Estatística%20Indutiva[1]

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Estatística Indutiva
Conteúdo 1. Diagrama de Dispersão.
O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.
Exemplo 1. Suponha que um professor de Educação Física esteja interessado em observar a relação entre o peso e a altura dos alunos de uma academia. Para tal análise ele colhe uma amostra de 10 alunos e obtém os seguintes resultados descritos na tabela 1.
 
Altura e peso de dez alunos da Academia
“Entre em Forma”.
	Altura (em cm)
	Peso (em kg)
	160
	80
	165
	60
	168
	65
	169
	72
	170
	80
	171
	80
	173
	82
	174
	80
	176
	85
	180
	88
 
Podemos representar os resultados por meio de um diagrama de dispersão. Veja a seguir:
 
Exercício Resolvido.
A tabela a seguir mostra o número de livros lidos no decorrer do ano de 2010 de adolescentes do sexo masculino e o número de horas anuais que passaram jogando videogame.
 
Número de livros lidos e número de horas de jogo no videogame.
	Número de livros lidos em 2010
	Número de horas jogando videogame em 2010
	0
	12
	1
	1300
	2
	1000
	3
	900
	4
	800
	8
	300
 
 
 
 
Conteúdo 2. Correlação Linear
 
A correlação é um parâmetro que indica a relação entre duas variáveis (x, y). Ela é denominada Correlação Linear quando os pontos dispostos nos pares ordenados  (x, y) se ajustam a uma reta.
A medida do grau de correlação linear entre duas variáveis é denominada coeficiente de Correlação de Pearson, indicado por “r” e calculado através da fórmula:
 
 
 
 
Onde n é o número de pares das variáveis em estudo.
xi e  yi são as variáveis em estudo.
Os possíveis valores de correlação linear estão no intervalo  .
Quando r=1 temos uma correlação perfeita positiva.
Quando r=-1 temos uma correlação perfeita negativa.
Na correlação positiva, as variáveis alteram-se em um mesmo sentido, se x cresce, y tende a crescer ou se x decresce, y tende a decrescer.
Na correlação negativa, as variáveis em estudo alteram-se em sentidos opostos, se x cresce, y tende a decrescer, ou se x decresce, y tende a crescer.
Devemos lembrar que a correlação não conclui a respeito da relação de causa e efeito entre duas variáveis. Um elevado grau de correlação não significa necessariamente que um seja a causa e outro o efeito.
 
Exercício Resolvido
Apresente uma situação onde temos um coeficiente de correlação positiva.
Podemos exemplificar este caso com a situação altura e peso de dez alunos da Academia “Entre em forma”, veja a seguir:
Altura e peso de dez alunos da Academia
“Entre em Forma”.
	Altura (em cm)
	Peso (em kg)
	160
	80
	165
	60
	168
	65
	169
	72
	170
	80
	171
	80
	173
	82
	174
	80
	176
	85
	180
	88
 
Conteúdo 1 e 2. Correlação e Regressão Linear.
 
 
Conteúdo 1.  Intervalos de Confiança
 
Parâmetro é uma descrição numérica de uma característica da população.
 
Estatística é uma descrição numérica de uma característica da amostra.
 
 
Na Estatística Indutiva fazemos afirmações sobre os parâmetros da população a partir de estatísticas obtidas de amostras da população.
 
Em geral os valores obtidos na média amostral e do desvio-padrão amostral são diferentes dos valores da média populacional e do desvio-padrão populacional, respectivamente.
 
 
Estimativa pontual é uma estimativa de um único valor para um parâmetro populacional.
 
Estimativa Intervalar é um intervalo de valores para estimar um parâmetro populacional.
 
 
 
Nível de confiança é a probabilidade de que um intervalo estimado contenha o parâmetro populacional.
 
 
Intervalos de confiança para a média.
 
 
Considerando uma amostra casual simples com n elementos, dizemos que a média dos dados da amostra é uma estimativa da média da população. Para termos uma idéia mais precisa dessa estimativa devemos encontrar um intervalo de confiança para a média.
 
 
Amostras Grandes (número de elementos maior ou igual a 30).
 
Para determinar um intervalo de confiança para a média populacional devemos primeiramente estabelecer um nível de confiança.
 
Para dado tamanho da amostra:
  Quanto maior o nível de confiança, maior será o intervalo.
  Quanto maior o intervalo, menor será a precisão da estimativa.
 
 
Erro para a média.
 
Dado um nível de confiança, o erro (E) da estimativa é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro a ser estimado.
 
Para calcularmos esse erro usamos a fórmula:
 
 
Encontramos o valor crítico na tabela de distribuição normal reduzida.
 
      
 
    
 
Intervalos confiança para média (numero de elementos menores que 30)
 
Quando desconhecemos o desvio-padrão da população e também não temos acesso a uma amostra com 30 ou mais elementos, construímos um intervalo de confiança para a média utilizando a distribuição t de Student.
A distribuição t é uma família de curvas. Cada uma delas depende de um parâmetro denominado grau de liberdade. Quando utilizamos a distribuição t para estimar a média populacional, o número do grau de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1. (g.l.=n-1).
 
 
 
Exercício Resolvido
 
Prezado aluno, você encontrará exercícios resolvidos deste assunto no próximo módulo.
 
 
Conteúdo 2. Intervalos de Confiança para a variância e desvio-padrão.
 
Muitas vezes o pesquisador pode estar interessado em verificar a variabilidade de um determinado processo. Para esta necessidade, utiliza a distribuição lê-se qui-quadrado.
 
 
Exercício Resolvido
 
Prezado aluno, você encontrará exercícios resolvidos deste assunto no próximo módulo.
Intervalos de Confiança
 
 
 
 
Exercício Resolvido
 
Considere as afirmações a seguir:
 
 I. Ao testar uma hipótese, a probabilidade máxima de ocorrer um erro do tipo I é denominada nível de significância.
 
II. A aplicação de um teste de hipóteses pode levar a uma decisão equivocada que podem ser classificado em: Erro tipo I (Ocorre quando aceitamos a hipótese nula quando ela é falsa).
 
III. A aplicação de um teste de hipóteses pode levar a uma decisão equivocada que podem ser classificado em: Erro tipo II (Ocorre quando rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa, porém a hipótese nula era a verdadeira).
 
a) apenas a II é correta.
b) apenas a III é correta.
c) apenas a I é correta.
d) todas são falsas.
e) todas são verdadeiras.
Resposta: C
Conteúdo 1. Teste de Qui-Quadrado.
 
 
Teste de Qui-Quadrado – Aderência.
 
Neste caso o pesquisador verifica se os dados coletados experimentalmente, numa população, estão de acordo com os dados que seriam obtidos em uma determinada teoria.
 
Para a aplicação do teste de Qui-Quadrado de Aderência seguimos os seguintes passos:
 
1. Estabelecemos um nível de significância.
 
2. Calculamos o valor do qui-quadrado, dado pela fórmula:
Onde:
 
Oi: representa as frequências observadas
Ei : representa as frequências esperadas.
Teste de Qui-Quadrado Independência.
 
 
O teste de independência é semelhante ao de aderência, porém no caso de independência são utilizadas tabelas de dupla entrada com a intenção de estudar a relação entre duas variáveis.
 
Quanto maior for o valor de qui-quadrado calculado maior a dependência entre as duas variáveis.
 
O número de graus de liberdade para o teste de independência é calculado pelo produto entre o número de linhas (m) da tabela menos um e o número de colunas (n) menos um. (grau de liberdade= (m-1) x (n-1)).
Conteúdo 1. Média Aritmética.
 
1. Média aritmética (Dados isolados)
 
 
 
Veja o exemplo a seguir:
 
Uma amostra contendo dez preços de etanol foi extraída em diversos postos no dia 01/02/2011. Os preços em reais são:
 
                                         
	      Preço, em reais, do etanol em 10    postos de combustível (01/02/2011)
	1,75
	1,70
	1,74
	1,52
	1,56
	1,70
	1,45
	1,42
	1,70
	1,86
 
 
A médiaé calculada da seguinte maneira:
Conteúdo 2. Medidas de Dispersão (Dados Isolados).
 
Quando descrevemos nossos dados através das medidas de tendência central, necessitamos muitas vezes de complementos que são denominadas de medidas de dispersão. As medidas de dispersão utilizadas são a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.
 
As medidas de dispersão indicam o quanto os dados variam em torno da região central.
 
1. Amplitude.
 
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado observado.
Por utilizar apenas os extremos, a amplitude não é uma boa medida de dispersão.
 
 
2.   Variância.
 
A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo tamanho da amostra menos 1.
 
 
O desvio em relação à média é a diferença entre cada dado e a média do conjunto.
 
 
Veja o exemplo a seguir:
                                           
	Preço, em reais, do etanol em 10 postos de combustível (01/02/2011)
	1,75
	1,70
	1,74
	1,52
	1,56
	1,70
	1,45
	1,42
	1,70
	1,86
 
 
 
A variância é calculada da seguinte maneira:
 
 
 
 
4. Coeficiente de Variação (CV).
 
 
O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média.
 
.
 
Podemos expressar o coeficiente de variação na forma de porcentagem.
 
 
 
Exercício Resolvido.
 
 
No caso de uma distribuição de frequências usamos a fórmula:
 
, onde xi é o ponto médio do intervalo de classe e fi é a frequência de cada classe.
                   
	Diâmetro do parafuso, em milímetros.
 
	 
Número de parafusos (fi)
	 
	1,5
	2
	0,9248
	1,8
	4
	0,5776
	2
	3
	0,0972
	2,4
	6
	0,2904
	2,6
	5
	0,882
	Total
	20
	2,772
 
 
 
 
 
Para o calculo da variância, desvio-padrão e coeficiente de variação para classes de frequências, temos:
 
 Exercício Resolvido
 
 
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido: