capitulo_IV_escalas

Prévia do material em texto

DISCIPLINA: CARTOGRAFIA 
 
CAPITULO IV: ESCALAS 
 
1. INTRODUÇÃO 
Uma carta ou mapa é a representação convencional ou digital da configuração 
da superfície topográfica. 
Esta representação consiste em projetarmos esta superfície, com os detalhes 
nela existentes, sobre um plano horizontal ou em arquivos digitais. 
Os detalhes representados podem ser: 
- Naturais: São os elementos existentes na natureza como os rios, mares, lagos, 
montanhas, serras, etc. 
- Artificiais: São os elementos criados pelo homem como: represas, estradas, 
pontes, edificações, etc. 
Uma carta ou mapa, dependendo dos seus objetivos, só estará completa se 
trouxer esses elementos devidamente representados. 
 
Esta representação gera dois problemas: 
1º) A necessidade de reduzir as proporções dos acidentes à representar, a fim de tornar 
possível a representação dos mesmos em um espaço limitado. 
- Essa proporção é chamada de ESCALA. 
2º) Determinados acidentes, dependendo da escala, não permitem uma redução 
acentuada, pois tornar-se-iam imperceptíveis, no entanto são acidentes que por sua 
importância devem ser representados nos documentos cartográficos 
- A solução é a utilização de símbolos cartográficos. 
 
2. DEFINIÇÃO 
 
O conceito de escala em termos cartográficos é essencial para qualquer tipo de 
representação espacial, uma vez que qualquer visualização gráfica é elaborada segundo 
uma redução do mundo real. Genericamente pode ser definido de uma forma bem 
simples: 
 Escala é a relação entre a dimensão representada do objeto e a sua dimensão 
real. É, portanto, uma razão entre as unidades da representação e do seu tamanho real. 
Duas figuras semelhantes têm ângulos iguais e lados homólogos proporcionais 
(figura 1). 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Dois exemplos de figuras semelhantes. 
 
Verifica-se, portanto, que será sempre possível, através do desenho geométrico 
obter-se figuras semelhantes às do terreno. 
Dispõe-se então das relações adimensionais de escala linear: 
 
D
dE = 
 Sendo d = medida linear da representação; 
D = medida linear real; 
 
Assim, um comprimento tomado no desenho é denominado pela distância 
gráfica ou de representação, um comprimento homólogo tomado no terreno é 
denominado como a distância real natural e a razão entre esses comprimentos é 
denominada por ESCALA. 
 A razão é adimensional, por relacionar quantidades físicas idênticas, 
acarretando a ausência de dimensão. 
A relação d/D pode ser maior, igual ou menor que a unidade, dando lugar à 
classificação das escalas quanto a sua natureza, em três categorias: 
� Na 1ª categoria, tem-se a relação d > D, onde a distância gráfica é maior que a 
distância real; 
� Na 2ª categoria, tem-se a relação d = D, onde a distância gráfica é igual a 
distância real. 
� Na 3ª categoria, que é a usada em Cartografia, a distância gráfica é menor que a 
real, ou seja, d < D. 
Quando a dimensão representada é igual à dimensão do objeto real tem-se a 
escala natural. Quando a dimensão do objeto representado é menor que o objeto real, 
tem-se uma escala de redução, e quando a dimensão do objeto representado é maior 
que o objeto real tem-se uma escala de ampliação. 
Exemplos: 
 E = 1/20000 – escala de redução - (uma unidade linear equivale a 20 000 
unidades lineares no terreno). 
 E = 20/1 – escala de ampliação - (20 unidades lineares na carta equivalem a 
uma unidade linear no terreno). 
 
3. FORMAS DE EXPRESSÃO DE ESCALA 
 
 Uma escala pode ser expressa das seguintes formas: 
� fração representativa ou numérica; 
� gráfica ou escala de barras. 
 
3.1 Escala Numérica 
 
 A expressão numérica de escala é dada pelo relacionamento direto entre medidas 
lineares ou planares na representação (mapa) e na superfície terrestre. 
 A apresentação da razão, no entanto, é feita normalmente mostrando o 
numerador unitário e o denominador expressando um valor: 
 E = 1 / N = 
d d
D d
/
/
 
onde, 
E = escala; 
N = denominador da escala; 
d = distância medida na carta; 
D = distância real (no terreno); 
 
 O valor N denomina-se por número da escala e o valor E pelo nome de fração 
representativa ou fator de escala, e tanto pode ser dada pela fração como pela razão 
representativa, ou seja: 1/100.000 ou 1:100.000, dizendo-se por exemplo, “um para cem 
mil”, neste caso. 
 Formalmente esta razão expressa que uma unidade no mapa, equivale ao 
número de escala de unidades no terreno, ou seja: 
 1 mm na carta = 100.000 mm no terreno 
 1 cm na carta = 100.000 cm no terreno 
 
 Esta forma de expressar uma escala estabelece a segunda maneira de mostrar a 
relação, a forma escrita. Normalmente esta expressão é dada em termos de uma unidade 
coerente para as observações no mapa (mm ou cm), para unidades também coerentes em 
termos de terreno (metros ou quilômetros). 
 Escala linear: 1:100.000 tem-se que 1 cm (mapa) = 1 km (terreno) = 1000 m 
 Escala linear: 1:25.000 tem-se que 1 cm (mapa) = 0,25 km (terreno) = 250 m 
 ou então: 4 cm = 1 km 
 
 A tabela abaixo mostra as escalas mais comuns e equivalências: 
 
Escala 1 cm (mapa)/ equivalência 
no terreno 
1:2.000 20 m 
1:5.000 50 m 
1:10.000 0,1 km (100 m) 
1:20.000 0,2 km (200m) 
1:25 000 0,25 km (250m) 
1:50.000 0,5 km (500m) 
1:100.000 1.0 km (1.000m) 
1:250.000 2,5 km (2.500m) 
1:500.000 5,0 km (5.000m) 
1:1.000.000 10 km (10.000m) 
 
 Pode-se verificar que quanto maior o número da escala, menor será a escala, e 
inversamente; quanto menor o número da escala, maior a escala. Ou seja, uma escala é 
tanto maior quanto menor for o denominador. 
Exemplo: 1:50.000 é maior que 1:100.000; 
Escalas maiores acarretam, portanto, em um maior grau de detalhamento dos 
objetos terrestres, sendo aplicadas em áreas menores, por outro lado, escalas menores 
possuem um menor grau de detalhamento dos objetos terrestres. 
 
- Cálculo da distância no terreno a partir da escala numérica 
 
a) Etapa 1: Mede-se com uma régua graduada a distância entre dois pontos 
no mapa. 
b) Etapa 2: Multiplica-se a medida obtida (em centímetros) pelo 
denominador da escala. 
 
Lembrar que: 
E
dD
D
dE =→= 
 
Figura 2 – Exemplo de medida direta de um segmento para o cálculo da distância no 
terreno. 
 
 A medida entre as duas cidades A e B é de 4,5 cm, e o cálculo do 
comprimento real é: 
4,5 cm * 100.000 = 450.000 cm = 4,5 Km. 
 
 
 
- Cálculo da Escala Numérica (E), sabendo-se a distância no terreno (D) e a 
distância no mapa (d). 
 
 Para saber a escala de um mapa, parte-se da fórmula: 
D
dE = 
Como não se pode operar com unidades de medidas diferentes , converte-se os 
valores para centímetros. Para converter o numerador à unidade, divide-se tanto o 
numerador quanto o denominador, pelo numerador. 
 Exemplo: Determinar a escala de um mapa em que a distancia (d) entre duas 
determinadas cidades é de 30cm, sabendo-se que a distância no terreno (D) é de 15km. 
Solução: 
d = 30cm; 
D = 15km = 1.500.000 cm; 
Pela fórmula 
D
dE = temos que: 
000.50
1
30
30
000.500.1
30
=÷=E 
 
Assim, a escala é 1:50.000. 
 
 
3.2 Escala Gráfica 
 
A escala gráfica ou de barra é a representação gráfica de várias distâncias do 
terreno sobre uma linha reta graduada. 
É uma forma de apresentação da escala linear, através de uma linha, 
normalmente faz parte da legenda da Carta, dividida em partes, mostrando os 
comprimentos na Carta, diretamente em termos de unidades do terreno. 
É constituída de um segmento à direita da referência zero, conhecida como 
escala primária. Consiste também de um segmento à esquerda da origem denominada 
de Talão ou escala de fracionamento, que é dividida em sub-múltiplos da unidade 
escolhida, graduadas dadireita para a esquerda. 
A Escala Gráfica permite realizar as transformações de dimensões gráficas em 
dimensões reais sem a necessidade de efetuar cálculos. Para sua construção, entretanto, 
torna-se necessário o emprego da escala numérica. 
De modo geral, o seu emprego consiste nas seguintes operações: 
1. Toma-se na carta a distância que se pretende medir. 
2. Transportar essa distância para a Escala Gráfica. 
3. Ler o resultado obtido. 
 
 
Figura 3 – Exemplos de escalas gráficas. 
 
- Medição de um segmento na escala gráfica 
 
 Como mencionado, a escala gráfica nos permite saber, sem cálculos, a distância 
no terreno (D) a partir das dimensões apresentadas no mapa (d). Utiliza-se para isso, um 
compasso ou uma tira de papel. Observe a figura 4. 
 
 
 
 
Figura 4 – Exemplo da medição de um segmento no mapa. 
 
 Transpomos para a borda da fita de papel a distância (d) entre os pontos A e B, 
cuja distância real (D) se deseja conhecer. 
 Justapomos o papel na escala gráfica de modo que o ponto da direita (B) se 
encontre exatamente justaposto a um traço da escala; o ponto da esquerda (A) deve ficar 
à esquerda do ponto zero (origem da escala graduada), conforma a figura 5. 
 
 
Figura 5 – Fita de papel ajustada à escala gráfica. 
 
 O número de divisões inteiras à direita e o número de divisões fracionárias à 
esquerda informam que o segmento AB mede 4,5 km no terreno; uma vez que o 
espaçamento de unidades à direita é de 1 km e o da esquerda de 100 m (ou 0,1 km). 
 
3.2.1 Construção de uma escala gráfica 
 
 A construção de uma escala gráfica é por vezes necessária, ou pela carta não o 
ter ou para prover uma escala para uso em diversos mapas de mesma escala. Sua 
construção é simples, não necessitando de muitos cálculos. O exemplo abaixo mostra 
toda a seqüência de elaboração de uma escala gráfica. 
 
Exemplo: Considerar uma escala numérica de 1/ 50.000. 
1) Calcular o comprimento total da escala gráfica a representar, na escala 
considerada. Levar em consideração o comprimento da escala propriamente dita 
e do talão, número de divisões mínimo e máximo, a unidade de cada divisão da 
escala e do talão, bem como o comprimento que a escala gráfica terá ao final do 
traçado. 
2) Neste exemplo, tomando-se 1 km como a unidade da escala, com a divisão do 
talão em 100 m, o comprimento de cada unidade será dada por: 
 
1000000.50
1 d
= , d = 1/50 = 0,02 m = 2 cm = 20 mm 
 
Ponderando o comprimento da unidade com o comprimento total da escala 
gráfica, tomando-se a escala com 3 divisões para a escala gráfica e mais um para o 
talão, o comprimento total da escala será definido pelo valor: 
 4 (3 da escala + 1 do talão) x 20 mm = 80 mm; 
 
3) Marcar este comprimento total na folha de papel, sem se preocupar em dividir 
pelas unidades. 
 
 
 
4) Traçar uma linha auxiliar por uma das extremidades da reta, e sem compromisso 
de comprimento correto, dividi-la com o auxílio do compasso, no número de 
divisões que se divide a escala (4 no exemplo): 
 
 
 
 
 
 
5) Unindo-se a extremidade da ultima divisão marcada com a extremidade da reta 
da escala, traçam-se paralelas à esta reta, pelas marcações das demais divisões 
da reta auxiliar, determinando-se então as divisões corretas da escala. 
 
 
 
6) O talão é dividido de forma semelhante, no número de divisões que o 
caracterizará. No exemplo, em dez divisões, cada uma delas representando 100 
m. 
 
7) Por fim, apagam-se as linhas auxiliares para evitar confusão com a escala. 
 
Talão
 
O exemplo da escala gráfica construída é ilustrada na figura 6, onde cada 
unidade da barra possui 2 cm, o que equivale a uma distância no terreno de 1km 
(1000m). 
 
Figura 6 – Exemplo de escala gráfica para escala 1:50.000. 
 
 Deve ser observado, que a precisão da escala gráfica é determinada pela divisão 
do talão, sendo estimado os valores inferiores. Por exemplo: se a divisão é de 100 m, a 
estimativa fica em torno de valores múltiplos de 10m (10, 20, 30, 40m, ... etc). 
 
 
4. PRECISÃO GRÁFICA 
 
É a menor grandeza medida no terreno, capaz de ser representada em desenho 
em uma dada Escala. 
A experiência demonstrou que o menor comprimento gráfico que se pode 
representar em um desenho é de 1/5 de milímetro ou 0,2 mm, sendo este o erro 
admissível. 
 Este valor de 0,2mm é adotado como a precisão gráfica percebida pela maioria 
dos usuários e caracteriza o erro gráfico vinculado à escala de representação. 
Fixado esse limite prático, pode-se determinar o erro tolerável nas medições 
cujo desenho deve ser feito em determinada escala. O erro de medição permitido será 
calculado da seguinte forma: 
 
Seja: Nme
N
E m ∗== 0002,0
1
 
 
Sendo: em = erro tolerável em metros; 
 N denominador da escala. 
 
Dessa forma, a precisão gráfica de um mapa está diretamente ligada a este valor 
fixo de 0,2 mm, estabelecendo-se assim, em função direta da escala a precisão das 
medidas da carta, por exemplo: 
 
Para escala E = 1/20000 � em = 4 m 
 Para escala E = 1/10000 � em = 2 m 
 Para escala E = 1/40000 � em = 8 m 
 Para escala E = 1/100000 � em = 20 m 
 
O erro tolerável, portanto, varia na razão direta do denominador da escala e 
inversa da escala, ou seja, quanto menor for a escala, maior será o erro admissível. 
Os acidentes cujas dimensões forem menores que os valores dos erros de 
tolerância, não serão representados graficamente. Em muitos casos é necessário 
utilizar-se convenções cartográficas, cujos símbolos irão ocupar no desenho, 
dimensões independentes da escala. 
 
 
5. ESCOLHA DE ESCALAS 
 
 Da fórmula do erro gráfico: 
Nmem ∗= 0002,0 
 
Arranjando a fórmula anterior, tem-se: 
0002,0
meN = 
Considerando uma região da superfície da Terra que se queira mapear e que 
possua muitos acidentes de 10 m de extensão, a menor escala que se deve adotar para 
que esses acidentes tenham representação será: 
000.50
2
000.100
0002,0
10
===
mN 
Assim, para este caso, a escala adotada deverá ser igual ou maior que l:50.000. 
Na escala 1:50.000 o erro prático (0,2 mm) corresponde a 10 m no terreno. 
 
6. MUDANÇAS DE ESCALA 
 
Muitas vezes, durante o transcorrer de alguns trabalhos cartográficos, faz-se 
necessário unir cartas ou mapas em escalas diferentes a fim de compatibilizá-los em 
um único produto. Para isso é necessário reduzir alguns produtos cartográficos e 
ampliar outros. 
O problema é então, passar de um fator de escala para outro. Uma vez 
determinado o novo fator, basta efetuar a transformação de todas as medidas para a 
nova unidade. 
 Exemplo: 
 
 E1 = 1 / 25.000 E2 = 1 / 125.000 
 
 FR = 
E
E
1
2
1 25000
1 125000
125000
25000 5= = =
/ .
/ .
.
.
 
 
Onde FR = fator de redução; 
A figura 7 ilustra um exemplo de redução de escala para duas 
representações da Foz do Rio Doce, da escala 1:40.000 para escala 1:1.000.000. 
 
 
Figura 7- Exemplo de duas representações cartográficas da Foz do Rio Doce-ES. 
Croqui na escala 1:40.000 reduzido para escala 1:1.000.000. 
 
As transformações podem ser efetuadas também por processos mecânicos ou 
instrumentos ótico-mecânicos, por exemplo, pelo uso de pantógrafos, etc. 
Na seqüência, alguns dos métodos existentes usados para a transformação de 
escala. 
 
 
- Quadriculado: 
A quadrícula é um processo expedito (pouco preciso) de ampliação ou redução 
de um mapa sem o auxílio do pantógrafo. É o mais usado pela simplicidade, conforme 
veremos a seguir (figura 8). 
 
Figura 8 – Exemplo de ampliação pelo método do quadriculado. 
 
1 – Fixa-se o vegetal sobre a figura origem e a figura destinada a receber o 
desenho ampliado (A). 
2 – De acordo com a ampliação, desenha-seo retângulo externo (A) nas 
proporções necessárias para que o seu contorno satisfaça às condições desejadas. 
3 – Uma vez representados os dois retângulos das duas molduras (o e A), basta 
dividir os lados de (o) e de (A) e um mesmo número de partes iguais e traçar as duas 
malhas quadriculadas. Não se desejando inutilizar o original, desenha-se o 
quadriculado em uma folha de papel vegetal que é fixado sobre o original. 
4 – Para (A) transpõe-se, quadrícula por quadrícula, o desenho do original. 
Caso se deseje reduzir um mapa, os lados do retângulo (A) serão desenhados em 
dimensões proporcionais reduzidas. 
 
Desta forma, o método do quadriculado, faz a ampliação ou a redução com 
figuras em papel quadriculado, ampliando e reduzindo a figura livremente, 
aumentando e diminuindo o tamanho dos quadrados. Cada quadrado opera como uma 
unidade de medida. 
Para obter um desenho menor, deve-se diminuir os quadrados (pela metade, por 
exemplo) reproduzindo cada traço, nas mesmas posições que ocupavam nos quadrados 
originais. 
Na ampliação, basta fazer o processo inverso da redução. Deve-se aumentar o 
tamanho dos quadrados. A quantidade de quadrados do desenho final não se altera, 
mostrando que a mudança na escala mantém a proporção original. 
Exemplo: 
Figura 9 – Exemplo de redução pelo método do quadriculado. 
 
- Pantógrafo: Paralelograma articulado tendo em um dos pólos uma ponta seca 
e no outro um lápis, o qual vai traçar a redução ou ampliação do detalhe que 
percorremos com a ponta seca. 
A vantagem do uso do pantógrafo reside na rapidez de seu emprego. Compõe-
se de quatro réguas articuladas em quatro pontos formando necessariamente dois 
triângulos semelhantes, conforme a figura 10. 
 
 
 
Figura 10 – Detalhes teóricos da montagem e funcionamento do pantógrafo. 
 
Na prática, usa-se o pantógrafo para ampliação quando se precisa representar 
um maior número de informações cadastrais em um trecho do mapa. Cuja escala é 
pequena para conter os dados necessários. Reproduz-se o trecho ampliado em uma área 
livre do mapa ou no verso, e realizam-se correções e enriquecimentos neste croqui com 
a indicação obrigatória do processo utilizado e data. 
 
- Fotocartográfico: Através de uma câmara fotogramétrica de precisão, na 
qual podemos efetuar regulagens que permitem uma redução ou ampliação em 
proporções rigorosas. Tem como vantagem a precisão e rapidez. 
A ampliação ou redução fotográfica é usada com vantagem nas seguintes 
condições: 
- disponibilidade de um laboratório fotográfico profissional; 
- quando se deseja reduzir um mapa a qualquer escala ou ainda, ampliar apenas 
um pouco para não distorcer o traçado (pois as imperfeições se tornam visíveis quando 
a ampliação é vezes dois ou maior); 
- quando o traçado for muito elaborado de modo a dificultar o redesenho; 
 
- Digital: por ampliação ou redução em meio digital diretamente. 
 
Como em Cartografia trabalha-se com a maior precisão possível, só os métodos 
do pantógrafo (quando acoplado em um restituidor analógico), fotocartográfico e 
digital devem ser utilizados, ressaltando que a ampliação é muito mais susceptível de 
erro do que a redução, no entanto reduções grandes poderão gerar a fusão de linhas e 
demais componentes de uma carta que deverão ser retiradas. 
 
 
7. CLASSIFICAÇÃO DOS MAPAS QUANTO AS ESCALAS 
 
 Associamos a cada mapa as expressões escala grande, escala média ou escala 
pequena, no entanto, isto não se refere ao tamanho físico dos mapas. 
 
� A Escala Pequena 
 
 A escala é considerada pequena quando o denominador da fração da fórmula 
D
dE = assume um valor elevado. Isto significa que a área, ao ser representada, sofreu 
grande redução, por exemplo, 1: 500.000; 1: 1.000.000; 1: 5.000.000. 
 
 Os mapas desenhados em escalas pequenas mostram menor número de detalhes. 
 De modo geral, os mapas em escalas pequenas representam o país como um 
todo, suas grandes subdivisões político-adimistrativas, e fornecem informações gerais, a 
nível nacional, do sistema de transportes, da agricultura, das principais localidades, dos 
cursos d’água significativos e dos limites das grandes unidades regionais. 
 
� A Escala Média 
 
Um mapa desenhado em escala média apresenta relativa precisão. É usado 
principalmente em planejamentos em grandes áreas, em análise de áreas municipais, por 
exemplo, onde poderemos observar as subdivisões administrativas, a distribuição 
gráfica das localidades menores, as vias de comunicação entre elas, os cursos d’água e 
as principais elevações do relevo. 
As escalas médias são, por exemplo, de 1:25.000, 1:50.000, 1:100.000, 
1:250.000. 
 
� A Escala Grande 
 
As escalas grandes, por exemplo, de 1:500, 1:2000, 1:10000, 1:20.000 são 
apropriadas para áreas densamente povoadas, principalmente urbanas. 
Mapas em escalas grandes permitem a representação de levantamentos com 
mínimos detalhes, além de oferecer grande precisão geométrica; por isto são utilizados 
na administração geral (planejamento, construções, etc) de obras públicas, sistemas de 
saneamento, distribuição de água, barragens, pontos, viadutos, estradas de ferro e de 
rodagem. 
São de uso imprescindível aos coletores de dados estatísticos, servem de 
instrumento básico para o registro geográfico e cadastral e de áreas pequenas, tais como 
quarteirões de cidades, vilas e povoados. 
 
Bibliografia 
 
FRIEDMANN, R. M. P. Fundamentos de orientação, cartografia e navegação 
terrestre. Pró Books Editora & CEFET-PR, 2003, 400 pp. 
GASPAR, Joaquim (2005) - Cartas e Projecções Cartográficas, 3.ª edição. Lidel 
Edições Técnicas, Lisboa. 
Manual Técnico de Noções Básicas de Cartografia - Fundação IBGE, 1989. 
OLIVEIRA, Cêurio. Curso de Cartografia Moderna/Cêurio de Oliveira, 2 ed., Rio de 
Janeiro, IBGE, 1993.