MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
TEORIA DOS CONJUNTOS
Conjunto é um conceito indefinido. 
Elemento é qualquer componente do conjunto.
Subconjunto é o conjunto formado de um conjunto. 
Você terá oportunidade de desenvolver o conceito e aplicações de conjuntos dos números naturais, apresentando as operações de adição; subtração; multiplicação e divisão, com as suas propriedades de fechamento; comutativa; associativa; distributiva e elemento neutro; aplicando as regras de sinais nas operações de adição; subtração; multiplicação e divisão para o conjunto dos números reais.
TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais.
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais conjuntos serão vistos nas próximas telas.
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles.
Símbolos:
Noções sobre Conjuntos:
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por: Ø ou { }.
Subconjunto: Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A B. (A está contido B)
União de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A B, ou seja: A B = {x | x  A V X  B} (A união B = x tal que x pertence A ou x pertence B)
Obs.: Todo conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja: A A. O conjunto vazio, por convenção é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, Ø A.
Interseção de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B o conjunto representado por A  B formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: A B = {X | X A X B} 
Diferença de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A – B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja: A – B = {X | X A X B}
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS:
N é o conjunto dos números naturais: N = {0,1,2,3,4,5, ..., n, ...}
Onde N representa o elemento genérico do conjunto.
Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão.
Quando houve “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N.
ATENÇÃO! O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada. Escolheremos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita).
O conjunto dos números Naturais possui alguns subconjuntos importantes:
Obs.: Números primos são todo número que consegue, apenas, ser dividido por 1 e por ele mesmo. 
O conjunto dos números naturais, estão definidas duas operações: adição e multiplicação. Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos, temos:
 m, n N, (m + n) N e (m * n) N
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece à divisão.
Embora (-12): (+4) = -3 Z, não existe número inteiro x para o qual se tenha x = (+4) : (-12).
Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais (Q).
O conjunto dos números racionais (Q) é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros.
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)	
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros).
Exemplo: 
O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos após a vírgula não se repetem periodicamente.
O número 0,203040... também não comporta representação fracionária, pois não é dízima periódica.
Os números = 3,1415926535..., por não apresentarem representação infinita periódica, também não são números racionais.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ®
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), definimos o conjunto dos números reais como: R = Q I = {x | x é racional ou x é irracional}
O diagrama abaixo mostra a relação entre conjuntos numéricos:
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos de “I” temos:
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, INTERVALOS NUMÉRICOS E FATORAÇÃO.
As funções exponenciais possuem base POSITIVA e DIFERENTE de 1.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo ao lado:
Radiciação - Potenciação de Radicais
Observando as potências, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:
Divisão de Radicais
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais. Exemplos:
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuar a operação. Exemplos:
Racionalização de denominadores
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
ATENÇÃO: Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.
Exemplos dos principais casos de racionalização:
Potência com expoente racional
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais (fração) são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:
Fatoração
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 24 num produto:
Fatoração de um número natural, maior que 1, é a sua decomposição em um produto de fatores primos.
Regra para a fatoração
Um dispositivo prático para fatorar um número é mostrado abaixo.
Determinação dos divisores de um número
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
Continuando: 3.3=9 3.6=18 5.1=5 5.2=10 5.3=15 5.6=30 5.9=45 5.18=90.
Portanto, os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Fatoração de expressões matemáticas
Casos de fatoração
SIMPLIFICAÇÃO
Podemos simplificar uma fração quando o numerador e o denominador estiverem fatorados e apresentarem pelo menos um fator comum.
TELETRANSMITIDA
Potencia é uma forma abreviada de se indicar a multiplicação. Falou em potência, você tem que pensar em multiplicação.
Ex.: a) 2³= 2.2.2=8 
b) (-2)³= (-2).(-2).(-2)= -8
c) (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16
d) -2 4 = 2.2.2.2 = -16 (neste caso, quem está sendo elevado a 4 é o 2, e não o -2, por este motivo, você faz a potencialização do 2 e repete o sinal.)
e) 0^5= 0 (zero elevado a qualquer valor é 0)
f)a^0= 1 (qualquer número elevado a 0 é = 1)
Propriedades
Ex.: a^m.a^n = a ^m+n
3².3^4 = 3^2+4 = 3^6
X.x^5 = x^6
5^4 sobre 5^2 = 5.5.5.5 sobre 5.5 (corta 5.5 com 5.5) = 5²
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
EQUAÇÕES DE 1º GRAU (com uma variável)	
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".
Exemplos de equações (sentenças abertas):
Equação geral do primeiro grau:
ax + b = 0
Onde a e b são números conhecidos e a > 0. A solução é simples: 
Subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
Dividindo por a (dos dois lados), temos: 
Considere a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra x é a incógnita (desconhecida) da equação. A sentença que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e a que sucede, 2º membro.
Exemplo: 2x - 8 = 3x – 10
 1º membro = 2º membro
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax = b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados de raízes da equação.
Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:
Substituir a incógnita por esse número.
Determinar o valor de cada membro da equação.
Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.
Nosso amigo está com dúvidas. Vamos ajudá-lo? Verifique quais dos elementos do conjunto A são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade! Papel, lápis e borracha na mão. Resolva a equação e, em seguida, marque a resposta correta no gabarito.
X – 5 = 0, sendo A = {0,1,2,3,4,5,6}
2x – 5 = 1, sendo A = {-1,0,1,2}
Resolução de uma equação
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro de um dado conjunto.
5x – 4 = 6x +8
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).
Como 3 chegou a 9 e 5 chegou a 10?
O MMC de 4,6 = 12.
12/4 = 3 > 3*-3 = -9
12/5 = 2 > 2*5 = 10
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.
Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b = 0.
Sendo A Q, considere a seguinte equação: 10 – 3x – 8 = 2 – 3x
Observe a sua resolução:
-3x + 3x = 2 - 10 + 8
0 . x = 0 
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.
SISTEMA LINEAR DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma equação do 1º grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Poderá ter mais do que uma incógnita.
Um sistema de equações do 1º grau tem duas incógnitas, por exemplo, x e y; portanto, é formado por duas equações do 1º grau com duas incógnitas.
Seja o sistema de duas equações:
2 x + 3 y = 24
3 x - 2 y = 23
Para resolver este sistema de equações, temos que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente ambas as equações.
Método de substituição para resolver este sistema
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e aplicar o resultado à outra equação.
Para entender o método, consideremos o sistema: Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:
2x + 3y = 24 Primeira equação
2x = 24 - 3y Passamos 3y para o segundo membro
x = 12 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y
Substituímos então o valor de x na segunda equação 3x-2y=23:
Substituindo y = 2 na equação x = 12 - (3y/2), obtemos:
X = 12 – (3.2/2)
X = 12 – 6/2
X = 12 – 3
X= 9
Determinar a solução do sistema:
x + y = 2
x - y = 0
INEQUAÇÕES
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. Portanto, inequação do 1º.
ax + b < 0
ax + b < 0
Com A , B , a ? 0
1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas)
(I) 1 ≤ 2x + 3
(II) 2x + 3 < x + 5
Resolvendo (I): 1 ≤ 2x + 3
Temos: -2x ≤ 3 – 1 -> -2x ≤ 2 -> 2x ≥ -2 -> x ≥ -1
Resolvendo (II): 2x + 3 < x + 5
2x – x < 5 – 3 -> x < 2
Logo: -1 ≤ x < 2
Ao dividirmos ambos os membros por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte.
TELETRANSMITIDA
Incógnita é um valor desconhecido.
O funcionário de uma firma recebe um salário base de R$ 500,00 sobre o qual é adicionado um valor referente às horas extras trabalhadas no mês. Ele recebe R$ 10,00 por hora extra. Recebe ainda um adicional de 5% sobre a soma do salário base com o valor referente às horas extras trabalhadas. O desconto previdenciário é de 8,5% sobre o salário total. Quantas horas extras ele deverá trabalhar num mês para receber R$ 1.000,00 de salário (líquido)? 
Y = 1000
Y = [(500 + 10X).1,05].0,915
Y = (500 + 10X) . 0,9576
Y = 478,80 + 9,58X
478,80 + 9,58X = 1000
9,58X = 1000 – 478,80
X = 521,20/9,58
X = 54,40 (Total de Horas Extras que ele deve fazer para receber 1000 Reais de salário.)
Razão e Proporção, Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais, Operações com Porcentagens.
Razão tem a ver com fração.
Por exemplo, se temos a razão de 2 para 3, nós temos 2/3. Se temos a razão inversa de 2 para 3, nós temos 3/2
A proporção é a igualdade entre duas ou mais razões dadas. 
Por exemplo: A, B e C são proporcionais a 2,3 e 5.
A/2 = B/3 = C/5
A vai ter 2 partes, B vai ter 3 partes e C vai ter 5 partes.
Calcular A, B e C proporcionais a 2, 3 e 5 sabendo que eles somam 40.
40 = A + B + C
2p + 3p + 5p = 40
10p = 40
P = 40/10
P = 4
Portanto A = 2x4, B = 3x4 e C = 5x4
A = 8, B = 12 e C = 20.
RAZÃO
Sejam dois números reais A e B, com B diferente de 0. Chama-se razão entre A e B, ou seja:
PROPORÇÃO
Proporção é uma igualdade entre duas razões:
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES:
Observe as seguintes proporções:
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Calculo: 5.50 = 20x 20x = 250 x =250/20 x = 12,5
ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção da primeira.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.
APLICAÇÃO DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
Determinação do termo desconhecimento de uma proporção
Resolução: 5.x = 8.15 5.x = 120 x = 120/5 x = 24
Resolução: 5 (x – 3) = (2x + 1) . 4 5x – 15 = 8x + 4 5x – 8x = 4 + 15 -3x = 19 x = -19/3
5/8 = 35/x 5x = 8 . 35 x = 280/5 x = 56
Dm = Decímetro que equivale a milésima parte de um metro cúbico.
1m³/40dm³ = x/2m³ 
É preciso transformar o 40dm³ em m³ 40/1000 = 0,04
1m³/0,04m³ = x/2m³ cortaos m³ para ficar mais fácil de resolver a equação 1 . 2 = 0,04x 0,04x = 2 x = 2/0,04 x = 50m³
PROPORÇÃO CONTÍNUA
Considere a seguinte proporção: 
TERCEIRA PROPORCIONAL
Dados dois números naturais a e b, não nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x, tal que:
A = 20, B = 10
20/10 = 10/x 20x = 10.10 x = 100/20 x = 5
PROPORÇÃO MÚLTIPLA
PORCENTAGEM
A razão, cujo denominador é 100, recebe o nome de razão centesimal. Tais razões centesimais estão expressas em taxas percentuais. 
Ex 1: 40/100 = 0,4*100 = 40%
Ex 2: 5/25 = 0,2*100 = 20%
FUNÇÃO CUSTO: CUSTO FIXO, CUSTO VARIÁVEL, CUSTO NO GRÁFICO
CUSTOS: Conhecer custo é uma condição essencial para administrar uma empresa, seja ela de pequeno, médio ou grande porte. 
Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento e a arte de administrar são fatores determinantes de sucesso de uma empresa.
Os custos de uma empresa resultam da combinação de uma série de fatores: a capacitação tecnológica e produtiva relativa aos processos, produtos e gestão; nível de atualização da estrutura organizacional e a qualificação da mão de obra.
Uma empresa apura seus custos com vistas:
Ao atendimento de exigências legais quanto à apuração dos resultados de suas atividades e avaliação de estoques.
Ao conhecimento dos custos para tomada de decisões corretas.
Entende-se por custo a soma dos valores de bens e serviços consumidos e aplicados para obter um novo produto ou serviço.
Quando falamos de custos, não se apuram somente custos de utilidades físicas (bens, mercadorias, etc.), mas também custos de serviços (fretes, seguros, etc.). Porém, os custos somente ocorrem quando houver consumo ou venda.
O dinheiro gasto na compra de uma máquina não é um custo, mas um investimento. O desgaste da máquina em função do uso é um custo, porque existe o “consumo”, a deterioração da máquina. Quando uma máquina é adquirida, não há nenhum custo envolvido na transação.
O total pago pela máquina é classificado como ativo fixo, porque esta máquina tem uma vida útil estimada de 10 (dez) anos. Pode-se dizer que, ao final de cada ano, 1/10 (um décimo) desta máquina, ou valor, gastou-se e, ao final do primeiro ano, apenas 9/10 (nove décimos) do valor da máquina permanecem contribuindo para as operações da empresa. O reconhecimento deste fato implica no reconhecimento do respectivo custo, que no caso chama-se custo de depreciação das máquinas e equipamentos ou, simplesmente, depreciação.
CUSTOS FIXOS:
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independentemente da quantidade que venha a ser produzida dentro da capacidade instalada.
Exemplos desses custos são o custo de aluguel, os salários do pessoal administrativo, honorários pagos ao escritório de contabilidade e a depreciação. Assim, tanto faz produzir zero ou dez toneladas de produto, os custos fixos permanecerão os mesmos. Por exemplo, o aluguel pago para a utilização de um ponto comercial, independentemente do fato da empresa estar produzindo ou parada, ou de estar produzindo maior ou menor quantidade de bens ou serviços.
Espera-se que, quanto mais próximo do volume máximo de produção, menor seja o custo unitário produzido, devido à economia de escala proporcionada.
Veja o gráfico. Observe que a reta do custo fixo unitário não começa no zero, mas na primeira unidade produzida, pois nesse volume de produção é ela que absorve todo o custo.
ATIVIDADE: Uma indústria apresentou, num determinado mês, um custo fixo de R$15.000,00. Nesse mesmo mês, a indústria produziu uma quantidade de 3.000 produtos. Qual foi o custo fixo unitário daquele produto naquele mês?
Custo fixo unitário = custo fixo/quantidade de itens produzidos.
Custo fixo unitário = R$15.000,00/3.000 = R$5,00.
CUSTOS VARIÁVEIS:
São aqueles que aumentam ou diminuem, conforme o volume de produção. São exemplos desse comportamento os custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a necessidade, portanto maior o custo) e da energia elétrica (quanto mais se produz, maior o número de máquinas e equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo e o custo). A representação gráfica do custo variável total é:
Em razão do comportamento dos custos variáveis, espera-se que cada unidade produzida tenha o mesmo custo. No gráfico a seguir, temos uma representação para o custo variável unitário.
Observe que a reta do custo variável unitário não inicia no zero, mas em uma unidade, pois na quantidade zero não ocorrem custos variáveis.
Quando se vende um produto, o custo do material aplicado será sempre o mesmo por produto vendido. Daí dizer-se que o custo variável é fixo por unidade vendida. Porém, quando dizemos que pagamos R$2.000,00 pelo aluguel da empresa (custo fixo), se vendermos 1.000 unidades, o custo fixo por unidade será de R$2,00.
Se aumentarmos as vendas para 1.250 unidades, o custo fixo por unidade será de R$1,60 (2.000 divididos por 1.250). Daí dizer-se que o custo fixo unitário é variável por unidade vendida.
CUSTO TOTAL:
É a soma dos custos fixos mais os variáveis. A sua representação gráfica é:
EXERCÍCIO: Uma indústria, que produz apenas um tipo de produto, gasta mensalmente R$3.000,00 com aluguel da fábrica e R$500,00 com o contador. O custo unitário de produção é de R$20,00, supondo computados todos os fatores de produção. Se num determinado mês o custo total da indústria foi de R$15.500,00, qual a quantidade de produtos fabricados?
Custo total = Custo fixo + Custo variável
15.500 = (3.000 + 500) + (20 x)
sendo x a quantidade de produtos fabricados
15.500 = 3.500 + 20x 
20x = 12.000
x = 12.000/20
x = 600
FUNÇÃO CUSTO: A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Como vimos, o custo possui duas parcelas: uma fixa e outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão: C(x) = Cf + Cv Onde Cf: custo fixo e Cv: custo variável
FUNÇÃO RECEITA: A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de vendas de determinado produto. R(x) = px onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.
FUNÇÃO LUCRO: A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo. L(x) = R(x) – C(x)
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários, etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$41,00. Considerando que o valor de venda de cada pistão no mercado seja equivalente a R$120,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1.000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro.
C (x) = 950 + 41x
R (x) = 120x
L (x) = 120x – (950 + 41x)
L (1000) = 120.1000 – (950 + 41.1000)
L (1000) = 120.000 – 950 + 41.000
L (1000) = 120.000 – 41.950
L (1000) = 78.050
Na venda de 1.000 pistões o Lucro líquido será de 78.050
120x > 950 + 41x
120x – 41x > 940
79x > 950
X > 950/79
X > 12
Acima de 12 pistões terá lucro.
Uma indústria de sapatos tem um custo fixo de R$ 150.000,00 por mês. Se cada par de sapato produzido tem um custo de R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 50,00, quantos pares de sapatos a indústria deve produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? A partir de quantos pares de sapatos haverá lucro?
C (x) = 150.000 + 20x
R (x) = 50x
30.000 = 50x – (150.000 + 20x)
30.000 = 50x – 150.000 – 20x 
30x = 30.000 + 150.000
30x = 180.000
X = 180.000/30
X = 6.000
Precisa produzir 6.000 pares de sapatos para ter lucro de 30.000.
0 = 50x – (150.000 + 20x)
0 = 50x – 150.000 – 20x
150.000 = 30x
X = 150.000/30
X = 5.000
Haverá lucro a partir de 5.000 pares de sapatos produzidos.
FUNÇÃO LINEAR, GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO, FUNÇÃO CRESCENTE, FUNÇÃO DESCRESCENTE.
O conceitode função nos transporta à teoria dos conjuntos: quando existirem dois conjuntos com algum tipo de associação entre eles, ocorre uma função sempre que houver uma correspondência de qualquer elemento de um conjunto a um elemento do outro conjunto.
As funções são utilizadas em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas em que o aluno está matriculado.  Imagine x o valor por disciplina e y o valor total a ser pago no período. Então, temos: y = f(x). 
Y = número de disciplinas. X = valor por disciplina.
Exemplo: f(x) = 5x – 3, onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = - 7
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0
Plano cartesiano
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está associado a um único número real e vice-versa. O ponto 0 (zero) do eixo é chamado origem. Portanto, qualquer ponto à direita de 0, o número será positivo. Quando estiver à esquerda, o número será negativo. Quando coincidir com o 0, será nulo.  
Vamos imaginar um número P = -3. Teremos OP = -3.
Agora vamos praticar:
Para P = -1 teremos OP = -1
Para P = +2 teremos OP = +2
Consideremos num plano a de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a a, existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x. (Note que // significa paralela).
Eixos: x = eixo das abscissas; y = eixo das ordenadas; a = plano cartesiano.
Agora, você pode notar que o plano cartesiano fica dividido em quatro quadrantes:
Estudar o sinal das funções:
Vídeo explicativo: https://www.youtube.com/watch?v=zKiaGDRtppo
Representação gráfica das funções Crescente e Decrescente
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a = 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Construir o gráfico da função y = 3x - 1
Para x = 0  y = 3 . 0 – 1 = -1, portanto, um ponto é (0, -1) 
Para y = 0, temos 0 = 3x – 1 x = 1/3 então outro ponto é (1/3, 0).
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a função y = 3x – 1 é crescente.
X > 0 = y > 0
X < 0 = y < 0
Construir o gráfico para a função y = -2x + 3
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -2x + 3 é decrescente.
X > 0 = y < 0
X < 0 = y > 0
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x, em que y é positivo, os valores de x em que y é zero e os valores de x em que y é negativo.
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. 
Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
Função Crescente: 1°) a > 0 (função crescente)
y > 0 ax + b > 0  x > -b/a
y < 0 ax + b < 0  x < -b/a
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz.
Função Decrescente: 2°) a < 0 (função decrescente)
y > 0 ax + b > 0   x < -b/a
y < 0   ax + b < 0 x > -b/a
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
FUNÇÃO RECEITA, FUNÇÃO LUCRO E PONTO DE EQUILÍBRIO
1050/5 = 210
2/7 * 1050 = 2100/7 = 300
210 + 300 = 510 1050 – 510 = 540.
Ex: P = 3
C = 10,00 + 0,30 (3-1) C = 10,00 + 0,30 x 2 C = 10,00 + 0,60 C = 10,60
2,00 x = 4000 + 1,20x
2,00x – 1,20x = 4000
0,80x = 4000
X = 4000/0,80
X = 5.000,00
A análise do Ponto de Equilíbrio é apenas um guia que evidencia o relacionamento existente entre os fatores que afetam o lucro. Tem grande importância para a decisão gerencial, mas é preciso levar em conta que suas premissas são difíceis de se realizar na vida real.
O cálculo do ponto de equilíbrio pode ser feito por três métodos:
Método da Equação
Método da Margem de Contribuição
Método do gráfico
MÉTODO DA EQUAÇÃO
Vendas = Custo variável + Custo fixo + Lucro líquido
Exemplo: 
Preço de venda unitário: R$10,00
Custo variável unitário: R$4,00
Custo Fixo: R$150.000,00
Quantas unidades devem ser produzidas para que seja alcançado o Ponto de equilíbrio?
10x = 4x + 150000 + 0
10x – 4x = 150000
6x = 150000 x = 150000/6 x = 25.000 unidades.
CUSTO FIXO: Os custos fixos são aqueles que incorrem independentemente do volume da produção. Exemplos: Aluguel, IPTU, salários da administração, depreciação das máquinas e equipamentos.
VENDAS: é o faturamento bruto, resultante das vendas.
CUSTOS VARIÁVEIS: São aqueles que dependem diretamente do volume da produção. Exemplos: matéria-prima, consumo de energia da fábrica, pagamentos a fornecedores, impostos sobre as vendas.
LUCRO LÍQUIDO: é o resultante das transações, já deduzidos todos os custos e os impostos.
MÉTODO DA MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO:
Utiliza a margem de contribuição por unidade de saída de produção necessária para calculas o ponto de equilíbrio.
Margem de contribuição unitária é o preço de venda unitário menos o custo variável unitário (PVU – CVU).
Considerando os dados anteriores, calcular o ponto de equilíbrio, levando em conta a margem de contribuição.
Preço de venda unitário: R$10,00; Custo variável unitário: R$4,00; Custo Fixo: R$150.000,00
PVU – CVU: 10 – 4 = 6
Vamos usar o lucro zero por ser o ponto de equilíbrio, ou seja, receita = custo.
X = 150000 + 0/6 X = 25.000 unidades.
MÉTODO GRÁFICO:
Exemplo: Um equipamento de informática é comprado por R$12.000,00. Sua depreciação normal é realizada em cinco anos.
Qual será o valor estimado desse equipamento ao fim de três anos?
Valor da depreciação anual: 12000
12000/5 = 2.400
Depreciação ao fim de três anos:   2.400 x 3 = 7.200
Valor estimado ao fim de três anos: 12.000- 7.200 = R$4.800,00
Qual o valor da depreciação mensal desse equipamento?
Valor da depreciação mensal: 2.400/12 = R$200,00 OU 12.000/60 = R$200,00(5 anos equivale a 50 meses)
7500 – 1200 = 6300 6300/72 = 87,50 (6 anos equivale a 72 meses; A depreciação anual do carro é de R$87,50)
87,50 x 48 = 4.200 7500 – 4200 = R$3.300,00 (4 anos equivale a 48 meses; R$3.300 é o valor do carro após 4 anos de uso).
TELETRANSMITIDA:
Função Custo Total (Ct): Fornece o custo referente à produção de uma certa quantidade de determinado bem.
Custo fixo: independe da quantidade produzida.
Custo variável: depende da quantidade produzida.
Função Receita total (Rt): Determina o valor total recebido (ou a receber) com a venda de uma certa quantidade de bens ou serviços. Rt = p*Q (Preço de venda * Quantidade produzida)
Equilíbrio da firma: Ponto de equilíbrio de uma empresa ocorre quando o Custo total = Receita total. Quando o custo se iguala a receita, não há lucro, mas também não há prejuízo.
Como determinar funções que representem o custo e a receita?
Função Lucro total (Lt): Determina a diferença entre Receita e Lucro L = R – C
Uma impressora matricial é vendida por R$200,00 a unidade. O custo fixo é de R$1.600,00. O custo de produção de cada impressora é de R$120,00.
Obtenha as funções custo total e receita total desse produto.
Custo total = 1600 + 120x
Receita total = 200x
Determine, algébrica e graficamente, o ponto de equilíbrio (ou de nivelamento).
200x = 1600 +120x
200x – 120x = 1600
80x = 1600
X = 1600/80
X = 20 unidades. 
Ct = 1600 + 120*20 = 4000 = Rt = 200*20 = 4000
Ponto de equilíbrio (20;4000)
Obtenha a função Lucro Total
L = R – C
Lt = 200x – (1.600 + 120x)
Lt = 200x – 1.600 – 120x
Lt = 80x – 1600
Determine a quantidade que deve ser produzida e vendida para que o lucro seja de R$5.040,00
5040 = 200x – (1600 + 120x)
5040 = 200x – 1600 – 120x
200x – 120x = 5040 + 1600
80x = 6400
X = 6640/80
X = 83
Ponto de equilíbrio ocorre quando a Receita é igual ao Custo.
Uma empresa de refrigerantes apresenta custo fixo de R$100.000,00, custo unitário de R$0,60, e preço de mercado de R$2,00. Sendo assim, monte as funções custo total e receita total e encontreo ponto de equilíbrio.
Ct = 100000 + 0,60x
Rt = 2x
Ponto de equilíbrio: 2x = 100000 + 0,60x 2x – 0,60x = 100000 1,40x = 100000 x = 100000/1,40 x = 71.428,60
Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$15.000,00 por mês. Se cada peça produzida tem um custo de R$6,00 e o preço de venda é de R$10,00 por peça, quantas peças a indústria deve produzir para ter um lucro de R$30.000,00 por mês?
30000 = 10x – (15000 + 6x) 30000 = 10x – 15000 – 6x 4x = 30000 + 15000 4x = 45000 X = 45000/4 X = 11.250
Uma firma de serviços de fotocópia tem um custo fixo de R$800,00 por mês e custos variáveis de R$0,04 por folha que produz. Expresse a função custo total em relação ao número de páginas copiadas por mês. Se os consumidores pagam R$0,09 por folha, quantas folhas a firma tem que produzir para não ter prejuízo?
Ct = 800 + 0,04q
Rt = 0,09q
Lt = 0,09q - 800 - 0,04q 0,09q – 0,04q = 800 0,05q = 800 Q = 800/0,05 Q >= 16.000
RECEITA QUADRÁTICA, FUNÇÃO LUCRO QUADRÁTICA, FUNÇÃO QUADRÁTICA E INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
Nesta aula, estudaremos a receita quadrática, além da função lucro quadrática e as inequações do 2º grau.
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Definição de Função Quadrática: 
Chama-se função quadrática ou polinominal de 2º grau qualquer função f de R em R dada por: f(x) = ax² + bx + c
Onde a, b, c são números reais e a ≠ 0
Atividade proposta:
a) Determine m para que a função f(x) = (m-1)x² + 2x – 3 seja do 2º grau.
-mx² + 2x – 3 (m-1) ≠ 0 m ≠ 1
b) Determine o valor de p para que a função real f(x) = (p² - 5p + 4) x² - 4x + 5 seja do 2º grau
(2² - 5 . 2 + 4) x² - 4x + 5 -2x² - 4x + 5
c) Identifique os coeficientes a, b, c das seguintes funções quadráticas:
1) y = x² - 3x + 10 a = 1; b = -3; c = 10
2) y = -2x² - 5x + 1 a = -2; b = -5; c = 1
3) y = 3x² - 9 a = 3; b = 0; c = -9
4) y = x² + 2x a = 1; b = 2; c = 0
5) y = x² - 10x + 3 / 5 a = 1/5; b = -2; c = 5/3
6) y = 1 + x/2 – 3x² a = -3; b = 1/2; c = 1.
GRÁFICO 
O gráfico de uma função polinominal do 2º grau y = ax² + bx + c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.
X positivo = parábola voltada para cima.
X negativo = parábola voltada para baixo.
Valores máximos e mínimos de uma função de 2º grau 
Gráfico da função do 2º grau y = ax² + bx + c: é sempre uma parábola de eixo vertical.
Propriedades do gráfico y = ax² + bx + c: 
Se a > 0, a parábola tem um ponto mínimo e com a concavidade voltada para cima.
Se a < 0, a parábola tem um ponto de máximo e com a concavidade voltada para baixo.
O vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde:
Xv = -b/2ª
Yv = -D/4ª, onde D = b² - 4ac, isto é, fórmula de Bhaskara.
A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x’’, que são as raízes da equação ax² + bx + c = 0.
A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = -b/2a.
Ymax = -D/4a (a<0)
Ymin = -D/4a (a>0)
Forma fatorada: sendo x’ e x’’ as raízes de f(x) = ax² + bx + c;
Então, ela pode ser escrita na forma fatorada seguinte: y = a(x – x’).(x – x’’)
Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
Função Receita/Lucro quadrática
Função Lucro
O custo C para estampar x camisetas é dado por: C(x) = 1650,00 + 7,50x.
Inequações de 2º grau 
Estudo do Sinal da Função
LIMITES DE UMA FUNÇÃO
Nesta aula, você prenderá a calcular o limite com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções.
Noção intuitiva de limites 
Limite de função em um ponto.
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p.
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Seja a função f(x)=2x+1.
Como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1?
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x):
Propriedades dos limites
DERIVADAS
Veremos nesta aula algumas técnicas de derivação como: Derivada da Função Potência, Derivada de uma Constante, Derivada de uma Constante Multiplicada por uma Função, Derivada de uma Soma, Derivada do Produto e Derivada do Quociente. 
Derivada da Função Potência 
Em Física, ela é usada para o estudo dos movimentos 
Em Economia, Administração e Logística, é usada na determinação de máximos e mínimos de gráficos e funções e no cálculo de taxas de variações.
Derivada de uma função 
Derivadas 
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’.
As regras de derivação são bem simples:
De constante: é sempre igual a zero: y = 5 y’ = 0
De potência: a potência vira multiplicador e subtrai-se 1 da potência.  (Exemplo:y^4= x y’ = 4x³)  
De soma ou subtração: y = f + g y’ = f’--g’
De produto: y = f . g y’ = f’ . g + f . g’
Derivada da Função Potência 
Taxa Média de Variação de uma função y = f(x) no intervalo [a, b] 
No intervalo [1, 3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida em x.
Exemplos:
Cálculo da Derivada em um Ponto 
Calcular o valor da derivada de y = 3x2 + 10x – 50 no ponto p = 0,8 e interprete o resultado obtido.
y = 3x2+ 10x – 50 no ponto p=0,8
Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10
Cálculo do valor da função derivada no ponto p=0,8:
y’ (0,8)=6(0,8) + 10 = 14,8
Interpretação: 
no ponto p=0,8 a tendência da função y=3x2+10x–50 é crescer 14,8.
Se o custo de um produto em função da quantidade produzida é dado por: CT = q³ –3q² + 100q + 1000, deve-se calcular a tendência à variação do custo com a quantidade, relativa ao valor do custo quando a quantidade é de 50 unidades.
CT = q³ –3q² + 100q + 1000
Para calcularmos a tendência à variação quando a quantidade for exatamente no ponto de quantidade igual a 50, teremos que calcular primeiro a derivada da função custo em relação à quantidade.
CT’ = 3q² –6q + 100
Derivada do Produto de Duas Funções:  y = f(x) . g(x) 
Derivada do Quociente de duas funções