TEORIA DA DECISÃO_EGC

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Elaboração: Antônio Édson Corrente 
INFERENCIA ESTATÍSTICA; TEORIA DA DECISÃO. 
1 
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA APLICADA 
A inferência é o processo de generalização e de projeções realizadas a partir da 
amostra por meio de Estimativas, Intervalos de Confiança e de Teste de Hipótese. A 
idéia é calcular as medidas em uma amostra selecionada aleatoriamente com critérios 
científicos e aplicar as técnicas nessa amostra para então projetar os resultados para a 
população. 
 Com as estatísticas amostrais ganhamos tempo, precisão, agilidade, avaliando 
também as relações e tendências futuras a partir do conhecimento do comportamento 
de uma população. 
 As técnicas da Inferência Estatística possibilitam concluir ou tomar decisões 
sobre a população com base em uma amostra dessa população. 
 
1. TEORIA DA DECISÃO 
O objetivo principal da engenharia é atingir a eficácia, assim, o processo de 
gestão de um engenheiro tem êxito ao atingir metas definidas no planejamento. Se 
Considerarmos que um experimento é um investimento de recursos escassos e que 
todo investimento visa adicionar valor aos recursos consumidos inicialmente, assim, 
conclui-se que um processo gerencial é excelente na medida em que as decisões 
tomadas conduzem a minimização do custo e a maximização das receitas. 
Muitas vezes o Engenheiro (pesquisador) tem alguma ideia, ou suposição, sobre 
o comportamento de uma variável, ou de uma possível associação entre variáveis. 
Neste caso, o planejamento da pesquisa deve ser de tal forma que permita, com os 
dados amostrais, possam testar a veracidade de suas ideias sobre a população em 
estudo. Adotamos que a população seja o mundo real e as ideias sejam as hipóteses de 
pesquisa, que podem ser testadas por técnicas estatísticas denominadas de teste de 
hipóteses ou testes de significância. 
 
Testes de Hipótese: verificação de hipóteses sobre a população, mediante critérios 
estatísticos. 
 
Regra de Decisão: procedimento pelo qual se opta por rejeitar ou não rejeitar a 
hipótese de nulidade. 
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Erros Associados: 
 
ERRO TIPO I: Consiste em rejeitar 
Ho
, dado que 
Ho
 é verdadeira. 
ERRO TIPO II: Consiste em aceitar 
Ho
, dado que 
Ho
 é falsa. 
 
Nível de significância (): consiste no valor da probabilidade de se cometer um Erro 
tipo I. Poder do teste (1 - ): consiste na probabilidade de rejeição de 
0H
, quando de 
fato ela é falsa. 
 
Ho
= hipótese nula: É formulada sobre o valor já estabelecido, ou seja, sobre o 
comportamento médio conhecido. 
 
 
0 Ho
 
 
Ha
= hipótese alternativa: É formulada a partir da mudança que queremos verificar. 
 
0 Ha
  Teste unilateral direito 
 
0 Ha
  Teste unilateral esquerdo 
 
0 Ha
  Teste bilateral (direito e esquerdo) 
 
Região Crítica: 
 
Região crítica (região de rejeição): é o conjunto de todos os valores da 
estatística de teste que leva à rejeição da 
0H
. 
 
RA: Região de Aceitação de Ho. 
RC: Região Critica (Região de rejeição de Ho). 
Valor crítico (valor tabelado): é o valor que separa a região crítica dos valores 
da estatística de teste que não levam à rejeição da 
0H
. 
 Estatística de teste (valor calculado): é uma estatística amostral baseada nos 
dados amostrais. 
 
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Testes: Bilateral, Unilateral Esquerdo, Unilateral Direito. 
 Rejeita-se 
0H
, se o valor calculado está na região de rejeição (área pintada dos 
gráficos abaixo), porque isto indica uma discrepância significativa entre 
0H
 e os dados 
amostrais. 
 
 
1.1 TESTE PARA UMA MÉDIA 
 O teste de hipótese deve ser aplicado aos valores amostrais para, verificarmos 
se as diferenças observadas são significativas e se os mesmos podem ser projetados 
para a população. 
 
Parâmetros para o Teste para a média: Cálculo da estatística de teste 
Quando conhecemos x o valor calculado é dado por: 
 
n
x
Z
x
cal 
0
 
 
O Valor tabelado é dado por: 
 
2/ZZtab 
: valor da distribuição normal com nível 
2

de significância para um teste 
bilateral 
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Quando desconhecemos x e n < 30 o valor calculado é dado por: 
 
n
S
x
t
x
cal
0
 
 
O Valor tabelado é dado por: 
1
2/
 ntab tt 
: valor da distribuição t com nível 

de significância e n-1 graus de liberdade 
 
Exemplo 1: A Tensão de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante, apresenta a 
média de 1800 kg e o desvio padrão de 100 kg. Mediante nova técnica no processo de 
fabricação, proclamou-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar 
essa declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, tendo-se determinado à tensão 
média de ruptura de 1850 kg. Pode-se confirmar a declaração ao nível de significância 
de 5%. 
 
Exercício: 
 
Exemplo 2: Os sistemas de escapamentos de uma aeronave funcionam devido a um 
propelente sólido. A taxa de queima desse propelente é uma característica importante 
do produto. As especificações requerem que a taxa média de queima tem de ser μ = 50 
cm/s. Sabendo-se que o desvio padrão da taxa de queima é σ= 2 cm/s. O engenheiro 
experimentalista decide ao nível de α = 5% testar a hipótese de a taxa média de 
queima exceda a especificada. Ele seleciona uma amostra aleatória de n = 25 e obtém 
uma taxa média amostral de queima de 
scmx /3,51
. Que conclusões poderiam ser 
retiradas? 
 
 
1.2 TESTE PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS 
 
1.2.1 Amostras Dependentes 
 Duas amostras são ditas dependentes quando ambas provem de uma mesma 
população. E apresenta as características: 
a) Se uma amostra tem relação com a outra 
b) Também chamadas de amostras emparelhadas 
 
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Estatística de Teste (valor calculado): 
 
n
S
d
t
d
d
cal


 
 
 em que: 
 
d
: média das diferenças d para a população. 
d
: valor médio das diferenças d para os dados amostrais. 
dS
: desvio-padrão das diferenças d para os dados amostrais. 
n
: número de pares na amostra. 
 
Valor tabelado: 
 
1
2/
 ntab tt 
: valor da distribuição t com nível 

de significância e n-1 graus de liberdade 
Exemplo: 
Dois catalisadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o 
rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 esta 
corretamente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é 
mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele não mude o rendimento do 
processo. Um teste feito em uma planta piloto resultou nos dados amostrados da 
tabela a seguir: 
Número da Observação Catalisador 1 Catalisador 2 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
91,50 
94,18 
92,18 
95,39 
91,79 
89,07 
94,72 
89,21 
89,19 
90,95 
90,46 
93,21 
97,19 
97,04 
91,07 
92,75 
Fonte: Montgomery. 
Ao nível de 
%5
testa a hipótese de que há alguma diferença entre os rendimentos 
médios. 
 
1.2,2 Amostras Independentes 
 Duas amostras são independentes se a amostra extraída de uma das 
populações não tem qualquer relação com a amostra extraída da outra população 
 
1.2.2.1 Teste para comparação de duas médias – Amostras independentes e grandes 
Os tamanhos das duas amostras são grandes: n1≥30 e n2≥30 
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Estatística de Teste (valor calculado): 
 
22
2
1
2
1
2121 )()(
nn
xx
Zcal





 
 
em que: 
1 e 2: desvio padrão populacional das amostras 1 e 2. Caso não for conhecido 
podem ser substituídos por S1 e S2. 
Valor tabelado: 
2/ZZtab 
: valor da distribuição normal com nível 
2

de significância para um teste 
bilateral 
 
Exemplo: 
1. Um estudo com a finalidade de comprovar o tempo de vida médio em horas de dois 
tipos diferentes de lâmpadas. Os resultados do estudo estão dispostos abaixo. 
Parâmetros Lâmpada ambiental Lâmpada tradicional 
Média (horas) 1250 1305 
Desvio Padrão (horas) 55 65 
n 75 75 
 FONTE: SPIEGEL e STEPHENS 
Teste ao nível de significância  = 5% de que o tempo de vida médio das lâmpadas 
tradicionais são superiores aos das lâmpadas ambientais (Ho = 
2x
 - 
1x
=0 versos 
Ha = 
2x
 - 
1x
>0 e conclua. 
 
 
1.2.2.2 Teste para comparação de duas médias – Amostras independentes e 
pequenas 
 
Pelo menos uma das amostras é pequena n < 30 
 
Existem três casos: 
 
Caso 1: os valores de ambas as variâncias populacionais são conhecidas (raramente 
ocorre) 
Caso 2: as duas populações parecem ter variâncias iguais 
Caso 3: as duas populações parecem ter variâncias diferentes 
 
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Estatística de teste 
Caso 1 
Variâncias populacionais 
conhecidas 
Caso 2 
As duas variâncias 
populacionais parecem 
iguais 
Caso3 
As duas variâncias 
populacionais parecem 
desiguais 
2
2
2
1
2
1
2121 )()(
n
S
n
S
xx
Zcal



 
2
2
1
2
2121 )()(
n
S
n
S
xx
t
pp
cal



 
 
em que: 
 
   
)1()1(
.1.1
21
2
22
2
112



nn
SnSn
S p
 
 
2
2
2
1
2
1
2121 )()(
n
S
n
S
xx
tcal




 
 
 
 
 
 
 
Valor tabelado* 
2/ZZtab 
: valor da 
distribuição normal com 
nível 

de significância 
ou 
2
2/
21  nntab tt 
: valor da 
distribuição t com nível 
2

de significância e 
221 nn
 graus de 
liberdade 
 
2
2/
21  nntab tt 
: valor da 
distribuição t com nível 
2

de significância e 
221 nn
 graus de 
liberdade 
 
gl
tab tt 2/
: valor da 
distribuição t com nível 

de significância e gl 
de liberdade, em que: 
gl: menor entre 
11 n
 e 
12 n
 
ou 
11 2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1























n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
gl 
Nota: * considerando-se um teste bilateral, caso o teste é unilateral considera-se 

 nível de significância. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo estão relacionados os conteúdos de alcatrão, nicotina e 
monóxido de carbono em uma amostra aleatória de cigarros tamanho padrão, com 
filtro e sem filtro. Todas as medidas são em miligramas. 
 
1) VARIÂNCIAS IGUAIS - No nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que a 
quantidade média de nicotina em cigarros tipo king-size sem filtro é maior do que à 
quantidade média de nicotina presente em cigarros com filtro. 
 
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2) VARIÂNCIAS DESIGUAIS - No nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que 
a quantidade média de alcatrão em cigarros sem filtro é maior do que a quantidade 
média de alcatrão presente em cigarros com filtro. 
 
Tabela 1 – Alcatrão, Nicotina e Monóxido de Carbono em Cigarros (miligramas). 
Com filtro Sem filtro 
Alcatrão Nicotina CO Alcatrão Nicotina CO 
16 1,2 14 23 1,6 14 
15 1,3 12 23 1,9 15 
16 1,1 14 24 1,6 17 
14 1,1 16 26 1,8 17 
16 1,0 15 25 1,7 16 
2 0,1 2 26 1,7 16 
16 1,1 14 21 1,4 14 
18 1,0 16 24 1,5 16 
10 0,8 11 
14 1,0 13 
12 0,9 13 
11 0,8 12 
14 1,0 13 
13 1,0 12 
13 1,0 13 
13 0,9 14 
16 1,2 14 
16 1,1 14 
8 0,1 9 
16 1,2 17 
11 0,9 12 
Fonte: Federal Trade Commission. 
 
VARIÃNCIAS IGUAIS OU DIFERENTES? 
 
Regra Prática 
 Regra prática para estabelecer se as variâncias de duas populações são iguais. 
 Comparam-se as variâncias de duas amostras; se a maior variância for igual até 
4 vezes a menor, admite-se que as duas populações têm variâncias iguais. Por 
exemplo, se as amostras têm variâncias: 
64,1521 S
 
80,622 S
 tem-se que 
43,2
80,6
64,15
2
2
2
1 
S
S
, assim é razoável 
admitir que as variâncias são iguais. 
 
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2.1 Estatística Experimental 
 
 É a parte da Estatística que se preocupa em obter conclusões a partir de dados 
experimentais. Um experimento permite a coleta das observações sob condições 
determinadas. (Tratamento previamente planejado, que segue determinados princípios 
básicos, no qual se faz comparação dos efeitos dos tratamentos). Abaixo seguem 
alguns conceitos básicos: 
 
Planejamento de experimentos 
No estudo experimental manipula-se de forma planejada certas variável 
independente ou fatores (A, B, C,...) para verificar o efeito que esta manipulação 
provoca numa certa variável dependente ou resposta Y. 
 
Uma empresa de informática quer verificar o tipo de equipamento adequado ao 
usuário. A resposta Y pode ser o tempo de resposta e os fatores podem ser: 
– o processador (A); 
– a quantidade de memória RAM (B); 
– a quantidade de memória fixa (C) e 
– o tipo de carga de trabalho a ser executada (D). 
 
Uma empresa de engenharia quer verificar se o aumentando a dosagem de cimento, 
aumenta-se a resistência do concreto? 
 
Estratégias no planejamento de experimentos 
• reconhecer, estabelecer e delimitar claramente o problema; 
• identificar os possíveis fatores que podem afetar o problema em estudo; 
• verificar quais fatores que poderão ser mantidos fixos e, portanto, não terão os seus 
efeitos avaliados no estudo experimental; 
• Identificar, para cada fator, o intervalo de variação e os níveis que entrarão no 
estudo; 
• escolher um projeto experimental adequado, isto é, saber como combinar os níveis 
dos fatores de forma que se possa resolver o problema proposto com o menor custo 
possível; 
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• escolher a resposta adequada, ou seja, a variável Y que mede adequadamente o 
resultado (a qualidade, o desempenho, etc.) do processo e 
• o planejamento de como será a análise dos dados do experimento. 
 
Abaixo seguem alguns conceitos básicos: 
 
Variável resposta: é a variável a ser medida ou avaliada. 
Tratamento: é utilizado para caracterizar tipos ou níveis de um fator. 
 Exemplo: Tratamento 1 - medicamento A 
 Tratamento 2 - medicamento B 
Tratamento 3 - medicamento C 
 
Unidade experimental (parcela): onde é aplicado um tratamento. Ex. uma pessoa, um 
animal, uma planta, etc. 
 
2.2 Princípios Básicos da Experimentação 
Repetição: todo experimento deve ter repetição de tratamentos. (a idéia, em 
experimentação, é comparar grupos, não apenas unidades, quanto mais homogêneo o 
material experimental, menor é o número de repetições necessárias para o efeito do 
tratamento) 
Aleatorização: a distribuição das parcelas na área experimental deve ser feita através 
de algum processo de casualização (sorteio). (validade das estimativas) 
 
2.3 Análise de Variância (ANOVA) 
É uma técnica proposta por Fisher (1890-1962), utilizada paracomparar as 
médias de várias amostras ao mesmo tempo. 
Consiste em comparar a variação devido aos tratamentos com a variação 
devido ao acaso ou resíduo. Seja um experimento com I tratamentos com J 
repetições. 
Yi é a variável resposta 
ijy
 representa os dados observados 
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 Repetições 
 
 
T 
R 
A 
T 
 
 1 2 ... J 

 
1 
11x
 
12x
 ... 
Jx1
 
1T
 
2 
21x
 
22x
 ... 
Jx2
 
2T
 
3 
31x
 
31x
 ... 
Jx3
 
3T
 

 

 

 

 

 
I 
1Ix
 
2Ix
 ... 
IJx
 
IT
 
 
Hipóteses para o Teste F 
Ho= Fcal = 0: Não existe diferença significativa entre os efeitos dos tratamentos. 
Ha= Fcal >0: Existe, pelo menos, uma diferença significativa entre os efeitos dos 
tratamentos. 
Quadro de ANAVA de um Experimento Inteiramente Casualizado - DIC 
FONTES DE VARIAÇÃO GL SQ QM FC P 
Entre os tratamentos (Tratamentos) k – 1 SQT QMT 
Fcalc 
 Dentro de tratamentos (Resíduos) n - k SQR QMR 
TOTAL n - 1 SQ GERAL ----- ----- --- 
Seja : 
k
= número de tratamentos. 
 
r
= número de repetições de cada um dos tratamentos. 
 
rkn .
 
SQ: Soma de quadrados. 
QM: Quadrados médios. 
SQT: Soma de Quadrados Total (Tratamentos). 
SQR: Soma de Quadrados Residual. 
SQG: Somatório Quadrático Geral. 
 


n
i
i
i
n
x
xSQG
1
2
2
)( 
n
x
r
t
SQT
i
n
i
i 
 
2
1
2
)( 
SQTSQGSQR 
 
1

k
SQT
QMT
 
kn
SQR
QMR


 
QMR
QMT
Fcalculado
 
gladordenoknnumeradorkFFtabela ;min)(;)1(  
 
 
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2.4 Teste de Comparação entre Médias de Tratamentos 
 Se H0 for rejeitada, ou seja, se pelo menos um tratamento difere dos demais, 
então o interesse é identificar qual é este(s) tratamento(s). Existem vários testes de 
comparação múltipla entre médias: Tukey, Scheffé, SNK, Duncan quando os 
tratamentos são fatores qualitativos e análise de regressão quando os tratamentos são 
fatores quantitativos. 
 
2.4.1 Teste de Tukey 
É um teste de comparação múltipla entre as médias dos tratamentos tomadas 
duas a duas 
 
r
sQM
qdms
Re

 em que: 
dms = diferença mínima significativa. 
q
: valor tabelado, com os parâmetros 

, número de tratamentos e grau de liberdade 
do resíduo. 
QMRes: quadrado médio do resíduo da ANAVA 
Exemplo: 
Um experimento foi feito para determinar se quatro temperaturas específicas de 
queima afetam a densidade de certo tipo de tijolo. 
Temperatura (0F) 
100 125 150 175 
Densidade 
21,8 
21,9 
21,7 
21,6 
21,7 
21,7 
21,4 
21,5 
21,5 
21,4 
21,9 
21,8 
21,8 
21,6 
21,5 
21,9 
21,7 
21,8 
21,7 
21,6 
Fonte: Montgomery. 
a) Apresente as hipóteses da ANOVA. 
b) Interprete o resultado da Análise de Variância ao nível de 5% de significância. 
c) Se necessário faça o Teste de Tukey e interprete os resultados.