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Querido Aluno, Agora vamos estudar um pouco mais, para que consigamos um excelente aproveitamento. Abaixo estão alguns exercícios para que você exercite e tenha um excelente rendimento na disciplina de Mecânica dos Fluidos. Bons estudos! PROBLEMAS RESOLVIDOS RETIRADOS DE VIANNA (2005). 1 – Um líquido foi colocado no interior de uma caixa indeformável, de peso 1,0kgf e dimensões 0,10 m x 0,10 m (planta) x 0,10m (altura), de forma a preenchê-lo completamente. O conjunto (recipiente mais líquido) foi colocado numa balança e pesou 1,8 kgf. A caixa possuía um manômetro em sua tampa, que indicava a pressão zero. Em seguida, fechou-se a tampa do recipiente e apertou-se um parafuso existente em sua tampa. O parafuso, de diâmetro igual a 0,005 m, penetrou 0,01 m no líquido, e fez com que a leitora do manômetro ligado à caixa indeformável passasse a ser 490 kgf/cm2. Determine, nos sistemas SI e técnico, o valor das seguintes grandezas: Massa específica Peso específico Densidade relativa Volume específico Módulo de elasticidade volumétrica Coeficiente de compressibilidade cúbica Massa do líquido (SI): kg g W m 8,0 8,9 84,7 Volume do líquido (MKfS e SI): 333 101,0 mV Massa específica do líquido (MKfS): 24 3 ..6,81 10 0816,0 smkgf V m Massa específica do líquido (SI): 3 3 /800 10 8,0 mkg V m Peso específico do líquido (MKfS): 3 3 /800 10 8,0 mkgf V W Peso específico do líquido (SI): 3 3 /7840 10 84,7 mN V W Densidade relativa do líquido (MKfS): 3/1000 2 mkgfOH 24..102 2 smkgfOH 1000 800 2 OH ou: 102 6,81 2 OH 8,0 Densidade relativa do líquido (SI): 3/9800 2 mNfOH 3/1000 2 mkgOH 9800 7840 2 OH Ou: 1000 800 2 OH 8,0 Volume específico (MKfS): 800 11 s v kgfmxvs /1025,1 33 Volume específico (SI): 7840 11 s v Nmxvs /1028,1 34 Módulo de elasticidade volumétrica (MKfS): V dV dp 242 /10490/4900490 mkgfxcmkgfdp 372 1096,101,04/005,0 mxdV 333 101,0 mV 3 7 4 10 1096,1 10490 x x 210 /105,2 mkgfx Módulo de elasticidade volumétrica (SI): V dV dp Paxxxdp 44 1048028,910490 371096,1 mxdV 3310 mV 3 7 4 10 1096,1 104802 x x Pax 111045,2 Coeficiente de compressibilidade cúbica (MKfS): 10105,2 11 x C kgfmxC /104 311 Coeficiente de compressibilidade cúbica (SI): 111045,2 11 x C kgfmxC /1008,4 312 2 - Um líquido foi colocado no interior de um balão volumétrico, suposto indeformável, cuja capacidade é 500 ml. O peso do balão vazio é 750 gf. O peso do balão cheio de líquido passou a ser 7,55 kgf. Posteriormente, instalou- se um êmbolo no interior do gargalo do balão. O diâmetro interno do gargalo é 1 cm. Aplicou-se ao êmbolo uma força de 300 kgf e o êmbolo deslocou-se de uma distância igual a 5 mm. Determine, nos sistemas técnico e internacional, os valores das seguintes propriedades físicas do líquido em questão: massa específica; peso específico; densidade relativa; volume específico; módulo de elasticidade volumétrica; coeficiente de compressibilidade cúbica. Resolução: A figura a seguir, ilustra o problema. Peso do líquido (MKfS): 75,055,7 W kgfW 8,6 Peso do líquido (SI): 8,98,6 xW NW 64,66 Massa do líquido (MKfS): 8,9 8,6 g W M 21..694,0 smkgfM Massa do líquido (SI): 8,9 64,66 g W M kgM 8,6 Volume do líquido (MKfS e SI): 33105,05,0500 mxlmlV Massa específica (MKfS): 3105,0 694,0 xV M 24..1388 smkgf Massa específica (SI): 3105,0 8,6 xV M 3/13600 mkg Peso específico (MKfS): 3105,0 8,6 xV W 3/13600 mkgf Peso específico (SI): 3105,0 64,66 xV W 3/133280 mN Densidade relativa (MKfS): 3/1000 2 mkgfOH 24..102 2 smkgfOH 102 1388 2 OH ou: 102 1388 2 OH 6,13 Densidade relativa (SI): 3 3 /1000 /9800 2 2 mkg mN OH OH 9800 133280 2 OH ou: 1000 13600 2 OH 6,13 Módulo de elasticidade volumétrica (MKfS): 01 p 26 22 /1082,3 4 01,0 300 mkgfx A F p 26 12 /1082,3 mkgfxppdp 37 2 1093,3 4 01,0 005,0 mxdV 37105 mxV 7 7 6 105 1093,3 1082,3 x x x V dV dp 26 /1086,4 mkgfx Módulo de elasticidade volumétrica (SI): Paxxxdp 76 1074,38.91082,3 371093,3 mxdV 37105 mxV 7 7 7 105 1093,3 1074,3 x x x V dV dp Pax 71076,4 Coeficiente de compressibilidade cúbica (MKfS): 61086,4 11 x C kgfmxC /1006,2 27 Coeficiente de compressibilidade cúbica (SI): C x 1 1 4 76 107 , 18101,2 PaxC 3 - Determinar o módulo de elasticidade volumétrica de certo líquido, sabendo- se que, à pressão de 35 kgf/cm2, seu volume era igual a 0,03 m3 e que, à pressão de 225 kgf/cm2, o volume passou a ser 0,0297 m3. Resolução: 24 /1088,1 0297,0 0297,003,0 22535 cmkgfx V dV dp 28 /1088,1 mkgfx 4 - Quando se usa um dinamômetro, cuja escala foi graduada em quilogramas- força ao nível do mar (g = 9,8 m/s2), para pesar 1,2 litros de certo fluido num local em que g = 9,6 m/s2, obtém-se a leitura de 1 kgf. Quais seriam, ao nível do mar, suas seguintes propriedades físicas, nos sistemas internacional (SI) e técnico (MKfS): Peso próprio; Massa específica; Peso específico; Densidade relativa, admitindo que o peso específico da água é 1gual a 1000 kgf/m3. Resolução: a) g W MMgW Portanto, no sistema MKfS: 21..1042,0 6,9 1 smkgfM Ao nível do mar, sendo g = 9,8 m/s2, o peso indicado pelo dinamômetro seria: 8,91042,0 xW kgfW 02,1 O peso correspondente, no SI, será: 8,902,1 xW NW 10 b) V M onde 33102,12,1 mxlV SI: 3102,1 8,9 10 x 3/851 mkg MKfS: 3102,1 1042,0 x 24..83,86 smkgf c) V W SI: 3102,1 10 x 3/8333 mN MKfS: 3102,1 02,1 x 3/850 mkgf d) 00 sendo 3 0 /1000 mkgf Portanto, nos dois sistemas (SI e MKfS): 1000 850 85,0 5. Uma variação positiva de pressão de 10,5 kgf/cm 2 aplicada a 283 litros de líquido causa uma redução no volume de 0,57 litro. Determine o módulo de elasticidade volumétrica desse líquido em MPae em kgf/cm2. Resolução: 2/5,10 cmkgfp LV 283 LV 57,0 283 57,0 5,10 V V p 2/5213 cmkgf MPa Pax mkgfx 510 1000000 510890000 5108900008,952130000 /52130000100005213 2 MPa Pax mkgfx cmkgf V V p lV lV cmkgfp 510 1000000 510890000 5108900008,952130000 /52130000100005213 /5213 283 57,0 5,10 57,0 283 /5,10 2 2 2 6 Um frasco pesa 12 gf quando vazio e 28 gf quando cheio de água. Em seguida, retira-se a água, enche-se o frasco com um ácido e obtém-se o peso total de 37,6 gf (frasco e ácido). Calcule, nos sistemas Internacional e técnico, as seguintes propriedades físicas do ácido: - Massa específica; - Peso específico; - Densidade. Resolução: O peso da água é igual a (28 - 12) 16 gf, correspondendo, portanto, ao volume de 16 mL (tendo em vista que o peso específico da água é igual a 1000 kgf/m3, ou seja, 1 kgf/L, ou ainda, 1gf/mL). O peso de ácido colocado no recipiente terá sido (37,6 - 12) 25,6 gf. Assim sendo, temos: W = 25,6 gf = 0,0256 kgf = 0,251 N M = 0,002551 kgf x m-1 x s2 = 0,0256 kg V = 16 mL = 16 x 10-6 m3. A partir dos volumes anteriores, organizamos o quadro a seguir. 7. O peso específico da água à pressão e temperatura ordinárias é 9,8 kN/m3. A densidade do mercúrio é 13,55. Determine a densidade e a massa específica da água, o peso específico e a massa específica do mercúrio nos sistemas internacional (SI) e técnico (MKfS). Considere g=9,8m/s 2. (Adaptado de Daugherty, Robert L. et alii - Fluid Mechanics with Engineering applications - New York, Mc Graw-Hill, 1985) Resolução: a) Sistema internacional (SI): OHOH 22 1 2 2 2 OH OH OH g 3 3 /1000 8,9 108,92 2 mkg x g OH OH OH Hg Hg 2 32353 /1033,1/1033,1108,955,13. 2 mkNxmNxxxOHHgHg 3 5 /13550 8,9 1033,1 mkg x g Hg Hg b) Sistema técnico (MKfS): OHOH 22 1 2 2 2 OH OH OH g 33 3 33 /1000/ 8,9 108,9 /108,9 2 mkgfmkgf x mNxOH 24..102 8,9 10002 2 smkgf g OH OH OH Hg Hg 2 3/13550100055,13. 2 mkgfxOHHgHg 24..13863 8,9 13550 smkgf g Hg Hg 8- Um tanque fechado contém três líquidos não miscíveis, de densidades relativas conforme anotado na Figura abaixo. Desprezando o peso especifico do ar, determine a pressão na superfície livre (A), sabendo-se que no fundo (D) a pressão é 1 kgf/cm2. Considere os líquidos incompressíveis. Resolução: 33hpp CD 22hpp BC 11hpp AB Logo, combinando estas equações, obtemos: 332211 hhhpp AD 332211 hhhpp DA Como: água água então: 33 1 /900/10009,0 mkgfmkgfx 33 2 /1500/10005,1 mkgfmkgfx 33 1 /2400/10004,2 mkgfmkgfx Além disto: 22 /10000/10 mkgfcmkgfpD 5,0240031500290010000 xxxpA 2/2500 mkgfpA 9-. Pela equivalência entre pressão e altura, converter: a) a altura piezométrica de 10 m de água para metros de óleo ( = 0,85); b) a pressão de 700 mm Hg em metros de álcool. São dados: Peso específico do mercúrio.....13600 kgf/m3 Peso específico do álcool............ 800 kgf/m3 Resolução: a) para a água, num ponto à profundidade h1: p = h1 Como para o óleo a pressão será a mesma, em um ponto de profundidade h2 vem: p = oh2 Assim: o a oa hhh 221 Porém: a o Logo: mhh h h 8,11 85,0 10 22 1 2 b) A pressão correspondente a 700 mm Hg será: 2/95207,013600 mkgfxhp Hg sendo a altura de álcool que provocará essa pressão: m p h álcool álcool álcool 911 800 9520 , 10- No esquema da Figura abaixo, o peso do êmbolo (A) é 3000 kgf e o do êmbolo (B) é 200 kgf. O líquido contido entre os êmbolos é óleo de peso específico 850 kgf/m3. Pergunta-se: Há equilíbrio nessa instalação? Se não houver, em que êmbolo deve ser aplicada uma força vertical para baixo de modo a restabelecer o equilíbrio e qual deve ser o valor dessa força? Resolução: Como não há igualdade de pressões em pontos que se encontram no mesmo nível e no interior de um mesmo líquido, o sistema não está equilibrado. Para isso basta lembrar que a pressão deveria ser a mesma nos pontos (1) e (3)., que se situam sobre um mesmo plano horizontal. Neste caso, o êmbolo (A) irá subir e, consequentemente, o êmbolo (B) irá descer. A força para restabelecer o equilíbrio deve ser aplicada em (A). O valor dessa força será tal que a pressão na superfície de contato de (A) com o óleo, ponto (1), seja igual à pressão no ponto (3). Assim: AA A A WpAFp A FW p 331 F = 0,5027 x 8066 - 3000 → F = 1055 kgf 11 - Torricelli, na sua experiência, colocou mercúrio ( = 13600 kgf/m3) no interior de uma cuba e de um tubo cilíndrico de pequeno diâmetro, enchendo-o completamente. Em seguida, emborcou-o verticalmente no interior de uma cuba com a extremidade aberta imersa no mercúrio contido nesta. O nível do mercúrio do tubo desceu até estabilizar-se a 0,76 m acima do nível do líquido do interior da cuba, deixando atrás de si apenas o vapor dessa substância, mostrado na figura, a seguir. Desprezando a pressão de vapor do mercúrio, pergunta-se: a) Qual o valor da pressão atmosférica absoluta reinante no local, dada em kgf/m2 e em Pa? b) Qual o valor da altura piezométrica correspondente a essa mesma pressão, dada em metros de coluna d'água? c) Qual a interpretação física dessa altura de água? Resolução: A pressão de vapor de mercúrio mais a pressão correspondente aos 0,76 m de mercúrio equivalem ao valor da pressão atmosférica, tendo em vista que, no sistema em estudo, apenas atuam forças de massa correspondentes à ação da gravidade. Portanto, no interior da massa fluida em questão, a pressão é a mesma em todos os pontos situados sobre um mesmo plano horizontal. Assim sendo, temos: absabs atmvapor php Como abs vaporp é desprezível (a 20°C corresponde a 0,001309 milímetros de mercúrio), vem: hpabs atm Em kgf/m2 obtemos: 23 /1033676,0/13600 mkgfmxmkgfpabs atm Em Pa obtemos: Pamx m N xpabs atm 10129376,0136008,9 3 Em mH2O obtemos: OmH2336,10 1000 13600 12- Fazer o diagrama de pressões no fundo e nas laterais do reservatório mostrado na figura abaixo, cuja superfície livre está submetida à pressão atmosférica e contem gasolina ( = 700 kgf/m3). Resolução: Na superfície livre do líquido, a pressão é nula, considerando pressões efetivas. A partir daí, a pressão aumenta linearmente com a altura, e as pressões são sempre normais à superfície. Pressão a 3,0 m: p1 = 700 x 3,0 = 2100 kgf/m 2 Pressão a 3,5 m: p2 = 700 x 3,5 = 2450 kgf/m 2 Pressão a 6,0 m: p3 = 700 x 6,0 = 4200 kgf / m 2 13- Considere o recipiente da Figura abaixo, no interior do qual existe água e ar sob pressão. Considerando que o datum passe pelo piso, determine: a) os planos de carga efetivo e absoluto, indicando suas distâncias atéo datum; b) as cargas de posição e de pressão (absoluta e efetiva) dos pontos A e B, e as pressões nestes pontos, em kgf/cm2 e MPa. Resolução: a) Planos de carga efetivo e absoluto: m x h 30 1000 100003 1 , então a distância do PCE até o datum: 30+3+1=34m m x h 10 1000 100001 2 Distância do PCA até o datum: 34+10=44m b) Cargas de posição e de pressão (absoluta e efetiva) dos pontos A e B, e as pressões nesses pontos: c) m p m p mz abs AA A 40;30;4 m p m p mz abs AA B 43;33;1 ... 2/3000010003030 mkgfxp p A A 2/3 10000 30000 cmkgfpA MPa x pA 294,0 10 8,930000 6 2/3300010003333 mkgfxp p A B 2/3,3 10000 33000 cmkgfpA MPa x pA 323,0 10 8,933000 6 14- Uma adutora é abastecida a partir de um reservatório, em cujo interior o nível d'água está na elevação 750,00 m. Um manômetro, instalado em certo ponto dessa adutora, indica a pressão de 4,5 kgf/cm2. Pede-se determinar: a) a elevação (cota) desse ponto, considerando o mesmo plano de referência utilizado para estabelecer o nível d'água no interior do reservatório; b) a altura de pressão (ou altura piezométrica nesse ponto, em metros de coluna d'água e em milímetros de mercúrio); c) O valor que seria lido por um manômetro instalado nesse mesmo ponto, calibrado para fornecer pressões em MPa. Resolução: H = 750 m .a) m p mkgfcmkgfp 45 1000 45000 /45000/5,4 22 mz p z 70545750750 b) m p 45 c) MPa x pmkgfp 441,0 10 8,945000 /45000 6 2