Fórum de Discussão A (Aulas 1 a 3) 2016.1 EAD OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DE TRANSPORTE

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Fórum de Discussão A (Aulas 1 a 3) - 2016.1 EAD - 
OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DE TRANSPORTE 
Criado por , 3 de março de 2016 às 11:58:49 
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 ACACIO PONTES CALLIM iniciou uma discussão ( ) 
CURRÍCULO LATTES 
PROFESSOR 
243 postagens desde 06/04/2016 
3 de março de 2016 às 11:58:49 
 
Olá aluno, 
Estamos no Fórum A que contempla as aulas de 1 a 3 da nossa disciplina. 
Na aula 1 - FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL; 
Na aula 2- CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL; 
Na aula 3 - GRAFOS. 
Vamos debater esses subitens de forma: Dando exemplos resolvidos da aplicação desses 
itens, comentando suas definições e citando aplicações práticas de mercado nos dias de 
hoje . 
Mãos a obra e Bons estudos. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM 
13 de março 2016 às 08:28:58 
Tudo bem? 
O fórum A está aberto e já podemos começar as postagens sobre as aulas 1,2 e 3 em 
busca das nossas 20 estrelas para a obtenção dos 2 pontos a serem somados nas AVs. 
acacio callim 
o 
o 
ALUNO 
CLAUSEN PESSOA DA COSTA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
15 de março 2016 às 14:10:35 
Boa tarde! 
1- Fundamentos da pesquisa operacional 
A P.O. é originária da Segunda Guerra Mundial, quando os cientistas de várias disciplinas se 
reuniram para resolver problemas militares de natureza tática e estratégica. 
A pesquisa Operacional (P.O.) nada mais é que um método científico para a tomada de 
decisões. A P.O. “estrutura processos, propõe um conjunto de alternativas e ações, fazendo 
a previsão e a comparação de valores, de eficiência e de custos”. 
A P.O. é, portanto, um sistema organizado com auxílio de modelos bem como da 
experimentação de modelos, com o fito de operar um sistema da melhor maneira possível. 
Considero a P.O. como uma ferramenta matemática aplicada no processo de tomada de 
decisão. Para isso, fazemos uso de modelos matemáticos estruturados em fases. 
Por ser uma ferramenta matemática aplicada, a P.O. nos dá condições para: 
 Solucionar problemas reais; 
 Tomar decisões embasadas em fatos, dados e correlações quantitativas; 
 Conceber, planejar, analisar, implementar, operar e controlar sistemas por meio da 
tecnologia bem como de métodos de outras áreas do conhecimento; 
 Minimizar custos e maximizar o lucro; 
 Encontrar a melhor solução para um problema, ou seja, a solução ótima. 
 
PRINCIPAIS TÉCNICAS DA P.O. : 
 Programação linear. 
 Teoria das filas. 
 Teoria dos grafos. 
OBS: lembrando que esses são os principais, existem mais tecnicas. 
2-CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL 
Nessa fase predomina a modelagem matemática, ou seja, as equações e inequações, seja na 
função objetivo, seja nas restrições. Cabe distinguir variáveis decisivas ( variáveis 
controláveis), das não decisivas. Por exemplo, em uma situação de produção, a quantidade a 
ser produzida é uma variável controlável. A demanda bem como o preço praticado pelo 
mercado são exemplos de variáveis não controláveis. 
 A escolha do modelo depende do tipo de problema a ser resolvido. Os modelos matemáticos 
mais utilizados, são de programação linear. 
 
3- Grafos 
O grafo propriamente dito é uma representação gráfica das relações existentes entre 
elementos de dados. Ele pode ser descrito num espaço euclidiano de n dimensões como 
sendo um conjunto V de vértices e um conjunto A de curvas contínuas (arestas)" 
Um grafo é um objeto matemático capaz de representar situações de estruturas 
combinatórias como, por exemplo, uma mesa em torno da qual estão sentadas seis pessoas 
que se conhecem. Nessa situação, necessariamente, três dessas pessoas serão ou amigas ou 
inimigas entre si. 
EX: imagine o seguinte problema: um usuário de uma loja quer saber que rota seguir do 
ponto X, que pode ser sua casa ou algum lugar , até o ponto Y, que é a loja mais próxima, 
sendo que quer pegar a rota mais curta possível. 
Claro que a teoria dos grafos é bem mais ampla, mas serve como idéia base para nossa 
explicação. 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUSEN PESSOA DA COSTA 
16 de março 2016 às 09:03:45 
fale sobre vértices pendentes e isolados em grafos. 
pode desenhar? 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CLAUSEN PESSOA DA COSTA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
16 de março 2016 às 13:54:03 
Um vértice isolado é um vértice com grau zero, isto é, um vértice que não é um ponto final 
de toda a aresta. 
Vértice pendente é um vértice de grau 1 . 
 
OBS: professor, tentei de várias formas desenhar, porém sem êxito! 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUSEN PESSOA DA COSTA 
17 de março 2016 às 08:14:29 
agora postagem de grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CLAUSEN PESSOA DA COSTA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
17 de março 2016 às 14:53:00 
O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. 
 
 
exemplo: 
 grau(Pedro) = 3 
 grau(Maria) = 2 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUSEN PESSOA DA COSTA 
18 de março 2016 às 10:29:30 
parabéns. 
conseguiu colar o desenho aqui. 
acacio callim 
 
o 
ALUNO 
ANDRE CARDOSO GEMMAL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
27 de março 2016 às 22:31:02 
Boa noite professor Acácio e colegas, 
A pesquisa operacional (P.O) consiste em um método matemático, usualmente 
implementados por programas de computador, que podem ser utilizados para resolver 
problemas gerenciais diversos. 
A P.O. estrutura processos, propondo um conjunto de alternativas de ação e fazendo revisão 
e comparação de valores, eficiência e custos. 
Tem capacidade de gerar conclusões eficientes para o decisor. Tenta resolver conflitos de 
interesse dos componentes da organização, procurando determinar a melhor solução 
possível para a entidade como um todo. 
O termo vem da 2a° guerra mundial, atribuída ao serviço militar. 
Militares do reino unido e Estados Unidos recrutaram cientistas para realizar pesquisas em 
operações militares. 
As aplicações são diversas e vão desde a manufatura, dimensionamento de lotes, 
roteamento de veículos, sistemas de transporte e distribuição, até instituições de ensino, 
hospitais, construção, etc. 
Na construção de modelos, encontrei este texto no site abaixo, que me foi muito ilustrativo e 
espero que possa ajudar outros colegas também. 
 
Modelagem 
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto 
aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do 
sistema, de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para 
definir a estrutura ideal do sistema. 
A confiabilidade da solução obtida através do modelo depende da validação do modelo na 
representação do sistema real. A validação do modelo é a confirmação de que ele realmente 
representa o sistema real. A diferença entre a solução real e a solução proposta pelo modelo 
depende diretamente da precisão do modelo em descrever o comportamento original do 
sistema. 
Um problema simples pode ser representado por modelos também simples e de fácil solução. 
Já problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cuja solução pode vir a 
ser bastante complicada. 
1 - Introdução à pesquisa operacional Pesquisa Operacional 
1.3 Estrutura de Modelos Matemáticos Em um modelo matemático, são incluídos três 
conjuntos principais de elementos: 
(1) variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitasa serem 
determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema; 
(2) restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve 
incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis); 
(3) função objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função 
das variáveis de decisão. 
Para melhor ilustrar ao conjuntos acima, considere o seguinte exemplo: 
"Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura 
das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que: 
ü a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 
kg de cereais; ü o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30; ü o 
kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; ü estão disponíveis por mês 10 0 kg de 
carne e 30 0 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de 
modo a maximizar o lucro." 
Neste problema as variáveis de decisão são as quantidades de ração de cada tipo a serem 
produzidas. Os parâmetros fornecidos são os preços unitários de compra e venda, além das 
quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de ração. As restrições são os limites 
de carne e cereais e a função objetivo é uma função matemática que determine o lucro em 
função das variáveis de decisão e que deve ser maximizada. 
------- x------- 
No caso dos grafos, que a princípio me pareceu bem estranho e complicado, entendi como 
uma maneira gráfica de expressar problemas, ver as repetições, proximidades, ou seja, 
colocar os itens a serem estudados no gráfico e fazer uma leitura. 
Por exemplo, no caso de uma entrega complexa onde um caminhão tem que entregar em 6 
cidades e retornar ao ponto de onde saiu. O gráfico pode ser construído segundo as cidades 
e distâncias. Pode-se verificar qual trajeto completo de menor distância. como ir de uma 
cidade a outra economizando trajeto, etc. 
Abs! 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANDRE CARDOSO GEMMAL 
28 de março 2016 às 10:38:45 
Continuando na aula de grafos -poste sobre - tipos de vértices e grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANDRE CARDOSO GEMMAL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
29 de março 2016 às 22:56:07 
Professor Acácio, 
Um vértice ou nó é a unidade formadora do grafo. As arestas ligam os vértices. 
O grau de um vértice num grafo está relacionado às arestas nele. O vértice é par ou 
ímpar se seu grau é par ou ímpar na conta das arestas. 
 
vértice isolado- sem arestas. Está isolado mesmo na figura acima. Não tem conexão de 
aresta. 
vértice folha ou pendente- só uma conexão ou aresta. 
vertices adjacentes- ligados por uma aresta. 
Os números dentro dos vértices acima, representam o número de arestas correspondentes, 
que podem ser pares ou ímpares. 
Confesso que a matéria assusta de longe, mas vai ficando melhor de perto! 
Sds, 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANDRE CARDOSO GEMMAL 
30 de março 2016 às 12:12:08 
agora calcule o grau de todos os vértices do grafo postado. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ANDRE CARDOSO GEMMAL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
3 de abril 2016 às 21:23:34 
Professor, 
Entendi que a soma dos graus dos vértices em um grafo é igual a duas vezes o número de 
arestas. 
Se o grafo acima tem 7 arestas, a soma dos graus é 14. A ideia é essa ou expressar na 
fórmula? 
Confesso que ainda falta muito para eu compreender na prática. talvez na sequência da 
matéria, terão aplicações práticas desses grafos no sistema de transportes e clareará mais. 
Abs! 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ANDRE CARDOSO GEMMAL 
4 de abril 2016 às 07:36:09 
De exemplos de calculo de grau de vértice em grafos. 
acacio callim 
 
o 
ALUNO 
ISIA RODRIGUES LAUREANO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
28 de março 2016 às 18:04:12 
Olá, Boa noite.. 
A pesquisa operacional consiste no estudo de métodos matemáticos, usualmente 
implementadas por programas de computador, que podem ser utilizados para resolver 
problemas gerenciais e controle de sistemas. 
Ela estrutura processos, propondo um conjunto de alternativas de ação e fazendo previsão e 
comparação de valores, eficiência e custos. 
A PO tem como características a capacidade de gerar conclusões eficientes para o 
decisor,tenta resolver o conflito de interesses dos componentes da organização, procurando 
determinar a melhor solução possível (ótima) para a entidade como um todo além de buscar 
resolver problemas relacionados à condução e coordenação de operações (atividades) ao 
longo de organizações de diferentes naturezas. 
A pesquisa Operacional foi criada devido a urgência necessidade de alocar recursos para as 
diversas operações militares. 
Alguns dos fatores foram responsáveis pelo rápido crescimento da PO como: o progresso 
substancial no desenvolvimento de técnicas; algoritmo simplex (DANTZIG, 1947); 
programação linear; teorias das filas, entres outros.. 
As aplicações da PO podem ser usadas em hospitais, construção, agricultura, análise de 
ricos, finanças.. 
O modelo Matemático usa notação simbólica e equações matemáticas para representar os 
sistemas. A PO congrega diversas das mais consagradas técnicas de Modelo Matemático. 
Os principais modelos de PO são denominados Programação Matemática e são estruturados 
de forma lógica, amparados no ferramental matemático e representação, que objetiva 
claramente a determinação das melhores condições de funcionamento para os sistemas 
representados. 
Fazem parte das Etapas da Modelagem: formulação do problema – coleta de dados – 
construção do modelo matemático- desenvolvimento de estratégias para determinar 
soluções a partir do modelo proposto – validação do modelo – implementação. 
 
*Resumo referente a aula 1: Pesquisa Operacional- Fundamentos (PO) 
 
o 
ALUNO 
ISIA RODRIGUES LAUREANO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
28 de março 2016 às 18:08:18 
Na aula 2, foi abordado o tema Pesquisa Operacional- Modelos, nas variáveis de decisão, 
deve ser decidido o plano de produção ou plano de transporte de carga, ou seja, quais as 
quantidades periódicas que devem ser produzidas ou transportas de cada produto. Ex: x1, 
x2.. 
A função objetivo é uma função matemática que representa o principal objetivo do tomador 
de decisão. Ela pode ser de minimização ( de custos, de erros, chances de perdas..) ou de 
maximização ( de lucro, receita, utilidade, riqueza..) 
Ex: o objetivo é maximizar o lucro, basta calcular: lucro por unidade P1 X o lucro por 
unidade P2. 
O lucro total: 
z=LucroporunidadedeP1XquantidadedeP1+LucroporunidadedeP2XquantidadedeP2 
Objetivo: 
maxZ=LucroporunidadedeP1XquantidadedeP1+LucroporunidadedeP2XquantidadedeP2 
As restrições são regras que dizem o que podemos e o que não podemos fazer e/ou quais 
são as limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo. 
 
 
 
 
o 
ALUNO 
ISIA RODRIGUES LAUREANO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
28 de março 2016 às 18:12:09 
Um grafo pode ser definido como um par G= (V,E), sendo V um conjunto finito e não vazio e 
E uma relação (função) sobre os elementos de V. 
Os elementos de V são chamados de vértices (ou nós), e os pares ordenados representam as 
reações entre os elementos de V, de arestas (linhas) do grafo. 
Uma aresta é dita incidente com os vértices que ela liga. Laço, é quando uma aresta é 
incidente em um único vértice e dois vértices são chamados de adjacentes se estão ligados 
por arestas. Um vértice é dito isolado se não tem aresta incidindo sobre ele.Um grafo é dito regular de grau r se todos seus vértices possuem grau r. se o grafo é regular 
de grau zero, é dito nulo. Um vértice se grau 1 é dito pendente. Quando dois vértices de 
incidência são os mesmos, as arestas são paralelas. 
Teorema 1: a soma dos graus dos vértices em um grafo é igual a duas vezes o número de 
arestas. 
Cada aresta contribui para a contagem de 1 no grau de cada dois vértices com os quais ela é 
incidente. Então cada aresta é sempre contada duas vezes. 
Teorema 2: em qualquer grafo, existe sempre um par de vértices de grau impar. 
Um grafo é dito dirigido ou dígrafo se suas arestas possuem orientação. Em caso contrário, 
diz que o grafo é não dirigido. Em um grafo dirigido as arestas são chamadas de arcos. 
O grau de um vértice em um grafo orientado, é a soma dos graus dos arcos que saem do 
vértice e dos arcos que entram no vértice, ou seja, é o grau de emissão (de saída) e o grau 
de recepção (de entrada). 
O Multígrafo é o grafo que contém arestas paralelas ou laços. 
O grafo simples, é o grafo que não contém nenhum par de arestas paralelas ou laços. 
Um garfo simples será completo quando existir uma aresta entre cada par de seus vértices. 
Para mostrar que dois grafos são isomorfos, requer que encontremos a bijeção (ou para 
grafos não simples, as bijeções) e então mostraremos que a propriedade da adjacência (ou 
relação entre arestas e seus extremos é preservada. 
 
*Resumo referente a aula 3 Grafos. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ISIA RODRIGUES LAUREANO 
29 de março 2016 às 09:06:23 
Para finalizar poste um grafo(recorte e cole) e mostre todos os graus dos vértices que 
pertencem esse grafo. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
ISIA RODRIGUES LAUREANO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 17:46:59 
 
*Fonte: Aula 3 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a ISIA RODRIGUES LAUREANO 
31 de março 2016 às 08:45:58 
muito bom. 
escolheu os slides perfeitos sobre o assunto. 
continue a sua pesquisa e poste um grafo com 10 vértices e de o grau de todos. 
acacio callim 
 
o 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
29 de março 2016 às 17:02:05 
Boa tarde! 
Na aula 1 estudamos sobre A Pesquisa Operacional 
A Pesquisa Operacional surgiu na Segunda Guerra Mundial, onde cientistas foram 
convocados para desenvolver métodos de natureza tática e estratégica. É uma área que 
estuda métodos matemáticos para auxiliar nas tomadas de decisões e possui uma 
abordagem parecida com as pesquisas feitas em outras áreas, utilizadas principalmente no 
ambiente empresarial. 
Possui como características: a otimização das operações, aplicações de métodos e técnicas 
científicas, resolver problemas e determinar a melhor solução das atividades para a entidade 
como um todo. 
Os principais modelos de PO são chamados de Programação Matemática que se destaca por 
realizar simulações e encontrar ótimas soluções para o problema. São divididos em: 
programação linear, programação não-linear e programação inteira. 
Possui as seguintes fases: identificação do problema, coleta de dados, construção de um 
modelo, obtenção da solução, avaliação da solução, implantação e acompanhamento da 
solução. 
Na aula 2 estudamos os modelos matemáticos que possuem três elementos: variáveis de 
decisão (incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo), função objetivo (define a 
qualidade da solução em função das variáveis de decisão e busca maximizar ou minimizar), 
restrições (limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis). 
Na aula 3 estudamos sobre os grafos 
Um grafo pode ser definido como um par G=(V,E), sendo V um conjunto não vazio e finito 
chamado vértice e E um conjunto de pares ordenados de V chamados arestas. 
Os vértices são adjacentes quando há uma aresta ligando dois vértices e essa aresta é 
incidente aos vértices. As arestas serão paralelas quando os dois vértices de incidência são 
os mesmos. Quando não há aresta incidindo sobre um vértice é chamado vértice isolado. 
Laço é quando uma aresta é incidente em um único vértice. 
O grau de um vértice é dado pelo número de arestas incidentes a um vértice. Se o grau for 
zero, é chamado de nulo e se for de grau é chamado pendente. 
Há dois teoremas: 
1 – A soma dos graus dos vértices em um grafo é igual a duas vezes o número de arestas. 
2 – Em qualquer grafo, existe sempre um número par de vértices de grau ímpar. 
Quando as arestas possuem direção, o grafo é chamado dirigido ou dígrafo e as arestas 
chamadas de arco. Quando contrário, o grafo é não dirigido. Sucessor de um vértice é a 
extremidade final de um arco e antecessor de um vértice é a extremidade inicial de um arco. 
O número de arestas que deixam um vértice é o grau de saída e o número de arestas que 
entram é o grau de entrada. 
Multigrafo é o que contém arestas paralelas e laços e grafo simples é o que não contém 
nenhum par de arestas paralelas ou laços. Um grafo é completo quando há uma aresta entre 
cada par de seus vértices. 
Dois grafos são isomorfos quando possuem as mesmas características (graus e números de 
vértices e arestas). 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
29 de março 2016 às 18:46:26 
Poste agora sobre tipos de vertices e grau de vertice.De exemplos. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
31 de março 2016 às 14:52:35 
Boa tarde. 
O grau de um vértice é dado pelo número de arestas incidentes a um vértice. 
 
Grau (a) = 2 Grau (b) = 3 Grau (c) = 3 Grau (d) = 2 
 
Vértice isolado é quando não há aresta incidindo sobre um vértice, vértice de grau zero (v6 
com grau = 0). 
Vértice pendente é qualquer vértice de grau 1 (v5 com grau = 1). 
Vértice ímpar tem um número ímpar de arestas (v1 com grau = 3) e vértice par tem um 
número par de arestas (v2 com grau = 2). 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
2 de abril 2016 às 09:58:08 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
3 de abril 2016 às 15:50:05 
Boa tarde! 
1 - Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "C". 
 
 
Gr(C) = 1 
2 - 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "B". 
 
 
Gr(B) = 2 
3 - 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "E". 
 
Gr(E) = 2 
4 - É possível afirmar sobre um vértice com seu Grau gr(v) = zero, que: 
É Chamado de isolado 
5 - É possível afirmar sobre duas arestas incidente em dois vértices, sendo esses os mesmos 
vértices que: 
É chamada de paralela 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
4 de abril 2016 às 07:37:06 
Na sua próxima postagem comente os resultados dos exercícios do avaliando aprendizado. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 17:02:37 
Boa tarde! 
1 - Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "C". 
 
 
Gr(C) = 1 - Grau 1, pois o vértice C possui uma aresta 
2 - 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "B". 
 
 
Gr(B) = 2 - Grau 2, pois o vértice B possui duas arestas 
3 - 
Com base no grafo dado, marque a opção que represente o grau do "E". 
 
Gr(E) = 2 - Grau 2, pois o vértice E possui duas arestas 
4 - É possível afirmar sobre um vértice com seu Grau gr(v) = zero, que: 
É Chamado de isolado, pois não há aresta incidindo sobreo vértice. 
5 - É possível afirmar sobre duas arestas incidente em dois vértices, sendo esses os mesmos 
vértices que: 
É chamada de paralela, pois as duas arestas possuem os mesmos dois vértices. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
5 de abril 2016 às 16:42:00 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
VANÊSSA CAMPOS HORA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
5 de abril 2016 às 20:57:26 
Boa noite! 
 
o 
o 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANÊSSA CAMPOS HORA 
6 de abril 2016 às 10:23:59 
parabéns. 
vc está concorrendo ao bônus de 3 estrelas pela melhor postagem da semana. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
15 de março 2016 às 19:04:49 
Na aula 1 - FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL; 
A PO (Fundamentos da Pesquisa Operacional) designa uma área do 
conhecimento que consiste no desenvolvimento de métodos científicos de 
sistemas complexos, com a finalidade de prever e comparar estratégias ou 
decisões alternativas, cujo objetivo é dar suporte à definição de políticas e 
determinação de ações. 
Os Métodos matemáticos na organização e no planejamento de produção” ´e 
considerado um dos precursores da PO, porém manteve-se desconhecido da 
comunidade científica ocidental até 1959. De fato, o termo PO designa um 
conjunto de disciplinas isoladas tais como Programação Linear, Teoria das 
Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, dentre outras. 
A Pesquisa Operacional tal qual como a conhecemos surgiu durante a 
Segunda Guerra Mundial tendo como objetivo o desenvolvimento de 
metodologia para solução de problemas relacionados com as operações 
militares quando os Aliados se viram confrontados com problemas complexos 
de natureza logística, tática e de estratégia militar. 
Então podemos definir que, o objetivo principal da PO é determinar a 
programação otimizada de atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de 
procedimentos e métodos quantitativos para tratar de forma sistematizada 
problemas que envolvam a utilização de recursos escassos. Para apoiar a 
tomada de decisão, a PO busca a solução de problemas que podem ser 
representados por modelos matemáticos. 
Exemplo e aplicação: Imagine que você esteja a margem leste de um rio 
juntamente com três amigos Felipe, João e Kelly. Vocês querem atravessar 
para a margem oeste e dispõem de um único meio de locomoção, uma canoa 
que pode levar no máximo duas pessoas por vez e não pode ir nem voltar 
vazia. Você tem constituição mais atlética e pode atravessar o rio a remo em 1 
minuto, enquanto Felipe, Joao e Kelly levam 2, 5 e 10 minutos, 
respectivamente. Se houver duas pessoas na canoa, o tempo da travessia será 
a média dos tempos que seriam gastos individualmente. Após duas travessias 
seguidas a pessoa fica cansada e leva o dobro do tempo para atravessar o rio. 
Como é mais conveniente realizar a travessia de modo que os quatro estejam 
do outro lado do rio no menor tempo possível? 
As seguintes alternativas podem ser consideradas: 
1. Ir você e Felipe, você volta pega João, você volta e pega Kelly. 
2. Ir você e Felipe, Felipe volta pega João, você volta e pega Kelly. 
3. Ir você e Felipe, você volta vai Joao e Kelly, Felipe volta e pega você. 
Calculando os tempos gastos em cada uma das alternativas, temos: 
T1 = 1, 5 + 1 + 3, 5 + 2 + 6 = 14 min 
T2 = 1, 5 + 2 + 4, 5 + 1 + 5, 5 = 14, 5 min 
T3 = 1, 5 + 1 + 7, 5 + 2 + 1, 5 = 13, 5 = 13, 5 min 
Dentre as três alternativas, a melhor ´e a alternativa 3, onde o tempo total para 
a travessia será de 13,5 minutos. 
Fontes de pesquisa: http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/files/file/po.pdf 
o 
o 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
16 de março 2016 às 09:05:30 
Quando surgiu a PO? 
Qual o fator que tornou a PO conhecida no mundo todo? 
O que são grafos? 
O que é vértice pendente? 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
16 de março 2016 às 21:48:28 
Surgiu durante a Segunda Guerra Mundial. 
Grafo é um conjunto de vértices e arestas que ligam pares de vértices distintos, não 
podendo ser mais de uma aresta a ligar qualquer par de vértice. 
Vértice pendente ou vértice folha é um vértice de grau um. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
17 de março 2016 às 08:18:09 
poste sobre grau de vértice dando exemplos. 
acacio callim. 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
17 de março 2016 às 19:25:31 
 
Grau (Y) = 3 
Grau (Z) = 2 
Grau (X) = 2 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
18 de março 2016 às 10:32:00 
parabéns, 
prove que tá bom nisso. 
desenhe um grafo com 10 vértices , sendo 4 pendentes e 2 isolados. 
mostre também o grau desses 10 vértices. 
ihhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh 
será recompensado se fizer. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
23 de março 2016 às 20:40:48 
 
 
Grau (X3, X6) = Nulo 
Grau (X1, X4) = 3 
Grau (X2, X5, X7, X10) = 1 
Grau (X8) = 4 
Grau (X9) = 2 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
25 de março 2016 às 10:59:08 
parabéns.... 
melhor postagem até agora. 
acacio callim 
 
o 
ALUNO 
VANDERLEI JORGE DOS SANTOS SILVA JUNIOR em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
1 de abril 2016 às 18:33:16 
Olá Boa noite! Professor E CaROs ALUNOS. 
 
grafo é um par g, onde v é um conjunto finito e não vazio, com ele aprendemos a resolver 
problemas cotidianos 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a VANDERLEI JORGE DOS SANTOS SILVA JUNIOR 
2 de abril 2016 às 10:00:25 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
15 de março 2016 às 20:30:34 
Na aula 2- CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL; 
A utilização dessa ferramenta é dividida em seis fases: formulação do problema; construção 
do modelo; cálculo do modelo; teste do modelo e da solução; controle das soluções; e 
implantação e acompanhamento. Cada uma de suas seis fases deve ser transposta para se 
encontrar a solução ótima. 
A escolha apropriada do modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. Se o 
modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a solução pode ser obtida através 
de métodos matemáticos convencionais. Por outro lado, se as relações matemáticas são 
muitos complexas, talvez se faça necessária a utilização de combinações de metodologias. 
Exemplo e Aplicação: Um jovem estava saindo com duas namoradas: Sandra e Regina. 
Sabe, por experiência, que: 
 Sandra, elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma 
saída de três horas custará R$240,00; 
 Regina, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três 
horas custará R$160,00; 
 Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão; 
 Seus afazeres escolares lhe darão liberdade de dispor de, no máximo, 18 horas e 40.000 
calorias de sua energia para atividades sociais; 
 Cada saída com Sandra consome 5.000 calorias, mas com Regina, mais alegre e 
extrovertida, gasta o dobro; 
 Ele gosta das duas com a mesma intensidade.Como deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas? 
Variáveis de decisão: 
X1 = número de saídas com Sandra; 
X2 = número de saídas com Regina. 
 
Parâmetros do problema: 
Sandra R$ 240,00 - 3 horas - 5.000 calorias 
Regina R$ 160,00 - 3 horas - 10.000 calorias 
Disponível R$ 960,00 - 18 horas - 40.000 calorias 
Função objetivo: 
Maximizar z = x1 + x2 
Restrições: 
240x1 + 160x2 ≤ 960 
3x1 + 3x2 ≤ 18 
5000x1 + 10000x2 ≤40000 
Utilizando técnicas de programação linear encontramos a solução: O rapaz deve sair 2 vezes 
com Sandra e 3 vezes com Regina, totalizando 5 saídas por mês. 
Fontes de pesquisa: http://www.administradores.com.br/artigos/tecnologia/pesquisa-
operacional-visao-geral/57475/ 
http://www.ericolisboa.eng.br/cursos/apostilas/po/cap1.pdf 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
16 de março 2016 às 09:08:16 
isso. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
15 de março 2016 às 20:49:43 
Na aula 3 - GRAFOS. 
Grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um 
determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G (V, E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Uma aresta é dita incidente com os vértices que liga. Se uma aresta é incidente em um único 
vértice, é chamado de laço. 
Dois vértices são chamados de adjacentes se estão ligados por arestas. Um vértice é dito 
isolado se não tem aresta incidindo sobre ele. 
Podemos denotar a relação E como E: vi vj onde vi, vj E V. 
Os elementos de V são chamados de vértices (ou nós), e os pares ordenados (vi, vj) 
representam as relações entre os elementos de V, de arestas (linhas) do grafo. 
Exemplo e Aplicação: O grafo G(V,A) dado por: 
V = { p | p é uma pessoa } 
A = { (v,w) | < v é amigo de w > } 
Esta definição representa toda uma família de grafos. Um exemplo de elemento 
desta família (ver G1) é dado por: 
V = {Maria, Pedro, Joana, Luiz} 
A = {(Maria, Pedro), (Pedro, Maria), (Joana, Maria), (Maria, Joana), (Pedro, Luiz), 
(Luiz, Pedro), (Joana, Pedro) , (Pedro, Joana)} 
G1: 
 
Neste exemplo estamos considerando que a relação <v é amigo de w> é uma relação 
simétrica, ou seja, se <v é amigo de w>então <w é amigo de v>. Como consequência, as 
arestas que ligam os vértices não possuem qualquer orientação. 
Fontes de pesquisa: Aula 3 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafos 
http://www.inf.ufsc.br/grafos/definicoes/definicao.html 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
16 de março 2016 às 09:09:40 
faça um desenho e mostre vértices pendentes, isolados e adjacentes . 
mostre tb o grau de cada vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
17 de março 2016 às 19:05:04 
 
Vértice Isolado – A4 
Vértices Adjacentes – (A1, A2) e (A1, A4), que incidem sobre A1 
 (A1, A6) e (A6, A3), que incidem sobre A6 
 (A3, A2), (A6, A3) e (A5, A3), que incidem sobre A3 
 (A1, A5) e (A5, A3), que incidem sobre A5 
Vértice Pendente – A2, pois gr (A2) = 1 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
18 de março 2016 às 10:30:16 
agora para 5 estrelas forneça o grau de todos os vértices. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
23 de março 2016 às 20:43:21 
Grau (A4) = Nulo 
Grau (A1, A5, A6) = 2 
Grau (A2) = 1 
Grau (A3) = 3 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JEFERSON DOUGLAS DA SILVA MARINS 
25 de março 2016 às 10:55:56 
poste alguma dúvida (se tiver) sobre as questões do avaliando aprendizado agora. 
novo momento do Fórum. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
16 de março 2016 às 14:44:37 
Olá professor Acacio e colegas. 
Na aula 1, Pesquisa Operacional (PO), consiste no estudo de métodos matemáticos, 
compostos também por programas de computador, utilizados para resolver problemas de 
gestão em relação à tomadas de decisão e controle do sistema. É vista como uma 
metodologia que estrutura processos por meio de construção de modelos e coletânea de 
técnicas quantitativa de otimização. Ela apresenta algumas características como a 
capacidade de gerar conclusões eficientes para o decisor, tenta resolver o conflito de 
interesse dos componentes da organização com a melhor solução possível e busca resolver 
problemas relacionados à condução e coordenação de operações ao longo de organizações 
de diferentes naturezas. 
Na aula 2, em Pesquisa Operacional - Modelos, observamos a formulação do problema, a 
coleta dos dados, a construção do modelo matemático, o desenvolvimento de estratégias 
para determinar soluções a partir do modelo proposto, a validação do modelo e 
implementação. Nela foi apresentado também variáveis da decisão, função objetivo 
(maximização ou minimização), as restrições (regras que dizem o que podemos ou não 
fazer) e as variáveis de decisão. 
Na aula 3, em Grafos, onde sua teoria é um ramos da matemática que remete ao estudo de 
objetos combinatórios, representados por pontos dispostos em posições arbitrárias 
denominadas de nós, ou vértices, conectados por curvas chamadas de arestas. Se uma 
aresta é incidente em um único vértice, é chamado de laço. Quando dois vértices estão 
ligados por arestas, denominamos de adjacentes. Quando um vértice está isolado, significa 
que não há aresta incidindo sobre ele. 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
17 de março 2016 às 08:15:22 
cite exemplos da vida cotidiana de sua postagem. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
17 de março 2016 às 13:53:48 
Olá Professor Acacio. 
Para fazer uma garrafa de suco especial (x1) preciso de 3 quilos de uvas. Para fazer uma 
garrafa de suco simples (x2) preciso de 2 quilos de uva. Em minha geladeira existem 20 
quilos de uvas. Quero usar todas as uvas para fazer os sucos e limpar minha geladeira. A 
Restrição desse modelo é: 
3x1 + 2x2 <=20. 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
18 de março 2016 às 10:28:12 
gostei. 
inventa outro agora além das restrições calcule a função objetivo. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
18 de março 2016 às 15:49:04 
Olá professor Acacio. 
A função objetivo é maximizar o lucro que pose ser calculado. 
O lucro de cada caixa de lasanha de carne (x1) e frango (x2) é respectivamente de R$3,00 e 
R$6,00. A função objetivo é: 
3x1 + 6x2 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
19 de março 2016 às 09:50:26 
faltaram as restrições. 
Estamos em busca de exemplos resolvidos sobre cálculo de grau de vértice. Tente colar um 
grafo e mostre os graus de todos os vértices desse grafo. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
23 de março 2016 às 15:09:12 
Olá professor Acacio. 
Não é muito fácil pesquisar e conseguir colar exemplos de grafos. Encontrei essa pesquisa 
para demonstrar o que o professor me solicitou. 
Definição de Grafos e Árvores 
Grafos sãoestruturas formadas por vários nós (vértices), interligados entre si por meio de 
arestas. Essas arestas podem ser direcionadas ou não – quando as arestas informam a 
direção, dizemos que o grafo é direcionado. 
Em computação, muitas coisas podem ser representadas como sendo um grafo. Na última 
seção, o mapa de possíveis movimentações para uma unidade pode ser encarado como um 
grafo. 
Um grafo pode ter todos os seus nós conexos, isto é, sempre há um caminho que vai de um 
nó a qualquer outro, ou não. A imagem abaixo é um exemplo de grafo conexo. 
 
Exemplo de grafo contendo 6 nós (vértices) e 7 arestas, onde a vértice 6 é pendente. 
Fonte: http://computacao.gigamundo.com/busca-em-arvores-ou-grafos/ 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
25 de março 2016 às 10:57:25 
a aula contempla tipos de vértices e grau de vértice. 
poste alguma dúvida (se tiver) sobre as questões do avaliando aprendizado agora. 
novo momento do Fórum. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 15:55:23 
Olá professor Acacio! 
Meu primeiro exemplo (sobre o suco de uva especial e simples) foi baseado em uma questão 
do avaliando o aprendizado. Postei pelo motivo de ter errado a questão na hora de resolver. 
O que eu não compreendi muito bem é que em algumas a restrição apresenta somente < , e 
em outras apresenta ou =. 
O professor poderia me explicar, citando exemplos em que eu possa associar. 
Att., 
Cristiane. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS 
31 de março 2016 às 08:43:53 
ótima pergunta. 
todas as inequações sempre devem ser menor e igual e nunca só menor. 
mandei consertar tudo agora, 
grato, 
acacio callim 
o 
o 
ALUNO 
CRISTIANE BARBOSA BON CAMPOS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
31 de março 2016 às 12:57:45 
Muito obrigada professor Acacio! 
Embora faça o curso Tecnólogo em Logística, tenho dentro de mim o desejo de estudar 
engenharia de produção, e o professor me tem sido referencia de incentivo. 
Grata por sua atenção, 
Cristiane. 
 
 
ALUNO 
STEFAN JOSE ALVES COSTA 
16 de março 2016 às 16:36:22 
Boa tarde mestre, 
Com relação aos temas propostos, destaca-se que com a evolução científica advinda do 
período interguerra, a Pesquisa Operacional consolidou-se como instrumento apto a permitir 
a tomada de deciões, consitui-se a Pesquisa Opercional como conjunto de processos 
alternativos e ações viáveis no contraponto aos valores eficiência e custos. desta forma, 
trata-se de sistema autônomo e organizado na técnica científica de análise experimentação e 
prova, buscando a máxima eficiência do modelo proposto vinculado dentro de parâmetros 
matemáticos e probalísticos. Dentre outras técnicas de uma Pesquisa Operacional destacam-
se as de programação linear, das filas e dos grafos (abaixo tratada). Com relação aos 
modelos de pesquisa operacional, estes são predominantemente matemáticos e de 
probabilidades considerando as variáveis controláveis decisivas, e as não decisivas e/ou não 
controláveis, razão pela qual a Pesquisa Operacional de fato aproxima-se dos cálculos de 
provabilidades.Com relação aos grafos (termo de origem latina - grafia), é evidente que se 
trata da representação visual das relações dos elementos informados, ainda que seja ramo 
da matemática que estuda a relação entre objetos e conjuntos, aplica-se os conceitos de 
vértices e pares ordenados nas relações elementais, sendo as conexões por arestas, curvas, 
laços e subrelações. os conceitos dos colegas acima descrevem perfeitamente tal 
característica sendo desnecessária sua mera repetição. 
att. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a STEFAN JOSE ALVES COSTA 
17 de março 2016 às 08:16:05 
Vamos dar exemplos práticos de sua última postagem. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
STEFAN JOSE ALVES COSTA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
29 de março 2016 às 12:54:59 
Sim mestre! Em representações de cenários de Guerra, é possível observar em diversas 
hipóteses, o Quadro e os setores de Pesquisa Operacional, inclusive com os vetores expostos 
geralmente nas imagens que se passam em QGs, nas quais em alguns há disposição de 
logística de transporte de suprimento e tropas, com ações variáveis, probabilidades, e 
resultados múltiplos. Esta é apenas uma representação visual exemplificada, sabendo-se que 
de fato a pesquisa é muito mais complexa e envolvente. Outro exemplo é o das operadoras 
de Trens e Metrô das grandes cidades, com as variáveis de pesquisa operacional de 
capacidade de transporte de passageiros, e vetorização de linhas e parâmetros. 
abs. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a STEFAN JOSE ALVES COSTA 
29 de março 2016 às 18:41:11 
vamos agora postar exercicios das aulas 1,2 e 3 resolvidos.exercicios numéricos. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
EDUARDO COSTA FELIPE 
16 de março 2016 às 20:51:45 
Boa noite. 
Na primeira aula pude conhecer um pouco sobre os fundamentos da pesquisa operacional a 
P O e sua origem, e hoje percebo que é uma ferramenta muito importante e indispensável 
para as organizações. 
Atuo em uma empresa que vem crescendo muito no sul no Brasil e em 8 anos de empresa 
estou acompanhando toda história, e posso garantir que nos últimos anos o investimento 
em programas ,treinamento e capacitação de gestores é notável. Plataforma de ensino EAD 
para seus colaboradores e integração dos mesmos com os produtos comercializados gera um 
retorno imenso perante aos clientes desta organização. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a EDUARDO COSTA FELIPE 
17 de março 2016 às 08:17:08 
fale sobre função objetivo e suas restrições. 
fale sobre grafos - vértices e grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
17 de março 2016 às 13:48:40 
Boa tarde! 
PESQUISA OPERACIONAL 
- Conjunto de técnicas e métodos aplicados por equipes multidisciplinares para se determinar 
a melhor utilização de recursos limitados e para programação otimizada das operações de 
uma empresa. 
É uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais, tendo como foco a 
tomada de decisões. 
-Tomada de decisão é a principal característica que distingue os gerentes dos demais 
funcionários na empresa. 
Consiste no estudo de métodos matemáticos, usualmente implementados por programas de 
computador, que podem ser utilizados para resolver problemas gerenciais relacionados à 
tomada de decisão e controle de sistemas. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
18 de março 2016 às 10:26:14 
Vamos agora atacar a aula 3 - grafos..... 
vértices pendentes 
isolados 
adjacentes 
grau de vértice 
etc 
aguardo as postagens 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 22:13:32 
Boa noite! 
Vértices 
Em teoria dos grafos, um vértice (plural vértices) ou nó é a unidade fundamental da qual os 
grafos são formados: um grafo não dirigido consiste de um conjunto de vértices e um conjun
to de arestas (pares de vértices não ordenados), enquanto um digrafo é constituído por um c
onjunto de vértices e um conjunto de arcos (pares ordenados de vértices). Do ponto de vista
 da teoria dos grafos, vértices são tratados como objetos inexpressivos e indivisíveis, embora
 possam ter uma estrutura adicional, dependendo da aplicação a partir da qual surge o grafo
; por exemplo, uma rede semântica é um grafo no qual os vértices representam conceitos ou
 classesde objetos. 
Os dois vértices formando uma aresta são ditos suas extremidades e a aresta é dita que é in
cidente para com os vértices. Um vértice w é dito ser adjacente a outro vértice v se o graf
o contém uma aresta (v,w). A adjacência de um vértice v é um subgrafo induzido do grafo, f
ormado por todos os vértices adjacentes a v. 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
31 de março 2016 às 08:44:42 
continuando sobre vértice: 
poste sobre vértice nulo, pendente e grau de vértice. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 22:21:59 
Vértice Isolado 
Dois vértices são chamados de adjacentes se estão ligados pôr arestas. Um 
vértice é dito isolado, se não tem aresta incidindo sobre ele. Ou seja, ele está isolado no 
grafo. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
31 de março 2016 às 08:48:08 
estou aguardando o grafo com 10 vértices. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
17 de março 2016 às 13:51:53 
GRAFOS 
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um 
determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), 
onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de 
pares não ordenados de V, chamado arestas. 
Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não 
arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
 
Um grafo G(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde: 
V - conjunto não vazio: os vértices ou nodos do grafo; 
A - conjunto de pares ordenados a=(v,w), v e w ∈ V: as arestas do grafo. 
Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: 
V = { p | p é uma pessoa } 
A = { (v,w) | < v é amigo de w > } 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
18 de março 2016 às 10:28:45 
Poste sobre: grafos..... 
vértices pendentes 
isolados 
adjacentes 
grau de vértice 
etc 
aguardo as postagens 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
30 de março 2016 às 22:17:28 
O grau de um vértice em um grafo é o número de arestas incidentes a ele. Um vértice isol
ado é um vértice com grau zero, isto é, um vértice que não é um ponto final de toda a aresta
. Um vértice folha (também vértice pendente) é um vértice de grau um. Em um grafo direcio
nado, pode-
se distinguir o grau de saída (número de arestas divergentes) do grau de entrada (número d
e arestas convergentes); uma fonte é um vértice com grau de entrada zero, enquanto um su
midouro (ou poço) é um vértice com grau de saída nulo. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
31 de março 2016 às 08:47:30 
muito bom. 
escolheu os slides perfeitos sobre o assunto. 
continue a sua pesquisa e poste um grafo com 10 vértices e de o grau de todos. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
17 de março 2016 às 13:59:26 
Princípios da construção de modelos de pesquisa operacional 
O Desenvolvimento da Pesquisa Operacional Durante a Segunda Guerra Mundial, um grupo 
de cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratégia e de tática 
associados com a defesa do país. O objetivo era decidir sobre a utilização mais eficaz de 
recursos militares limitados. A convocação deste grupo marcou a primeira atividade formal 
de pesquisa operacional. Os resultados positivos conseguidos pela equipe de pesquisa 
operacional inglesa motivaram os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. Apesar 
de ser creditada à Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, sua propagação deve-se 
principalmente à equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados Unidos, 
convocada durante a Segunda Guerra Mundial. Ao resultado deste esforço de pesquisa, 
concluído em 1947, deu-se o nome de Método Simplex. Com o fim da guerra, a utilização de 
técnicas de pesquisa operacional atraiu o interesse de diversas outras áreas. A natureza dos 
problemas encontrados é bastante abrangente e complexa, exigindo portanto uma 
abordagem que permita reconhecer os múltiplos aspectos envolvidos. Uma característica 
importante da pesquisa operacional e que facilita o processo de análise e de decisão é a 
utilização de modelos. Eles permitem a experimentação da solução proposta. Isto significa 
que uma decisão pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser efetivamente 
implementada. A economia obtida e a experiência adquirida pela experimentação justificam a 
utilização da Pesquisa Operacional. Com o aumento da velocidade de processamento e 
quantidade de memória dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa 
Operacional. Este progresso é devido também à larga utilização de microcomputadores, que 
se tornaram unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos 
desenvolvido pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rápidos e versáteis, 
além de serem também interativos, possibilitando a participação do usuário ao longo do 
processo de cálculo. 
fonte: http://www.ericolisboa.eng.br/ 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a GRACIANO SOUZA KOLOKAS 
18 de março 2016 às 10:26:52 
aguardando postagem da aula 3. 
acacio callim 
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ALUNO 
CLAUDIANA AZEVEDO DA HORA ALVES 
18 de março 2016 às 11:12:53 
Bom dia! 
 
FUNDAMENTOS DA PESQUISA OPERACIONAL; 
Pesquisa Operacional (P.O.) nada mais é que um método científico para a tomada de 
decisões. A P.O. “estrutura processos, propõe um conjunto de alternativas e ações, fazendo 
a previsão e a comparação de valores, de eficiência e de custos” A P.O. é, portanto, um 
sistema organizado com auxílio de modelos bem como da experimentação de modelos, com 
o fito de operar um sistema da melhor maneira possível. Considero a P.O. como uma 
ferramenta matemática aplicada no processo de tomada de decisão. Para isso, fazemos uso 
de modelos matemáticos estruturados em fases. 
Trazendo a P.O. para o mercado no dia de hoje, vemos como a mesma é utilizada por se 
tratar de decisões. Tomar decisões é uma condição da vida humana. Viver é escolher entre 
apostas viáveis. Toda organização é necessário haver um processo de tomada de decisão, 
onde irar ver a parte a ser incluída ou excluída. A P.O. pode ser utilizada para resolver os 
seguintes problemas no ambiente organizacional: 
-otimização de recursos; 
-Roteirização; 
-localização; 
-carteiras de investimento; 
-alocação de pessoas; 
-previsão de planejamento, etc. 
 
CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PESQUISA OPERACIONAL; 
 
Modelos: Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser 
um projeto aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o 
funcionamento do sistema, de modo a aumentar sua produtividade. A escolha apropriada do 
modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. 
O modelo é utilizado para definir a estrutura ideal do sistema.Um estudo de pesquisa 
operacional geralmente envolve as seguintes fases: 
 (1) definição do problema; 
 (2) construção do modelo; 
(3) solução do modelo; 
(4) validação do modelo; 
(5) implementação da solução 
 
Fonte de pesquisa: http://www.ericolisboa.eng.br/cursos/apostilas/po/cap1.pdfGRAFOS: 
 é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado 
conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos, G(V,E), onde V é um 
conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é um conjunto de pares não 
ordenados de V, chamado arestas. 
 
Abaixo temos exemplo de um grafo com 4 vértices e 6 arestas. É um grafo completo, conexo 
e planar. 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUDIANA AZEVEDO DA HORA ALVES 
19 de março 2016 às 09:49:39 
Estamos em busca de exemplos resolvidos sobre cálculo de grau de vértice. Tente colar um 
grafo e mostre os graus de todos os vértices desse grafo. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
CLAUDIANA AZEVEDO DA HORA ALVES em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
22 de março 2016 às 09:44:08 
Bom dia! 
Segue meu exemplo: 
Na teoria dos grafos, o grau de um vértice de um grafo é o número de arestas 
incidentes para com o vértice. 
Grau(Maria) = 3 
Grau(Pedro) = 2 
 
 
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 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a CLAUDIANA AZEVEDO DA HORA ALVES 
22 de março 2016 às 12:04:06 
qual o vértice é o pendente? 
acacio callim 
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ALUNO 
JOHN LENNON SOUZA 
19 de março 2016 às 18:58:36 
Sobre os fundamentos da Pesquisa Operacional, surgiu durante a Segunda Guerra 
Mundial tendo como objetivo o desenvolvimento de metodologia para solução de problemas 
relacionados com as operações militares quando os Aliados se viram confrontados com 
problemas complexos de natureza logística, t´atica e de estratégia militar. Para apoiar os 
comandos operacionais na resolução desses problemas foram criados grupos 
multidisciplinares compostos por matemáticos e físicos, engenheiros e cientistas sociais. O 
que esses cientistas fizeram foi aplicar o método científico, que tão bem conheciam, aos 
problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram então a ideia de criar 
modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os 
problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias bem como 
propor decisões alternativas. Em 1941 a Inglaterra inaugura a Seção de Pesquisa 
Operacional do Comando da Força Aérea de Combate para trabalhar com problemas de 
operações de guerra, manutenção e inspeção de aviões, melhoria da probabilidade de 
destruição de submarinos, controle de artilharia anti-aérea, dimensionamento de comboios 
de frota, entre outros. O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes 
que, terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de 
abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que, com o vertiginoso 
crescimento econômico que se seguiu, se viram também confrontadas com problemas de 
decisão de grande complexidade. Em 1947 os Estados Unidos implantam o projeto SCOP 
(Scientific Computation of Optimal Programs) com o objetivo de apoiar decisões de 
operações da força aérea americana, coordenado por um economista e por um matem´atico 
George Dantzig que desenvolveu e formalizou o Método Simplex para resolver problemas de 
otimização linear. Face ao seu caráter multidisciplinar, atualmente as contribuições da PO 
estende-se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à 
Medicina, passando pela Economia e à Gestão Empresarial. 
Os ramos mais importantes da P.O são: Gestão de Estoques, Programação linear, Analise 
Estatística, Programação Não Linear, Programação Dinâmica,Programação Inteira, 
Otimização Global, entre outros. 
Podemos dizer que o objetivo principal da PO é determinar a programação otimizada de 
atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de procedimentos e métodos quantitativos 
para tratar de forma sistematizada problemas que envolvam a utilização de recursos 
escassos. 
Para apoiar a tomada de decisão, a PO busca a solução de problemas que podem ser 
representados por modelos matemáticos. De modo geral, para a resolução de um problema. 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOHN LENNON SOUZA 
20 de março 2016 às 13:04:45 
Faltou falar sobre a programação linear envolvendo o cálculo da função objetivo e suas 
restrições. 
aguardo, 
acacio callim 
 
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ALUNO 
JOHN LENNON SOUZA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
21 de março 2016 às 21:29:35 
Professor, sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa 
Operacional das mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização. Os problemas 
de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos limitados para 
atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em se 
tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear, denominada de 
"Função Objetivo". É necessário também que se defina quais as atividades que consomem 
recursos e em que proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são 
apresentadas em forma de equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao 
conjunto dessas equações e/ou inequações, denomina-se "Restrições do Modelo". 
Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas 
atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes 
com as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função 
objetivo, isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o 
nome de solução ótima. Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de 
um problema, uma vez definida o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições 
lineares. 
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 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOHN LENNON SOUZA 
22 de março 2016 às 12:03:15 
Estamos fazendo uma coletânea de desenhos(grafos) sobre vértices adjacentes, isolados, 
laços e pendentes com os seus respectivos graus. 
pode colaborar? 
acacio callim 
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 
ALUNO 
JOHN LENNON SOUZA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
31 de março 2016 às 12:45:56 
 
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 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOHN LENNON SOUZA 
2 de abril 2016 às 09:53:40 
faltou: 
vértice pendente 
vértice isolado 
vértice com laço 
grau de vertice 
etc 
acacio callim 
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ALUNO 
MAURICIO GOMES MACIEL 
21 de março 2016 às 09:06:01 
Bom dia! 
Situações de distribuição que consideram uma ou mais fontes de origem, centros de 
distribuição e locais intermediários por onde materiais e produtos apenas passam, são 
denominados problemas de rede de distribuição. 
 Os problemas de transporte podem ser considerados uma simplificação do problema de rede 
de distribuição de menor custo. Encontramos um problema de transporte quando precisamos 
enviar unidades de um produto por uma rede de modais (ou único modal) que conectam um 
determinado local ou grupo de locais de entrega. 
 
A logística concentra-se no fluxo dos materiais e produtos, das informações e das finanças 
que devem ocorrer entre os parceiros da Supply Chain Management (Gestão da Cadeia de 
Abastecimento), que é entendido como o conceito de integração da empresa com todas as 
demais empresas da cadeia de suprimentos: fornecedores, clientes e provedores externos de 
meios logísticos, compartilhando informações e planos necessários para tornar a cadeia de 
distribuição mais eficiente e competitiva. Além disso, procura melhorar esses fluxos da 
cadeia por meio de métodos e técnicas, modelos matemáticos, softwares, tecnologia de 
informação (TI) visando atender o nível de serviço ao cliente. 
Os gerentes de logística se veem envolvidos com decisões estratégicas, táticas e 
operacionais; entre outras: quantidade e função dos centros dedistribuição, depósitos e 
armazéns (estratégicas); meios de transporte, roteiros e medidas de desempenho (táticas); 
programas diários de embarque, roteiros diários, etc. 
 
Quando em um grafo existe a associação de um ou mais valores aos arcos e/ou nós, pode-se 
defini-lo como uma rede. Pode-se representar uma rede como R={V,A,α }, onde V e A são, 
respectivamente, os conjuntos de nós e arcos que formam um grafo, e α, os parâmetros 
associados aos elementos do conjunto A e/ou do conjunto V. 
G(V,A) sendo: V={V1,V2,V3,V4} e A={V1V2,V2V3,V3V4,V4V1} 
Podem-se citar alguns valores de α associados aos arcos: a capacidade de fluxo, que 
corresponde ao limite que pode passar pelo arco; o custo no arco, que pode ser considerado 
como um valor monetário, a distância percorrida ou o tempo de viagem no arco e o fluxo no 
arco. Existem também os valores de α associados aos nós: população de uma 
cidade; número de produtos fabricados em uma unidade e demanda de produtos em uma 
área geográfica. 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a MAURICIO GOMES MACIEL 
21 de março 2016 às 10:48:55 
Vamos postar agora uma questão ligada a webaula constando: 
vertice isolado; 
vertice pendente; 
laço; 
grau de vértice. 
acacio callim 
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ALUNO 
JOHN LENNON SOUZA em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
22 de março 2016 às 13:05:33 
Um vértice é o ponto comum entre os lados consecutivos de uma figura geométrica, ou o ponto comum 
entre os dois lados de um ângulo, ou o encontro de duas semi-retas, dos dois lados de um polígono ou de 
três (ou mais) faces de um poliedro. 
Laço: 
É uma aresta formada por um par de vértices idêntico; 
Grau de um vértice: 
Grau de um vértice v (grau(v)) é o número de arestas que incidem em v; 
O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v; 
 
Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice. 
 
(Não consigo colar a imagem porém segue link das informações, acreido que seja de 
ajuda: http://www.cin.ufpe.br/~if670/Grafos2-Definicoes.pptx ) 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOHN LENNON SOUZA 
23 de março 2016 às 10:23:53 
Está disponível exercícios de revisão das nossas aulas 1, 2 e 3 em nosso ambiente. 
Vamos fazer. 
esses exercícios são prováveis questões da sua prova. 
Estaremos dando estrelas para solução dos exercícios propostos das aulas 1 ,2 e 3 no nosso 
ambiente. 
acacio callim 
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ALUNO 
MAURICIO GOMES MACIEL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
1 de abril 2016 às 17:39:15 
 
Em 1.736, o famoso matemático Leonard Euler publicou um artigo com a solução do 
problema, através de uma das primeiras utilizações conhecidas da teoria dos Grafos, 
representando as regiões como vértices e as pontes como arestas. 
Formalmente, então, dizemos que um grafo G(V, E) consiste de um conjunto de vértices V e 
um conjunto de arestas E. Cada aresta é um par não ordenado de vértices {i, j}, chamados 
de extremidades da aresta. Em geral, representamos os vértices por pontos ou por círculos e 
as arestas por segmentos de retas ou por linhas curvas. 
Dizemos que uma aresta é incidente aos vértices aos quais ela está associada e vice-versa. 
Duas arestas que são incidentes ao mesmo vértice são chamadas deadjacentes. Um grafo 
possui arestas múltiplas se existem duas ou mais arestas incidentes ao mesmo par de 
vértices. Chamamos de laço as arestas cujas extremidades são o mesmo vértice. 
Um grafo é chamado simples se ele não possui laços ou arestas múltiplas; caso contrário, 
ele é chamado de multigrafo. O grau de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, 
sendo que um laço conta como dois. O grau de um grafo é a soma do grau de todos os 
vértices. Um vértice de grau zero é chamado de vértice isolado; um vértice de grau um é 
chamado de pendente. 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a MAURICIO GOMES MACIEL 
2 de abril 2016 às 09:59:31 
Poste mais 5 exercícios resolvidos do avaliando aprendizado que te dou mais 5 estrelas. 
acacio callim 
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ALUNO 
FABRICIA SCOPEL 
21 de março 2016 às 18:31:16 
Boa noite! 
Aplicação da Pesquisa Operacional de Transporte 
 
A Logística de Transportes é um ramo que 
envolve a escolha do melhor modal de 
transporte para que seja transportado o maior 
número de mercadorias, visando, contudo, 
menores custos e tempo possíveis. O 
transporte é, então, uma das principais 
funções logísticas. 
 
Com base nisso, é preciso que haja a visão do 
planejamento de transporte para que tudo 
ocorra no tempo certo. É controlar, saber 
calcular o tempo entre a rota a ser seguida 
para um feedback futuro. Esse processo 
chama-se Pesquisa Operacional que é a 
preparação científica das decisões, através do 
conjunto de métodos é que vão ser analisados 
os indicadores e vão ser determinadas essas 
decisões. A Pesquisa Operacional na Logística 
do Transporte é feita através de Bom 
Planejamento, Desenvolvimento e Ótimo 
Controle da Operação. 
 
A P.O. designa-se à construção de 
representações de sistema e comportamento 
para que possa orientar-se durante a pesquisa 
de seu campo. Como proporção de 
aprendizado, fazem parte das cinco fazes num 
projeto de pesquisa operacional à formulação 
do problema; Construção do modelo; 
Obtenção da solução; Teste do modelo e 
avaliação da solução; Implantação e 
Acompanhamento da solução que deverá ser 
avaliada. 
 
Todo esse conjunto organizacional faz parte 
da operação do transporte. Portanto devem-se 
haver verificações administrativas quanto aos 
pontos negativo-positivos quanto à compra, 
ao fornecedor e, consequentemente, ao 
cliente, que é o mais importante, pois está a 
todo instante avaliando e é onde surge a 
abertura de novas recomendações a partir do 
mesmo. Portanto, não deve haver pontos 
negativos, mas sim um Segundo Plano de 
uma Pesquisa Operacional na Logística de 
Transporte. 
 
Ela começou em 1936 quando foi utilizado o 
termo "operational research". Um pouco 
depois na 2ª Grande Guerra, a partir de 1939 
até 1945, as gerências da Inglaterra 
implantaram o tratamento científico para a 
resolução de problemas de escassez de 
diversos suprimentos. 
 
A P.O. utiliza algumas ferramentas para obter 
êxito em sua função, uma delas é a teoria da 
decisão, a teoria da decisão é a ciência que 
estuda a tomada de decisões em momentos 
de incerteza. O objetivo da Teoria da Decisão 
e apoiar a escolha de uma ação (ou de uma 
estratégia) que seja consistente com as 
alternativas, a informação, os valores e a 
lógica do decisor no momento da tomada de 
decisão. 
 
Cada decisão tem um ganho ou perda a ela 
associado, que é determinado por 
circunstâncias externas ao processo, fatos que 
distinguem estes processos dos tratados 
atrás. 
 
Com base nesses principios a pesquisa 
operacional é realizada, pois é nesse campo 
onde serão tomadas decisões que irão mostrar 
ao fornecedor o melhor caminho para 
satisfazer ao cliente. 
 
 
fonte: (http://fateclog.blogspot.com.br/2012/11/aplicacao-da-pesquisa-operacional-
de.html 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a FABRICIA SCOPEL 
22 de março 2016 às 12:01:38 
Estamos fazendo uma coletânea de desenhos(grafos) sobre vértices adjacentes, isolados, 
laços e pendentes com os seus respectivos graus. 
pode colaborar? 
acacio callim 
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 
ALUNO 
FABRICIA SCOPEL em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
4 de abril 2016 às 20:49:04 
Tipos e características de grafos 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: O grau do vértice 3 do grafo abaixo é 4, veja a figura abaixo: 
 
 
Exemplo 6: No grafo abaixo, o grau de cada vérticeé contado, veja: 
 
 
 
 
 
 
 
Na sequência veja este importante teorema que relaciona as arestas de um grafo e o seu 
grau. 
 
Teorema do aperto de mão: 
 
Seja G um grafo. A soma dos graus de todos os vértices de G é duas vezes o número de 
arestas de G. 
 
Uma consequência imediata do teorema acima é 
 
Corolário: 
 
O grau total de um grafo é par. 
 
Definição: (Grafo regular) 
 
Um grafo é regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau. 
 
Teorema: 
 
Em qualquer grafo G, existe um número par de vértices de grau ímpar. 
 
 
 
Definição: (Grafo conexo) 
 
Um grafo G é conexo se for possível ir de qualquer vértice para outro vértice através de 
uma sequência de vértices adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição (Trajeto Euleriano): 
 
Seja G um grafo e seja v e w dois vértices de G. Um trajeto Euleriano de v até w é uma 
sequência de arestas e vértices adjacentes que começa emv, termina em w e passa por 
cada vértices de G pelo menos uma vez e passa por cada aresta de G apenas uma vez. 
 
 
Teorema: 
 
Seja G um grafo e v e w dois vértices de G. Existe um trajeto Euleriano de v até w se e 
somente se G é conexo e v e w têm grau ímpar e todos os outros vértices de G têm 
grau par. 
 
 
 
 
Veja uma solução: 
 
 
 
 
 
fonte:http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article
&id=482%3Atiposdegrafos&catid=80%3Agrafos&Itemid=77 
 
 
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PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a FABRICIA SCOPEL 
5 de abril 2016 às 16:44:17 
bela postagem. 
agora: 
Poste um grafo com 10 vértices , 2 vértices pendentes ,2 laços , 2 paralelas e 3 isolados. 
vale 5 estrelas. 
aguardandooooooooooooo, 
desafio da semana. 
o melhor ganha mais 3 estrelas de bônus. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
JOÃO DE REZENDE DELGADO 
21 de março 2016 às 19:22:12 
Boa noite, Professor 
Sintese da 1ª aula 
 A Pesquisa Operacional (PO) consiste no estudo de métodos matemáticos, 
usualmente implementados por programas de computador, que podem ser utilizados para 
resolver problemas gerenciais relacionados à tomada de decisão e controle de sistemas. É 
vista como uma metodologia para estruturar processos por meio de construção de modelos. 
Coletânea de técnicas quantitativas de otimização. 
 O termo “pesquisa” significa que a PO faz uso de uma abordagem que lembra a 
forma de como as pesquisas são conduzidas em diversas áreas do conhecimento como 
Formulação do Problema, Coleta de dados relevantes, Modelagem, Validação…etc. 
 A origem da Pesquisa Operacional é atribuída ao serviço militar na 2ª Guerra 
Mundial; Serviço militar do Reino Unido e EUA recrutaram diversos cientistas p/ realizar 
pesquisas em operações (militares); Durante este período, os cientistas começaram a 
estudar de forma sistemática e racional os processos envolvidos na realização de uma 
atividade produtiva. Dois fatores foram responsáveis pelo rápido crescimento da PO: 
Progresso substancial no desenvolvimento de técnicas, como: 
Algoritmo Simplex 
Programação Linear 
Programação Dinâmica 
Teoria das Filas 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOÃO DE REZENDE DELGADO 
22 de março 2016 às 12:02:21 
aguardando os desenhos. 
acacio callim 
 
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ALUNO 
JOÃO DE REZENDE DELGADO 
21 de março 2016 às 19:24:02 
Sintese da 2ª aula 
Construção por Programação Linear 
 Problemas de programação são modelados tal que o melhor uso de recursos 
escassos possa ser determinado, conhecidos os objetivos e necessidades do analista. 
Problemas de programação linear compõem uma sub-classe de problemas nos quais a 
modelagem é inteiramente expressa em termos de equações lineares. Parece intuitivo que 
para ser possível a solução de um dado problema através da programação linear, o problema 
deve ser, inicialmente, formulado em termos matemáticos. A construção de um modelo de 
programação linear segue três passos básicos (Ravindran et al., 1987): 
 Passo I. Identifique as variáveis desconhecidas a serem determinadas (elas são 
denominadas variáveis de decisão) e represente-as através de símbolos algébricos (por 
exemplo, x e y ou x1 e x2). 
 Passo II. Liste todas as restrições do problema e expresse-as como equações (=) 
ou inequações (≤, ≥) lineares em termos das variáveis de decisão definidas no passo 
anterior. 
 Passo III. Identifique o objetivo ou critério de otimização do problema, 
representando-o como uma função linear das variáveis de decisão. O objetivo pode ser do 
tipo maximizar ou minimizar. 
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 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOÃO DE REZENDE DELGADO 
22 de março 2016 às 12:01:58 
Estamos fazendo uma coletânea de desenhos(grafos) sobre vértices adjacentes, isolados, 
laços e pendentes com os seus respectivos graus. 
pode colaborar? 
acacio callim 
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ALUNO 
JOÃO DE REZENDE DELGADO em resposta a ACACIO PONTES CALLIM 
22 de março 2016 às 23:19:11 
 
 
 
PROFESSOR 
ACACIO PONTES CALLIM em resposta a JOÃO DE REZENDE DELGADO 
23 de março 2016 às 10:44:54 
Está disponível exercícios de revisão das nossas aulas 1, 2 e 3 em nosso ambiente. 
Vamos fazer. 
esses exercícios são prováveis questões da sua prova. 
Estaremos dando estrelas para solução dos exercícios propostos das aulas 1 ,2 e 3 no nosso 
ambiente. 
acacio callim 
 
 
ALUNO 
JOÃO DE REZENDE DELGADO 
21 de março 2016 às 19:28:04 
Sintese 3ª aula 
 A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os 
objetos de um determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas chamadas 
de grafos, G(V,E), onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e E é 
um conjunto de pares não ordenados de V, chamado arestas. 
 Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou 
não arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso 
(numérico) associado. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na 
representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou dígrafo. Um grafo 
com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial. 
 Na literatura, as definições básicas da teoria dos grafos variam bastante. Aqui estão as 
convenções usadas nesta enciclopédia. 
Um grafo direcionado (também chamado dígrafo ou quiver) consiste de: 
· um conjunto V de vértices, 
· um conjunto E de arestas e 
· mapas s, t : E → V, onde s(e) é a fonte e t(e) é o alvo da aresta direcionada e. 
Um grafo não direcionado (ou simplesmente grafo) é dado por 
· um conjunto V de vértices, 
· um conjunto E de arestas e 
· uma função w : E → P(V) que associa a cada aresta um subconjunto de dois ou 
de um elemento de V, interpretado como os pontos terminais da aresta. 
 Em um grafo ou dígrafo com pesos, uma função adicional E → R associa um valor a 
cada aresta, o que pode ser considerado seu "custo"; tais grafos surgem em problemas de 
rota ótima tais como o problema do caixeiro viajante 
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Grafo com 4 vértices e 6 arestas. É um grafo completo, conexo e planar. 
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ALUNO 
SILVIA CRISTINA MOREIRA 
22 de março 2016 às 23:31:05 
Boa noite a todos! 
Grafos aula 3, pesquisei na internet exemplos para ficar mais claro. 
Antes de mais nada, vamos tentar entender o que é um grafo. Um grafo é uma estrutura 
matemática usada para representar as relações entre as