Fórum de Discussão A (Aulas 1 a 3) 2016.1 EAD OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DE TRANSPORTE

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Fórum de Discussão A (Aulas 1 a 3) - 2016.1 EAD - 
OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DE TRANSPORTE 
Criado por , 3 de março de 2016 às 11:58:49 
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 ACACIO PONTES CALLIM iniciou uma discussão ( ) 
CURRÍCULO LATTES 
PROFESSOR 
243 postagens desde 06/04/2016 
3 de março de 2016 às 11:58:49 
 
Olá aluno, 
Estamos no Fórum A que contempla as aulas de 1 a 3 da nossa disciplina. 
Na aula 1 - FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL; 
Na aula 2- CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL; 
Na aula 3 - GRAFOS. 
Vamos debater esses subitens de forma: Dando exemplos resolvidos da aplicação desses 
itens, comentando suas definições e citando aplicações práticas de mercado nos dias de 
hoje . 
Mãos a obra e Bons estudos. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM 
13 de março 2016 às 08:28:58 
Tudo bem? 
O fórum A está aberto e já podemos começar as postagens sobre as aulas 1,2 e 3 em 
busca das nossas 20 estrelas para a obtenção dos 2 pontos a serem somados nas AVs. 
acacio callim 
o 
o 
ALUNO 
CLAUSEN PESSOA DA COSTA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
15 de março 2016 às 14:10:35 
Boa tarde! 
1- Fundamentos da pesquisa operacional 
A P.O. é originária da Segunda Guerra Mundial, quando os cientistas de várias disciplinas se 
reuniram para resolver problemas militares de natureza tática e estratégica. 
A pesquisa Operacional (P.O.) nada mais é que um método científico para a tomada de 
decisões. A P.O. “estrutura processos, propõe um conjunto de alternativas e ações, fazendo 
a previsão e a comparação de valores, de eficiência e de custos”. 
A P.O. é, portanto, um sistema organizado com auxílio de modelos bem como da 
experimentação de modelos, com o fito de operar um sistema da melhor maneira possível. 
Considero a P.O. como uma ferramenta matemática aplicada no processo de tomada de 
decisão. Para isso, fazemos uso de modelos matemáticos estruturados em fases. 
Por ser uma ferramenta matemática aplicada, a P.O. nos dá condições para: 
 Solucionar problemas reais; 
 Tomar decisões embasadas em fatos, dados e correlações quantitativas; 
 Conceber, planejar, analisar, implementar, operar e controlar sistemas por meio da 
tecnologia bem como de métodos de outras áreas do conhecimento; 
 Minimizar custos e maximizar o lucro; 
 Encontrar a melhor solução para um problema, ou seja, a solução ótima. 
 
PRINCIPAIS TÉCNICAS DA P.O. : 
 Programação linear. 
 Teoria das filas. 
 Teoria dos grafos. 
OBS: lembrando que esses são os principais, existem mais tecnicas. 
2-CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL 
Nessa fase predomina a modelagem matemática, ou seja, as equações e inequações, seja na 
função objetivo, seja nas restrições. Cabe distinguir variáveis decisivas ( variáveis 
controláveis), das não decisivas. Por exemplo, em uma situação de produção, a quantidade a 
ser produzida é uma variável controlável. A demanda bem como o preço praticado pelo 
mercado são exemplos de variáveis não controláveis. 
 A escolha do modelo depende do tipo de problema a ser resolvido. Os modelos matemáticos 
mais utilizados, são de programação linear. 
 
3- Grafos 
O grafo propriamente dito é uma representação gráfica das relações existentes entre 
elementos de dados. Ele pode ser descrito num espaço euclidiano de n dimensões como 
sendo um conjunto V de vértices e um conjunto A de curvas contínuas (arestas)" 
Um grafo é um objeto matemático capaz de representar situações de estruturas 
combinatórias como, por exemplo, uma mesa em torno da qual estão sentadas seis pessoas 
que se conhecem. Nessa situação, necessariamente, três dessas pessoas serão ou amigas ou 
inimigas entre si. 
EX: imagine o seguinte problema: um usuário de uma loja quer saber que rota seguir do 
ponto X, que pode ser sua casa ou algum lugar , até o ponto Y, que é a loja mais próxima, 
sendo que quer pegar a rota mais curta possível. 
Claro que a teoria dos grafos é bem mais ampla, mas serve como idéia base para nossa 
explicação. 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUSEN PESSOA DA COSTA 
16 de março 2016 às 09:03:45 
fale sobre vértices pendentes e isolados em grafos. 
pode desenhar? 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CLAUSEN PESSOA DA COSTA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
16 de março 2016 às 13:54:03 
Um vértice isolado é um vértice com grau zero, isto é, um vértice que não é um ponto final 
de toda a aresta. 
Vértice pendente é um vértice de grau 1 . 
 
OBS: professor, tentei de várias formas desenhar, porém sem êxito! 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUSEN PESSOA DA COSTA 
17 de março 2016 às 08:14:29 
agora postagem de grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CLAUSEN PESSOA DA COSTA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
17 de março 2016 às 14:53:00 
O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. 
 
 
exemplo: 
 grau(Pedro) = 3 
 grau(Maria) = 2 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUSEN PESSOA DA COSTA 
18 de março 2016 às 10:29:30 
parabéns. 
conseguiu colar o desenho aqui. 
acacio callim 
 
o 
ALUNO 
ANDRE CARDOSO GEMMAL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
27 de março 2016 às 22:31:02 
Boa noite professor Acácio e colegas, 
A pesquisa operacional (P.O) consiste em um método matemático, usualmente 
implementados por programas de computador, que podem ser utilizados para resolver 
problemas gerenciais diversos. 
A P.O. estrutura processos, propondo um conjunto de alternativas de ação e fazendo revisão 
e comparação de valores, eficiência e custos. 
Tem capacidade de gerar conclusões eficientes para o decisor. Tenta resolver conflitos de 
interesse dos componentes da organização, procurando determinar a melhor solução 
possível para a entidade como um todo. 
O termo vem da 2a° guerra mundial, atribuída ao serviço militar. 
Militares do reino unido e Estados Unidos recrutaram cientistas para realizar pesquisas em 
operações militares. 
As aplicações são diversas e vão desde a manufatura, dimensionamento de lotes, 
roteamento de veículos, sistemas de transporte e distribuição, até instituições de ensino, 
hospitais, construção, etc. 
Na construção de modelos, encontrei este texto no site abaixo, que me foi muito ilustrativo e 
espero que possa ajudar outros colegas também. 
 
Modelagem 
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto 
aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do 
sistema, de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para 
definir a estrutura ideal do sistema. 
A confiabilidade da solução obtida através do modelo depende da validação do modelo na 
representação do sistema real. A validação do modelo é a confirmação de que ele realmente 
representa o sistema real. A diferença entre a solução real e a solução proposta pelo modelo 
depende diretamente da precisão do modelo em descrever o comportamento original do 
sistema. 
Um problema simples pode ser representado por modelos também simples e de fácil solução. 
Já problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cuja solução pode vir a 
ser bastante complicada. 
1 - Introdução à pesquisa operacional Pesquisa Operacional 
1.3 Estrutura de Modelos Matemáticos Em um modelo matemático, são incluídos três 
conjuntos principais de elementos: 
(1) variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitasa serem 
determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema; 
(2) restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve 
incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis); 
(3) função objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função 
das variáveis de decisão. 
Para melhor ilustrar ao conjuntos acima, considere o seguinte exemplo: 
"Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura 
das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que: 
ü a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 
kg de cereais; ü o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30; ü o 
kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; ü estão disponíveis por mês 10 0 kg de 
carne e 30 0 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de 
modo a maximizar o lucro." 
Neste problema as variáveis de decisão são as quantidades de ração de cada tipo a serem 
produzidas. Os parâmetros fornecidos são os preços unitários de compra e venda, além das 
quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de ração. As restrições são os limites 
de carne e cereais e a função objetivo é uma função matemática que determine o lucro em 
função das variáveis de decisão e que deve ser maximizada. 
------- x------- 
No caso dos grafos, que a princípio me pareceu bem estranho e complicado, entendi como 
uma maneira gráfica de expressar problemas, ver as repetições, proximidades, ou seja, 
colocar os itens a serem estudados no gráfico e fazer uma leitura. 
Por exemplo, no caso de uma entrega complexa onde um caminhão tem que entregar em 6 
cidades e retornar ao ponto de onde saiu. O gráfico pode ser construído segundo as cidades 
e distâncias. Pode-se verificar qual trajeto completo de menor distância. como ir de uma 
cidade a outra economizando trajeto, etc. 
Abs! 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANDRE CARDOSO GEMMAL 
28 de março 2016 às 10:38:45 
Continuando na aula de grafos -poste sobre - tipos de vértices e grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANDRE CARDOSO GEMMAL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
29 de março 2016 às 22:56:07 
Professor Acácio, 
Um vértice ou nó é a unidade formadora do grafo. As arestas ligam os vértices. 
O grau de um vértice num grafo está relacionado às arestas nele. O vértice é par ou 
ímpar se seu grau é par ou ímpar na conta das arestas. 
 
vértice isolado- sem arestas. Está isolado mesmo na figura acima. Não tem conexão de 
aresta. 
vértice folha ou pendente- só uma conexão ou aresta. 
vertices adjacentes- ligados por uma aresta. 
Os números dentro dos vértices acima, representam o número de arestas correspondentes, 
que podem ser pares ou ímpares. 
Confesso que a matéria assusta de longe, mas vai ficando melhor de perto! 
Sds, 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANDRE CARDOSO GEMMAL 
30 de março 2016 às 12:12:08 
agora calcule o grau de todos os vértices do grafo postado. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANDRE CARDOSO GEMMAL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
3 de abril 2016 às 21:23:34 
Professor, 
Entendi que a soma dos graus dos vértices em um grafo é igual a duas vezes o número de 
arestas. 
Se o grafo acima tem 7 arestas, a soma dos graus é 14. A ideia é essa ou expressar na 
fórmula? 
Confesso que ainda falta muito para eu compreender na prática. talvez na sequência da 
matéria, terão aplicações práticas desses grafos no sistema de transportes e clareará mais. 
Abs! 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANDRE CARDOSO GEMMAL 
4 de abril 2016 às 07:36:09 
De exemplos de calculo de grau de vértice em grafos. 
acacio callim 
 
o 
ALUNO 
ISIA RODRIGUES LAUREANO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
28 de março 2016 às 18:04:12 
Olá, Boa noite.. 
A pesquisa operacional consiste no estudo de métodos matemáticos, usualmente 
implementadas por programas de computador, que podem ser utilizados para resolver 
problemas gerenciais e controle de sistemas. 
Ela estrutura processos, propondo um conjunto de alternativas de ação e fazendo previsão e 
comparação de valores, eficiência e custos. 
A PO tem como características a capacidade de gerar conclusões eficientes para o 
decisor,tenta resolver o conflito de interesses dos componentes da organização, procurando 
determinar a melhor solução possível (ótima) para a entidade como um todo além de buscar 
resolver problemas relacionados à condução e coordenação de operações (atividades) ao 
longo de organizações de diferentes naturezas. 
A pesquisa Operacional foi criada devido a urgência necessidade de alocar recursos para as 
diversas operações militares. 
Alguns dos fatores foram responsáveis pelo rápido crescimento da PO como: o progresso 
substancial no desenvolvimento de técnicas; algoritmo simplex (DANTZIG, 1947); 
programação linear; teorias das filas, entres outros.. 
As aplicações da PO podem ser usadas em hospitais, construção, agricultura, análise de 
ricos, finanças.. 
O modelo Matemático usa notação simbólica e equações matemáticas para representar os 
sistemas. A PO congrega diversas das mais consagradas técnicas de Modelo Matemático. 
Os principais modelos de PO são denominados Programação Matemática e são estruturados 
de forma lógica, amparados no ferramental matemático e representação, que objetiva 
claramente a determinação das melhores condições de funcionamento para os sistemas 
representados. 
Fazem parte das Etapas da Modelagem: formulação do problema – coleta de dados – 
construção do modelo matemático- desenvolvimento de estratégias para determinar 
soluções a partir do modelo proposto – validação do modelo – implementação. 
 
*Resumo referente a aula 1: Pesquisa Operacional- Fundamentos (PO) 
 
o 
ALUNO 
ISIA RODRIGUES LAUREANO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
28 de março 2016 às 18:08:18 
Na aula 2, foi abordado o tema Pesquisa Operacional- Modelos, nas variáveis de decisão, 
deve ser decidido o plano de produção ou plano de transporte de carga, ou seja, quais as 
quantidades periódicas que devem ser produzidas ou transportas de cada produto. Ex: x1, 
x2.. 
A função objetivo é uma função matemática que representa o principal objetivo do tomador 
de decisão. Ela pode ser de minimização ( de custos, de erros, chances de perdas..) ou de 
maximização ( de lucro, receita, utilidade, riqueza..) 
Ex: o objetivo é maximizar o lucro, basta calcular: lucro por unidade P1 X o lucro por 
unidade P2. 
O lucro total: 
z=LucroporunidadedeP1XquantidadedeP1+LucroporunidadedeP2XquantidadedeP2 
Objetivo: 
maxZ=LucroporunidadedeP1XquantidadedeP1+LucroporunidadedeP2XquantidadedeP2 
As restrições são regras que dizem o que podemos e o que não podemos fazer e/ou quais 
são as limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo. 
 
 
 
 
o 
ALUNO 
ISIA RODRIGUES LAUREANO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
28 de março 2016 às 18:12:09 
Um grafo pode ser definido como um par G= (V,E), sendo V um conjunto finito e não vazio e 
E uma relação (função) sobre os elementos de V. 
Os elementos de V são chamados de vértices (ou nós), e os pares ordenados representam as 
reações entre os elementos de V, de arestas (linhas) do grafo. 
Uma aresta é dita incidente com os vértices que ela liga. Laço, é quando uma aresta é 
incidente em um único vértice e dois vértices são chamados de adjacentes se estão ligados 
por arestas. Um vértice é dito isolado se não tem aresta incidindo sobre ele.Um grafo é dito regular de grau r se todos seus vértices possuem grau r. se o grafo é regular 
de grau zero, é dito nulo. Um vértice se grau 1 é dito pendente. Quando dois vértices de 
incidência são os mesmos, as arestas são paralelas. 
Teorema 1: a soma dos graus dos vértices em um grafo é igual a duas vezes o número de 
arestas. 
Cada aresta contribui para a contagem de 1 no grau de cada dois vértices com os quais ela é 
incidente. Então cada aresta é sempre contada duas vezes. 
Teorema 2: em qualquer grafo, existe sempre um par de vértices de grau impar. 
Um grafo é dito dirigido ou dígrafo se suas arestas possuem orientação. Em caso contrário, 
diz que o grafo é não dirigido. Em um grafo dirigido as arestas são chamadas de arcos. 
O grau de um vértice em um grafo orientado, é a soma dos graus dos arcos que saem do 
vértice e dos arcos que entram no vértice, ou seja, é o grau de emissão (de saída) e o grau 
de recepção (de entrada). 
O Multígrafo é o grafo que contém arestas paralelas ou laços. 
O grafo simples, é o grafo que não contém nenhum par de arestas paralelas ou laços. 
Um garfo simples será completo quando existir uma aresta entre cada par de seus vértices. 
Para mostrar que dois grafos são isomorfos, requer que encontremos a bijeção (ou para 
grafos não simples, as bijeções) e então mostraremos que a propriedade da adjacência (ou 
relação entre arestas e seus extremos é preservada. 
 
*Resumo referente a aula 3 Grafos. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ISIA RODRIGUES LAUREANO 
29 de março 2016 às 09:06:23 
Para finalizar poste um grafo(recorte e cole) e mostre todos os graus dos vértices que 
pertencem esse grafo. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ISIA RODRIGUES LAUREANO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 17:46:59 
 
*Fonte: Aula 3 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ISIA RODRIGUES LAUREANO 
31 de março 2016 às 08:45:58 
muito bom. 
escolheu os slides perfeitos sobre o assunto. 
continue a sua pesquisa e poste um grafo com 10 vértices e de o grau de todos. 
acacio callim 
 
o 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
29 de março 2016 às 17:02:05 
Boa tarde! 
Na aula 1 estudamos sobre A Pesquisa Operacional 
A Pesquisa Operacional surgiu na Segunda Guerra Mundial, onde cientistas foram 
convocados para desenvolver métodos de natureza tática e estratégica. É uma área que 
estuda métodos matemáticos para auxiliar nas tomadas de decisões e possui uma 
abordagem parecida com as pesquisas feitas em outras áreas, utilizadas principalmente no 
ambiente empresarial. 
Possui como características: a otimização das operações, aplicações de métodos e técnicas 
científicas, resolver problemas e determinar a melhor solução das atividades para a entidade 
como um todo. 
Os principais modelos de PO são chamados de Programação Matemática que se destaca por 
realizar simulações e encontrar ótimas soluções para o problema. São divididos em: 
programação linear, programação não-linear e programação inteira. 
Possui as seguintes fases: identificação do problema, coleta de dados, construção de um 
modelo, obtenção da solução, avaliação da solução, implantação e acompanhamento da 
solução. 
Na aula 2 estudamos os modelos matemáticos que possuem três elementos: variáveis de 
decisão (incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo), função objetivo (define a 
qualidade da solução em função das variáveis de decisão e busca maximizar ou minimizar), 
restrições (limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis). 
Na aula 3 estudamos sobre os grafos 
Um grafo pode ser definido como um par G=(V,E), sendo V um conjunto não vazio e finito 
chamado vértice e E um conjunto de pares ordenados de V chamados arestas. 
Os vértices são adjacentes quando há uma aresta ligando dois vértices e essa aresta é 
incidente aos vértices. As arestas serão paralelas quando os dois vértices de incidência são 
os mesmos. Quando não há aresta incidindo sobre um vértice é chamado vértice isolado. 
Laço é quando uma aresta é incidente em um único vértice. 
O grau de um vértice é dado pelo número de arestas incidentes a um vértice. Se o grau for 
zero, é chamado de nulo e se for de grau é chamado pendente. 
Há dois teoremas: 
1 – A soma dos graus dos vértices em um grafo é igual a duas vezes o número de arestas. 
2 – Em qualquer grafo, existe sempre um número par de vértices de grau ímpar. 
Quando as arestas possuem direção, o grafo é chamado dirigido ou dígrafo e as arestas 
chamadas de arco. Quando contrário, o grafo é não dirigido. Sucessor de um vértice é a 
extremidade final de um arco e antecessor de um vértice é a extremidade inicial de um arco. 
O número de arestas que deixam um vértice é o grau de saída e o número de arestas que 
entram é o grau de entrada. 
Multigrafo é o que contém arestas paralelas e laços e grafo simples é o que não contém 
nenhum par de arestas paralelas ou laços. Um grafo é completo quando há uma aresta entre 
cada par de seus vértices. 
Dois grafos são isomorfos quando possuem as mesmas características (graus e números de 
vértices e arestas). 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
29 de março 2016 às 18:46:26 
Poste agora sobre tipos de vertices e grau de vertice.De exemplos. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
31 de março 2016 às 14:52:35 
Boa tarde. 
O grau de um vértice é dado pelo número de arestas incidentes a um vértice. 
 
Grau (a) = 2 Grau (b) = 3 Grau (c) = 3 Grau (d) = 2 
 
Vértice isolado é quando não há aresta incidindo sobre um vértice, vértice de grau zero (v6 
com grau = 0). 
Vértice pendente é qualquer vértice de grau 1 (v5 com grau = 1). 
Vértice ímpar tem um número ímpar de arestas (v1 com grau = 3) e vértice par tem um 
número par de arestas (v2 com grau = 2). 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
2 de abril 2016 às 09:58:08 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
3 de abril 2016 às 15:50:05 
Boa tarde! 
1 - Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "C". 
 
 
Gr(C) = 1 
2 - 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "B". 
 
 
Gr(B) = 2 
3 - 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "E". 
 
Gr(E) = 2 
4 - É possível afirmar sobre um vértice com seu Grau gr(v) = zero, que: 
É Chamado de isolado 
5 - É possível afirmar sobre duas arestas incidente em dois vértices, sendo esses os mesmos 
vértices que: 
É chamada de paralela 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
4 de abril 2016 às 07:37:06 
Na sua próxima postagem comente os resultados dos exercícios do avaliando aprendizado. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 17:02:37 
Boa tarde! 
1 - Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "C". 
 
 
Gr(C) = 1 - Grau 1, pois o vértice C possui uma aresta 
2 - 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "B". 
 
 
Gr(B) = 2 - Grau 2, pois o vértice B possui duas arestas 
3 - 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "E". 
 
Gr(E) = 2 - Grau 2, pois o vértice E possui duas arestas 
4 - É possível afirmar sobre um vértice com seu Grau gr(v) = zero, que: 
É Chamado de isolado, pois não há aresta incidindo sobreo vértice. 
5 - É possível afirmar sobre duas arestas incidente em dois vértices, sendo esses os mesmos 
vértices que: 
É chamada de paralela, pois as duas arestas possuem os mesmos dois vértices. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
5 de abril 2016 às 16:42:00 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
5 de abril 2016 às 20:57:26 
Boa noite! 
 
o 
o 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
6 de abril 2016 às 10:23:59 
parabéns. 
vc está concorrendo ao bônus de 3 estrelas pela melhor postagem da semana. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
15 de março 2016 às 19:04:49 
Na aula 1 - FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL; 
A PO (Fundamentos da Pesquisa Operacional) designa uma área do 
conhecimento que consiste no desenvolvimento de métodos científicos de 
sistemas complexos, com a finalidade de prever e comparar estratégias ou 
decisões alternativas, cujo objetivo é dar suporte à definição de políticas e 
determinação de ações. 
Os Métodos matemáticos na organização e no planejamento de produção” ´e 
considerado um dos precursores da PO, porém manteve-se desconhecido da 
comunidade científica ocidental até 1959. De fato, o termo PO designa um 
conjunto de disciplinas isoladas tais como Programação Linear, Teoria das 
Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, dentre outras. 
A Pesquisa Operacional tal qual como a conhecemos surgiu durante a 
Segunda Guerra Mundial tendo como objetivo o desenvolvimento de 
metodologia para solução de problemas relacionados com as operações 
militares quando os Aliados se viram confrontados com problemas complexos 
de natureza logística, tática e de estratégia militar. 
Então podemos definir que, o objetivo principal da PO é determinar a 
programação otimizada de atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de 
procedimentos e métodos quantitativos para tratar de forma sistematizada 
problemas que envolvam a utilização de recursos escassos. Para apoiar a 
tomada de decisão, a PO busca a solução de problemas que podem ser 
representados por modelos matemáticos. 
Exemplo e aplicação: Imagine que você esteja a margem leste de um rio 
juntamente com três amigos Felipe, João e Kelly. Vocês querem atravessar 
para a margem oeste e dispõem de um único meio de locomoção, uma canoa 
que pode levar no máximo duas pessoas por vez e não pode ir nem voltar 
vazia. Você tem constituição mais atlética e pode atravessar o rio a remo em 1 
minuto, enquanto Felipe, Joao e Kelly levam 2, 5 e 10 minutos, 
respectivamente. Se houver duas pessoas na canoa, o tempo da travessia será 
a média dos tempos que seriam gastos individualmente. Após duas travessias 
seguidas a pessoa fica cansada e leva o dobro do tempo para atravessar o rio. 
Como é mais conveniente realizar a travessia de modo que os quatro estejam 
do outro lado do rio no menor tempo possível? 
As seguintes alternativas podem ser consideradas: 
1. Ir você e Felipe, você volta pega João, você volta e pega Kelly. 
2. Ir você e Felipe, Felipe volta pega João, você volta e pega Kelly. 
3. Ir você e Felipe, você volta vai Joao e Kelly, Felipe volta e pega você. 
Calculando os tempos gastos em cada uma das alternativas, temos: 
T1 = 1, 5 + 1 + 3, 5 + 2 + 6 = 14 min 
T2 = 1, 5 + 2 + 4, 5 + 1 + 5, 5 = 14, 5 min 
T3 = 1, 5 + 1 + 7, 5 + 2 + 1, 5 = 13, 5 = 13, 5 min 
Dentre as três alternativas, a melhor ´e a alternativa 3, onde o tempo total para 
a travessia será de 13,5 minutos. 
Fontes de pesquisa: http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/files/file/po.pdf 
o 
o 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
16 de março 2016 às 09:05:30 
Quando surgiu a PO? 
Qual o fator que tornou a PO conhecida no mundo todo? 
O que são grafos? 
O que é vértice pendente? 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
16 de março 2016 às 21:48:28 
Surgiu durante a Segunda Guerra Mundial. 
Grafo é um conjunto de vértices e arestas que ligam pares de vértices distintos, não 
podendo ser mais de uma aresta a ligar qualquer par de vértice. 
Vértice pendente ou vértice folha é um vértice de grau um. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
17 de março 2016 às 08:18:09 
poste sobre grau de vértice dando exemplos. 
acacio callim. 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
17 de março 2016 às 19:25:31 
 
Grau (Y) = 3 
Grau (Z) = 2 
Grau (X) = 2 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
18 de março 2016 às 10:32:00 
parabéns, 
prove que tá bom nisso. 
desenhe um grafo com 10 vértices , sendo 4 pendentes e 2 isolados. 
mostre também o grau desses 10 vértices. 
ihhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh 
será recompensado se fizer. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
23 de março 2016 às 20:40:48 
 
 
Grau (X3, X6) = Nulo 
Grau (X1, X4) = 3 
Grau (X2, X5, X7, X10) = 1 
Grau (X8) = 4 
Grau (X9) = 2 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
25 de março 2016 às 10:59:08 
parabéns.... 
melhor postagem até agora. 
acacio callim 
 
o 
ALUNO 
VANDERLEI JORGE DOS SANTOS SILVA JUNIOR em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
1 de abril 2016 às 18:33:16 
Olá Boa noite! Professor E CaROs ALUNOS. 
 
grafo é um par g, onde v é um conjunto finito e não vazio, com ele aprendemos a resolver 
problemas cotidianos 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANDERLEI JORGE DOS SANTOS SILVA JUNIOR 
2 de abril 2016 às 10:00:25 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
15 de março 2016 às 20:30:34 
Na aula 2- CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL; 
A utilização dessa ferramenta é dividida em seis fases: formulação do problema; construção 
do modelo; cálculo do modelo; teste do modelo e da solução; controle das soluções; e 
implantação e acompanhamento. Cada uma de suas seis fases deve ser transposta para se 
encontrar a solução ótima. 
A escolha apropriada do modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. Se o 
modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a solução pode ser obtida através 
de métodos matemáticos convencionais. Por outro lado, se as relações matemáticas são 
muitos complexas, talvez se faça necessária a utilização de combinações de metodologias. 
Exemplo e Aplicação: Um jovem estava saindo com duas namoradas: Sandra e Regina. 
Sabe, por experiência, que: 
 Sandra, elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma 
saída de três horas custará R$240,00; 
 Regina, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três 
horas custará R$160,00; 
 Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão; 
 Seus afazeres escolares lhe darão liberdade de dispor de, no máximo, 18 horas e 40.000 
calorias de sua energia para atividades sociais; 
 Cada saída com Sandra consome 5.000 calorias, mas com Regina, mais alegre e 
extrovertida, gasta o dobro; 
 Ele gosta das duas com a mesma intensidade.Como deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas? 
Variáveis de decisão: 
X1 = número de saídas com Sandra; 
X2 = número de saídas com Regina. 
 
Parâmetros do problema: 
Sandra R$ 240,00 - 3 horas - 5.000 calorias 
Regina R$ 160,00 - 3 horas - 10.000 calorias 
Disponível R$ 960,00 - 18 horas - 40.000 calorias 
Função objetivo: 
Maximizar z = x1 + x2 
Restrições: 
240x1 + 160x2 ≤ 960 
3x1 + 3x2 ≤ 18 
5000x1 + 10000x2 ≤40000 
Utilizando técnicas de programação linear encontramos a solução: O rapaz deve sair 2 vezes 
com Sandra e 3 vezes com Regina, totalizando 5 saídas por mês. 
Fontes de pesquisa: http://www.administradores.com.br/artigos/tecnologia/pesquisa-
operacional-visao-geral/57475/ 
http://www.ericolisboa.eng.br/cursos/apostilas/po/cap1.pdf 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
16 de março 2016 às 09:08:16 
isso. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
15 de março 2016 às 20:49:43 
Na aula 3 - GRAFOS. 
Grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um 
determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G (V, E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Uma aresta é dita incidente com os vértices que liga. Se uma aresta é incidente em um único 
vértice, é chamado de laço. 
Dois vértices são chamados de adjacentes se estão ligados por arestas. Um vértice é dito 
isolado se não tem aresta incidindo sobre ele. 
Podemos denotar a relação E como E: vi vj onde vi, vj E V. 
Os elementos de V são chamados de vértices (ou nós), e os pares ordenados (vi, vj) 
representam as relações entre os elementos de V, de arestas (linhas) do grafo. 
Exemplo e Aplicação: O grafo G(V,A) dado por: 
V = { p | p é uma pessoa } 
A = { (v,w) | < v é amigo de w > } 
Esta definição representa toda uma família de grafos. Um exemplo de elemento 
desta família (ver G1) é dado por: 
V = {Maria, Pedro, Joana, Luiz} 
A = {(Maria, Pedro), (Pedro, Maria), (Joana, Maria), (Maria, Joana), (Pedro, Luiz), 
(Luiz, Pedro), (Joana, Pedro) , (Pedro, Joana)} 
G1: 
 
Neste exemplo estamos considerando que a relação <v é amigo de w> é uma relação 
simétrica, ou seja, se <v é amigo de w>então <w é amigo de v>. Como consequência, as 
arestas que ligam os vértices não possuem qualquer orientação. 
Fontes de pesquisa: Aula 3 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafos 
http://www.inf.ufsc.br/grafos/definicoes/definicao.html 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
16 de março 2016 às 09:09:40 
faça um desenho e mostre vértices pendentes, isolados e adjacentes . 
mostre tb o grau de cada vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
17 de março 2016 às 19:05:04 
 
Vértice Isolado – A4 
Vértices Adjacentes – (A1, A2) e (A1, A4), que incidem sobre A1 
 (A1, A6) e (A6, A3), que incidem sobre A6 
 (A3, A2), (A6, A3) e (A5, A3), que incidem sobre A3 
 (A1, A5) e (A5, A3), que incidem sobre A5 
Vértice Pendente – A2, pois gr (A2) = 1 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
18 de março 2016 às 10:30:16 
agora para 5 estrelas forneça o grau de todos os vértices. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
23 de março 2016 às 20:43:21 
Grau (A4) = Nulo 
Grau (A1, A5, A6) = 2 
Grau (A2) = 1 
Grau (A3) = 3 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
25 de março 2016 às 10:55:56 
poste alguma dúvida (se tiver) sobre as questões do avaliando aprendizado agora. 
novo momento do Fórum. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
16 de março 2016 às 14:44:37 
Olá professor Acacio e colegas. 
Na aula 1, Pesquisa Operacional (PO), consiste no estudo de métodos matemáticos, 
compostos também por programas de computador, utilizados para resolver problemas de 
gestão em relação à tomadas de decisão e controle do sistema. É vista como uma 
metodologia que estrutura processos por meio de construção de modelos e coletânea de 
técnicas quantitativa de otimização. Ela apresenta algumas características como a 
capacidade de gerar conclusões eficientes para o decisor, tenta resolver o conflito de 
interesse dos componentes da organização com a melhor solução possível e busca resolver 
problemas relacionados à condução e coordenação de operações ao longo de organizações 
de diferentes naturezas. 
Na aula 2, em Pesquisa Operacional - Modelos, observamos a formulação do problema, a 
coleta dos dados, a construção do modelo matemático, o desenvolvimento de estratégias 
para determinar soluções a partir do modelo proposto, a validação do modelo e 
implementação. Nela foi apresentado também variáveis da decisão, função objetivo 
(maximização ou minimização), as restrições (regras que dizem o que podemos ou não 
fazer) e as variáveis de decisão. 
Na aula 3, em Grafos, onde sua teoria é um ramos da matemática que remete ao estudo de 
objetos combinatórios, representados por pontos dispostos em posições arbitrárias 
denominadas de nós, ou vértices, conectados por curvas chamadas de arestas. Se uma 
aresta é incidente em um único vértice, é chamado de laço. Quando dois vértices estão 
ligados por arestas, denominamos de adjacentes. Quando um vértice está isolado, significa 
que não há aresta incidindo sobre ele. 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
17 de março 2016 às 08:15:22 
cite exemplos da vida cotidiana de sua postagem. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
17 de março 2016 às 13:53:48 
Olá Professor Acacio. 
Para fazer uma garrafa de suco especial (x1) preciso de 3 quilos de uvas. Para fazer uma 
garrafa de suco simples (x2) preciso de 2 quilos de uva. Em minha geladeira existem 20 
quilos de uvas. Quero usar todas as uvas para fazer os sucos e limpar minha geladeira. A 
Restrição desse modelo é: 
3x1 + 2x2 <=20. 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
18 de março 2016 às 10:28:12 
gostei. 
inventa outro agora além das restrições calcule a função objetivo. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
18 de março 2016 às 15:49:04 
Olá professor Acacio. 
A função objetivo é maximizar o lucro que pose ser calculado. 
O lucro de cada caixa de lasanha de carne (x1) e frango (x2) é respectivamente de R$3,00 e 
R$6,00. A função objetivo é: 
3x1 + 6x2 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
19 de março 2016 às 09:50:26 
faltaram as restrições. 
Estamos em busca de exemplos resolvidos sobre cálculo de grau de vértice. Tente colar um 
grafo e mostre os graus de todos os vértices desse grafo. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
23 de março 2016 às 15:09:12 
Olá professor Acacio. 
Não é muito fácil pesquisar e conseguir colar exemplos de grafos. Encontrei essa pesquisa 
para demonstrar o que o professor me solicitou. 
Definição de Grafos e Árvores 
Grafos sãoestruturas formadas por vários nós (vértices), interligados entre si por meio de 
arestas. Essas arestas podem ser direcionadas ou não – quando as arestas informam a 
direção, dizemos que o grafo é direcionado. 
Em computação, muitas coisas podem ser representadas como sendo um grafo. Na última 
seção, o mapa de possíveis movimentações para uma unidade pode ser encarado como um 
grafo. 
Um grafo pode ter todos os seus nós conexos, isto é, sempre há um caminho que vai de um 
nó a qualquer outro, ou não. A imagem abaixo é um exemplo de grafo conexo. 
 
Exemplo de grafo contendo 6 nós (vértices) e 7 arestas, onde a vértice 6 é pendente. 
Fonte: http://computacao.gigamundo.com/busca-em-arvores-ou-grafos/ 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
25 de março 2016 às 10:57:25 
a aula contempla tipos de vértices e grau de vértice. 
poste alguma dúvida (se tiver) sobre as questões do avaliando aprendizado agora. 
novo momento do Fórum. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 15:55:23 
Olá professor Acacio! 
Meu primeiro exemplo (sobre o suco de uva especial e simples) foi baseado em uma questão 
do avaliando o aprendizado. Postei pelo motivo de ter errado a questão na hora de resolver. 
O que eu não compreendi muito bem é que em algumas a restrição apresenta somente < , e 
em outras apresenta ou =. 
O professor poderia me explicar, citando exemplos em que eu possa associar. 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
31 de março 2016 às 08:43:53 
ótima pergunta. 
todas as inequações sempre devem ser menor e igual e nunca só menor. 
mandei consertar tudo agora, 
grato, 
acacio callim 
o 
o 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
31 de março 2016 às 12:57:45 
Muito obrigada professor Acacio! 
Embora faça o curso Tecnólogo em Logística, tenho dentro de mim o desejo de estudar 
engenharia de produção, e o professor me tem sido referencia de incentivo. 
Grata por sua atenção, 
Cristiane. 
 
 
ALUNO 
STEFAN JOSE ALVES COSTA 
16 de março 2016 às 16:36:22 
Boa tarde mestre, 
Com relação aos temas propostos, destaca-se que com a evolução científica advinda do 
período interguerra, a Pesquisa Operacional consolidou-se como instrumento apto a permitir 
a tomada de deciões, consitui-se a Pesquisa Opercional como conjunto de processos 
alternativos e ações viáveis no contraponto aos valores eficiência e custos. desta forma, 
trata-se de sistema autônomo e organizado na técnica científica de análise experimentação e 
prova, buscando a máxima eficiência do modelo proposto vinculado dentro de parâmetros 
matemáticos e probalísticos. Dentre outras técnicas de uma Pesquisa Operacional destacam-
se as de programação linear, das filas e dos grafos (abaixo tratada). Com relação aos 
modelos de pesquisa operacional, estes são predominantemente matemáticos e de 
probabilidades considerando as variáveis controláveis decisivas, e as não decisivas e/ou não 
controláveis, razão pela qual a Pesquisa Operacional de fato aproxima-se dos cálculos de 
provabilidades.Com relação aos grafos (termo de origem latina - grafia), é evidente que se 
trata da representação visual das relações dos elementos informados, ainda que seja ramo 
da matemática que estuda a relação entre objetos e conjuntos, aplica-se os conceitos de 
vértices e pares ordenados nas relações elementais, sendo as conexões por arestas, curvas, 
laços e subrelações. os conceitos dos colegas acima descrevem perfeitamente tal 
característica sendo desnecessária sua mera repetição. 
att. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a STEFAN JOSE ALVES COSTA 
17 de março 2016 às 08:16:05 
Vamos dar exemplos práticos de sua última postagem. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
STEFAN JOSE ALVES COSTA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
29 de março 2016 às 12:54:59 
Sim mestre! Em representações de cenários de Guerra, é possível observar em diversas 
hipóteses, o Quadro e os setores de Pesquisa Operacional, inclusive com os vetores expostos 
geralmente nas imagens que se passam em QGs, nas quais em alguns há disposição de 
logística de transporte de suprimento e tropas, com ações variáveis, probabilidades, e 
resultados múltiplos. Esta é apenas uma representação visual exemplificada, sabendo-se que 
de fato a pesquisa é muito mais complexa e envolvente. Outro exemplo é o das operadoras 
de Trens e Metrô das grandes cidades, com as variáveis de pesquisa operacional de 
capacidade de transporte de passageiros, e vetorização de linhas e parâmetros. 
abs. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a STEFAN JOSE ALVES COSTA 
29 de março 2016 às 18:41:11 
vamos agora postar exercicios das aulas 1,2 e 3 resolvidos.exercicios numéricos. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
EDUARDO COSTA FELIPE 
16 de março 2016 às 20:51:45 
Boa noite. 
Na primeira aula pude conhecer um pouco sobre os fundamentos da pesquisa operacional a 
P O e sua origem, e hoje percebo que é uma ferramenta muito importante e indispensável 
para as organizações. 
Atuo em uma empresa que vem crescendo muito no sul no Brasil e em 8 anos de empresa 
estou acompanhando toda história, e posso garantir que nos últimos anos o investimento 
em programas ,treinamento e capacitação de gestores é notável. Plataforma de ensino EAD 
para seus colaboradores e integração dos mesmos com os produtos comercializados gera um 
retorno imenso perante aos clientes desta organização. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a EDUARDO COSTA FELIPE 
17 de março 2016 às 08:17:08 
fale sobre função objetivo e suas restrições. 
fale sobre grafos - vértices e grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
17 de março 2016 às 13:48:40 
Boa tarde! 
PESQUISA OPERACIONAL 
- Conjunto de técnicas e métodos aplicados por equipes multidisciplinares para se determinar 
a melhor utilização de recursos limitados e para programação otimizada das operações de 
uma empresa. 
É uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais, tendo como foco a 
tomada de decisões. 
-Tomada de decisão é a principal característica que distingue os gerentes dos demais 
funcionários na empresa. 
Consiste no estudo de métodos matemáticos, usualmente implementados por programas de 
computador, que podem ser utilizados para resolver problemas gerenciais relacionados à 
tomada de decisão e controle de sistemas. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
18 de março 2016 às 10:26:14 
Vamos agora atacar a aula 3 - grafos..... 
vértices pendentes 
isolados 
adjacentes 
grau de vértice 
etc 
aguardo as postagens 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 22:13:32 
Boa noite! 
Vértices 
Em teoria dos grafos, um vértice (plural vértices) ou nó é a unidade fundamental da qual os 
grafos são formados: um grafo não dirigido consiste de um conjunto de vértices e um conjun
to de arestas (pares de vértices não ordenados), enquanto um digrafo é constituído por um c
onjunto de vértices e um conjunto de arcos (pares ordenados de vértices). Do ponto de vista
 da teoria dos grafos, vértices são tratados como objetos inexpressivos e indivisíveis, embora
 possam ter uma estrutura adicional, dependendo da aplicação a partir da qual surge o grafo
; por exemplo, uma rede semântica é um grafo no qual os vértices representam conceitos ou
 classesde objetos. 
Os dois vértices formando uma aresta são ditos suas extremidades e a aresta é dita que é in
cidente para com os vértices. Um vértice w é dito ser adjacente a outro vértice v se o graf
o contém uma aresta (v,w). A adjacência de um vértice v é um subgrafo induzido do grafo, f
ormado por todos os vértices adjacentes a v. 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
31 de março 2016 às 08:44:42 
continuando sobre vértice: 
poste sobre vértice nulo, pendente e grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 22:21:59 
Vértice Isolado 
Dois vértices são chamados de adjacentes se estão ligados pôr arestas. Um 
vértice é dito isolado, se não tem aresta incidindo sobre ele. Ou seja, ele está isolado no 
grafo. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
31 de março 2016 às 08:48:08 
estou aguardando o grafo com 10 vértices. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
17 de março 2016 às 13:51:53 
GRAFOS 
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um 
determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não 
arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
 
Um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: 
V - conjunto não vazio: os vértices ou nodos do grafo; 
A - conjunto de pares ordenados a=(v,w), v e w ∈ V: as arestas do grafo. 
Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: 
V = { p | p é uma pessoa } 
A = { (v,w) | < v é amigo de w > } 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
18 de março 2016 às 10:28:45 
Poste sobre: grafos..... 
vértices pendentes 
isolados 
adjacentes 
grau de vértice 
etc 
aguardo as postagens 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 22:17:28 
O grau de um vértice em um grafo é o número de arestas incidentes a ele. Um vértice isol
ado é um vértice com grau zero, isto é, um vértice que não é um ponto final de toda a aresta
. Um vértice folha (também vértice pendente) é um vértice de grau um. Em um grafo direcio
nado, pode-
se distinguir o grau de saída (número de arestas divergentes) do grau de entrada (número d
e arestas convergentes); uma fonte é um vértice com grau de entrada zero, enquanto um su
midouro (ou poço) é um vértice com grau de saída nulo. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
31 de março 2016 às 08:47:30 
muito bom. 
escolheu os slides perfeitos sobre o assunto. 
continue a sua pesquisa e poste um grafo com 10 vértices e de o grau de todos. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
17 de março 2016 às 13:59:26 
Princípios da construção de modelos de pesquisa operacional 
O Desenvolvimento da Pesquisa Operacional Durante a Segunda Guerra Mundial, um grupo 
de cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratégia e de tática 
associados com a defesa do país. O objetivo era decidir sobre a utilização mais eficaz de 
recursos militares limitados. A convocação deste grupo marcou a primeira atividade formal 
de pesquisa operacional. Os resultados positivos conseguidos pela equipe de pesquisa 
operacional inglesa motivaram os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. Apesar 
de ser creditada à Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, sua propagação deve-se 
principalmente à equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados Unidos, 
convocada durante a Segunda Guerra Mundial. Ao resultado deste esforço de pesquisa, 
concluído em 1947, deu-se o nome de Método Simplex. Com o fim da guerra, a utilização de 
técnicas de pesquisa operacional atraiu o interesse de diversas outras áreas. A natureza dos 
problemas encontrados é bastante abrangente e complexa, exigindo portanto uma 
abordagem que permita reconhecer os múltiplos aspectos envolvidos. Uma característica 
importante da pesquisa operacional e que facilita o processo de análise e de decisão é a 
utilização de modelos. Eles permitem a experimentação da solução proposta. Isto significa 
que uma decisão pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser efetivamente 
implementada. A economia obtida e a experiência adquirida pela experimentação justificam a 
utilização da Pesquisa Operacional. Com o aumento da velocidade de processamento e 
quantidade de memória dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa 
Operacional. Este progresso é devido também à larga utilização de microcomputadores, que 
se tornaram unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos 
desenvolvido pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rápidos e versáteis, 
além de serem também interativos, possibilitando a participação do usuário ao longo do 
processo de cálculo. 
fonte: http://www.ericolisboa.eng.br/ 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
18 de março 2016 às 10:26:52 
aguardando postagem da aula 3. 
acacio callim 
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ALUNO 
CLAUDIANA AZEVEDO DA HORA ALVES 
18 de março 2016 às 11:12:53 
Bom dia! 
 
FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL; 
Pesquisa Operacional (P.O.) nada mais é que um método científico para a tomada de 
decisões. A P.O. “estrutura processos, propõe um conjunto de alternativas e ações, fazendo 
a previsão e a comparação de valores, de eficiência e de custos” A P.O. é, portanto, um 
sistema organizado com auxílio de modelos bem como da experimentação de modelos, com 
o fito de operar um sistema da melhor maneira possível. Considero a P.O. como uma 
ferramenta matemática aplicada no processo de tomada de decisão. Para isso, fazemos uso 
de modelos matemáticos estruturados em fases. 
Trazendo a P.O. para o mercado no dia de hoje, vemos como a mesma é utilizada por se 
tratar de decisões. Tomar decisões é uma condição da vida humana. Viver é escolher entre 
apostas viáveis. Toda organização é necessário haver um processo de tomada de decisão, 
onde irar ver a parte a ser incluída ou excluída. A P.O. pode ser utilizada para resolver os 
seguintes problemas no ambiente organizacional: 
-otimização de recursos; 
-Roteirização; 
-localização; 
-carteiras de investimento; 
-alocação de pessoas; 
-previsão de planejamento, etc. 
 
CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL; 
 
Modelos: Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser 
um projeto aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o 
funcionamento do sistema, de modo a aumentar sua produtividade. A escolha apropriada do 
modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. 
O modelo é utilizado para definir a estrutura ideal do sistema.Um estudo de pesquisa 
operacional geralmente envolve as seguintes fases: 
 (1) definição do problema; 
 (2) construção do modelo; 
(3) solução do modelo; 
(4) validação do modelo; 
(5) implementação da solução 
 
Fonte de pesquisa: http://www.ericolisboa.eng.br/cursos/apostilas/po/cap1.pdfGRAFOS: 
 é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado 
conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), onde V é um 
conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de pares não 
ordenados de V, chamado arestas. 
 
Abaixo temos exemplo de um grafo com 4 vértices e 6 arestas. É um grafo completo, conexo 
e planar. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUDIANA AZEVEDO DA HORA ALVES 
19 de março 2016 às 09:49:39 
Estamos em busca de exemplos resolvidos sobre cálculo de grau de vértice. Tente colar um 
grafo e mostre os graus de todos os vértices desse grafo. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
CLAUDIANA AZEVEDO DA HORA ALVES em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
22 de março 2016 às 09:44:08 
Bom dia! 
Segue meu exemplo: 
Na teoria dos grafos, o grau de um vértice de um grafo é o número de arestas 
incidentes para com o vértice. 
Grau(Maria) = 3 
Grau(Pedro) = 2 
 
 
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 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUDIANA AZEVEDO DA HORA ALVES 
22 de março 2016 às 12:04:06 
qual o vértice é o pendente? 
acacio callim 
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ALUNO 
JOHN LENNON SOUZA 
19 de março 2016 às 18:58:36 
Sobre os fundamentos da Pesquisa Operacional, surgiu durante a Segunda Guerra 
Mundial tendo como objetivo o desenvolvimento de metodologia para solução de problemas 
relacionados com as operações militares quando os Aliados se viram confrontados com 
problemas complexos de natureza logística, t´atica e de estratégia militar. Para apoiar os 
comandos operacionais na resolução desses problemas foram criados grupos 
multidisciplinares compostos por matemáticos e físicos, engenheiros e cientistas sociais. O 
que esses cientistas fizeram foi aplicar o método científico, que tão bem conheciam, aos 
problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram então a ideia de criar 
modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os 
problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias bem como 
propor decisões alternativas. Em 1941 a Inglaterra inaugura a Seção de Pesquisa 
Operacional do Comando da Força Aérea de Combate para trabalhar com problemas de 
operações de guerra, manutenção e inspeção de aviões, melhoria da probabilidade de 
destruição de submarinos, controle de artilharia anti-aérea, dimensionamento de comboios 
de frota, entre outros. O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes 
que, terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de 
abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que, com o vertiginoso 
crescimento econômico que se seguiu, se viram também confrontadas com problemas de 
decisão de grande complexidade. Em 1947 os Estados Unidos implantam o projeto SCOP 
(Scientific Computation of Optimal Programs) com o objetivo de apoiar decisões de 
operações da força aérea americana, coordenado por um economista e por um matem´atico 
George Dantzig que desenvolveu e formalizou o Método Simplex para resolver problemas de 
otimização linear. Face ao seu caráter multidisciplinar, atualmente as contribuições da PO 
estende-se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à 
Medicina, passando pela Economia e à Gestão Empresarial. 
Os ramos mais importantes da P.O são: Gestão de Estoques, Programação linear, Analise 
Estatística, Programação Não Linear, Programação Dinâmica,Programação Inteira, 
Otimização Global, entre outros. 
Podemos dizer que o objetivo principal da PO é determinar a programação otimizada de 
atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de procedimentos e métodos quantitativos 
para tratar de forma sistematizada problemas que envolvam a utilização de recursos 
escassos. 
Para apoiar a tomada de decisão, a PO busca a solução de problemas que podem ser 
representados por modelos matemáticos. De modo geral, para a resolução de um problema. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOHN LENNON SOUZA 
20 de março 2016 às 13:04:45 
Faltou falar sobre a programação linear envolvendo o cálculo da função objetivo e suas 
restrições. 
aguardo, 
acacio callim 
 
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ALUNO 
JOHN LENNON SOUZA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
21 de março 2016 às 21:29:35 
Professor, sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa 
Operacional das mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização. Os problemas 
de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos limitados para 
atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em se 
tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear, denominada de 
"Função Objetivo". É necessário também que se defina quais as atividades que consomem 
recursos e em que proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são 
apresentadas em forma de equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao 
conjunto dessas equações e/ou inequações, denomina-se "Restrições do Modelo". 
Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas 
atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes 
com as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função 
objetivo, isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o 
nome de solução ótima. Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de 
um problema, uma vez definida o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições 
lineares. 
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 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOHN LENNON SOUZA 
22 de março 2016 às 12:03:15 
Estamos fazendo uma coletânea de desenhos(grafos) sobre vértices adjacentes, isolados, 
laços e pendentes com os seus respectivos graus. 
pode colaborar? 
acacio callim 
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 
ALUNO 
JOHN LENNON SOUZA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
31 de março 2016 às 12:45:56 
 
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 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOHN LENNON SOUZA 
2 de abril 2016 às 09:53:40 
faltou: 
vértice pendente 
vértice isolado 
vértice com laço 
grau de vertice 
etc 
acacio callim 
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ALUNO 
MAURICIO GOMES MACIEL 
21 de março 2016 às 09:06:01 
Bom dia! 
Situações de distribuição que consideram uma ou mais fontes de origem, centros de 
distribuição e locais intermediários por onde materiais e produtos apenas passam, são 
denominados problemas de rede de distribuição. 
 Os problemas de transporte podem ser considerados uma simplificação do problema de rede 
de distribuição de menor custo. Encontramos um problema de transporte quando precisamos 
enviar unidades de um produto por uma rede de modais (ou único modal) que conectam um 
determinado local ou grupo de locais de entrega. 
 
A logística concentra-se no fluxo dos materiais e produtos, das informações e das finanças 
que devem ocorrer entre os parceiros da Supply Chain Management (Gestão da Cadeia de 
Abastecimento), que é entendido como o conceito de integração da empresa com todas as 
demais empresas da cadeia de suprimentos: fornecedores, clientes e provedores externos de 
meios logísticos, compartilhando informações e planos necessários para tornar a cadeia de 
distribuição mais eficiente e competitiva. Além disso, procura melhorar esses fluxos da 
cadeia por meio de métodos e técnicas, modelos matemáticos, softwares, tecnologia de 
informação (TI) visando atender o nível de serviço ao cliente. 
Os gerentes de logística se veem envolvidos com decisões estratégicas, táticas e 
operacionais; entre outras: quantidade e função dos centros dedistribuição, depósitos e 
armazéns (estratégicas); meios de transporte, roteiros e medidas de desempenho (táticas); 
programas diários de embarque, roteiros diários, etc. 
 
Quando em um grafo existe a associação de um ou mais valores aos arcos e/ou nós, pode-se 
defini-lo como uma rede. Pode-se representar uma rede como R={V,A,α }, onde V e A são, 
respectivamente, os conjuntos de nós e arcos que formam um grafo, e α, os parâmetros 
associados aos elementos do conjunto A e/ou do conjunto V. 
G(V,A) sendo: V={V1,V2,V3,V4} e A={V1V2,V2V3,V3V4,V4V1} 
Podem-se citar alguns valores de α associados aos arcos: a capacidade de fluxo, que 
corresponde ao limite que pode passar pelo arco; o custo no arco, que pode ser considerado 
como um valor monetário, a distância percorrida ou o tempo de viagem no arco e o fluxo no 
arco. Existem também os valores de α associados aos nós: população de uma 
cidade; número de produtos fabricados em uma unidade e demanda de produtos em uma 
área geográfica. 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a MAURICIO GOMES MACIEL 
21 de março 2016 às 10:48:55 
Vamos postar agora uma questão ligada a webaula constando: 
vertice isolado; 
vertice pendente; 
laço; 
grau de vértice. 
acacio callim 
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ALUNO 
JOHN LENNON SOUZA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
22 de março 2016 às 13:05:33 
Um vértice é o ponto comum entre os lados consecutivos de uma figura geométrica, ou o ponto comum 
entre os dois lados de um ângulo, ou o encontro de duas semi-retas, dos dois lados de um polígono ou de 
três (ou mais) faces de um poliedro. 
Laço: 
É uma aresta formada por um par de vértices idêntico; 
Grau de um vértice: 
Grau de um vértice v (grau(v)) é o número de arestas que incidem em v; 
O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v; 
 
Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice. 
 
(Não consigo colar a imagem porém segue link das informações, acreido que seja de 
ajuda: http://www.cin.ufpe.br/~if670/Grafos2-Definicoes.pptx ) 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOHN LENNON SOUZA 
23 de março 2016 às 10:23:53 
Está disponível exercícios de revisão das nossas aulas 1, 2 e 3 em nosso ambiente. 
Vamos fazer. 
esses exercícios são prováveis questões da sua prova. 
Estaremos dando estrelas para solução dos exercícios propostos das aulas 1 ,2 e 3 no nosso 
ambiente. 
acacio callim 
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ALUNO 
MAURICIO GOMES MACIEL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
1 de abril 2016 às 17:39:15 
 
Em 1.736, o famoso matemático Leonard Euler publicou um artigo com a solução do 
problema, através de uma das primeiras utilizações conhecidas da teoria dos Grafos, 
representando as regiões como vértices e as pontes como arestas. 
Formalmente, então, dizemos que um grafo G(V, E) consiste de um conjunto de vértices V e 
um conjunto de arestas E. Cada aresta é um par não ordenado de vértices {i, j}, chamados 
de extremidades da aresta. Em geral, representamos os vértices por pontos ou por círculos e 
as arestas por segmentos de retas ou por linhas curvas. 
Dizemos que uma aresta é incidente aos vértices aos quais ela está associada e vice-versa. 
Duas arestas que são incidentes ao mesmo vértice são chamadas deadjacentes. Um grafo 
possui arestas múltiplas se existem duas ou mais arestas incidentes ao mesmo par de 
vértices. Chamamos de laço as arestas cujas extremidades são o mesmo vértice. 
Um grafo é chamado simples se ele não possui laços ou arestas múltiplas; caso contrário, 
ele é chamado de multigrafo. O grau de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, 
sendo que um laço conta como dois. O grau de um grafo é a soma do grau de todos os 
vértices. Um vértice de grau zero é chamado de vértice isolado; um vértice de grau um é 
chamado de pendente. 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a MAURICIO GOMES MACIEL 
2 de abril 2016 às 09:59:31 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
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ALUNO 
FABRICIA SCOPEL 
21 de março 2016 às 18:31:16 
Boa noite! 
Aplicação da Pesquisa Operacional de Transporte 
 
A Logística de Transportes é um ramo que 
envolve a escolha do melhor modal de 
transporte para que seja transportado o maior 
número de mercadorias, visando, contudo, 
menores custos e tempo possíveis. O 
transporte é, então, uma das principais 
funções logísticas. 
 
Com base nisso, é preciso que haja a visão do 
planejamento de transporte para que tudo 
ocorra no tempo certo. É controlar, saber 
calcular o tempo entre a rota a ser seguida 
para um feedback futuro. Esse processo 
chama-se Pesquisa Operacional que é a 
preparação científica das decisões, através do 
conjunto de métodos é que vão ser analisados 
os indicadores e vão ser determinadas essas 
decisões. A Pesquisa Operacional na Logística 
do Transporte é feita através de Bom 
Planejamento, Desenvolvimento e Ótimo 
Controle da Operação. 
 
A P.O. designa-se à construção de 
representações de sistema e comportamento 
para que possa orientar-se durante a pesquisa 
de seu campo. Como proporção de 
aprendizado, fazem parte das cinco fazes num 
projeto de pesquisa operacional à formulação 
do problema; Construção do modelo; 
Obtenção da solução; Teste do modelo e 
avaliação da solução; Implantação e 
Acompanhamento da solução que deverá ser 
avaliada. 
 
Todo esse conjunto organizacional faz parte 
da operação do transporte. Portanto devem-se 
haver verificações administrativas quanto aos 
pontos negativo-positivos quanto à compra, 
ao fornecedor e, consequentemente, ao 
cliente, que é o mais importante, pois está a 
todo instante avaliando e é onde surge a 
abertura de novas recomendações a partir do 
mesmo. Portanto, não deve haver pontos 
negativos, mas sim um Segundo Plano de 
uma Pesquisa Operacional na Logística de 
Transporte. 
 
Ela começou em 1936 quando foi utilizado o 
termo "operational research". Um pouco 
depois na 2ª Grande Guerra, a partir de 1939 
até 1945, as gerências da Inglaterra 
implantaram o tratamento científico para a 
resolução de problemas de escassez de 
diversos suprimentos. 
 
A P.O. utiliza algumas ferramentas para obter 
êxito em sua função, uma delas é a teoria da 
decisão, a teoria da decisão é a ciência que 
estuda a tomada de decisões em momentos 
de incerteza. O objetivo da Teoria da Decisão 
e apoiar a escolha de uma ação (ou de uma 
estratégia) que seja consistente com as 
alternativas, a informação, os valores e a 
lógica do decisor no momento da tomada de 
decisão. 
 
Cada decisão tem um ganho ou perda a ela 
associado, que é determinado por 
circunstâncias externas ao processo, fatos que 
distinguem estes processos dos tratados 
atrás. 
 
Com base nesses principios a pesquisa 
operacional é realizada, pois é nesse campo 
onde serão tomadas decisões que irão mostrar 
ao fornecedor o melhor caminho para 
satisfazer ao cliente. 
 
 
fonte: (http://fateclog.blogspot.com.br/2012/11/aplicacao-da-pesquisa-operacional-
de.html 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a FABRICIA SCOPEL 
22 de março 2016 às 12:01:38 
Estamos fazendo uma coletânea de desenhos(grafos) sobre vértices adjacentes, isolados, 
laços e pendentes com os seus respectivos graus. 
pode colaborar? 
acacio callim 
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 
ALUNO 
FABRICIA SCOPEL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 20:49:04 
Tipos e características de grafos 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: O grau do vértice 3 do grafo abaixo é 4, veja a figura abaixo: 
 
 
Exemplo 6: No grafo abaixo, o grau de cada vérticeé contado, veja: 
 
 
 
 
 
 
 
Na sequência veja este importante teorema que relaciona as arestas de um grafo e o seu 
grau. 
 
Teorema do aperto de mão: 
 
Seja G um grafo. A soma dos graus de todos os vértices de G é duas vezes o número de 
arestas de G. 
 
Uma consequência imediata do teorema acima é 
 
Corolário: 
 
O grau total de um grafo é par. 
 
Definição: (Grafo regular) 
 
Um grafo é regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau. 
 
Teorema: 
 
Em qualquer grafo G, existe um número par de vértices de grau ímpar. 
 
 
 
Definição: (Grafo conexo) 
 
Um grafo G é conexo se for possível ir de qualquer vértice para outro vértice através de 
uma sequência de vértices adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição (Trajeto Euleriano): 
 
Seja G um grafo e seja v e w dois vértices de G. Um trajeto Euleriano de v até w é uma 
sequência de arestas e vértices adjacentes que começa emv, termina em w e passa por 
cada vértices de G pelo menos uma vez e passa por cada aresta de G apenas uma vez. 
 
 
Teorema: 
 
Seja G um grafo e v e w dois vértices de G. Existe um trajeto Euleriano de v até w se e 
somente se G é conexo e v e w têm grau ímpar e todos os outros vértices de G têm 
grau par. 
 
 
 
 
Veja uma solução: 
 
 
 
 
 
fonte:http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article
&id=482%3Atiposdegrafos&catid=80%3Agrafos&Itemid=77 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a FABRICIA SCOPEL 
5 de abril 2016 às 16:44:17 
bela postagem. 
agora: 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
JOÃO DE REZENDE DELGADO 
21 de março 2016 às 19:22:12 
Boa noite, Professor 
Sintese da 1ª aula 
 A Pesquisa Operacional (PO) consiste no estudo de métodos matemáticos, 
usualmente implementados por programas de computador, que podem ser utilizados para 
resolver problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e controle de sistemas. É 
vista como uma metodologia para estruturar processos por meio de construção de modelos. 
Coletânea de técnicas quantitativas de otimização. 
 O termo “pesquisa” significa que a PO faz uso de uma abordagem que lembra a 
forma de como as pesquisas são conduzidas em diversas áreas do conhecimento como 
Formulação do Problema, Coleta de dados relevantes, Modelagem, Validação…etc. 
 A origem da Pesquisa Operacional é atribuída ao serviço militar na 2ª Guerra 
Mundial; Serviço militar do Reino Unido e EUA recrutaram diversos cientistas p/ realizar 
pesquisas em operações (militares); Durante este período, os cientistas começaram a 
estudar de forma sistemática e racional os processos envolvidos na realização de uma 
atividade produtiva. Dois fatores foram responsáveis pelo rápido crescimento da PO: 
Progresso substancial no desenvolvimento de técnicas, como: 
Algoritmo Simplex 
Programação Linear 
Programação Dinâmica 
Teoria das Filas 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOÃO DE REZENDE DELGADO 
22 de março 2016 às 12:02:21 
aguardando os desenhos. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
JOÃO DE REZENDE DELGADO 
21 de março 2016 às 19:24:02 
Sintese da 2ª aula 
Construção por Programação Linear 
 Problemas de programação são modelados tal que o melhor uso de recursos 
escassos possa ser determinado, conhecidos os objetivos e necessidades do analista. 
Problemas de programação linear compõem uma sub-classe de problemas nos quais a 
modelagem é inteiramente expressa em termos de equações lineares. Parece intuitivo que 
para ser possível a solução de um dado problema através da programação linear, o problema 
deve ser, inicialmente, formulado em termos matemáticos. A construção de um modelo de 
programação linear segue três passos básicos (Ravindran et al., 1987): 
 Passo I. Identifique as variáveis desconhecidas a serem determinadas (elas são 
denominadas variáveis de decisão) e represente-as através de símbolos algébricos (por 
exemplo, x e y ou x1 e x2). 
 Passo II. Liste todas as restrições do problema e expresse-as como equações (=) 
ou inequações (≤, ≥) lineares em termos das variáveis de decisão definidas no passo 
anterior. 
 Passo III. Identifique o objetivo ou critério de otimização do problema, 
representando-o como uma função linear das variáveis de decisão. O objetivo pode ser do 
tipo maximizar ou minimizar. 
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 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOÃO DE REZENDE DELGADO 
22 de março 2016 às 12:01:58 
Estamos fazendo uma coletânea de desenhos(grafos) sobre vértices adjacentes, isolados, 
laços e pendentes com os seus respectivos graus. 
pode colaborar? 
acacio callim 
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ALUNO 
JOÃO DE REZENDE DELGADO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
22 de março 2016 às 23:19:11 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOÃO DE REZENDE DELGADO 
23 de março 2016 às 10:44:54 
Está disponível exercícios de revisão das nossas aulas 1, 2 e 3 em nosso ambiente. 
Vamos fazer. 
esses exercícios são prováveis questões da sua prova. 
Estaremos dando estrelas para solução dos exercícios propostos das aulas 1 ,2 e 3 no nosso 
ambiente. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JOÃO DE REZENDE DELGADO 
21 de março 2016 às 19:28:04 
Sintese 3ª aula 
 A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os 
objetos de um determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas 
de grafos, G(V,E), onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é 
um conjunto de pares não ordenados de V, chamado arestas. 
 Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou 
não arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
 Na literatura, as definições básicas da teoria dos grafos variam bastante. Aqui estão as 
convenções usadas nesta enciclopédia. 
Um grafo direcionado (também chamado dígrafo ou quiver) consiste de: 
· um conjunto V de vértices, 
· um conjunto E de arestas e 
· mapas s, t : E → V, onde s(e) é a fonte e t(e) é o alvo da aresta direcionada e. 
Um grafo não direcionado (ou simplesmente grafo) é dado por 
· um conjunto V de vértices, 
· um conjunto E de arestas e 
· uma função w : E → P(V) que associa a cada aresta um subconjunto de dois ou 
de um elemento de V, interpretado como os pontos terminais da aresta. 
 Em um grafo ou dígrafo com pesos, uma função adicional E → R associa um valor a 
cada aresta, o que pode ser considerado seu "custo"; tais grafos surgem em problemas de 
rota ótima tais como o problema do caixeiro viajante 
. 
Grafo com 4 vértices e 6 arestas. É um grafo completo, conexo e planar. 
 
 
ALUNO 
SILVIA CRISTINA MOREIRA 
22 de março 2016 às 23:31:05 
Boa noite a todos! 
Grafos aula 3, pesquisei na internet exemplos para ficar mais claro. 
Antes de mais nada, vamos tentar entender o que é um grafo. Um grafo é uma estrutura 
matemática usada para representar as relações entre ascoisas. Imagine: 
 Um mapa rodoviário: nele, as cidades se relacionam entre si através das várias estradas. 
 Um sistema de distribuição de água: nele, as casas se relacionam entre si (e entre as 
centrais de distribuição) através dos canos de água. Esse exemplo também vale para 
distribuição de energia (casas/postes), de gás (casas/canos), etc. 
 A hierarquia de uma empresa: nela, os funcionários se relacionam entre si através da relação 
"é chefe de". Podemos desenhar então aquelas hierarquias, com o presidente no topo (pois é 
chefe de todo mundo) e os estagiários lá no fim (pois não mandam em ninguém). 
 O relacionamento social entre pessoas: nele, as pessoas se interligam entre si através da 
amizade. Se A é amigo de B e B é amigo de C, indiretamente, A está "conectado" . O 
facebook é um exemplo de rede de amigos que, no fim das contas, é um grafo. Você possui 
amigos e está "conectado" a eles. Estes, eventualmente estão conectados a outras pessoas. 
Já notou quando você entra no perfil de alguém que você não conhece (diretamente) e o 
facebook mostra um "caminho" de pessoas, de você até aquela pessoa? Aquilo é um clássico 
problema de grafos! Devemos partir de uma pessoa (você) e, percorrendo seus 
relacionamentos, encontrar um "caminho" até outra pessoa. 
Essas "coisas" que se relacionam entre si são chamados de nós do grafo. Cada 
relacionamento entre os nós é chamado de aresta. Normalmente, para facilitar sua 
visualização e sua compreensão, grafos são representados graficamente. Atenção! Não 
confunda as duas palavras! Grafos são entidades matemáticas, abstratas, que possuem nós 
(coisas) e arestas (relacionamento entre essas coisas). Gráficos são imagens. 
Grafos podem ser representados graficamente, mas o grafo não é a sua representação 
gráfica - existem várias outras maneiras de representar grafos que não graficamente. Para 
acabar com essa bagunça toda, vamos dar uma olhada em um grafo. 
 
A partir da imagem acima já podemos perceber algumas coisas: geralmente, em sua 
representação gráfica, os nós são representados por círculos e as arestas por linhas que 
conectam esses círculos. Outro detalhe interessante é que os nós da figura acima tem 
números dentro deles. Esses números servem somente para distinguir os nós - na verdade, 
podem representar os números das casas no sistema de distribuição de água, poderia ser o 
nome da cidade no mapa, etc. 
Boa noite! 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a SILVIA CRISTINA MOREIRA 
23 de março 2016 às 10:45:22 
Está disponível exercícios de revisão das nossas aulas 1, 2 e 3 em nosso ambiente. 
Vamos fazer. 
esses exercícios são prováveis questões da sua prova. 
Estaremos dando estrelas para solução dos exercícios propostos das aulas 1 ,2 e 3 no nosso 
ambiente. 
acacio callim 
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ALUNO 
SILVIA CRISTINA MOREIRA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
23 de março 2016 às 22:19:43 
Boa noite professor Acacio! 
Resolvi os exercícios de revisão das aulas 1 até 3. Mas não acertei tudo, vou me esforçar 
mais nos próximos ok. 
Boa noite! 
 
 
 
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ALUNO 
RICARDO JOSÉ SILVA DE GUSMAO 
23 de março 2016 às 13:21:58 
A pesquisa operacional surgiu ao longo da segunda guerra mundial devido a necessidade de 
encontrar uma forma mais eficiente de resolverem algumas situações em que as forças de 
combate estavam envolvidas. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a RICARDO JOSÉ SILVA DE GUSMAO 
25 de março 2016 às 10:54:57 
muito modesta sua revisão. 
fale sobre grafos: 
tipos de vértices e grau de vértice. 
acacio callim 
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ALUNO 
CLEBIO DA SILVA OLIVEIRA JUNIOR 
23 de março 2016 às 17:33:58 
Prezado Professor 
Boa tarde! 
 
Segue pesquisa e comentários: 
FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL, CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA 
OPERACIONAL E GRAFOS. 
 
A Pesquisa Operacional (PO) é a área que analisa formas de modelar os sistemas do mundo 
real em termos matemáticos, para identificar mais claramente as relações entre diferentes 
elementos com o objetivo de melhorar ou otimizar seu desempenho. Ela faz uso de modelos 
matemáticos, estatísticos e de algoritmos para identificar pontos de melhoria e ajudar na 
tomada de decisões empresariais. 
Esta área está intimamente ligada à logística, pois muitos sistemas produtivos, industriais e 
gerenciais podem fazer uso das técnicas de Pesquisa Operacional para alcançar um 
desempenho superior. De fato, muitos softwares utilizados por empresas têm complexos 
algoritmos por trás, para determinar a melhor quantidade de produtos para se manter em 
estoques, os melhores volumes de produção (e seu agendamento), fazer roteamento de 
veículos, dentre outros. 
A Pesquisa Operacional normalmente busca encontrar o valor máximo (de lucro, 
performance, aproveitamento) ou mínimo (de risco, de custo). É importante ressaltar que do 
ponto de vista da PO, quando se fala em máximo ou mínimo está implícito que não 
existe nenhuma outra solução melhor, ou seja, a solução encontrada é provada 
matematicamente como sendo a melhor de todas as soluções possíveis. Esta solução é 
chamada de ótima e o sistema é dito otimizado. 
Um ramo da PO estuda heurísticas de solução de problemas, que são métodos “inteligentes” 
para se encontrar uma boa solução de um problema típico em pouco tempo, visto que às 
vezes a solução ótima pode levar muitas horas e até dias para ser encontrada, mesmo em 
supercomputadores. 
A pesquisa operacional surgiu, como ciência, há poucas décadas, durante a Segunda Guerra 
Mundial. Os aliados enfrentavam dificuldades logísticas e estratégicas, tentando gerenciar 
um enorme contingente de soldados, armas, aviões, tanques, pessoal de suporte, etc., e 
cientistas utilizaram métodos objetivos, numéricos, para determinar as melhores ações a 
serem tomadas. Com o sucesso obtido, os resultados foram utilizados após o fim da guerra 
pela indústria, na tomada de decisões de problemas de grandes dimensões, que para a 
mente humana são difíceis de considerar todas as variáveis e possibilidades. 
Com o avanço dos computadores a pesquisa operacional passou a resolver problemas cada 
vez maiores, com milhares de variáveis, em tempos cada vez menores. Apenas para dar um 
exemplo, imagine uma companhia aérea que precisa decidir qual avião deve enviar para 
fazer cada uma de suas rotas e conexões, de forma a atender a demanda, com o mínimo 
custo possível. Adicione à isso as necessidades de piloto e co-piloto, tripulação, respeito aos 
horários e convenções de trabalho, quantidade e tipo de refeições, esquema de manutenção 
preventiva das aeronaves, etc. As empresas investem milhões de dólares para aquisição de 
softwares capazes de resolver estes problemas de forma a melhorar cada vez mais esta 
solução, pois isto pode representar a necessidade ou não de compra de novos aviões, que 
custam centenas de vezes o preço do software. 
As técnicas de pesquisa operacional são largamente utilizadas para resolver desde problemas 
de cunho operacional (quanto produzir de cada tipo de produto nesta semana), problemas de 
nível tático (por onde uma linha de ônibus deve passar, ou quais as configuração de matérias 
primas devem ser utilizadas para a fabricação de um produto) até problemas estratégicos 
(por exemplo onde construir um novo depósito ou fábrica, ou por onde deve passar uma 
linha de metrô). 
Para que tudo isto seja possível, é necessário obter muitas informações (tanto quanto 
possível), para que a modelagem seja bem feita. Modelar um problema significa escrever 
equações matemáticas compatíveis com a realidade, combinando todos os fatores, custos, 
lucros e relações entre as inúmeras variáveis e parâmetros. Quanto mais complexoum 
modelo, melhor ele representa a realidade, e em geral, mais difícil é sua solução. 
 
A MODELAGEM 
 
Quando nos vemos em situações nas quais uma decisão precisa ser tomada entre um leque 
de opções possíveis e conflitantes, duas alternativas se apresentam: usar a intuição 
gerencial ou utilizar o processo de modelagem a fim de realizar simulações alterando as 
variáveis do problema para encontrar a solução ótima. 
 
Até bem pouco tempo, a primeira opção era a mais utilizada. Com maior conhecimento dos 
dados/informações sobre os problemas e a expansão da capacidade de processamento dos 
computadores, a segunda opção vem sendo mais utilizada. Neste contexto, duas 
considerações são importantes: 
A quantidade de informações disponíveis cresce de maneira exponencial. A quantidade de 
dados é tão grande que é impossível formular modelos que considerem todos os dados. 
Logo, para realizar a modelagem, é necessário separar as informações relevantes das 
irrelevantes. Daí a necessidade de se criar um modelo. Um modelo é uma simplificação da 
realidade. 
 
A intuição não pode ser deixada de lado no processo de tomada de decisão. Portanto, a base 
de dados da intuição não pode ser desperdiçada. 
 
As duas opções devem ser utilizadas conjuntamente para aperfeiçoar os processos de 
tomada de decisões. A intuição é especialmente relevante na seleção das informações 
relevantes para o problema em questão, bem como na criação de possíveis cenários para 
análise, na validação e análise do modelo, bem como dos resultados dos mesmos. 
 
VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DE MODELOS 
 
A utilização da modelagem no processo de tomada de decisões gera diversas vantagens: 
Modelos obrigam os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus objetivos. 
Modelos focam a identificação e armazenamento de diversas decisões que influenciam no 
atendimento dos objetivos. 
Modelos forçam a identificação e armazenamento das relações entre diferentes decisões. 
Modelos forçam a identificação de limitações. 
Modelos forçam a determinação de variáveis a serem consideradas e sua quantificação. 
Modelos permitem a comunicação e o trabalho em grupo. 
 
Portanto, os modelos são ferramentas consistentes para o processo de avaliação e 
divulgação de políticas empresariais distintas. 
 
TIPOS DE MODELOS 
 
A literatura e a prática de gestão nos ensinam que existem basicamente três tipos de 
modelos: modelos físicos, analógicos e os matemáticos ou simbólicos. Os modelos físicos 
seriam as maquetes. Os analógicos representam as relações de diferentes maneiras. Os 
mapas, os velocímetros através de sua escala circular são exemplos de modelos analógicos. 
 
De maior interesse em situações empresariais, os modelos matemáticos ou simbólicos 
representam as grandezas por variáveis de decisão e as relacionam por meio de expressões 
ou equações matemáticas. Logo, os modelos matemáticos se assentam sobre uma base de 
quantidade. Um modelo matemático deve possuir variáveis suficientes para que: 
Os resultados atinjam seus propósitos. 
O modelo apresente consistência de dados. 
O modelo possa ser analisado no momento disponível à sua concepção. 
Num modelo simbólico, quando uma das variáveis representa uma decisão a ser tomada, o 
modelo é denominado de decisão. Normalmente, decisões são tomadas para se atingir algum 
objetivo. Conseqüentemente, nos modelos de decisão adicionamos uma variável que 
represente a medida de performance dos objetivos (função objetivo). 
 
Nunca devemos nos esquecer de que os modelos são uma simplificação da realidade. Para 
minimizarmos os efeitos da simplificação devemos adicionar detalhes ao modelo para que: 
Os resultados atinjam os objetivos. 
Seja modelado e analisado em tempo disponível. 
Seja consistente com as informações disponíveis. 
Os modelos matemáticos podem ser classificados em determinísticos ou probabilísticos. Os 
determinísticos são aqueles em que todas as variáveis relevantes são conhecidas. Nos 
modelos probabilísticos, uma ou mais variáveis não são conhecidas com certeza e essa 
incerteza deve ser incorporada ao modelo. 
 
 
COMO FAZER A MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
O processo de modelagem deve considerar as seguintes condições: 
Variáveis do problema. São fatores controláveis e quantificáveis. Representam as variáveis 
de decisão. 
Parâmetros do problema. São os valores fixos do problema. Os valores financeiros dos dados 
os ou custos fixos da produção são alguns exemplos. 
Restrições. São aspectos que limitam a combinação de valores e variáveis de soluções 
possíveis. 
Função objetivo. É uma função que busca maximizar ou minimizar , dependendo do objetivo 
do problema. Ela é essencial na definição da qualidade da solução em função das incógnitas 
encontradas. 
 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PELA PESQUISA OPERACIONAL 
 
A utilização dessa ferramenta é dividida em seis fases: formulação do problema; construção 
do modelo; cálculo do modelo; teste do modelo e da solução; controle das soluções; e 
implantação e acompanhamento. Cada uma de suas seis fases deve ser transposta para se 
encontrar a solução ótima. 
 
1. Formulação do problema. Nessa fase, determinamos o objetivo, identificamos restrições 
e esboçamos possíveis caminhos a serem percorridos. Verificamos registros, coletamos 
informações com máxima precisão e consistência possível. 
 
2. Construção do modelo. Nessa fase predomina a modelagem matemática, ou seja, as 
equações e inequações, seja na função objetivo, seja nas restrições. Cabe distinguir 
variáveis decisivas ( variáveis controláveis), das não decisivas. Por exemplo, em uma 
situação de produção, a quantidade a ser produzida é uma variável controlável. A demanda 
bem como o preço praticado pelo mercado são exemplos de variáveis não controláveis. 
3. Resolução do modelo. Também chamada de cálculo do modelo. É nessa fase que 
encontramos a solução do modelo por meio da utilização de diversas técnicas, desde as mais 
simples para problemas simples, até as técnicas mais modernas para resolução de 
problemas mais complexos. Existem muitos softwares que permitem resolver problemas 
extremamente complexos com rapidez, confiabilidade e extremo rigor. Exemplos: da LINDO 
Systems: What'sBest!, LINGO, LINDO API; da Microsoft: Solver do Office Excel; da 
Maplesoft: MapleSim, Bordo, Global Optimization Toolbox; da OMP e da PLM, C-PLEX, QM for 
Windows, MOSEK, entre outros. 
 
4. Teste do modelo e da solução. Durante essa fase, verificamos se os resultados 
encontrados atendem o modelo real do problema. A simulação, após sua implantação, nos 
permite detectar se novas soluções são necessárias para possíveis melhorias. 
 
5. Controle das soluções. Devemos identificar parâmetros e valores fixos que envolvem o 
problema. O controle dos parâmetros é importante para detectar desvios durante o processo. 
As variações nos parâmetros implicam em correção do modelo. 
 
6. Implantação e acompanhamento. Nessa fase avaliamos os resultados para fazer ajuste, 
se necessário, no modelo. 
 
PRINCIPAIS TÉCNICAS DA P.O. 
 
Programação linear. No mundo real, a escassez é um problema constante. Nossas 
necessidades são infinitas, mas os recursos são limitados, por diversas razões. Surge, então, 
o desafio de utilizar esses recursos escassos de forma eficiente e eficaz. Almeja-se, portanto, 
maximizar ( o lucro, a receita, a capacidade de produção etc.) ou minimizar ( o custo de 
mão-de-obra, insumos etc.) uma quantidade, denominada objetivo, que, por sua vez, 
depende de um ou mais recursos escassos. A programação matemática é a área que estuda 
a otimização de recursos. A programação linear nada maisé que uma programação 
matemática em que as funções objetivo e de restrição são lineares. 
 
Teoria das filas. Na teoria das filas, estudamos o comportamento das filas em espera. Trata-
se de um modelo probabilístico que, diferentemente dos modelos determinísticos, não tem o 
objetivo de encontrar uma solução ótima para o problema. Na teoria das filas analisamos a 
probabilidade de um vento ocorrer. 
 
Teoria dos grafos. O que é grafo? "O grafo propriamente dito é uma representação gráfica 
das relações existentes entre elementos de dados. Ele pode ser descrito num espaço 
euclidiano de n dimensões como sendo um conjunto V de vértices e um conjunto A de curvas 
contínuas (arestas)" 
Os grafos são utilizados na representação de modelos reais. Pode-se utilizar grafos para 
representar, por exemplo, estradas e utilizar algoritmos para se determinar o caminho mais 
curto. Podemos utilizá-los em redes PERT e CPM no planejamento e programação de 
projetos. 
 
Simulação. A simulação consiste em criar modelos representativos de um processo ou 
sistema do mundo real. O modelo de simulação estuda o comportamento do sistema. Seu 
comportamento é analisado por meio de relações lógico-matemáticas e simbólicas, entre as 
entidades (objetos de interesse) do sistema. Uma vez validado, o modelo permite fazer 
questões do tipo "e se..." sobre o funcionamento do sistema no mundo real. A simulação 
também pode ser utilizada durante a fase de projeto, ou seja, antes do sistema ser 
construído. A simulação, portanto, é uma ferramenta que nos permite analisar o efeito de 
mudanças em sistemas já existentes, e também prever a performance de novos sistemas em 
diferentes circunstâncias. 
 
Teoria dos jogos. A teoria dos jogos busca modelar fenômenos observados quando dois 
tomadores de decisão interagem entre si. Vem sendo utilizada como ferramenta ou alegoria 
que explica sistemas complexos. Analisa estratégias de persuasão e tomada de decisão. 
 
Em resumo, a P.O. é uma ferramenta prática que oferece subsídios para a atividade de 
gestão. Como ferramenta quantitativa, fornece parâmetros decisórios confiáveis, considera 
cenários e estabelece, por meio de modelos matemáticos, visualizações de possíveis soluções 
de problemas que apresentam variáveis, restrições, e função objetivo, analisadas por meio 
de cálculos estruturados em fases. Desta forma, a P.O. se constitui de um moderno 
instrumental para a tomada de decisões. 
 
Att. 
Clebio Junior 
site de pesquisa: http://www.administradores.com.br / www.logisticadescomplicada.com 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLEBIO DA SILVA OLIVEIRA JUNIOR 
25 de março 2016 às 10:58:17 
poste alguma dúvida (se tiver) sobre as questões do avaliando aprendizado agora. 
novo momento do Fórum. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CLEBIO DA SILVA OLIVEIRA JUNIOR em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 11:43:00 
Acacio 
Minha dificuldade maior são os grafos, para identificação nos exercícios, tenho algumas 
dúvidas. 
 
Att. 
Clebio Junior/Terminal 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLEBIO DA SILVA OLIVEIRA JUNIOR 
30 de março 2016 às 12:17:19 
quais são as dúvidas? 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CLEBIO DA SILVA OLIVEIRA JUNIOR em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
1 de abril 2016 às 08:09:31 
Como identificar os tipos de grafos e sua utilização. 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLEBIO DA SILVA OLIVEIRA JUNIOR 
2 de abril 2016 às 09:57:05 
Existem vários tipos de grafos. Assista a aula e diga qual o tipo de grafo que não entendeu. 
Grafo é um mapa constituído de cidades(vértices) e ruas(arestas). 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
SILVIA CRISTINA MOREIRA 
23 de março 2016 às 22:47:13 
Boa noite a todos! 
Sobre a aula 1 - Fundamentos da Pesquisa Operacional 
 A Pesquisa Operacional (PO) consiste no estudo de métodos matemáticos, usualmente 
implementados por programas de computador, que podem ser utilizados para resolver 
problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e controle de sistemas. É vista 
como uma metodologia para estruturar processos por meio de construção de modelos. 
Coletânea de técnicas quantitativas de 
otimização. 
 O termo 
“Pesquisa” O termo “pesquisa” significa que a PO faz uso de uma abordagem que lembra a 
forma de como as pesquisas são conduzidas em diversas áreas do conhecimento. A origem 
da Pesquisa Operacional Atribuída ao serviço militar na 2a Guerra Mundial; Serviço militar do 
Reino Unido e EUA recrutaram diversos cientistas p/ realizar pesquisas em operações 
(militares); Durante este período, os cientistas começaram a estudar de forma sistemática e 
racional os processos envolvidos na realização de uma atividade produtiva. 
Professor, fiz uma revisão na aula 1 porque não fui bem nos exercícios. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a SILVIA CRISTINA MOREIRA 
25 de março 2016 às 10:56:20 
poste alguma dúvida (se tiver) sobre as questões do avaliando aprendizado agora. 
novo momento do Fórum. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES 
24 de março 2016 às 08:38:11 
Bom dia Professor e colegas, 
O Termo Pesquisa Operacional (PO) designa uma área do conhecimento que consiste no 
desenvolvimento de métodos científicos de sistemas complexos, com a finalidade de prever e 
comparar estratégias ou decisões alternativas, cujo objetivo é dar suporte à definição de 
políticas e determinação de ações. O trabalho do matemático russo Leonid Kantorovich de 
1939 intitulado “Métodos matemáticos na organização e no planejamento de produção” é 
considerado um dos precursores da PO, porém manteve-se desconhecido da comunidade 
científica ocidental até 1959. O próprio termo Pesquisa Operacional, do inglês Operations 
Research, foi criado pelo matemático russo na tentativa de englobar, sob uma única 
denominação, todas as técnicas existentes ou que viriam a ser desenvolvidas e que tinham o 
mesmo objetivo citado. De fato, o termo PO designa um conjunto de disciplinas isoladas tais 
como Programação Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos 
Jogos, dentre outras. 
A Pesquisa Operacional tal qual como a conhecemos surgiu durante a Segunda Guerra 
Mundial tendo como objetivo o desenvolvimento de metodologia para solução de problemas 
relacionados com as operações militares quando os Aliados se viram confrontados com 
problemas complexos de natureza logística, tática e de estratégia militar. Para apoiar os 
comandos operacionais na resolução desses problemas foram criados grupos 
multidisciplinares compostos por matemáticos, físicos, engenheiros e cientistas sociais. O 
que esses cientistas fizeram foi aplicar o método científico, que tão bem conheciam, aos 
problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram então a ideia de criar modelos 4 
5 matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas em 
estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias bem como propor decisões 
alternativas. 
Os ramos mais importantes desenvolvidos em PO são: 
Programação Matemática: Programação Linear, Programação Não Linear , Programação 
Dinâmica, Programação Inteira e Otimização Global 
Outros Ramos: Análise Estatística, Teoria dos Jogos, Teoria das Filas, Simulação e Gestão 
de estoques. 
Resumidamente podemos dizer que o objetivo principal da PO é determinar aprogramação 
otimizada de atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de procedimentos e métodos 
quantitativos para tratar de forma sistematizada problemas que envolvam a utilização de 
recursos escassos. Para apoiar a tomada de decisão, a PO busca a solução de problemas que 
podem ser representados por modelos matemáticos. De modo geral, para a resolução de um 
problema. Um estudo de PO é desenvolvido em fases. 
Fontes de onde formulei minhas considerações sobre conceitos e fundamentos da PO: Aula 1 
de nossa disciplina, e diversos sites sobre o assunto. Creio que ficou de fácil entendimento. 
Grande abraço, 
Emerson. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES 
25 de março 2016 às 10:57:45 
poste alguma dúvida (se tiver) sobre as questões do avaliando aprendizado agora. 
novo momento do Fórum. 
acacio callim 
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ALUNO 
EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
31 de março 2016 às 13:00:50 
Professor boa tarde ! 
Até o momento, as dúvidas geradas nas questões de avaliando o aprendizado nas aulas 1, 2 
e 3, foram sanadas de duas formas: 
Através dos gabaritos comentados, e/ou após uma releitura das questões e opções, que ficou 
claro. 
Obrigado e grande abraço, 
Emerson. 
 
 
 
ALUNO 
MARCOS FRANÇA SIMONELLI 
25 de março 2016 às 09:47:53 
Bom dia professor e colegas, 
Pesquisa operacional é originária da segunda guerra mundial, para resolver problemas 
militares de natureza tática e estratégica. Apresenta um conjunto de técnicas relevantes em 
pesquisa operacional, como programação linear e não-linear; programação inteira e mista; 
programação dinâmica; grafos, árvores e algoritmos e simulação. Mostra os benefícios 
proporcionados pelo o uso dessas técnicas por meio de exemplos e estudos de casos. 
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto aguardando 
execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do sistema, de modo a 
aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para definir a estrutura ideal do 
sistema. 
 
 Estrutura de Modelos Matemáticos Em um modelo matemático, são incluídos três conjuntos 
principais de elementos: 
(1) variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitas a serem 
determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema; 
(2) restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve 
incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis); 
(3) função objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função 
das variáveis de decisão. 
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de 
um determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não 
arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
Estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e muitos problemas 
de interesse prático podem ser formulados como questões sobre certos grafos. Por exemplo, 
a estrutura de ligações da Wikipédia pode ser representada por um dígrafo: os vértices são 
os artigos da Wikipédia e existe uma aresta do artigo A para o artigo B se e somente 
se A contém um link para B. Dígrafos são também usados para representar máquinas de 
estado finito. O desenvolvimento de algoritmos para manipular grafos é um tema importante 
da ciência da computação. 
EX: 
O grafo de exemplo exibido é um grafo simples com o conjunto de vértices V = {1, 2, 3, 4, 
5, 6} e um conjunto de arestas E = { {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6} } 
 
fontes consulta: Wikipédia 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a MARCOS FRANÇA SIMONELLI 
25 de março 2016 às 10:59:41 
poste alguma dúvida (se tiver) sobre as questões do avaliando aprendizado agora. 
novo momento do Fórum. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
CARLA VANESSA DOS SANTOS GARDINO 
25 de março 2016 às 12:28:55 
Boa tarde professor, 
FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL 
Conjunto de tecnicas e métodos aplicados por equipes multidisciplinares para se determinar 
a melhor utilização de recursos limitados e para programação otimizada das operações de 
uma empresa. 
É uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais, tendo como foco a 
tomada de decisão. 
Tomada de decisção é a principal característica que distingue os gerentes dos demais 
funcionários na empresa. 
CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL 
A literatura e a prática de gestão nos ensina que existem basicamente três tipos de modelos: 
modelos físicos, analógicos e os matemáticos ou simbólicos. Os modelos físicos seriam as 
maquetes. Os analógicos representam as relações de diferentes maneiras. Os mapas, os 
velocímetros através de sua escala circular são exemplos de modelos analógicos. 
De maior interesse em situações empresariais, os modelos matemáticos ou simbólicos 
representam as grandezas por variáveis de decisão e as relacionam por meio de expressões 
ou equações matemáticas. Logo, os modelos matemáticos se assentam sobre uma base 
quantificável. Um modelo matemático deve possuir variáveis suficientes para que: 
· Os resultados atinjam seus propósitos. 
· O modelo apresente consistência de dados. 
· O modelo possa ser analisado no momento disponível à sua concepção. 
GRAFOS 
Um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: 
V - conjunto não vazio: os vértices ou nodos do grafo; 
A - conjunto de pares ordenados a=(v,w), v e w ∈ V: as arestas do grafo. 
Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: 
V = { p | p é uma pessoa } 
A = { (v,w) | < v é amigo de w > } 
Esta definição representa toda uma família de grafos. Um exemplo de elemento desta 
família (ver G1) é dado por: 
V = { Maria, Pedro, Joana, Luiz } 
A = { (Maria, Pedro), (Pedro, Maria), (Joana, Maria), (Maria, Joana), (Pedro, Luiz), 
(Luiz, Pedro), (Joana, Pedro) , (Pedro, Joana) } 
 
 
 
Neste exemplo estamos considerando que a relação <v é amigo de w> é uma relação 
simétrica, ou seja, se <v é amigo de w> então <w é amigo de v>. Como conseqüência, 
as arestas que ligam os vértices não possuem qualquer orientação. 
Carla Gardino. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CARLA VANESSA DOS SANTOS GARDINO 
28 de março 2016 às 10:31:28 
Só faltou falar sobre tipos de vértices e grau de um vértice. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
VANDERLEI JORGE DOS SANTOS SILVA JUNIOR 
25 de março 2016 às 14:42:19 
Caro professor e Alunos, boa tarde! 
 
sabemos que a pesquisa operacional surgiu Ha algumas décadas atrais, durante a segunda 
guerra mundial, como ciência. visa otimizar lucros e diminuir custos. 
isto pode implicar em desempregos também? 
por exemplo: em presas de ônibus, motorista e ao mesmo tempo cobrador. 
uma arvore geneológica e o jogo da velha, podem ser usados como exemplos de vertices e 
arestas? 
no caso da arvore geológica pessoas vértices e as arestas o grau de parentesco, como mãe. 
irmão, tio etc..., 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIOPONTES CALLIM em resposta a VANDERLEI JORGE DOS SANTOS SILVA JUNIOR 
28 de março 2016 às 10:36:08 
Postar sobre função objetivo e suas restrições. 
a aula 3 - grafos, 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANDERLEI JORGE DOS SANTOS SILVA JUNIOR em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 22:57:47 
Boa noite, sabemos que os grafos servem para resolver problemas cotidianos. 
nos grafos de restrições os nós são variáveis, 
os arcos são restrições? 
cito as binárias e unárias 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANDERLEI JORGE DOS SANTOS SILVA JUNIOR 
5 de abril 2016 às 16:46:25 
não. 
os arcos ou arestas são os caminhos que devem ser percorridos para chegar aos vértices em 
um grafo. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
ROBERTO SILVA DE OLIVEIRA 
26 de março 2016 às 10:20:33 
Bom dia! 
Segue minha participação: 
Grafos: 
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um 
determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não 
arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
Num hipergrafo uma aresta pode conectar mais que dois vértices. 
Um grafo não direcionado pode ser visto como um complexo simplicial consistindo 
de símplices de uma dimensão (as arestas) e símplices de dimensão zero (os vértices). Ou 
seja, complexos são generalizações de grafos que permitem símplices de maiores 
dimensões. 
Exemplo: 
V = {v1, v2, v3, v4, v5} 
E = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8} 
onde a1 = (v1,v2), a2 = (v1,v3), a3 = (v1,v3), a4 = (v2,v3), a5 = (v2,v5), a6 = (v5,v5), 
a7 = (v3,v5), a8 = (v3,v4). 
 
Note que nessa definição são permitidos laços (veja a aresta a6) e arestas paralelas (as 
arestas a2 e a3, por exemplo). Um grafo que não contém nenhum laço e nenhumas arestas 
paralelas é chamado grafo simples. Essa definição não impede que um grafo seja infinito. 
Mas esse tipo de grafo não será estudado aqui. Um grafo que contém no mínimo um laço é 
um pseudografo. Um grafo que contém arestas paralelas é um multigrafo. 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafos 
Grato, 
Roberto Silva 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ROBERTO SILVA DE OLIVEIRA 
28 de março 2016 às 10:37:00 
Defina vértice pendente e isolado. 
Defina grau de vértice e seu cálculo. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
ROBERTO SILVA DE OLIVEIRA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
28 de março 2016 às 13:37:34 
Boa tarde! 
Um vértice isolado é um vértice com grau zero, isto é, um vértice que não é um ponto final 
de toda a aresta. 
Um vértice pendente é um vértice de grau um. 
O grau de um vértice de um grafo é o número de arestas incidentes para com o vértice, com 
os laços contados duas vezes. Ou de forma análoga, o número de vértices adjacentes a ele. 
O grau de um vértice v é denotado deg(v) O grau máximo de um grafo G, denotado por 
Δ(G), e o grau mínimo de um grafo, denotado por δ(G), são os graus máximos e mínimos de 
seus vértices. 
A fórmula da soma dos graus afirma que, dado um grafo G = (V, E), 
. 
A fórmula implica que em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par. Esta 
afirmação (bem como a fórmula de soma grau) é conhecida como o Lema do aperto de 
mãos (em inglês, handshaking lemma). O último nome vem de um problema matemático 
popular, para provar que, em qualquer grupo de pessoas o número de pessoas que apertam 
as mãos com um número ímpar de outras pessoas do grupo é par. 
 
Grato, 
Roberto Silva 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ROBERTO SILVA DE OLIVEIRA 
29 de março 2016 às 09:05:52 
Para finalizar poste um grafo(recorte e cole) e mostre todos os graus dos vértices que 
pertencem esse grafo. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
TONI GABRIEL DO NASCIMENTO 
26 de março 2016 às 11:39:35 
Reflexão 
A respeito da aula 1?: Pesquisa Operacional 
Vejo um processo muito usado nas empresas nos dias de hoje, ultimamente as empresas 
tem feio muito pra buscar informações dos seus colaboradores se estão trabalhando 
satisfeitos, se a empresa está cumprindo o seu papel em benefícios e salários, se suas 
instalaçoes estão adequadras aos funcionários...as empresas estão fazendo direto essa 
pesquisa pra consertar falhas, ajudar na tomada de decisões e fazer ajustes necessários para 
melhor convívio na empresa, vejo que é uma questão importante mas tem que ser levado 
muito a sério por todos envolvidos nessa pesquisa para que as medidas tomadas sejam as 
melhores possíveis. 
 
 
ALUNO 
TONI GABRIEL DO NASCIMENTO 
26 de março 2016 às 12:30:37 
Aula 2: Construção de modelos de pesquisa 
1) Variáveis de decição - É o que é decidido no plano de decisão ou plano de transporte de 
carga, quais as quantidades periódicas que seram produzidas e transportadas de cada 
produto. 
Ex: A empresa vai precisar produzir 1000 transformadores nesse mês a mas por causa da 
demanda de aumento de carga em função do crescimento de mas empresas. 
2) Função Objetivo: É uma função matemática que ajuda o tomador de decisão a seguir um 
rumo favorável para a empresa. Ela pode ter 2 objetivos: Minimização de erros, percas e 
desperdícios de materiais e outros ou maximização de lucros, receita, bem estar, 
sobrevivência e etc... 
3) Restrições: São regras que direcionam o que pode ou não pode fazer com o resultado da 
função e cria as suas limitaçoes dos recursos a serem utilizados. 
No meu mode de ver essas funções acabam dando um bom equilíbrio na empresa sendo elas 
bem sucedidas pelos gestores e acabam gerando ótimas decisões sobre o que deve ser feito 
para benefício da própria empresa. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a TONI GABRIEL DO NASCIMENTO 
28 de março 2016 às 10:35:06 
Postar agora sobre a aula de grafos. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
SERGIO LIMA DO ESPIRITO SANTO 
26 de março 2016 às 17:06:34 
A pesquisa Operacional surge com a necessidade de gerenciar de forma eficiente e racional 
um volume logístico volumoso, fato esse que conforme estoriadores teria início na 2ª Guerra 
Mundial, quando a necessidade administrativa do grande efetivo ficou latente e crescente, 
daí, aliado ao surgimento de programas matemáticos. Assim a Pesquisa Operacional ( P.O.) 
consiste em um meto matemático, utilizados para embasar e facilitar a tomada de decisão e 
controle de sistema. Possibilitando estruturar processos por meio de construção de modelos, 
que devem levar em consideração algumas variáveis, 
Assim existem as técnicas: a linear, das filas e grafos. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a SERGIO LIMA DO ESPIRITO SANTO 
28 de março 2016 às 10:34:32 
Comente agora a aula de grafos - tipos de vértices e grau de vértice. 
acacio callim 
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ALUNO 
JAIME APARECIDO FAIAO 
27 de março 2016 às 16:52:56 
Boa tarde prof. Acácio ! 
 
Conhecendo a Pesquisa Operacional - PO. 
 
A Investigação Operacional (IO) ou Pesquisa operacional (PO), é um ramo 
interdisciplinar da matemática aplicada que faz uso de modelos matemáticos, estatísticos e 
de algoritmos na ajuda à tomada de decisão. É usada sobretudo para analisar sistemas 
complexosdo mundo real, tipicamente com o objetivo de melhorar ou otimizar a 
performance. 
 
A investigação operacional nasceu no teatro de operações durante a II Guerra Mundial, 
quando os Aliados se viram confrontados com problemas (de natureza logística e de tática e 
estratégia militar) de grande dimensão e complexidade. Foram criados grupos 
multidisciplinares de cientistas em que se incluíam matemáticos, físicos e engenheiros, a par 
de outros oriundos das ciências sociais para apoiar os comandos operacionais na resolução 
desses problemas. Aplicaram o método científico aos problemas que lhes foram sendo 
colocados e criaram modelos matemáticos, apoiados em dados e factos, que lhes 
permitissem perceber os problemas em estudo e ensaiar e avaliar o resultado hipotético de 
estratégias ou decisões alternativas. 
Com o fim do conflito e sucesso obtido, os grupos de cientistas transferiram a nova 
metodologia na abordagem de problemas para as empresas, confrontadas com problemas 
divisionais de grande complexidade derivados do crescimento económico que se seguiu. Com 
a evolução observada na informática criaram-se condições de concretização algorítmica e 
velocidade de processamento adaptados à imaginação dos profissionais da investigação 
operacional, e a microinformática permitiu relacionar diretamente os sistemas de informação 
com os decisões. 
A resolução de um problema, pelo método da Investigação Operacional, segue as seguintes 
fases: 
-Definição do problema. Nesta fase são definidos os objetivos a serem atingidos, as 
variáveis envolvidas no problema, e as principais restrições. 
-Construção do modelo matemático. A escolha do modelo depende do tipo de problema a 
ser resolvido. Os modelos matemáticos mais utilizados, são de programação linear. 
-Solução do modelo. Nesta fase, a solução é encontrada a partir do modelo matemático 
adotado na resolução do problema. 
-Validação do modelo. O modelo é testado para ver se a solução obtida é condizente com 
o problema estudado. 
-Implementação da solução. Nesta fase, a solução é convertida em regras práticas para a 
solução do problema. 
 
 
Atualmente, sua principal utilização é como ferramenta nos processos de tomada de decisão 
no ambiente empresarial e nos negócios, tanto no setor privado como no setor público. A 
P.O. pode ser utilizada para resolver os seguintes problemas no ambiente organizacional: 
 
-otimização de recursos; 
-roteirização; 
-localização; 
-carteiras de investimento; 
-alocação de pessoas; 
-previsão de planejamento; 
-alocação de verbas de mídia; 
-determinação de mix de produtos; 
-escalonamento e planejamento da produção; 
-planejamento financeiro; 
-análise de projetos e etc. 
 
 Fontes de Pesquisa: 
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de, "Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para 
análise de decisões, 4 Ed.", Rio de Janeiro: LTC, 2009. 202p 
 
ATT: Jaime Faiao. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAIME APARECIDO FAIAO 
28 de março 2016 às 10:33:58 
Faltou a parte de cálculos. 
Cálculo da função objetivo e as restrições. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
JAIME APARECIDO FAIAO 
27 de março 2016 às 17:24:56 
Boa tarde prof. Acácio ! 
 
A MODELAGEM. 
 
Quando nos vemos em situações nas quais uma decisão precisa ser tomada entre um leque de opções 
possíveis e conflitantes, duas alternativas se apresentam: usar a intuição gerencial ou utilizar o processo 
de modelagem a fim de realizar simulações alterando as variáveis do problema para encontrar a solução 
ótima. 
Até bem pouco tempo, a primeira opção era a mais utilizada. Com maior conhecimento dos 
dados/informações sobre os problemas e a expansão da capacidade de processamento dos 
computadores, a segunda opção vem sendo mais utilizada. Neste contexto, duas considerações são 
importantes: 
A quantidade de informações disponíveis cresce de maneira exponencial. A quantidade de dados é tão 
grande que é impossível formular modelos que considerem todos os dados. Logo, para realizar a 
modelagem, é necessário separar as informações relevantes das irrelevantes. Daí a necessidade de se 
criar um modelo. Um modelo é uma simplificação da realidade. 
A intuição não pode ser deixada de lado no processo de tomada de decisão. Portanto, a base de dados 
da intuição não pode ser desperdiçada. 
As duas opções devem ser utilizadas conjuntamente para aperfeiçoar os processos de tomada de 
decisões. A intuição é especialmente relevante na seleção das informações relevantes para o problema 
em questão, bem como na criação de possíveis cenários para análise, na validação e análise do modelo, 
bem como dos resultados dos mesmos. 
 
 
VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DE MODELOS. 
 
A utilização da modelagem no processo de tomada de decisões gera diversas vantagens: 
 
-Modelos obrigam os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus objetivos. 
-Modelos foçam a identificação e armazenamento de diversas decisões que influenciam no atingimento 
dos objetivos. 
-Modelos forçam a identificação e armazenamento das relações entre diferentes decisões. 
-Modelos forçam a identificação de limitações. 
-Modelos forçam a determinação de variáveis a serem consideradas e sua quantificação. 
- Modelos permitem a comunicação e o trabalho em grupo. 
Portanto, os modelos são ferramentas consistentes para o processo de avaliação e divulgação de 
políticas empresariais distintas. 
 
TIPOS DE MODELOS. 
 
A literatura e a prática de gestão nos ensina que existem basicamente três tipos de modelos: modelos 
físicos, analógicos e os matemáticos ou simbólicos. Os modelos físicos seriam as maquetes. Os 
analógicos representam as relações de diferentes maneiras. Os mapas, os velocímetros através de sua 
escala circular são exemplos de modelos analógicos. 
 
De maior interesse em situações empresariais, os modelos matemáticos ou simbólicos representam as 
grandezas por variáveis de decisão e as relacionam por meio de expressões ou equações matemáticas. 
Logo, os modelos matemáticos se assentam sobre uma base quantificável. Um modelo matemático deve 
possuir variáveis suficientes para que: 
 
-Os resultados atinjam seus propósitos. 
-O modelo apresente consistência de dados. 
-O modelo possa ser analisado no momento disponível à sua concepção. 
Num modelo simbólico, quando uma das variáveis representa uma decisão a ser tomada, o modelo é 
denominado de decisão. Normalmente, decisões são tomadas para se atingir algum objetivo. 
Consequentemente, nos modelos de decisão adicionamos uma variável que represente a medida de 
performance dos objetivos (função objetivo). 
 
Nunca devemos nos esquecer de que os modelos são uma simplificação da realidade. Para 
minimizarmos os efeitos da simplificação devemos adicionar detalhes ao modelo para que: 
 
-Os resultados atinjam os objetivos. 
-Seja modelado e analisado em tempo disponível. 
Seja consistente com as informações disponíveis. 
Os modelos matemáticos podem ser classificados em determinísticos ou probabilísticos. Os 
determinísticos são aqueles em que todas as variáveis relevantes são conhecidas. Nos modelos 
probabilísticos, uma ou mais variáveis não são conhecidas com certeza e essa incerteza deve ser 
incorporada ao modelo. 
 
 
COMO FAZER A MODELAGEM MATEMÁTICA. 
 
O processo de modelagem deve considerar as seguintes condições: 
 
-Variáveis do problema. São fatores controláveis e quantificáveis. Representam as variáveis de decisão. 
-Parâmetros do problema. São os valores fixos do problema. Os valores financeiros dos dados os ou 
custos fixos da produção são alguns exemplos. 
-Restrições. São aspectos que limitam a combinação de valores e variáveis de soluções possíveis.-Função objetivo. É uma função que busca maximizar ou minimizar , dependendo do objetivo do 
problema. Ela é essencial na definição da qualidade da solução em função das incógnitas encontradas. 
 
Vamos a um exemplo prático (e brejeiro) muito comum na literatura: 
 
 
Um jovem estava saindo com duas namoradas: Sandra e Regina. Sabe, por experiência, que: 
 
-Sandra, elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três 
horas custará R$240,00; 
-Regina, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três horas 
custará R$160,00; 
-Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão; 
-Seus afazeres escolares lhe darão liberdade de dispor de, no máximo, 18 horas e 40.000 calorias de sua 
energia para atividades sociais; 
-Cada saída com Sandra consome 5.000 calorias, mas com Regina, mais alegre e extrovertida, gasta o 
dobro; 
-Ele gosta das duas com a mesma intensidade. 
 
Como deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas ? 
 
Variáveis de decisão: 
X1 = número de saídas com Sandra; 
X2 = número de saídas com Regina. 
 
Função objetivo: 
Maximizar z = x1 + x2 
Restrições: 
240x1 + 160x2 ≤ 960 
3x1 + 3x2 ≤ 18 
5000x1 + 10000x2 ≤40000 
 
Utilizando técnicas de programação linear encontramos a solução: O rapaz deve sair 2 vezes com Sandra 
e 3 vezes com Regina , totalizando 5 saídas por mês. 
 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PELA PESQUISA OPERACIONAL. 
 
A utilização dessa ferramenta é dividida em seis fases: formulação do problema; construção do modelo; 
cálculo do modelo; teste do modelo e da solução; controle das soluções; e implantação e 
acompanhamento. Cada uma de suas seis fases deve ser transposta para se encontrar a solução ótima. 
 
1. Formulação do problema. Nessa fase, determinamos o objetivo, identificamos restrições e 
esboçamos possíveis caminhos a serem percorridos. Verificamos registros, coletamos informações com 
máxima precisão e consistência possível. 
 
2. Construção do modelo. Nessa fase predomina a modelagem matemática, ou seja, as equações e 
inequações, seja na função objetivo, seja nas restrições. Cabe distinguir variáveis decisivas ( variáveis 
controláveis), das não decisivas. Por exemplo, em uma situação de produção, a quantidade a ser 
produzida é uma variável controlável. A demanda bem como o preço praticado pelo mercado são 
exemplos de variáveis não controláveis. 
 
3. Resolução do modelo. Também chamada de cálculo do modelo. É nessa fase que encontramos a 
solução do modelo por meio da utilização de diversas técnicas, desde as mais simples para problemas 
simples, até as técnicas mais modernas para resolução de problemas mais complexos. Existem muitos 
softwares que permitem resolver problemas extremamente complexos com rapidez, confiabilidade e 
extremo rigor. Exemplos: da LINDO Systems: What'sBest!, LINGO, LINDO API; da Microsoft: Solver do 
Office Excel; da Maplesoft: MapleSim, Bordo, Global Optimization Toolbox; da OMP e da PLM, C-PLEX, 
QM for Windows, MOSEK, entre outros. 
 
4. Teste do modelo e da solução. Durante essa fase, verificamos se os resultados encontrados 
atendem o modelo real do problema. A simulação, após sua implantação, nos permite detectar se novas 
soluções são necessárias para possíveis melhorias. 
 
5. Controle das soluções. Devemos identificar parâmetros e valores fixos que envolvem o problema. O 
controle dos parâmetros é importante para detectar desvios durante o processo. As variações nos 
parâmetros implicam em correção do modelo. 
 
6. Implantação e acompanhamento. Nessa fase avaliamos os resultados para fazer ajuste, se 
necessário, no modelo. 
 
 
 
PRINCIPAIS TÉCNICAS DA P.O. 
 
Programação linear. No mundo real, a escassez é um problema constante. Nossas necessidades são 
infinitas, mas os recursos são limitados, por diversas razões. Surge, então, o desafio de utilizar esses 
recursos escassos de forma eficiente e eficaz. Almeja-se, portanto, maximizar ( o lucro, a receita, a 
capacidade de produção etc.) ou minimizar ( o custo de mão-de-obra, insumos etc.) uma quantidade, 
denominada objetivo, que, por sua vez, depende de um ou mais recursos escassos. A programação 
matemática é a área que estuda a otimização de recursos. A programação linear nada mais é que uma 
programação matemática em que as funções objetivo e de restrição são lineares. 
 
Teoria das filas. Na teoria das filas, estudamos o comportamento das filas em espera. Trata-se de um 
modelo probabilístico que, diferentemente dos modelos determinísticos, não tem o objetivo de encontrar 
uma solução ótima para o problema. Na teoria das filas analisamos a probabilidade de um vento ocorrer. 
 
Teoria dos grafos. O que é grafo? "O grafo propriamente dito é uma representação gráfica das relações 
existentes entre elementos de dados. Ele pode ser descrito num espaço euclidiano de n dimensões como 
sendo um conjunto V de vértices e um conjunto A de curvas contínuas (arestas)" 
 
 
Os grafos são utilizados na representação de modelos reais. Pode-se utilizar grafos para representar, por 
exemplo, estradas e utilizar algoritmos para se determinar o caminho mais curto. Podemos utilizá-los em 
redes PERT e CPM no planejamento e programação de projetos. 
 
Simulação. A simulação consiste em criar modelos representativos de um processo ou sistema do mundo 
real. O modelo de simulação estuda o comportamento do sistema. Seu comportamento é analisado por 
meio de relações lógico-matemáticas e simbólicas, entre as entidades (objetos de interesse) do sistema. 
Uma vez validado, o modelo permite fazer questões do tipo "e se..." sobre o funcionamento do sistema no 
mundo real. A simulação também pode ser utilizada durante a fase de projeto, ou seja, antes do sistema 
ser construído. A simulação, portanto, é uma ferramenta que nos permite analisar o efeito de mudanças 
em sistemas já existentes, e também prever a performance de novos sistemas em 
diferentes circunstâncias. 
 
Teoria dos jogos. A teoria dos jogos busca modelar fenômenos observados quando dois tomadores de 
decisão interagem entre si. Vem sendo utilizada como ferramenta ou alegoria que explica sistemas 
complexos. Analisa estratégias de persuasão e tomada de decisão. 
Em resumo, a P.O. é uma ferramenta prática que oferece subsídios para a atividade de gestão. Como 
ferramenta quantitativa, fornece parâmetros decisórios confiáveis, considera cenários e estabelece, por 
meio de modelos matemáticos, visualizações de possíveis soluções de problemas que apresentam 
variáveis, restrições, e função objetivo, analisadas por meio de cálculos estruturados em fases. Desta 
forma, a P.O. se constitui de um moderno instrumental para a tomada de decisões. 
 
 
Fontes de Pesquisa: 
 
Bráulio Wilker Silva: 
Graduação em Finanças, Ciências Contábeis e em Produção Industrial. MBA em Controladoria 
pela Universidade Gama Filho. Autor dos livros "Gestão de Estoques", "Contabilidade de Custos", 
"Controladoria Empresarial", "Manual de Instalações Elétricas", Análise de Demonstrativos 
Financeiros" e "Engenheiro de Produção: 200 testes comentados" 
 
Biggs, N.; Lloyd, E. and Wilson, R. (1986), Graph Theory, 1736-1936, Oxford University Press 
 
ATT: Jaime Faiao 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAIME APARECIDO FAIAO 
28 de março 2016 às 10:33:00 
quer ganhar mais 5 estrelas? 
pegue o seu grafo da postagem anterior e indique o grau de cada um. 
aguardo, 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JAIME APARECIDO FAIAO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
3 de abril 2016 às 15:43:41 
Ola professor Acácio ! 
Vamos la , tentarei resolver seu desfio ! 
Na teoriados grafos, o grau de um vértice é o número de arestas incidentes sobre ele, 
com os laços contados duas vezes. Ou, número de vértices adjacentes. 
No grafo que segue, o grau máximo é 3 e o mínimo é 0. E a sequencia é (3, 3, 3, 2, 2, 1, 
0) 
 
Ja no grau em questão : 
 
 
Para esse grafo a sequencia de graus é ( 5, 4 , 4 , 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2 ). O seu grau máximo é 
5 e se encontra no vértice nº 04, onde incide sobre o mesmo 05 arestas e o grau mínimo é 
2 . 
A fórmula da soma dos graus afirma que, dado um grafo , 
 
 
ATT: Jaime Faiao. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAIME APARECIDO FAIAO 
4 de abril 2016 às 07:38:36 
Vamos postar um grupo de 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado para ganhar 5 
estrelas. ok? 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JAIME APARECIDO FAIAO 
27 de março 2016 às 17:52:29 
Boa tarde prof. Acácio! 
 
Teoria dos grafos. 
 
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de 
um determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não 
arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
Estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e muitos problemas 
de interesse prático podem ser formulados como questões sobre certos grafos. Por exemplo, 
a estrutura de ligações de uma pesquisa pode ser representada por um dígrafo: os vértices 
são os artigos da pesquisa e existe uma aresta do artigoA para o artigo B se e somente 
se A contém um link para B. Dígrafos são também usados para representar máquinas de 
estado finito. O desenvolvimento de algoritmos para manipular grafos é um tema importante 
da ciência da computação. 
 
 
Tipos de grafos. 
 
Grafo simples é um grafo não direcionado, sem laços e que existe no máximo uma aresta entre 
quaisquer dois vértices (sem arestas paralelas). No grafo de exemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) é um caminho com 
comprimento 5, e (5, 2, 1) é um caminho simples de comprimento 2. 
Grafo completo é o grafo simples em que, para cada vértice do grafo, existe uma aresta conectando este 
vértice a cada um dos demais. Ou seja, todos os vértices do grafo possuem mesmo grau. O grafo 
completo de n vértices é frequentemente denotado por Kn. Ele tem n(n-1)/2 arestas (correspondendo a 
todas as possíveis escolhas de pares de vértices). 
-Grafo nulo é o grafo cujo conjunto de vértices é vazio. 
-Grafo vazio é o grafo cujo conjunto de arestas é vazio. 
-Grafo trivial é o grafo que possui apenas um vértice e nenhuma aresta. 
-Grafo regular é um grafo em que todos os vértices tem o mesmo grau. 
-Multigrafo é um grafo que permite múltiplas arestas ligando os mesmos vértices (arestas paralelas). 
-Laço (loop) num grafo ou num dígrafo é uma aresta e em E cujas terminações estão no mesmo vértice. 
-Pseudografo é um grafo que contém arestas paralelas e laços. 
-Ciclo (ou circuito) é um caminho que começa e acaba com o mesmo vértice. Ciclos de comprimento 1 
são laços. No grafo de exemplo, (1, 2, 3, 4, 5, 2, 1) é um ciclo de comprimento 6. Um ciclo simples é um 
ciclo que tem um comprimento pelo menos de 3 e no qual o vértice inicial só aparece mais uma vez, como 
vértice final, e os outros vértices aparecem só uma vez. No grafo acima, (1, 5, 2, 1) é um ciclo simples. 
Um grafo chama-seacíclico se não contém ciclos simples. 
-Ponto de articulação ou Vértice de corte é um vértice cuja remoção desliga um grafo. Uma ponte é 
uma aresta cuja remoção desliga um grafo. Um componente bi conectado é um conjunto máximo de 
arestas tal que qualquer par de arestas do conjunto fazem parte de um ciclo simples comum. 
O contorno de um grafo é o comprimento do ciclo simples mais curto no grafo. O contorno de um grafo 
acíclico é, por definição, infinito. 
-Árvore é um grafo simples acíclico e conexo. Às vezes, um vértice da árvore é distinto e chamado 
de raiz. As árvores são muito usadas comoestruturas de dados em informática . 
-Floresta é um conjunto de árvores; equivalentemente a uma floresta, em algum grafo acíclico. 
-Subgrafo de um grafo G é um grafo cujo conjunto dos vértices é um subconjunto do conjunto de 
vértices G, cujo conjunto de arestas é um subconjunto do conjunto de arestas de G, e cuja função w é 
uma restrição da função de G 
-Subgrafo gerador é aquele obtido pela remoção de uma ou mais arestas de um outro grafo, dizemos 
então que este novo grafo obtido é gerador do primeiro, 
-Subgrafo induzido é obtido pela remoção de vértices e consequente das arestas relacionadas com ele 
de um outro grafo, dizemos que este novo grafo é um grafo induzido do original. 
-Grafo parcial de um grafo G é um subgrafo com o mesmo conjunto de vértices que G. Uma árvore 
parcial é um grafo parcial que é árvore. Todo grafo tem pelo menos uma árvore parcial. 
-Clique em um grafo é um subgrafo que também é um grafo completo. No grafo do exemplo acima, os 
vértices 1, 2 e 5 formam um clique. 
-Conjunto independente em um grafo é um conjunto de vértices não adjacentes entre si. No exemplo 
acima, os vértices 1, 3 e 6 formam um conjunto independente e 3, 5 e 6 são outro conjunto independente. 
-Grafo planar é aquele que pode ser representado em um plano sem qualquer intersecção entre arestas. 
O grafo do exemplo é planar; o grafo completo de n vertices, para n> 4, não é planar. 
-Caminho é uma sequência de vértices tal que de cada um dos vértices existe uma aresta para o vértice 
seguinte. Um caminho é chamadosimples se nenhum dos vértices no caminho se repete. 
O comprimento do caminho é o número de arestas que o caminho usa, contando-se arestas múltiplas 
vezes. O custo de um caminho num grafo balanceado é a soma dos custos das arestas atravessadas. 
Dois caminhos sãoindependentes se não tiverem nenhum vértice em comum, exceto o primeiro e o 
último. 
-Caminho euleriano em um grafo é o caminho que usa cada aresta exatamente uma vez. Se tal caminho 
existir, o grafo é chamado atravessável. Um ciclo euleriano é um ciclo que usa cada aresta exatamente 
uma vez. 
-Caminho hamiltoniano em um grafo é o caminho que visita cada vértice exatamente uma vez. 
Um ciclo hamiltoniano é um ciclo que visita cada vértice uma só vez. O grafo do exemplo contém um 
caminho hamiltoniano. Enquanto determinar se um dado grafo contém um caminho ou ciclo euleriano é 
trivial, o mesmo problema para caminhos e ciclos hamiltonianos é extremamente árduo. 
-Lema do aperto de mãos diz que se os convidados de uma festa apertarem as mãos quando se 
encontrarem pela primeira vez, o número de convidados que apertam a mão um número ímpar de vezes 
é par. Também em grafos não direcionados a soma dos graus de todos os vértices é igual ao dobro do 
número de arestas. 
 Grafo bipartido é o grafo cujos vértices podem ser divididos em dois conjuntos, nos quais não há arestas 
entre vértices de um mesmo conjunto. Para um grafo ser bipartido ele não pode conter circuitos de 
comprimento ímpar. 
 Se um grafo G é bipartido, todo o circuito de G possui comprimento par. Sejam V1 e V2 os dois 
conjuntos em que, de acordo com a definição de grafo bipartido, se particiona V(G). Toda a aresta de G 
conecta um vértice em V1 com outroem V2. Assim sendo, se X for um vértice de V1, para “voltar” a esse 
vértice terá de se ir a V2 e voltar a V1 um número indeterminado de vezes, e de cada vez serão 
percorridas duas arestas, uma de um vértice em V1 para um vértice em V2 e outra de um vértice em V2 
para um vértice em V1. Logo, o número de arestas a percorrer será par, ou seja, o comprimento do 
circuito é par. 
 Se todo o circuito de um grafo G possui comprimento par, então o grafo é bipartido. Seja G um 
grafo em que todo o circuito tem comprimento par, e seja X um vértice de G. Denotemos por V1 o 
conjunto formado por X e por todos os vértices cuja distância a X é par. Seja V2 = V(G)\V1 (isto é, o 
conjunto formado pelos vértices de G que não pertencem a V1). Pretende mostrar-se que não existe 
qualquer aresta que conecte vértices de V1 ou vértices de V2. Suponhamos a existência de tal aresta, isto 
é, suponhamos a existência de dois vértices em V1 (ou V2), digamos Xi e Xj, conectados por uma aresta. 
Ora existe já um caminho de comprimento par entre Xi e Xj, já que existem caminhos, ambos de 
comprimento par (ou ímpar, no caso de Xi e Xj pertencerem a V2), entre Xi e X e entre X e Xj. Se a esse 
caminho juntarmos a aresta {Xi;Xj} obtemos um circuito de comprimento ímpar o que contraria a hipótese 
de apenas existirem circuitos de comprimento par. 
 Grafo bipartido completo é o grafo bipartido, cujo qualquer vértice do primeiro conjunto é adjacente a 
todos vértices do segundo conjunto 
 Grafo k-partido ou grafo de k-coloração é um grafo cujos vértices podem ser particionados 
em k conjuntos disjuntos, nos quais não há arestas entre vértices de um mesmo conjunto. Um grafo 2-
partido é o mesmo que grafo bipartido. 
 Emparelhamento de grafos consiste em partir o grafo em conjuntos de vértices a qual não compartilham 
nenhuma aresta entre eles. 
 Teorema das quatro cores é baseado no problema das cores necessárias para se colorir um mapa sem 
que os países vizinhos compartilhem da mesma cor. Transformando o mapa em um grafo pode-se provar 
que pode-se representar qualquer mapa (um grafo planar) com apenas 4 cores (4 partições). 
 Percurso árvores: 
 É possível percorrer de modo sistemático todos os vértices e arestas do grafo. O grafo pode ser dirigido 
ou não. 
 O percurso em árvores é o processo de visitar cada nó da árvore exatamente uma vez. 
 O percurso pode ser interpretado como colocar todos os nós em uma linha, não existe uma ordem para 
ser seguida. 
 Existem n percursos diferentes, quase todos caóticos. 
 Os básicos são percurso em profundidade e percurso em largura 
 Fila: busca em largura 
 Pilha: busca em profundidade 
 Busca em extensão ou largura: (Breadth-First Search ou BFS). A propriedade especial está no fato de a 
árvore não possuir ciclos: dados dois vértices quaisquer, existe exatamente 1 caminho entre eles. Um 
percurso em extensão é visitar cada nó começando do menor nível e move-se para os níveis mais altos 
nível após nível, visitando cada nó da esquerda para a direita. Sua implementação é direta quando uma 
fila é utilizada. Depois que um nó é visitado, seus filhos, se houver algum, são colocados no final da fila e 
o nó no início da fila é visitado. Assim, os nós do nível n+1 serão visitados somente depois de ter visitados 
todos os nós do nível n. Computa a menor distância para todos os vértices alcançáveis. O sub-grafo 
contendo os caminhos percorridos é chamado de breadth-first tree. 
 Busca em profundidade (Depth-first search ou DFS). Um algoritmo de busca em profundidade realiza 
uma busca não-informada que progride através da expansão do primeiro nó filho da árvore de busca, e se 
aprofunda cada vez mais, até que o alvo da busca seja encontrado ou até que ele se depare com um nó 
que não possui filhos (nó folha). Então a busca retrocede (backtrack) e começa no próximo nó. Numa 
implementação não-recursiva, todos os nós expandidos recentemente são adicionados a uma pilha, para 
realizar a exploração. A complexidade espacial de um algoritmo de busca em profundidade é muito menor 
que a de um algoritmo de busca em largura. A complexidade temporal de ambos algoritmos são 
proporcionais ao número de vértices somados ao número de arestas dos grafos aos quais eles 
atravessam. Quando ocorrem buscas em grafos muito grandes, que não podem ser armazenadas 
completamente na memória, a busca em profundidade não termina, em casos onde o comprimento de um 
caminho numa árvore de busca é infinito. O simples artifício de “ lembrar quais nós já foram visitados ” 
não funciona, porque pode não haver memória suficiente. Isso pode ser resolvido estabelecendo-se um 
limite de aumento na profundidade da árvore. 
 
 
Fontes de Pesquisa: 
Biggs, N.; Lloyd, E. and Wilson, R. (1986), Graph Theory, 1736-1936, Oxford 
University Press; 
 
ATT: Jaime Faiao. 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAIME APARECIDO FAIAO 
28 de março 2016 às 10:37:51 
Fale agora sobre grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ELON DUTRA DA SILVA 
28 de março 2016 às 10:35:39 
Bom dia Colegas e Professor, 
Sobre a nossa matéria segue alguns conceitos iniciais, a Pesquisa Operacional (PO) consiste 
no estudo de métodos matemáticos, usualmente implementados por programas de 
computador, que podem ser utilizados para resolver problemas gerenciais relacionados à 
tomada de decisão e controle de sistemas. É vista como uma metodologia para estruturar 
processos por meio de construção de modelos. Coletânea de técnicas quantitativas de 
otimização. 
A respeito dos modelos operacionais,um modelo é uma representação de um sistema real, 
que pode já existir ou ser um projeto aguardando execução. No primeiro caso, o modelo 
pretende reproduzir o funcionamento do sistema, de modo a aumentar sua produtividade. 
No segundo caso, o modelo é utilizado para definir a estrutura ideal do sistema. 
A confiabilidade da solução obtida através do modelo depende da validação do modelo na 
representação do sistema real. A validação do modelo é a confirmação de que ele realmente 
representa o sistema real. A diferença entre a solução real e a solução proposta pelo modelo 
depende diretamente da precisão do modelo em descrever o comportamento original do 
sistema. 
Um problema simples pode ser representado por modelos também simples e de fácil solução. 
Já problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cuja solução pode vir a 
ser bastante complicada. 
 Fonte:"http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAoh8AF/introducao-pesquisa-operacional" 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ELON DUTRA DA SILVA 
28 de março 2016 às 10:39:31 
Vamos postar agora sobre a aula 3 -grafos. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
LUPERCINIO DE SANTANA LIMA 
28 de março 2016 às 10:50:02 
bom dia! 
1 - Fundamentos da pesquisa operacional 
A P.O. é originária da Segunda Guerra Mundial, quando os cientistas de várias disciplinas se 
reuniram para resolver problemas militares de natureza tática e estratégica. 
A pesquisa Operacional (P.O.) nada mais é que um método científico para a tomada de 
decisões. A P.O. “estrutura processos, propõe um conjunto de alternativas e ações, fazendo 
a previsão e a comparação de valores, de eficiência e de custos”. 
A P.O. é, portanto, um sistema organizado com auxílio de modelos bem como da 
experimentação de modelos, com o fito de operar um sistema da melhor maneira possível. 
Considero a P.O. como uma ferramenta matemática aplicada no processo de tomada de 
decisão. Para isso, fazemos uso de modelos matemáticos estruturados em fases. 
Por ser uma ferramenta matemática aplicada, a P.O. nos dá condições para: 
 Solucionar problemas reais; 
 Tomar decisões embasadasem fatos, dados e correlações quantitativas; 
 Conceber, planejar, analisar, implementar, operar e controlar sistemas por meio da 
tecnologia bem como de métodos de outras áreas do conhecimento; 
 Minimizar custos e maximizar o lucro; 
 Encontrar a melhor solução para um problema, ou seja, a solução ótima. 
 
PRINCIPAIS TÉCNICAS DA P.O. : 
 Programação linear. 
 Teoria das filas. 
 Teoria dos grafos. 
OBS: lembrando que esses são os principais, existem mais tecnicas. 
2 - CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL 
Nessa fase predomina a modelagem matemática, ou seja, as equações e inequações, seja na 
função objetivo, seja nas restrições. Cabe distinguir variáveis decisivas ( variáveis 
controláveis), das não decisivas. Por exemplo, em uma situação de produção, a quantidade a 
ser produzida é uma variável controlável. A demanda bem como o preço praticado pelo 
mercado são exemplos de variáveis não controláveis. 
 A escolha do modelo depende do tipo de problema a ser resolvido. Os modelos matemáticos 
mais utilizados, são de programação linear. 
 
3 - Grafos 
O grafo propriamente dito é uma representação gráfica das relações existentes entre 
elementos de dados. Ele pode ser descrito num espaço euclidiano de n dimensões como 
sendo um conjunto V de vértices e um conjunto A de curvas contínuas (arestas)" 
Um grafo é um objeto matemático capaz de representar situações de estruturas 
combinatórias como, por exemplo, uma mesa em torno da qual estão sentadas seis pessoas 
que se conhecem. Nessa situação, necessariamente, três dessas pessoas serão ou amigas ou 
inimigas entre si. 
EX: um individuoque quer saber que rota seguir do ponto X, que pode ser sua casa ou 
algum lugar , até o ponto Y, que é um restaurante mais proximo, sendo que quer pegar a 
rota mais curta possível. 
Claro que a teoria dos grafos é bem mais ampla, mas serve como idéia base para nossa 
explicação. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a LUPERCINIO DE SANTANA LIMA 
28 de março 2016 às 10:58:07 
Vamos postar a parte de cálculo. Função objetivo e suas restrições. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
LUPERCINIO DE SANTANA LIMA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
28 de março 2016 às 21:00:12 
BOA NOITE! 
-Restrições. São aspectos que limitam a combinação de valores e variáveis de soluções possíveis. 
-Função objetivo. É uma função que busca maximizar ou minimizar , dependendo do objetivo do 
problema. Ela é essencial na definição da qualidade da solução em função das incógnitas encontradas. 
 
Vamos a um exemplo: 
 
 
Um pai tinha duas filhas: Rose e Regina. 
 
-Rose, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três horas 
custará R$240,00; 
-Regina, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três horas custará R$160,00; 
-Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão; 
-Seus afazeres escolares lhe darão liberdade de dispor de, no máximo, 18 horas e 40.000 calorias de sua 
energia para atividades sociais; 
-Cada passeio com Rose consome 5.000 calorias, mas com Regina, mais alegre e extrovertida, gasta o 
dobro; 
-Ele gosta das duas com a mesma intensidade. 
 
Como deve planejar sua vida social para obter o número máximo de passeios ? 
 
Variáveis de decisão: 
X1 = número de saídas com Rose; 
X2 = número de saídas com Regina. 
 
Função objetivo: 
Maximizar z = x1 + x2 
Restrições: 
240x1 + 160x2 ≤ 960 
3x1 + 3x2 ≤ 18 
5000x1 + 10000x2 ≤40000 
 
Utilizando técnicas de programação linear encontramos a solução: O pai deve passear 2 vezes com Rose 
e 3 vezes com Regina , totalizando 5 passeios por mês. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a LUPERCINIO DE SANTANA LIMA 
29 de março 2016 às 09:07:37 
Para finalizar poste um grafo(recorte e cole) e mostre todos os graus dos vértices que 
pertencem esse grafo. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
LUPERCINIO DE SANTANA LIMA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
29 de março 2016 às 14:20:11 
boa tarde 
Os grafos são geralmente representados graficamente da seguinte maneira: é desenhado um 
círculo para cada vértice, e para cada aresta é desenhado um arco conectando suas 
extremidades. Se o grafo for direcionado, seu sentido é indicado na aresta por uma seta. 
Note que essa representação gráfica (o layout) não deve ser confundida com o grafo em si (a 
estrutura abstrata, não-gráfica). Vários diferentes layouts podem corresponder ao mesmo 
grafo.[2] O que importa é quais vértices estão conectados entre si por quantas arestas. 
O grafo de exemplo exibido à direita é um grafo simples com o conjunto de vértices V = {1, 
2, 3, 4, 5, 6} e um conjunto de arestas E = { {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, 
{4,6} } (com o mapeamento w sendo a identidade). 
Uma aresta conecta dois vértices; esses dois vértices são ditos como incidentes à aresta. 
A valência (ou grau) de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, com loops 
contados duas vezes. No grafo de exemplo os vértices 1 e 3 possuem uma valência de 2, os 
vértices 2, 4 e 5 têm a valência de 3 e o vértice 6 tem a valência de 1. Se E é finito, então a 
valência total dos vértices é o dobro do número de arestas. Em um dígrafo, distingue-se 
o grau de saída (o número de arestas saindo de um vértice) e o grau de entrada (o 
número de arestas entrando em um vértice). O grau de um vértice é igual à soma dos graus 
de saída e de entrada. 
Dois vértices são considerados adjacentes se uma aresta existe entre eles. No grafo acima, 
os vértices 1 e 2 são adjacentes, mas os vértices 2 e 4 não são. O conjunto devizinhos de 
um vértice consiste de todos os vértices adjacentes a ele. No grafo-exemplo, o vértice 1 
possui 2 vizinhos: vértice 2 e vértice 5. Para um grafo simples, o número de vizinhos de um 
vértice é igual à sua valência. 
Na computação, um grafo finito direcionado ou não-direcionado (com, digamos, n vértices) é 
geralmente representado por sua matriz de adjacência: uma matriz n-por-n cujo valor na 
linha i e coluna j fornece o número de arestas do i-ésimo ao j-ésimo vértices. 
Se for possível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice de 
um grafo, diz-se que o grafo é conexo. Se for sempre possível estabelecer um caminho de 
qualquer vértice para qualquer outro vértice mesmo depois de remover k-1 vértices, então 
diz-se que o grafo está k-conexo. Note que um grafo está k-conexo se, e somente se, 
contém k caminhos independentes entre qualquer par de vértices. O grafo de exemplo acima 
é conexo (e portanto 1-conexo), mas não é 2-conexo. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a LUPERCINIO DE SANTANA LIMA 
29 de março 2016 às 18:43:11 
poste todos os graus dos vertices do grafo postado anteriormente. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
LUPERCINIO DE SANTANA LIMA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
29 de março 2016 às 14:46:29 
boa tarde! 
Os grafos são geralmente representados graficamente da seguinte maneira: é desenhado um 
círculo para cada vértice, e para cada aresta é desenhado um arco conectando suas 
extremidades. Se o grafo for direcionado, seu sentido é indicado na aresta por uma seta. 
Note que essa representação gráfica (o layout) não deve ser confundida com o grafo em si (a 
estrutura abstrata, não-gráfica). Vários diferentes layouts podem corresponder ao mesmo 
grafo.[2] O que importa é quais vértices estão conectados entre si por quantas arestas. 
O grafo de exemplo exibido é um grafo simples com o conjunto de vértices 
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e um conjunto de arestas E = { {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, 
{4,5}, {4,6} } 
Uma aresta conecta dois vértices; essesdois vértices são ditos como incidentes à aresta. 
A valência (ou grau) de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, com loops 
contados duas vezes. No grafo de exemplo os vértices 1 e 3 possuem uma valência de 2, os 
vértices 2, 4 e 5 têm a valência de 3 e o vértice 6 tem a valência de 1. Se E é finito, então a 
valência total dos vértices é o dobro do número de arestas. Em um dígrafo, distingue-se 
o grau de saída (o número de arestas saindo de um vértice) e o grau de entrada (o 
número de arestas entrando em um vértice). O grau de um vértice é igual à soma dos graus 
de saída e de entrada. 
Dois vértices são considerados adjacentes se uma aresta existe entre eles. No grafo acima, 
os vértices 1 e 2 são adjacentes, mas os vértices 2 e 4 não são. O conjunto devizinhos de 
um vértice consiste de todos os vértices adjacentes a ele. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a LUPERCINIO DE SANTANA LIMA 
29 de março 2016 às 18:44:48 
forneça todos os graus de todos os vertices do grafo postado anteriormente. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
TONI GABRIEL DO NASCIMENTO 
28 de março 2016 às 21:39:02 
REFLEXÃO AULA 3 = GRAFOS 
São o conjunto de várias árvores binárias, que conforme são ligadas umas com as outras 
forma um grafo que tem vários propósitos e muitos recursos a serem relacionados. Essas 
árvores ligadas umas com as outras possuem três tipo de sequência de leitura que são: 
Percurso em pós-ordem, Percurso em pré-ordem e Percurso em ordem. Conforme esse tipo 
de percurso ou sequência de seguimento se faz uma rotina sequencial para vários tipos de 
trabalhos com vários fins. Ex: Sequencia de respostas sim ou não, sequência de falso ou 
verdadeiro, sequência de ligado e desligado e etc... Assim montamos o grafo para ser um 
guia nesse processo. 
 
 
 
ALUNO 
TONI GABRIEL DO NASCIMENTO em resposta a TONI GABRIEL DO NASCIMENTO 
28 de março 2016 às 21:57:29 
Reflexão Aula 3 : Grafos 
Continuação: 
Vértice = São os pontos que são ligados pelas arestas. 
Arestas = São as linhas que interligam os Vértices e são chamadas de arestas incidentes. 
Arestas paralelas = São quando dois Vértices estão ligados por duas arestas ou linhas. 
Dois Vértices são chamdos de adjacentes quando estão ligados por arestas. 
Um Vértice é dito isolado quando não possui arestas ligado a ele. 
Se uma aresta incidente for ligada ao mesmo Vértice é chamada de laço. 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a TONI GABRIEL DO NASCIMENTO 
29 de março 2016 às 09:08:50 
Para finalizar poste um grafo(recorte e cole) e mostre todos os graus dos vértices que 
pertencem esse grafo. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART 
29 de março 2016 às 14:19:53 
Boa tarde a todos. 
Aula 1- 
A P.O surgiu durante a Segunda Guerra Mundial, criado por alguns cientistas( matemáticos, 
físicos e engenheiros), para tentar resolver problemas táticos e de estratégia militar. A P.O é 
um estudo de métodos matemáticos, usualmente implementado por programas de 
computadores. Ela como ciência, estrutura processos, propondo um conjunto de alternativas 
de ação, fazendo previsão e comparação de vendas, eficiência e custos. 
Suas características: 
 condições de gerar conclusões eficientes nas decisões 
 procura determinar a melhor solução possível para uma entidade 
 tenta resolver problemas relacionados a condução e coordenação de operações 
Alguns fatores de crescimento da P.O: 
 programação linear 
 programação dinâmica 
 teoria das filas 
 teoria dos grafos 
 
Aula 2- 
Modelos de Pesquisa Operacional. Um modelo é uma representação de um sistema real, que 
pode já existir ou ser um projeto aguardando execução. No primeiro o modelo pretende 
reproduzir o funcionamento do sistema, de modo a aumentar a sua produtividade. No 
segundo, o modelo é utilizado para definir a estrutura ideal do sistema. 
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAoh8AF/introducao-pesquisa-operacional 
A função objetivo dela é maximizar o Lucro que pode ser calculado. 
Ex: 
Maria quer comprar uma pizza (x1) e Joana uma pizza grande (x2). Para sabermos o 
respectivo lucro de R$28,00 e R$42,00, o seu objetivo será: 
28x1 + 42x2 
Restrições: 
Disponibilidade de horas para a produção: 1300hs 
Horas ocupadas com P1: 20x1 
Horas produzidas com P2: 40x2 
Total de horas ocupadas na produção: 20x1 + 40x2 
Restrição: 20x1 + 40x2 ≤ 1300 
 
Aula 3- 
Grafos. Um grafo pode ser definido como uma par G=(V,E), onde V é um conjunto finito e 
não vazio e E é uma relação(função) sobre os elementos de V; 
V são as vértice(ou nós) e os pares ordenados(vi, vj) representam as relações entre os 
elementos de V, de arestas(linhas) do grafo. 
Teorema 1- a soma dos graus dos vértices em um grafo é igual a duas vezes o número de 
arestas. 
Teorema 2- em qualquer grafo existe sempre um número par de vértices de grau impar. 
Multígrafo- é o gráfico que contém arestas paralelas ou laços 
Grafo simples- é o grafo que não contém nenhum par de arestas paralelas ou laços 
Grafo completo- um grafo que tiver uma aresta entre cada par de seus vértices. 
Ex de muiltígrafo: 
 
Ex de grafo simples: 
 
grau(Pedro)= 3 
grau(Maria)= 2 
 
Ex grafo completo: 
 
Ex de grafo nulo: 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART 
29 de março 2016 às 18:43:57 
faltou falar de vertice pendente e isolado. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 15:55:26 
Boa tarde a todos. 
Vértice pendente- é um vértice de grau 1, também chamado de vértice folha, e a aresta 
conectada a esse vértice se chama aresta pendente. 
Vértice isolado- um vértice é isolado quando seu grau de entrada e grau de saída são nulos. 
Ex: 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART 
31 de março 2016 às 08:46:22 
muito bom. 
escolheu os slides perfeitos sobre o assunto. 
continue a sua pesquisa e poste um grafo com 10 vértices e de o grau de todos. 
acacio callim 
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ALUNO 
JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
3 de abril 2016 às 20:23:08 
Boa noite a todos. 
Esse é um exemplo de grafo com 10 vértices e seus graus. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART 
4 de abril 2016 às 07:37:52 
Faça outro com vértices pendentes, isolados e laços agora com 15 vértices. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 19:36:51 
Boa noite professor, tive bastante dificuldade em achar um grafo de 15 vértices q tivesse 
pendente, isolado e laço, achei apenas de 13 vértices, mas mesmo assim enviarei. 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART 
5 de abril 2016 às 16:41:17 
impecável. 
agora, 
tchan.... 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
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ALUNO 
JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
5 de abril 2016 às 21:02:07 
Boa noite professor. 
Esse é o exemplo de grafo que pediu. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JAQUELINE MARIA ARAUJO SUZART 
6 de abril 2016 às 10:23:47 
parabéns. 
vc está concorrendo ao bônus de 3 estrelas pela melhor postagem da semana. 
acacio callim 
o 
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ALUNO 
LUPERCINIODE SANTANA LIMA 
29 de março 2016 às 14:31:55 
boa tarde! 
Os grafos são geralmente representados graficamente da seguinte maneira: é desenhado um 
círculo para cada vértice, e para cada aresta é desenhado um arco conectando suas 
extremidades. Se o grafo for direcionado, seu sentido é indicado na aresta por uma seta. 
Note que essa representação gráfica (o layout) não deve ser confundida com o grafo em si (a 
estrutura abstrata, não-gráfica). Vários diferentes layouts podem corresponder ao mesmo 
grafo.[2] O que importa é quais vértices estão conectados entre si por quantas arestas. 
O grafo de exemplo exibido à direita é um grafo simples com o conjunto de vértices V = {1, 
2, 3, 4, 5, 6} e um conjunto de arestas E = { {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, 
{4,6} } (com o mapeamento w sendo a identidade). 
Uma aresta conecta dois vértices; esses dois vértices são ditos como incidentes à aresta. 
A valência (ou grau) de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, com loops 
contados duas vezes. No grafo de exemplo os vértices 1 e 3 possuem uma valência de 2, os 
vértices 2, 4 e 5 têm a valência de 3 e o vértice 6 tem a valência de 1. Se E é finito, então a 
valência total dos vértices é o dobro do número de arestas. Em um dígrafo, distingue-se 
o grau de saída (o número de arestas saindo de um vértice) e o grau de entrada (o 
número de arestas entrando em um vértice). O grau de um vértice é igual à soma dos graus 
de saída e de entrada. 
Dois vértices são considerados adjacentes se uma aresta existe entre eles. No grafo acima, 
os vértices 1 e 2 são adjacentes, mas os vértices 2 e 4 não são. O conjunto devizinhos de 
um vértice consiste de todos os vértices adjacentes a ele. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a LUPERCINIO DE SANTANA LIMA 
29 de março 2016 às 18:42:25 
forneça todos os graus de todos os vertices do grafo postado anteriormente. 
acacio callim 
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 
ALUNO 
LUPERCINIO DE SANTANA LIMA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 10:39:08 
bom dia! 
 
grau (1)- 2 
grau (2) -3 
grau (3) -2 
grau (4) -3 
grau(5) - 3 
grau (6) -1 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a LUPERCINIO DE SANTANA LIMA 
30 de março 2016 às 12:16:45 
Da para fazer outro com 10 vértices colocando o grau de todos? 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
MAURICIO GOMES MACIEL 
29 de março 2016 às 15:37:51 
Boa tarde professor e colegas! 
Sobre a aula 1: Pesquisa Operacional é o uso de modelos matemáticos, estatística e algoritmos 
para ajudar a tomada de decisões. É mais frequente o seu uso para análise de sistemas 
complexos reais, tipicamente com o objetivo de melhorar ou otimizar a performance. É 
uma forma de matemática aplicada. 
Sobre a aula 2: Na construção de modelos de pesquisa operacional predomina a modelagem 
matemática (equações e inequações). Cabe distinguir variáveis decisivas ( variáveis 
controláveis), das não decisivas. Por exemplo, em uma situação de produção, a quantidade a 
ser produzida é uma variável controlável. A demanda bem como o preço praticado pelo 
mercado são exemplos de variáveis não controláveis. 
 A escolha do modelo depende do tipo de problema a ser resolvido. Os modelos matemáticos 
mais utilizados, são de programação linear. 
Sobre a aula 3: GRAFOS são: 
 um conjunto de vértices VV e 
 um conjunto de arestas EE, que consistem de pares de vértices. 
Informalmente, um grafo é um grupo de pontos (vértices) ligados por um grupo de 
linhas (arestas). Aqui, o exemplo de um grafo:
Neste 
exemplo, V={1,2,3,4,5,6}V={1,2,3,4,5,6} e E={(1,2),(1,6),(2,3),(2,4),(3,4)}E={(1,2),(1,
6),(2,3),(2,4),(3,4)}. Cada vértice é um elemento de VV (vértices também podem ser 
chamados de nós). Cada aresta é um membro de EE. Vértices que não pertencem a 
nenhuma aresta (no exemplo, o vértice 55) podem ser chamados de vértices isolados. 
Quando se for resolver um problema, grafos podem ser interpretados de diversas maneiras. 
Vamos ver alguns exemplos: 
Problema 1: Você tem um mapa com várias cidades e estradas entre elas e quer saber se 
existe um caminho entre duas determinadas cidades. 
Grafo: Os vértices são as cidades e as arestas são as estradas. 
Problema 2: Você tem um tabuleiro de xadrez e um cavalo numa determinada casa. Você 
quer saber se é possível ir até uma outra determinada casa. 
Grafo: Os vértices são as casas do tabuleiro e há uma aresta entre duas casas se é possível 
ir de uma até outra com um movimento de cavalo. 
Problema 3: Você tem um mapa de uma cidade onde cada rua liga duas esquinas. Você 
quer saber se é possível ir da sua casa (que fica numa esquina) até a casa de um amigo seu 
(que fica em outra esquina). 
Grafo: Os vértices são as esquinas e as arestas são as ruas. 
Vamos definir outros termos agora. 
Uma aresta é chamada de self-loop se ela é da forma (u,u)(u,u). Um grafo é chamado 
de multi-grafo se possui duas arestas iguais. Um grafo é ditosimples se não é um multi-grafo 
nem possui um self-loop. O grafo do exemplo é simples. A aresta (u,v)(u,v) equivale a 
aresta (v,u)(v,u) (exceto em grafos direcionados, que vamos falar em breve). Ou seja, dá no 
mesmo chamar a aresta (1,2)(1,2) de (2,1)(2,1) e dizemos que a aresta (1,2)(1,2) é 
incidente tanto no vértice 11 quanto no 22. O grau de um vértice é o número de arestas que 
são incidentes nele. No exemplo, o grau do vértice 11 é 22 e o grau do vértice 22é 33. 
O vértice uu é dito vizinho do vértice vv se, e somente se, existir a aresta (u,v)(u,v) e 
dizemos que existe um caminho entre uu e vv se podemos, partindo de um deles, chegar ao 
outro percorrendo as arestas que existem no grafo. Mais formalmente falando, é dito que 
que existe um caminho entre uu e vv se existir uma sequência de 
vértices (V0,V1,...,Vk)(V0,V1,...,Vk) tal que V0=uV0=u e Vk=vVk=v e sempre existe uma 
aresta entre ViVi e Vi+1Vi+1. Neste caso, é dito que o caminho tem tamanho kk. Um ciclo 
num grafo é um caminho (não nulo) de um vértice uu para si mesmo. 
É dito que um grafo tem peso se suas arestas possuem pesos. Por exemplo: o comprimento 
da estrada que liga duas cidades pode ser interpretado como o peso dessa aresta. 
Grafos Direcionados 
Até agora, o exemplo que estivemos trabalhando foi com um grafo bidirecional (ou não-
direcionado), porque as arestas são "mão-dupla". Porém, há casos em que a aresta só pode 
ser percorrida em um sentido. Neste caso, a representação se dá com "setas" onde a 
aresta (u,v)(u,v) significa uma aresta partindo de uu em direção a vv, ou seja, diferente da 
aresta (v,u)(v,u). Olhe um grafo direcionado: 
 No 
exemplo, V={1,2,3,4,5}V={1,2,3,4,5} e E={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2)}E={(1,2),(2,3),(
3,4),(4,5),(5,2)}. O grau de saída de um vértice é o número de arestas 
que começamnaquele vértice e o grau de entrada é o número de arestas 
que terminam nele. No exemplo, o grau de saída do vértice 22 é 11 e seu grau de entrada 
é 22. Os grafos são sempre assumidos bidirecionais a não ser que seja dito que é 
direcionado. 
 
Representação de um Grafo (ou, melhor dizendo: como montar um) 
Você não pode simplesmente "desenhar" o grafo no seu programa, então, você tem que 
representá-lo de alguma maneira. Abordaremos algumas maneiras de representar um grafo 
aqui, cada uma com suas vantagens e desvantagens. 
Os vértices geralmente são representados por números. Quando se tem NN vértices, alguns 
preferem representar cada vértice com um número de 00 aN−1N−1 e outros preferem 
representar de 11 a NN, eu sou do segundo grupo. Mas cuidar dos vértices é fácil, o que 
veremos aqui são maneiras de representar as arestas. 
Vamos tomar como exemplo nosso grafo inicial e fazer várias representações dele:Lista de Arestas 
É a maneira mais intuitiva de guardar as arestas: simplesmente salvar os pares de vértices. 
É muito fácil de implementar e de debugar e tem uma boa eficiência de memória. Inserir 
uma aresta pode ser feito em O(1)O(1) mas deletar uma aresta pode ser a vir bem lento 
caso você não saiba sua posição na lista. Também, consultar as arestas que partem de um 
vértice passa a ser uma tarefa bem lenta. 
Para grafos com pesos nas arestas, basta salvar mais um número na lista de arestas, sendo 
esse o próprio peso da aresta. 
A representação ficaria desta maneira: 
 
Matriz de Adjacência 
Como já se foi comentado em aulas anteriores, matriz é um array onde casa é um array (um 
array de arrays). Simplificando isso, pode ser dito que matriz é simplesmente uma tabela. 
Na matriz de adjacência, iremos guardar informações sobre todos os possíveis pares de 
vértices, então, sua complexidade de espaço fica O(V2)O(V2). 
Na posição (i,j)(i,j) da matriz, iremos guardar informações sobre a aresta (i,j)(i,j): podemos 
definir 00 caso não exista aresta ou 11 caso exista. No caso de grafo com peso, colocamos a 
posição (i,j)(i,j) para receber ww, onde ww é o peso da aresta. 
Esta representação é fácil de implementar, não tão fácil de debugar e não tem uma eficiência 
tão boa de espaço. Porém, fazer alterações sobre arestas ou consultas sobre vértices passa a 
ser bem mais rápido que na lista de arestas. A representação ficaria desta maneira:
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a MAURICIO GOMES MACIEL 
29 de março 2016 às 18:45:38 
Vamos dar exemplo resolvidos sobre o calculo da função objetivo e suas restrições. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
WILSON CORDEIRO DE ASSIS 
29 de março 2016 às 22:57:33 
Boa noite professor 
Descrevendo grafos 
Ocultar tutorial de navegação 
Este é um modo de representar uma rede social: 
 
Uma linha entre os nomes de duas pessoas significa que elas se conhecem. Se não houver 
uma linha entre dois nomes, as pessoas não se conhecem. A relação "se conhecem" é 
bidirecional. Por exemplo, como Andreia conhece Gina, isso significa que Gina também 
conhece Andreia. 
Esta rede social é um grafo. Os nomes são os vértices do grafo. (Se você estiver falando 
sobre apenas um dos vértices, é um vértice.) Cada linha é uma aresta, que conecta dois 
vértices. Denotamos uma aresta que conecta os vértices uuu e vvv pelo par (u,v)(u,v)(u,v). 
Como a relação "se conhecem" é bidirecional, este grafo é não direcionado. Uma aresta 
não direcionada (u,v)(u,v)(u,v) é igual a (v,u)(v,u)(v,u). Mais tarde, vamos aprender 
sobregrafos direcionados, nos quais as relações entre os vértices não são necessariamente 
bidirecionais. Em um grafo não direcionado, uma aresta entre dois vértices, como o vértice 
entre Andreia e Gina, é incidente às duas arestas, e dizemos que os vértices conectados por 
uma aresta são adjacentes, ou vizinhos. O número de arestas incidentes a um vértice é 
o grau do vértice. 
Andreia e Francisco não se conhecem. Suponha que Francisco queira ser apresentado a 
Andreia. Como podemos conseguir isso? Bem, ele conhece Emília, que conhece Carlos, que 
conhece Andreia. Dizemos que há um caminho de três arestas entre Francisco e Andreia. Na 
verdade, esse é o modo mais direto para Francisco conhecer Andreia. Não há caminho entre 
eles com menos de três arestas. Chamamos o caminho entre dois vértices e que possui o 
menor número de arestas de caminho mais curto. Destacamos esse caminho mais curto 
em particular abaixo: 
 
Quando um caminho vai de um vértice em particular de volta para ele mesmo, isso é 
chamado ciclo. A rede social contém muitos ciclos. Um deles sai de Andreia e passa por 
Carlos, Emília, Jorge, Hélio e Liliana antes de voltar para Andreia. Há um ciclo mais curto que 
contém Andreia, mostrado abaixo: Andreia, Carlos, Gina e de volta para Andreia. Que outros 
ciclos você consegue encontrar? 
 
Às vezes, atribuímos valores numéricos às arestas. Por exemplo, na rede social, podemos 
usar valores para indicar quão bem duas pessoas conhecem uma à outra. Como outro 
exemplo, vamos representar um mapa rodoviário como um grafo. Supondo que não existam 
ruas de mão única, um mapa rodoviário é também um grafo não direcionado, com cidades 
como vértices, estradas como arestas e os valores nas arestas indicando as distâncias de 
cada rodovia. Por exemplo, aqui está um mapa rodoviário (fora de escala) de algumas das 
rodovias interestaduais no nordeste dos Estados Unidos, com as distâncias ao lado das 
arestas: 
 
O termo geral que usamos para um número que atribuímos a uma aresta é seu peso, e um 
grafo cujas arestas possuem pesos é um grafo pesado. No caso de um mapa rodoviário, se 
você quiser encontrar a rota mais curta entre duas localidades, você está procurando por um 
caminho entre dois vértices com a menor soma de pesos das arestas entre os dois vértices. 
Assim como nos grafos não pesados, chamamos um caminho assim de caminho mais 
curto. Por exemplo, o caminho mais curto entre Nova York e Concord neste grafo sai de 
Nova York, passa por New Haven, Hartford, Sturbridge, Weston e Reading e chega em 
Concord, totalizando 289 milhas. 
A relação entre os vértices nem sempre é bidirecional. Em um mapa rodoviário, podem 
existir ruas de mão única. Aqui está um grafo que mostra a ordem em que um goleiro de 
hóquei no gelo pode se vestir: 
 
Agora as arestas, representadas com setas, são direcionadas, e temos um grafo 
direcionado. Aqui, as direções mostram que peças de equipamento devem ser colocadas 
antes de outras peças. Por exemplo, a aresta que vai da proteção peitoral até o suéter indica 
que a proteção deve ser colocada antes do suéter. Os números ao lado dos vértices mostram 
uma dos possíveis ordens nas quais colocar o equipamento, de forma que as roupas de baixo 
vêm primeiro, então as meias, então os shorts de compressão e assim por diante, com a 
luva de bloqueio vindo por último. Você pode ter notado que este grafo direcionado em 
particular não possui ciclos. Chamamos esse tipo de grafo de grafo direcionado acíclico, 
ou gda. É claro, podemos ter grafos direcionados pesados, como mapas rodoviários com 
ruas de mão única e distâncias. 
Usamos terminologias diferentes com arestas direcionadas. Dizemos que uma aresta 
direcionada deixa um vértice eentra em outro. Por exemplo, uma aresta direcionada deixa 
o vértice do protetor peitoral e entra no vértice do suéter. Se uma aresta direcionada deixa o 
vértice uuu e entra no vértice vvv, a denotamos por (u,v)(u,v)(u,v), e a ordem dos vértices 
no par é importante. O número de arestas que deixam um vértice é seu grau de saída, e o 
número de arestas que entram é o grau de entrada. 
Como você deve imaginar, os grafos — tanto direcionados quanto não direcionados — têm 
muitas aplicações na modelagem de relações no mundo real. 
Tamanhos de grafos 
Quando trabalhamos com grafos, é interessante poder falar sobre o conjunto de vértices e o 
conjunto de arestas. Nós usualmente denotamos o conjunto dos vértices por VVV e o 
conjunto das arestas por EEE. Quando representamos um grafo ou executamos um algoritmo 
em um grafo, muitas vezes queremos usar os tamanhos dos conjuntos dos vértices e das 
arestas em notação assintótica. Por exemplo, suponha que queremos falar sobre um tempo 
de execução que é linear no número de vértices. Falando estritamente, deveríamos dizer que 
ele é Θ(|V|)\Theta(|V|)Θ(|V|), usando a notação |⋅||\cdot||⋅| para denotar o tamanho de um 
conjunto. Mas usar essa notação de tamanho de conjunto na forma assintótica é desajeitado, 
então adotamos a convenção de que em notação assintótica, e apenas em notação 
assintótica, abandonamos a notação detamanho de conjunto, entendendo que estamos 
falando sobre tamanhos de conjuntos. Então, em vez de escrever Θ(|V|)\Theta(|V|)Θ(|V|), 
escrevemos apenas Θ(V)\Theta(V)Θ(V). De modo similar, em vez de Θ(lg|E|)\Theta(\lg 
|E|)Θ(lg|E|), escrevemos Θ(lgE)\Theta(\lg E)Θ(lgE). 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a WILSON CORDEIRO DE ASSIS 
30 de março 2016 às 12:13:28 
poste sobre vértices pendentes, isolados e grau de vértice. assuntos da aula. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
FLAVIA DA SILVA SANTOS 
29 de março 2016 às 23:57:10 
Boa Noite... 
Aula 01:Como vimos Pesquisa Operacional tem como objetivo o desenvolvimento de 
metodologia para solução de problemas relacionados com as operações militares quando os 
Aliados se viram confrontados com problemas complexos de natureza logística, tática e de 
estratégia militar. Para apoiar os comandos operacionais na resolução desses problemas 
foram criados grupos multidisciplinares compostos por matemáticos,físicos, engenheiros e 
cientistas sociais. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a FLAVIA DA SILVA SANTOS 
30 de março 2016 às 12:14:38 
agora poste sobre a aula de grafos. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES 
30 de março 2016 às 08:17:32 
Professor e colegas bom dia ! 
Quanto ao tópico 2, pesquisei e encontrei a meu ver, este ótimo resumo com bons exemplos, 
o que facilita e muito o entendimento da construção dos principais modelos de PO. 
O processo de tomada de decisão de um executivo pode ser desenvolvido 
em ambientes especialmente construídos (modelagem) tornando possível a tomada 
de decisão com qualidade. 
Modelagem de problemas 
MODELOS SÃO REPRESENTAÇÕES DA REALIDADE 
- Modelos matemáticos 
Os modelos matemáticos são modelos simbólicos - o sistema real é representado por 
EQUAÇÕES E EXPRESSÕES MATEMÁTICAS que descrevem suas propriedades relevantes. 
n DECISÕES QUE SÃO QUANTIFICÁVEIS E INTERRELACIONADAS n VARIÁVEIS DE DECISÃO 
(x1, x2, … , xn) 
FUNÇÃO OBJETIVO Z = f(x1, x2, … , xn) 
- Expressão matemática de um modelo de programação linear OBJETIVO 
Determinar os valores das variáveis x1, x2, … , xn que otimizam (maximizam ou minimizam) 
a função linear 
Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn, obedecendo às seguintes RESTRIÇÕES: 
 
… 
e de forma que as variáveis sejam NÃO NEGATIVAS, ou seja: 
Temos que cj, aij e bi são constantes conhecidas, para todo i e todo j. Os parãmetros e 
variáveis do modelo são: 
Z - Medida de eficiência do sistema (chamada de Função Objetivo ou F.O.); xj - Nível da 
atividade j (variável de decisão); cj - Taxa de contribuição unitária da atividade j; bi - 
Disponibilidade do recurso i; aij - Coeficiente tecnológico (quantidade i / consumido por j) n - 
Número de atividades no modelo; m - Número de restrições no modelo. 
- Construção de um modelo de programação linear ETAPAS A SEGUIR PARA CONSTRUIR UM 
MODELO DE PL 1. Definição das atividades 
1. Definir as atividades (xj) e escolher uma unidade de medida para o seu nível. 2. Definição 
dos recursos 
Determinar os recursos consumidos e escolher a unidade de medida conveniente. 
3. Determinação das condições externas 
Determinar a quantidade de recurso disponível (bi). 4. Cálculo dos coeficientes 
insumo/produção 
Determinar a relação entre atividades e recursos (aij). 
5. Construção do modelo 
Associar x1, x2, … , xn às n atividades; Escrever as equações de balanceamento por recurso; 
Indicar o uso dos recursos; Estabelecer a função objetivo como medida de eficiência. 
Exemplos de Modelos para Alguns Problemas Clássicos de Programação Linear 
Escolha da Mistura para Rações 
Grão 1 Grão 2 Grão 3 Necessidades mínimas 
Nutriente A 2 3 7 1250 Nutriente B 1 1 0 250 Nutriente C 5 3 0 900 Nutriente D 0,6 0,25 1 
232,5 $/kg 41 35 96 
Seja: x1 = qtde. (kg) do Grão 1 usada na ração x2 = qtde. (kg) do Grão 2 usada na ração 
x3 = qtde. (kg) do Grão 3 usada na ração 
Custo total da ração: 41x1 + 35x2 + 96x3 Para atender às necessidades mínimas para cada 
nutriente, devemos ter: 
1250,0 (Nutriente A) 
250,0 (Nutriente B) 
900,0 (Nutriente C) 
232,5 (Nutriente D) 
Queremos obter uma ração que tenha um custo mínimo. Portanto, o modelo completo fica 
assim: 
Sujeito a: (Restrições) 
Minimizar 41x1 + 35x2 + 96x3 (Função Objetivo ou F.O.) 
1250,0 (Nutriente A) 
250,0 (Nutriente B) 
900,0 (Nutriente C) 
232,5 (Nutriente D) 
Abordagem clássica: 
 
Abordagem atual: 
 
Definição do problema 
Nesta fase, toda a equipe deve participar afim de estabelecer o escopo do problema, fazer 
todo o levantamento das informações necessárias para a construção e solução do modelo e 
fazer a descrição exata dos objetivos do estudo. 
Construção do modelo 
Aqui a equipe de pesquisa operacional estabelece os níveis de abstração necessários para 
representar o sistema real com base nas informações levantadas na fase de definição do 
problema. 
Solução do modelo 
Nesta fase são utilizados os algoritmos e formalismos matemáticos correspondentes ao 
modelo construído, assim como a utilização de ferramentas computacionais. 
Validação do modelo 
Aqui acontece a verificação se a solução fornecida é viável de ser aplicada no sistema real 
através de uma previsão do comportamento do mesmo. 
Implementação dos resultados 
A partir de um modelo solucionado e validado, pode-se retirar os níveis de abstração e 
aplicar a solução no sistema real. São definidas as regras operacionais e possivelmente, 
eventuais correções no modelo. 
Fontes pesquisadas: Nossa Web aula Estácio e adrianoviana.com.br 
Grande abraço, 
Emerson. 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES 
30 de março 2016 às 12:14:11 
agora poste sobre a aula 3. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES 
30 de março 2016 às 08:43:39 
Professor e colegas, bom dia ! 
Já na aula 3 sobre os Grafos, achei um pouco mais difícil a compreensão, mas, ao relermos 
os conceitos e fazermos exercícios repetitivos, torna-se bem mais fácil. 
Abaixo, tudo bem detalhado sobre os grafos com exemplos e exercícios, até mesmo a mais 
do que continha em nossa aula. Achei muito válido. 
GRAFO 
Um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: 
V - conjunto não vazio: os vértices ou nodos do grafo; 
A - conjunto de pares ordenados a=(v,w), v e w ∈ V: as arestas do grafo. 
Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: 
V = { p | p é uma pessoa } 
A = { (v,w) | < v é amigo de w > } 
Esta definição representa toda uma família de 
grafos. Um exemplo de elemento desta família (ver 
G1) é dado por: 
V = { Maria, Pedro, Joana, Luiz } 
A = { (Maria, Pedro), (Pedro, Maria), (Joana, 
Maria), (Maria, Joana), (Pedro, Luiz), (Luiz, 
Pedro), (Joana, Pedro) , (Pedro, Joana) } 
G1: 
 
Neste exemplo estamos considerando que a relação <v é amigo de w> é uma relação 
simétrica, ou seja, se <v é amigo de w> então <w é amigo de v>. Como conseqüência, as 
arestas que ligam os vértices não possuem qualquer orientação 
 
DIGRAFO (Grafo Orientado) 
Considere, agora, o grafo definido por: 
V = { p | p é uma pessoa da família Castro } 
A = { (v,w) | < v é pai/mãe de w > } 
Um exemplo de deste grafo (ver G2) é: 
V = { Emerson, Isadora, Renata, Antonio, 
Cecília, Alfredo } 
A = {(Isadora, Emerson), (Antonio, Renata), 
(Alfredo, Emerson), (Cecília, Antonio), 
(Alfredo, Antonio)} 
G2: 
 
A relação definida por A não é simétrica pois se <v é pai/mãe de w>, não é o caso de <w é 
pai/mãe de v>. Há, portanto, uma orientação na relação, com um correspondente efeito na 
representação gráfica de G. 
O grafoacima é dito ser um grafo orientado (ou digrafo), sendo que as conexões entre os 
vértices são chamadas de arcos. 
 
 
ORDEM 
A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de vértices, ou seja, pelo 
número de vértices de G. Nos exemplos acima: 
 ordem(G1) = 4 
 ordem(G2) = 6 
ADJACÊNCIA 
Em um grafo simples (a exemplo de G1) dois vértices v e w são adjacentes (ou 
vizinhos) se há uma aresta a=(v,w) em G. Está aresta é dita ser incidente a ambos, v e w. 
É o caso dos vértices Maria e Pedroem G1. No caso do grafo ser dirigido (a exemplo 
de G2), a adjacência (vizinhança) é especializada em: 
Sucessor: um vértice w é sucessor de v se há um arco que parte de v e chega em w. 
Em G2, por exemplo, diz-se que Emerson e Antonio são sucessores de Alfredo. 
Antecessor: um vértice v é antecessor de w se há um arco que parte de v e chega em w. 
Em G2, por exemplo, diz-se que Alfredo e Cecília são antecessores de Antonio. 
GRAU 
O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. Em G1, por 
exemplo: 
 grau(Pedro) = 3 
 grau(Maria) = 2 
No caso do grafo ser dirigido (a exemplo de G2), a noção de grau é especializada em: 
Grau de emissão: o grau de emissão de um vértice v corresponde ao número de arcos 
que partem de v. Em G2, por exemplo: 
 grauDeEmissão(Antonio) = 1 
 grauDeEmissao(Alfredo) = 2 
 grauDeEmissao(Renata) = 0 
Grau de recepção: o grau de recepção de um vértice v corresponde ao número de arcos 
que chegam a v. Em G2, por exemplo: 
 grauDeRecepção(Antonio) = 2 
 grauDeRecepção(Alfredo) = 0 
 grauDeRecepção(Renata) = 1 
 
FONTE 
Um vértice v é uma fonte se grauDeRecepção(v) = 0. É o caso dos 
vértices Isadora, Alfredo e Cecília em G2. 
SUMIDOURO 
Um vértice v é um sumidouro se grauDeEmissão(v) = 0. É o caso dos 
vértices Renata e Emerson em G2. 
LAÇO 
Um laço é uma aresta ou arco do tipo a=(v,v), ou seja, que relaciona 
um vértice a ele próprio. Em G3 há três ocorrências de laços para um 
grafo não orientado. G3: 
 
 
GRAFO REGULAR 
Um grafo é dito ser regular quando 
todos os seus vértices tem o mesmo 
grau. 
O grafo G4, por exemplo, é dito ser 
um grafo regular-3 pois todos os seus 
vértices tem grau 3. 
G4: 
 
GRAFO COMPLETO 
Um grafo é dito ser completo quando 
há uma aresta entre cada par de seus 
vértices. Estes grafos são designados 
por Kn, onde n é a ordem do grafo. 
 
 
 
Um grafo Kn possui o número máximo possível de arestas para um dados n. Ele é, 
também regular-(n-1) pois todos os seus vértices tem grau n-1. 
GRAFO BIPARTIDO 
Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado 
em dois subconjuntos V1 e V2, tais que toda aresta de G une um vértice de V1 a outro 
de V2. 
Para exemplificar, sejam os 
conjuntos H={h | h é um homem} 
e M={m | m é um mulher} e o 
grafo G(V,A) (ver o 
exemplo G5) onde: 
 V = H U M 
 A = {(v,w) | (v ∈ H e w ∈ M) ou (v 
∈ M e w ∈ H) 
e <v foi namorado de w>} 
G5: 
 
O grafo G6 é uma K3,3, ou seja, um 
grafo bipartido completo que 
contém duas partições de 3 vértices 
cada. Ele é completo pois todos os 
vértices de uma partição estão 
ligados a todos os vértices da outra 
partição. 
G6: 
K3,3 
GRAFO ROTULADO 
Um grafo G(V,A) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a cada vértice (ou 
aresta) estiver associado um rótulo. G5 é um exemplo de grafo rotulado. 
GRAFO VALORADO 
Um grafo G(V,A) é dito ser 
valorado quando existe uma ou mais 
funções relacionando V e/ou A com 
um conjunto de números. 
Para exemplificar (ver o grafo G7), 
seja G(V,A) onde: 
 V = {v | v é uma cidade com 
aeroporto} 
 A = {(v,w,t) | <há linha aérea 
ligando v a w, sendo t o tempo 
esperado de voo>} 
G7: 
 
MULTIGRAFO 
Um grafo G(V,A) é dito ser um 
multigrafo quando existem múltiplas 
arestas entre pares de vértices de G. 
No grafo G8, por exemplo, há duas 
arestas entre os vértices A e C e entre 
os vértices A e B, caracterizando-o 
como um multigrafo. 
G8: 
 
SUBGRAFO 
Um grafo Gs(Vs, As) é dito ser 
subgrafo de um 
grafo G(V,A) quando Vs ⊆ V e As ⊆ A
. O grafo G9, por exemplo, é subgrafo 
de G8. 
G9: 
 
HIPERGRAFO 
Um hipergrafo H(V,A) é definido 
pelo par de conjuntos V e A, onde: 
V - conjunto não vazio; 
A - uma família e partes não 
vazias de V. 
Seja, por exemplo, o 
grafo H(V,A) dado por: 
V = { x1, x2, x3, x4} 
A = { {x1, x2, x4}, {x2, x3, x4}, {x2, 
x3}} 
G10
: 
 
 
 
CADEIA 
Uma cadeia é uma sequência qualquer de arestas 
adjacentes que ligam dois vértices. O conceito de 
cadeia vale também para grafos orientados, bastando 
que se ignore o sentido da orientação dos arcos. A 
seqüência de vértices (x6, x5, x4, x1) é um exemplo de 
cadeia em G11. 
Uma cadeia é dita ser elementar se não passa duas 
vezes pelo mesmo vértice. 
É dita ser simples se não passa duas vezes pela 
mesma aresta (arco). 
O comprimento de uma cadeia é o número de 
arestas (arcos) que a compõe. 
G11: 
 
CAMINHO 
Um caminho é uma cadeia na qual todos os arcos possuem a mesma orientação. Aplica-
se, portanto, somente a grafos orientados. A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x6, x3) é 
um exemplo de caminho em G11. 
CICLO 
Um ciclo é uma cadeia simples e fechada (o vértice inicial é o mesmo que o vértice 
final). A seqüência de vértices (x1, x2, x3, x6, x5, x4, x1) é um exemplo de ciclo elementar 
em G11. 
CIRCUITO 
Um circuito é um caminho simples e fechado. A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x4, x1) 
é um exemplo de circuito elementar em G11. 
FECHO TRANSITIVO 
O fecho transitivo direto (ftd) de um vértice v é o conjunto de todos os vértices que 
podem ser atingidos por algum caminho iniciando em v. O ftd do vértice x5 do 
grafo G17, por exemplo, é o conjunto: {x1, x2, x3, x4, x5, x6}. Note que o próprio vértice 
faz parte do ftd já que ele é alcançável partindo-se dele mesmo. 
O fecho transitivo inverso (fti) de um vértice v é o conjunto de todos os vértices a 
partir dos quais se pode atingir v por algum caminho. O fti do vértice x5 do grafo G17, 
por exemplo, é o conjunto: {x1, x2, x4, x5, x7}. Note que o próprio vértice faz parte do fti 
já que dele se pode alncançar ele mesmo. 
 
 
GRAFO CONEXO 
Um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há 
pelo menos uma cadeia ligando cada par 
de vértices deste grafo G. 
G12: 
 
G13: 
 
GRAFO DESCONEXO 
Um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se 
há pelo menos um par de vértices que não 
está ligado por nenhuma cadeia. 
G14: 
 
COMPONENTE CONEXA 
Um grafo G(V,A) desconexo é formado 
por pelo menos dois subgrafos conexos, 
disjuntos em relação aos vértices e 
maximais em relação à inclusão. Cada um 
destes subgrafos conexos é disto ser uma 
componente conexa de G. 
G15: 
 
GRAFO FORTEMENTE CONEXO 
No caso de grafos orientados, um grafo é 
dito ser fortemente conexo (f-conexo) se 
todo par de vértices está ligado por pelo 
menos um caminho em cada sentido, ou 
seja, se cada par de vértices participa de 
um circuito. Isto significa que cada vértice 
pode ser alcançável partindo-se de 
qualquer outro vértice do grafo. 
G16: 
 
COMPONENTE FORTEMENTE 
CONEXA 
Um grafo G(V,A) que náo é fortemente 
conexo é formado por pelo menos dois 
subgrafos fortemente conexos, disjuntos 
em relação aos vértices e maximais em 
relação à inclusão. Cada um destes 
subgrafos é disto ser uma componente 
fortemente conexa de G, a exemplo dos 
subgrafos identificados por S1, S2 e S3em 
G17. 
G17: 
 
VÉRTICE DE CORTE 
Um vértice é dito ser um vértice de corte se suaremoção (juntamente com as arestas a 
ele conectadas) provoca um redução na conexidade do grafo. Os vértices x2 em G13 e 
G14 são exemplos de vértices de corte. 
PONTE 
Uma aresta é dita ser um a ponte se sua remoção provoca um redução na conexidade do 
grafo. As arestas (x1, x2) em G13 e G14 são exemplos de pontes. 
 
 
BASE 
Uma base de um grafo G(V,A) é um subconjunto B ⊆ V, 
tal que: 
 
G18: 
 
 dois vértices quaisquer de B não são ligados por nenhum 
caminho; 
 todo vértice não pertencente a B pode ser atingido por 
um caminho partindo de B. 
 
ANTI-BASE 
Uma anti-base de um grafo G(V,A) é um subconjunto A 
⊆ V, tal que: 
 dois vértices quaisquer de A não são ligados por nenhum 
caminho; 
 de todo vértice não pertencente a A pode ser atingir A 
por um caminho. 
RAIZ 
Se a base de um grafo G(V,A) é um conjunto unitário, 
então esta base é a raiz de G. 
G19: 
 
ANTI-RAIZ 
Se a anti-base de um grafo G(V,A) é um conjunto 
unitário, então esta anti-base é a anti-raiz de G. 
 
 
ÁRVORE 
Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos. 
Seja G(V,A) um grafo com ordem n ≥ 2. As propriedades 
seguintes são equivalentes e suficientes para caracterizar 
G como uma árvore: 
18. G é conexo e sem ciclos; 
19. G é sem ciclos e tem n-1 arestas; 
20. G é conexo e tem n-1 arestas; 
21. G é sem ciclos e por adição de uma aresta se cria um 
ciclo e somente um; 
22. G é conexo, mas deixa de sê-lo se uma aresta é suprimida 
(todas as arestas são pontes); 
23. todo par de vértices de G é unido por uma e somente uma 
cadeia simples. 
G20: 
 
ARBORESCÊNCIA 
Uma arborescência é uma árvore que possui uma raiz. 
Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados. 
G21: 
 
FLORESTA 
Uma floresta é um grafo cujas componentes conexas são 
árvores. 
G22: 
 
 
 
GRAFO PLANAR 
Um grafo G(V,A) é dito ser planar quando 
existe alguma forma de se dispor seus 
vértices em um plano de tal modo que 
nenhum par de arestas se cruze. 
Ao lado aparecem três representações 
gráficas distintas para uma K4 (grafo 
completo de ordem 4). Apesar de haver 
um cruzamento de arestas na primeira das 
representações gráficas, a K4 é um grafo 
planar pois admite pelo menos uma 
representação num plano sem que haja 
cruzamento de arestas (duas possíveis 
representações aparecem nas figuras ao 
lado). 
 
K4: 
 
 
Já uma K5 e uma K3,3 são exemplos de 
grafos não planares. Estes dois grafos não 
admitem representações planares. 
K3,3:
 
K5:
 
COLORAÇÃO 
Seja G(V,A) um grafo e C um conjunto de 
cores. Uma coloração de G é uma 
atribuição de alguma cor de C para cada 
vértice de V, de tal modo que a dois 
vértices adjacentes sejam atribuídas cores 
diferentes. Assim sendo, uma coloração 
de G é uma função f: V → C tal que para 
cada par de vértices (v,w) ∈ A → f(v) ≠ 
f(w). 
Uma k-coloração de G é uma coloração 
que utiliza um total de k cores. O exemplo 
ao lado mostra um 4-coloração para o 
grafo. 
 
NÚMERO CROMÁTICO 
Denomina-se número cromático X(G) de 
um grafo G ao menor número de cores k, 
para o qual existe uma k-coloração de G. 
O exemplo ao lado mostra uma 3-
coloração para o grafo, que é o número 
cromático deste grafo. 
 
 
 
ISOMORFISMO 
Sejam dois grafos G1(V1,A1) e G2(V2,A2). Um 
isomorfismo de G1 sobre G2 é um mapeamento 
bijetivo f: V1 ↔ V2 tal que (x,y) ∈ A1 se e somente se 
(f(x),f(y)) ∈ A2, para todo x,y ∈ V1. 
Os grafos ao lado são isomorfos pois há a função { 
(a,2), (b,1), (c,3), (d,4), (e,6), (f,5) } que satisfaz a 
condição descrita acima. 
 
 
 
 
SCIE (Subconjunto Internamente Estável) (por vezes 
também conhecido como conjunto independente) 
Seja G(V,A) um grafo não orientado. Diz-se 
que S ⊂ V é um subconjunto internamente estável se 
dois vértices quaisquer de S nunca são adjacentes 
entre si. Para o grafo ao lado, são exemplos de SCIE 
os conjuntos: 
{2, 3}, {1, 4} e {2, 3, 4} 
Agora, se dado um SCIE S não existe um outro 
SCIE S' tal que S ⊂ S', então S é dito ser um SCIE 
maximal. Para o grafo ao lado, são exemplos de SCIE 
maximais os conjuntos: 
{2, 3, 4}, {1, 6} e {4, 5} 
 
SCEE (Subconjunto Externamente Estável) (por 
vezes também conhecido como conjunto 
absorvente ou conjunto dominante) 
Seja G(V,A) um grafo orientado. Diz-se que T ⊂ V é 
um subconjunto externamente estável se todo vértice 
não pertencente a T tiver pelo menos um vértice 
de T como sucessor. 
Agora, se dado um SCEE T não existe um outro 
SCEE T' tal que T' ⊂ T, então T é dito ser um SCEE 
minimal. Para o grafo ao lado, são exemplos de 
SCEE minimais os conjuntos: 
{x2, x4, x6} e {x1, x5, x3} 
Este conceito também pode ser aplicado a grafos não 
orientados, bastando que consideremos que todo 
vértice exterior a T deva ter como adjacente pelo 
menos um vértice de T. 
 
Fontes pesquisadas: Nossa Web aula Estácio 3 e UFSC (universidade Federal de Santa 
Catarina). 
Grande abraço, 
Emerson. 
 
o 
o 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES 
30 de março 2016 às 12:16:03 
ok 
para finalizar poste exercícios resolvidos de PL. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
31 de março 2016 às 12:49:39 
Boa tarde professor e colegas, 
Segue um exercício resolvido de Programação Linear bem detalhado, espero que ajude aos 
demais colegas, a sanar as dúvidas existentes neste tipo. estarei postando outros exercícios 
mais a frente.... 
1 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. 
O lucro unitário do produto P1 é de R$ 1.000,00 e o lucro unitário de P2 é R$ 1.800. 
A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar 
uma unidade de P2. 
O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200horas. 
A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades para P1 e 30 unidades para P2. 
Construa o modelo de programação linear que objetiva Maximizar o lucro. 
Solução: 
P1: Lucro – R$ 1.000,00 
Tempo de produção P1: 20 horas P2: Lucro – R$ 1.800,00 Tempo de produção P2: 30 horas 
Tempo Disponível de Produção: 1200horas 
Demanda Esperada P1: 40 unidades Demanda Esperada P2: 30 unidades Unidade produzida 
do Produto P1: x Unidade produzida do Produto P2: y 
Função Objetivo: 
Maximizar: 1000x + 1.800y 
Restrições: - Tempo de Produção: 1.200h 20x + 30y ≤ 1.200 - Demanda Esperada do 
Produto P1: 40 unidades x ≤ 40 - Demanda Esperada do Produto P2: 30 unidades y ≤ 30 
Logo: 
Maximizar Lucro: Max Z = 1000x + 1.800y 
Restrições: 20x + 30y ≤ 1.200 x ≤ 40 y ≤ 30 x , y ≤ 0 
Grande abraço, 
Emerson. 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a EMERSON DE SOUZA LEAO FLORES 
2 de abril 2016 às 09:55:02 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
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ALUNO 
MARCIA REGINA NARDI TEIXEIRA DE OLIVEIRA 
30 de março 2016 às 21:02:34 
FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL. 
O termo pesquisa operacional(PO) designa uma área do conhecimento que consiste no 
desenvolvimento de métodos científicos de sistemas complexos, com a finalidade de prever e 
comparar estratégias ou decisões, alternativas, cujo objetivo é dar suporte a definição de 
políticas e determinação de ações. Passos para a implementação de PO, identificando o 
problema a ser estudado, a fase de formulação consiste na estruturação dos dados e 
informações disponíveis, a próxima fase de modelagem concentra-se na construção do 
modelo que é uma representação simplificado do sistema, em geral descrito por um 
conjunto, equaçõese desigualdades matemáticas. A solução é obtida através de um método 
que pode ser um procedimento matemático ou algorítimo para alcançar o resultado. 
o 
o 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a MARCIA REGINA NARDI TEIXEIRA DE OLIVEIRA 
31 de março 2016 às 08:47:12 
Vamos falar da aula de Grafos agora. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
MARCIA REGINA NARDI TEIXEIRA DE OLIVEIRA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 11:08:52 
GRAFOS - É um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um 
determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas Grafos,G, onde V é um 
conjunto não vazio de objetos denominados Vértices e A é um conjunto de pares não 
ordenados de V chamado Arestas. Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ser 
direção, pode ser permitido ou não arestas ligarem um vértice a ele próprio. Vértices ou 
arestas podem ser um peso(numérico) associado se as arestas tem uma direção 
associada(indicada por uma sets na representação gráfica) temos um grafo direcionado, 
grafo orientado ou dígrafo. Um grafo com um único vértice e sem arestas é conhecido como 
o grafo vrtual.Extruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e 
muitos problemas de interesse prático podem ser formulados como questão sobre certos 
grafos. 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a MARCIA REGINA NARDI TEIXEIRA DE OLIVEIRA 
5 de abril 2016 às 16:40:27 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
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ALUNO 
ANNE LIZE BACHMANN CORDEIRO 
31 de março 2016 às 10:19:34 
A Pesquisa Operacional-PO, é o estudo dos métodos matemáticos, usualmente 
implementados por programas de computador, que podem ser utilizados para resolver 
problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e controle de sistemas. A origem da 
PO como ciência é atribuída à coordenação das operações militares durante a 2ª Guerra 
Mundial, era necessário distribuir recursos militares, homens, entre outros, de uma forma 
eficiente e eficaz. 
Fazendo uso de modelos matemáticos, a pesquisa operacional facilita o processo de análise e 
decisão dos resultados. Isso significa que uma decisão pode ser mais bem avaliada e testada 
antes de ser efetivamente implementada. 
Etapas da modelagem: formulação do problema; coleta de dados; construção de modelo 
matemático; desenvolvimento de estratégias para determinar soluções a partir do modelo 
proposto; validação do modelo e implementação. 
A Teoria dos Grafos é um ramo da matemática que remete ao estudo de objetos 
combinatórios denominados Grafos. O Grafo consiste de um conjunto finito de elementos 
denominado vértices, cada vértice é representado graficamente por um ponto, um grafo 
também possui arestas, e cada aresta é um par ordenado de vértices, graficamente cada 
aresta é representada por uma linha ligando duas vértices.
 
Geralmente, em sua representação gráfica, as vértices são representadas por círculos e as 
arestas por linhas que conectam esses círculos. 
o 
o 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANNE LIZE BACHMANN CORDEIRO 
2 de abril 2016 às 09:52:27 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANNE LIZE BACHMANN CORDEIRO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
2 de abril 2016 às 19:03:50 
Aula 1 
A Pesquisa Operacional (PO) pode ser definida como: 
 
 
 
Estudo de métodos ambíguos, usualmente implementados por programas de geradores. 
 
Estudo de métodos geográficos, usualmente implementados por programas de computador. 
 
Podendo ser utilizados para resolver problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e 
controle de sistemas. 
 
Estudo de métodos matemáticos, usualmente implementados por programas de geradores. 
 
Podendo ser utilizados para dissolver problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e 
controle de sistemas. 
 
Podemos dizer que estão entre as ferramentas da Pesquisa operacional: 
 
 
 
Algoritmo Duplex e Algoritmo Simplex 
 
Programação Linear e Algoritmo Duplex 
 Programação Linear e Algoritmo Simplex 
 
Programação Exponencial e Algoritmo Duplex 
 
Programação Exponencial e Algoritmo Simplex 
Aula 2 
Uma empresa fabrica dois produtos (x1 e x2) e os lucros líquidos da distribuição dos produtos são $2 
e $5 respectivamente. Podemos dizer que a função objetivo desse problema de Pesquisa Operacional 
é: 
 
 
 
Max Z = 5x1 + 20x2 
 Max Z= 2x1 + 5x2 
 Max Z = 6x1 + 30x2 
 
Max Z 20x1 + 30x2 
 
Max Z = x2 + 5x2 
 
Para fazer uma garrafa de vinho especial(x1) precisamos de 3 quilos de uvas. 
Para fazer uma garrafa de vinho simples(x2) precisamos de 2 quilos de uva. No estoque existem 20 
quilos de uvas.Gostaria de usar todas as uvas do estoque. Marque a restrição a esse modelo. 
 
 
 
2x1 + 3x2 <=30 
 
2x1 + 4x2 > = 30 
 
4x1 +2x2 >=20 
 
x1 + 2x2 ≤ 20 
 3x1 +2x2 <=20 
Aula 3 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente corretamente o vértice "C". 
 
 
 
 
 
 
 
O vértice é pendente. 
 
O vértice é nulo. 
 O vértice possui paralelas. 
 
O vértice não pertence ao grafo. 
 
O vértice possui laço. 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente corretamente o vértice "F". 
 
 
 
 
 
 
O vértice é nulo. 
 
O vértice possui paralelas. 
 
O vértice é pendente. 
 
O vértice não pertence ao grafo. 
 O vértice possui laço. 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANNE LIZE BACHMANN CORDEIRO 
3 de abril 2016 às 07:45:16 
Tem que postar com um comentário dizendo o pq da opção está correta para ganhar as 5 
estrelas. 
acacio callim 
aguardo. 
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ALUNO 
ANNE LIZE BACHMANN CORDEIRO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 09:31:59 
Aula 01 
*Porque a PO não faz estudos geográficos, não dissolve problemas. A PO usa modelos 
matemáticos, estatísticas e algoritmos para ajudar na tomada de decisão. 
*A programação linear é uma técnica de otimização e o algoritmo simplex a maneira mais 
eficiente conhecida de se resolver modelos de Programação Linear,portanto ferramentas da 
PO. 
Aula 02 
*Produto $2 e $5 respetivamente, então x1 =2 e x2 = 5. Função lucro , então 
2x1 + 5x2. Portanto Max Z= 2x1+5x2 
*x1= 3 quilos de uva (vinho especial) x2= 2quilos de uva (vinho simples). Estoque 20 
quilos de uva. Então 3x1 + 2x2 < = 20 (se o estoque é de 20 quilos de uva , ele pode ser 
menor ou igual a 20) 
Aula 03 
*Duas arestas que incidam sobre o mesmo vértice são adjacentes, se os dois vértices são as 
mesmas arestas são paralelas. 
*Laço= é uma aresta que conecta um vértice a ela mesmo. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANNE LIZE BACHMANN CORDEIRO 
5 de abril 2016 às 16:39:27 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
ANTONIO AUGUSTO DE SOUZA LINS TOLEDO 
31 de março 2016 às 15:32:19 
Quando nos vemos em situações nas quais uma decisão precisa ser tomada entre um leque 
de opções possíveis e conflitantes, duas alternativas se apresentam: usar a intuição 
gerencial ou utilizar o processo de modelagem a fim de realizar simulações alterando as 
variáveis do problema para encontrar a solução ótima. 
 
Atébem pouco tempo, a primeira opção era a mais utilizada. Com maior conhecimento dos 
dados/informações sobre os problemas e a expansão da capacidade de processamento dos 
computadores, a segunda opção vem sendo mais utilizada. Neste contexto, duas 
considerações são importantes: 
 
 A quantidade de informações disponíveis cresce de maneira exponencial. A quantidade de 
dados é tão grande que é impossível formular modelos que considerem todos os dados. 
Logo, para realizar a modelagem, é necessário separar as informações relevantes das 
irrelevantes. Daí a necessidade de se criar um modelo. Um modelo é uma simplificação da 
realidade. 
 
 A intuição não pode ser deixada de lado no processo de tomada de decisão. Portanto, a base 
de dados da intuição não pode ser desperdiçada. 
 
 
As duas opções devem ser utilizadas conjuntamente para aperfeiçoar os processos de 
tomada de decisões. A intuição é especialmente relevante na seleção das informações 
relevantes para o problema em questão, bem como na criação de possíveis cenários para 
análise, na validação e análise do modelo, bem como dos resultados dos mesmos. 
 
 
Fonte: http://www.administradores.com.br/artigos/tecnologia/pesquisa-operacional-visao-
geral/57475/ 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANTONIO AUGUSTO DE SOUZA LINS TOLEDO 
2 de abril 2016 às 09:58:45 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANTONIO AUGUSTO DE SOUZA LINS TOLEDO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
2 de abril 2016 às 10:39:12 
Sobre o tema "Pesquisa Operacional" foram feitas as seguintes afirmações: 
 
 
I - A Pesquisa Operacional é usada no estudo de minimização de custos e/ou maximização de lucro. 
II - A Pesquisa Operacional surgiu da necessidade de lidar com problemas de natureza logística, 
tática e de estratégia militar de grande dimensão e complexidade. 
III - Face ao seu caráter multidisciplinar, a Pesquisa Operacional é uma disciplina científica que 
envolve a programação linear para a sua solução nos dias de hoje. 
 
Está(ão) correta(s): 
 
 
 
somente II e III. 
 
somente I e II. 
 
somente I. 
 
nenhuma 
 I, II e III. 
 
Na Pesquisa Operacional qual dos itens abaixo não constitui uma das etapas para a modelagem de 
uma situação a ser estudada: 
 
 
 teste do modelo em outra situação diferente da de estudo para a sua validação. 
 
validade do modelo 
 
coleta de dados 
 
Implementação 
 
formulação do problema 
 
Para fazer uma garrafa de vinho especial(x1) precisamos de 3 quilos de uvas. 
Para fazer uma garrafa de vinho simples(x2) precisamos de 2 quilos de uva. No estoque existem 20 
quilos de uvas.Gostaria de usar todas as uvas do estoque. Marque a restrição a esse modelo. 
 
 
 3x1 +2x2 <=20 
 
2x1 + 3x2 <=30 
 
x1 + 2x2 ≤ 20 
 
2x1 + 4x2 > = 30 
 
4x1 +2x2 >=20 
 
Abaixo são listadas fases da construção de um modelo em pesquisa operacional. Assinale a 
alternativa que mostra uma dessas fases: 
 
 
 
comparações 
 
suposições 
 restrições 
 
argumentações 
 
hipóteses 
 
A função objetivo do texto a seguir é: Lucro por quilo do produto 1 = $100,00 x1= peso do produto 
1 lucro por quilo do produto 2 = $10,00 x2=peso do produto 2 lucro por quilo do produto 3 = 
$1000,00 x3=peso do produto 3 
 
 
 
100x1 +x2 + x3 
 
10x1 +x2 + 100x3 
 
x1 +x2 + x3 
 
1000x1 +10x2 + 100x3 
 100x1 +10x2 + 1000x3 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANTONIO AUGUSTO DE SOUZA LINS TOLEDO 
3 de abril 2016 às 07:43:28 
Tem que postar resolvendo as questões ou comentando do pq está certa a opção. 
fazendo só marcando um(x) ganha 1 estrela. 
acacio callim 
aguardo 
 
 
ALUNO 
ANTONIO AUGUSTO DE SOUZA LINS TOLEDO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
3 de abril 2016 às 14:02:49 
Ok! 
A função objetivo do texto a seguir é: Lucro por quilo do produto A = $200,00 x1=peso do bolo A 
Lucro por quilo do produto B =$ 1,00 x2 = peso do bolo B Lucro por quilo do produto C = $100,00 
x3=peso do bolo C 
 
 
 200x1 +x2 +100x3 
Tem que multiplicar o lucro do quilo pelo peso do bolo exemplo: 200 = Lucro e x1 = Peso, 
com isso a questão fica seguinte forma 200x1+x2+100x3, fica x2 na formula para 
simplificar, pois 1 vezes x2 ja da x2. 
 
Abaixo são listadas fases da construção de um modelo em pesquisa operacional. Assinale a 
alternativa que mostra uma dessas fases: 
 
 
 
comparações 
 
suposições 
 restrições 
 
argumentações 
 
hipóteses 
Devido as limitações físicas do sistema, o modelo é obrigado a incluir restrições que limitam as 
variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis) 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "D". 
 
 
 
 Gr(D) = 4 
 
Gr(D) = 1 
 
Gr(D) = 0 
 
Gr(D) = 3 
 
Gr(D) = 2 
Grau é o numero de espetos que o vértice sofre, na imagem acima temos 4 linhas de 
encontro ao D, como esta a resposta acima. 
Com base na Árvore Binária dada, marque a resposta correta com relação ao percurso de Em-Ordem. 
 
 
 
 
 3 - 2 - 4 - 1 - 6 - 5 - 8 - 7 - 9 
 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 
 
3 - 4 - 2 - 6 - 8 - 9 - 7 - 5 - 1 
 
1 - 2 - 3 - 4 -5 - 6 - 8 - 7 - 9 
 
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 9 - 8 - 7 
 
Arvore binária em ordem é muito simples temos que seguir da esquerda para direita, numa 
ordem sequencial, o que vem na frente. 
Com base na Árvore Binária dada, marque a resposta correta com relação ao percurso de Pós-Ordem. 
 
 
 
 
 
 
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 8 - 7 - 9 
 
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 
 3 - 4 - 2 - 6 - 8 - 9 - 7 - 5 - 1 
 
3 - 2 - 4 - 1 - 6 - 5 - 8 - 7 - 9 
 
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 9 - 8 - 7 
Da esquerda para direita, de baixo para cima e sempre deixando as matrizes para o final, 
exemplificando: pegando os números de baixo primeiro da esquerda para direito como 3, 4, 
2, 6, 8, 9 e deixando os de cima para o final que são 7, 5, 1 
Espero ter correspondido o que foi solicitado. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANTONIO AUGUSTO DE SOUZA LINS TOLEDO 
4 de abril 2016 às 07:35:31 
impecável. 
mais 5? 
acacio callim 
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 
ALUNO 
 
 
 
 
 
LEONARDO SANTOS DE SOUSA 
31 de março 2016 às 21:45:25 
Boa noite professor e amigos 
 Entendo como pesquisa operacional o levantamento de entradas de um determinado 
processo a fim de operacionalizar de forma eficaz os recursos de operações, levando o 
processo a uma saída ótima através de modelos matemáticos. 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a LEONARDO SANTOS DE SOUSA 
2 de abril 2016 às 09:59:04 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JORGE LUIZ DORNELAS DA SILVA 
31 de março 2016 às 22:25:40 
Olá a todos, 
aula 1 Fundamentos da Pesquisa Operacional 
A P.O. é, portanto, um sistema organizado com auxílio de modelos bem como da 
experimentação de modelos, com o fito de operar um sistema da melhor maneira possível. 
Considero a P.O. como uma ferramenta matemática aplicada no processo de tomada de 
decisão. Para isso, fazemos uso de modelos matemáticos estruturados em fases. 
 
A P.O. é originária da Segunda Guerra Mundial, quando os cientistas de várias disciplinas 
se reuniram para resolver problemas militares de natureza tática e estratégica. 
 
Por ser uma ferramenta matemática aplicada, a P.O. nos dá condições para: 
 
 Solucionar problemasreais; 
 Tomar decisões embasadas em fatos, dados e correlações quantitativas; 
 Conceber, planejar, analisar, implementar, operar e controlar sistemas por meio da 
tecnologia bem como de métodos de outras áreas do conhecimento; 
 Minimizar custos e maximizar o lucro; 
 Encontrar a melhor solução para um problema, ou seja, a solução ótima. 
 
 
Atualmente, sua principal utilização é como ferramenta nos processos de tomada de 
decisão no ambiente empresarial e nos negócios, tanto no setor privado como no setor 
público. A P.O. pode ser utilizada para resolver os seguintes problemas no ambiente 
organizacional: 
 
 otimização de recursos; 
 roteirização; 
 localização; 
 carteiras de investimento; 
 alocação de pessoas; 
 previsão de planejamento; 
 alocação de verbas de mídia; 
 determinação de mix de produtos; 
 escalonamento e planejamento da produção; 
 planejamento financeiro; 
 análise de projetos e etc. 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JORGE LUIZ DORNELAS DA SILVA 
2 de abril 2016 às 09:59:56 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JORGE LUIZ DORNELAS DA SILVA 
31 de março 2016 às 22:52:29 
 
O que é um grafo? 
Um grafo (= graph) é um animal formado por dois conjuntos: um conjunto de 
coisas chamada vértice e um conjunto de coisas chamadas arcos; cada arco 
está associado a dois vértices: o primeiro é a ponta inicial do arco e o segundo 
é a ponta final. Você pode imaginar que um grafo é um mapa rodoviário 
idealizado: os vértices são cidades e os arcos são estradas de mão única. 
Exemplo 1: Digamos que os vértices de nosso grafo são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8 e os arcos são a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. Então a seguinte tabela define 
um grafo: 
 
 
 
 
Se um arco a tem ponta inicial v e ponta final w, dizemos que a vai 
de v a w. Dizemos também que a sai de v e entra em w. Às vezes, um 
arco com ponta inicial v e ponta final w será denotado por (v,w) ou por v—
ponta inicial 0 0 2 6 6 6 1 1 3 8 
arco a b c d e f g h i j 
ponta final 0 2 6 0 2 4 3 3 7 5 
w ou ainda por vw. Como se vê, os arcos são dirigidos; há quem goste de 
enfatizar esse fato dizendo que o grafo é dirigido (= directed). 
De maneira mais formal, podemos dizer que um grafo é um terno (V,A, f ), 
onde V e A são conjuntos finitos arbitrários e f é a função que associa a 
cada elemento de A um par ordenado de elementos de V. Às vezes, a 
função f é subentendida e dizemos simplesmente o grafo (V,A). Se o grafo 
como um todo é denotado por G, o seu conjunto de vértices será denotado 
por VG e o seu conjunto de arcos por AG. Se o grafo for denotado por g, os 
conjuntos de vértices e arcos serão denotados por Vg e Ag respectivamente. 
Laços e arcos paralelos 
Um arco é um laço (= loop = self-loop) se sua ponta inicial coincide com sua 
ponta final, ou seja, se o arco é da forma (v,v). Dois arcos são paralelos se 
têm a mesma ponta inicial e a mesma ponta final, ou seja, se os dois arcos são 
da forma (v,w). A propósito, dois arcos são antiparalelosse a ponta inicial de 
um é ponta final do outro, ou seja, se um arco é da forma (v,w) enquanto o 
outro é da forma (w,v). 
Um grafo é simétrico (= symmetric) se para cada arco da forma (v,w) existe 
um arco da forma (w,v). Há um tipo especial muito importante de grafo 
simétrico: o grafo não-dirigido (= undirected); 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JORGE LUIZ DORNELAS DA SILVA 
2 de abril 2016 às 09:54:36 
focar as postagens dentro da aula: 
vértice pendente 
vértice isolado 
vértice com laço 
vértice adjacente 
etc 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANA CAROLINA BITENCORT DA CUNHA 
1 de abril 2016 às 18:41:17 
 Boa noite, Professor Acacio. 
Estamos no Fórum A que contempla as aulas de 1 a 3 da nossa disciplina. 
Na aula 1 - FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL; 
 Pesquisa Operacional (P.O) engloba um conjunto de técnicas direcionadas a problemas 
complexos voltados para a tomada de decisões na empresas. O ponto chave da P.O reside na 
construção de modelos matemáticos a partir dos quais, seleciona-se uma técnica adequada 
para resolução. Exemplos de problemas onde a P.O se mostra bastante atrativa são: 
determinação de custo mínimo para produção, maximização de lucros, maximização de 
utilização de equipamentos, redução de desperdícios de produtos, problemas de corte, 
empacotamento, transporte, rotas, entre outros. 
 Os modelos de P.O são elaborados para “otimizar” um critério objetivo específico sujeito 
a um conjunto de restrições. A qualidade da solução resultante depende de quanto o modelo 
representa o sistema real. Uma solução é viável se satisfazer todas as restrições do modelo. 
Uma solução é ótima se, além de ser viável, resultar no melhor valor (máximo ou mínimo) 
para o modelo especificado. 
 
Por ser uma ferramenta matemática aplicada, a P.O. nos dá condições para: 
 
- Solucionar problemas reais. 
- Tomar decisões embasadas em fatos, dados e correlações quantitativas. 
- Conceber, planejar, analisar, implementar, operar e controlar sistemas por meio da 
tecnologia bem como de métodos de outras áreas do conhecimento. 
- Minimizar custos e maximizar o lucro. 
- Encontrar a melhor solução para um problema, ou seja, a solução ótima. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANA CAROLINA BITENCORT DA CUNHA 
2 de abril 2016 às 10:00:45 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANA CAROLINA BITENCORT DA CUNHA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
2 de abril 2016 às 19:12:20 
Boa noite, Professor Acacio. 
Eu já havia feito os exercícios, só faltava finalizar e acabei de fazer isso. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANA CAROLINA BITENCORT DA CUNHA 
3 de abril 2016 às 07:46:31 
agora poste 5 deles com um comentário dizendo o pq das opções estarem certas-vale 5 
estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANA CAROLINA BITENCORT DA CUNHA 
1 de abril 2016 às 18:48:27 
Boa noite, Professor Acacio. 
Olá aluno, 
Estamos no Fórum A que contempla as aulas de 1 a 3 da nossa disciplina. 
Na aula 2- CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL 
Existem basicamente três tipos de modelos: modelos físicos, analógicos e os matemáticos ou 
simbólicos. Os modelos físicos seriam as maquetes. Os analógicos representam as relações 
de diferentes maneiras. Os mapas, os velocímetros através de sua escala circular são 
exemplos de modelos analógicos. 
 
De maior interesse em situações empresariais, os modelos matemáticos ou simbólicos 
representam as grandezas por variáveis de decisão e as relacionam por meio de expressões 
ou equações matemáticas. Logo, os modelos matemáticos se assentam sobre uma base 
quantificável. Um modelo matemático deve possuir variáveis suficientes para que: 
 
- Os resultados atinjam seus propósitos. 
- O modelo apresente consistência de dados. 
- O modelo possa ser analisado no momento disponível à sua concepção. 
 
Vantagens da utilização de modelos: 
 
A utilização da modelagem no processo de tomada de decisões gera diversas vantagens: 
 
- Modelos obrigam os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus objetivos. 
- Modelos foçam a identificação e armazenamento de diversas decisões que influenciam no 
atingimento dos objetivos. 
- Modelos forçam a identificação e armazenamento das relações entre diferentes decisões. 
- Modelos forçam a identificação de limitações. 
- Modelos forçama determinação de variáveis a serem consideradas e sua quantificação. 
- Modelos permitem a comunicação e o trabalho em grupo. 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANA CAROLINA BITENCORT DA CUNHA 
2 de abril 2016 às 10:04:22 
aguardando sua postagem dos exercícios do avaliando aprendizado. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
WILSON CORDEIRO DE ASSIS 
2 de abril 2016 às 18:41:11 
Boa noite professor e colegas de curso, 
Um vértice pendente é um vértice de grau um. Em um grafo direcionado, pode-se 
distinguir o grau de saída (número de arestas divergentes) do grau de entrada (número de 
arestas convergentes. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a WILSON CORDEIRO DE ASSIS 
3 de abril 2016 às 07:45:35 
Vamos agora focar nos exercícios do avaliando o aprendizado. 
Eles são suas questões das provas AV e AVs. 
Tente resolver. Qualquer dúvida poste aqui. 
Se quiser , poste as soluções dos exercícios do avaliando o aprendizado aqui (no mínimo 3) 
para conseguir estrelas. 
acacio callim 
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 
ALUNO 
WILSON CORDEIRO DE ASSIS 
2 de abril 2016 às 19:29:34 
Boa noite professor e colegas de curso 
Pesquisa Operacional é 
a aplicação de métodos científicos a problemas complexos 
para auxiliar no processo de tomada de decisões, tais como: 
projetar; planejar; e operar 
sistemas em situações que requerem alocações eficientes de 
recursos escassos. De forma 
sucinta, podemos dizer 
que Pesquisa Operacional é uma abordagem científica para a 
tomada 
de decisões. A denominação 
Pesquisa Operacional 
é o motivo de críticas e reflexões, pois 
não reflete a abrangencia atual da área e pode dar a falsa 
impressão de estar limitada à análise 
de 
operações. Alguns autores sugerem outras denominações 
preferíveis semanticamente, por 
exemplo, análise de decisões; entretanto, o termo Pesquisa 
Operacional é bastante difundido 
no âmbito das engenharias (particularmente a Engenharia de 
Produção) e outras 
ciências. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a WILSON CORDEIRO DE ASSIS 
3 de abril 2016 às 07:46:58 
Vamos agora focar nos exercícios do avaliando o aprendizado. 
Eles são suas questões das provas AV e AVs. 
Tente resolver. Qualquer dúvida poste aqui. 
Se quiser , poste as soluções dos exercícios do avaliando o aprendizado aqui (no mínimo 3) 
para conseguir estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
SIDNEI SOUZA DIAS 
3 de abril 2016 às 21:47:28 
Boa noite Professor e a todos! 
Fundamentos em Pesquisa Operacional a Pesquisa Operacional (PO) consiste no estudo de 
métodos matemáticos, usualmente implementados por programas de computador, que 
podem ser utilizados para resolver problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e 
controle de sistemas. É vista como uma metodologia para estruturar processos por meio de 
construção de modelos. Coletânea de técnicas quantitativas de otimização. 
A origem da Pesquisa Operacional Atribuída ao serviço militar na 2a Guerra Mundial; Serviço 
militar do Reino Unido e EUA recrutaram diversos cientistas p/ realizar pesquisas em 
operações (militares); Durante este período, os cientistas começaram a estudar de forma 
sistemática e racional os processos envolvidos na realização de uma atividade produtiva. 
A difusão da Pesquisa Operacional “Boom” industrial; Problemas causados pelo aumento da 
complexidade e especialização das organizações; Problemas de natureza similar aos 
encontrados na 2a Guerra Mundial; No começo dos anos 50, profissionais introduziram o uso 
da PO em uma variedade de organizações (indústrias, governo, etc.). 
A difusão da Pesquisa Operacional Dois fatores foram responsáveis pelo rápido crescimento 
da PO: Progresso substancial no desenvolvimento de técnicas, como: Algoritmo Simplex 
(DANTZIG, 1947) Programação Linear Programação Dinâmica Teoria das Filas.Revolução 
“computacional”. 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a SIDNEI SOUZA DIAS 
4 de abril 2016 às 07:39:05 
Vamos postar um grupo de 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado para ganhar 5 
estrelas. ok? 
acacio callim 
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ALUNO 
RODOLFO ALVES DA SILVA ELINO 
3 de abril 2016 às 22:39:28 
Boa noite, 
 Aula 1 - FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL 
Pesquisa Operacional é o conjunto de técnicas e métodos aplicados por equipe multidisciplinares para se 
determinar a melhor utilização de recursos limitados e para programação otimizada das operações de 
uma empresa. 
As primeiras atividades formais de P. O. foram iniciadas na Inglaterra durante a 2ª Guerra Mundial os 
Cientistas britânicos tomavam decisões com bases científicas sobre a melhor utilização do material de 
guerra, o abastecimento das tropas e as táticas de defesa e ataque aéreo ou marítimo 
Após a guerra, as ideias propostas para as operações militares foram adaptadas para melhorar a 
eficiência e a produtividade no setor Civil No Brasil foi introduzida na década de 50 
Aula 2- CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL 
Para obter soluções ótimas, a Pesquisa Operacional se vale de modelagens, ou seja, estabelece 
modelos, normalmente matemáticos que representam a realidade estudada. Modelos são representações 
da realidade, mas a esta normalmente envolve tal complexidade e quantidade tão grande de variáveis 
que não é possível – e nem teria utilidade alguma – um modelo que leve em conta toda essa 
complexidade e número de variáveis. Dessa forma, em Pesquisa Operacional, consideramos um modelo 
matemático simplificado. 
Três modelos são normalmente utilizados na maioria das ciências e, portanto, na Pesquisa Operacional: 
modelos icônicos; modelos analógicos e modelos simbólicos. 
Nos modelos icônicos, as características relevantes dos objetos reais são representadas como se 
parecem, mas normalmente com mudança de escala; são, portanto, imagens, daí o termo icônico. Um 
modelo de um carro de Fórmula 1, em escala 1:30, colocado num túnel de vento, é o exemplo da 
modelagem à qual nos referimos. 
Os modelos analógicos usam um conjunto de propriedades para representar outro conjunto de 
propriedade. O desenho das linhas do metrô ou então o diagrama unifilar de uma instalação hidráulica 
são exemplos desse tipo de modelo. 
Os modelos simbólicos usam letras, números e outros símbolos para representar as variáveis e suas 
relações. Redundam, portanto, em expressões matemáticas, geralmente equações e inequações. A 
fórmula do movimento de um corpo em queda livre é um exemplo desse modelo 
Aula 3 - GRAFOS 
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um 
determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não 
arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
Estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e muitos problemas 
de interesse prático podem ser formulados como questões sobre certos grafos. Por exemplo, 
a estrutura de ligações da Wikipédia pode ser representada por um dígrafo: os vértices são 
os artigos da Wikipédia e existe uma aresta do artigo A para o artigo B se e somente 
se A contém um link para B. Dígrafos são também usados para representar máquinas de 
estado finito. O desenvolvimentode algoritmos para manipular grafos é um tema importante 
da ciência da computação. 
Obrigado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a RODOLFO ALVES DA SILVA ELINO 
4 de abril 2016 às 07:39:34 
Vamos postar um grupo de 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado para ganhar 5 
estrelas. ok? 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
SIDNEI SOUZA DIAS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 20:12:15 
Olá Professor e demais colegas! 
Se eu entendi o proposto seguem abaixo : 
Podemos dizer que estão entre as ferramentas da Pesquisa operacional: 
 
 
 
Programação Linear e Algoritmo Duplex 
 
Programação Exponencial e Algoritmo Simplex 
 
Algoritmo Duplex e Algoritmo Simplex 
 
Programação Exponencial e Algoritmo Duplex 
 Programação Linear e Algoritmo Simplex 
 
A Pesquisa Operacional (PO) pode ser definida como: 
 
 
 
Podendo ser utilizados para resolver problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e 
controle de sistemas. 
 
Podendo ser utilizados para dissolver problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e 
controle de sistemas. 
 
Estudo de métodos geográficos, usualmente implementados por programas de computador. 
 
Estudo de métodos ambíguos, usualmente implementados por programas de geradores. 
 
Estudo de métodos matemáticos, usualmente implementados por programas de geradores. 
 
Não é correto afirmar sobre Pesquisa Operacional (PO) : 
 
 
 Teve seu "boom" na década de 90 
 
Aplicabilidade na teoria das filas 
 
Seu ápice foi na revolução industrial 
 
Uso de programação linear 
 
Origem atribuída ao serviço militar na 2a Guerra Mundial 
 
Pode-se dizer que houve uma difusão da Pesquisa Operacional (PO) quando: 
 
 
 
No começo dos anos 80 
 
No fim dos anos 50 
 "Boom" industrial 
 
No começo dos anos 40 
 
"Boom" comercial 
 
Na Pesquisa Operacional qual dos itens abaixo não constitui uma das etapas para a modelagem de 
uma situação a ser estudada: 
 
 
 
formulação do problema 
 
validade do modelo 
 teste do modelo em outra situação diferente da de estudo para a sua validação. 
 
coleta de dados 
 
Implementação 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a SIDNEI SOUZA DIAS 
5 de abril 2016 às 16:43:17 
poderia ter feito um comentário sobre as respostas certas. 
agora: 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
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ALUNO 
EDUARDO COSTA FELIPE 
4 de abril 2016 às 15:20:27 
Um grafo é um animal formado por dois conjuntos: um conjunto de 
coisas chamadas arcos; cada arco está associado a dois vértices: o 
primeiro é a ponta inicial do arco e o segundo é a ponta final. Você 
pode imaginar que um grafo é um mapa rodoviário idealizado: os 
vértices são cidades e os arcos são estradas de mão única. 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a EDUARDO COSTA FELIPE 
5 de abril 2016 às 16:41:35 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
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acacio callim 
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ALUNO 
LEANDRO DA SILVA DOS SANTOS 
4 de abril 2016 às 20:02:58 
Boa noite a todos! 
Pesquisa operacional consiste nos estudos de métodos matemáticos, usualmente 
implementados por programa de computador, que podem ser utilizados para resolver 
problemas gerenciais relacionados as tomadas de decisões e controle de sistemas. Tem a 
capacidade de gerar conclusões eficientes para o decisor. Tenta resolver conflitos de 
interesses, buscando a melhor solução possível. Resolve problemas relacionados à condução 
e coordenação das operações. Fatores responsáveis pelo rápido crescimento da Pesquisa 
operacional: 
- Progresso substancial no desenvolvimento de técnicas. 
- Algoritmo simplex. 
- Programação linear. 
- Programação dinâmica. 
- Teoria das filas. 
-Revolução computacional. 
Teoria dos Grafos: É um ramo da matemática que remete ao estudo de objetos 
combinatórios denominados Grafos. A pesquisa operacional utiliza os grafos em diversas 
situações. 
Atenciosamente, 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a LEANDRO DA SILVA DOS SANTOS 
5 de abril 2016 às 16:42:19 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
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acacio callim 
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ALUNO 
VINICIUS PINHEIRO DE OLIVEIRA 
4 de abril 2016 às 20:11:35 
Boa noite, 
 
continuando, mais minhas anotações sobre as aulas 
Pesquisa Operacional PO 
Estudo de metodos matematicos, que podem ser utilizados para resolver problemas 
gerenciais relacionados a tomada de decisão e controle de sistemas. 
A PO estrutura processos, propondo várias medidas e comparação de valores, custos e 
efiencia. 
Estrutura processos por meio de construoção de modelos de tecnicas quantitativas de 
otimização. 
*Caracteristicas: 
-Capacidade de gerar conclusões eficientes 
-Tenta resolver o conflito de interesses dos componentes da organização. Procurando 
determinar a melhor solução pra entidade como um todo 
-busca resolver problemas relacionados a a condução de atividades ao longo da organização 
de diferentes naturezas 
*O que causou a difução da PO 
-O crescimento industrial 
-Alta complexidade e especialização das organizações. 
*Fatores responsaveis pelo rápido crescimento da PO 
-Progresso no desenvolvimento de técnicas 
-Algoritimo Simplex 
-Teoria de filas 
-Revolução computacional 
- Programação linear e dinmamica 
*Aplicações da PO 
-Manufatura 
-Dimensionamento de Lotes 
-Otimização de layouts 
-Formação de celulas de fabricação 
-Sistema de transporte e distribuição 
-roteamento de veiculos. 
*Po Congrega diversas das mais consagradas técnicas de modelo matematico 
*Os principais modelos de PO são denominados programação matematica e são estruturados 
de forma lógica. 
São agrupados em subareas. Como programação linear, não linear etc... 
*Etapas da modelagem: 
-Formulação do problema 
-Coleta de dados 
-Construção do modelo matemático 
-Desenvolvimento de estratégias para determinar soluções a partir do modelo proposto 
-Validação do modelo 
-Implementação 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VINICIUS PINHEIRO DE OLIVEIRA 
5 de abril 2016 às 16:39:51 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
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desafio da semana. 
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acacio callim 
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ALUNO 
SIDNEI SOUZA DIAS 
4 de abril 2016 às 20:22:21 
Boa noite a todos ! 
Abaixo alguns tópicos sobre GRAFOS. 
 
Grafos simples: Um grafo simples é um grafo que não possui laços nem arestas paralelas. 
Grafos dirigidos (Digrafos): Um grafo que tem laços. Para cada grafo dirigido ou simples 
existe um grafo correspondente. Grafo completo: É um grafo simples cujo conjunto de 
aresta contém exatamente uma aresta para cada par de vértices distintos, quantidade de 
grafos distintos com n vértices, vide slides 30-32 
Grafo ciclo: Onde o último vértice é conectado com o primeiro vértice. 
Grafo roda: É um grafo simples com n+1 vértices que é obtido acrescentando umvértice 
no centro do grafo e o conectando a todos os outros vértices. 
Grafo cubo: Um grafo cubo-n de 2^n vértices, denominado Q(n) é um grafo simples. 
Grafo bipartido: Um grafo onde você consegue separar os vértices em dois grupos, por 
exemplo: grupo v e w. O grupo v só pode ser conectado ao grupo w. 
Grafo bipartido completo: O mesmo que o grafo bipartido. Porém neste os vértices do grupo 
v estão conectados a todos os vértices do grupo w. 
Multigrafo: É um grafo que não possui laços, mas pode ter arestas paralelas. 
Multigrafo dirigido: É um grafo que permite laços e arestas paralelas. 
Pseudografo: Possui laços e arestas paralelas. 
Hipergrafo: É um grafo não dirigido e que cada aresta conecta um número arbitrário de 
vértices. 
Grafo valorado: É um grafo em que cada aresta tem um valor associado. 
Grafo imersível: É um grafo que se é possível transpor em um plano. 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a SIDNEI SOUZA DIAS 
5 de abril 2016 às 16:45:15 
desafio da semana pendente: 
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ALUNO 
VALDEMIR COELHO DOS SANTOS 
4 de abril 2016 às 22:40:16 
Boa Noite! 
Aula 1 - a pesquisa operacional (PO) envolve “pesquisa 
sobre operações”. Portanto, a pesquisa operacional é aplicada a problemas envolvendo 
como conduzir e coordenar as atividades em uma organização e tem 
sido largamente aplicada em áreas tão distintas como manufatura, transportes, 
construção, telecomunicações, planejamento financeiro, assistência médica 
e serviços públicos, entre outros (Hillier e Lieberman, 2006). 
Aula 2 - Construção de modelos de pesquisa - um modelo é uma representação simplificada 
de uma situação na vida real e reflete a essência do problema. Um modelo 
matemático de um Problema de Otimização é representado por um sistema de 
equações (inequações) que descrevem a essência do problema. 
Aula 3 - Grafos 
 
Grafo simples, não orientado e incompleto. 
Ordem do grafo: |V |= 6 |A |= 7 
Vértices adjacentes: 
(V6,V2) (V6,V5) (V2,V3) (V2,V4) (V3,V5) (V4,V5) 
Vértice isolado: V1 
Laço em V3 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VALDEMIR COELHO DOS SANTOS 
5 de abril 2016 às 16:43:33 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
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desafio da semana. 
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acacio callim 
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ALUNO 
WANDER BRUCE TEIXEIRA 
5 de abril 2016 às 07:16:33 
A aplicação da PO é extremamente variada e cercada de ciências que nos permite sua 
aplicabilidade em diversos setores do mundo moderno. 
Sua aplicação tem impacto direto no resultado final de uma organização, mas formas de 
operação e no resultado final. 
Sua origem vem da segunda guerra mundial, tempo onde várias tecnologias se 
despontaram, independente do fator gerador. 
Para construção dos modelos operacionais são necessários os levantamentos dos pontos 
iniciais, das restrições e do objetivo final, sendo que o resultado esperado é solucionar 
problemas reais, tomar decisões embasadas em fatos e dados, minimizar custos e propor a 
melhor forma de solucionar um problema. 
As principais técnicas são a Programação linear,Teoria das filas e Teoria dos grafos. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a WANDER BRUCE TEIXEIRA 
5 de abril 2016 às 16:40:07 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
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acacio callim 
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ALUNO 
CARLOS ALBERTO VIEIRA DE OLIVEIRA 
5 de abril 2016 às 08:00:28 
boa eu fiz uma pesquisa sobre a aula 1 ( CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL O termo 
Pesquisa Operacional (PO) designa uma area do conhecimento que consiste no 
desenvolvimento de metodos cientificos de sistemas complexos, com a finalidade de prever e 
comparar estrategias ou decisoes alternativas, cujo objetivo ´e dar suporte `a definicao de 
politicas e determina¸c˜ao de acoes. O trabalho do matem´atico russo Leonid Kantorovich 
de 1939 intitulado “Metodos matematicos na organizacao e no planejamento de producao” 
´e considerado um dos precursores da PO, por´em manteve-se desconhecido da comunidade 
cientifica ocidental at´e 1959. O proprio termo Pesquisa Operacional, do ingles Operations 
Research, foi cunhado pelo matem´atico russo na tentativa de englobar, sob uma ´unica 
denomina¸c˜ao, todas as tecnicas existentes ou que viriam a ser desenvolvidas e que 
tinham o mesmo objetivo citado. De fato, o termo PO designa um conjunto de disciplinas 
isoladas tais como Programa¸c˜ao Linear, Teoria das Filas, Simula¸c˜ao, Programa¸c˜ao 
Dinamica, Teoria dos Jogos, dentre outras. 
SOBRE A AULA 02 = Construção do modelo. Nessa fase predomina a modelagem 
matemática, ou seja, as equações e inequações, seja na função objetivo, seja nas 
restrições. Cabe distinguir variáveis decisivas ( variáveis controláveis), das não decisivas. 
Por exemplo, em uma situação de produção, a quantidade a ser produzida é uma variável 
controlável. A demanda bem como o preço praticado pelo mercado são exemplos de 
variáveis não controláveis. 
SOBRE A AULA 03 = 
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de 
um determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não 
arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
Estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e muitos problemas 
de interesse prático podem ser formulados como questões sobre certos grafos. Por exemplo, 
a estrutura de ligações da Wikipédia pode ser representada por um dígrafo: os vértices são 
os artigos da Wikipédia e existe uma aresta do artigo A para o artigo B se e somente 
se A contém um link para B. Dígrafos são também usados para representar máquinas de 
estado finito. O desenvolvimento de algoritmos para manipular grafos é um tema importante 
da ciência da computação. 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CARLOS ALBERTO VIEIRA DE OLIVEIRA 
5 de abril 2016 às 16:46:46 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
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ALUNO 
CARLOS ALBERTO VIEIRA DE OLIVEIRA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
5 de abril 2016 às 18:41:22 
 boa noite seque um grafo de 
10 vérticUm grafo G = (V,E) é um conjunto 
não-vazio V, cujos elementos são 
chamados vértices, e um conjunto E 
de arestas. Uma aresta é um par não-
ordenado (vi,vj), onde vi e vj são elementos de 
V. Normalmente, utiliza-se uma representação 
gráfica de um grafo. Eis um exemplo de grafo, 
com a sua representação gráfica: 
V = {v1, v2, v3, v4, v5} 
E = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8} 
onde a1 = (v1,v2), a2 = (v1,v3), a3 = (v1,v3), 
a4 = (v2,v3),a5 = (v2,v5), a6 = (v5,v5), a7 = 
(v3,v5), a8 = (v3,v4). 
 
 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CARLOS ALBERTO VIEIRA DE OLIVEIRA 
6 de abril 2016 às 10:20:08 
parabéns. 
sua postagem está concorrendo ao bônus de 3 estrelas. 
ganha a melhor dentre todas da semana. 
acacio callim 
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ALUNO 
DIEGO MORATO MELO 
5 de abril 2016 às 08:32:53 
Bom dia professor! 
Após pesquisar um pouco sobre o tema, eu fiz uma pequena síntese sobre os assuntos. Em relação a PO 
podemos dizer que é o Conjunto de técnicas e métodos aplicados por determinadas equipes 
multidisciplinares para se determinar a melhor utilização de recursos que por sua vez são limitados e para 
programação otimizada das operações de uma empresa. É voltada para a resolução de problemas reais, 
tendo como foco a tomada de decisões. Tomada de decisão é a principal característica que diferencia os 
gerentes dos demais funcionários de uma empresa. 
Resumidamente podemos dizer que o objetivo principal da PO é determinar a programação otimizada de 
atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de procedimentos e métodos quantitativos para tratar de 
forma sistematizada problemas que envolvam a utilização de recursos escassos. Para apoiar a tomada de 
decisão, a PO busca a solução de problemas que podem ser representados por modelos matemáticos. 
As fases de formulação e modelagem do problema devem ser executadas com muita responsabilidade 
pois é muito difícil encontrar uma solução certa para um problema mal formulado. 
Os modelos matemáticos são os verbais, físicos, verbais e o próprio matemático, e são uma 
representaçãao simplificada de uma situação real e deve refletir a essência do problema, representando 
as grandezas envolvidas por variáveis e as relações de interdependência existentes entre elas por 
expressões matemáticas. 
Em relação aos Grafos, vou confessar que não entendi ainda, encontrei um conceito e vou tentar falar um 
pouco, podemos dizer que um grafo é um terno (V,A, f ), onde V e A são conjuntos finitos arbitrários 
e f é a função que associa a cada elemento de A um par ordenado de elementos de V. Às vezes, a 
função f é subentendida e dizemos simplesmente o grafo (V,A). Se o grafo como um todo é denotado 
por G, o seu conjunto de vértices será denotado por VG e o seu conjunto de arcos por AG. Se o grafo 
for denotado por g, os conjuntos de vértices e arcos serão denotados por Vg e Ag respectivamente. 
"Você pode imaginar que um grafo é um mapa rodoviário idealizado: os vértices são cidades e os arcos 
são estradas de mão única." 
http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos_em_grafos/aulas/grafos.html 
Obrigado! 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a DIEGO MORATO MELO 
5 de abril 2016 às 16:48:27 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
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desafio da semana. 
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acacio callim 
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ALUNO 
NATÁLIA NORI PRATEADO 
5 de abril 2016 às 20:22:30 
Boa noite! 
PESQUISA OPERACIONAL - PO 
Pesquisa operacional é o uso de modelos matemáticos, estatística e algoritmos para 
ajudar a tomada de decisões. É mais frequente o seu uso para análise de sistemas 
complexos reais, tipicamente com o objetivo de melhorar ou otimizar a performance. É 
uma forma de matemática aplicada. 
Modelagem 
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto 
aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do 
sistema, de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para 
definir a estrutura ideal do sistema. 
A confiabilidade da solução obtida através do modelo depende da validação do modelo na 
representação do sistema real. A validação do modelo é a confirmação de que ele realmente 
representa o sistema real. A diferença entre a solução real e a solução proposta pelo modelo 
depende diretamente da precisão do modelo em descrever o comportamento original do 
sistema. 
Um problema simples pode ser representado por modelos também simples e de fácil solução. 
Já problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cuja solução pode vir a 
ser bastante complicada. 
Estrutura de Modelos Matemáticos 
Em um modelo matemático, são incluídos três conjuntos principais de elementos: 
(1) variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitas a serem 
determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema; 
(2) restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve 
incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis); 
(3) função objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função 
das variáveis de decisão. 
Para melhor ilustrar ao conjuntos acima, considere o seguinte exemplo: 
"Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura 
das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que: 
A ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 
kg de cereais; ü o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30; ü o 
kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; ü estão disponíveis por mês 10 0 kg de 
carne e 30 0 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de 
modo a maximizar o lucro." 
Neste problema as variáveis de decisão são as quantidades de ração de cada tipo a serem 
produzidas. Os parâmetros fornecidos são os preços unitários de compra e venda, além das 
quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de ração. As restrições são os limites 
de carne e cereais e a função objetivo é uma função matemática que determine o lucro em 
função das variáveis de decisão e que deve ser maximizada. 
Técnicas Matemáticas em Pesquisa Operacional 
A formulação do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A função 
objetivo e as funções de restrições podem ser lineares ou não-lineares. As variáveis de 
decisão podem ser contínuas ou discretas (por exemplo, inteiras) e os parâmetros podem ser 
determinísticos ou probabilísticos. 
O resultado dessa diversidade de representações de sistemas é o desenvolvimento de 
diversas técnicas de otimização, de modo a resolver cada tipo de modelo existente. Estas 
técnicas incluem, principalmente: programação linear, programação inteira, programação 
dinâmica, programação estocástica e programação não-linear. Programação linear é utilizada 
para analisar modelos onde as restrições e a função objetivo são lineares; programação 
inteira se aplica a modelos que possuem variáveis inteiras (ou discretas); programação 
dinâmica é utilizada em modelos onde o problema completo pode ser decomposto em 
subproblemas menores; programação estocástica é aplicada a uma classe especial de 
modelos onde os parâmetros são descritos por funções de probabilidade; finalmente, 
programação não-linear é utilizada em modelos contendo funções não-lineares. 
Uma característica presente em quase todas as técnicas de programação matemática é que a 
solução ótima do problema não pode ser obtida em um único passo, devendo ser obtida 
iterativamente. É escolhida uma solução inicial (que geralmente não é a solução ótima). Um 
algoritmo é especificado para determinar, a partir desta, uma nova solução, que geralmente 
é superior à anterior. Este passo é repetido até que a solução ótima seja alcançada (supondo 
que ela existe). 
(1) definição do problema; (2) construção do modelo; 
(3) solução do modelo; (4) validação do modelo;(5) implementação da solução. 
Apesar da seqüência acima não ser rígida, ela indica as principais etapas a serem vencidas. 
Definição do problema A definição do problema baseia-se em três aspectos principais: 
Descrição exata dos objetivos do estudo; ü identificação das alternativas de decisão 
existentes; ü reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema. 
A descrição dos objetivos é uma das atividades mais importantes em todo o processo do 
estudo, pois a partir dela é que o modelo é concebido. Da mesma forma, é essencial que as 
alternativas de decisão e as limitações existentes sejam todas explicitadas, para que as 
soluções obtidas ao final do processo sejam válidas e aceitáveis. 
Construção do modelo 
A escolha apropriada do modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. Se o 
modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a solução pode ser obtida através 
de métodos matemáticos convencionais. Por outro lado, se as relações matemáticas são 
muito complexas, talvez se faça necessária a utilização de combinações de metodologias. 
Solução do modelo 
O objetivo desta fase é encontrar uma solução para o modelo proposto. Ao contrário das 
outras fases, que não possuem regras fixas, a solução do modelo é baseada geralmente em 
técnicas matemáticas existentes. 
No caso de um modelo matemático, a solução é obtida pelo algoritmo mais adequado, em 
termos de rapidez de processamento e precisão da resposta. Isto exige um conhecimento 
profundo das principais técnicas existentes. A solução obtido, neste caso, é dita "ótima". 
Validação do modelo 
Nessa altura do processo de solução do problema, é necessário verificar a validade do 
modelo. Um modelo é válido se, levando-se em conta sua inexatidão em representar o 
sistema, ele for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema. 
Um método comum para testar a validade do sistema é analisar seu desempenho com dados 
passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema 
apresentou. 
GRAFO 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a NATÁLIA NORI PRATEADO 
6 de abril 2016 às 10:21:14 
estamos solicitando um grafo com 10 vértices eu possua vértices pendentes,isolados, 
paralela e laço. 
aguardando... 
acacio callim 
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ALUNO 
AGNALDO DE SOUZA COSTA 
5 de abril 2016 às 20:38:32 
Boa noite professor e colegas! 
Confesso que que fiquei meio confuso com a matéria, até mesmo por eu esperava um 
conteúdo totalmente diferente do foi apresentado (esperava na minha concepção leiga), mas 
estudei alguns tópicos importantes e vou citá-los: 
Pesquisa Operacional (PO) 
Consiste no estudo de métodos matemáticos, usualmente implementados por programas de 
computador; é uma ciência que é vista como uma metodologia que estrutura processos por 
meio de construção de modelos e coletânea de técnicas quantitativas de otimização. É 
aplicada em manufatura, dimensionamento de lotes, otimização de layouts, sistemas de 
transportes, roteamento de veículos, etc... Usa notações simbólicas e equações matemáticas 
para representar os sistemas. A PO congrega diversas das mais consagradas técnicas de 
modelo Matemático. 
Construção de Modelos: 
Preocupa-se com um plano de produção da empresa: quantidades a serem produzidas, 
tempo em estas quantidades serão produzidas, e na fórmula apresentada traz a função 
Objetivo: que é o cálculo de como maximizar os lucros; as variáveis de decisão X1 e X2 e as 
restrições para os cálculos. 
Grafos: 
Os grafos podem ser Multígrafos, Simples e Completos. Podem ser definidos como G = 
(V,E). Onde V é um conjunto finito e não vazio e E é uma relação (função), sobre os 
elementos de V. Os elementos de V são chamados deVértices (ou nós) e os pares 
ordenados (V1, V2) representam as relações entre os elementos V, de arestas (linhas) 
do grafo. As vértices podem ser Adjacentes, isoladas e de grau nulo. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a AGNALDO DE SOUZA COSTA 
6 de abril 2016 às 10:22:16 
estamos solicitando um grafo que possua 10 vértices, vértices pendentes, isolados, paralela 
e laço. 
aguardando, 
acacio callim 
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