CAP. 3 PROBABILIDADE

Prévia do material em texto

55 
CAPÍTULO 3 
PROBABILIDADE 
 
1. Conceitos 
 
1.1 Experimento determinístico 
 
 Um experimento se diz determinístico quando repetido em mesmas condições conduz a resultados 
idênticos. 
 
Exemplo 1: 
 De uma urna que contém 6 bolas branca, tira-se uma bola e verifica-se sua cor, sempre ocorrerá bola 
branca. 
 
1.2 Experimento aleatório 
 
 Um experimento se diz aleatório quando repetido em mesmas condições conduz a resultados diferentes. 
Exemplo 2: 
 No lançamento de um dado é impossível prever exatamente qual a face que estará voltada para cima. 
 A teoria das probabilidades desenvolve modelos que podem ser utilizados no estudo de fenômenos 
aleatórios. 
 
2. Espaço amostral 
 
Situação-problema: 
 Uma urna contém cinco bolas brancas e uma preta. Extraindo-se uma bola, qual é a cor mais provável? 
 Casos possíveis são: S={B,B,B,B,B,P}. Portanto as brancas têm mais chances que a preta. Neste caso 
usaremos a fórmula introduzida pelo Italiano Cardano (1501-1576), dada pelo quociente do número de casos 
favoráveis pelo número de casos possíveis. Assim a probabilidade da extração da bola branca 
5
( )
6
p B 
 e da 
bola preta é 
1
( )
6
p P 
. 
 Chama-se espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer e indicaremos pela 
letra S. 
 Na situação-problema o espaço amostral é dado por S={B,B,B,B,B,P}. 
 
3. Evento de um espaço amostral 
 
 Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. 
Exemplo 3: 
Dar o espaço amostral para o lançamento de duas moedas, observando as faces voltadas para cima. 
 Chamando de C a face cara e de R a face coroa, podemos escrever seu espaço amostral: 
 , , ,S CC CR RC RR
e definimos os eventos: 
 A: ocorre duas caras, 
 A CC
 e B: ocorre faces iguais, 
 ,B CC RR
 
Exemplo 4: 
No lançamento de um dado, dar o espaço amostral e os elementos do evento número par. 
 Seu espaço amostral é dado por todos os acontecimentos possíveis, isto é: 
 
 1,2,3,4,5,6S 
.Seu evento número par é dado por 
 2,4,6P 
 
 56 
 
3.1 União de eventos de um espaço amostral 
 
 Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, chama-se união de A e B ao evento formado pelos 
resultados de A ou B e indicamos por 
A B
. 
 
3.2 Intersecção de eventos de um espaço amostral 
 
 Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, chama-se intersecção de A e B ao evento formado 
pelos resultados de A e B e indicamos por 
A B
. 
 
3.3 Evento complementar 
 
 Chama-se evento complementar do evento A aquele formado pelos resultados que não são de A e 
indicamos por 
A
 ou ainda 
 |A x S x A  
. 
Exemplo 5: 
 No lançamento de um dado, determinar 
a) Seu espaço amostral; 
b) A: elementos do evento número par; 
c) B: elementos do evento número ímpar; 
d) C: elementos do evento número primo; 
e) D: elementos do evento número par ou primo; 
f) E: elementos do evento número par e primo e 
g) F: elementos do evento complementar do número par. 
 
Solução: 
a) Seu espaço amostral é dado por todos os acontecimentos possíveis, 
 1,2,3,4,5,6S 
. 
b) Seu evento número par é dado por 
 2,4,6A 
. 
c) Seu evento número ímpar é dado por 
 1,3,5B 
. 
d) Seu evento número primo é dado por 
 2,3,5C 
. 
e) Seu evento número par ou primo é dado por 
 2,3,4,5,6D A C  
. 
f) Seu evento número par e primo é dado por 
 2E A C  
 
g) Seu evento complementar do número par é 
 1,3,5F A B  
 
4. Conceito de probabilidade 
 
 Em um experimento aleatório e para um determinado evento, há sempre um grau de incerteza quanto a 
sua ocorrência, ou não. Procuraremos fazer afirmações com respeito às chances de cada evento, isto é, seus 
possíveis resultados. 
 Seja o espaço amostral finito 
 1 2 3, , ,..., nS a a a a
. A cada evento elementar atribuímos um número real 
que corresponde à chance de ser o resultado do experimento. Assim, 
 O evento 
1a
com chance 
1( )p a
 
 O evento 
2a
com chance 
2( )p a
 
 O evento 
3a
com chance 
3( )p a
 
 ............................................... 
 O evento 
na
com chance 
( )np a
, com 
( )ip a
 satisfazendo as condições: 
 57 
 a) Cada 
( )ip a
 é um número real maior ou igual a zero, porém menor ou igual a 1. 
 b) A soma 
1( )p a
+
2( )p a
+
3( )p a
+...+
( )np a
=1. 
 Dessa maneira, denominamos de probabilidade 
( )ip a
 do evento 
ia
. 
 Exemplo 6: 
No lançamento de um dado e observando a face superior, temos o espaço amostral 
 1,2,3,4,5,6S 
e 
cada uma das seis faces tem a mesma probabilidade, isto é, 
 a)
1
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 0
6
p p p p p p      
 
 b) 
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1p p p p p p     
 
 
Observação 1: Se o evento for o espaço S, então 
( ) 1p S 
 e denomina-se probabilidade do evento certo. 
Observação 2: Se o evento for o subconjunto vazio de S, então 
( ) 0p  
. 
Observação 3: Se A é um evento qualquer de S, então
0 ( ) 1p A 
 
 
4.1 Probabilidade no espaço amostral equiprovável 
 
Um espaço se diz equiprovável quando os seus eventos elementares ocorrem com probabilidades iguais. 
Neste caso a probabilidade de cada evento elementar de S é dada por: 
1
( )
( )
p A
n S

, sendo 
( )n S
 número de 
elementos do espaço amostral. 
 Sendo A um evento de S com 
( )n A
elementos, então a probabilidade de A é dada por: 
 
 
( ) º
( )
( ) º
n A n deelementos de A
p A
n S n de elementos de S
 
, ou ainda 
 
 
( ) º
( )
( ) º
n A n de casos favoráveis a A
p A
n S n de casos possíveis de S
 
 
Exemplo 7: 
No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de obtermos duas coroas? 
Solução: 
Espaço amostral: 
 ( ) ( , ), ( , ), ( , ), ( , )n S c c c r r c r r
, sendo c: caras e r: coroa. 
 Evento 
 ( , )A r r
, logo, 
( ) 1
( )
( ) 4
n A
p A
n S
 
 
Exemplo 8: 
 Tira-se ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que seja a) carta de ás? 
b) figura? c) carta de ouro? d) carta vermelha? 
Solução: O espaço amostral: 
( ) 52n S 
 cartas 
a) Se A: carta de ás, então 
( ) 4 1
( )
( ) 52 13
n A
p A
n S
  
 
b) Se F: carta figura, então 
( ) 12 3
( )
( ) 52 13
n F
p F
n S
  
 
c) Se O: carta de ouro, então 
( ) 13 1
( )
( ) 52 4
n O
p O
n S
  
 
d) Se V: carta vermelha, então 
( ) 26 1
( )
( ) 52 2
n V
p V
n S
  
 
 58 
 
4.2 Definição de Probabilidade 
 
 Seja p uma função definida no conjunto das partes de S, 
( )S
e imagem no conjunto dos reais [0,1], isto 
é, 
: ( ) [0,1]p S 
, satisfazendo as propriedades: 
 
 a) 
( ) 1p S 
(probabilidade do evento certo) 
 b) 
( ) ( ) ( ) ,parai j i j i jp A A p A p A se A A i j     , então p é uma função de probabilidade relativa 
ao evento A. 
 O par 
 ,S p
denomina-se espaço de probabilidade. 
4.3 Teoremas 
 
Teorema 1: 
 Se A e B são eventos quaisquer de S, então 
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B    
. 
Demonstração: Escrevendo 
A B
 e B como dois eventos mutuamente excludentes e usando a propriedade b, 
segue: 
 A 
 B 
 
 
 
 
 
( )A B A B A   
 

( ) [ ( )] ( ) ( )p A B p A B A p A p B A      
 (I) 
 
( ) ( )B A B B A    ( ) ( ) ( )p B p A B p B A    
 (II), subtraindo(I) de (II), segue 
 
( ) ( ) ( ) ( )p A B p B p A p A B    
, logo 
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B    
. 
 
Teorema 2: 
 Se A e 
A
 são eventos de S, então 
( ) 1 ( )p A p A 
 
Demonstração: Sabemos que 
S A A 
 e usando a propriedade b, segue: 
 
 
( ) ( ) ( )p S p A P A 
, mas 
( ) 1p S 
e assim 
( ) ( ) ( ) 1p S p A P A  
 e, portanto, 
 
 
( ) 1 ( )p A p A 
 
 
Teorema 3: 
 Se 

 é um evento de S, então 
( ) 0p  
 
Demonstração: Para qualquer evento A, podemos escrever 
A A 
 e usando a propriedade b, segue: 
 
( ) ( ) ( ) ( )p A p A p p A    , logo, ( ) 0p   
 
Teorema 4: 
 Se A, B e C são eventos quaisquer de S, então 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p A B C p A p B p C p A B p A C p B C p A B C             
 
 
Demonstração: A demonstração consiste em escrever 
A B C 
na forma 
( )A B C 
 e aplicar o teorema 1. 
 59 
 
Exemplo 9: 
 
Se 
( ) 0,7p A 
 e 
( ) 0,2p B 
, determinar 
( )p A B
 nos casos 
 a) 
( ) 0,1p A B 
 
 b) A e B mutuamente exclusivos. 
 
Solução: 
 a) Sabemos pelo teorema 1 que 
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B    
e substituindo 
 
 
( )p A B
=0,7+0,2-0,1=0,8 
 
 b) Se A e B mutuamente exclusivos, então 
( ) 0p A B 
, logo 
 
 
( )p A B
=0,7+0,2=0,9 
 
Exemplo 10: 
 Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par? 
Solução: 
 Sejam os eventos: 
 A: sair número 4, logo 
( ) 1n A 
 
 B: sair número par, logo 
( ) 3n B 
, e 
( ) 1n A B 
. Pelo teorema 1, segue 
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B    
e substituindo
( )p A B
=
1 3 1 3 1
6 6 6 6 2
   
 
 
Exemplo 11: 
Uma urna contém 20 etiquetas numeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade de retirarmos um número que 
seja primo ou quadrado perfeito? 
Solução: 
 Sejam os eventos: 
 A: sair número primo, logo 
 2,3,5,7,11,13,17,19A 
e 
( ) 8n A 
 
 B: sair número quadrado perfeito, logo 
 1,4,9,16B 
 e
( ) 4n B 
, e 
( ) 0.n A B 
 Pelo teorema 1, segue 
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B    
e substituindo
( )p A B
=
8 4 12 3
0
20 20 20 5
   
. 
Exemplo 12: 
Em uma urna existem 5 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas ao acaso, qual a probabilidade de 
que 
a) A: ambas sejam pretas? 
b) B: seja uma de cada cor? 
c) C: a primeira seja branca e a segunda seja preta? 
Solução: a) 3
2
8
2
( )( , ) 3
( )
( ) ( ) 28
n P P
p A
n S
  
 
 b) 5 3
1 1
8
2
( ).( ) 5.3 15
( )
( ) 28 28
p B   
 
 c) Para responder a essa pergunta colocamos novo conceito. 
 
 
 60 
5. Probabilidade Condicional 
 
Situação-problema: Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho ordinário de 52 cartas. Determinar a 
probabilidade de a carta ser um rei de ouro sabendo-se que a carta retirada é vermelha. 
Solução: 
 Do fato de sabermos que ocorreu o evento carta vermelha, tem-se um novo espaço amostral formado 
pelas cartas vermelhas, isto é, 
( ) 26n S 
 e, portanto, 
1
( / )
26
p R V 
.Esta probabilidade que usamos nessa 
situação-problema denomina-se probabilidade condicional. A notação 
( / )p R V
 lê-se como, probabilidade de 
sair rei de ouro dado que já saiu carta vermelha. 
 
Definição: 
 Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S. Denominamos probabilidade condicional do evento 
B dado que o evento A tenha ocorrido, e indicamos por 
( / )p B A
, a probabilidade de B dado que A ocorreu a 
 
( )
( / ) , com ( ) 0
( )
p A B
p B A p A
p A

 
 
Observação 4: Aceitamos sem demonstração que: 
 i) Se B ocorreu 
( )
( / ) , com ( ) 0
( )
p A B
p A B p B
p B

 
 
 ii) 
( )
( / ) 1
( )
p A A
p A A
p A

 
 
iii) 
( / ) 1p S A 
 
iv) 
( / ) ( / ) ( / )p B C A p B A p C A se B C      
 
Exemplo 13: 
Dois dados são lançados e os valores da face superior são registrados como pares 
( , ).x y
 Seja S seu 
espaço amostral e consideremos os eventos assim definidos: 
 
 ( , ) | 10A x y x y  
 e 
 ( , ) |B x y x y 
. Pede-se 
 
 ) ( / ) ) /a p A B b p B A
 
Solução: 
 Se dois dados são lançados, então 
( ) 6.6 36n S  
e os elementos de A e B são: 
 
 ( , ) | 10A x y x y  
=
 (5,5),(6,4),(4,6)
 e 
( ) 3n A 
 segue: 
( ) 3/36 1/12p A  
 
 
 ( , ) |B x y x y 
=
(2,1), (3,1), (3, 2), (4,1), (4, 2), (4,3), (5,1), (5, 2),
(5,3), (5, 4), (6,1), (6, 2), (6,3), (6, 4), (6,5)
 
 
 
e 
( ) 15n B 
e segue: 
( ) 15/36 5/12p B  
 
 (6,4)A B 
 e 
( ) 1n A B 
, e segue 
( ) 1/36p A B 
. Usando a fórmula tem-se: 
a) 
( ) 1/ 36 1
( / )
( ) 5 /12 15
p A B
p A B
p B

  
 
b) 
( ) 1/ 36
( / ) 12 / 36 1/ 3
( ) 1/12
p A B
p B A
p A

   
 
 
6. Probabilidade do produto 
 
 A probabilidade de ocorrer simultaneamente dois eventos A e B do mesmo espaço S, é igual ao produto 
da probabilidade pela probabilidade condicional do outro dado o primeiro. 
 61 
 
( ) ( ). ( / )p A B p A p B A 
 ou 
( ) ( ). ( / )p A B p B p A B 
 
 
Exemplo 14: 
Extrai-se ao acaso duas cartas de um baralho ordinário de 52 cartas. Determinar a probabilidade de 
aparecer 2 reis? 
Solução: 
 Seja 
 rei na primeira cartaA 
e 
 rei na segunda cartaB 
, assim, 
 
( ) 4/52 e ( / ) 3/51p A p B A 
, pela fórmula da probabilidade do produto, segue: 
 
( ) ( ). ( / )p A B p A p B A 
=
4 3 1 1 1
. .
52 51 13 17 221
 
 
 (Voltando ao exemplo 12, respondemos a pergunta c) a primeira seja branca e a segunda seja preta nessa 
ordem? Então, segue 
5 3 15
( ) . .
8 7 56
p B P  
 
 
6.1. Eventos independentes 
 
 Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do 
outro e podemos escrever: 
 
 A e B são eventos independentes se, e somente se
( ) ( ). ( )p A B p A p B 
. 
 
Observação 5: 
 Esta definição é equivalente dizer que 
( / ) ( ) e ( / ) ( )p A B p A p B A p B 
 
 
Exemplo 15: 
Lança-se um dado e uma moeda. Qual a probabilidade de se obter cara na moeda e o número 6 no dado? 
Solução: 
 Seja o evento A: sair cara, então 
( ) 1n A 
 e B: sair a face 6, então 
( ) 1n B 
. Sendo A e B eventos 
independentes, segue: 
 
( ) ( ). ( )p A B p A p B 
=
1 1 1
.
2 6 12

 
Exemplo 16: 
No lançamento de três moedas, qual a probabilidade de se obter cara nas três moedas? 
Solução: 
 Seja o evento A: sair cara em uma moeda é igual a 
1
( )
2
p A 
. Sendo os eventos independentes segue: 
 
1 1 1 1
( ) . .
2 2 2 8
p A A A   
 
Exemplo 17: 
Sejam as urnas 
1U
 com 2 bolas brancas e 4 vermelhas e 
2U
 com 3 bolas brancas e 4 vermelhas. 
Retirando-se ao acaso uma bola de cada urna, qual a probabilidade de se obter uma branca e uma vermelha? 
Solução: 
 Devemos retirar 
1 2/ /B U e V U
 e depois 
1 2/ /UV U e B
 e usando a probabilidade do produto segue: 
 
2 4 4 3 20 10
( ) ( ) . .
6 7 6 7 42 21
p B V P V B      
 
 
 
 62 
Exercícios de aplicação 9: 
 
1. Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho ordinário de 52 cartas. Determinar a probabilidade de a carta 
ser 
a) um ás. 
 
b) um valete de copas. 
 
c) três de paus ou seis de ouro.d) uma carta de copas. 
 
 
e) de qualquer naipe exceto copas. 
 
 
f) um dez ou uma carta de espadas. 
 
 
g) nem quatro nem carta de paus. 
 
 
 
2. Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determine 
a probabilidade de a bola ser: 
 
a) vermelha. 
 
 
b) branca. 
 
 
c) azul. 
 
 
d) não vermelha. 
 
 
 e) vermelha ou branca. 
 
 
3. Joga-se um dado honesto duas vezes. Determinar a probabilidade de se obter 4, 5, ou 6 na primeira 
jogada e 1, 2, 3, ou 4 na segunda jogada? 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
4. Extraem-se aleatoriamente 2 cartas de um baralho comum de 52 cartas. Determine a probabilidade de 
serem ambas ases se a primeira carta 
a) é reposta . 
 
b) não é reposta. 
 
5. Da caixa referida no problema 2 extraem-se três bolas sucessivas, determine a probabilidade de as 
mesmas serem extraídas na ordem vermelha-branca-azul 
a) havendo reposição. 
 
 
 b) não havendo reposição. 
 
6. Uma caixa contém 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 9 azuis. Extraindo-se ao acaso 3 bolas, sem reposição, 
determine a probabilidade de 
a) todas serem vermelhas. 
 
 
b) todas serem brancas. 
 
 
c) 2 serem vermelhas e uma azul. 
 
 
d) ao menos uma ser branca. 
 
 
 
 
 
e) ser uma de cada cor. 
 
 
 
f) as bolas serem extraídas na ordem vermelha-branca-azul. 
 
 
 
7. Uma estante contém 6 livros de matemática e 4 de física. Determine a probabilidade de 3 livros de 
matemática em particular estarem juntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 64 
 
8. Jogando-se 3 dados, calcular a probabilidade de que a some dos pontos obtidos seja superior a 14? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação 10: 
 
1. Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade 
de que o número seja 
 a) par. 
 
 
 b) ímpar. 
 
 
 c) par e menor que 10. 
 
 
 
d) primo e maior que 3. 
 
 
 
 
 e) múltiplo de 3 e 5. 
 
 
 
2. Uma urna contém 7 bolas gravados com as letras A,A,A,C,C,R,R. Extraindo-se as bolas uma por uma 
calcular a probabilidade de obter-se a palavra CARCARA. 
 
 
 
 
3. Uma gaveta contém 50 parafusos e 150 porcas. Metade dos parafusos e metade das porcas está 
enferrujada. Se uma dessas peças for escolhida ao acaso, qual será a probabilidade de que esteja 
enferrujada ou seja um parafuso? 
 
 
 
 
 
 
 
 65 
4. Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso e 
substituídas por 3 bolas azuis. Em seguida 2 bolas são retiradas ao acaso da caixa. Calcular a probabilidade 
de que essas 2 últimas bolas sejam da mesma cor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. O número de uma placa de um carro é par. Qual a probabilidade de o algarismo das unidades ser 0? 
 
 
 
6. Numa urna são depositadas n etiquetas numeradas de 1 a n. Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). 
Qual a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos? 
 
 
 
 
 
7. Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedores do São Paulo, 5 são do Palmeiras e as demais são do 
Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual a probabilidade dele ser torcedor do São Paulo 
ou do Palmeiras? 
 
 
 
 
 
8. Um prédio de 3 andares, com dois apartamentos por andar, têm apenas 3 apartamentos ocupados. Qual a 
probabilidade de que cada um dos 3 andares tenha exatamente um apartamento ocupado? 
 
 
 
 
 
 
9. Uma urna contém 1 bola branca 3 bolas pretas. Extrai-se 3 bolas consecutivas e aleatoriamente, sem 
identificar a cor de cada uma. Qual a probabilidade da bola que ficou na urna ser branca? 
 
 
 
 
 66 
10. 10. Uma urna contém 4 fichas brancas e 5 pretas. Extraindo-se sucessivamente duas fichas, qual a 
probabilidade da 
a) a) 1ª ser branca sabendo-se que a 2ª é branca? 
 
 
 
b) b)1ª ser branca sabendo-se que a 2ª é preta ? 
 
 
 
11.11. A probabilidade de um marido e sua esposa estarem vivos daqui a 15 anos são respectivamente 0,6 e 
0,8. Qual a probabilidade de que daqui a 15 anos 
a) a a) ambos estarem vivos? 
 
 
 
b) n b) nenhum estar vivo? 
 
 
 
 c) pelo menos um estar vivo? 
 
 
 
 
12. Uma caixa contém 9 fichas numeradas de 1 a 9. Extraem-se 3 fichas sucessivamente. Determinar a 
probabilidade de saírem 
 a) nessa ordem ímpar-par-ímpar? 
 
 
 
 
 b) dois ímpares e um par? 
 
 
 
 
 
 
13. Sejam dois eventos associados a um experimento. Seja p(A)=0,4, p(A

B)=0,7. Se p(B)=k, então o valor 
de k para que A e B sejam 
 a) mutuamente exclusivos. 
 
 
 
 
 b) independentes. 
 
 
 
 67 
14. Escolhendo-se, aleatoriamente, uma carta de um baralho de 52 cartas, pede-se: 
a) A probabilidade de ser uma carta de ouro? 
 
 
 
b) A probabilidade de ser uma figura? 
 
 
 
15. Num lote de 12 peças, 4 defeituosas. 2 peças são retiradas, aleatoriamente. Calcule 
a) a probabilidade de ambas serem defeituosas. 
 
 
 
b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas. 
 
 
 
 
c) a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
 
 
 
 
16. Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Retiram-se 2 artigos, 
aleatoriamente. Qual a probabilidade de que 
a) ambos sejam perfeitos. 
 
 
b) ele não tenha defeitos graves. 
 
 
 
c) nenhum tenha defeito grave. 
 
 
 
d) nenhum seja perfeito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 68 
 Exercícios de aplicação 11: 
 
1. No lançamento de um dado observe a face voltada para cima. Definimos: A ocorre número par; B ocorre 
número primo e S espaço amostral. Dessa maneira seus elementos são 
(A) S= 
 0,1,2,3,4,5,6,
 ; A=
 0,2,4,6,
 e B=
 1,3,5
 
(B) S= 
 0,1,2,3,4,5,6,
 ; A=
 0,2,4,6,
 e B=
 3,5
 
(C) S= 
 1,2,3,4,5,6,
 ; A=
 2,4,6,
 e B=
 1,3,5
 
(D) S= 
 1,2,3,4,5,6,
 ; A=
 2,4,6,
 e B=
 2,3,5
 
(E) nda 
 2. No lançamento de dois dados observe as faces voltadas para cima. Definimos o evento A como a soma das 
faces iguais a 7. A probabilidade de ocorrer A é 
 
 
 
 
(A) 0,166 
(B) 0,333 
(C) 0,5 
(D) 0,194 
(E) nda. 
3. Uma estante contém 4 livros de matemática e 5 de estatística. Retirando-se ao acaso 3 livros sem reposição, 
então a probabilidade de saírem 2 de matemática e 1 de estatística é 
 
 
 
(A) 0,06 
(B) 0,12 
(C) 0,24 
(D) 0,36 
(E) 0,26 
4. Em um grupo de 60 torcedores, 15 são Palmeirenses, 20 flamenguistas e 25 corintianos. Se um torcedor é 
escolhido ao acaso para assistir um jogo na tribuna de honra, então a probabilidade de ser corintiano ou 
flamenguista é 
 
 
 
(A) 0,15 
(B) 0,25 
(C) 0,50 
(D) 0,75 
(E) 0,85 
5. Uma urna tem 2 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se duas bolas, sem reposição, a probabilidade de sair 
uma de cada cor é 
 
(A) 0,2 
(B) 0,4 
(C) 0,6(D) 0,8 
(E) nda 
 69 
 Exercícios de aplicação 12: 
1.Uma bolsa tem 4 cédulas de R$ 50,00 e 2 cédulas de R$ 10,00. Retirando-se duas cédulas a probabilidade 
de sair soma R$ 60,00 é 
 
 
 
(A) 0,533 (B) 0,466 (C) 0,366 (D) 0,266 E) nda 
2. O setor de RH de uma empresa tem 4 gerentes, 3 subgerentes e 3 auxiliares de administração. Se dois 
funcionários são escolhidos ao acaso para serem promovidos, então a probabilidade de ser um gerente e um 
subgerente é 
 
 
(A) 0,30 (B) 0,13 (C) 0,27 (D) 0,70 (E) 0,85 
3. As probabilidades de três jogadores marcarem um pênalti são respectivamente: 
2 4 7
, e .
3 5 10
 Se cada um 
“cobrar” uma única vez, a probabilidade de todos errarem é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A)100% (B) 20% (C) 12% (D) 0,5% (E) 28% 
4. Um grupo de pessoas são leitoras de três jornais; A,B e C e estão classificados na tabela que segue. 
Escolhida uma pessoa ao acaso e sabendo-se que lê o jornal C, então a probabilidade se ser mulher é 
 A B C 
Homens 25 35 40 
mulheres 20 18 12 
 
(A) 0,15. (B) 0,17. (C) 0,19. (D) 0,21. (E) 0,23 
5. Considere as igualdades abaixo: 
 I. 
( ) ( )p A B p A B  
 
 II. 
( ) ( )p A B p A B  
 
III. 
( ) 1 ( )p A B p A B   
 
 
Podemos afirmar que: 
(A) As igualdades II e III são verdadeiras. 
(B) As igualdades I e II são verdadeiras. 
(C) Apenas a igualdade I é verdadeira. 
(D) Apenas a igualdade III é verdadeira. 
 (E) Apenas a igualdade II é verdadeira.