TRABALHO ENERGIA

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Física I Professor: Gil Marcos Jess 
 
 
 
 
 
TRABALHO E ENERGIA 
 
Introdução. 
 
Trabalho e Energia são duas grandezas físicas escalares associadas com o 
movimento de uma partícula. Se há movimento é porque atua sobra a partícula 
uma força externa que lhe modifica a velocidade a cada ponto da sua trajetória, 
durante o tempo em que atua sobre a partícula. Evidentemente, não estamos 
considerando que o movimento do corpo seja uniforme, caso em que a resultante 
das forças externas atuantes é nula. Veremos que devido a ação externa sobre a 
partícula, o trabalho realizado está relacionado a energia de movimento da 
partícula, sua energia cinética. (Neste caso, o sistema em consideração é a 
partícula.). 
 
Definição. 
 
Definimos, sem rigor matemático, o trabalho realizado por uma força externa sobre 
uma partícula como o produto da força na direção do movimento pelo 
deslocamento produzido no intervalo de tempo considerado. Pela figura abaixo, 
tem-se que: 
 
 
 
 
τ = F.cos.d 
 
 
 
 
Ou seja : dF  
Observamos também que devido às propriedades do produto escalar, qualquer 
força que tenha uma ação numa direção ortogonal, ou perpendicular, à trajetória 
da partícula, durante o deslocamento do corpo, não estará realizando trabalho, 
visto ser o produto escalar nulo. É o caso da força centrípeta que modifica a direção 
do vetor velocidade V, mas não realiza trabalho sobre a partícula, porque é 
perpendicular ao deslocamento. 
Além do mais o trabalho W também pode ser positivo ou negativo, conforme a 
força e o deslocamento tenham a mesma direção de movimento, ou tenham 
sentidos contrários. 
Observemos que para pequenos deslocamentos, deslocamentos infinitesimais, o 
trabalho W elementar, deve ser escrito como 
 
dτ = F○dr [ onde o símbolo “○” representa o produto escalar ] 
 
Portanto, para um percurso completo, durante o tempo t do movimento, devemos 
ter que o trabalho total τ realizado pela força externa atuante sobre o corpo será : 
 
 
r
r
drF
0
 
 
 
 
Onde o sinal “” significa a integral da função força F, nos limites de integração 
considerados. 
 
 
Trabalho e Energia. 
 
Suponhamos que uma força externa F esteja atuando sobre uma partícula de 
massa m, ao longo do deslocamento desta em uma trajetória qualquer. Lembrando 
que a força é regida pela 2a lei de Newton, podemos escrever que: 
rd
dt
vd
m


 = 
dt
rd
vmd


 = vvmd  
 
Portanto, o trabalho total τ será expresso por : 
 
τ = 

f
i
mvdv
 = 
22 )2/1()2/1( if mvmv 
 
 
A quantidade escalar, (1/2)mv2, definimos como energia cinética da partícula, EC. 
Portanto, concluímos que o trabalho realizado por uma força externa sobre 
uma partícula em sua trajetória, corresponde à variação da energia 
cinética da partícula. Este é o chamado Teorema das Energias Cinéticas, ou 
Teorema do Trabalho-Energia Cinética. O trabalho τ modifica a energia cinética 
EC da partícula, pelo fato que a força externa modifica a velocidade da partícula. 
 
 
Trabalho realizado por força variável. 
 
Observe-se que no teorema das energias cinéticas, a força atuante, é uma força 
constante. Geralmente, as forças da natureza são dependentes de posição, como a 
força gravitacional, elétrica ou magnética, e outras; ou são dependentes de 
velocidade, como as forças viscosas ou resistentes (de atrito). 
 
Há que se estabelecer, o trabalho realizado por forças que sejam dependentes da 
posição explicitamente. Para tal, estabeleçamos o trabalho realizado por uma mola 
no sistema massa-mola. 
 
Sistema massa-mola. 
 
 
O sistema massa-mola é constituído por uma mola e uma massa M, ligada a uma 
das suas extremidades, enquanto a outra extremidade da mola é fixa a um ponto 
P. A mola é um sistema físico que obedece à chamada lei de Hooke, onde a força 
exercida pela mola é proporcional à elongação da mola. 
Define-se elongação da mola, à diferença entre seu comprimento no estado de 
repouso, L0, e seu comprimento final L. Nestas condições, a mola pode estar 
elongada ou comprimida, conforme o seu comprimento final seja maior ou menor 
que L0. Quando em seu estado de elongação a mola exerce uma força no sentido de 
recuperar o seu comprimento inicial L0; e quando comprimida, exerce também uma 
força no sentido de recuperar o seu comprimento inicial L0. Por isso, se diz que a 
mola é um sistema restaurador, sua tendência é sempre voltar ao seu estado 
natural ou comprimento inicial L0. Por esta razão, a expressão da força exercida 
por uma mola é dada por: 
 
F = - k.∆x 
 
Onde ∆x é a diferença L – L0. O sinal (-) indica que a força exercida pela mola é 
uma força restauradora. Fixado o comprimento inicial da mola, podemos tratar a 
força exercida pela mola como uma força dependente de posição x. 
 
Para deslocamentos infinitesimais, deslocamentos muito pequenos, então o 
trabalho dτ, realizado pela mola deverá ser expresso por 
 
d τ = F(x)dx 
 
 E para uma trajetória aleatória, entre dois pontos quaisquer x1 e x2, o trabalho 
total realizado será dado por: 
 
τ = 

2
1
)(
x
x
dxxF
 
onde o sinal -  - indica a somatória de um número muito grande de trabalhos 
infinitesimais dτ 
 
No caso da mola, então, visto que F(x) = -K.x, teremos que: 
 
τ = -

2
1
.
x
x
dxkx
= (1/2)kx2
2
 – (1/2)kx1
2
 
 
Significado da relação entre trabalho τ e força F. 
 
 
 
A força exercida pela mola é sempre proporcional à elongação x. Portanto, num 
gráfico de F contra x, este seria linear, como expresso acima. 
 
A região entre x1 e x2, é uma região trapezoidal. Ora, a sua área é dada pelo 
produto da base média, (F1 + F2)/2 multiplicado pela altura x = x2 – x1. Portanto, 
temos que: 
 
Área = (1/2)kx2
2 – (1/2)kx1
2 
 
Donde se conclui que o trabalho realizado pela força externa F(x) durante um 
deslocamento x seja igual a área sobre a curva F versus x. 
 
 
Generalização. 
 
Embora tenhamos deduzido uma relação entre trabalho τ e força F dependente de 
posição x, para o caso particular do sistema massa-mola, para qualquer força 
dependente de posição, F(x), o trabalho realizado em uma trajetória aleatória entre 
dois pontos quaisquer x1 e x2 , será dado por 
 
τ = 

2
1
)(
x
x
dxxF
 
 
Tendo como significado que a área sob a curva F versus x, corresponde a este 
trabalho realizado pela força externa. É evidente que do ponto de vista matemático, 
a integral de uma função corresponde à área sob a curva da respectiva função. 
 
 
A figura acima expressa o fato de que podemos, dado um intervalo x, subdividi-lo 
em iguais intervalos, de tal modo que a área de um deles diferencie da área sob a 
curva neste intervalo, por uma pequena quantidade, representada pela área 
limitada pela região pontilhada, de tal modo que não haja erro significativo em 
considerar a área do retângulo, com a área sob a curva. 
A área sob a curva entre os pontos 1 e 2, será dada pela soma das áreas dos 
retângulos. Quando o número de retângulos é muito grande, a soma passa à 
integral, no limite que o intervalo x se torna um infinitésimo. Neste caso, 
se justifica a afirmativa de que a área sob a curva é a integral da função nos 
limites considerados. 
 
 
ENERGIA 
 
O que é Energia? 
Sem dúvida nenhuma energia é o termo técnico, originário da Física, mais 
empregado em nossa vida cotidiana.Muitos livros definem energia como 
"capacidade de realizar trabalho".Mas esta é uma definição limitada a uma área 
restrita: a Mecânica. Um conceito mais completo de energia deve incluir outras 
áreas (calor, luz, eletricidade, por exemplo). À medida que procuramos abranger 
áreas da Física no conceito de energia, avolumam-se as dificuldades para se 
encontrar uma definição concisa e geral. 
A quantidade que chamamos energia pode ocorrer em diversas formas. Energia 
pode ser transformada, ou convertida, de uma forma em outra (conversão de 
energia). 
 
 
Energia Mecânica 
Chamamos de Energia Mecânica a todas as formas de energia relacionadas com o 
movimento de corpos ou com a capacidade de colocá-los em movimento ou 
deformá-los. 
A conservação da Energia Mecânica 
Uma força é chamada conservativa, quando pode devolver o trabalho realizado 
para vencê-la. Desse modo, o peso de um corpo e a força elástica são exemplos 
desse tipo de força. No entanto, a força de atrito cinético, que não pode devolver o 
trabalho realizado para vencê-la, é uma força não-conservativa, ou dissipativa 
(ocorre degradação da energia mecânica). 
Isso quer dizer que, em um sistema no qual só atuam forças conservativas 
(sistema conservativo), a ENERGIA MECÂNICA (EM) se conserva, isto é, mantém-se 
com o mesmo valor em qualquer momento, mas alternando-se nas suas formas 
cinética e potencial (gravitacional ou elástica). 
teconsEEE PCM tan
INICIALMFINALMmASDISSIPATIVFORÇAS EEE ___  
 
Classes de energia mecânica 
 
1)Energia Cinética (EC) 
Todo corpo em movimento possui uma energia associada a esse movimento que 
pode vir a realizar um trabalho (em uma colisão, por exemplo). A essa energia 
damos o nome de energia cinética. 
Matematicamente 
2
. 2vm
Ec  
 Onde m é a massa e v é o módulo da velocidade do corpo. 
 
 
2) Energia Potencial 
A energia de um sistema com respeito a sua posição em relação a um sistema de 
referência pode ser definida como sua energia potencial, energia de posição. É uma 
função de posição. 
 
Energia Potencial Elástica. 
 
 
 
Para uma mola de constante elástica K, podemos definir a sua energia potencial 
elástica pela expressão: 
 
 
2
2kx
EPe 
 
 
É a energia potencial da mola que tem capacidade de realizar trabalho sobre o 
corpo de massa M, ao qual está ligada. 
O trabalho realizado pela força elástica da mola sobre o corpo de massa M, está 
associado à energia potencial da mola pela relação: 
 
τ = - EP 
 
Por outro lado, o trabalho realizado pela força externa sobre um corpo, corresponde 
à variação da sua energia de movimento, ou sua energia cinética, 
 
τ = EC 
 
Deste modo tem-se que, 
 
EC = - EP 
 
resultando que 
 
EC + EP = 0 
 
Se definirmos uma grandeza física associada com a soma das energias potencial e 
cinética, por energia mecânica ou total do sistema, EM, de modo que: 
 
EM = EC + EP 
 
Concluímos que a variação da energia mecânica do sistema massa-mola é nula. Ou 
seja, 
 
EM = 0 
 
Implicando que EM a energia mecânica do sistema é uma constante. 
 
No sistema massa-mola, a força atuante, é a força exercida pela mola, e de um 
modo geral, tem-se que o trabalho realizado pela mola será dado por: 
 
τ = 

2
1
)(
x
x
dxxF
 
 
E vê-se que se a posição inicial x1 coincide com a posição final x2, resultará que o 
trabalho τ, será nulo, qualquer que seja o caminho entre as posições inicial e 
final. Quando isto acontece, dizemos que a força atuante sobre o sistema é uma 
força conservativa. A energia mecânica do sistema massa-mola, definida como 
acima, é conservada. 
 
Veja-se também que o trabalho realizado pela força elástica sobre o corpo de 
massa M, depende apenas dos pontos inicial e final da trajetória entre eles. Quando 
isto acontece, dizemos que a força atuante sobre o sistema é uma força 
conservativa. A energia mecânica do sistema massa-mola, como acima definida, é 
conservada. 
 
Energia Potencial Gravitacional. 
 
 
 
Semelhantemente, a energia potencial gravitacional de um corpo estará associada 
com a sua posição relativa a um referencial, em um campo gravitacional. É o caso 
de um corpo de massa m, a uma altura h de uma superfície. 
A sua energia de posição será definida como: 
 
 
mghEPg 
 
 
Visto que este é o trabalho τ realizado por um agente externo para transportar o 
corpo para a altura h, contra a ação gravitacional que atua sobre o corpo 
continuamente, através da força Peso, P, nas proximidades da superfície terrestre. 
 
A relação entre o trabalho τ realizado pela ação gravitacional e a energia potencial 
gravitacional do corpo de massa M, é dada por : 
 
 τ = - EPG 
 
Visto que se aplica o teorema das energias cinéticas, tem-se que: 
 
EC + EPG = 0 
 
Outra vez, definindo-se a energia mecânica EM, como a soma das energias cinética 
e potencial gravitacional do corpo de massa M, tem-se que esta é uma constante 
de movimento do sistema. 
 
Observe-se que o trabalho realizado pela ação gravitacional sobre o corpo de 
massa M, depende apenas da posição do corpo com referência a superfície 
terrestre, de modo que é também independe do caminho percorrido entre os 
pontos inicial e final da trajetória do corpo de massa M, e é nulo quando o ponto 
inicial coincide com o ponto final. 
 
Generalização. 
 
Visto que o trabalho realizado pela força externa está associado com a energia 
potencial do sistema, qualquer que seja ele, pela relação: 
 
τ = - EP 
 
Podemos escrever que: 
 
F(x)x = - EP 
 
Chamando genericamente a energia potencial de U, e considerando os infinitesimais 
de energia e posição pode-se escrever que: 
 
F = - 
dx
dU 
 
A expressão acima diz-nos que uma vez conhecida a forma funcional da energia 
potencial do sistema U(x), unidimensionalmente, a força atuante sobre o sistema 
pode ser derivada dela com respeito a posição. 
 
A expressão acima estabelece que a força atuante sobre um sistema é o gradiente 
da energia potencial do sistema. Embora tenhamos trabalhado 
unidimensionalmente, a relação tem validade tridimensional. 
 
Do exposto, segue-se que em casos nos quais a força seja derivada de posição, 
podemos relacionar a conservação de energia mecânica do sistema, com a 
ação de forças que sejam dependentes de posição. 
 
 
Dissipação de Energia. 
 
Existem algumas forças que atuando, não podem ser encontradas como derivadas 
de um potencial dependente de posição. Algumas destas forças são aquelas de 
atrito que são dependentes de velocidade, e a força de atrito constante entre duas 
superfícies em contato. A característica da força de atrito é ter direção contrária ao 
movimento do corpo. 
Portanto, em geral um corpo em movimento estará sujeito a forças que são 
dependentes de posição e algumas que não o são. Entretanto, de qualquer modo, o 
trabalho realizado pelas forças atuantes será sempre correspondente à variação da 
energia cinética do sistema. Então: 
 
i τ i = EC 
 
Onde o sinal i significa a somatória de todos os trabalhos realizados por todas as 
forças atuantes. 
Como temos visto, em alguns casos, o trabalho realizado pela força está associado 
à energia potencial do sistema, de modo que: 
 
τ i = - EPi 
 
Se pelo menos uma das forças for não dependente de posição, o seu trabalho τ i 
não estará relacionado a uma função energia potencial. Então neste caso, podemos 
escrever que: 
 
τ np = EC + i EPi 
 
Onde o segundo termo do lado direito da equação significa a soma de todas as 
energias potenciais, associadas com todasas forças dependentes de posição, que 
atuam no sistema. 
À soma das energias cinética e potencial, definimos como energia mecânica do 
sistema, como já o fizemos anteriormente, de modo que: 
 
τ np = EM 
 
É característico o fato da força de atrito ser contrária ao movimento do corpo, 
portanto, dissipando a energia mecânica do sistema. 
A equação acima expressa o fato de que o trabalho realizado por força não 
dependente de posição corresponde à variação da energia mecânica do sistema. 
 
 
Potência: 
 
A variável tempo não é envolvida na definição de trabalho. A mesma quantidade de 
trabalho é realizada para levantar um certo peso a uma certa altura, quer seja 
realizado em 1s, 1h ou 1`ano. Em muitas situações, porém, é necessário 
considerar a taxa temporal com que o trabalho é realizado, bem como a quantidade 
total de trabalho executada. A taxa temporal com que o trabalho é realizado por 
um agente é chamada potência. 
Se uma quantidade de trabalho Δτ é realizada num intervalo de tempo Δt, a 
potência média é definida como: 
 
 
 
t
P



 
 
Se a taxa com a qual o trabalho é realizado não for constante, esta razão poderá 
variar. Neste caso define-se potência instantânea como o limite deste quociente 
quando Δt tender para 0(zero). 
 
 
dt
d
t
P
t





 0
lim
 
A unidade de potência no Sistema Internacional (SI) é um joule por segundo (J/s) 
que é chamado watt (W). A unidade do sistema CGS é um erg por segundo (erg/s). 
Outra unidades também são empregadas como o cavalo-vapor (cv), equivalente a 
735,5 W e o hp ( horse-power) equivalente a 746W. 
 
A relação Potência Velocidade: 
 
Aplicando-se uma força F a uma partícula enquanto ela percorre uma distância Δx, 
sendo Fx a intensidade da componente de F tangente à trajetória, então, o trabalho 
de F é dado por: 
 
 Δτ = Fx .Δx, portanto a potência média será dada por: 
 
 
 
vF
t
x
F
t
P xx .. 






 
 
e a potência instantânea será dada por: 
 
 
 
 vFP . 
onde v é a velocidade instantânea. 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS TRABALHO – ENERGIA 
 
 TRABALHO: 
 
1. Para empurrar um caixote de 50 Kg num piso sem atrito, um operário aplica 
uma força de 210 N, dirigida 30o acima da horizontal. Se o caixote desloca 
de 3 m., qual o trabalho executado sobre o caixote : 
a) Pelo operário.(545,58J) 
b) Pelo peso do caixote.(0J) 
c) Pela força normal exercida pelo piso sobre o caixote.(0J) 
d) Qual o trabalho total realizado sobre o caixote.(545,58J) 
 
2. Um objeto de 102 Kg está inicialmente se movendo em linha reta com uma 
velocidade de 53m/s. Se ele sofre uma desaceleração de 2m/s2 até ficar 
imóvel. 
a) Qual a intensidade da força utilizada(204N) 
b) Qual a distância percorrida pelo objeto antes de parar.(702,25m) 
c) Qual o trabalho executado pela força de desaceleração.(-143259J) 
 
3. (Exemplo) Um bloco de gelo flutuante sofre um deslocamento d = 15 i – 
12 j ao longo de uma margem reta por efeito de uma corrente de água que 
exerce uma força F = 210 i – 150 j sobre o bloco. Qual o trabalho 
executado pela corrente sobre o bloco durante o deslocamento? 
 
4. (Exemplo) Qual o trabalho realizado por uma força F = 2x i + 3j, onde x 
está em metros, que é exercida sobre uma partícula enquanto ela se move 
da posição r1 = 2 i + 3 j para a posição r2 = - 4i - 3j ? 
 
5. Um bloco de 3,57 Kg é puxado com velocidade constante por uma distância 
de 4,06 m em um piso horizontal por uma corda que exerce uma força de 
7,68 N fazendo um ângulo de 15o acima da horizontal. Calcular: 
 
a) O trabalho executado pela corda sobre o bloco.(30,12J) 
b) O coeficiente de atrito entre o bloco e o piso.(0,22) 
 
 
 
ENERGIA: 
 
6. Uma força age sobre uma partícula de 3 Kg de tal forma que a posição d 
partícula em função do tempo é dada por x = 5t-3t2+2t3, onde x está em 
metros e t em segundos. Determinar o trabalho executado pela força entre t 
=0s e t=5s.(33750J) 
 
7. Um bloco está preso a uma mola cuja constante K = 2100N/m e se move da 
posição de equilíbrio até x = 0,14 m. qual o trabalho realizado pela força da 
mola (lembre-se que F = - K.x) 
 
8. Uma bala de 1,5g com velocidade de 420m/s penetra 0,14 m em um bloco 
de madeira fixo. Qual o trabalho realizado pelo bloco para deter a bala? 
 
9. Você empurra um bloco de 2Kg contra uma mola horizontal, comprimindo-a 
em 15cm. Quando solta o bloco, a mola faz com que ele deslize numa mesa 
até parar, depois de percorrer uma distância total de 75 cm. A constante da 
mola vale 200N/m. Qual é o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a 
mesa? (0,191) 
 
10. Um bloco está subindo uma rampa de 40º. Em um ponto a 0,5 m do início 
da rampa, possui uma velocidade de 1,3m/s. O coeficiente de atrito 
dinâmico entre o bloco e a rampa é 0,15.Determinar: 
 
a) A distância adicional percorrida pelo bloco até parar? (0,1m) 
b) A velocidade do bloco ao chegar de volta à base da rampa? 
(2,8m/s)