MecII cap5

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5-1
5. CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS 
 
Os movimentos de corpos rígidos podem ser divididos em três movimentos planos e dois 
tridimensionais: 
 
i. Translação – quando qualquer reta unindo dois pontos conserva a mesma direção durante o 
movimento; 
ii. Rotação em torno de um eixo fixo – as partículas que formam o corpo rígido se 
movimentam em planos paralelos ao longo de uma circunferência; 
iii. Movimento plano geral – qualquer movimento plano que não seja os dois anteriores é 
considerado movimento plano geral ou simplesmente movimento plano; 
iv. Movimento em torno de um ponto fixo – é um movimento tridimensional em relação a um 
ponto fixo. Ex.: movimento de um pião sobre o solo; 
v. Movimento geral – movimento tridimensional qualquer diferente dos anteriores. 
 
 
5.1. Translação 
 
O movimento de translação de um corpo rígido pode seguir uma trajetória retilínea ou curvilínea. 
 
Seja um corpo rígido em movimento de translação retilínea ou curvilínea e A e B dois pontos 
pertencentes ao corpo rígido. Sejam Arr e Brr , respectivamente, os vetores posição de A e B em 
relação a um sistema de referência fixo. Chamando A/Br
r
 ou ABr
r
 o vetor que une A a B, pode-se 
escrever que: 
 
ABAB rrr
rrr
+= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por definição de um movimento de translação de um corpo rígido, o vetor ABr
r
 deve ser constante já 
que A e B pertencem ao mesmo corpo. Assim, sua derivada em relação ao tempo é nula e, portanto: 
 
AB vv
rr
= e AB aa
rr
= . 
 
Isso significa que quando um corpo rígido está em movimento de translação todos os seus pontos 
possuem a mesma velocidade e aceleração instantâneas. 
 
 
B2 
A2 
B1 
A1 
B 
A 
 
Br
r
 
A/Br
r
 
 5-2
5.2. Rotação em torno de um eixo fixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam um corpo rígido em movimento de rotação em torno de um eixo fixo AA’, P um ponto fixo 
do corpo e rr o vetor posição deste ponto em relação a um sistema de referência fixo. Para facilitar 
a compreensão, considere que a origem dos eixos de referência está sobre o eixo AA’ e que o eixo z 
coincide com AA’. Considere ainda que B é a projeção de P sobre AA’. 
 
Como P deve permanecer a uma distância constante de B, ele descreverá uma circunferência de 
centro B e raio ( )φsenr ⋅ , sendo φ o ângulo formado por rr e AA’ e r o módulo de rr . 
 
A posição de P e, por conseguinte, de todo o corpo rígido fica completamente definida pelo ângulo 
θ que o segmento de reta BP faz com o eixo x. O ângulo θ é conhecido como coordenada angular 
do corpo. Ela é positiva quando, vista de A’, é medida no sentido anti-horário. 
 
O comprimento de ∆s de um arco circunferência da trajetória do ponto P é dado por: 
 
( ) θφθ ∆⋅⋅=∆⋅=∆ senrBPs . 
 
Dividindo ambos os membros por ∆t e fazendo ∆t tender a zero, obtém-se: 
 
( )φθ senr
dt
ds
v ⋅⋅== & . 
 
Considerando um vetor de velocidade angular k
r
&r θω = , nota-se que a expressão acima é o módulo 
do vetor velocidade obtido pelo produto vetorial de ωr com o vetor posição rr : 
 
r
dt
rd
v
rr
r
r
×== ω . 
 
O vetor aceleração ar do ponto P será: 
 
( )
dt
rd
r
dt
d
r
dt
d
dt
vd
a
r
rr
r
rr
r
r
×+×=×== ω
ω
ω 
 
vra
rrrrr
×+×= ωα . 
 
A 
A’ 
z 
y x 
r
r
 
P φ 
θ 
B 
 5-3
Onde k
r
&&
r θα = . 
 
Como rv rrr ×= ω : 
( )rra rrrrrr ××+×= ωωα 
 
Nota-se que o vetor aceleração do corpo rígido é a soma de dois vetores: o primeiro é tangente à 
circunferência descrita por P, ou seja, é o vetor aceleração tangencial; o segundo é obtido por um 
duplo produto vetorial e estará dirigido para o centro B da circunferência, ou seja, é o vetor 
aceleração normal. 
 
rkrat
rr&&r
rr
×=×= θα ⇒ ( )φθ senrat ⋅⋅= && 
 
( ) ( )rkkran rr&r&rrrr ××=××= θθωω ⇒ ( )φθ senran ⋅⋅= 2& 
 
 
5.3. Movimento Plano 
 
O movimento plano pode ser considerado como a soma de uma translação com uma rotação. 
 
Exemplo 1: disco rolando sobre uma superfície plana em torno de um eixo retilíneo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: barra cujas extremidades se deslocam ao longo de uma guia horizontal e outra vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Translação Movimento 
Plano 
Rotação 
A1 
B1 
A2 
B2 
= + A1 
B1 
A1’≡ A2 
B1’ 
A2 
B2 
B1’ 
A1 
A2 
B1 B2 
= + 
A1’ 
A2 
B2 
A1 
A1’ 
B1 B1’≡ B2 
A1 
A2 
B1 B2 
= + 
A1 
A1’≡A2 
B1 
B1’ B1’ 
A2 
B2 
Movimento 
Plano 
Translação Rotação 
 5-4
Nota-se que, dados dois pontos A e B pertencentes ao corpo rígido, o movimento plano pode ser 
definido como sendo um movimento de translação somado a um movimento de rotação em torno de 
um eixo fixo, perpendicular ao plano de movimento, que passa por A (ou vice-versa). 
 
A velocidade absoluta do ponto B se obtém por meio de uma fórmula da velocidade relativa: 
 
A/BAB vvv
rrr
+= . 
 
Como o ponto B gira em torno do ponto A, do movimento em torno de um eixo fixo pode-se 
afirmar que: 
 
A/BA/B rv
rrr
×= ω . 
 
Então: 
 
A/BAA/B rvv
rrrr
×+= ω . 
 
Isto significa que o movimento plano pode ser definido pela velocidade Av
r
 de um ponto arbitrário 
A e pela velocidade angular ωr , que independe do ponto A escolhido. 
 
 
5.4. Centro Instantâneo de Rotação no Movimento Plano 
 
Pode-se mostrar que, para qualquer instante do movimento plano de um corpo rígido, as 
velocidades das partículas que compõem o corpo são iguais àquelas que surgiriam com as mesmas 
girando em trono de um eixo, perpendicular ao plano de movimento, denominado eixo instantâneo 
de rotação. O ponto que este eixo corta o plano de movimento é chamado de centro instantâneo de 
rotação. 
 
Como foi visto anteriormente, o movimento plano pode ser definido pela velocidade Av
r
 de um 
ponto arbitrário A do corpo rígido e pela velocidade angular ωr . A velocidade Av
r
 pode ser obtida 
através do produto vetorial da velocidade angular ωr pelo vetor posição do ponto A em relação a 
um ponto C situado na reta perpendicular ao vetor velocidade Av
r
. Portanto, com relação às 
velocidades, o corpo rígido parece estar girando em torno do centro instantâneo C no instante 
considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
ω 
Av
r
 
≡ 
A 
ω 
Av
r
 
C 
 5-5
O centro instantâneo de rotação também pode ser determinado a partir das velocidades de duas 
partículas A e B pertencentes ao corpo rígido: traçando-se perpendiculares aos vetores velocidades 
de A e de B, o ponto de interseção das duas retas perpendiculares será o centro instantâneo de 
rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5. Mecanismos 
 
Mecanismo ou Sistema Mecânico é um conjunto de partículas ou corpos (ou ambos) que se movem 
em relação a um referencial fixo de tal modo que existe uma parcial ou total interdependência entre 
seus movimentos. Ex.: biela-manivela. 
 
1) Mecanismo biela-manivela (problemas resolvidos 15.3 e 15.7 do Beer Johnston, 5ª edição) 
 
No mecanismo da figura, a manivela AB possui uma velocidade angular constante de 2000 rpm no 
sentido horário. Determinar para a posição da manivela indicada na figura: 
a) a velocidade angular da biela BD; 
b) a velocidade do pistão P; 
c) a aceleração angular da biela BD; 
d) a aceleração do pistão P; 
e) o centro instantâneo de rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l = 0,2032 m 
r = 0,0762 m 
 
O ponto A será adotado como origem do sistema fixo de referência com oeixo x na horizontal e y 
na vertical. Os sentidos positivos destes eixos são, respectivamente, para a direita e para cima. 
 
Movimento da manivela AB 
 
Velocidade angular: =ABω 2000 rpm = 2000 . 2pi / 60 rad/s = 209 rad/s 
 
Vetor velocidade angular: kkABAB
rrr 209−=−= ωω (rad/s) 
 
r 
l 
β 40º P A 
B 
G 
D 
 
A 
Av
r
 
C 
Bv
r
 
A 
Av
r
 
C 
B 
Bv
r
 
 
 5-6
Vetor velocidade do ponto B: ABABAB rvv
rrrr
×+= ω , onde 0=Av
r
. 
 
Vetor posição do ponto B em relação a A: ( ) ( ) jsenricosrrAB rrr °⋅+°⋅= 4040 
 
Então ( ) ( )( )jsenricosrkv ABB rrrr °⋅+°⋅×−= 4040ω ∴ ( ) ( ) jcosrisenrv ABABB rrr °⋅⋅−°⋅⋅= 4040 ωω 
 
j,i,vB
rrr 23122610 −= (m/s) 
 
Vetor aceleração do ponto B: ( )ABABABABABAB rraa rrrrrrr ××+×+= ωωα , onde 0=Aar . 
 
O vetor aceleração angular da barra AB ABα
r
 é igual a zero, pois a velocidade angular desta barra é 
constante. 
 
Então ( ) ( )( )jcosrisenrka ABABABB rrrr °⋅⋅−°⋅⋅×−= 4040 ωωω ∴ 
( ) ( ) jsenricosra ABABB rrr °⋅⋅−°⋅⋅−= 4040 22 ωω 
 
jiaB
rrr 21492561 −−= (m/s²) 
 
Movimento da biela BD 
 
Para determinar o vetor posição do ponto D relativo ao ponto B BDr
r
 será necessário determinar o 
ângulo β da barra BD com a horizontal. Usando a Lei dos Senos em um triângulo: 
 
( ) ( )
r
sen
l
sen β
=
°40
 ∴ °≅ 9513,β 
 
O vetor posição BDr
r
 será então ( ) ( ) jsenlicoslrBD rrr ββ ⋅−⋅= 
 
Vetor velocidade do ponto D: BDBDBD rvv
rrrr
×+= ω . 
 
Como não se conhece o vetor velocidade angular BDω
r
 da biela BD ele será admitido como sendo 
kBDBD
rr
ωω = . Então: 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )jsenlicoslkjcosrisenrv BDABABD rrrrrr ββωωω ⋅−⋅×+°⋅⋅−°⋅⋅= 4040 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] jcoslcosrisenlsenrv BDABBDABD rrr βωωβωω ⋅⋅+°⋅⋅−+⋅⋅+°⋅⋅= 4040 
 
Como a velocidade do ponto D é a mesma do pistão P, sabe-se que só existe velocidade na direção 
horizontal, ou seja, a componente vertical de Dv
r
 é nula. Então: 
 
( ) ( ) 040 =⋅⋅+°⋅⋅− βωω coslcosr BDAB ⇒ ( )( )βωω cosl
cosr
ABBD
⋅
°⋅
⋅=
40
 ∴ 062,BD =ω rad/s = 592 rpm 
 
a) a velocidade angular da biela BD é 062,BD =ω rad/s = 592 rpm no sentido anti-horário. 
 
O vetor velocidade do pistão é ( ) ( )[ ] i,isenlsenrvv BDABDP rrrr 291340 =⋅⋅+°⋅⋅== βωω (m/s) 
 5-7
b) a velocidade do pistão é =Pv 13,29 m/s para a direita na direção horizontal. 
 
Vetor aceleração do ponto D: ( )BDBDBDBDBDBD rraa rrrrrrr ××+×+= ωωα . 
 
Como não se conhece o vetor aceleração angular BDα
r
 da biela BD ele será admitido como sendo 
kBDBD
rr
αα = . Então: 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )[ ]jsenlicoslkk
jsenlicoslkjsenricosra
BDBD
BDABABD
rrrr
rrrrrr
ββωω
ββαωω
⋅−⋅××+
+⋅−⋅×+°⋅⋅−°⋅⋅−= 4040 22
 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] jsenlcoslsenr
icoslsenlcosra
BDBDAB
BDBDABD
r
rr
βωβαω
βωβαω
⋅⋅+⋅⋅+°⋅⋅−+
+⋅⋅−⋅⋅+°⋅⋅−=
22
22
40
40
 
 
Da mesma forma que o vetor velocidade do pistão, sabe-se que só existe aceleração na direção 
horizontal. Então: 
 
( ) ( ) ( )βωβαω senlcoslsenr BDBDAB ⋅⋅+⋅⋅+°⋅⋅− 22 40 ⇒ ( ) ( )( )β
βωω
α
cosl
senlsenr BDAB
BD
⋅
⋅⋅−°⋅⋅
=
22 40
 
 
c) a aceleração angular da biela BD é 9940=BDα rad/s². 
 
O vetor aceleração do pistão é ( ) ( ) ( )[ ]icoslsenlcosra BDBDABD rr βωβαω ⋅⋅−⋅⋅+°⋅⋅−= 22 40 = 
iaD
rr 2832−= (m/s²). 
 
d) a aceleração do pistão é 2832 m/s² para a esquerda na direção horizontal. 
 
O centro instantâneo de rotação será obtido pela interseção das retas perpendiculares aos vetores 
velocidade em B e D (setas nestes pontos na figura abaixo). Em relação ao ponto A, as distâncias 
nas direções horizontal e vertical são: 
 
( ) ( ) =⋅+°⋅= βcoslcosrxC 40 0,255 m 
( ) =°⋅= 40tanxy CC 0,214 m 
 
 
e) a posição do centro de rotação em relação à 
 origem do sistema fixo de referência (ponto A) 
 é (0,255; 0,214) em metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
l 
β 40º A 
B 
D 
 
C 
 5-8
2) Exercício 15.30 do Beer & Johnston (roda de carro ≡ disco de rolamento) 
 
Um automóvel se desloca para a direita com uma velocidade v de 72,4 km/h. Se o diâmetro d da 
roda é 0,559 m, determine as velocidades dos pontos B, C, D e E à margem da roda. (β =30º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A roda gira em torno do ponto A, portanto, o movimento de qualquer ponto da roda pode ser obtido 
pela soma da velocidade de translação do ponto A com a velocidade do ponto causada pela rotação 
em torno de A, ou seja, a velocidade relativa ao ponto A do ponto considerado. A expressão da 
velocidade em qualquer ponto P da roda será: 
 
APAA/PAP rvvvv
rrrrrr
×+=+= ω 
 
Considerando que a roda não derrapa, o número de revoluções N em 1 hora será: 
 
=
⋅
=
⋅
⋅
=
5590
724001000
,d
vN
pipi
41227 revoluções 
 
Isto significa que a velocidade angular da roda será: ω ≅ 72 rad/s (= 41227 / 3600 . 2pi). 
Considerando a origem do sistema fixo de referência no ponto A, o eixo x na horizontal, positivo 
para a direita e o eixo y na vertical, positivo para cima: k
rr 72−=ω . 
 
Os vetores posição em relação ao ponto A de cada ponto são: jdrAB
rr
2
= , jdrAC
rr
2
−= , idrAE
vr
2
= e 
( ) ( ) jcosdisendrAD rrr ββ ⋅+⋅−= 22 . 
 
As velocidades em cada ponto serão: 
 
Ponto Vetor velocidade (m/s) Módulo (m/s) 
B i,
r
240 40,2 
C 0 0,0 
D j,i, rr 110537 + 38,9 
E j,i, rr 120120 − 28,4 
 
Como a velocidade no ponto C é nula, então este ponto é o centro instantâneo de rotação da roda no 
instante considerado, isto é, o ponto da roda que toca o solo sempre será o centro instantâneo de 
rotação. Isto significa que em uma roda que rola sem derrapar, a velocidade do ponto que toca o 
solo será sempre nula. 
 
 
A 
B 
C 
E 
D β 
 
 5-9
3) Roda que gira e derrapa 
 
Suponha que no exercício anterior a velocidade do carro seja a mesma, mas a velocidade angular da 
roda seja de 80 rad/s. Determine as velocidades dos pontos B e C e conclua que a roda derrapa além 
de girar. 
 
Utilizando a expressão APAP rvv
rrrr
×+= ω , tem-se que: 
 
i,jdki,vB
rrrrr 542
2
80120 =





×−= (m/s) 
i,jdki,vC
rrrrr 252
2
80120 −=





−×−= (m/s) 
 
Como a velocidade no ponto de contato C, da roda com o solo, não é nula, pode-se concluir que a 
roda não está simplesmente rolando, mas também derrapando. Como a velocidade no ponto C é 
negativa, um exemplo é o de um carro que arranca cantando pneu.