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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. Exercı´cios Resolvidos de Teoria Eletromagne´tica Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de Fı´sica Teo´rica Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a SEGUNDA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Conteu´do 27 Capacitaˆncia 2 27.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 27.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 3 27.2.1 Capacitaˆncia . . . . . . . . . . 3 27.2.2 Ca´lculo da capacitaˆncia . . . . . 4 27.2.3 Capacitores em paralelo e em se´rie 5 27.2.4 Armazenamento de energia num campo ele´trico . . . . . . . 8 27.2.5 Capacitor com um diele´trico . . 10 27.2.6 Os diele´tricos e a lei de Gauss . 11 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista2.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. 27 Capacitaˆncia 27.1 Questo˜es Q 27-3. Uma folha de alumı´nio de espessura desprezı´vel e´ co- locada entre as placas de um capacitor, como mostra a Fig. 27-18. Que efeito ela produzira´ sobre a capa- citaˆncia se (a) a folha estiver eletricamente isolada e (b) a folha estiver ligada a` placa superior? � (a) Como a folha e´ meta´lica, aparecera˜o cargas in- duzidas em ambos lados dela, transformando assim o capacitor original em uma associac¸a˜o em se´rie de dois capacitores cuja distaˆncia entre as placas e´ a metade da distaˆncia original “d”: � c/folha � � � ��� ��� ���������� � ��� ��� �������� � ���ff� fiffifl � � fi!fl"� � � � � fi$# Esta capacitaˆncia coincide com a capacitaˆncia origi- nal. Logo, na˜o existe alterac¸a˜o da capacitaˆncia pela introduc¸a˜o da folha meta´lica a meia distaˆncia. (b) O efeito e´ reduzir a distaˆncia fi , entre as placas, pela metade. Ou seja, duplicar a capacitaˆncia original. Q 27-6. Considere um capacitor de placas paralelas, com placas quadradas de a´rea � e separac¸a˜o fi , no va´cuo. Qual e´ o efeito qualitativo sobre sua capacitaˆncia, de cada uma das seguinte operac¸o˜es: (a) Reduzir fi . (b) Introduzir uma placa de cobre entre as placas, sem toca´-las. (c) Du- plicar a a´rea de ambas as placas. (d) Duplicar a a´rea de apenas uma das placas. (e) Deslizar as placas paralela- mente uma a` outra, de modo que a a´rea de superposic¸a˜o seja, digamos, % &!' do seu valor original. (f) Duplicar a diferenc¸a de potencial entre as placas. (g) Inclinar uma das placas de modo que a separac¸a˜o permanec¸a fi numa das extremidades, mas passe a fiffifl � na outra. � (a) A capacitaˆncia aumenta. Para verificar isto, use a relac¸a˜o � �)( �*� fl+fi . (b) A capacitaˆncia aumenta. Para verificar esta afirmac¸a˜o, note que a nova capacitaˆncia dada pela relac¸a˜o � �,( � � fl.-/fi1032 4 , onde fi e´ a distaˆncia entre as placas e 2 e´ a espessura da placa introduzida. O efei- to e´ pequeno quando 2 for muito menor que fi . Tudo se passa como se a nova distaˆncia entre as placas fosse -�fi5062 4 . (c) A capacitaˆncia dobra. (d) A carga sobre a placa maior se distribuira´ numa a´rea maior. Portanto, a densidade de carga sobre a placa maior e´ 7 fl � , onde 7 e´ a densidade de carga sobre a pla- ca menor. O campo ele´trico deixara´ de ser uniforme e, como as linhas de forc¸a ficam afastadas, concluı´mos que o campo ele´trico torna-se menor e a diferenc¸a de poten- cial tambe´m diminui. Como � �98 fl": , concluı´mos que a capacitaˆncia aumenta. Contudo este efeito e´ muito pequeno. (e) Como a a´rea torna-se igual � fl � , sendo � a a´rea ini- cial, concluı´mos que a capacitaˆncia se reduz aproxima- damente a %"&;' do valor inicial (a capacitaˆncia na˜o se reduz exatamente a %"&;' do valor inicial devido ao efei- to de borda). (f) O valor de � permanece inalterado. A carga tambe´m dobra. (g) A capacitaˆncia aumenta. Pense numa associac¸a˜o em paralelo de capacitores, sendo que para cada capacitor a distaˆncia entre as placas vai diminuindo de fi ate´ fi!fl"� . Ao diminuir a distaˆncia entre as placas, a capacitaˆncia de cada capacitor vai aumentando. Donde se conclui que a capacitaˆncia total e´ bastante maior do que a capa- citaˆncia do capacitor de placas paralelas. Q 27-14. Um objeto diele´trico experimenta uma forc¸a lı´quida quando e´ submetido a um campo ele´trico na˜o-uniforme. Por que na˜o ha´ uma forc¸a lı´quida quando o campo e´ uni- forme? � Num campo ele´trico uniforme a polarizac¸a˜o tambe´m e´ uniforme, de modo que o diele´trico funciona como se fosse um corpo carregado apenas na sua superfı´cie ex- terna. A carga total e´ nula, ou seja, as cargas superficiais sa˜o iguais e contra´rias. Portanto, a forc¸a total que age sobre o diele´trico e´ igual a zero. Q 27-17. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. Um capacitor de placas paralelas e´ carregado por meio de uma bateria que, logo a seguir, e´ retirada. Uma laˆmina diele´trica e´, enta˜o, introduzida entre as placas do capacitor. Descreva qualitativamente o que acontece com a carga, a capacitaˆncia, a diferenc¸a de potencial, o campo ele´trico, a energia armazenada e com a laˆmina. � A carga 8 nas placas permanece inalterada quando a bateria e´ removida (Lei da Conservac¸a˜o da Carga). Sendo � � o valor da capacitaˆncia antes de se introduzir o diele´trico, o novo valor da capacitaˆncia sera´ dado por � �=< � � . Se <?> � , enta˜o a capacitaˆncia ira´ aumentar. Se <A@ � , enta˜o a capacitaˆncia ira´ diminuir. Como 8 permanece constante (apo´s a retirada da bateria) e devemos sempre satisfazer a relac¸a˜o 8B� � : , vemos que uma alterac¸a˜o para � �9< � � da capacitaˆncia impli- ca na necessidade da nova diferenc¸a de potencial passar a ser : � : � fl < , onde : � representa o valor do poten- cial antes de introduzir-se o diele´trico. Somente assim iremos garantir que o produto � : permanec¸a constan- te. Note que o potencial podera´ tanto aumentar quanto diminuir, dependendo se <C@ � ou <C> � , respectiva- mente. O campo ele´trico resultante D E entre as placas diminui: D E � D E � 0 D E5F , onde DE5F e´ o campo oposto a DE � produzido pelas cargas superficiais 8 F induzidas no diele´trico. O diele´trico fica polarizado. O livro-texto discute bem isto... Dito de outro modo: As cargas de polarizac¸a˜o na su- perfı´cie do diele´trico sa˜o negativas para a superfı´cie pro´xima da placa positiva. Sendo assim, concluı´mos que o campo ele´trico entre as placas diminui. Como a diferenc¸a de potencial e´ igual E fi , a diferenc¸a de po- tencial tambe´m diminui. Como � �G8 fl : , e a carga 8 permanece constante, concluı´mos que a capacitaˆncia � aumenta. Conforme sabemos, a energia ele´trica ar- mazenada entre as placas de um capacitor e´ dada por: H �I8 � fl � � . Portanto, concluı´mos que a energia ele´trica armazenada entre as placas do capacitor dimi- nui. Para entender qualitativamente esta diminuic¸a˜o de energia, fac¸a o seguinte raciocı´nio: a placa e´ atraı´da pa- ra o interior do capacitor de modo que o agente externo precisa realizar um trabalho negativo sobre a placa pa- ra introduzi-la no interior do capacitor com velocidade constante. Q 27-18. Enquanto um capacitor permanece ligado a uma bate- ria, uma laˆmina diele´trica e´ introduzida entre asplacas. Descreva qualitativamente o que acontece com a carga, a capacitaˆncia, a diferenc¸a de potencial, o campo ele´trico, e a energia armazenada. ´E necessa´rio a realizac¸a˜o de trabalho para introduzir a laˆmina? � A carga 8 livre nas placas aumenta pois a bateria esta´ ligada; a capacitaˆncia aumenta para � �,< � � ; a diferenc¸a de potencial na˜o muda pois e´ mantida constan- te pela bateria. O campo ele´trico DE resultante tambe´m permanece constante pois : � 0KJ D EML fi D N , ou seja, : � E fi , onde : e fi (que e´ a distaˆncia constante entre as placas) sa˜o constantes. A energia H �O8 � flffi-�� � 4 � � : � fl"� �98 :Pfl � aumenta pois : e´ constante mas � e 8 aumentam. A forc¸a externa realiza um trabalho [para introduzir o diele´trico com velocidade constante]: Q � R D S ext L fi D N � R S ext fi;TVU�WYX �*Z &;[ \ ]�^ _ `ba � @ &.c de modo que d Energiatotal � d H capacitor \ ]e^ _ f � � Q?g ext \ ]e^ _ h � � &.c princı´pio da conservac¸a˜o da energia. 27.2 Problemas e Exercı´cios 27.2.1 Capacitaˆncia E 27-1. Um eletroˆmetro e´ um instrumento usado para medir car- ga esta´tica: uma carga desconhecida e´ colocada sobre as placas do capacitor do medidor e a diferenc¸a de poten- cial e´ medida. Que carga mı´nima pode ser medida por um eletroˆmetro com uma capacitaˆncia de %"& pF e uma sensibilidade a` voltagem de & # � % V? � 8i� � : � % &Bj � & a � � jA& # � % � k # %1j � & a � � C � k # % pC # Como a magnitude da carga elementar e´ l � � # m j � & a � n C, vemos que a carga mı´nima acima corresponde a ter- mos o � k # %pj � & a � � � # m j � & a �qn � r m j � &"s � r m milho˜es de cargas elementares sobre as placas do capacitor. Mesmo sendo um valor ‘mı´nimo’, o nu´mero de cargas ainda e´ enorme! http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. E 27-3. O capacitor da Fig. 27-22 tem uma capacitaˆncia de � % pF e esta´ inicialmente sem carga. A bateria fornece uma diferenc¸a de potencial de � � & V. Apo´s a chave t ter fica- do fechada por um longo tempo, quanta carga tera´ pas- sado atrave´s da bateria? � Da relac¸a˜o entre carga e ddp, Eq. 1, encontramos: 85� � : � � %uj � & a s j � � & �wv j � & ayx C �wv mC # 27.2.2 Ca´lculo da capacitaˆncia E 27-5. Um capacitor de placas paralelas possui placas circula- res de raio Z # � cm e separac¸a˜o � # v mm. (a) Calcule a capacitaˆncia. (b) Que carga aparecera´ sobre as placas se a ddp aplicada for de � � & V? � (a) � � � � � fi � Z # Z %pj � & a � �pz - Z # � j � & a � 4 � � # v j � & a{x � � # r"r j � & a � � � � rYr pF # (b) 8|� � : � � r"r j � & a � � j � � & � � # k+v j � & ay} � � k # v nC # E 27-7. A placa e o catodo de um diodo a va´cuo teˆm a forma de dois cilindros conceˆntricos com a catodo sendo o ci- lindro central. O diaˆmetro do catodo e´ de � # m mm e o diaˆmetro da placa e´ de �ffZ mm; os dois elementos teˆm comprimento de � # r cm. Calcular a capacitaˆncia do dio- do. � Para um capacitor cilı´ndrico (com ~ @ ) temos da Eq. 27-14 ou da Tabela 1: � � � z � � �- fl ~ 4 � % # % � j � & a � x F � & # %Y% � pF # P 27-12. Calculamos, na Sec¸a˜o 27-3, a capacitaˆncia de um capa- citor cilı´ndrico. Usando a aproximac¸a˜o �- � � 4 , quando � (veja o Apeˆndice G), mostre que ela se aproxima da capacitaˆncia de um capacitor de placas pa- ralelas quando o espac¸amento entre os dois cilindros e´ pequeno. � A capacitaˆncia em questa˜o e´ dada por � � � z ��� Ł" . # Chamando-se de fi o espac¸amento entre os dois cilin- dros, temos que � ~ � fi . � � � z � � Ł Y . � � z ��� Ł� � � � z ��� Ł � � � . � z ��� fi!fl ~ � ��� � z ~ fi � ��� � fi c onde �C � z ~ e´ a a´rea das placas e a aproximac¸a˜o foi feita supondo-se que ~u fi . P 27-13. Suponha que as duas cascas esfe´ricas de um capacitor esfe´rico tenham aproximadamente raios iguais. Sob tais condic¸o˜es, tal dispositivo se aproxima de um capacitor de placas paralelas com 0 ~ � fi . Mostre que a Eq. 27- 17 se reduz, de fato a` Eq. 27-9, nesse caso. � A capacitaˆncia do capacitor esfe´rico em questa˜o e´ � �9r z � � ~ 0 ~ # Chamando-se de os dois raios supostos aproximada- mente iguais, segue que ~ � . Por outro lado, 0 ~ � fi . Portanto, � �wr z ��� ~ 0 ~ ��� r z � fi � ��� � fi c onde �C r z � e´ a a´rea das placas. P 27-14. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. Um capacitor foi construido para operar com uma capa- citaˆncia constante, em meio a uma temperatura varia´vel. Como se demonstra na Fig. 27-23, o capacitor e´ do tipo de placas paralelas com “separadores” de pla´stico para manter as placas alinhadas. (a) Mostre que a taxa de variac¸a˜o da capacitaˆncia � com a temperatura e´ dada por fi � fi � �K � � fi � fi 0 � fi fi c onde � e´ a a´rea de cada placa e a separac¸a˜o entre as placas. (b) Se as placas forem de alumı´nio, qual devera´ ser o coeficiente de expansa˜o te´rmica dos separadores a fim de que a capacitaˆncia na˜o varie com a temperatura? (Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitaˆncia.) � (a) A capacitaˆncia � e´ uma func¸a˜o de duas vara´veis: (i) da a´rea � das placas e (ii) da distaˆncia entre as placas: � � � � � # Portanto, a disciplina de Ca´lculo nos ensina que as variac¸o˜es da capacitaˆncia � com a temperatura sa˜o determinadas pela equac¸a˜o fi � fi � � � fi � fi � � fi fi # Calculando-se as derivadas parciais, encontramos � � � � � � � � c � � 0 ���ff� � � 0 � c que, substituidas da expressa˜o para fi � fl fi acima, nos fornecem fi � fi � � � fi � fi � � fi fi � � � fi � fi 0 � fi fi � �K � � fi � fi 0 � fi fi c que e´ o resultado pedido. (b) Da Eq. 19-9 sabemos que a variac¸a˜o d de um com- primento qualquer quando submetido a uma variac¸a˜o d de temperatura e´ dado pela equac¸a˜o d � d c onde e´ o chamado ‘coeficiente de expansa˜o te´rmica’ do material em questa˜o. Esta equac¸a˜o pode tambe´m ser re-escrita como � d d � onde ja´ representa agora o valor do coeficiente de expansa˜o te´rmica do separador. Analogamente (veja o Exercı´cio19-37), a variac¸a˜o d � de uma a´rea � em func¸a˜o de uma variac¸a˜o d de tem- peratura pode ser escrita como � � d � d � � Al c onde Al �r m j � & a s / [ C representa o coeficiente de expansa˜o te´rmica do alumı´nio (veja a Tabela 19-3) de que sa˜o feitas as placas, e o fator � leva em conta a bidi- mensionalidade das a´reas. Para que a capacitaˆncia na˜o varie com temperatura e´ preciso que fi � fl+fi � & , ou seja, que � � fi � fi 0 � fi fi � � Al 0 � &c onde consideramos variac¸o˜es d � e d infinitesimais. Da igualdade mais a` direita vemos que, para evitar variac¸o˜es de � com , o coeficiente de expansa˜o te´rmica dos separadores devera´ ser escolhido tal que � � Al �C � j � & a s / [ C # 27.2.3 Capacitores em paralelo e em se´rie E 27-15. Quantos capacitores de �¡ F devem ser ligados em pa- ralelo para acumularem uma carga de � C com um po- tencial de �"� & V atrave´s dos capacitores? � Para poder armazenar � C a �Y� & V a capacitaˆncia equivalente do arranjo a ser construido devera´ ser: �£¢q¤ � 8 : � � �"� & & �V¡ F # Para uma conexa˜o em paralelo sabemos que � ¢q¤ � o � onde � e´ a capacitaˆncia individual de cada capacitor a ser usado. Portanto, o nu´mero total de capacitores sera´: o � �£¢q¤ � � & �¥¡ F �i¡ F �9 & � # E 27-16. Na Fig. 27-24, determine a capacitaˆncia equivalente da combinac¸a˜o. Suponha � � � � & ¡ F, � � � % ¡ F e � x �9r ¡ F. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. � Os capacitores � � e � � esta˜o em paralelo, formando um capacitor equivalente � � � que, por sua vez, esta´ em se´rie com � x . Portanto, a capacitaˆncia equivalente total e´ dada por � eq � � � � j � x � � � � � x � - � & � % 4 j r - � & � % 4 � r � m & � v # � % ¡ F # E 27-17. Na Fig. 27-25, determine a capacitaˆncia equivalente da combinac¸a˜o. Suponha � � � � & ¡ F, � � � % ¡ F e � x �9r ¡ F. � Os capacitores � � e � � esta˜o em se´rie. Portanto � � � � � � � � � � ¦ � � & v ¡ F # O capacitor equivalente total e´ dado pela ligac¸a˜o em pa- ralelo de � � � e � x : � ¢q¤ � � & v � rp� � & v � � � v � �"� v k # v"v ¡ F # E 27-18. Cada um dos capacitores descarregados na Fig. 27-26 tem uma capacitaˆncia de � % ¡ F. Uma diferenc¸a de po- tencial de r � &Y& V e´ estabelecida quando a chave e´ fecha- da. Quantos coulombs de carga passam enta˜o atrave´s do amperı´metro � ? � Basta usar a fo´rmula 86� �P¢ ¤ : , onde �£¢q¤ e´ o ca- pacitor equivalente da ligac¸a˜o em paralelo, �£¢q¤ �§v � , onde � � � % ¡ F, e : �¨r � &Y& Volts. Portanto, a carga total medida e´ 8i�9v j � %pj � & a s j r � &Y& �Cv � % mC # P 27-19. Uma capacitaˆncia � � � m ¡ F e´ ligada em se´rie com uma capacitaˆncia � � �,r ¡ F e uma diferenc¸a de po- tencial de � &Y& V e´ aplicada atrave´s do par. (a) Calcule a capacitaˆncia equivalente. (b) Qual e´ a carga em cada capacitor? (c) Qual a diferenc¸a de potencial atrave´s de cada capacitor? � (a) A capacitaˆncia equivalente e´ � ¢ ¤ � � � fl m � � fl r � � r r � m � � � % ¡ F # (b) A carga no capacitor equivalente e´ 8|� �£¢q¤ : � � � j � & a s % j � &"& � & # r Z j � & ayx C # Como os capacitores esta˜o em se´rie, este valor e´ o mo´dulo da carga que esta´ sobre cada uma das placas dos dois capacitores. Ou seja, 8 � �C8 � � & # r Z mC. (c) : � � 8 � � � � & # r Z j � & a{x m j � & a s � Z & Volts c e : � � 8 � � � � & # r Z j � & a{x r j � & a s � � � & Volts # P 27-26. A Fig. 27-28 mostra dois capacitores em se´rie, cuja sec¸a˜o central, de comprimento , pode ser deslocada verticalmente. Mostre que a capacitaˆncia equivalente dessa combinac¸a˜o em se´rie e´ independente da posic¸a˜o da sec¸a˜o central e e´ dada por � � � � � ~ 0 # � Chamando-se de fi a distaˆncia entre as placas da par- te superior da figura, obtemos as seguintes expresso˜es para as capacitaˆncias individuais de cada um dos dois capacitores: � � � ���*� fi c � � � ���ff� ~ 0 06fi # Ligando-os em se´rie obtemos �£¢q¤ � � � ©{ª � � ©y« � � � � � � a a � � � � ���ff� ~ 0 # Desta expressa˜o vemos que a capacitaˆncia equivalente na˜o depende de fi , ou seja, na˜o depende da posic¸a˜o da sec¸a˜o reta central. P 27-28. Na Fig. 27-29, os capacitores � � � �¡ F e � � �¬v ¡ F sa˜o ambos carregados a um potencial : � � &"& V mas com polaridades opostas, como e´ mostrado. As chaves t � e t � sa˜o, enta˜o fechadas. (a) Qual e´ a diferenc¸a de potencial entre os pontos ~ e ? (b) Qual e´ a carga sobre � � ? (c) Qual e´ a carga sobre � � ? � (a) Apo´s as chaves serem fechadas as diferenc¸as de potencial sa˜o as mesmas e os dois capacitores esta˜o em paralelo. A ddp de ~ ate´ e´ : �, fl �£¢q¤ , one e´ http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. a carga lı´quida na combinac¸a˜o e �£¢q¤ e´ a capacitaˆncia equivalente. A capacitaˆncia equivalente e´ � ¢q¤ � � � � � � �9r j � & a s F # A carga total na combinac¸a˜o e´ a carga lı´quida sobre ca- da par de placa conectadas. A carga sobre o capacitor � e´ 8 � � � � : � - � j � & a s 4e- � &"& V 4 � � j � & a¯® C e a carga sobre o capacitor � e´ 8 � � � � : � - v j � & a s 4�- � &"& V 4 �Cv j � & ay® C c de modo que a carga lı´quida sobre a combinac¸a˜o e´ - v 0 � 4 j � & ay® C � � j � & a¯® C. Portanto, a diferenc¸a de potencial pedida e´ : � � j � & ay® C r j � & a s F � %"& V # (b) A carga no capacitor � e´ agora 8 � � � � : � - � j � & a s 4�- % & 4 � %uj � & a ¦ C # (c) A carga no capacitor � e´ agora 8 � � � � : � - v j � & a s 4e- %"& 4 � � # %uj � & ay® C # P 27-29. Quando a chave t , na Fig. 27-30, e´ girada para a esquer- da, as placas do capacitor C, adquirem uma diferenc¸a de potencial : � . Os capacitores � � e � � esta˜o inicialmente descarregados. A chave e´, agora, girada para a direita. Quais sa˜o as cargas finais 8 � , 8 � e 8 sobre os capacitores correspondentes? � As cargas nos capacitores � e v sa˜oas mesmas, de modo que eles podem ser substituidos por um capacitor equivalente dado por � � eq � � � � � � � x � � � � � x � � � x # Portanto � eq � � � � x fl.- � � � � x 4 # A carga no capacitor equivalente e´ a mesma que em qualquer um dos capaci- tores da combinac¸a˜o. A diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor equivalente e´ 8 � fl � eq. A diferenc¸a de po- tencial atrave´s do capacitor � e´ 8 � fl � � , onde 8 � e´ a carga em � � . A diferenc¸a de potencia atrave´s da combinac¸a˜o dos ca- pacitores � e v tem que ser a mesma diferenc¸a de poten- cial atrave´s do capacitor � , de modo que 8 � � � � 8 � � eq # - ~ 4 Quando fechamos a chave pela segunda vez, par- te da carga originalmente no capacitor � flui para a combinac¸a˜o de � e v . Sendo 8 � e´ a carga original, a lei da conservac¸a˜o da carga nos fornece 8 � � 8 � �98 � � � � : � c - 4 onde : � e´ a diferenc¸a de potencial original atrave´s do capacitor � . Da Eqs. (b) tiramos que 8 � � � � : � 0 8 � que, quando substituida na Eq. (a), fornece 8 � � � � � � : � 0 8 � � eq c que, finalmente, nos fornece 8 � : 8 � � � � � : � � eq � � � � � � � : � ©y« ©y° © « © ° � � � � � � � - � � � � x 4�: � � � � � � � � � x � � � � x # As cargas nos capacitores � e v sa˜o 8 � �C8 x � � � : � 0 8 � � � � : � 0 � � � - � � � � x 4 : � � � � � � � � � x � � � � x � � � � � � x : � � � � � � � � � x � � � � x # � Segunda soluc¸a˜o: Considere a figura abaixo: As cargas iniciais esta˜o indicadas a` esquerda de cada ca- pacitor. As cargas finais esta˜o indicadas a` direita de ca- http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. da capacitor. Inicialmente, podemos escrever a seguinte relac¸a˜o: 85� � � : � # De acordo com a Lei da Conservac¸a˜o da Carga, ao co- nectarmos os capacitores � � e � x , a carga total 0 8 no condutor, ± indicado na figura da soluc¸a˜o deste proble- ma, deve permanecer constante. Logo, 0 8|� 0 8 � 0 8 x Donde se conclui que 8 � � 8 x � � � : � Aplicando a Lei da Conservac¸a˜o da Carga no condutor ² indicado na figura de soluc¸a˜o deste problema, encon- tramos: & � 0 8 � � 8 x . Donde se conclui que 8 � �w8 x . Aplicando a Lei da Conservac¸a˜o da Carga para o con- dutor ³ , indicado na figura do problema, na˜o conduz a nenhuma equac¸a˜o nova. Sabemos que o campo ele- trosta´tico e´ conservativo. Enta˜o, as somas de diferenc¸a de potencial ao longo da malha fechada deve ser nula (Lei das Malhas). Portanto, & � 8 � � � � 8 x � x 0 8 � � � As relac¸o˜es (1), (2) e (3) formam um sistema de treˆs equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas 8 � , 8 � e 8 x . A soluc¸a˜o deste sistema fornece a resposta 8 � � � � � � � � � � x � � � � � � � � x � � � � x � � : � c 8 � �C8 x � � � � x � � � � � � � � x � � � � x � � : � # 27.2.4 Armazenamento de energia num campo ele´trico E 27-34. Que capacitaˆncia e´ necessa´ria para armazenar uma ener- gia de � & kW L h sob uma diferenc¸a de potencial de � &"&Y& V? � Como sabemos que a energia armazenada num capa- citor e´ H � � : � fl � , a ‘dificuldade’ do problema consis- te apenas em determinar quantos Joules correspondem a � & kW L h. Lembrando que � J � � Watt L segundo, simplesmen- te precisamos multiplicar - � & x W fl ´ Q 4e- v m &Y& s/h 4 para obter que � & kW L h �wv # m j � &"µ J. Portanto � � � H : � � �.- v # m j � &Yµ 4 - � &Y&"& 4 � �k � F # E 27-37. Dois capacitores, de capacitaˆncia � ¡ F e r ¡ F, sa˜o liga- dos em paralelo atrave´s de uma diferenc¸a de potencial de v &Y& V. Calcular a energia total armazenada nos capa- citores. � A energia total e´ a soma das energias armazenadas em cada capacitor. Com eles esta˜o conectados em paralelo, a diferenc¸a de potencial : a que esta˜o submetidos e´ a mesma. A energia total e´, portanto, H � � � - � � � � � 4 :5� � � � � j � & a s � r j � & a s - v &Y& 4 x � & # � k J # P 27-47. Um capacitor cilı´ndrico tem raio interno ~ e raio externo (como indicado na Fig. 27-6, pa´g. 95). Mostre que me- tade da energia potencial ele´trica armazenada esta´ den- tro de um cilindro cujo raio e´ �=¶ ~ # � A energia acumulada num campo ele´trico que ocupa um volume · e´ obtida integrando-se, sobre todo o vo- lume · , a densidade de energia ¸y¹ do campo ele´trico. Portanto, H - 4 � R ¸ ¹ fi · � ��� � Rº E � fi ·Vc onde fi;: � � z fi e´ o elemento de volume da gaus- siana cilı´ndrica de raio considerada (ver Fig. 27-6). Usando a Eq. 27-12, encontramos que o campo ele´trico entre as placas de um capacitor cilı´ndrico de compri- mento contendo uma carga 8 e de raio e´ dado por E - 4 � 8 � z � � # http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. Substituindo-se este valor na equac¸a˜o para H - 4 , acima, encontramos a seguinte relac¸a˜o para a energia acumula- da no campo ele´trico dentro do volume compreendido entre o cilindro de raio ~ e o cilindro de raio : H - 4 � � � � R º 8 � z ��� { � � z fi � 8 � r z ��� R»º fi � 8 � r z � � Ł ~ # A energia potencial ma´xima H½¼ e´ obtida para : H½¼ H - 4 � 8 � r z � � � ~ # Para obter o valor de pedido precisamos simples- mente determinar o valor de para o qual tenhamos H - 4 � H¼ fl"� . Substituindo-se nesta equac¸a˜o os va- lores de H - 4 e H¼ acima, encontramos sem nenhuma dificuldade que �=¶ ~ # P 27-49. Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelas se atraem mutuamente com uma forc¸a dada por S � 8 � � ���ff� # Obtenha o resultado calculando o trabalho necessa´rio para aumentar a separac¸a˜o das placas de para u� fi , com a carga 8 permanecendo constante. � O trabalho feito num campo ele´trico e´ definido por fi Q � S fi � 8 fi!: �98 E fi # Portanto, por comparac¸a˜o destas fo´rmulas, obtemos a magnitude da forc¸a e´ S � l E . Para um capacitor de placas paralelas sabemos que a magnitude do campo e´ dada por E � 7 fl � ��� onde 7 �w8 fl � .Portanto S �98 E �C8 7 � � � �98 8 � � � � � 8 � � � � � # Modo alternativo, na˜o supondo 8 constante: Consi- dere uma carga infinitesimal fi 8 sobre uma das placas do capacitor. O mo´dulo fi S da forc¸a infinitesimal de- vida ao campo ele´trico D E existente no capacitor e´ dada por fi S � E fi 8 # A Eq. 27-7 nos diz que mo´dulo do campo ele´trico DE existente no capacitor e´ E � 8 ���ff� # Portanto S � R fi S � R E fi 85� � � � � R ¤ � 8 fi 8|� 8 � � � � � # P 27-50. Usando o resultado do Problema 27-49, mostre que a forc¸a por unidade de a´rea (a tensa˜o eletrosta´tica) atuan- do sobre cada placa e´ dada por ��� E � fl � . (Na realida- de, este resultado e´ geral, valendo para condutores de qualquer formato, com um campo ele´trico ¾ na sua su- perfı´cie. � De acordo com o problema 27-49, a forc¸a em cada placa do capacitor e´ dada por S �¿8 � flffi-À� � � � 4 , onde 8 e´ a carga sobre a placa e � e´ a a´rea da placa. O campo ele´trico entre as placas e´ E �Á8 fl.- ���ff� 4 , de modo que 8i� ���*� E e S � 8 � � ���ff� � � � � � � E � � ���ff� � � � � � � E � # Assim sendo, a forc¸a por unidade de a´rea e´ S � � � � ��� E � # P 27-51  . Uma carga 8 e´ colocada lentamente na superfı´cie de uma bolha de saba˜o, de raio à � . Devido a` repulsa˜o mu´tua existente entre as cargas superficiais, o raio aumenta li- geiramente para à . Por causa da expansa˜o, a pressa˜o do ar dentro da bolha cai para · � Ä fl · onde Ä e´ a pressa˜o atmosfe´rica, · � e´ o volume inicial e · e´ o volume final. Mostre que 8 � �9v � z � � Ä Ã - à x£0 à x � 4 # (Sugesta˜o: Considere forc¸as que atuam sobre uma pe- quena a´rea da bolha carregada. Forc¸as decorrentes de (i) pressa˜o do ga´s; (ii) a pressa˜o atmosfe´rica; (iii) a tensa˜o eletrosta´tica. Ver o Problema 50.) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 9 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. � Conforme o Problema 27-50, a forc¸a eletrosta´tica que atua numa pequena a´rea d � e´ S ¢ � ��� E � d � fl � . O campo ele´trico na superfı´cie e´ E �Å8 fl.- r z ��� à � 4 , onde 8 e´ a carga na bolha. Portanto S ¢ � � � ��� 8 � d � � m z � � � � à ® � 8 � d � v � z � � � � à ® c apontando para fora. A forc¸a do ga´s dentro e´ o produto da pressa˜o dentro pela a´rea, ou seja, SÇÆ � Ä · � · d � � Ä ® x z à x � ® x z à x d � � Ä Ã x � à x d � c apontando para fora. A forc¸a do ar fora e´ S � Ä d � , apontando para dentro. Como a superfı´cie da bolha esta em equilı´brio, a soma das treˆs forc¸as deve anular-se: S ¢ � SÇÆ 0 S � & . Esta equac¸a˜o fornece-nos 8 � v � z � ��� à ® � Ä Ã x � à x 0 Ä � &.c de onde tiramos facilmente que 8 � �9v � z � � à ® Ä � 0 à x � à x �Cv � z � ��� Ä Ã - à x£0 à x � 4 # � Em outras palavras: As forc¸as que atuam sobre o elemento de a´rea da bolha carregada sa˜o causadas pelas seguintes presso˜es: (a) A pressa˜o do ga´s Ä Æ do interior da bolha (atuando de den- tro para fora), (b) A pressa˜o atmosfe´rica Ä (atuando de fora para dentro), (c) A tensa˜o eletrosta´tica mencionada no Problema 27-12 (atuando de dentro para fora). No equilı´brio, como a soma das forc¸as e´ igual a zero, can- celando a a´rea comum considerada, podemos escrever: Ä Æ � ��� E � � � Ä # -ÀÈ 4 De acordo com o enunciado do problema, temos: Ä Æ � · � · Ä � ® x z à x � ® x z à x Ä � à x � à x Ä # O campo ele´trico da distribuic¸a˜o de cargas esfericamen- te sime´trica existente na superfı´cie da bolha e´ dado por E � � r z ��� 8 à � # Substituindo-se Ä Æ e E na Eq. (*) acima obtemos à x � à x Ä � ��� � � � m z � � � � 8 � à ® � Ä de onde se tira facilmente que o valor pedido e´ 8 � �Cv � z � ��� Ä Ã - à x 0 à x � 4 # 27.2.5 Capacitor com um diele´trico E 27-53. Dado um capacitor de k # r pF, cheio de ar, pedimos converteˆ-lo num capacitor que armazene k # r ¡ J com uma diferenc¸a de potencial ma´xima de m % � V. Qual dos diele´tricos listados na Tabela 27-2 poderia ser usado pa- ra preencher a lacuna de ar do capacitor? � Com o diele´trico dentro, a capacitaˆncia e´ dada por � �É< � � , onde � � representa a capacitaˆncia antes do diele´trico ser inserido. A energia armazenada e´ dada por H � � � � :1� � � � < � � :1� # Portanto, <Ê� � H � � : � � �B- k # r j � & a s 4 - k # r j � & a � � 4e- m % �Y4 � �wr # k # Da Tabela 27-2 vemos que poderı´amos usar pirex para preencher a lacuna do capacitor. E 27-56. Um cabo coaxial usado numa linha de transmissa˜o tem um raio interno de & # � mm e um raio externo de & # m mm. Calcular a capacitaˆncia por metro de cabo. Supo- nha que o espac¸o entre os condutores seja preenchido compoliestireno. � Usando as Eqs. 27-14 e 27-30 encontramos que a ca- pacitaˆncia do cabo e´ � �< � ar �< � z ��� �- fl ~ 4 # Portanto, por unidade de comprimento temos Ë � � �C< � z ��� ŁÇ- m fl � 4 � Z & # k pF/m # onde usamos <Ì� � # m (que corresponde ao poliestireno, veja Tabela 27-2, pa´g. 101). P 27-57. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 10 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. Uma certa substaˆncia tem uma constante diele´trica de � # Z e uma rigidez diele´trica de �ffZ MV/m. Se a usarmos como material diele´trico num capacitor de placas para- lelas, qual devera´ ser a a´rea mı´nima das placas para que a capacitaˆncia seja de k j � & a � ¡ F e para que o capa- citor seja capaz de resistir a uma diferenc¸a de potencial de r kV? � A capacitaˆncia e´ � �Å< � � �Å< � � � fl fi , onde � � e´ a capacitaˆncia sem o diele´trico, < e´ a constante diele´trica do meio, � a a´rea de uma placa e fi a separac¸a˜o das pla- cas. O campo ele´trico entre as placas e´ E � :Pfl+fi , onde : e´ a diferenc¸a de potencial entre as placas. Portanto, fi � :Pfl E e � �C< ����� E fl : , donde tiramos � � � : < ��� EÍ# Para que esta a´rea seja mı´nima, o campo ele´trico deve ser o maior possı´vel sem que rompa o diele´trico: � � - k j � & ay} F 4e- r j � & x V 4 � # Z - Z # Z %pj � & a � � F/m 4�- �ffZ j � & s V/m 4 � & # m v m � # P 27-64. Um capacitor de placas paralelas, de a´rea � , e´ preen- chido com dois diele´tricos como mostra a Fig. 27-35 na pa´g. 111. Mostre que neste caso a capacitaˆncia e´ dada por � O valor pedido corresponde a` capacitaˆncia� do ca- pacitor equivalente da ligac¸a˜o em se´rie de � � �9< � ��� � fiffifl � e � � �< � ��� � fiffifl � c cuja u´nica diferenc¸a e´ o diele´trico: � � � fi!fl"� < � � � � � fi!fl"� < � � � � � fiffifl � � � � < � � < � < � < � # Portanto � � � � � � fi < � < � < � � < � # Soluc¸a˜o alternativa: � O campo ele´trico uniforme para cada uma das cama- das diele´tricas entre as placas do capacitor e´ dada por E � � 8 fl � < � � � e E � � 8 fl � < � � � # Sabemos que � �C8 fl : , onde : � : � � : � � fi � E � � fi � E � # Portanto � � 8 � � - E � � E � 4 � � 8 fi ¤ �Î Ï ª � � � ¤ �Î Ï « � � � � ���ff� fi < � < � < � � < � # Note que, no caso de um capacitor no ar (sem os diele´tricos), temos < � �M< � � � e a relac¸a˜o acima se reduz a � � ���ff� fl fi , conforme esperado. Quando os dois diele´tricos forem iguais, isto e´, para < � �Ð< � �Ð< , a relac¸a˜o anterior tambe´m fornece o resultado esperado: � �< � � � fl+fi . 27.2.6 Os diele´tricos e a lei de Gauss E 27-66 Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitaˆncia de � &"& pF, placas de a´rea igual a � &Y& cm � e usa mica co- mo diele´trico ( <Ê� % # r ). Pra uma diferenc¸a de potencial de % & V, calcule: (a) E na mica; (b) o mo´dulo da carga livre sobre as placas, e (c) o mo´dulo da carga superficial induzida. � (a) O campo ele´trico na regia˜o entre as placas e´ E � :Ñfl fi , onde : e´ a diferenc¸a de potencial entre as placas e fi a separac¸a˜o das placas. Como � �Ð< ���ff� fl+fi , onde � e´ a a´rea de uma placa e < a constante diele´trica, temos que fi �9< ���*� fl � e, portanto, que E � : fi � : � < ���ff� � % & - � &"&pj � & a � � 4 % # r - Z # Z %pj � & a � � 4e- � &"&Bj � & a¯® 4 � � j � & ® V/m # (b) A carga livre nas placas e´ 8�ÒP� : � � - � &Y&uj � & a � � 4�- % & 4 � %uj � & a n C # (c) O campo ele´trico e´ produzido por ambas cargas, livre e induzida. Como campo devido a uma camada grande e uniforme de carga e´ 8 flffi-À� � � � 4 , o campo entre as placas e´ E � 8�Ò � � � � � 8�Ò � � � � 0 8�Ó � � � � 0 8�Ó � � � � # http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 11 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 13 de Dezembro de 2004, a`s 8:06 a.m. O primeiro termo deve-se c`arga livre positiva em uma das placas, o segundo deve-se a` carga livre negativa na outra placa, o terceiro deve-se a` carga induzida positiva em uma das superfı´cies do diele´trico o quarto deve-se a` carga induzida negativa na outra superfı´cie do diele´trico. Observe que o campo devido a carga induzida e´ oposto ao campo devido a` carga livre, de modo que eles tendem a cancelar-se. A carga induzida e´, portanto, 8�ÓÔ� 8�Ò 0 ���*� E � %uj � & a n C 05- Z # Z %pj � & a � � 4e- � &"&Bj � & ®ff4e- � j � & ®*4 C � r # � j � & a n C � r # � nC # P 27-71 Uma laˆmina diele´trica de espessura e´ introduzida en- tre as placas de um capacitor de placas paralelas de separac¸a˜o fi . Mostre que a capacitaˆncia e´ dada por � � < � � � < fi10Õ- < 0 � 4 # (Sugesta˜o: Deduza a fo´rmula seguindo o modelo do Exemplo 27-10.) Esta fo´rmula preveˆ o resultado nume´rico correto do Exemplo 27-10? Verifique que a fo´rmula esta´ de acordo com os casos especiais quando � & , <Ê� � e £� fi . � Seja E um campo ele´trico na regia˜o vazia e E � o cam- po ele´trico no interior do diele´trico. Da Eq. 27-32 sabe- mos que E � � E fl < . Portanto, observando a Fig. 27-17 que corresponde a` situac¸a˜o deste problema, vemos que a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor e´ dada por : � E � E � � -/fi10 0 4 E c ou seja : � -/fi50 � < 4 E # Como sabemos que E �98 fl.- �V��� 4 (veja Eq. 27-7), segue que : � 8 �V� � <ÌÖ < fii0)- < 0 � 4 �× c donde tiramos sem dificuldades que, realmente, � 8 : � < � � � < fi10Õ- < 0 � 4 # Note que este resultado na˜o depende da posic¸a˜o exata da laˆmina dentro do diele´trico. A laˆmina tanto podera´ estar tocando qualquer uma das placas como estar no meio delas, sem que se altere o valor acima. Tanto para 1� & quanto para <Í� � a relac¸a˜o anterior fornece corretamente a capacitaˆncia no va´cuo, ou seja, � � � � � fl fi . Quando Ì� fi , situac¸a˜o em que o diele´trico preenche totalmente o espac¸o entre as placas do capacitor, a ex- pressa˜o acima tambe´m fornece o resultado correto, a sa- ber, � �C< �Ø� � fl+fi . http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 12 de 12
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