Material_de_Apoio_FT1_2015_Completa

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ALUNO: ________________________________________________ RA: _____________ 
 
CURSO ________________________________________________ SALA ____________ 
Prof. M.Sc. Rodrigo Dias Vilela 
 
rodrigodv@uninove.com 
 
 2 
Bibliografia básica 
MORAN, M. J.; SHAPIRO, N. H.; MUNSON, B. R.; DE WITT, D. P. Introdução à engenharia 
de sistemas térmicos. LTC. 5ª ed. 2005. (MS) 
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2ª ed. São Paulo: Ed. Prentice Hall Brasil, 2007. (Br) 
MUNSON, B. Fundamentos de mecânica dos fluidos. SP: Edgard Blücher, 2004. (Mu) 
 
Bibliografia complementar 
WHITE, F. M. Mecânica dos Fluidos. 5a ed. São Paulo: McGraw-Hill Company, 2001. (Wh) 
FOX, R. W. Introdução a Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. São Paulo: Editora LTC, 2006. (Fx) 
ROMA, W. N. L. Fenômenos de transporte para engenharia. SP: Rima, 2003. (Ro) 
MACEDO, J. C. F. Notas de aulas da disciplina de fenômenos de transporte I. Universidade 
Nove de Julho. (JM) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Capítulo 1 Propriedades dos Fluidos 
A mecânica dos fluidos é a parte da mecânica aplicada que se dedica à análise do 
comportamento dos líquidos e gases tanto em equilíbrio quanto em movimento. 
 
Um fluido pode ser definido como uma substância que deforma continuamente quando 
submetida a uma tensão de cisalhamento de qualquer valor. A tensão de cisalhamento, força 
por unidade de área (
A
F
=τ ), é criada quando uma força atua tangencialmente numa superfície. 
 
1.1 Dimensões, Homogeneidade Dimensional e Unidades. 
Devido à grande variedade de características na mecânica dos fluidos, há a necessidade 
de se obter um sistema de modo a descrever estas características, tanto na forma qualitativa, 
quanto na forma quantitativa. O aspecto qualitativo descreve a natureza, enquanto o aspecto 
quantitativo descreve a magnitude da característica. 
Normalmente são utilizados dois sistemas para descrever as dimensões, o sistema LMT, 
ou seja, as dimensões primárias: comprimento (L), massa (M) e tempo (T); e o sistema FLT, 
onde a dimensão massa é substituída pela dimensão secundária força (F). No caso do estudo na 
mecânica dos fluidos será utilizado o sistema LMT. 
Pode-se ocorrer várias identificações para uma mesma dimensão, para estas 
identificações se nomeia como unidades. Por exemplo, as unidades da dimensão pressão, no 
sistema internacional é Pascal (Pa), porém normalmente observamos as unidades bar, 
atmosfera (atm), psi, milímetros de coluna de mercúrio (mmHg), kgf/cm2, metros de coluna de 
água (mca), quilo Pascal (kPa), torricelli (torr), etc. 
Em expressões utilizadas na física, é necessário obter uma homogeneidade dimensional, 
ou seja, os dois termos de uma equação, obrigatoriamente, possuem as mesmas unidades. 
Quando uma dimensão não possui unidade, é chamada de adimensional. 
A tabela 1 indica algumas quantidades físicas e suas unidades. 
 
 
 
 
 4 
Tabela 1: Características dimensionais. 
Característica Sistema LMT Unidade SI Fórmula 
Aceleração L/T2 m/s2 a=v/t 
Aceleração Angular 1/T2 1/s2 
Ângulo ------ ----- 
Área L2 m2 
Calor M*L2/T2 Joule (J) 
Calor Específico L2/T2*θ J/kg*K 
Comprimento L m 
Energia M*L2/T2 Joule (J) 
Força M*L/T2 Newton (N) F=m*a 
Frequência 1/T Hertz (He) 
Massa M kg 
Massa Específica M/L3 kg/m3 ρ=m/V 
Momento M*L2/T2 N*m Mo=F*R 
Peso Específico F/L3 N/m3 γ=F/V 
Potência M*L2/T3 Watt (W) P=W/t 
Pressão M/L*T2 Pascal (Pa) p=F/A 
Temperatura θ Kelvin (K) 
Tempo T segundo (s) 
Tensão M/L*T2 N/m2 
Tensão Superficial M/T2 N/m 
Torque M*L2/T2 N*m 
Trabalho M*L2/T2 N*m W=F*d 
Velocidade L/T m/s v=s/t 
Velocidade Angular 1/T Hertz (He) 
Vazão Mássica M/T kg/s 
Viscosidade (dinâmica) M/L*T kg/m.s ou Pa*s 
Viscosidade Cinemática L2/T m2/s 
Volume L3 m3 
 
 
 
 
 5 
Ex. 1.1 (JM) Determinar a unidade no SI da equação da velocidade de um corpo 
uniformemente variado. taVV o ∗+= 
 
 
 
Ex. 1.2 (JM) – Determinar a unidade da constante R para a equação dos gases 
ideais. TRmVp **=∗ 
 
 
 
Ex. 1.3 (JM) – A equação para determinar a vazão de um líquido através de um orifício é 
hgAQ **2**61,0= , determine a unidade da equação. 
 
 
 
Ex. 1.4 (JM) – Faça a análise dimensional do número de Mach, que é dado por 
TRk
VMa
**
= . 
 
 
 
Ex. 1.5 (JM) – Faça a análise dimensional da equação ρ*2Vp = 
 
 
 
 
Ex. 1.6 (JM) – Determine a unidade da viscosidade (μ). VDF ****3 µπ= 
 
 
 
Ex. 1.7 (JM) – Determine a unidade da tensão de cisalhamento (τ). 
dx
dV*µτ = 
 
 
 
 
 6 
1.2 Comportamento do Fluido 
 
A mecânica dos fluidos é dividida no estudo da Estática dos fluidos, onde o fluido está 
em repouso, e na Dinâmica dos fluidos, onde o fluido está em movimento. 
 
1.2.1 Características dos Fluidos 
 
Massa Específica (ρ) é definida como a massa por unidade de volume, sua unidade é kg/m3, 
utilizada para caracterizar a massa de um sistema fluido. 
V
m
=ρ 
Volume Específico (υ) é definido como o volume ocupado por unidade de massa, sua 
unidade é m3/kg. 
ρ
ν 1==
m
V 
Peso Específico (γ) é definido como o peso por unidade de volume, sua unidade é N/m3. 
g
V
F *ργ == 
Densidade Relativa (SG), em inglês “specific gravity”, é a razão entre a massa específica do 
fluido e a massa específica da água em uma temperatura de referência, no caso a massa 
específica da água a 4oC, 34, 10002 m
kg
COh o =ρ . 
COH
fluido
o
SG
4,2
ρ
ρ
= 
Gases Perfeitos (Ideais), os gases apresentam compressibilidade muito maior que os 
líquidos, estando relacionada diretamente com a pressão e a temperatura. 
TRVp *** η= , onde 
M
m
=η 
Nas condições normais de temperatura e pressão (CNTP), a pressão, a temperatura e a 
constante universal, respectivamente, são: 
p= 1 atm; T= 273 K ou 0 oC; R = 0,082 atm*m3/kmol*K 
 
p= 760 mmHg; T= 273 K ou 0 oC; R = 62,3 mmHg*m3/kmol*K 
 
p= 101,3 kPa; T= 273 K ou 0 oC; R = 8,364 kPa*m3/kmol*K 
 7 
Ex. 1.8 – Se 7 m3 de um óleo tem massa de 6.300 kg, calcule sua massa específica, densidade 
relativa, peso e volume específico no sistema (SI). Considere g= 9,8 m/s2. R.: ρ= 900 kg/m3; 
SG = 0,9; F = 61740 N; υ = 1,11x10-3 m3/kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.9 – (Exemplo 1.25 - Mu) – Um densímetro, equipamento utilizado para medir a 
densidade de líquidos, indica a densidade relativa de 1,15 de um determinado líquido, 
determine a massa específica do fluido e seu peso específico. R.: ρ= 1150 kg/m3; γ= 11281,5 
N/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.10 – (Exemplo 1.28 - Mu) – Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido 
que pesa 6,0 N. Determine o peso específico, a massa específica e a densidade SG. R.: SG= 
1,22; γ= 12 kN/m3, ρ=1223,2 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.11 – Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 4m, 
sabendo-se que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina (SG = 0,72), determine a 
massa de gasolina presente no reservatório. R.: m = 9047,8 kg. 
 
 
 
 
 
 8 
Ex. 1.12 – (Ex. 1.13 - Mu) – Um tanque de ar comprimido apresenta volume igual a 2,38*10-2 
m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão absoluta 
do ar no tanque for igual a 404,3 kPa. Admita que a temperatura no tanque é 21 oC, e que a 
massa molar media do ar é 28,98 kg/kmol. R.: ρ= 4,76 kg/m3, F= 1,11 N. 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.13 – (Ex. 1.37 - Mu) – Inicialmente, um tanque rígido contém ar a 0,62 MPa, absoluto e 
15,6 oC. O ar é aquecido até que a temperatura se torne 43,3 oC. Qual é a pressão detectada no 
final deste processo? R.: p= 0,679 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.14 – Um volume de 10 m3 de dióxido de carbono (k=1,28) a 27 ºC e 133,3 KPa (abs) é 
comprimido até se obter 2 m3. 
a) Se a compressão fosse isotérmica, qual será a pressão final? R.: p = 666,50 kPa 
b) Qual seria a pressão final se o processo fosse adiabático? R.: p = 1045,95 kPa 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.15 – (Ex. 1.18 - Br) – Ar escoa ao longo de uma tubulação. Em umaseção (1), p1= 
200.000 N/m2 (abs) e T1= 50oC. Em uma seção (2), p2= 150.000 N/m2 (abs) e T2= 20 oC. 
Determinar a variação porcentual da massa especifica de (1) para (2). R ar = 287 J/kg.K. R.: 
17,3 %. 
 
 
 
 
 
 
 9 
1.3 Viscosidade 
Uma definição simples de viscosidade é a resistência que um fluido oferece ao seu 
próprio escoamento. 
Como exemplo, tem-se duas placas: planas e paralelas, a placa inferior esta fixada a 
base, enquanto a placa superior esta apoiada a um fluido que preenche o espaço entre as duas 
placas. Em um determinado tempo a placa superior passa a sofrer a ação de uma força F, 
mantendo uma velocidade constante U, de acordo com a figura 2. 
Figura 2: Placas planas e paralelas. 
 
AF *τ= 
U é a velocidade do fluido em contato com a placa superior; 
A é a área em contato do fluido com a placa superior; 
h é a altura entre a placa inferior e superior. 
A velocidade do fluido em contato com a placa inferior é 0. 
 
A velocidade entre as duas placas é determinada por: 
h
yUu *= 
Obtem-se o gradiente de velocidade através de: 
h
U
dy
du
= 
Num intervalo de tempo ∂t, a linha de A rotaciona de 1 para 2, formando o ângulo ∂β. 
h
a
adjcat
opcattg ∂==
..
..β 
Quando se tem um ∂t muito pequeno a ∂a→0, tem-se: 
0=βtg 
Neste caso, 
β∂≅∂
h
a 
Como: 
tUa ∂=∂ * 
Então, 
 10 
h
U
t
out
h
U
=
∂
∂
∂=∂
ββ * 
A taxa de variação de ∂β com o tempo, forma a taxa de deformação por cisalhamento. 
tt ∂
∂
=
→
• βγ
δ 0
lim 
Sendo: 
dy
dut
h
U
=∂=
•
*γ 
A tensão de cisalhamento aumenta com o aumento da força F, aplicada na placa superior. Na 
mesma proporção a taxa de deformação por cisalhamento aumenta com o aumento da força F, deste 
modo podem-se relacionar as duas propriedades: 
dy
duμou
dy
duou *==∝
•
ττγτ 
Onde a constante de proporcionalidade μ, é denominada viscosidade dinâmica do fluído. 
A unidade de viscosidade no sistema internacional é N*s/m2, sendo a dimensão F*L-2*T. 
A viscosidade dinâmica pode se relacionar com a massa específica formando a 
viscosidade cinemática. 
ρ
µν = 
 
Ex. 1.16 (JM) – Determinar a unidade da viscosidade cinemática. 
 
 
 
 
Quando se utiliza o sistema CGS (centímetro-grama-segundo) de unidades, a viscosidade 
dinâmica se torna. 
( )PoiseP
cm
sdina
== 2
*µ 
E a viscosidade cinemática se torna. 
( )Stokest
s
cm
==
2
ν 
Quando a proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento (τ) e o gradiente de 
velocidade (
dy
du ) se mantém constante, então denominamos fluido Newtoniano. 
 11 
 
Quando não se segue esta proporcionalidade, temos um fluido não-Newtoniano. 
n
dy
duμ 





= *τ 
Os fluidos não-Newtonianos podem ser classificados como: 
Plásticos de Bingham: o escoamento só se inicia quando a tensão de cisalhamento atinge um 
valor mínimo chamada de tensão de escoamento (τo), quando passa a ter um comportamento de fluido 
Newtoniano. Exemplo: lama, pasta de dente, tintas a óleo. 
 
Onde a fórmula geral é 
dy
du*00 µττ += , no qual μ0 é a viscosidade plástica. 
 
Fluidos pseudo-plásticos: não apresentam tensão de escoamento, porém a relação entre a taxa de 
deformação e a tensão de cisalhamento, exemplo: soluções de polímeros em suspensão, derivados de 
celulose. 
 
gr
ad
ie
nt
e 
de
 v
el
oc
id
ad
e 
tensão de cisalhamento 
gr
ad
ie
nt
e 
de
 v
el
oc
id
ad
e 
tensão de cisalhamento 
gr
ad
ie
nt
e 
de
 v
el
oc
id
ad
e 
tensão de cisalhamento 
 12 
Onde a fórmula geral é ( )nθλτ *= , com n<1, sendo λ, uma propriedade que depende do 
fluido e θ é a temperatura. 
 
 
Fluidos dilatantes: possuem comportamento análogo ao pseudo-plásticos, porém com n>1. 
 
 
Onde a fórmula geral é ( )nθλτ *= , com n>1, sendo λ, uma propriedade que 
depende do fluido e θ é a temperatura. 
 
Ex. 1.17 – (Exemplo 1.5 - Mu) – A distribuição de velocidade do escoamento de um fluido 
Newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação 













−=
2
1*
2
*3
h
yVu 
Onde V é a velocidade média = 0,6 m/s; μ é a viscosidade dinâmica = 1,92 N*s/m2, h é a 
altura = 5 mm, determine: 
a) tensão de cisalhamento na parede inferior do canal; 
b) tensão de cisalhamento no plano central do canal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
gr
ad
ie
nt
e 
de
 v
el
oc
id
ad
e 
tensão de cisalhamento 
 13 
Ex. 1.18 – (Exercício 12.2 - MS) – Uma camada de água escoa para baixo em uma superfície 
inclinada fixa, com um perfil de velocidade: 
 
2
2*2
h
y
h
y
U
u
−= 
Determine a magnitude da tensão de cisalhamento que a água exerce sobre a superfície 
fixa para U= 3 m/s, h=0,1 m e μH2O= 1,12*10-3 N*s/m2. R: 0,0672 N/m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.19 – (Exercício 1.6 - Br) – Uma placa quadrada de 1,0 m de lado e 20 N de peso 
desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A velocidade na 
placa é constante de 2 m/s. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da 
película é de 2 mm. R.: μ=10-2 N*s/m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.20 – (Exercício 1.57 - Mu) – Um pistão com diâmetro de 139,2 mm e 
comprimento de 241,3 mm, escorrega dentro de um tubo vertical com velocidade 
constante V. A superfície interna esta lubrificada com óleo de espessura 0,05 mm. 
Sabendo que a massa do pistão é 0,277 kg e a viscosidade 0,77 N*s/m2, estime a 
velocidade do pistão. Admita que o perfil de velocidade no filme de óleo é linear. 
R.: V= 0,00167 m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Ex. 1.20 – (Exercício 1.8 - Br) – O dispositivo da figura é constituído de dois pistões de 
mesmas dimensões geométricas que se deslocam em dois cilindros de mesmas 
dimensões. Entre os pistões e os cilindros existe um lubrificante de viscosidade 
dinâmica 10-2 N*s/m2. O peso específico do pistão 1 é 20.000 N/m3. Qual é o peso 
específico do pistão 2 para que o conjunto se desloque na direção indicada com uma 
velocidade de 2 m/s? Desprezar o atrito na corda e nas roldanas. R.: γ2= 16800 N/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Compressibilidade 
É a variação do volume de uma terminada massa de fluido, através da variação da 
pressão. 
ρ
ρd
dpEou
V
Vd
dpE VV =−= , onde: 
dp= diferencial de pressão; 
d =V diferencial de volume; 
dρ= diferencial de massa específica. 
 
1.5 Compressão e expansão de gases 
Na compressão ou expansão dos gases, a relação entre a pressão e a massa especifica 
depende da natureza do processo. Sendo em um processo isentrópico (sem perdas e 
adiabático). 
teconspk tan=ρ
 
 15 
A unidade do módulo de elasticidade volumétrico, 2m
NEV = . 
Ex. 1.21 – (Exemplo 1.6 - Mu) – Um m3 de gás hélio a pressão absoluta de 101,3 kPa é 
comprimido isentropicamente até que o seu volume se torne igual a metade do volume 
inicial. Qual é o valor da pressão no estado final? k= 1,66. R.: 320 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 Velocidade do som 
 
Velocidade do som são as perturbações introduzidas em um fluido que se propagam 
com velocidade finita, a velocidade do som esta relacionada com as variações de pressão e da 
massa especifica do fluido. 
ρρ
VEcou
d
dpc == 
O processo de propagação das perturbações pode ser modelado como isoentrópico. 
ρ
pkc *= 
Sendo um gás perfeito. 
TRkc **= 
 
Ex. 1.22 – (Exemplo 1.6 - Mu) – Um avião a jato voa com velocidade de 890 km/h, à 10700 m 
de altitude, com temperatura ambiente de -55oC. Determine a razão entre a velocidade do avião 
e a velocidade do som. Dados k=1,40, R ar = 287 J/kg.K. R.: 0,84. 
 
 
 
 
 
 16 
A razão entre a velocidade de um avião e a velocidade do som é chamada número de 
Mach (Ma). Se Mach for menor que 1,0 o vôo é subsônico, e se o número de Mach for maior 
que 1,0 o vôo é supersônico. 
 
Ex. 1.23 – (Exercício 1.76 - Mu) – O número de Mach é definido como a razão entre a 
velocidade local de escoamento e a velocidade do som. Admita que a velocidade de disparo de 
um projétil é de 1287 km/h. Considerando que a pressão indicada em um barômetro é 1 bar e a 
temperatura é de 10oC, determine o número deMach referente ao escoamento em torno do 
projétil. Dados k = 1,4 e R ar = 287 J/kg.K. R.: 1,06. 
 
 
 
 
Ex. 1.24 – Determine o número de Mach associado ao movimento de um automóvel que se 
desloca na atmosfera padrão (T = 20 ºC) a (a) 40 km/h, (b) 90 km/h e (c) 160 km/h. R.: 0,032; 
0,073; 0,13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
Capítulo 2 Estática dos Fluidos 
No estudo da estática, o fluido de análise permanece em repouso, como exemplo um 
tanque de estocagem, onde as únicas forças presentes são derivadas da pressão atuando sobre a 
superfície de uma partícula do fluido. 
 
2.1 Variação de pressão de um fluido em repouso 
 
As forças resultantes nas direções x e y são: 
( ) zyppF fpx δδδ *−= ( ) zxppF dey δδδ *−= 
Na direção z a força resultante é: 
( ) zyxyxdppyxpFz δδδγδδδδδ *** −+−= 
Simplificando a operação. 
zyxyxdpFz δδδγδδδ ** −−= 
Onde dp é a diferença de pressão entre a superfície superior e a inferior do fluido. 
Para o equilíbrio do elemento fluido em repouso, a somatória das forças se anula. 
∑ ∑∑ === 000 zyx FFF 
Substituindo pela igualdade das equações. 
( ) zypp fp δδ*0 −= 
( ) zxpp de δδ*0 −= 
zyxyxdp δδδγδδ **0 −−= 
Na direção do eixo x, a pressão do lado posterior (pp) é a mesma que a pressão do 
lado frontal (pf). Na direção do eixo y, a pressão do lado direito (pd) é a mesma que a 
 18 
pressão do lado esquerdo (pe). Ou seja, qualquer deslocamento pelos eixos x e y 
(qualquer valor de x e y) não altera o valor da pressão. 
Na direção do eixo x, o balanço de pressão se torna: 
zdp δγ *−= ou γ−=
dz
dp 
 
2.2 Lei de Stevin 
O conceito mostrado anteriormente serve apenas para fluidos incompressíveis, ou seja, 
que apresentem massa específica constante e que estejam submetidos a ação da gravidade 
com valor constante, integrando a equação, obtem-se: 
∫∫ −=
2
1
2
1
*
z
z
p
p
zddp γ ou ( )1221 * zzpp −=− γ 
Pode-se considerar as cotas z2 e z1 como a diferença de altura entre dois pontos, neste 
caso tem-se a altura h e denomina-se como distribuição de pressão hidrostática. 
 
Isolando-se a altura h, obtem-se a altura de carga. 
γ
21 pph −= 
Quando se considera a pressão atmosférica como referencia, a pressão p2 se torna p0. 
01 * php += γ 
 
Ex. 2.1 – (Exercício 11.2 - MS) – Batiscafos são capazes de submergir a grandes 
profundidades no oceano. Qual é a pressão a uma profundidade de 6,0 km, admitindo que a 
água do mar possua peso especifico constante de 10,1 kN/m3. R.: 60,6 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h*γpp 21 =− 
 19 
Ex. 2.2 – (Exemplo 11.1 - MS) – Água mistura-se com gasolina, devido a um vazamento 
em um tanque de armazenamento enterrado. As pressões na interface gasolina – água e na 
parte inferior do tanque são maiores do que a pressão atmosférica na superfície superior livre 
do tanque. Qual o valor da pressão no fundo do tanque, em relação à pressão atmosférica em 
Pa? Dados: γágua= 7,86 kN/m3, γgasolina= 5,35 kN/m3. R.: 36651 Pa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 2.3 – (Exercício 2.9 - Mu) – Um recipiente composto por duas cascas hemisféricas, 
aparafusadas e suportada por um cabo pesa 1780 N. Determine a força vertical que atua em 
cada um dos 8 parafusos de fixação que estão montados simetricamente ao longo da 
circunferência quando o recipiente esta cheio de mercúrio. Dados: ρHg= 13600 kg/m3. 
R.: 6794 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Medição de pressão 
A pressão num ponto no interior de uma massa de um fluido pode ser designada por 
pressão absoluta ou por pressão manométrica. 
 20 
A pressão absoluta é medida em relação à pressão a zero absoluto, ou seja, na completa 
ausência de matéria ou de movimento desta. Enquanto a pressão manométrica é medida em 
relação a um referencial, geralmente a pressão atmosférica local. 
 
O equipamento de medição de pressão atmosférica é o barômetro de mercúrio, 
experiência realizada por Torricelli. 
 
Atribuindo a equação de Stevin para a experiência de Torricelli. 
 
Como a pressão exercida pelos vapores de mercúrio é muito pequena, devido ao fato do 
mercúrio possuir alta tensão superficial, a equação pode ser reescrita da forma. 
 
Ex. 2.4 – (Exercício 7 - JM) – Determinar a pressão atmosférica local, quando a 
medição do mercúrio for 745 mm. Dados SGHg= 13,6. R.: 99294 Pa 
 
 
 
Ex. 2.5 – (Exercício 8 - JM) – Com a pressão atmosférica calculada anteriormente, 
determine a medida no tubo se tivermos como fluido: a água e o clorofórmio (SG= 2,5). R.: 
10,13 m e 4,05 m. 
 
 
 
 21 
Ex. 2.6 – (Exercício 2.5 - Mu) – Medidores Bourdon são utilizados para a medição de pressão. 
Um manômetro conectado a um tanque indica que a pressão é 34,5 kPa. Determine a pressão 
absoluta no ar contido no tanque sabendo que a pressão atmosférica local é 101,3 kPa. R.: 132,8 kPa. 
 
 
 
2.4 Manometria – medição de pressão 
A manometria estuda a medição de pressão envolvendo o uso de colunas de líquidos em 
tubos verticais ou em tubos inclinados, utilizando os conceitos relacionados pela lei de Stevin. 
 
2.4.1 – Tubo piezométrico 
Tubo piezométrico é um tubo de vidro ligado diretamente ao reservatório, permitindo 
medir diretamente a pressão, através da altura indicada. 
 
 
2.4.2 – Manômetro de tubo em U simples 
Manômetro de tubo em U simples mede a pressão de uma tubulação ou 
reservatório utilizando um segundo fluido como fluido manométrico. O liquido 
manométrico tem que ter a característica de ser imiscível e mais denso que o fluido 
principal. No tubo em U simples a superfície externa do fluido manométrico esta livre 
para a atmosfera. 
hp *γ= 
 22 
 
Onde a fórmula de cálculo é: 
1122 ** hhpA γγ −= 
Ap é a pressão no tubo A em Pascal (Pa); 
1γ é o peso específico do fluido A em N/m
3; 
1h é a altura do fluido A em m; 
2γ é o peso específico do fluido manométrico em N/m
3; 
2h é a altura do fluido manométrico em m. 
 
2.4.3 – Manômetro de tubo em U diferencial 
Manômetro de tubo em U diferencial mede a diferença de pressão entre tubulações ou 
reservatórios, ou entre dois pontos em uma mesma tubulação. Os fluidos a serem medidos 
podem ser diferentes ou ter a mesma composição química, um terceiro liquido age como 
fluido manométrico. 
 
 
Onde a fórmula de cálculo é: 
1122 *** hhhpp mmBA γγγ −+=− 
Ap é a pressão no tubo A em Pascal (Pa); 
1γ é o peso específico do fluido A em N/m
3; 
1h é a altura do fluido A em m 
Bp é a pressão no tubo B em Pascal (Pa); 
2γ é o peso específico do fluido B em N/m
3; 
2h é a altura do fluido B em m; 
mγ é o peso específico do fluido manométrico em N/m
3; 
mh é a altura do fluido manométrico em m. 
 23 
Ex. 2.7 – (Exercício 2.26 - Mu) – Para um fluido estacionário, a pressão no ponto A é 
20 kPa maior que no ponto B. Determine o peso específico do fluido manométrico. R.: 7060 
N/m3. 
 
 
 
 
 
Ex. 2.8 – (Exercício 11.10 - MS) – Um manômetro de mercúrio em formato de tubo em 
U está conectado a um reservatório fechado pressurizado. Se a pressão do ar é 13,8 kPa, 
determine a leitura diferencial, h. O peso especifico do ar pode ser desprezado. R.: 0,09524 m 
 
 
 
 
 
Ex. 2.9 – (Exercício 2.31 - Mu) – Um manômetro de mercúrio indica uma leitura 
diferencial de 0,30 m quando a pressão de vácuo em um tubo A é 30 mmHg. Determine a 
pressão no tubo B. SGHg= 13,6; γóleo= 8,95 kN/m3. R.: 33,4 kPa. 
 24 
 
 
 
 
 
Ex. 2.10 – (Exercício 2.42 - Mu) – O fluido manométrico abaixo apresenta densidade 
igual a 3,46 e os tubos A e B contém água. Determine a nova leitura diferencial no manômetro 
se a pressão no tubo A for diminuída de 9,0 kPa e a pressão no tubo B aumentar 6,2 kPa. R.: 
1,24 m 
 
 
 
 
 
Ex. 2.11 – (Exercício 2.8 - Br) – Determinar as pressões manométricas e absolutas: 
1) do ar; 
2) no ponto M, 
Considere: leitura barométrica local = 740 mmHg; 
γóleo= 8500 N/m3; 
ρHg= 13600 kg/m3. 
 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 2.12 – (Exercício 2.32 - Mu) – Para um manômetro detipo inclinado a pressão no 
tubo A é 4,136 kPa. O fluido nos tubos A e B é a água, e o fluido manométrico tem SG= 2,6. 
Com uma leitura diferencial de 203,2 mm, qual será a pressão correspondente no tubo B. 
R.: 1,55 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
2.5 Lei de Pascal 
A pressão aplicada em um ponto do fluido transmite-se integralmente a todos os pontos 
do fluido. 
 
A lei de Pascal é utilizada em dispositivos que transmitem e ampliam uma força por meio 
da pressão aplicada a um fluido, por exemplo, servomecanismos, freios, prensas hidráulicas, 
dispositivos de controle, macaco hidráulico, etc. 
 
Ex. 2.13 – (Exemplo 9 - JM) – Uma prensa hidráulica de dois êmbolos tem áreas A1= 10 
cm2 e A2= 100 cm2, se a força F1 for de 20 N. Qual será a força transmitida em 2. R.: F2= 200 
N. 
 
 
 
 
 
 
Ex. 2.14 – O elevador hidráulico de um posto é acionado através de um cilindro 6,18 mm de 
diâmetro. O automóvel a ser elevado tem massa de 1500 kg e está sobre o êmbolo de diâmetro 
igual a 87,4 mm. Determine: 
a) A intensidade mínima da força aplicada para elevar o automóvel, 
b) O deslocamento do êmbolo menor para elevar o carro em 10 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
Ex. 2.15 – (Exercício 2.1 - Br) – Determinar o peso de G, que pode ser suportado pelo 
pistão V, desprezando o desnível entre os cilindros e o atrito. Dados: p1= 500 kPa; AI= 10 cm2; 
AHI= 2 cm2; AII= 2,5 cm2; AIII= 5 cm2; AIV= 20 cm2; AV= 10 cm2; h= 2m; γHg=136000 N/m3. R.: 135 
N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6 Força de empuxo 
A força de flutuação ou chamada força de empuxo, é a força resultante do fluido atuando 
em um corpo, quando este corpo encontra-se totalmente submerso ou flutuando em um fluido. 
O exemplo abaixo define uma bóia flutuando em um fluido, na qual esta fixada a 
superfície inferior através de um cabo, as forças FB, W e T, são, respectivamente, a força de 
empuxo, força-peso do corpo e a tração do cabo. 
 
A fórmula do empuxo é dada por: 
VFB *γ= , onde: 
γ é o peso especifico do fluido; 
V é o volume deslocado pelo corpo. 
 28 
O empuxo tem uma magnitude igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, porém 
direcionado para cima. (Principio de Arquimedes). 
O corpo flutuará se seu peso for menor que a força de empuxo. PB FF < 
O corpo estará em equilíbrio em qualquer posição, se PB FF = . 
O corpo afundará se seu peso for maior que a força de empuxo. PB FF > 
A somatória das forças envolvidas no corpo é: 
TFF PB += 
 
Ex. 2.16 – (Exercício 2.87 - Mu) – Densímetro é usado para medir o 
peso especifico relativo (SG). A parte da haste do densímetro que fica 
acima da superfície do liquido indica o valor, pois esta medida é uma 
relação com a massa especifica do fluido no qual o mesmo flutua. A 
massa do densímetro é de 0,045 kg e a área da secção é 290 mm2. 
Determine a distância entre graduações para gravidade especifica de 
1,00 e 0,90. R.: 17,2 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 2.17 – (Exercício 2.84 - Mu) – O lago criado na represa de Tucuruí cobriu uma 
grande quantidade de árvores. Mesmo depois de 15 anos submersas as árvores estavam 
preservadas. Durante o processo de corte uma árvore é selecionada, ancorada através de 
cordas, para prevenir que as mesmas emergem em alta velocidade. Admita que uma árvore 
tenha 30 m de altura, podendo ser considerada como um cone de diâmetro inferior de 2,4 m e 
superior de 0,6 m. Determine a força que os cabos devem suportar quando a árvore for cortada. 
R.: T= 931 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
Ex. 2.18 – (Exercício 2.37 - Br) – Um cilindro de ferro fundido, de 30 cm de diâmetro e 
30 cm de altura, é imerso em água do mar (γ= 10300 N/m3). Qual é o empuxo que a água 
exerce no cilindro? Qual seria o empuxo se o cilindro fosse de madeira (γ= 7500 N/m3). Nesse 
caso, qual seria a altura submersa do cilindro. R.: FB= 218 N; FB= 159 N; h= 0,218 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ex. 2.19 – (Exercício 2.83 - Mu) – Um caibro 
de madeira homogêneo apresenta seção transversal de 
0,15 m x 0,35 m. Determine o peso especifico do caibro 
e a tensão no cabo. R.: γ= 6270 N/m3; T= 824 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 2.20 – (Exercício 2.116 - Wh) – Um cubo homogêneo de 12 cm de lado é balanceado 
por uma massa de 2,0 kg, quando o cubo é submerso em álcool a 20 oC (ρ = 789 kg/m3). Qual é 
a gravidade específica do cubo? R.: SG = 1,95. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
Capítulo 3 Cinemática dos fluidos 
No estudo da cinemática, o fluido de análise está em movimento, como exemplo uma 
tubulação na qual escoa água, divide-se em movimentos, ou regimes permanente e variado. 
Regime permanente é aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada 
ponto com o passar do tempo, por exemplo: uma caixa d’água que recebe água da rede externa, 
enquanto libera para o uso em uma casa. 
Regime transiente (ou variado) é aquele em que as condições do fluido em alguns pontos 
ou regiões de pontos variam com o tempo, por exemplo: um açude que abastece uma cidade 
em um período de seca. 
 
3.1 Escoamento laminar e turbulento 
Através da experiência de Reynolds, pode-se determinar o tipo de escoamento de um 
fluido. Reynolds determinou em um tubo com diâmetro fixo o tipo de escoamento através da 
variação de velocidade do fluido. 
No primeiro caso, com a válvula que regula a velocidade do fluido, um pouco aberta, 
observa-se que a linha de corante introduzido no meio do escoamento, é continua e reta, 
permanecendo assim até o corante se difundir pelo fluido. Neste caso o escoamento foi 
determinado como laminar. 
 
No segundo caso, com a válvula mais aberta, aumenta-se a velocidade do fluido, 
observasse uma imediata mistura entre a linha do corante com o fluido. Neste caso o 
escoamento foi determinado como turbulento. 
 
No terceiro caso, pode ocorrer uma situação entre o escoamento laminar e o turbulento, 
onde a linha formada pelo corante irá permanecer continua e reta, porém num intervalo de 
tempo reduzido o corante começa a misturar-se com o fluido. Neste caso o escoamento foi 
determinado como transição. 
 
 31 
 
Segundo Munson, o número de Reynolds para escoamento em tubos completamente 
desenvolvidos é: 
Para escoamento laminar Reynolds é menor que 2300, enquanto para regime 
turbulento é maior que 4000, e para escoamento transiente fica entre os dois citados. 
A formulação para o cálculo do número de Reynolds. 
µ
ρ DV **Re = , onde: 
ρ é a massa específica do fluido, em kg/m3; 
V é a velocidade do fluido, em m/s; 
D é o diâmetro interno do tubo de escoamento, em m; 
μ é a viscosidade dinâmica do fluido, em N.s/m2. 
 
Ex. 3.1 – (Exercício 11 - JM) – No projeto “Trocador de calor” do 5o semestre de EPM, o 
início dos cálculos é a determinação do número de Reynolds, sabendo que o diâmetro interno 
da serpentina é de 8,7 mm e que a velocidade média de escoamento foi de 1,401 m/s. Ache o 
número de Reynolds experimental. R.: 1,226X104. 
Dados da água: μ= 9,93x10-4 N.s/m2 e ρ = 1000 kg/m3 
 
 
 
 
 
Ex. 3.2 – (Exercício 10 - JM) – Água de chuva escoa de um estacionamento através de 
uma tubulação de 914,4 mm de diâmetro, enchendo-o completamente. a) Qual será a maior 
velocidade da água para o escoamento laminar? b) Qual a menor velocidade para o escoamento 
turbulento? R.: a) 2,5x10-3 m/s; b) 4,4x10-3 m/s 
 
 
 
 
 
 
 32 
3.2 Vazão 
Vazão é a quantidade de fluido que entra ou sai de um determinado volume de controle por 
tempo. 
t
VQ = , onde: 
Q é a vazão volumétrica, em m3/s; 
V é o volume, em m3; 
t é o tempo, em s. 
Como o volume pode ser determinado por AsV *= , substituindo na fórmula de vazão 
volumétrica, tem-se 
t
AsQ *= . 
Mas, 
t
sV = , então a fórmula final para vazão é 
AVQ *= , onde: 
V é a velocidade em m/s; 
A é a área em m2. 
A vazão pode relacionar-se com a massa específica de um material, essencial para cálculos de 
fluidos compressíveis, obtendo-se a vazão mássica. 
AVm **ρ= , onde: 
ρ é a massa específica do fluido, emkg/m3. 
A fórmula da vazão é utilizada para cálculos mais simples, devido ao fato de a velocidade 
variar ao longo de uma determinada área, para cálculos mais precisos, utiliza-se a velocidade 
média. 
A velocidade média na seção é uma velocidade uniforme que, substituída no lugar da 
velocidade real, reproduzirá a mesma vazão na seção. 
AVVdAQ m
A
*== ∫ 
Obtendo-se Vm da igualdade. 
∫=
A
m VdAA
V 1 
 
Ex. 3.3 – (Exercício 12 - JM) – Partindo do exercício 3.1, determine a vazão volumétrica e a 
vazão mássica. R.:. 8,33x10-5 m3/s; 8,33x10-2 kg/s. 
 
 
 
 33 
Ex. 3.4 – (Exercício 13 - JM) – Determine qual seria a vazão mássica se a experiência 
fosse feita com glicerina, utilizando as mesmas condições do exercício 3.1. Dados: 
SGglicerina=1,26. R.: 1,05x10-1 kg/s. 
 
 
 
 
3.3 Equação da continuidade para regime permanente 
Quando ocorre escoamento de um fluido ao longo de um duto, em uma linha de corrente, 
a vazão mássica em um ponto do fluido será a mesma ao longo de seu escoamento. Se o fluido 
for incompressível a massa específica não varia ao longo do tempo, obtendo-se a igualdade 
também para vazão volumétrica. 
 
No duto acima, a velocidade V1 será maior que a V2, enquanto a área A1 é maior que a 
A2. Como não se incorpora massa ao sistema (regime permanente), a vazão mássica permanece 
a mesma. Sendo um fluido incompressível, a vazão volumétrica também permanece constante. 
21 mm  = 
2211 **** AVAV ρρ = 
No caso de sistemas onde possuam mais do que uma entrada e saída, somam-se as 
entradas e saídas. 
∑∑∑∑ == 2121 QQoumm  
 
Ex. 3.5 – (Exemplo 3.12 - Br) – Um gás escoa em regime permanente no trecho da 
tubulação abaixo. Na seção 1, tem-se V1= 30 m/s, ρ1= 4 kg/m3. Na seção 2 a área é a metade de 
1, enquanto ρ2= 12 kg/m3. Qual é a velocidade no ponto 2. R.: V2= 20 m/s. 
 
 
 34 
Ex. 3.6 – Os dois tanques cúbicos com água são esvaziados ao mesmo tempo, pela 
tubulação indicada na figura, em 500 s. Determinar a velocidade da água na seção A, supondo 
desprezível a variação de vazão com a altura. R.: V = 32 m/s 
 
 
 
 
Ex. 3.7 – (Exemplo 3.7 - Br) – Um tubo admite água (1000 kg/m3), num reservatório com 
uma vazão de 20 L/s. No mesmo reservatório é trazido óleo (800 kg/m3) por outro tubo com 
vazão de 10 L/s. A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem um 
diâmetro de 6,18 cm. Determinar a massa específica da mistura formada no duto de saída e sua 
velocidade. R.: ρ3= 933 kg/m3, V3= 10 m/s. 
 
 
 
 
 
 
Ex. 3.8 – (Exercício 3.17 - Br) – Um propulsor a jato queima 1 kg/s de combustível quando o 
avião voa a velocidade de 200 m/s. Sendo dados: ρar= 1,2 kg/m3, ρgases= 0,5 kg/m3, A1= 0,3 
m2, A2 = 0,2 m2, determinar a velocidade dos gases (Vg) na seção de saída. R.: V2= 730 m/s. 
 
 
 
 
 35 
Ex. 3.9 – (Exercício 3.13 - Br) – Um insuflador de ar da figura abaixo gera 16200 m3/h na 
seção 0, com uma velocidade média de 9,23 m/s. Foram medidas as temperaturas nas seções 
0, 1 e 2, sendo, respectivamente, 17, 47 e 97 oC. Admitindo como imposição do projeto do 
sistema que o número de Reynolds deva ser de 105 nas seções 1 e 2 e sabendo que o diâmetro 
D2= 80 cm, a viscosidade cinemática é de 8x10-5 m2/s e que a pressão tem variações 
desprezíveis no sistema. Determinar: 
1) As vazões em massa em 1 e 2. 
2) As vazões em volume em 1 e 2; 
3) O diâmetro da seção 1 
R.: 68,01 =m kg/s, 73,42 =m kg/s; Q1= 0,63 m
3/s, Q2= 5,03 m3/s; D1= 0,099m 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 3.10 – (Exercício 14 - JM) – O índice pluviométrico para uma chuva forte em São 
Paulo é de 20 mm por 15 min, onde 1,0 mm de chuva é 1,0 L/m2. Uma casa normal possui 
cerca de 250 m2 de área impermeável. Sabendo que a calha pluvial possui diâmetro de 10 cm. 
Determine a velocidade de escoamento pela calha para drenar a água da chuva, ache o número 
de Reynolds para este escoamento. Dados: μ= 9,93X10-4N*s/m2, ρ= 998,3 kg/m3. R.:. V= 
0,707 m/s, Re = 71113. 
 
 
 
 
 
 
Ex. 3.11 – Água é descarregada de um tanque cúbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 
cm de diâmetro localizado na base. A vazão de água no tubo é 10 l/s. Determinar a velocidade 
de descida da superfície livre da água do tanque e, supondo desprezível a variação de vazão, 
determinar o tempo que o nível da água levará para descer 20 cm. R.: 4x10-4 m/s ; 500 s 
 
 
 
 36 
3.4 Equação da quantidade de movimento (momento de um fluxo) 
A 2a lei de Newton do movimento para uma partícula de massa m é determinada por: 
amF *= 
Como a massa não varia ao longo de um escoamento em regime permanente, temos: 
dt
dVa = 
Substituindo na fórmula da força. 
( )
dt
VmdF *= , onde 
m*V é o momento de fluxo de uma partícula. 
No capítulo 3.3 foi observado que em um fluxo podem-se ter várias entradas e saídas, 
como estamos medindo a quantidade de movimento em vários pontos em um instante qualquer, 
teremos: 
)(*** 121122 VVmVmVmF −=−=  , em regime permanente. 
Como a força e a velocidade é uma grandeza vetorial, então a equação da quantidade de 
movimento também será uma equação vetorial, ou seja, a força F será decomposta em suas 
componentes Fx, Fy e Fz, o mesmo acontecendo com a velocidade V que formará as 
componentes: u, v e w. 
 
Ex. 3.12 – (Exercício 5.1 - Br) – Calcular o esforço horizontal sobre a estrutura do 
ventilador da figura abaixo. Desprezar a perda de carga entre as seções (1) e (2). Dados: D2 = 
0,38 m; V2 = 30 m/s; γ = 12,7 N/m3; V1 ≈ 0. R. Fx = 132,3 N 
 
 
 
 
 
 
 37 
Ex. 3.13 – (Exercício 12.19 - MS) – Determine a magnitude e a direção e o sentido das 
componentes x e y da força de ancoragem necessária para manter em posição a combinação e 
um joelho horizontal de 180o com um bocal. Despreze o efeito da gravidade. R.: Fx = 7787,5 N 
 
 
 
 
 
Ex. 3.14 – (Exercício 12.14 - MS) – De quanto é reduzida a força propulsora (força ao 
longo da linha de centro do avião), em um avião a jato, comparado com um voo normal, na 
qual a exaustão é paralela a linha de centro. R.: ΔF = 805,8 N 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 3.15 – (Exercício 12.1 - MS) – Um jato de água sai de um bocal com velocidade 
uniforme V=10 m/s, atinge a superfície plana de um defletor e é desviada em um ângulo de 
27º. Determine a força de ancoragem necessária para manter a superfície plana inclinada 
estacionária. R.: F = 2801 N 
 
 
 
 
 
 
 38 
Capítulo 4 Equação de Bernoulli 
Na mecânica dos fluidos é usual obter a equação de Bernoulli como uma aplicação da 
segunda lei de Newton para uma partícula de fluido em movimento ao longo de uma linha de 
corrente, ou seja, linhas tangentes ao vetor velocidade em qualquer posição no escoamento. A 
linha de corrente (linha de fluxo) pode ser considerada como o caminho de uma partícula 
saindo de um ponto 1 e se movimentando para um ponto 2. 
Sendo um escoamento estacionário ( regime permanente) e o fluido incompressível. 
.tan*
2
**1 2 correntedelinhaumadelongoaoteconsZVp =++ γρ 
p é a pressão estática do fluido (manométrica), em Pa; 
ρ é a massa específica do fluido, em kg/m3; 
V é a velocidade do fluido, em m/s; 
γ é o peso específico, em N/m3; 
Z é a altura, em m. 
 
 
 
4.1 Pressões: Estática, Hidrostática, Dinâmica e Total. 
Pressão estática, ou termo p na equação de Bernoulli, é a pressão termodinâmica efetiva 
do fluido conforme ele escoa, pode ser medido através de um manômetro ou através de um 
tubo piezométrico. 
Pressão hidrostática, ou o termo γ*Z na equação de Bernoulli, representa a variação 
aceitável de pressão, devido a variação de energia potencial do fluido, resultantes da variação 
de altura. 
Pressão dinâmica, ou o termo ρ*V2 na equação de Bernoulli. A pressão dinâmica é 
representada pelo tubo de Pitot, ou seja, o fluido formará uma pressão na extremidade de um 
pequeno tubo inserido no escoamento e apontado para montante do escoamento. Após o 
desaparecimento do movimento transiente inicial, o fluido irá preencher o tubo até uma altura 
h. Estando o fluidoestacionário (velocidade nula), formará um ponto de estagnação. 
 39 
 
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2, tem-se: 
2
2
2
21
2
1
1 *2
**1*
2
**1 ZVpZVp γργρ ++=++ 
Considerando: V2=0, Z1=Z2, então: 
2
**1 21
12
Vpp ρ+= 
A pressão 2 (no ponto de estagnação) excede a pressão 1, devido ao aumento da 
velocidade. 
A pressão total, ou seja, a soma das pressões estática, hidrostática e dinâmica, é dada por: 
1
2
1
1 *2
**1 ZVppT γ
ρ
++= 
Outra forma da equação de Bernoulli é dividindo-se cada termo pelo peso específico, 
obtendo-se assim os termos em metros. 
teconsZ
g
Vp tan
*2 1
2
=++
γ
 
 
4.2 Jatos livres 
Quando um jato de fluido escoa em um bocal, pode-se considerar como jato livre, 
utilizando a equação de Bernoulli, para os pontos 1 e 2, tem-se: 
2
2
2
21
2
1
1 *2
**1*
2
**1 ZVpZVp γργρ ++=++ 
Como Z1=h, Z2=0, 01 ≅V , p1=p2=patm=0. 
gmasVh *,
2
**1*
2
2 ργ
ρ
γ == , então: 
 
hgV **22 = 
 
 
 
 40 
4.3 Escoamentos confinados 
O fluido é fisicamente confinado no interior de um dispositivo de forma que a pressão 
não pode ser determinada na fronteira. Para estes casos utilizam-se o balanço de massa (vazão 
mássica) juntamente com a equação de Bernoulli. 
Balanço de massa: AVm **ρ= 
Equação de Bernoulli: 2
2
2
21
2
1
1 *2
**1*
2
**1 ZVpZVp γργρ ++=++ 
 
Ex. 4.1 - (Exercício 3.18 (Mu) O bocal de uma mangueira de incêndio apresenta 
diâmetro igual a 29 mm. De acordo com algumas normas de segurança, o bocal deve ser capaz 
de fornecer uma vazão mínima de 68 m3/h. Determine o valor da pressão na seção de 
alimentação do bocal para que a vazão mínima seja detectada. O bocal está conectado a uma 
mangueira que apresenta diâmetro de 76 mm. R.: p1=400,3 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 4.2 - Exercício 3.73(Mu) Determine a vazão volumétrica através do medidor do tipo 
Venturi, se o efeito da viscosidade for desprezível e o fluido for a água. R.: Q=0,00588 m3/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41 
Ex. 4.3 - Exercício 4.4 (Br) Um avião está voando a 3000 m de altitude (patm = 70,12 kPa e ρ = 
0,9093 kg/m3). Se o tubo de Pitot instalado nele apresenta uma leitura de pressão diferencial de 8,8 
mmHg, calcule a sua velocidade de vôo.. R.: 184,7 km/h. 
 
 
 
 
 
Ex. 4.4 - O tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo indicado. 
Considerando o fluido ideal, determinar a vazão em volume de água descarregada, se a seção do 
tubo é 10 cm2. Despreze as perdas na tubulação. R.: 9,835x10-3 m3/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 4.5 - Exemplo 3.7 (Mu) Um tanque de diâmetro 1,0 m é alimentado com um escoamento 
de água proveniente de um tubo que apresenta diâmetro de 0,1m. Determine a vazão em volume (Q), 
necessária para que o nível no tanque permaneça constante e igual a 2,0m. R.: Q=0,0492m3/s. 
 
 
 
 
 42 
Ex. 4.6 - Exercício 3.14 (Mu) Água escoa em uma torneira localizada no andar térreo de 
um edifício com velocidade máxima de 6,1m/s. Determine as velocidades máximas de 
escoamento nas torneiras localizadas no subsolo e no 1o andar do edifício. Admita que o 
escoamento é invíscido e que cada andar possua 3,6m de altura. R.: V2=10,38 m/s, 
V3=impossível. 
 
 
 
 
 
Ex. 4.7 - Exercício 3.19 (Mu) Água flui de um tubo de 1,9cm de diâmetro e alcança 
7,11cm de altura acima da saída. Determine a vazão mássica. R.: skgm /335,0= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
4.4 Equação da energia mecânica 
 
A equação de Bernoulli deriva-se da equação da energia, onde são relacionadas as 
energias cinética, potencial e de escoamento (pressão) com as alturas de cargas. 
A pressão estática, 
γ
p , relaciona-se com a energia de escoamento, Vp * , ou seja, as 
variações de volume num escoamento isobárico. 
A pressão dinâmica, 
g
V
*2
2
, relaciona-se com a energia cinética, 
gm
Vm
**2
* 2 . 
A pressão hidrostática, Z , relaciona-se com a energia potencial, 
gm
Zgm
*
** . 
A equação de Bernoulli é utilizada para escoamentos em regime permanente, sem perdas 
e sem variações de viscosidade, porém pode-se utilizar uma fórmula mais ampla, no qual se 
levam em consideração efeitos externos e internos que interferem no escoamento. Os principais 
efeitos externos são: a introdução no fluxo de bombas (hp), equipamentos utilizados para 
aumentar a energia do escoamento, e turbinas (hT), equipamentos utilizados para retirar 
energia do escoamento. 
Como efeito interno se tem a perda de carga (hL), a perda de carga se relaciona com a 
perda de energia (pressão) devido a atrito com as paredes de escoamento, choques com 
obstáculos ao fluxo (cotovelos, válvulas, T’s, junções, etc.) e viscosidade do fluido. 
Assim a equação da energia mecânica se torna: 
1
2
1
2
*2*2
Z
g
VphhhZ
g
Vp
LTp ++=−−+++ γγ
 
Os termos hp e hT , são as alturas de carga de bomba e turbina, podendo serem calculados 
a partir de sua potência. 
gm
W
hou
Q
W
h pp
p
p ** 

==
γ
 
gm
Whou
Q
Wh TTTT ** 

==
γ
 
hp é a altura de carga de bomba, em m; 
hT é a altura de carga de turbina, em m; 
pW é a potência de entrada da bomba, em W; 
TW é a potência de saída da turbina, em W; 
 
 44 
Ex. 4.8 - Exercício 12.34 (MS) Água escoa em regime permanente de um lado para 
outro do tubo inclinado. Em uma seção, a pressão estática é 55 kPa, Na outra seção, a 
pressão estática é 34kPa. Qual sentido a água está escoando, qual a perda de carga. R.: 
hL=0,86m. 
 
 
 
 
Ex. 4.9 - Exercício 12.35 (MS) Óleo (SG=0,9) escoa para baixo através de uma 
contração em um tubo vertical. Se a leitura h, no manômetro de mercúrio, indica 120 mm. 
Determine a vazão volumétrica para o escoamento sem atrito. R.: Q=0,0456m3/s. 
 
 
 
 
 
Ex. 4.10 - Exercício 12.6 (MS) Determine a potência máxima de saída possível de uma turbina 
hidrelétrica. R.: MWWT 54,4= . 
 
 45 
Ex. 4.11 - Exercício 12.7 (MS) Uma bomba fornece 7,46 kW de potência a água. A vazão de 
bombeamento é de 0,057 m3/s do nível inferior para o superior. Determine a perda de carga. R.: 
mhL 34,13= . 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 4.12 - Uma turbina hidráulica é suprida com 4,25 m3/s de água a 415 kPa. Um manômetro 
de vácuo na descarga da turbina a 3m abaixo da linha de centro da entrada da turbina indica 250 
mmHg de vácuo. Se a potência de eixo de saída da turbina é de 1100 kW, calcule a perda de carga 
por atrito da turbina. Os tubos de entrada e descarga possuem diâmetros internos iguais a 800 mm. 
R.: hL= 46,06m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
Capítulo 5 Perda de carga 
As perdas de cargas estão relacionadas com as características do fluido, como a viscosidade, 
massa específica, e com as características de escoamento, como a rugosidade do material (atrito), 
geometria dos dutos de escoamento (curvas, T’s, restrições, conexões, etc.). 
Cada tipo de escoamento possui uma formulação adequada para calcular a perda de carga. 
 
5.1 Escoamento laminar completamente desenvolvido 
Para medição de vazão em dutos de escoamento laminar utiliza-se a lei de Pouseuille. 
L
pDQ
**128
** 4
µ
π ∆
= , onde: 
p∆ é a variação de pressão, ou seja, a queda de pressão, (p1-p2), em Pa. 
μ é a viscosidade dinâmica, em N*s/m2; 
L é o comprimento do tubo, em m; 
Q é a vazão volumétrica, em m3/s; 
D é o diâmetro, em m. 
 
A lei de Pouseuille, somente é valida para escoamentos em dutos circulares e completamente 
desenvolvidos, isto é, completamente cheios em sua área pelo fluido. 
 
Ex. 5.1 - Exercício 3.51 (Mu) Um óleo com viscosidade 0,40 N*s/m2 e massa específica de 
900 kg/m3, escoa em um tubo de diâmetro de 20 mm. Qual a queda de pressão, ao longo de um 
comprimento de tubulação de 10 m para uma vazão de 2,0x10-5 m3/s. R.: kPap 4,20=∆ . 
 
 
 
 
 
Ex. 5.2 - Exercício 14.8 (MS) Óleo (γ= 8900 N/m3), com viscosidade dinâmica de 0,10 
N*s/m2 e velocidade de 3,0x10-5 m/s, escoa através de um tubo horizontal de 23 mm de diâmetro. 
Um manômetro diferencial em U é utilizado para medir a queda de pressãoao longo do tubo. 
Determine a altura máxima de h para escoamento laminar. R.: mh 56,0= . 
 
 47 
5.2 Classificação das perdas de carga 
Através do comportamento do escoamento dos fluidos em condutos, ocorrem dois tipos de 
perda de carga. 
O primeiro é o chamado “perda de carga distribuída” (hf), tal perda acontece ao longo de tubos 
retos, de seção constante, devido ao atrito das próprias partículas do fluido entre si, se necessita de 
trechos longos de condutos, pois o atrito acontecerá de forma distribuída ao longo deles. 
O segundo tipo corresponde as chamadas “perdas de cargas locais ou singulares” (hs), 
acontecem em locais de instalações em que o fluido sofre perturbações bruscas em seu escoamento, 
podem ser grandes em trechos relativamente curtos da instalação, como exemplo, válvulas, 
restrições, mudanças de direções, alargamentos bruscos, etc. 
 
5.2.1 Perda de carga distribuída 
Para perda de carga distribuída se tem as seguintes hipóteses: 
a) Regime permanente, fluido incompressível, para gases que fluem com pequenas 
variações de pressão, podem ser considerados incompressíveis; 
b) Condutos longos, para que possa ser alcançado o regime estabelecido; 
c) Condutos cilíndricos, com área constante; 
d) Rugosidade uniforme; 
e) Trechos sem máquinas (bombas ou turbinas); 
 
A fórmula de perda de carga distribuída fica: 
2*
***
2
D
VLfh f
ρ
= , onde: 
hf é a perda de carga distribuída, em m; 
f é o coeficiente de perda de carga distribuída, sendo uma função de Reynolds e da rugosidade; 
L é o comprimento do tubo; 
D é o diâmetro do tubo; 
V é a velocidade de escoamento. 
 
Para escoamentos laminares o coeficiente de perda de carga distribuída é 
Re
64
=f , mostrado no 
diagrama de Moody-Rouse na região estável do gráfico. 
 
 48 
 
Para escoamento turbulento, utiliza-se o gráfico de Moody-Rouse, neste caso necessita-se da 
rugosidade do material, geralmente fornecidas em literaturas. 
Pode-se utilizar ainda para obter o fator de atrito em escoamento turbulento a fórmula de 
Colebrook. 
 49 








+−=
fDf Re*
51,2
7,3*
log*0,21 ε 
Para tubos hidraulicamente lisos, a rugosidade pode ser considerada 0, sendo o fator de atrito 
sendo determinado pela equação de Blausius. 
4
1
Re
316,0
=f 
 
Material do Conduto e (mm) Material do Conduto e (mm) 
 
Rocha sem revestimento 100 a 1000 Aço soldado revestido 
concreto 
0,05 a 0,15 
Concreto rugoso 0,40 a 0,60 
 
Aço soldado revestido 
esmalte 
0,01 a 0,30 
Concreto granular 0,18 a 0,40 Aço rebitado 
revestido asfalto 
0,9 a 1,8 
 
Concreto centrifugado 0,15 a 0,50 Fibrocimento 0,015 a 0,025 
 
Concreto liso 0,06 a 0,18 Latão, cobre, chumbo 0,004 a 0,01 
 
Concreto muito liso 0,015 a 0,06 Alumínio 0,0015 a 0,005 
 
Ferro forjado enferrujado 0,15 a 3,00 Vidro 0,001 a 0,002 
 
Ferro galvanizado ou 
fundido revestido 
0,06 a 0,30 PVC, polietileno 0,06 
 
Ferro fundido não 
revestido novo 
0,25 a 1,00 Cerâmica 0,06 a 0,6 
 
Ferro fundido com 
corrosão 
1,00 a 1,50 Teflon 0,01 
 
Ferro fundido obstruído 0,30 a 1,50 Fiberglass 0,0052 
 
Ferro fundido muito 
corroído 
até 3,00 Madeira aparelhada 0,18 a 0,9