ATIVIDADE 2 - SIM0228 CONTROLE ESTATISTICO DE PROCESSOS EAD - 202110 119193 05

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CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOSCONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
ANÁLISE ESTATÍSTICA EANÁLISE ESTATÍSTICA E
TECNOLOGIATECNOLOGIA
Autor: Me. Adriano Antero Fi lho, Dr. Gui lherme Augusto
Pianezzer e Esp. Er ika Pol lyne Koch
Revisor : Lu iz Henr ique Gazeta De Souza
I N I C I A R
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introdução
Introdução
Neste Capítulo continuaremos a estudar os conceitos básicos para o Controle
Estatístico de Processos, acompanharemos os estudos referentes ao teste de
Hipótese que contribuirá para o processo de tomada de decisão.
A estatística bem aplicada é uma forte aliada ao engenheiro de produção e do
administrador, pois permite que as decisões tomadas sejam mais assertivas
pois o direcionamento matemático é objetivo.
Também veremos ao �nal da Unidade como a tecnologia aliada aos estudos
estatísticos podem ajudar: conheceremos alguns softwares e tecnologias
aplicadas para este �m.
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A hipótese estatística é uma especulação, i.e. gera uma expectativa sobre
várias populações de amostras. Desta forma é importante que o
procedimento de decisão seja feito com consciência probabilística através do
teste de hipótese. De�niremos então dois tipos de hipóteses.
Uma hipótese nula se refere a qualquer hipótese que desejemos testar, e é
denotada por .
A rejeição de leva a aceitação de uma hipótese alternativa, denotada por 
.
A costuma representar a questão a ser respondida, enquanto se opõe
ou anula .
Especi�car bem as hipóteses é crucial para a aplicação do teste, pois
sistematicamente decorrerão duas conclusões conceituais sobre o que foi
proferido:
Teste de HipótesesTeste de Hipóteses
H0
H0
H1
H1 H0
H1
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Rejeição de hipótese nula em favor da hipótese alternativa, quando
existem evidências su�cientes nos dados.
Não rejeição a hipótese nula, quando não existem evidências
su�cientes nos dados.
É importante lembrar que qualquer conclusão em um teste de hipótese pode
estar sujeita a um de dois tipos de erros:
Erro tipo I – A rejeição da hipótese nula quando ela é verdadeira, denotado
por α e também conhecido como um nível de signi�cância de um teste, a
chance de cometer esse erro em geral é indicada de forma antecipada.
Erro tipo II – A não rejeição da hipótese nula quando ela é falsa, denotado
por β só pode ser calculada para uma hipótese alternativa especí�ca. A Figura
1 tem o objetivo de sintetizar os critérios de decisão vistos até o momento.
Só não ocorrerão erros estatísticos quando houver uma hipótese alternativa
especí�ca que garantirá o cálculo do teste de hipótese para a classe de erros
tipo I, ou seja rejeitar uma hipótese nula quando ela é verdadeira, e
calculamos o teste para o erro tipo II, com intenção de ajuste no tamanho da
amostra.
Figura 2.1: Situações decisórias com base nas hipóteses. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Por exemplo, ao determinarmos que a média verdadeira de um processo de
usinagem de um eixo é 20 milímetros, estamos propensos a cometer erro tipo
II, ou seja o de não rejeitar a hipótese nula, quando ela for falsa caso a média
seja de 21 mm.
Então é possível diminuir a probabilidade deste erro aumentando o número
de amostras que pode ser calculado, conforme será indicado a seguir.
Algumas propriedades devem ser indicadas ao tratarmos um teste de
hipóteses, entre elas:
Os erros tipos I e II são relacionados. Uma redução na probabilidade
de um geralmente resulta num aumento da probabilidade do outro.
Um aumento do tamanho da amostra n reduzirá α e β
simultaneamente.
Se a hipótese nula é falsa, β é máximo quando o valor real de um
parâmetro se aproxima do valor hipotético. Quanto menor a
distância entre o valor real e hipotético, menor será β. (Walpole, et al,
2009, p. 210)
Um conceito muito importante que se relaciona com a probabilidade de erro
é o poder de teste, o poder (p-value) de um teste é a probabilidade de se
rejeitar H0 dado que uma alternativa especí�ca é verdadeira.
O poder de um teste pode ser calculado como 1 – β, podemos comparar
diferentes tipos de teste a partir deste parâmetro.
Os testes de hipótese podem ser classi�cados como unilaterais ou bilaterais.
Um teste de qualquer Hipótese Estatística, no qual a alternativa é unilateral é
chamado de teste. E ocorre quando:
                    (1)
e a determinação do tamanho da amostra
                                     (2)
 ou talvez H θ = θ
H θ > θ
H θ = θ
H θ < θ
 Φ  ( + ) = βzα
−μ0 μ′σn√
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Nos dá a probabilidade de um erro tipo dois para o respectivo teste e
    (3)
Quando os dados de uma distribuição se aproximam da distribuição normal,
podemos utilizar com estatística de teste o teorema do limite central, desde
que o parâmetro de interesse na amostra seja a média, lembrando que esse
teorema é utilizado para comparar médias amostrais com a média
populacional de uma amostra.
         (4)
Quando não conhecemos, porém, o desvio padrão populacional podemos
utilizar a estatística T:
     (5)
Como estatística de teste com n – 1 graus de liberdade. Sendo que a estrutura
de teste é a mesma da discutida anteriormente quando o desvio padrão é
conhecido.
Ocasionalmente não estamos interessados em valores exatos de uma
variável, mas sim na conformidade dos dados, ou seja, queremos entender se
um produto é apto, ou não para uso, ou seja, se é um sucesso ou uma falha,
nestes casos nosso parâmetro de interesse é a proporção, e a estrutura do
teste de hipóteses passa a considerar uma determinada proporção de
indivíduos.
De fato, seja p a proporção de indivíduos ou objetos em uma população que
possui uma propriedade especi�cada.
n =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
para um teste unilateral[ ]
σ( + )zα zβ
−μ0 μ
2
 
para um teste bilateral[ ]
σ( + )zα zβ
−μ0 μ′
2
 
Z = −μxσn√
T = −μxsn√
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Se uma pessoa ou um objeto com a propriedade for considerada um sucesso
(S), então é a proporção da população de sucessos.
Os testes relacionados a p serão feitos com base em uma amostra aleatória
de tamanho n da população baseado na seguinte estatística de teste:
    (6)
A probabilidade de erro tipo II pode ser calculado pela estatística:
   (7)
O tamanho amostral n para o qual o teste de nível α também satisfaz é
                (8)
Uma abordagem resumo adequada para o teste de hipóteses seria:
1. Iniciamos estabelecendo com base nos problemas as hipóteses nulas
e alternativas.
2. Escolhemos um nível de signi�cância α, esse nível será nossa
tolerância para o erro tipo I, lembrando que não é possível zerar o
erro, pois o número de amostras tenderia a in�nito.
3. Escolha uma estatística de teste apropriada e estabeleça a região
crítica de α.
4. A partir da Estatística de teste calculada, rejeite a hipótese nula se o
valor de tal estatística estiver na região crítica. Caso contrário não
rejeite.
5. Tire conclusões a respeito de sua hipótese.
Essa estrutura pode ser modi�cada para a utilização do poder de teste (P-
value), sendo em geral esse dado que um software nos indica:
z = p−p0 (1− )p0 p0n√
 Φ 
⎡
⎣
⎢
− +z_αp0 p′ (1− )p0 p0n√
(1− )p p
n√
⎤
⎦
⎥
n=
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
,  teste unilateral[ ]+zα (1− )p0 p0√ zβ (1− )p
′ p′√
−p′ p0
2
,  teste bilateral[ ]
+zα2 (1− )p0 p0√ zβ (1− )p
′ p′√
−p′ p0
2
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1. Iniciamos estabelecendo com base nos problemas as hipóteses nulas
e alternativas.
2. Escolha uma estatística de teste apropriada.
3. Calcule o valor P com base na estatística de teste.
4. Tire conclusões com base no valor p, e seu conhecimento cientí�co.
Esses passos serão utilizados nos exemplos a seguir, também utilizaremos um
software gratuito que facilitará o cálculo do valor p.
Exemplo: O Edison Electric Institute publicou os números referentes ao
consumo anual de energia elétrica em quilowatts-hora, de vários
eletrodomésticos. A�rmou-se que o aspirador de pó gasta uma média de 46
quilowatts-hora por ano.
Se uma amostra aleatória de 12 casas incluídas em um estudo planejado
indica que os aspiradores de pó gastam uma média de 42 quilowatts-hora
anualmente, com desvio padrão amostral de 11,9 quilowatts hora, isso
sugere, num nível de signi�cância de 0,05, que os aspiradores de pó gastam
em média, menos de 11,6 quilowatts-hora por ano? Assume que a população
de quilowatts-hora seja normal. Primeiro estabelecemos a hipótese nula e a
hipótese alternativa:
            (9)
Em seguida estabelecemos a região crítica e a estatística de teste,
considerando que a distribuição é normal e que o desvio padrão é conhecido.
A região crítica ocorre em , o que pode ser identi�cado na tabela do
anexo 3. Como o desvio padrão é amostral, devemos utilizar a estatística de
teste t, com 11 graus de liberdade.
     (10)
Que está fora da região crítica e tem um valor P de aproximadamente 0,13,
maior que o nível de signi�cância estabelecido:
{
: μ = 46H0
: μ < 46H1
Z < −1,645
T = = = −1,19−μxsn√
42−46
11,6
12√
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Dessa forma não rejeitamos a hipótese nula, concluindo que não há dados
su�cientes para indicar que a média de consumo seja menor do que 46
quilowatts hora.
praticar
Vamos Praticar
O estudo com a população demonstrou que existe estatisticamente uma
expectativa de vida de 72 anos. O estudo também demonstrou que o desvio padrão
é de 8,9 anos para esta amostra. Assumindo este desvio padrão seria a expectativa
de vida maior que 70 anos?
Escreva sua resposta aqui...
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Em muitas situações o engenheiro terá a necessidade de comparar duas
amostragens com médias populacionais e desvio padrão diferentes, em
alguns casos, inclusive o tamanho da amostragem se diferencia, em razões da
própria di�culdade na tomada de dados. Nestas situações o teste de
hipóteses pode ser realizado segundo a métrica estabelecida anteriormente
adaptando o teorema do limite central, para o trabalho com a diferença de
médias. No caso de as variâncias serem conhecidas utilizamos:
     (11) 
Enquanto com variâncias desconhecidas devemos utilizar a estatística de
teste que considere a distribuição T, com grau de liberdade estimado.
     (12)
Teste de Hipótese para duasTeste de Hipótese para duas
AmostrasAmostras
Z =
( − )−( − )X2 X1 μ2 μ1
+σ
21n1
σ22n2√
T =
( − )−( − )X2 X1 μ2 μ1
+s
21n1
s22n2√
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Como os valores de n não são necessariamente os mesmos, devemos estimar
um determinado valor inteiro para os graus de liberdade:
     (13)
Outras situações, consideram testar a hipótese que duas proporções sejam
iguais, ou seja situações onde devemos comparar duas proporções a �m de
obtermos conclusões determina situação, como na estatística de teste para
uma proporção aqui também será modelado em Z:
     (14)
Há situações em que o teste para duas médias ocorre em um mesmo
conjunto amostral, por exemplo podemos estar interessados em veri�car se
após inserção de um elemento químico, há mudança signi�cativa em um
conjunto de dados anteriormente testado. Quando o interesse recai sobre
este tipo de problema o mais é utilizarmos o teste T para amostras
emparelhadas, ou se preferir o teste T pareado, por meio da Estatística:
     (15)
Com g. L – n – 1, nesse caso representa a média das diferenças das
observações experimentais, enquanto representa o desvio padrão das
diferenças das observações experimentais.
Exemplo: Um estudo foi conduzido pelo departamento de Zoologia da
universidade da Virginia para determinar se há diferença signi�cativa na
densidade dos organismos em duas estações diferentes localizadas no Cedar
Run, um rio secundário na bacia hidrográ�ca do rio Roanoke.
O esgoto de uma estação de tratamento e o excesso vindo da bacia federal
Mogul Corporation entram no rio secundário perto de sua cabeceira.
g. l =
( + )s
21n1
s22n2
2
+  
⎛
⎝
s21n1
⎞
⎠
2
( −1)n1
⎛
⎝
s22n2
⎞
⎠
2
( −1)n2
Z = ( − )−( − )p1 p2 p1ˆ p2ˆ
+  p1q1n1
p2q2n2√
T = −D μDSDn√
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Os dados a seguir fornecem as medidas de densidade, em número de
organismos por metro quadrado, nas duas estações de coleta distintas.
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Estação 1 Estação 2
5030 2800
13700 4670
10730 6890
11400 7720
860 7030
4980 2810
11910 3320
8130 1230
26850 7330
17660 2190
2200  
4250  
15040  
22800  
1130  
1690  
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Tabela 2.2: Número de organismos em cada estação. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Podemos concluir que no nível de signi�cância de 0,05, as médias de
densidade são iguais nas duas estações? Primeiro vamos estabelecer a
hipótese nula e a hipótese alternativa, com base no questionamento do
exercício.
        (16)
O cálculo de ambas as médias:
        (17)
Indica que a hipótese alternativa será:
        (18)
A estatística de teste a ser utilizada deve levar em conta que os desvio
padrões serão amostrais, com valor de:
        (19)
E considerará a seguinte região crítica, sendo o valor T, obtido na equação:
        (20)
E terá graus de liberdade:
        (21)
: − = 0H0 μ1 μ2
= 9897,5X1¯ ¯¯̄ ¯̄
= 5499X2¯ ¯¯̄ ¯̄
: − > 0H1 μ1 μ2
= 7874,33σ1
= 2440,14σ2
T = = 2,08
( − )−( − )X2 X1 μ2 μ1
+s
21n1
s22n2√
g. l = = 19,20 ≈ 19
( + )s
21n1
s22n2
2
+  
⎛
⎝
s21n1
⎞
⎠
2
( −1)n1
⎛
⎝
s22n2
⎞
⎠
2
( −1)n2
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O valor P-value será de 0,0511, calculado por meio dos softwares especí�cos.
Nesse caso, utilizando como hipótese nula e hipótese alternativa 
 para uma amostra 1 com média 9897,5, desvio padrão 7874,33 e e
uma amostra 2 de média , desvio padrão e temos, pelo teste 
 de diferença de médias, , , e 
Neste caso, utilizamos o Geogebra como software especí�co.
= = 0μ1 μ2
≠μ1 μ2 n = 15
5499 2440,14 n = 10
t EP = 2114,4137GL = 19,2078t = 2,0802 p = 0,0511.
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O objetivo da análise de regressão é explorar a relação entre duas (ou mais)
variáveis, de modo que possamos obter informações sobre uma delas, por
meio dos valores conhecidos da outra. Estas variáveis podem estar
relacionadas de maneira determinística ou não determinística, na análise de
regressão investigamosa relação entre duas ou mais variáveis de maneira
não determinística.
Veja alguns exemplos de correlações existentes:
Comparação de Mês e Vendas no mês para aplicação em previsões
de demanda.
Correlação de variação de temperatura de um equipamento e
quantidade de refugo do processo.
Correlação entre classe social e doenças provenientes de falta de
saneamento.
Ou seja, utilizaremos agora ferramentas estatísticas que avaliam o impacto de
X contínuo em um Y contínuo. São inúmeros os exemplos da aplicação na
prática:
Regressão Linear Simples eRegressão Linear Simples e
CorrelaçãoCorrelação
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comparação da temperatura impactando no índice de �uidez do
produto;
análise da pressão ajustada sobre a concentração de ferro no
produto �nal;
análise da vazão da corrente de alimentação no volume �nal de
produção;
veri�cação do impacto da velocidade de rotação do equipamento
sobre o diâmetro �nal;
análise do número de horas extras afetando os custos de uma área;
análise do volume de um certo insumo afetando a produtividade de
uma máquina ou equipamento.  
A de�nição de correlação é quando dois (ou mais) variáveis apresentam
tendência conjunta 
Quando analisamos o diagrama, seria útil ter uma medida da força da
correlação entre as variáveis. A esta “força”, chamamos de coe�ciente de
correlação linear (r) que pode ser obtido pela fórmula:
        (22)
onde:
Figura 2.3 - Exemplo de correlação. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
r = Sxy
∑( − )xi x2√ ∑(y− )y2√
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        (23)
O coe�ciente de correlação linear mede o quão próximos estão os
pontos de uma reta.
Para correlações positivas, o valor de “r” é positivo também. Quanto
mais alinhados a uma reta os pontos estiverem, mais próximos de +1
será o valor de “r”.
Para correlações negativas, o valor de “r” é negativo também. Quanto
mais alinhados a uma reta os pontos estiverem, mais próximos de -1
será o valor de “r”.
Para correlações nulas, o valor de “r” é o mais próximo de “0”.
Baseando-se na realidade, e na variação dos pontos em torno da reta de
ajuste, o modelo proposto é:
        (24)
A equação proposta baseia-se no Método dos Mínimos Quadrados, em que a
reta ajustada é aquela que minimiza o quadrado das distâncias entre o valor
real e o valor ideal encontrado pela reta. Conhecendo o modelo matemático
proposto, surge o questionamento:
Quanto e�ciente é este modelo para explicar a variação entre X e Y?
A relação entre as variáveis é forte, fraca ou moderada?
                                                    R2=(Variação explicada)(/Variação total)
Logo mais forte será a correlação quanto mais perto de 1 for o índice de
correlação. Estes níveis de correlação não são absolutos, é papel do analista
escolher qual é a correlação desejada entendendo a metodologia que está
sendo aplicada e também o nível de precisão necessária para a situação.
= ( − ) ( − ) = −Sxy ∑ ni=1xi x̄ yi ȳ ∑
n
i=1xiyi
( )( )∑ ni=1xi ∑ ni=1yi
n
Y = + Xb0 b1
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As situações de regressão linear podem ser resolvidas com base na �gura 2.4
apresentada anteriormente.
Figura 2.4 - Regressão Linear 
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Veja por meio de um exemplo: a previsão de vendas de uma empresa é dada
para os primeiros 8 meses do ano onde x representa os meses e Y as
previsões. Veri�que se existe correlação e encontre o valor de r dos dados da
tabela a seguir:
Correlação entre Correlação entre XX e e YY
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Tabela - Valor do R 
Fonte: Elaborado pelo autor.
A solução é:
1º) Construir o diagrama relacionando o mês e as demandas. A �gura 7
representa a exempli�cação grá�ca da tabela do exemplo.
Mês Demanda de vendas
X Y
1 450
2 430
3 470
4 480
5 450
6 500
7 520
8 530
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2º) Organizar a tabela com os valores da fórmula:
A �gura 2.6 mostra como os campos de somatórios devem ser calculados.
3º) Calculando a equação da reta, signi�ca calcular a e b da equação
                                                                                     (25)
Então,
Figura 2.5 - Relação de demandas de produção por mês 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Figura 2.6 - Representação do processo de cálculo dos dados da tabela de
regressão linear. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Y = a + bX
b =
n(∑XY ) − ∑X∑Y
n∑ −X 2 (∑X) 2
a =
∑Y − b∑X
n
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                                                                (26)
Logo, o grá�co �caria como na �gura 2.7 que demonstra a comparação entre
a demanda dada, a projeção de demanda e a reta calculada no exemplo
O grá�co do exemplo mostra que estatisticamente foi possível transformar as
demandas de vendas e em demandas projetadas. Valida-se então o método
de regressão linear onde tratamos os elementos individualizados e uma reta
com os conceitos da estatística.
b = = = 12,73
8.17770 − 36.3830
8.204 − 36.36
4280
336
Y = 421,46 + 12,73X
a = = 421,463830 − 12,73.36
8
= 421,46 + 12,73.9 = 536,03Y9
= 421,46 + 12,73.10 = 548,76Y10
Figura 2.7: Resultado da análise estatística de correlação 
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Tecnologia Aplicada à Análise Estatística
de Processo
É muito importante saber calcular as estatísticas, pois através deste
conhecimento poderemos analisar os resultados com maior competência e
criticidade, porém o mercado nos propicia algumas ferramentas tecnológicas
que nos ajudam a realizar nosso trabalho no dia a dia.
Gostaria de mencionar o Geogebra, uma calculadora matemática programada
que você pode baixar gratuitamente.
Minitab: é um programa de computador para o cálculo estatístico,
muitas empresas e universidades utilizam nas suas atividades bem
como as instituições de ensino utilizam como propósito acadêmico.
Os conceitos de estatística são os mais avançados e posem funções
de gerenciamento bem especí�cas.
Linguagem R: trata-se de uma muito utilizada entre estatísticos para
a análise de dados, ultimamente sua popularidade vem aumentando.
Necessita de conhecimentos de programação.
saiba mais
Saiba mais
Você quer saber um pouco mais sobre a importância do Controle Estatístico de
Processo na qualidade dos produtos fornecidos por uma empresa? Con�ra o
vídeo indicado e saiba para que serve o CEP, como funciona e como isso ajuda no
seu dia-a-dia.
ASS I ST IR
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https://uniritter.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_690447_… 25/31
Excell: Software da Microsoft que possui todas as ferramentas
estatísticas, porém não de forma integrada o que di�culta algumas
análises.
praticar
Vamos Praticar
Analise se todas as condições projetadas que satisfazem as necessidades de venda
e elabore um possível diagnóstico de situação e quais seriam suas ações.
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indicações
Material Complementar
FILME
Mauá – O imperador e o Rei
Ano: 1999
Comentário:A indicação de �lme é dessa obra
brasileira de 1999, que conta a história do Barão de
Mauá, banqueiro, industrial e político brasileiro e um
dos principais responsáveis pela industrialização do
Brasil do século XIX, construindo grandes
empreendimentos. A escolha desse �lme se deve ao
fato de que o Barão sempre se preocupou em olhar
para os dados, sendo um homem à frente do seu
próprio tempo.
T R A I L E R
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LIVRO
O andar do bêbado – Como o acaso
determina nossas vidas.
Leonard Mlodinow
Editora: Zahar
Comentário: O andar do bêbado é um clássico da
literatura estatística. Nele, o autor apresenta casos
emblemáticos que representam a importância da
estatística para a interpretação dos fenômenos do dia a
dia. Essa leitura, associada com os estudos de CEP,
permitem desenvolver uma visão crítica acerca da
importância desta ferramenta.
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conclusão
Conclusão
Terminamos aqui a tratativa básica para os estudos de controle estatístico de
processos.
As metodologias descritas darão forte apoio a tomada de decisão, pois a
estatística propicia esta visão com um alto nível de certeza e com baixo erro.
Gostaria se salientar que nenhum estudo estatístico possui validade se este
não for corretamente dimensionado, então devemos lançar mão do uso das
técnicas vistas para dimensionar o tamanho das amostras.
Algumas ferramentas ou softwares de apoio podem e devem ser usados no
nosso dia a dia, mas sempre lembrando que o poder de análise dos dados é
sempre o fator fundamental em qualquer decisão que iremos tomar.
referências
Referências Bibliográ�cas
LARSON, Ron, FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 6 ed. São Paulo, Pearson
Prentice Hall, 2015 (ebook, Biblioteca Virtual)
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MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao controle estatístico da
qualidade 7 ed. Rio de Janeiro, LTC, 2016 (ebook, Minha Biblioteca)
DEVORE, Jay L. Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências. São
Paulo: Cengage Learning, 2014. (Tradução da 8 ed. norte-americana).
WALPOLE et al. Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
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