ÂNGULOS E DISTÂNCIAS

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TOPOGRAFIA
DIREÇÃO NORTE-SUL MAGNÉTICA X NORTE-SUL VERDADEIRO, RUMOS 
E AZIMUTES & OPERAÇÕES COM ÂNGULOS;
RUMOS E AZIMUTES À VANTE E À RÉ; CORREÇÃO DE RUMOS E 
AZIMUTES;
Professora: Ma. Giovanna Feitosa
Março/2016
Aula 3
TOPOGRAFIA
• Norte-Sul Geográfico versus Norte-Sul
Magnético
• Por muito tempo se pensou que o norte geográfico e o
norte magnético eram um só. Em 1831, o explorador
inglês James Ross verificou que não eram iguais, ao
chegar ao Ártico.
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TOPOGRAFIA
• Norte-Sul Geográfico versus Norte-Sul
Magnético
• O norte geográfico resulta do movimento de rotação
da Terra, enquanto o norte magnético é o resultado do
campo magnético gerado pelo movimento do metal
fundido do núcleo externo em torno do núcleo metálico
sólido da Terra.
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TOPOGRAFIA
• Norte-Sul Geográfico versus Norte-Sul
Magnético
• Os dois nortes, portanto, expressam fenômenos
geofísicos diferentes. Entretanto, antes mesmo desse
conhecimento, os chineses inventaram a bússola e os
europeus se lançaram às grandes navegações.
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TOPOGRAFIA
• Bússola
• As bússolas são geralmente compostas por uma agulha
magnetizada colocada num plano horizontal e suspensa pelo seu
centro de gravidade de forma que possa girar livremente, e
aponta sempre para o pólo norte magnético e, de modo
aproximado, para o norte geográfico.
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TOPOGRAFIA
• Bússola
• Uma confusão frequente é quanto à nomenclatura dos
Pólos. Pela convenção física, o Pólo Magnético Norte
estaria situado no sul da Terra e vice-versa. Para evitar
essa confusão, convencionou-se chamar de Pólo Norte
Magnético o Pólo que está próximo ao Pólo Norte
Geográfico, o mesmo ocorrendo com o Pólo Sul.
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TOPOGRAFIA
• Declinação Magnética
• O ângulo entre o norte magnético e o geográfico reflete a
declinação magnética do lugar e varia geralmente de 20 a 30
graus. Como o campo magnético varia com o tempo, foram
desenvolvidos métodos de cálculo, em que é possível
determinar a Declinação Magnética de uma localidade, em data
específica.
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TOPOGRAFIA
• Declinação Magnética
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TOPOGRAFIA
• Declinação Magnética
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TOPOGRAFIA
• Declinação Magnética
• Quando se unem os pontos do globo que têm a mesma
declinação magnética, formam-se linhas isogônicas. Essas linhas
caminham aproximadamente na direção Norte-Sul, com alguma
imprecisão. Dessa maneira, é evidente que a Declinação
Magnética é diferenciada, principalmente em virtude da
longitude do local.
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TOPOGRAFIA
• Declinação Magnética
• Existem outras variáveis que alteram a Declinação
Magnética: as variações diurnas, por exemplo, onde verifica-se
Declinações Magnéticas diferentes para diferentes horas do dia.
Entretanto, excetuando-se o fator localização, os demais
fatores são irrelevantes, a menos que se necessite de grande
precisão.
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TOPOGRAFIA
• Rumos e Azimutes
• O rumo de uma linha é o ângulo horizontal entre a
direção Norte-Sul e a linha, medido a partir do Norte ou
do Sul, em direção à linha. A medida não ultrapassa 90°.
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TOPOGRAFIA
• Rumos e Azimutes
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A máxima medida 
para o Rumo é 90°.
TOPOGRAFIA
• Rumos e Azimutes
• Azimute de uma linha é o ângulo que essa linha faz com a
direção Norte-Sul, medido a partir do Norte ou do Sul, para a
direita ou para a esquerda e variando de 0° a 360°.
• No Brasil, usa-se sempre medir o azimute a partir do
Norte, e no sentido horário (à direita).
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TOPOGRAFIA
• Rumos e Azimutes
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TOPOGRAFIA
• Exercícios
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Qual é o Rumo da linha 1-2?
E o azimute?
TOPOGRAFIA
• Exercícios
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Qual é o Rumo da linha 1-2?
E o azimute sul à esquerda de 1-3?
TOPOGRAFIA
• Exercícios
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Linha Rumo Azimute
1-2 N 25° 12’ E
2-3 S 34° 28’ W
3-4 S 88° 59’ E
4-5 S 44° 48’ W
5-6 N 89° 59’ W
6-7 N 72° 26’ 33’’ E
TOPOGRAFIA
• RESUMÃO RUMOS - AZIMUTES
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TOPOGRAFIA
• Sentido à vante e Sentido à ré
• O sentido à vante de uma linha é aquele que obedece ao
sentido em que se está percorrendo a linha.
• O sentido a ré de uma linha é aquele em que a obtenção do
ângulo é feita em sentido contrário ao caminhamento da linha.
• Assim, para o levantamento das estacas 1, 2, 3, 4... O
sentido à vante seria de 1-2, e o sentido à ré, por exemplo, de
4-3.
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TOPOGRAFIA
• Sentido à vante e Sentido à ré
• O rumo à ré de uma linha deve ser numericamente
igual ao rumo à vante, porém com as “letras” trocadas.
• Se o rumo à vante 3-4 é N 32° E, então o rumo à ré
será S 32° W.gi
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TOPOGRAFIA
• Sentido à vante e Sentido à ré
• Os azimutes à vante e à ré da mesma linha guardam
entre si uma diferença de 180°. Se o azimute à vante de
AB é 110°, o azimute à ré de AB será 290°.
• Se o vante de CD for 320°, então o azimute à ré será
320°-180°=140°.
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TOPOGRAFIA
• Exercício
• Dados os rumos à vante das linhas abaixo, encontre os
azimutes, à vante e à ré.
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Linh
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Rumo Azimute à 
vante
Azimute à ré
1-2 N 25° 12’ E
2-3 S 34° 28’ W
3-4 S 88° 59’ E
4-5 S 44° 48’ W
5-6 N 89° 59’ W
6-7 N 72° 26’ 33’’ E
TOPOGRAFIA
• Exercício
• O azimute de CD é 189°30’ e o rumo de ED é S 8°10’E.
Calcule o ângulo CDE, medido com sentido à direita, isto
é, no sentido horário.
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TOPOGRAFIA
• Exercício
• O rumo de 6-7 é S 35° 05’ W, o rumo de 7-8 é N 86°
55’ W.
• Calcular o ângulo à direita da estaca 7.
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TOPOGRAFIA
• Exercício
• O rumo magnético de AB é 46° 12’ 27’’ NE. Considere
a linha AB como parte de um levantamento feito em
Caruaru. Qual é o rumo verdadeiro? E o azimute
verdadeiro?
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TOPOGRAFIA
• Correção de Rumos e Azimutes
• Quando se obtém os valores de rumos e azimutes
através de bússola, os valores podem vir alterados por
efeito deatrações locais.
• Os principais motivos relacionados a essas variações
pode ser atribuído a grandes depósitos de ferro mineral
ou correntes elétricas.
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TOPOGRAFIA
• Correção de Rumos e Azimutes
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O rumo magnético de AB 
deveria ser NmÂB.
Com o deslocamento da agulha 
provocado pela atração local o 
rumo magnético torna-se 
N’mÂB.
TOPOGRAFIA
• Correção de Rumos e Azimutes
• O aparelho estacionado na estaca 3 vai ler o rumo ré
3-2 e o vante 3-4. A linha NS é a direção Norte-Sul
magnética. E a linha N’S’ é a mesma direção, alterada de
2° E em virtude da atração local no ponto 3. Então, se a
leitura obtida a ré para 3-2 é 32° NW e á vante para 3-4 é
38°NE, quais os valores corrigidos para esses rumos?
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Correção de Rumos e Azimutes
TOPOGRAFIA
• Correção de Rumos e Azimutes
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N8N’=2°
Az 8-9=58°
Az 8-7=310°
Qual é o Azimute 
magnético real da linha 
8-9?
E da linha 8-7?
TOPOGRAFIA
• Correção de Rumos e Azimutes
• Quando se medem sucessivamente os rumos ou
azimutes de diversas linhas pertencentes a um polígono,
pode-se estabelecer, por cálculo, uma só posição para a
linha NS em todas as estacas.
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido)
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E
5 S 73° 40’ W
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
COMO FUNCIONA A CORREÇÃO?? 
VAMOS POR UM PASSO-A-PASSO??
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
PRIMEIRO, NUMA POLIGONAL 
ABERTA, PARTE-SE DO PRIMEIRO 
PONTO E ELE É TOMADO COMO 
CORRIGIDO.
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• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
ENTÃO ELE É REPETIDO 
NA COLUNA DE RUO 
CORRIGIDO! (N 50° 30’ E)
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• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
AGORA VERIFIQUE O ERRO 
ENTRE O RUMO CORRIGIDO E O 
RUMO A RÉ LIDO. ACRESCENTE 
(+30’) PARA QUE SE IGUALEM.
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1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
AGORA, ESTANDO NA ESTACA 
2, VC FEZ DUAS LEITURAS, 
RÉ PARA 1 E VANTE PARA 3. 
ISSO QUER DIZER QUE O 
ERRO POR ATRAÇÃO LOCAL É 
O MESMO. BASTA VERIFICAR A 
DIREÇÃO.
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• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
FUNCIONA ASSIM: SE AS 
DIREÇÕES FOREM IGUAIS, 
REPETE-SE A OPERAÇÃO, SE 
FOREM DIFERENTES, 
INVERTE-SE A OPERAÇÃO.
PERA, DIREÇÃO???
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• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
SIM, DIREÇÃO. A DIREÇÃO SW 
É IGUAL À DIRELÇAO NE. 
CONCORDA??
QUER DESENHAR??
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• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
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1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
SIM, DIREÇÃO. A DIREÇÃO SW 
É IGUAL À DIRELÇAO NE. 
CONCORDA??
QUER DESENHAR??
DÚVIDAS?
NÃO, NÉ???
BLZ. QUE FAZ AGORA? 
REPETE A OPERAÇÃO NO 
RUMO VANTE DE 2-3.
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• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
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c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
SE SOMOU (+30’) ENTÃO O 
RUMO CORRIGIDO SERÁ 
N 82° 40’ E
E AGORA?
TUUUDO DE NOVO!
TOPOGRAFIA
• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
6
c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)SE O CORRIGIDO É 
N 82° 40’ E ENTÃO A 
DISCREPÂNCIA É (-20’)
E (-20’) VEM COM QUE SINAL 
PARA CORRIGIR O RUMO VANTE 
DE 3-4?? 
TOPOGRAFIA
• Um Exemplo
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fe
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@
g
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.c
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
6
c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
SE O CORRIGIDO É 
N 82° 40’ E ENTÃO A 
DISCREPÂNCIA É (-20’)
FÁCIL!!! LEMBRA DAS 
DIREÇÕES?? SW É DIFERENTE DE 
SE. INVERTE O SINAL. 
CONFERE?? 
SOH ACREDITO VENDO!!!
TOPOGRAFIA
• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
6
c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
SE O CORRIGIDO É 
N 82° 40’ E ENTÃO A 
DISCREPÂNCIA É (-20’)
FÁCIL!!! LEMBRA DAS 
DIREÇÕES?? SW É DIFERENTE DE 
SE. INVERTE O SINAL. 
VIU???
TOPOGRAFIA
• Um Exemplo
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g
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
6
c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
AGORA O PROCESSO FICA 
REPETITIVO. CORRIGE O RUMO 
VANTE DE 3-4. S35° 20’ E
COMPARA O RUMO RÉ COM O 
RUMO VANTE E APLICA O VALOR 
DA CORREÇÃO = (+50’).
COMPARA AS DIREÇÕES DE 4-3 
E 4-5 E DECIDE QUAL É O SINAL 
QUE USA.
TOPOGRAFIA
• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
6
c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
VIU QUE AS DIREÇÕES SÃO 
DIFERENTES? POR ISSO O SINAL 
VAI INVERTIDO. 
ENTENDEU O PROCESSO??
SIMMMMMMMMMM!!!! 
TOPOGRAFIA
• Um Exemplo
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ESTACA Rumo à vante (lido) Rumo à ré (lido) Rumo 
Corrigido
1 N 50° 30’ E S 50° 00’ W N 50° 30’ E
2 N 82° 10’ E S 83° 00’ W N 82° 40’ E
3 S 35° 00’ E N 34° 30’ W S35° 20’ E
4 S 1° 50’ W N 1° 20’ E S1° 00’ W
5 S 73° 40’ W S 73° 20° W
6
c (+30’)
(+30’) (-20’)
(+20’) (+50’)
(-50’) (-20’)
(-20’)
AGORA É SÓ 
CONCLUIR O 
EXERCÍCIO!!
TOPOGRAFIA
• Exercício
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m LINHA RUMO À VANTE 
(LIDO)
RUMO À RÉ 
(LIDO)
RUMO CORRIGIDO
A-B S 40° 20’ E N 40° 00’ W (+20’) S 40º 20’ E
B-C N 81° 40’ E S 81° 20’ W N 81° 20’ E
C-D S 89° 50’ E S 89° 50’ W
D-E S 00° 20’ E N 00° 40’ E S 00° 00’
E-F S 42° 00’ W N 44° 20’ E S 41° 20’ W
F-G S 84° 40’ W N 81° 00’ E
G-H S 89° 30’ W S 89° 50’ E
H-I N 70° 20’ W S 68° 00’ E N 70° 20’ W
I-J N 00° 40’ E S 00° 40’ E
J-K N 18° 20’ W S 40° 00’ E
K-L N 27° 00’ E S 27° 10’ W N 27° 40’ E
L-M N 89° 30’ E N 89° 00’ W
M-N S 62° 00’ E S 63° 00’ E
c
TOPOGRAFIA
• Exercício
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m LINHA RUMO À VANTE (LIDO) RUMO À RÉ 
(LIDO)
RUMO 
CORRIGIDO
A-B S 40° 20’ E N 40° 00’ W (+20’) S 40º 20’ E
B-C (-20’) N 81° 40’ E S 81° 20’ W (+00’) N 81° 20’ E
C-D (-00’) S 89° 50’ E S 89° 50’ W (+20’) S 89° 50’ E
D-E (-20’) S 00° 20’ E N 00° 40’ E (-40’) S 00° 00’
E-F (-40’) S 42° 00’ W N 44° 20’ E (-3º 00’) S 41° 20’ W
F-G (-3º 00’)S 84° 40’ W N 81° 00’ E (+40’) S 81° 40’ W
G-H (+40’) S 89° 30’ W S 89° 50’ E (+00’) N 89º 50’ W
H-I (+00’) N 70° 20’ W S 68° 00’ E (+2º 20’) N 70° 20’ W
I-J (-2º 20’)N 00° 40’ E S 00° 40’ E (+1º 00’) N 01° 40’ W
J-K (+1º 00’) N 38° 20’ W S 40° 00’ E (-40’) N 39° 20’ W
K-L (+40’) N 27° 00’ E S 27° 10’ W (+30’) N 27° 40’ E
L-M (+30’) N 89° 30’ E N 89° 00’ W (+1º 00’) 90º E
M-N (+1º 00’) S 62° 00’ E S 63° 00’ E
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TOPOGRAFIA
• Exercício: Iniciar de 4-5
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LINHA RUMO À VANTE 
(LIDO)
RUMO À RÉ 
(LIDO)
RUMO CORRIGIDO
1-2 N 08° 10’ W S 07° 20’ E
2-3 N 80° 20’ W S 80° 00’ E
3-4 S 72° 00’ W N 71° 30’ E
4-5 S 79° 30’ W N 79° 30’ E
5-6 S 07° 50’ E N 8° 30’ W
6-7 S 15° 00’ W N 15° 30’ E
7-8 S 69° 30’ E N 69° 40’ W
8-9 N 81° 00’ E S 81° 40’ W
9-10 N 00° 10’ E S 00° 10’ E
10-1 N 10° 00’ E S 10° 10’ W
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