MecII cap3

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3-1
3. TRABALHO E ENERGIA 
 
Até aqui, o movimento de partículas foi determinado utilizando-se a equação fundamental do 
movimento, isto é, a segunda lei de Newton amF r
r
= . 
 
Se a equação acima e os princípios da cinemática forem combinados, dois métodos adicionais de 
análise poderão ser obtidos: o método do trabalho e energia e o método do impulso e quantidade de 
movimento. A vantagem destes métodos reside no fato de que a determinação da aceleração não é 
necessária. O método do trabalho e energia relaciona diretamente força, massa, velocidade e 
deslocamento e o do impulso força, massa, velocidade e tempo. 
 
3.1. Trabalho de uma Força 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere uma partícula que se desloca de um ponto A para B, muito próximos. Se rr é o vetor 
posição da partícula no ponto A, rdr é o vetor que une A e B e o vetor posição no ponto B será 
rdr rr + . Supondo que haja uma força Fr agindo sobre a partícula, o trabalho dW desta força, 
correspondente ao deslocamento rdr , é definido como: 
 
rdFdW r
r
⋅= , 
 
ou seja, o trabalho dW é o produto escalar da força Fr pelo deslocamento rdr . 
 
Sejam F e ds, respectivamente, os módulos da força Fr e do deslocamento rdr e α o ângulo entre os 
dois vetores. Pode-se escrever que: 
( )αcosdsFdW = . 
 
Ou ainda: dzFdyFdxFdW zyx ++= . 
 
Como o trabalho é um escalar, possui módulo e sinal, mas não tem direção. A unidade do trabalho é 
o Joule (J) que corresponde ao produto da força em Newtons pelo deslocamento em metros, ou seja, 
1 J = 1 N.m. 
 
O sinal do trabalho dW será dado pelo ângulo α. Se ele for agudo, o trabalho será positivo; se 
obtuso, negativo. Além disso, 3 caso particulares são de especial interesse: 
i. se F
r
tem a mesma direção e sentido de rdr , o trabalho dW será F ds; 
ii. se F
r
tem a mesma direção, mas sentido contrário a rdr , o trabalho dW será –F ds; 
iii. se F
r
for perpendicular a rdr , o trabalho dW será nulo. 
 
O trabalho de uma força F
r
 correspondente a um deslocamento finito de A para B, será obtido 
integrando-se a equação diferencial do trabalho, ou seja: 
 
r
r
 
rdr 
rdr rr + 
F
r
 
O 
 3-2
∫ ⋅=→
B
A
BA rdFW
rr
. 
 
Ou nas duas formas abaixo: 
 
( )[ ]∫=→
B
A
BA dscosFW α e ( )∫ ++=→ B
A
zyxBA dzFdyFdxFW . 
 
Quando uma força constante age sobre uma partícula em movimento retilíneo, o trabalho será: 
 
( ) xcosFW BA ∆=→ α , 
 
onde α é o ângulo formado pela força e pela direção do movimento e ∆x é o deslocamento da 
partícula de um ponto A para um ponto B. 
 
Trabalho da força peso 
 
O trabalho da força peso P, considerando-se o eixo vertical y, positivo para cima será igual ao 
produto do peso pelo deslocamento vertical do centro de gravidade da partícula e dado por: 
 
yPW BA ∆−=→ . 
 
Se o corpo se desloca para baixo, o trabalho será positivo. Se para cima, negativo. 
 
Trabalho da força exercida por uma mola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere um bloco a uma mola com constante elástica k cuja unidade é N/m. Experiências 
mostram que o módulo da força F exercida pela mola sobre o bloco é proporcional à deformação x 
medida em relação à posição não deformada da mola. 
 
O trabalho da força F realizado pela mola durante um deslocamento infinitesimal do corpo é obtido 
por: 
 
dxxkdxFdW −=−= . 
 
Então, o trabalho realizado por esta força F, considerando-se que o corpo se deslocou de A para B 
será: 
( )22
2
1
BA
B
A
BA xxkdxxkW −=⋅−= ∫→ . 
 
 
xA 
xB 
 3-3
Re-arranjando a expressão: 
 
( ) ( )BABABA xxxxkW −+=→ 2
1
 
 
( ) ( )xxxkW BABA ∆−+=→ 2
1
 
 
x
FFW BABA ∆
+
=→ 2
 
 
O trabalho também poderá ser obtido graficamente pela área do trapézio sob a reta do gráfico F-x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho da força gravitacional 
 
Como visto anteriormente, duas partículas de massa M e m e distanciados de r entre si, atraem-se 
mutuamente com forças F e –F dirigidas ao longo da linha que os une e de módulo: 
 
2r
MmGF = . 
 
Supondo que a partícula de massa M ocupa um ponto O fixo, enquanto que a partícula de massa m 
se desloca de A para B ao longo de uma determinada trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O trabalho que a força gravitacional F realiza sobre a partícula de massa m durante um 
deslocamento radial infinitesimal dr pode ser obtido por: 
 
dr
r
MmGFdrdW 2−=−= . 
 
O sinal negativo decorre do fato da força F ter sentido contrário à componente radial dr do 
deslocamento. O trabalho da força F durante o deslocamento de A para B da partícula de massa m 
será: 






−=−= ∫→
AB
r
r
BA
rr
GMmdr
r
MmGW B
A
11
2 . 
 
xA xB 
FA 
FB 
A 
B 
F 
-F O 
r 
r + dr 
 3-4
3.2. Princípio do Trabalho e Energia 
 
Considere uma partícula de massa m sob a ação de uma força F
r
 e deslocando-se segundo uma 
trajetória qualquer. Expressando a segunda lei de Newton em termos das componentes tangenciais 
da força e aceleração: 
tt maF = ou dt
dv
mFt = ou ainda ds
dv
mvFt = . 
Deduz-se que: 
22
2
1
2
1
AB
B
A
B
A
t mvmvmvdvdsF −== ∫∫ . 
 
O primeiro termo é o trabalho BAW → que a força F
r
 realiza sobre a partícula durante o seu 
deslocamento de A para B. Como o trabalho é uma grandeza escalar, segue que 2
2
1
mv também é 
escalar e é definida como a energia cinética T da partícula, ou seja: 
 
2
2
1
mvT = . 
 
Então: ABBA TTW −=→ ou BBAA TWT =+ → . 
 
As equações acima mostram que o trabalho realizado por uma força F
r
 sobre uma partícula é igual 
à variação da energia cinética da partícula. 
 
O Princípio do Trabalho e Energia só pode ser aplicado em relação a um sistema de 
referência newtoniano e, portanto, as velocidades da partícula devem ser medidas em relação 
a este sistema de referência. 
 
A unidade da energia cinética é a mesma do trabalho, ou seja, o Joule (J = N.m). 
 
A utilização do princípio do trabalho e energia facilita enormemente a solução de muitos problemas 
que envolvem forças, deslocamentos e velocidades. Um exemplo clássico é o do pêndulo. Imagine 
uma esfera de peso P ligada a um fio de comprimento l. O pêndulo, solto com velocidade inicial 
nula, de uma determinada posição passa a oscilar verticalmente. Para determinar a velocidade da 
esfera no ponto mais baixo de sua trajetória é mais conveniente utilizar o princípio do trabalho e 
energia. 
 
Pelo diagrama de corpo livre da esfera: 
 
 
 
 
 
 
Nota-se que a força T de tração no fio não realiza trabalho, pois é sempre perpendicular à trajetória 
e, portanto, a única força que realiza trabalho é o peso da esfera. Supondo que: a posição A que a 
esfera foi solta corresponde ao ponto em que o fio está na horizontal, a posição B corresponde ao 
fio na vertical, o comprimento do fio é l e a dimensão da esfera é desprezível, o trabalho realizado 
pelo peso será: 
PlW BA =→ . 
T 
P 
 3-5
Como a energia cinética na posição A é nula (vA = 0) e em B é igual a 22
1
BB vg
PT = , BBA TW =→ . 
Então glvB 2= . Observa-se que a velocidade é igual a de um corpo em queda livre. 
 
Deste exemplo, notam-se as vantagens do método do trabalho e energia: 
 
i. para determinar a velocidade na posição B, não é necessário determinar a aceleração em 
uma posição intermediária e integrar a expressão obtida de A para B; 
ii. todas as quantidades envolvidas são escalares e podem ser adicionadas diretamente sem 
utilizar as componentes x e y; 
iii. as forças que não realizam trabalho são eliminadas da solução do problema. 
 
Assim como possui vantagens, o método do trabalho e energiapossui desvantagens. Por exemplo, 
ele não pode ser usado para determinar a posição de uma partícula em função do tempo ou 
determinar diretamente uma aceleração, mas pode ser suplementado pela segunda lei de Newton. 
Pelo diagrama de corpo livre da esfera na posição B, percebe-se que at = 0 e 
 
l
v
g
P
maPT n
2
==− . 
 
Como a velocidade já foi determinada pelo método do trabalho e energia, segue que: 
 
P
l
gl
g
PPT 32 =+= . 
 
Se o problema envolver duas ou mais partículas, cada uma delas pode ser considerada 
separadamente e aplicar-se o método do trabalho e energia para cada uma. Adicionando-se as 
energias cinéticas de todas as partículas e considerando o trabalho de todas as forças que agem 
sobre elas, escreve-se uma única equação: 
 
BBAA TWT =+ → . 
 
Consideram-se, inclusive, as forças de ação e reação exercidas pelas partículas umas sobre as outras 
para determinação do trabalho BAW → . Entretanto, em problemas envolvendo corpos ligados por fios 
inextensíveis ou barras, os trabalhos das forças exercidas por um dado fio ou barra sobre os dois 
corpos cancelam-se, pois os pontos de aplicação destas forças sofrem deslocamentos iguais. 
 
O trabalho realizado pelas forças de atrito será sempre negativo, pois elas sempre possuem sentido 
contrário ao do deslocamento. Estes trabalhos representam energia transformada em calor, 
resultando sempre em decréscimo de energia cinética do corpo envolvido. 
 
 
3.3. Potência e Eficiência 
 
Potência é definida como a quantidade de trabalho que é realizado na unidade de tempo. Se ∆W é a 
quantidade de trabalho realizado no intervalo de tempo ∆t, a potência média será: 
 
t
WPm ∆
∆
= . 
 
 3-6
Fazendo ∆t tender a zero, a potência instantânea será: 
dt
dWP = . 
Como rdFdW r
r
⋅= e sabendo que 
dt
rd
v
r
r
= : 
 
vF
dt
rdFP r
r
rr
⋅=
⋅
= . 
 
A unidade de potência é o Watt (W), onde 1 W = 1 J/s. 
 
A eficiência mecânica (η) de uma máquina é definida como a razão entre o trabalho produzido e o 
trabalho absorvido. Considerando-se o mesmo intervalo de tempo para o trabalho produzido e o 
absorvido, pode-se definir a eficiência como: 
 
absorvidaPotência
produzidaPotência
=η . 
 
Por causa energia perdida devido ao atrito, o trabalho produzido é sempre menor que o absorvido e, 
conseqüentemente, a eficiência mecânica será sempre menor que 1. 
 
 
3.4. Forças Conservativas e Energia Potencial 
 
Uma força F
r
 atuando sobre uma partícula é dita conservativa se seu trabalho BAW → é independente 
da trajetória da partícula quando ela se desloca de A para B. 
 
BABA VVW −=→ , 
 
onde V é uma função potencial V(x,y,z) de F
r
, ou seja, k
z
Vj
y
Vi
x
VF
rrrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= . 
 
Então, se a partícula descrever uma trajetória fechada, ou seja, o ponto B coincidir com A, VA = VB 
e o trabalho será nulo. Pode-se escrever, então, que para qualquer força conservativa F
r
: 
 
0=⋅∫ rdF
rr
, 
 
onde o círculo no símbolo da integral indica que a trajetória é fechada. 
 
 
3.5. Conservação de Energia 
 
O trabalho de uma força conservativa, como o peso de uma partícula ou a força exercida por uma 
mola, pode ser expresso com uma variação de energia potencial. Quando uma partícula se desloca 
sob a ação de forças conservativas, o Princípio do Trabalho e Energia pode ser expresso de outra 
forma. Como ABBA TTW −=→ e BABA VVW −=→ então: 
 
BAAB VVTT −=− ou BBAA VTVT +=+ . 
 
 3-7
Isto significa que, quando uma partícula se desloca sob a ação de forças conservativas, a soma de 
sua energia cinética e de sua energia potencial permanece constante. A energia mecânica total E da 
partícula será, portanto, igual a T + V. 
 
No exemplo do pêndulo dado no item 3.2, as energias cinética, potencial e total serão: 
 
TA = 0 e VA = Pl ⇒ EA = TA + VA = Pl; 
 
Plgl
g
P
v
g
PT BB === 22
1
2
1 2
 e VB = 0 ⇒ EB = TB + VB = Pl. 
 
Ou seja, EA = EB, mostrando a conservação da energia mecânica total. 
 
Como já foi dito em 3.2, as forças de atrito causam um decréscimo na energia cinética de uma 
partícula e, portanto, são forças não conservativas. Ou seja, o trabalho de uma força de atrito não 
pode ser expresso como uma variação de energia potencial e dependerá da trajetória seguida pelo 
seu ponto de aplicação. Quando um sistema mecânico envolve atrito, sua energia mecânica total não 
permanece constante, mas diminui. Ela não é perdida, mas transformada em calor e a soma da 
energia mecânica com a energia térmica permanece constante. 
 
Outras formas de energia podem estar envolvidas em um sistema. Por exemplo: um gerador 
converte energia mecânica em elétrica; um motor a gasolina converte energia química em energia 
mecânica; um reator nuclear converte massa em energia térmica. Se todas as formas de energia são 
consideradas, a energia de qualquer sistema pode ser considerada constante e o princípio de 
conservação de energia permanece válido para todas as condições. 
 
O princípio da conservação da energia é bastante prático na solução de problemas relacionados à 
Mecânica Espacial se as partículas estiverem sob a ação de uma força central conservativa. Se, por 
exemplo, um veículo espacial se desloca sob a ação da força gravitacional da Terra e, em um 
determinado ponto P0, sua velocidade é v0, sua distância em relação ao centro da Terra é r0 e o 
ângulo entre pelos vetores posição e velocidade é φ
 0 pode-se escrever que em qualquer ponto da 
trajetória: 
 
VTVT +=+ 00 
 
r
MmGmv
r
MmGmv −=− 2
0
2
0 2
1
2
1
, 
 
onde m é a massa do veículo espacial e M é a massa da Terra. 
 
Exemplos: 
 
1) Problema resolvido 13.2 Beer & Johnston 
 
A figura mostra dois blocos ligados por um cabo inextensível. Abandonando-se o sistema do 
repouso, pede-se determinar a velocidade do bloco A no fim de um deslocamento de 2,00 m. O 
coeficiente de atrito cinemático entre o bloco A e o plano é µc = 0,25. A massa da polia e os atritos 
são desprezíveis. 
 
 
 
 3-8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho e energia para o bloco A: 
 
 
 
 
 
 
As forças normal (N) e peso (PA) não realizam trabalho (são perpendiculares à direção do 
movimento). 
 
Energia cinética no instante inicial (1): T1 = 0; 
 
Energia cinética no instante final (2): 22 2
1
vmT A= . 
 
Trabalho realizado pela força de atrito e pela tração no fio: ( ) 221 ⋅−=→ aFTW . 
 
Como 2211 TWT =+ → , então ( ) 22
12 vmFT Aa =⋅− . 
 
Trabalho e energia para o bloco B: 
 
Energia cinética no instante inicial (1): T1 = 0; 
 
Energia cinética no instante final (2): 22 2
1
vmT B= . 
 
Trabalho realizado pela força peso e pela tração no fio: ( ) 221 ⋅−=→ TPW B . 
 
Como 2211 TWT =+ → , então ( ) 22
12 vmTP BB =⋅− . 
 
Nota-se que ao se somar as expressões para os blocos A e B, a tração no fio, que é uma incógnita, 
desaparece. Então: 
 
( ) 22
2
1
2
12 vmvmFP BAaB +=⋅− . 
T 
Fa 
PA 
N 
x 
PB 
N 
y 
A 
B mB = 300 kg 
mA = 200 kg 
 3-9
 
E a velocidade será: ( )
BA
AB
mm
gmm
v
+
−
=
µ4
= 4,43 m/s. 
 
 
Resolução pela 2a Lei de Newton 
 
Para o bloco A: amgmTFTF AAa =−=−=∑ µ . 
 
Para o bloco B: amTgmTPF BBB =−=−=∑ . 
 
Somando as duas expressões: ( )ammgmgm BABB +=− µ . 
 
A aceleração será dada por: ( )
BA
AB
mm
gmm
a
+
−
=
µ
. 
 
Como axv 22 = : ( )
BA
AB
mm
gmm
v
+
−
=
µ4
= 4,43 m/s. 
 
2) Seja um cursor de massa m preso a uma mola, conforme mostra a figura, cuja constante elástica é 
k e comprimento não deformado l. Supondo que o sistema esteja no plano perpendicular à açãoda 
força gravitacional e desprezando as dimensões do cursor, determine a velocidade do cursor ao 
passar pelo ponto B, sabendo-se que ele partiu do repouso no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia mecânica no ponto B: 2
2
10 δkVT BB +=+ , onde ( ) lcos
l
−=
0θ
δ . 
 
Energia mecânica no ponto A: 0
2
1 2 +=+ AAA mvVT . 
 
Igualando as energias mecânicas em A e B: 
 
22
2
1
2
1 δkmvA = . 
 
Então ( )[ ]
m
k
secl
m
k
vA 10 −== θδ . 
 
 
 
 
k 
α 
A 
B 
l