Estatística Aula 04 Probabilidade

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Probabilidade
Experimento aleatório – situação ou acontecimento cujos resultados 
não podem ser previstos com certeza
Exemplos: Notas na prova de Estatística
Resultado de um teste diagnóstico
Lançamento de um dado
Espaço Amostral – conjunto de todos os resultados possíveis de um 
fenômeno aleatório
Notação: S (outras notações: E, Ω)
S={x:nota, 0 ≤ x ≤ 100}
S={+ , -}
S={1,2,3,4,5,6}
Vamos considerar espaços amostrais discretos
Como contar e enumerar todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório?
Resultados úteis:
1) Princípio Fundamental da Contagem: é um princípio combinatório que 
indica de quantas formas se pode escolher um elemento de cada um de n
conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto tem k1 elementos, o segundo tem 
k2 elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de escolhas 
é dado por: T=k1x k2 x k3 x .... x kn
Exemplo: Considere os lançamento de 2 moedas. Quantos são os 
resultados possíveis? 2 x 2 = 4.
Diagrama de àrvores: útil para identificar todos os resultados possíveis
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
2) Regra de contagem para Combinações: de quantos maneiras podemos 
combinar n objetos em grupos de tamanho x
1 x .... x 2)-(n x 1)-(nn x n! )!xn(!x
!n
x
n
=
−
=








1 !0 =
2
De quantas maneiras podemos selecionar 2 alunos num grupo de 5 alunos?
( ) 101 x 2
 4 x 5
 )1 x 2 x 3(1 x 2
 x12 x 3 x 4 x 5
 )!3(!2
!5
2
5
====








Quantas apostas diferentes de 6 números podem ser feitas num jogo da 
mega sena?
 50.063.860 
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
55 x 56 x 57 x 58 x 59 x 60
 
!54!6
!60
6
60
===








3) Regra de contagem para permutações: de quantas maneiras 
podemos selecionar x objetos de n objetos onde a ordem é importante
)!xn(
!n
x
n
!x
−
=








De quantas maneiras podemos selecionar 2 entre 3 objetos?
Objetos: 1, 2, 3
Maneiras de selecionar: 12 – 13 – 21 – 22 – 23 – 31 – 32
12 ≠ 21
6
1
1 x 2 x 3
)!23(
!3
==
−
6 maneiras diferentes
Evento: subconjuntos do espaço amostral
A = {Nota < 20}
B = {Teste Positivo}
C = {Sair número par}
Vamos denotar os eventos por letras maiúsculas
Alguns Eventos Especiais
Sejam A e B dois eventos quaisquer no espaço amostral
Evento União: ocorrência de A somente, de B somente ou de A e B ao mesmo 
tempo
Notação: A U B
A
B
S
Evento Interseção: ocorrência simultânea de A e B
Notação: A ∩ B
A ∩ B
A ∩ B
Dois eventos A e B são chamados disjuntos ou mutuamente excludentes
se a interseção entre eles é um conjunto vazio (A ∩ B = φ)
A B
S
3
Evento Complementar: O evento complementar de um evento A contido no 
espaço amostral é tudo que está no espaço amostral mas que não está em A.
Notação: AC 
AC é o evento complementar do evento A
S
A
A U Ac = S
A ∩ Ac = φ
Ac
U
n
j
n
j
jj APAP
1 1
)()(
= =
∑=
Probabilidade – medida da incerteza associada a um evento
Uma função P(.) é chamada de probabilidade se satisfaz as seguintes condições:
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo A ⊂ S
2) P(S) = 1
3) Se os eventos A1, A2,..., An são disjuntos 
Consequências:
1) A soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
2) P(Ac)= 1 – P(A)
Como atribuir probabilidades aos eventos?
1) Método clássico
2) Método frequentista
3) Subjetivamente
Qual a probabilidade de sair número par no lançamento de um dado?
Se todas as faces do dado tiverem a mesma probabilidade de ocorrer 
podemos usar o método clássico:
possíveis resultados de número
 evento ao favoráveis resultados de número)A(P =
A = número par P(A) = 3/6=0,5
E se o dado não é honesto?
Podemos usar a definição frequentista: Lance o dado um grande número 
de vezes e calculamos a proporção de vezes que ocorreu número par.
Frequencia relativa é uma estimativa da probabilidade. 
Mantidas constantes as condições do experimento quanto maior o número 
de repetições do experimento mais perto da probabilidade estará a 
frequência relativa
Suponha que o dado foi lançado 200 vezes sendo observado númeo para 
em 80 vezes.
P(A) = 80/200 = 0,40
Se Cruzeiro e Atlético jogassem hoje, qual seria a probabilidade de 
empate?
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Exemplo: Lançamento simultâneo de dois dados honestos
6,66,56,46,36,26,1
5,65,55,45,35,25,1
4,64,54,44,34,24,1
3,63,53,43,33,23,1
2,62,52,42,32,22,1
1,61,51,41,31,21,1
6 x 6 =36 resultados possíveis
A = {Soma é 6} P(A) = ?
A = { (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
P(A) = 5/36 
6,66,56,46,36,26,1
5,65,55,45,35,25,1
4,64,54,44,34,24,1
3,63,53,43,33,23,1
2,62,52,42,32,22,1
1,61,51,41,31,21,1
B = {número menor ou igual a 2 no primeiro dado}
C = {número ímpar no segundo dado} 
P(B ∩ C) = ? P(B ∩ C) = 6/36 = 1/6
P(B U C) = ? P(B U C) = 24/36 = 2/3
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Se A e B são disjuntos, então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(B U C) = 12/36 + 18/36 - 6/36 = 24/36
Exemplo: Uma amostra de 200 pessoas é escolhida ao acaso de uma 
população e classificada quanto à escolaridade do pai e da mãe
200606575Total
6045105Superior
701050102º grau
7055601º grau
TotalSuperior2º grau1º grau
Escolaridade do pai
Escolaridade da mãe
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso desta população
ter pai com 1º grau?
a) ter mãe com 2º grau?
b) ter pai com 1º. grau? 
c) ter pai com 1º grau e mãe com 2º grau?
d) ter pai com 1º grau ou mãe com 2º Grau? 
A = ter mãe com 2º grau?
B = ter pai com 1º grau?
 675,0
200
107075)BA(P 05,0
200
10)BA(P 
 375,0
200
75)B(P 35,0
200
70)A(P
=
−+
=∪==∩
====
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Probabilidade Condicional
Qual a probabilidade de uma pessoa desenvolver câncer de pulmão?
Qual a probabilidade de uma pessoa desenvolver câncer de pulmão se ela 
fumou por 10 anos?
Qual a probabilidade de um aluno ser aprovado em Estatística?
Qual a probabilidade de um aluno ser aprovado em Estatística se ele 
resolveu os exercicios do livro?
Qual a probabilidade do “seu clube” ganhar o próximo jogo?
Qual a probabilidade do “seu clube” ganhar o proximo jogo se jogar com o 
time reserva?
Dados dois eventos A e B, a probabilidade de ocorrência de A dado que 
B ocorreu é chamada de probabilidade condicional de A dado B, 
representada por P(A | B) 
200606575Total
6045105Superior
701050102º grau
7055601º grau
TotalSuperior2º grau1º grau
Escolaridade do pai
Escolaridade da 
mãe
P(mãe com 1º grau | pai com 1º. Grau) = 60/75 = 0,8000
P(mãe com 1º grau | pai com 2º. Grau) = 5/65 = 0,07692
P(mãe com 1º grau | pai com superior) = 5/60 = 0,0833
P(pai com 1º grau | mãe com 1º. Grau) = 60/70 = 0,8571
P(pai com 1º grau | mãe com 2º. Grau) = 10/70 = 0,1429
P(pai com 1º grau | mãe com superior) = 5/60 = 0,0833
Quando condicionamos 
reduzimos o espaço 
amostral
Observe que a 
probabilidade de ter 
mãe com 1º. grau 
depende da 
escolaridade do pai
0)B(P se ),A(P)B|A(P
0)B(P se ,)B(P
)BA(P)B|A(P
==
>
∩
=
Probabilidade Condicional do evento A dado que o evento B ocorreu
Regra da Multiplicação
)()|()( BPBAPBAP =∩
Eventos Independentes
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não 
diz nada sobre a ocorrência do outro
P(A|B) = P(A)
(ou P(B|A) = P(B))
Então se A e B são independentes
)()(
)()|( AP
BP
BAPBAP == I )()()( BPAPBAP =∩
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Exemplo: Uma sala de aula tem 30 alunos, 20 homens e 10 mulheres. 
Dois alunos são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade do primeiro ser 
mulher e o segundoser homem 
1) se as retiradas são realizadas com reposição.
2) se as retiradas são realizadas sem reposição.