MFA_Escoamento_de_fluido_compressível

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A massa específica varia de um ponto a outro 
do escoamento. 
Capítulo 12 – Brunetti 
 
 Escoamento unidimensional (velocidade 
uniforme na seção) 
 
 Regime permanente – propriedades em um 
ponto não variam com o tempo 
 
 Fluido é um gás perfeito (ou ideal) – 
moléculas com tamanho desprezível; não 
existe interação entre as moléculas (são 
independentes). Condição obtida para altas 
temperaturas e baixas pressões. 
 
 
Específicas  por unidade de 
massa 
 
Unidade: J/kg = Nm/kg = m2/s2 
 Energia cinética específica: 
 
 
 Energia potencial específica: 
 
 
 
 Energia de pressão específica: 
 
2
2v

gZ

p
g
p
 .
 Energia interna específica: 
 
 
 Entalpia específica: 
 
 
 
 Entropia específica: 
m
U
u 
específicovolumev
vpuh
m
H
h
 
.


revT
dq
ds 






A) Equação de estado: 
 
p=pressão na escala absoluta 
ρ = massa específica 
T = temperatura absoluta (kelvin) 
Rgas = constante do gás (tabelado) 
 
 
 
TR
p
TRvp gasgas  
)( 
..
314,8
mol
g
ou
kmol
kg
molecularmassaM
Kg
J
ou
KKg
kJ
M
R
mol
mol
gas








B) Energia interna e Entalpia são funções 
apenas da temperatura: 
 
U=f(T) 
 
H=g(T) 
 
 
 
 
C) Calor específico a volume constante (cv) e a 
pressão constante (cp ) são propriedades do 
gás. 
 constante adiabática do gás 
ou razão de calores 
específicos: 
 
 TchdT
dh
c
Tcu
dT
du
c
p
p
p
v
v
v














.
.
v
p
c
c
k 
1
 e 
1 



k
kR
cc
k
R
ccR pvvp
 Aparece na equação de estado para o gás 
perfeito que passa por um processo 
adiabático (Q=0): 
 
constante..
ou
constante
2211
2
2
1
1


kk
kk
vPvP
PP

 Dados: gás ideal O2 
m=8kg ; 
p1=1,3bar (abs) 
T1=10º C 
p2=5bar 
T2=95º C 
k=1,393 
cp=921,6 J/kg.K 
a) R=? 
b) cv=? 
c) ΔU=? 
d) ΔH=? 
e) ρ2=? 
KkgJKkgkJ
M
Ra
mol
./260./26,0
32
314,8314,8
) 
KkgJc
c
c
kb v
v
p
./6,661
393,1
6,921
) 
JTmcHd
JTmcUc
p
v
627.)
450)283368.(6,661.8.)


3
5
22
2
2 /226,5
368.260
10.5
) mkgRT
p
e  
 Equação de estado 
 
 Variação da entropia 
 
 Equação da continuidade 
 
 Equação da energia 
 
 Equação da quantidade de movimento 
 
 
TR
p
gas

p
dp
R
T
dT
cds
d
R
T
dT
cds
p
v
































1
2
1
2
12
2
1
2
1
12
1
2
1
2
1212
lnln
lnln
2
1
2
1
p
p
R
T
T
css
p
dp
R
T
dT
css
v
v
R
T
T
css
v
dv
R
T
dT
css
pp
v
v
v
T
T
v
Ao longo de uma tubulação escoa vapor 
d’água,considerado gás ideal, com k=1,327 e 
cp=1872J/kg.K. 
Numa seção (1) mede-se: p1=0,4MPa e T1=300º C. 
Numa seção (2) mede-se: p2=0,4MPa e T2=150º 
C. 
Sendo Patm=100kPa ; qual é a variação da entropia 
específica? 
 
KkgJs
s
ppRTTcs
p
dp
R
T
dT
cds
p
p
./2,568
0))573ln()423(ln(1872
)ln(ln)ln(ln 1212




 Entre duas seções quaisquer: 
 
 
 
 22211121 AvAvQQ mm  
Energia específica (J/kg): 
 
 
 
h
v
e
Tc
pv
e
u
pv
e
v



2
2
2
2
2
2


 Num gás a variação da Energia potencial pode ser 
desprezada, pois a massa específica é muito 
pequena. 
 Sendo HM a carga da máquina e q o calor 
transferido: 
 
 
 
 
 
 Adiabático e sem máquina: 
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
22
22
h
v
qgHh
v
u
pv
qgHu
pv
M
M



2
2
2
1
2
1
22
h
v
h
v

 É a velocidade de propagação de uma perturbação 
da pressão causada num fluido. 
 
 Em líquidos (incompressíveis): uma perturbação na 
pressão (Δp) se propaga imediatamente e com 
velocidade infinita a todos os pontos do fluido. 
 Em gases (compressíveis): uma Δp que ocorre em 
uma seção é transmitida por expansões e 
compressões sucessivas e se propaga com 
velocidade finita da mesma forma que o som. 
 A velocidade de propagação da perturbação da 
pressão é denominada “velocidade do som, c”. 
 Grandeza representativa da compressibilidade do 
meio. 
 Está relacionada à variação da massa específica 
causada pela perturbação da pressão: 
kRTcods
cd
d
dp
c



 
: gases de coisoentrópi escoamento para
 0
:ívelincompress fluido para


 𝓜≤0,2  escoamento 
incompressível. 
 
 0,2<𝓜<1  escoamento 
subsônico. 
 
 𝓜=1  escoamento sônico. 
 
 𝓜>1,0  escoamento 
supersônico. 
 
c
v

 Projétil desloca-se em 
ar com v=360km/h. 
Sendo: 
T=20º C 
k=1,4 
R=286J/kgK 
 
 Qual o tipo de 
escoamento? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Escoamento subsônico 
29,0
/52,342
/100
/52,342


sm
sm
c
v
M
smkRTc
É o estado que se atinge 
numa seção do escoamento, 
ao parar um fluido sem 
perdas de energia por 
irreversibilidade ou 
transferências de calor (isto 
é, isoentropicamente ). 
 Se não existir troca de energia na forma de calor 
(q=0) ou trabalho (HM) e o escoamento for 
reversível: 
 
 
 
 
 
 Na seção de estagnação (índice 0)  v0 = 0: 
 
 
 
0
2
0
2
0
0
0
2
0
2
22
22
h
v
h
v
u
pv
u
pv



0
2
2
hh
v

 
 O estado de estagnação será atingido numa seção 
em que a energia cinética for convertida em 
energia de pressão e térmica: 
 
 
p0 e T0  valores 
máximos que 
poderiam ser atingidos 
numa seção do 
escoamento. 
h0  Energia máxima 
disponível para 
obtenção de Energia 
cinética 
 
00
0
0
2
2
hTc
p
Tc
pv
vv  
Medidas de pressão (p0>p) 
e temperatura (T0>T) de 
estagnação: 
Manômetro 1 – mede 
p. Pressão estática. 
Manômetro 2 – mede 
p0 . Pressão estática 
somada à pressão 
cinética. 
Termômetro 1 – 
mede T – 
temperatura estática. 
Termômetro 2 – 
mede T0 . 
Temperatura estática 
somada à energia 
cinética convertida 
em térmica. 
20
2
0
0
2
0
2
2
1
1
2
1
22
M
k
T
T
Tc
v
T
T
TcTc
v
hh
v
p
pp



 Dividindo todos os 
termos por cpT 
1
...



k
kR
c
TRkv
p
Cálculo da pressão de estagnação (p0) 
 
Para gases em escoamento isoentrópico: 
2
 :sível)(incompres pequenos para
2
0
v
ppM


1
20
2
1
1






 

k
k
M
k
p
p
k
k
p
p
T
T
1
00








Cálculo da massa específica de estagnação 
(ρ0) 
 
Para gases em escoamento isoentrópico: 
1
1
20
2
1
1






 

k
M
k


k
p
p
1
00









 Equação manométrica 
para o gás: (γ<<γm) 
 
 
 
hpp m0
p
h
p
p
p
hp
p
p
m
m





10
0
 Velocidade do gás: 



















11
1
2
1
k
k
m
p
h
RT
k
k
v

1
20
2
1
1






 

k
k
M
k
p
p

TRk
v
..
 Na seção de escoamento de ar (k=1,4), o 
manômetro ligado a um tubo de Pitot indica 20kPa 
e um termômetro mergulhado no escoamento para 
indicar a temperatura de estagnação, mostra 50º C. 
Sabendo que o número de Mach nessa seção é 0,6 
e que a pressão atmosférica local é 100kPa, 
determinar 
 a temperatura , 
 a pressão e a massa específica, e 
 a velocidade do ar nessa seção. 
 
CKTM
k
T
T o3,283,301
2
1
1 20 


kPapkPapM
k
p
p
abs
k
k
91,508,94
2
1
1
1
20 




 


3/088,1
3,301.287,0
08,94
mkgTR
p
ar  
smTRkv /2093,301.287.4,1.6,0... 
 
 
 
hpp m0
Venturi – conduto 
convergente / divergente. 
Usado para medida de vazão 
a partir da diferença de 
pressão entre as seções. 
1
2
1
2
21222111 .. :)1(
A
A
vvAvAvdeContinuida 
 
 .. :(2) coisoentrópi Escoamento
1
2
1
1
2
21
1
1
2
1
2
A
A
p
p
vv
p
p kk














(3) 1.2 -
2222
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
 
T
T
-Tcvv
Tc
v
Tc
v
h
v
h
v
p
pp








(4) 1
1
1 T
R
p


(5) 
1

k
kR
cp
 (6) 
1
1
2
1
2
k
k
p
p
T
T








 Substituindo eqs (2); (4), (5) e (6) na eq. (3): 
(7) 
 .1
1
)1(
2
 
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2 
A
A
p
p
p
pp
k
k
v
k
k
k


































 Para gás compressível: 
(8) 
 .1
1
)1(
2
A A
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
222 
A
A
p
p
p
pp
k
k
p
p
RT
p
vQ
k
k
k
k
mT









































 Para gás tratado como incompressível: ρ1=ρ2: 
(9) 
 1
12
A
2
1
2
1
2
2
1
1' 
A
A
p
p
RT
p
Q
mT





















 Fornece o desvio entre as vazões ao se 
considerar gás compressível e 
incompressível: 
(10) 
 1.1
11
)1(
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
'
'
 
p
p
A
A
p
p
A
A
p
p
k
k
p
p
Q
Q
Q
Q
k
k
k
k
mT
mT
mT
mT








































































 Caso especial em que a seção (1) é o 
ambiente  A1=∞ 
(11) 
 1
1
)1(
1
2
1
1
2
1
1
2
'
 
p
p
p
p
k
k
p
p
Q
Q
k
k
k
mT
mT

































 A vazão real é calculada utilizando-se o 
coeficiente de descarga do Venturi: 
 1
12
A..
..
2
1
2
1
2
2
1
1
'






















A
A
p
p
RT
p
CQ
QCQCQ
Q
Q
C
Dm
DmTDm
mT
m
D mT
 Hélio (k=1,665; cp=5200J/kg.K) escoa em um Venturi 
que tem diâmetro de aproximação de 15cm e um 
diâmetro de garganta de 10cm. A pressão e 
temperatura na seção de aproximação são, 
respectivamente, 200kPa (abs) e 366K. Um manômetro 
diferencial ligado entre as duas seções registra um 
desnível de 5,1m, utilizando água como fluido 
manométrico (γágua = 10000N/m
3 ). Determinar a vazão 
em massa do hélio. 
 
 Dado: CD=0,95. 
 
0,8431 
 1..1
1.1
)1(
)(10.9,14:)
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
4
221









































































 
p
p
A
A
p
p
A
A
p
p
k
k
p
p
absPaphppmanômetroa
k
k
k
k
água
skg
A
A
p
p
RT
p
CQ Dm /15,1
 1
12
A..
2
1
2
1
2
2
1
1 





















Orifício de bordo delgado – 
forma-se veia contraída. 
AC – área contraída. 
vC – velocidade do jato na 
seção contraída. 
 
 
 
 







0
0
2
0
2
0
2
1
222 T
T
Tc
v
TcTc
v
hh
v C
p
C
Cpp
C
C
C
C
k
C
Dm v
p
p
ACQ
1
0
00 





 
Qm - Vazão mássica real: Qm=CDρCA0vC 
A0, T0 
AC vC A0 
Manipulando a equação para a velocidade: 
 Considerando que o gás tenha comportamento 
incompressível: 
 
 
 
 Considerando comportamento compressível: 
0
0
0
0 2
1
1)(
2
p
pp
k
ppv CCC

 
)(
2
0
0
CC ppv  
Um recipiente de grandes dimensões contém 
hidrogênio a 1,5bar (abs) e 550K. Determinar a 
velocidade de descarga por um orifício de bordo 
delgado, para os seguintes casos: 
a) A massa específica do gás é considerada 
constante ao longo do escoamento. 
b) A massa específica do gás é variável ao longo do 
escoamento. 
Determine o erro que seria cometido ao se 
considerar o caso (a). 
 
Dados: k= 1,405; cp=14532 J/kg.K; patm=1bar; supor 
cv=1. 
 
 
a) Gás incompressível 
 
 
 
 
b) Gás compressível 
 
 
 
 
c) Erro: 
4189
1


 R
k
kR
cp 0651,0
0
0
0 
RT
p

smvppv CCC /1239)(
2
0
0
 
sm
p
pp
k
ppv CCC /1311
2
1
1)(
2
0
0
0
0


 
%5,5055,0
1311
12391311


erro
Considerações: 
 O sistema de referência está fixo no fluido 
 será observado o movimento do ponto 
emissor em relação ao fluido. 
 
 As ondas propagam-se com a velocidade 
do som (c). 
 
 A propagação ocorre a partir de um único 
ponto emissor em todas as direções, 
formando frentes de onda esféricas. 
 
. 
 
 
 
1º caso- ponto emissor em repouso ( ℳach=0) 
 Considerando Δt o intervalo de tempo entre a 
emissão de uma frente de onda e a próxima, a 
distância entre uma frente de onda e o ponto 
emissor é c x tempo após emissão. 
 Ponto emissor: é o centro comum 
 a todas as esferas. 
 No plano: 
 
tc
tc 2
tc 3
2º caso- ponto emissor com movimento subsônico 
(ℳach<1) 
 Ponto emissor tem velocidade (v) menor do que a 
onda de pressão (c)  a onda emitida percorre 
distância maior do que o ponto emissor no mesmo 
intervalo de tempo. 
 Dponto=v.t 
 Donda=c.t 
 
 
. 
 
 
 
Eixo de deslocamento 
do ponto 
t1 
t2 t32º caso- ponto emissor com movimento subsônico 
(ℳach<1) 
 Efeito Doppler 
 Provoca alteração na distribuição das propriedades 
p, T e ρ do fluido na zona perturbada. 
 
. 
 
 
 
Eixo de deslocamento 
do ponto 
t1 
t2 t3 
Aproximação 
das ondas 
Alargamento 
das ondas 
3º caso- ponto emissor com movimento sônico (ℳ=1) 
 Ponto emissor tem velocidade (v) igual à velocidade 
do som (c)  a onda emitida percorre distância igual 
à do ponto emissor no mesmo intervalo de tempo. 
 Dponto=Dondav.t=c.t 
 
 
 
. 
 
 
 
Eixo de deslocamento do 
ponto t1 
t2 t3 
 
 
 
. 
 
 
 
Eixo de deslocamento do ponto t1 
tc 3
t2 
tc 2t3 
tc
tv
tv 2
tv 3
 No sentido do movimento, todas as ondas se 
acumularão no próprio ponto  Barreira do som. 
. 
 
 
 
Eixo de deslocamento do ponto t1 
tc 3
t2 
tc 2t3 
tc
tv
tv 2
tv 3
. . . 
4º caso- ponto emissor em movimento supersônico 
(ℳ>1) 
 Ponto emissor tem velocidade (v) maior do que a 
onda de pressão (c)  o ponto emissor se desloca 
a frente das ondas. 
 
 
. 
 
 
 
Eixo de deslocamento do ponto t1 
tc 3
t2 
tc 2t3 
tc
tv
tv 2
tv 3
. . . 
4º caso- ponto emissor em movimento supersônico 
(ℳ>1) 
 Cone de Mach – as esferas propagadas na passagem do 
ponto apresentam um cone como superfície envolvente 
comum. 
 Espaço fica dividido em: 
◦ Zona perturbada (interna ao cone) 
◦ Zone de silêncio (externa) 
 Observador percebe a passagem do ponto quando está 
dentro do cone de Mach. 
 β –semi-ângulo do cone 
 
 
. 
 
 
 
t1 
tc 3
t2 t3 
tv 3
. . . 





1
3
3
v
c
tv
tc
sen
Um avião é considerado um ponto que voa a uma 
altitude de 500m com Mach igual a 2. Quanto 
tempo levará para que um observador na Terra 
ouça a perturbação a partir do instante em que o 
avião passou verticalmente acima de sua cabeça? 
Dados para o ar: k=1,4; R=286J/kgK e T = 300K. 
 
 
osen
tg
h
S
kRT
S
c
S
v
S
t
305,0
1
.










st
mS
tg
h
S
2,1
300.287.4,1.2
866
866



Avião S O 
Observador 
β 
500m