências e nas fábricas é constante, e, portanto, a 
corrente fornecida aos mesmos pode ser demasiado elevada, se o fator de potência for muito baixo. O 
grande número de aparelhos indutivos (motores, lâmpadas fluorescentes, máquinas de soldar) 
normalmente usados nas instalações industriais exige, pela legislação em vigor com relação ao 
fornecimento de energia elétrica, que se corrija este fator para um valor entre 0,85 a 0,92, através do 
acoplamento de capacitores ligados em paralelo com os elementos causadores do baixo fator. 
 
Anotações de aula: 
 
 
 21 
Vetores e quantidades complexas: (complemento da 3a aula) 
 
Quando se fala do comprimento de um corpo, de sua massa ou ainda do seu volume, nada mais é 
necessário que o valor numérico de cada uma dessas grandezas, acompanhado da respectiva unidade, para 
que se tenha uma idéia exata do que se deseja informar. Grandezas desse tipo são chamadas 
ESCALARES. Outras grandezas, chamadas VETORIAIS, só são perfeitamente entendidas quando delas 
conhecemos além do valor numérico, o sentido, o ponto de aplicação e a direção segundo a qual a 
grandeza atua. Como exemplo pode-se citar a aplicação de uma força a um corpo, onde só é possível 
saber o que acontece a esse corpo, quando se conhece o valor da força, a direção e o sentido da aplicação 
desta força. Da mesma forma, não podemos dizer que dois carros têm a mesma velocidade somente 
porque as leituras dos seus velocímetros são iguais. Isto, porque seus movimentos podem ter direções e 
sentidos diferentes. 
 
Grandezas vetoriais são representados graficamente com o auxílio de segmentos de retas orientadas, às 
quais chamam-se VETORES. O Comprimento do segmento de reta representa em escala, o valor 
numérico (em módulo) da grandeza vetorial, enquanto a flecha fornece o sentido e ângulo formado com 
uma reta de referência fornece a direção segundo a qual a grandeza atua. É importante fazer a distinção 
entre direção e sentido, lembrando aqui que cada direção (horizontal ou vertical) admite sempre dois 
sentidos. A notação usual para designar um vetor, com letras maiúsculas acompanhadas de uma flecha ou 
um ponto superior ou simplesmente uma letra maiúscula em negrito, à qual se lê, como exemplo para E

, 
“Vetor E”. 
Para combinar vários vetores num único equivalente, deve-se observar vários casos particulares: a) 
Quando todos os vetores componentes tem a mesma direção, o vetor equivalente é obtido pela soma 
algébrica dos componentes, onde vetores de mesmo sentido são somados e vetores de sentido oposto são 
subtraídos; b) Quando os vetores componentes tem direções diferentes, o vetor resultante pode ser obtido 
construindo-se um paralelogramo com as direções dos vetores componentes e traçando-se a diagonal a 
partir do ponto comum aos vetores componentes, conforme mostrado abaixo. 
 
A soma de três ou mais vetores de direções diferentes é obtida compondo-se dois vetores componentes 
quaisquer, a cada vez, para em seguida somar o primeiro resultado com o próximo componente, e assim 
sucessivamente até o último, conforme mostrado abaixo: 
 
Outra forma de se obter o vetor resultante, de uma maneira mais genérica, é decompor cada vetor 
componente em suas coordenadas cartesianas, as quais cada qual em sua direção, podem ser somadas, 
para no final reconverter parao vetor resultante, cujas coordenadas é a soma das coordenadas dos 
vetores componentes. 
 22 
Vetores em coordenadas polares: 
 
Um vetor pode ser expresso pela grandeza e pelo ângulo que forma com um eixo de referência. Definido 
deste modo, diz-se que está na FORMA POLAR ou em COORDENADAS POLARES. 
Na figura acima temos o vetor E, que forma um angulo  com o eixo horizontal positivo, normalmente 
tomado como eixo de referência. Para representar um vetor na forma numérica, pode escrever o valor do 
módulo seguida do ângulo separado por ponto-e-vírgula. 
 
Vetores em coordenadas retangulares (cartesianas): 
 
Um vetor também pode ser representado pelas suas projeções (componente horizontal e vertical) num 
sistema de coordenadas retangulares. 
 
 
 
Para indicar os valores destas sem fazer o desenho, utilizamos o operador j para operações no plano, e os 
operadores j e k para operações em 3 dimensões. 
 
Considerando a figura: 
 
 
 
onde tem-se o vetor I sobre o eixo de referência, à direita do eixo vertical. O mesmo vetor colocado no 
eixo horizontal à esquerda do eixo vertical e designado por –I. Isto significa que para fazer um vetor girar 
180o no sentido considerado positivo basta multiplicar o vetor por –1. E se desejássemos que o vetor se 
deslocasse apenas em 90o? Sabemos que –1 é o mesmo que 11  e, portanto, podemos dizer que 
multiplicando um vetor por 1 e em seguida novamente por 1 este gira em 180o. Se este vetor for 
multiplicado somente por 1 ele será deslocado apenas em 90o. A expressão 1 , simbolizada pela 
letra j (ou k) é conhecida como um operador, qualquer vetor multiplicado por j experimenta uma rotação 
de 90o, no sentido positivo convencionado. 
 
 23 
De acordo com as expressões abaixo, um vetor situado sobre eixos vertical e horizontal será designado 
em conformidade com a figura abaixo: 
 
Vê-se que o operador j, sob o ponto de vista não matemático, é um simbolo que, acompanhando um vetor, 
serve para indicar sua posição num sistema de eixos retangulares. Se a letra (ou o valor) correspondente 
ao vetor está acompanhada de +j, sabe-se que o vetor está no eixo vertical para cima. Se está precedida de 
–j, sabe-se que está no eixovertical para baixo. Sem o j, está no eixo horizontal, à direita ou à esquerda 
dependendo do sinal. A representação do vetor na forma retangular também chamada BINÔMIA ou 
COMPLEXA, é feita conforme mostram os exemplos abaixo: 
 
 
Sabe-se que: 


EsinEV
EEH

 cos
 


IsinI
II
V
H

 cos
 
 
 
Logo, pode-se escrever que: 
 


jIsinII
jEsinEE


cos
cos


 
 
Conversão da forma polar para a forma retangular e vice-versa: 
 
As componentes cartesianas de um vetor, num sistema de eixos retangulares, formam com o próprio vetor 
um triângulo retângulo, o que nos permite escrever as expressões abaixo, relativas aos MÓDULOS dos 
vetores. 
III
EEE
VH
VH
22
22


 
 24 
Os argumentos (ângulos) dos vetores em questão podem ser determinados a partir da tangente, o que se 
faz do seguinte modo: 
 
I
Iarctg
E
Earctg
H
V
H
V




 
 
Operações com vetores na forma polar: 
 
Não é possível somar ou subtrair quantidades vetoriais na forma polar. Primeiramente devem ser 
convertidas na forma retangular ou binômia e, em seguida, efetuadas as operações com suas componentes 
cartesianas. Entretanto, a multiplicação e a divisão de vetores na forma polar são possíveis e bastante 
simples. Para multiplicar, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos, como no exemplo abaixo: 
 




5;24)5)20(10(;24423
5;4
20;2
10;3
CBA
C
B
A




 
 
Para dividir, basta efetuar a divisão indicada com os módulos. O argumento do quociente é igual ao 
argumento do dividendo menos o do divisor. 
 



90;5)12030(;
20
100
120;20
30;100
B
A
B
A




 
 
Operações com vetores na forma retangular: 
 
A soma, a subtração e a multiplicação de vetores nesta forma obedecem às regras da álgebra. Isto porque 
as componentes ortogonais de todos os vetores ficam convertidas em vetores que atuam na mesma 
direção, podendo, portanto, serem somados algebricamente. 
 
Exemplos: 
 
Soma: Somar os vetores 15+j20, -2+j4 e –3-j2 
 15 + j 20 
- 2 + j 4 
- 3 - j 2 
 10 + j 22 
 
Subtração: Subtrair do vetor 5 – j 4 o vetor 3 – j 2 
 5 – j 4 
- 3 + j 2 (deve-se inverter os sinais. –(3-j2)=-3+j2 ) 
2 – j 2 
 
Multiplicação: Na multiplicação, usa-se a multiplicação binomial 
Multiplicar 2 + j 4 por 3 – j 5 
(2 + j 4) (3 – j 5) = 6 – j 10 + j 12 – j2 20 = 26 + j 2 ( lembrar que j2 = -1) 
 
 25 
Divisão: A divisão de dois vetores é determinada pela aplicação do princípio de racionalização, 
isto é, multiplicando os termos da divisão pelo conjugado do divisor. 
Dividir 36 + j 12 por 8 – j 4 
33
80
240240
1664
4896144288
48
48
48
1236
48
1236
2
2
jj
j
jjj
j
j
j
j
j
j














 
 
Anotações de aula: 
 
 26 
4a aula: 
Circuitos monofásicos em CA – exercícios diversos 
 
Saber projetar instalações exige do projetista saber dimensionar corretamente todos os elementos 
de uma instalação. Para tal é necessário muitas vezes se obter dados através de relações conhecidas 
e mediante cálculos como aqueles aqui apresentados. Na condição de projetista, além de saber 
especificar um componente elétrico corretamente para determinada aplicação, é necessário também 
saber dimensionar os condutores elétricos, que deverão ser usados na ligação de tal equipamento. 
Estes condutores dependem exclusivamente da corrente que devem transportar. Mais uma vez esse 
tipo de dado é obtido mediante cálculos muito semelhantes aos problemas aqui apresentados. 
Portanto, ao bom projetista é importante dominar todos os conceitos aqui apresentados. 
 
Observações: É interessante fazer uma memória de cálculo, usando uma folha 
inteira para cada problema, procurando esquematizar todos os passos seguidos. 
Esta metodologia ajuda a criar o hábito de limpeza e organização durante a 
elaboração matemática. 
 
 
 
1. Um amperímetro, um voltímetro e um wattímetro são ligados no circuito de um motor de 
indução monofásico e indicam respectivamente, 10 A, 220 V e 1900 W. Determinar 
a) O fator de potência 
b) A impedância do circuito 
c) A resistência efetiva 
 
2. 75% da energia aplicada por segundo a um circuito CA são transformados em calor. O circuito 
que é indutivo apresenta uma resistência de 10  Determinar: 
a) O fator de potência do circuito 
b) A impedância do circuito 
c) A reatância indutiva do circuito 
 
3. Uma impedância de 4-j3  foi ligada a uma fonte de 100 V. Determinar os seguintes elementos 
do circuito: 
a) A resistência efetiva 
b) A reatância 
c) A intensidade de corrente 
d) O fator de potência 
e) A potência aparente 
f) A potência real 
g) A potência reativa 
 
4. Num circuito de CA em série tem-se ligadas 0,06 H de indutância e 2,4 µF de capacitância e 350 
de resistência não indutiva. Qual a frequência de ressonância deste circuito? 
 
5. Uma impedância de 3+j4  foi ligada a uma fonte de 100 V. Determinar: 
a) A condutância 
b) A susceptância 
c) A admitância do circuito 
 
6. Um circuito de CA em paralelo é ligado a uma fonte de 220 V, 60 Hz. Sabendo-se que um dos 
ramos contém 30 de resistência e 40  de reatância indutiva e que o outro apresenta 50  de 
resistência e80 de reatância capacitiva, determinar: 
a) A impedância do circuito 
b) A corrente solicitada da fonte 
c) O fator de potência do circuito 
d) A impedânciaem cada ramo do circuito 
e) O fator de potência de cada ramo do circuito 
f) A admitância do circuito 
g) A susceptância do circuito 
 27 
h) A condutância do circuito 
i) A potência real do circuito 
j) A potência aparente do circuito 
 
7. 3 ramos em paralelo contém respectivamente, uma resistência de 5, uma indutância de valor 
desconhecido e uma capacitância de 10 µF, ligados a uma fonte CA de 100 Hz. Pergunta-se: 
a) Se o circuito estivesse em ressonância, qual seria a corrente solicitada da fonte? 
b) Qual o valor de XL para que o circuito entre em ressonância? 
c) Se não existisse R, qual seria a corrente total, quando o circuito estivesse em ressonância? 
d) Qual seria a admitância do circuito, se ele estivesse em ressonância? 
 
8. Uma bobina é ligada em série com um motor monofásico para reduzir a tensão aplicada aos 
terminais do motor. A tensão aplicada ao conjunto é de 130 V, 45o e a tensão somente do motor é 
de 90 V, 30o. Calcular a ddp entre os terminais da bobina. 
 
9. Uma resistência efetiva de 30 é ligada em série com 50  de reatância indutiva a uma fonte 
CA de 230 V. Determinar a impedância do circuito, a intensidade da corrente, a queda de tensão 
na resistência e a queda de tensão na bobina. 
 
10. Uma bobina com núcleo de ar, com uma resistência igual a 40  e uma indutância de 0,316 H, é 
ligada em série com uma fonte de 240 V, 25 Hz. Que valor tem o resistor, se a corrente no 
circuito é de 3 A? 
 
11. Um motor de indução solicita 6 A, com um fator de potência em atraso de 0,8, quando é ligado a 
uma fonte de 220 V, 60 Hz. 
a) Que valor de capacitância deverá ser ligado em paralelo com o motor para tornar unitário o 
fator de potência do circuito? 
b) Qual será, então, a intensidade de corrente fornecida pela fonte? 
 
12. O fator de potência de uma carga ligada a uma fonte de 120 V, 60 Hz, é elevado de 0,707 em 
atraso para 0,806 em atraso, ligando-se um capacitor de 53 µF em paralelo com a mesma. Qual é 
a potência real nesta carga? 
 
13. Uma bobina com 10  de resistência e 12  de reatância indutiva é ligada em série com um 
circuito em paralelo de dois ramos. O primeiro ramo contém 20  de resistência e 40  de 
reatância capacitiva, e outro ramo contém 15  de resistência e 20  de reatância indutiva. 
Determinar a impedância total do circuito. 
 
14. Determinar a impedância e o fator de potência no circuito abaixo: 
 
15. Um capacitor de 15 µF é ligado em paralelo a uma bobina de indutância de 0,3 H e uma 
resistência desprezível, e a uma fonte senoidal de 240 V, 60 Hz. Calcule a corrente resultante e 
estabeleça se o ângulo de fase é adiantado ou atrasado. 
 
16. Uma bobina de reatância de 30  e resistência de 40  é ligada em paralelo a um resistor de 
resistência igual a 100  e é ligado a uma fonte de 200 V. Calcule a corrente resultante e o fator 
de potência. 
 
17. Uma bobina tem resistência de 150 W e indutância de 0,418 H. Calcule o valor da capacitância 
que ao ser ligada em paralelo com essa bobina a uma fonte de 60 Hz, acarretará uma corrente em 
fase com a tensão. 
 
 
 
 28 
EXERCÍCIOS PRONTOS 
 
Circuitos mistos (ramos paralelos com elementos em série) 
 
1. Um circuito paralelo consiste de dois ramos. O ramo A possui uma reatância indutiva de 100  e 
uma resistência de 173,2 , em série. O ramo B tem uma reatância capacitiva de 173,2  e uma 
resistência de 100  também em série. A fonte de alimentação do circuito é de 200 V, 50 Hz. 
Determine: 
a) A corrente na fonte e o fator de potência; 
b) As componentes do circuito em série equivalente. 
 
Esquema: 
Cálculos: 
 
Ramo A – 
AI
Z
VI
Z
Z
XRZ
L
L
L
L
L
LLL
1
200
200
200
)100()2,173( 22
22





 
 
O ângulo de fase é determinado de: 


30)5774,0(
5774.0
2,173
100
arctg
R
Xtg
L
L
L


(atrasado) 
Ramo B- 
 
AI
Z
VI
Z
Zc
XRZ
C
C
C
C
CLC
1
200
200
200
)2,173()100( 22
22





 
 29 
O ângulo de fase no ramo capacitivo é determinado de: 


60)732,1(
732.1
100
2,173
arctg
R
Xtg
C
C
C


(adiantado) 
 
Diagrama vetorial: 
 
A corrente da fonte e o fator de potência são obtidos através da soma vetorial de IL e IC. Neste caso em 
particular, devido ao fato de haver 90o graus entre os dois vetores, pode-se usar o teorema de Pitágoras 
diretamente, obtendo-se: 
AI
I
III LC
414,12
11 22
22



 
 
Além disso, desde que IC = IL, a resultante está a um ângulo de 45o de IL. O ângulo de fase de I e E, é 45o-
30o= 15o (adiantado) e o fator de potência é: 
 
966.015coscos  o (adiantado) 
 
Para o circuito em série equivalente, necessitamos de um circuito que consome uma corrente de 1,414 A 
com um fator de potência adiantado, de uma fonte de 200 V, 50 Hz. O circuito consistirá num capacitor e 
um resistor em série, mostrado abaixo: 
 
Sua impedância, 
 
 4,141
414.1
200
I
VZ 
 30 
 
 
Do triângulo de impedância, tem-se: 
 
FC
C
fC
X
X
X
Z
Xsin
R
R
Z
R
C
C
C
Co





87
59,36502
10
502
1059,36
2
10
59,364,1412588,0
4,141
2588,0
15
6,1364,141966,0
4,141
966,0
cos
6
6
6












 
 
 
Circuitos em série 
 
Um resistor de 10 , um capacitor de 100 µF e um indutor de 0,15 H são ligados em série a uma fonte de 
220 V, 60 Hz. Calcule a impedância, a corrente, a diferença de potencial através de cada componente, o 
fator de potência total e a potência total do circuito. Desenhe o diagrama vetorial do mesmo. 
 
VXIV
VXIV
VRIV
A
Z
VI
Z
Z
XXRZ
fC
X
fLX
CC
LL
R
CL
C
L
38,18453,2695,6
02,39355,5695,6
50,6900,1095,6
95,6
64,31
220
64,31
)53,2655,56(10
)(
53,26
100602
10
2
10
55,5615,06022
22
222
66













 
 
 31 
Determinação do fator de potência: 
 
 
 
3160,057,71coscos
7"35'347157,71)0020,3(
0020,3
5,69
64,208
5,69
38,18402,393










fator
arctg
V
VVtg
R
CL
(corrente atrasada em relação à tensão) 
 
Potência do circuito: 
 
Observações: 
Normalmente circuitos em série são muito raros na indústria. Os mais comuns são os circuitos em 
paralelo com elementos em série, semelhantes àquele mostrado no exemplo 1. No exemplo 1, o ramo A, 
representa um elemento tipicamente indutivo, o qual por ser feito de fio enrolado, tem sempre uma 
resistência significativa. Um exemplo típico deste tipo de elemento são os motores elétricos, que neste 
caso é monofásico. O capacitor associado em paralelo tem por finalidade melhorar o fator de potência, 
aproximando da unidade. 
 
 
Respostas dos exercícios 
 
1. a) 0,86 
b) 22       
c)     

 a) 0,75 
b) 13,3 
c)  

 a) 4      
b) 3  
c) 20 A 
d) 0,8 
e) 2000 VA 
f) 1600 W 
g) 1200 Var 
 
4. a) 420 Hz 
 
5. a) 0,2 S = (0,12 - j 0,16) S 
b) 0,16 S 
c) 0,12 S 
 
6. a) 53 
b) 4,1 A 
c) 0,9 
d) Ba (indutivo)= 50  Bb (capacitivo)= 94,3 W 
e) Fpa 0,6 atras. Fpb 0,5 adiant. 
f) Admitância no ramo indutivo = 0,012-J0,016 S 
Admitância no ramo capacitivo = 0,005+j0,008 S 
Admitância total do circuito = Ya + Yb = 0,017-j0,008 S 
 g) Susceptância do circuito 0,008 S (em atraso) 
 h) Condutância do circuito 0,017 S 
 i) 811,8 W 
j) 902 VA 
WVIP 22,4833160.095,6220cos  
 32 
 
7) a) 20 A 
b)XL = XC = 100 , condição fundamental para haver ressonância 
c) I= 0 A 
d) Y= 0 S 
 
8) a) 48,9 V (73o 29’) 
 
9) a) 58,3  
b) 2,03 – j 3,38 A 
c) 118,5 V 
d) 197,5 V 
 
10) a) 22,4 

 a µF 
b) 4,8 A

 a) 682 W 
 
13) a) 41,9  (30o31’) 
 
 a) 70  (56o58’) 
b) 0,5 
 
15) a) 
 
16) a) 
 
17) a) 
 
Anotações de aula: 
 
 
 33 
5a aula: 
Iluminação industrial. Iluminação elétrica. Normas de projeto. 
 
Chama-se ponto de luz um ponto gerador de radiações capazes de impressionar os nossos olhos. As fontes 
luminosas são de duas naturezas: a luz natural, proveniente do sol, e a artificial, produzida por lâmpadas 
elétricas, a gás, a querosene, velas, etc. Todas as fontes luminosas, além de luz, irradiam calor, sendo as 
de melhor rendimento as que conseguem irradiar maior quantidade de luz produzindo o menor calor 
possível. 
Para efeito de comparação entre diferentes condições de iluminação é necessário estabelecer padrões de 
medidas, os quais são obtidos da física da luz e fotometria. Assim, tem-se: 
 
Iluminamento: O iluminamento representa o fluxo luminoso que cada unidade de uma superfície 
iluminada intercepta. A unidade de iluminamento é o lux e corresponde ao iluminamento que sofre uma 
superfície de 1 m2, quando sobre ela incide o fluxo luminoso de uma lâmpada-padrão colocada a um 
metro de distância da superfície. (1lux= 1lumem/m2). 
 
Fluxo luminoso: Chama-se fluxo luminoso, com relação a uma superfície, o produto do iluminamento, 
expresso em lux, existente nesta superfície, pela área da mesma, sendo o resultado expresso em lumens. 
 
A iluminação natural, obtida do sol, é a que mais se adapta à natureza humana. Infelizmente, nem sempre 
é possível desfrutar desse privilégio da natureza, por duas razões essenciais: em primeiro lugar, porque o 
sol ilumina a terra, eficientemente, somente algumas horas por dia e, em segundo lugar, porque a maioria 
dos trabalhos delicados, que requerem suficiente iluminação, é feita no interior de edifícios, onde nem 
sempre a quantidade de luz, provinda do exterior, é suficiente. Assim sendo, todas as vezes em que há 
deficiência ou falta absoluta de iluminação natural, torna-se imperativo o uso da iluminação artificial, 
como complementar ou substituta da luz solar. 
A iluminação residencial, atualmente com a preponderância dos apartamentos e residências de pequeno 
porte, não constitui problema de difícil solução, pois as salas e quartos são , em geral, de tamanho 
reduzido e providos de amplas janelas que lhes asseguram uma suficiente iluminação durante o dia e à 
noite, uma lâmpada ou um grupo conveniente de lâmpadas de potência adequada asseguram ao local uma 
iluminação suficiente às tarefas domésticas ordinárias. Em casos especiais, de leitura, bordado ou costura, 
uma lâmpada auxiliar proporciona a complementação necessária que essas tarefas requerem. A 
iluminação industrial, pelo contrário, constitui um problema mais complexo, cuja solução exige um 
estudo minucioso. A indústria requer uma iluminação adequada, tanto natural como artificial, que não 
prejudique a visão e que concorra para a eficiência do trabalho, como elemento primordial do custo de 
produção. O ponto mais importante da iluminação industrial é determinar em que proporções esta deve 
completar a natural durante o dia, e como a primeira deve substituir a segunda nas horas de trabalho 
noturno. 
Os meios para iluminação natural das modernas construções de fábricas são os janelões, as clarabóias, as 
janelas dente de serra, etc. Estas proporcionam uma iluminação razoável dentro da fábrica, sendo, porém 
deficiente nos dias de chuva. Torna-se indispensável então a iluminação artificial para compensar essa 
deficiência. 
 
Vantagens de uma boa iluminação industrial: 
 
 Aumento de produção; 
 Diminuição de refugos; 
 Melhoria da qualidade dos produtos; 
 Redução dos acidentes pessoais; 
 Melhoria das condições de trabalho dos operários; 
 Diminuição da fadiga; 
 Facilidade de supervisão; 
 Possibilidade de trabalho independente da luz do dia; 
 
Condições que uma iluminação artificial deve ter: 
 
 Deve ter ausência absoluta de ofuscamento, direto ou indireto ou refletido. Entende-se por 
ofuscamento a cegueira momentânea causada por fontes de luz excessivamente brilhantes, situadas 
no campo visual; 
 Deve ter luz uniforme e suficientemente intensa sobre todos os planos de trabalho; 
 34 
 Os tetos e paredes devem ser, em geral, de cor clara, para aumentar o nível de iluminamento; 
 A luz deve ser suficientemente difusa e bem dirigida para evitar sombras acentuadas e contrastes 
nocivos; 
 A luz deve ser produzida por aparelhagem simples, segura e de fácil manutenção, e apresentar 
sempre com elevado rendimento. 
 
Iluminação industrial: 
 
A iluminação industrial deve ser feita tendo em vista os processos individuais de trabalho, a 
complexidade das máquinas em serviço, a localização e a construção das máquinas que hão de ser 
privativas do gênero de trabalho, e por fim, os constantes perigos de acidentes. 
A iluminação industrial é dividida em três grupos: 
 Iluminação geral; 
 Iluminação geral e localizada; 
 Iluminação combinada; 
 
A iluminação geral emprega luminárias colocadas a espaços regulares e suspensas a uma conveniente e 
uniforme distância do chão; 
A iluminação geral e localizada emprega luminárias suspensas a uma altura determinada, colocadas de 
acordo com as condições de trabalho; 
A iluminação combinada é empregada nos casos em que a iluminação geral não é suficiente para 
determinado posto de trabalho. Uma fonte de luz local compensa a deficiência. 
 
Recomendações para um projeto de iluminação: 
 
Fazer um projeto de iluminação consiste em determinar o tipo de luminárias, seu número, espaçamento, 
altura de montagem e potência, para produzir um determinado iluminamento no plano horizontal de 
trabalho. Para isto é necessário tomar-se em consideração as dimensões e forma do local, a cor das 
paredes e do teto, coeficiente de utilização, espaçamento máximo e a distribuição da luz. 
A execução de um projeto de iluminação requer informações a respeito de luminárias. É imprescindível a 
consulta às informações técnicas obtidas junto aos fabricantes de lâmpadas e luminárias. Devem-se 
conhecer os detalhes técnicos de cada tipo a ser usado (rendimento luminoso, fator de depreciação, a 
eficiência das luminárias, fluxo luminoso, potência etc.). Estes dados são facilmente obtidos junto ao 
fabricante. 
 
Níveis de iluminamento: 
 
Os níveis de iluminamento, tecnicamente convenientes, em cada local de trabalho dependem do tipo de 
atividades que nele se exercem, sendo os mesmos indicados pela Norma P-NB-57 de 1969 da ABNT. 
Atualmente a mesma sofreu correções e recebeu o número NB-5413. 
Observar as seguintes condições gerais relativas ao nível de iluminamento, a saber: 
 Nível de iluminamento deverá ser mantido no campo de trabalho. Quando o campo de trabalho não 
for definido, deverá se adotar o plano horizontal a 0,75 m do piso; 
 Caso seja necessário um elevado nível de iluminamento em um limitado campo de trabalho, este 
poderá ser conseguido com iluminação suplementar; 
 No restante do ambiente, o iluminamento não deverá ser inferior a 1/10 do valor adotado para o 
campo de trabalho, mesmo que o iluminamento recomendado para o restante do ambiente seja 
menor; 
 Procurar manter o iluminamento em qualquer ponto do campo de trabalho nunca inferior a 70% do 
iluminamento médio, o qual pode ser determinado pelo método MB-207. 
 
Altura e espaçamento de luminárias: 
 
O plano de trabalho é situado a uma altura que varia entre 0,75 e 1,00 m, entretanto, por comodidade, a 
altura de montagem das mesmas é medida a partir do piso. Para refletores pequenos é recomendável uma 
altura de montagem de 3,00menquanto que para os grandes recomenda-se a altura entre 3,00 a 8,00 
metros. O espaçamento entre as luminárias deve ser proporcional à altura de montagem das mesmas. O 
espaçamento é o fator que determina a uniformidade da distribuição do fluxo luminoso. Para se obter um 
iluminamento razoavelmente uniforme, os espaçamentos máximos nunca devem exceder as 
recomendações dos fabricantes. Em geral, o espaçamento máximo entre as luminárias deve ser 
 35 
aproximadamente igual a sua altura de montagem. Nas luminárias embutidas, o espaçamento deve 
corresponder à metade da altura de montagem. A distância entre as luminárias extremas e as paredes deve 
ser aproximadamente a metade do espaçamento normal entre as luminárias. 
 
 
 
Trabalho proposto: Simulação de projeto: 
 
Simular o ambiente industrial constituído por um local de produção, depósito, escritório, refeitório e 
sanitários. Atribuir dimensões e distribuição espacial fictícias. Elaborar a memória de cálculo, contendo 
todas as informações necessárias ao projeto de iluminação destes ambientes. Admitir que a energia seja 
tomada do quadro geral de distribuição locado junto ao ambiente de produção. Dimensionar todos os 
circuitos, procurando equilibrar a distribuição das cargas nas três fases. Todo o trabalho deverá 
respeitar as normas de projeto vigentes. 
 
 
Projeto elétrico da instalação industrial: 
 
O cuidado a ser dispensado na elaboração dos projetos de instalações industriais, bem como a posterior 
execução destas instalações é, sem dúvida, um fator de importância ponderável tanto na sua economia 
como na sua segurança. É bom lembrar que uma instalação econômica não é aquela que custa 
simplesmente barato, e por outro lado, nem toda instalação que custa muito caro é melhor. Assim sendo, 
deve-se procurar executar um projeto visando uma real economia na instalação. É realmente a confusão 
feita com os termos BARATO e ECONÔMICO que tem causado grandes prejuízos não só a industriais 
como também a pessoas físicas, uma vez que nem sempre o que é mais barato é o mais econômico. 
Adotando-se essa linha de raciocínio, o projetista deve primar pela economia real, evitando também os 
excessos que somente ajudam a elevar o preço da instalação sem aumentar a sua eficiência. O correto 
dimensionamento dos equipamentos, máquinas e seus motores e principalmente os circuitos elétricos que 
os alimentarão é de fundamental importância para a economia e segurança de uma instalação elétrica. 
 
Regras básicas para um bom projeto: 
 
 O projeto deve ser racionalmente dimensionado, sobretudo visando a segurança e a eficiência da 
instalação; 
 Projeto deve ser econômico tanto da parte de instalação como da manutenção; 
 Após a execução da obra, o projeto deve ser guardado em lugar de fácil acesso, de modo a permitir 
que o pessoal de operação e manutenção possa consultá-lo sempre quando necessário; 
 As modificações feitas nas instalações deverão ser registradas de imediato no projeto das instalações, 
garantindo assim, a sua atualização; 
 Um projeto atualizado é uma ferramenta de trabalho que possibilita nos casos de modificações das 
instalações, tanto nas substituições como nas ampliações e na própria manutenção, uma economia de 
tempo ponderável, além de dar segurança aos responsáveis pelas modificações e/ou manutenção. 
 
Anotações de aula: 
 
 
 
 
 
 36 
6ª aula 
Circuitos polifásicos 
 
Nas aulas anteriores foram vistos os circuitos monofásicos, constituídos sempre de dois condutores sendo 
um deles uma fase, aonde chega a corrente elétrica e outro, o neutro, o qual tem potencial normalmente 
igual a zero, e neste caso é considerado com o mesmo potencial da terra, e portanto, é aterrado junto ao 
quadro de distribuição principal. Os aparelhos elétricos considerados monofásicos sempre têm dois fios, 
os quais são respectivamente ligados um à fase e outro ao neutro. Nos circuitos polifásicos, existem mais 
de um fio fornecedor de corrente. O padrão mais utilizado consiste de três fios, o qual recebe o nome de 
sistema trifásico, sendo que cada fio tem a sua corrente defasada do outro em 120 o. Este fato deve-se ao 
aproveitamento racional do sistema gerador o qual normalmente é feito por máquinas geradoras 
constituídas de 3 bobinas, que recebem a designação de rotor e que sofrem rotação dentro de um conjunto 
de bobinas polarizadas estacionárias que recebem por sua vez a denominação de estator. Se este conjunto 
recebesse somente um par de bobinas no rotor, verificar-se-ia o surgimento de uma única corrente e uma 
oscilação de potência instantânea muito acentuada. Para evitar essa alternância muito grande na potência 
do gerador e melhorar a eficiência na geração, verificou-se que se equilibrando o sistema alocando uma 
bobina a cada 120o aumentava o rendimento na geração, obtendo-se no total das três potências uma 
melhor distribuição de esforços sofridos pelo eixo do gerador. Devido a esse fato, logo esse sistema 
tornou-se padrão mundial e hoje, esse sistema é o mais importante de todos do ponto de vista industrial. 
Os circuitos trifásicos compõem-se de três ou quatro fios, dos quais 3 deles possuem campo tensão 
diferente de zero e o quarto deve normalmente possuir potencial zero, sendo considerado como neutro. A 
tensão existente entre cada fio fase e o neutro chama-se tensão de fase e indica-se a mesma como Ef. A 
tensão existente entre dois fios fases chama-se tensão de linha, sendo indicada pelo símbolo E (também 
pode ser V ou U). Ao ligar um voltímetro entre dois fios fases mede-se a tensão da linha, enquanto que 
voltímetros ligados entre um fio fase e o neutro medem a tensão de fase. 
Se, por exemplo, a tensão de fase for de 220 V, a tensão de linha deverá ser 3220 . A maioria das 
linhas trifásicas no Brasil possui tensões de linhas de 380 V. No Paraná, a tensão de linha normal é de 220 
V. Outras tensões podem ser usadas na indústria, basta ter a central distribuidora dimensionada par a tal, 
mas tensões fora do padrão somente são adotadas por necessidade técnica excepcional. 
 
 
 37 
O sistema trifásico é composto por 3 fios, os quais recebem o nome de fase R, fase S e fase T, 
respectivamente aos 3 fios, cada um, defasado em 120 graus em relação ao seguinte. Podem ser 
denominados também pela cores que seus condutores têm, como por exemplo: vermelho, amarelo e azul, 
etc. Independente do nome deve-se sempre atentar para a seqüência correta quanto aos ângulos 0o, 120o e 
240o, adotando o primeiro sempre como referência para posicionar os demais. 
 
Vantagens do sistema trifásico: 
 
A geração e transmissão em três fases são mais eficientes, pois implicam em economia de condutores, 
reduzindo para a metade para uma mesma capacidade energética (três fios conduzem a mesma energia 
quanto 6 fios de mesmo diâmetro (bitola) alimentando cargas monofásicas separadas). Também diminui a 
oscilação do esforço sobre o eixo da máquina geradora reduzindo com isso a fadiga do material, e 
reduzindo a manutenção do sistema. A potência gerada é praticamente constante ao invés de ser 
“pulsada” como num sistema monofásico; 
As três fases juntas já contêm o momento de inércia necessário para a partida dos motores trifásicos, 
reduzindo com isto as complicações necessárias para os motores monofásicos. Um motor ao partir, pode 
girar para qualquer um dos dois sentidos. Para evitar isto, um motor monofásico deve ter uma bobina 
auxiliar levemente defasada da bobina normal, determinando o sentido da rotação. Como esta bobina só é 
necessária na partida, os motores monofásicos têm dentro de si um sistema de comutação tipo centrífugo, 
que, ao atingir a rotação desejada desliga a bobina auxiliar. Por esse motivo, um motor trifásico sempre 
irá custar mais barato que um motor monofásico de mesma potência. A manutenção do motor trifásico a 
também será muito mais econômica.