Exercicios Coulomb Potencial Gauss

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Lista de Exercícios – Lei de Coulomb, Potencial e Energia eletrostáticos e Lei de 
Gauss 
 
1 – Uma linha de cargas semicircular com raio a está situada no espaço livre conforme 
mostra a figura abaixo. A densidade linear uniforme de carga é Q’. Calcule o vetor campo 
elétrico em um ponto arbitrário do eixo z. 
 
 
Resp.: � = ������	
 ���
 � + �� �� ,							 = √�� + �� 
 
2 – Uma superfície hemisférica de raio a está uniformemente carregada com uma 
densidade superficial σ. O meio é o espaço livre. Calcule o vetor intensidade de campo 
elétrico no centro do hemisfério. 
 
 
Resp.: � = ����� � 
 
3 – Há um campo elétrico uniforme na região entre duas placas planas paralelas com 
cargas de sinais opostos. Um próton é liberado do repouso na superfície da placa com 
carga positiva e, depois de um intervalo de tempo igual a 1,50x10-6 s, ele colide sobre a 
superficie da placa oposta, que está a uma distância de 1,60 cm da primeira. (a) Determine 
o módulo do campo elétrico. (b) Calcule o módulo da velocidade do próton quando ele 
atinge a placa com carga negativa. Massa do próton: 1,67x10-27 kg. 
Resp.: 148 V/m, 2,13x104 m/s. 
 
4 – Determine o potencial o devido a um dipolo formado por duas linhas de carga de 
densidades Q’ e –Q’ com uma distância d entre si. Considere a aproximação ln(1+x)=x 
para x<<1. 
Resp.: � = ������ � !"#$ 			 
 
 
5 – Um cubo de aresta a no espaço livre possui uma densidade volumétrica de carga 
ρ(x)=ρ0sen(πx/a), 0≤x≤a, ρ0 é uma constante e x é uma distância normal a um dos lados 
do cubo. Calcule a carga total do cubo. 
Resp.: 
�%�&'� 
 
6 – Um próton se desloca horizontalmente da esquerda para a direita a 4,5x106 m/s. (a) 
Determine o módulo mínimo do campo elétrico capaz de trazer o próton uniformemente 
para o repouso por uma distância de 3,20 cm. (b) Quanto tempo o próton leva para parar 
após entrar no campo. 
Resp.: (a) 106 V/m, (b) 14,2 ns. 
 
7 – Uma carga elétrica total Q é uniformemente distribuída ao longo de uma barra fina de 
comprimento a, como mostra a figura abaixo. Considere o potencial igual a zero no 
infinito. Determine o potencial no (a) ponto P a uma distância x da barra e (b) ponto R a 
uma distância y da barra. 
 
Resp.:(a) � = ��(���& )* �+,&& � -./� = ��(���& )* 0&,1&2,323 4 
 
8 – Considere uma carga pontual q=1µC um ponto A a uma distância d1=2 m de q e um 
ponto B a uma distância d2= 1 m de q. (a) Se estes pontos estiverem diametralmente 
opostos um do outro, qual a diferença de potencial elétrico VA-VB? (b) Qual será a 
diferença de potencial VA-VB se A e B estiverem, agora, em direções perpendiculares 
entre si (as respectivas distâncias em relação à carga permanecem como no caso anterior)? 
Resp.: (a) -4,5 kV, (b) -4,5 kV. 
 
9 – Uma placa não condutora infinita possui uma densidade superficial de carga σ=0,10 
µC/m2 Qual a separação entre superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 50 
V? 
 
10 – Uma casca esférica espessa de carga Q e densidade volumétrica de carga ρ uniforme 
é limitada pelos raios r1 e r2, r2>r1, com V=0 no infinito. Determine o potencial elétrico V 
em função da distância r contada a partir do centro da casca esférica, considerando as 
regiões: (a) r>r2, (b) r1<r<r2, (c) r<r1. 
Resp.: (a) � = �(���$ (b) � = %5�� �5� 6�� − 8� 6� − $9'$ �, (c) � = %��� -6�� − 68�/ 
 
11 – Duas placas condutoras situadas no espaço livre em ϕ=0 e ϕ=π/6 estão isoladas entre 
si. Dado que a função potencial para 0≤ϕ≤π/6 é V=(-60ϕ/π) V, determine a energia 
armazenada entre as placas para 0.1 m ≤ r ≤ 0.6 m e 0 ≤ z ≤ 1 m. 
Resp.: 1,51 nJ. 
 
12 – Uma linha infinita de carga com densidade linear ρl= 2 nC/m está ao longo do plano 
z=0 paralelamente ao eixo x e passando por y=3 m. Determine a diferença de potencial 
VAB entre os pontos A(2 m, 0, 4 m) e B(0, 0, 0). 
Resp.: -18,4 V. 
 
 
 
 
 
 
13 – Considere um disco carregado centrado no eixo z. A expressão parao potencial 
elétrico em qualquer ponto do eixo z é dado por: 
� = :2<= �1�� + �� − |�|� 
Onde σ é a densidade superficial de carga e a é o raio do disco. Obtenha a expressão para 
o campo elétrico. 
Resp.: 	 � = :2<= 0 �|�| − �√�� + ��4 
 
14 – Quatro condutores muito longos, cada um na forma de uma casca cilíndrica de 
espessura d=1 cm estão dipostos coaxialmente no espaço livre, como mostra a figura 
abaixo. O primeiro e o quarto condutor estão aterrados. O potencial do terceiro condutor 
(tomado em relação ao solo) é V3=1 kV. O segundo condutor está descarregado. Encontre 
as cargas por unidade de comprimento do primeiro e do terceiro condutor. 
 
 
Resp.: ρl,1= -88,5 nC/m ρl,3= 450 nC/m. 
 
15 – Uma carga pontual Q está na origem do sistema de coordenadas esféricas. Determine 
o fluxo que atravessa a seção de uma casca esférica descrita por 45 ≤ θ ≤ 60. 
Resp.: 1.48(Q/2). 
 
 
 
16 – Uma linha de carga com densidade uniforme ρl=3 µC/m está disposta ao longo do 
eixo z e uma casca cilíndrica circular de raio 2 m concêntrica à linha de carga possui 
densidade superficial σ=(-1,5/4π) µC/m2. Ambas as distribuições podem ser consideradas 
como infinitos ao longo do eixo z. Determine o vetor densidade de fluxo elétrico em todo 
o espaço. 
Resp.: ?=,(@$ �A 			 BCD2 ,						0 < 6 < 2	G=,�($ �A 			 BCD2 ,					6 > 2	G 
 
17 – Um condutor maciço possui densidade superficial de carga σ. Assumindo que o fluxo 
elétrico é nulo no interior do condutor, mostre que a magnitude do vetor densidade de 
fluxo elétrico é σ na região externa imediatamente próxima à superfície do condutor. 
 
18 – Uma esfera condutora com raio R=10 cm possui uma quantidade de carga Q. Se o 
campo elétrico a 15 cm do centro da esfera possuir intensidade de 3kV/m e estiver dirigido 
radialmente para o centro da esfera, qual o valor de Q? 
Resp.: -7,5 nC. 
 
19 – Um condutor isolado com formato arbitrário possui uma quantidade de carga de 10 
µC. No interior do condutor existe uma cavidade dentro qual está uma carga pontual de 3 
µC. (a) Qual a carga sobre a parede da cavidade? (b) Qual a carga sobre a superfície 
externa do condutor? 
Resp.: a) -3 µC b) 13 µC. 
 
20 – Uma distribuição de cargas esfericamente simétricas porém não uniformes possui 
uma densidade ρ(r) volumétrica dada por: 
IJ=-1 − 46/3O/			,						6 ≤ O0				6 > O 
 
Em que ρ0 é uma constante positiva. (a) Calcule a carga total contida na distribuição. (b) 
Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região r > R. (c) Obtenha uma expressão 
para o campo elétrico na região r ≤ R. (d) Determine o valor de r para o qual o campo 
elétrico possui valor máximo e determine este valor. 
Resp.: (a) 0, (b) 0, (c) 
%5�� 6 �1 − $Q�, (d) rmax = R/2 e Emax = %�8��� O.