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Aula 02 Estatística p/ SEFAZ/PE Professor: Jeronymo Marcondes Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 27 AULA 02: Tópicos de análise combinatória SUMÁRIO PÁGINA Conceitos Básicos 2 Arranjo 4 Combinação 7 Permutação 10 Lista de Exercícios resolvidos em aula 22 Gabarito 27 Pessoal, a aula de hoje será curta e com poucos exercícios. -³(VWi�FRP�SUHJXLoD��SURIHVVRU´" Não! O que acontece é que esta matéria não faz parte do conteúdo de estatística e não necessita muito aprofundamento. -³(QWmR��SRU�TXH�HVWDPRV�HVWXGDQGR�LVVR´" Porque tais conhecimentos serão úteis em outras partes de estatística, tal como no estudo de probabilidades. Diante da impossibilidade de colocar isso em alguma aula de forma que o conhecimento seguisse uma sequência lógica, decidi fazer uma aula dividida em duas partes, sendo que uma delas tratará deste assunto! Então, chega de papo! 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 27 1. Conceitos básicos Pessoal, toda a ideia desta aula se concentra na pergunta: dado 1 (hum) ou mais conjuntos, quantas combinações são possíveis de serem feitas a partir deles? Quer um exemplo? Suponha que você queira formar casais de gatos, dada uma amostra de 4 fêmeas e 4 machos. Quantos casais diferentes são possíveis? Ora, basta olhar o seguinte diagrama: Perceba que cada uma das fêmeas pode ser combinada com cada um dos 4 machos de forma que há 4 combinações possíveis para cada fêmea. Agora pense, quantos casais são possíveis? Simples: 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 27 ? ڄ ? ൌ Entendeu? Cada fêmea pode combinada com 4 possibilidades de macho, portanto há 16 combinações possíveis. Este exercício deriva do princípio fundamental da contagem. O princípio fundamental da contagem afirma que, quando uma tarefa puder ser dividida em ݊ etapas, e cada etapa puder ser realizada de ݉ formas diferentes, o número de formas pelas quais podemos concluir a tarefa é igual à: ݉ଵ ڄ ݉ଶ ڄ ݉ଷ ڄ ǥ݉ Sendo que ݅ variaria de 1 a ݊. Não entendeu? Vamos a nosso exemplo! A primeira etapa seria a escolha da fêmea. No caso, há 4 fêmeas possíveis. A segunda etapa seria a escolha do macho, sendo que há 4 machos possíveis. Assim: ݉ଵ ڄ ݉ଶ ൌ ? ڄ ? ൌ ? ? Isso é bem fácil não? Saiba que você pode resolver a maior parte dos exercícios somente raciocinando sobre tal conceito! Mas, a fim de darmos uma abordagem mais didática iremos abordar as peculiaridades do uso do princípio fundamental da contagem em alguns casos específicos, o que permite o uso de fórmulas! 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 27 2. Arranjo Está bem, vamos complicar um pouco. No caso do exemplo anterior tudo ficou muito fácil porque estávamos lidando com dois conjuntos distintos. Ou seja, fica fácil visualizar o resultado porque basta combinar dois grupos distintos, no caso, machos e fêmeas. Entretanto, se você tiver que fazer combinações dentro de um mesmo grupo a coisa complica. Veja um exemplo: suponha que você tenha um conjunto de 5 gatos e você queira escolher 2 deste bichanos, um para vacina e outro para tomar banho. Quantas formas diferentes há de se fazer isso, sabendo-se que o gato que toma vacina não toma banho? Ora, primeiro eu quero que vocês tentem resolver este problema usando lógica! 6XSRQKD�TXH�QRVVRV�JDWRV�VHMDP�FKDPDGRV�GH�³$´��³%´��³&´��³'´�H�³(´��QHVWH�FDVR� nós sabemos que há 5 possibilidades para a escolha de quem vai tomar a vacina: Vacina Banho 5 possibilidades Opa! Já temos o primeiro passo de nosso exercício! E agora, quantas possibilidades temos para o banho? Vacina Banho 5 possibilidades 4 possibilidades Assim, quantas combinações possíveis são possíveis? ? ? ? ൌ Exatamente, 20! Simples, não? 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 27 Na verdade, o que estamos fazendo é combinar elementos de um mesmo grupo, de forma que a ordem de escolha seja importante e não haja reposição dos elementos escolhidos. Não entendeu? Veja, quando que digo que não há reposição dos elementos é porque, escolhido um elemento, ele não volta a ser considerado para a próxima etapa. Fizemos isso quando eu disse que o gato que toma vacina não toma banho, ou seja, o bichano infeliz de levar uma picada tem a tortura do banho adiada. Por outro lado, quando eu digo que a ordem deve ser importante é porque cada HVFROKD� GLIHUHQWH� JHUD� XP� UHVXOWDGR� GLIHUHQWH�� 3HUFHED� TXH� VH� R� JDWR� ³$´� p� R� SULPHLUR� HVFROKLGR� H� ³%´� R� VHJXQGR�� ³$´� WRPD� YDFLQD� H� ³%´� WRPD� EDQKR�� R� TXH� p� WRWDOPHQWH� GLIHUHQWH� GH� ³%´� WHU� VLGR� HVFROKLGR� DQWHV� GH� ³$´�� Sumariamente, em termos de realização: ሺ�ǡ�ሻ്ሺ�ǡ�ሻ Sendo que: ሺܺǡ ܻሻ ൌ ሺ ? ?�݁ݏ݈݄ܿܽǡ ? ?�݁ݏ݈݄ܿܽሻ para todo ܺ e ܻ. Isso é um exemplo de arranjo! No arranjo estamos combinando elementos de um determinado conjunto de forma que a ordem seja importante e que não haja reposição! Uma forma de encontrar este resultado é por meio da fórmula de arranjo: ܣǡ ൌ ݊Ǩሺ݊ െ ሻǨ Sendo que a mesma refere-se a um arranjo de ݊ elementos em combinações de unidades. 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 27 -³3URIHVVRU��R�TXH�p�DTXHOH�SRQWR�GH�H[FODPDomR�QD�IyUPXOD´" Aquilo é o símbolo de fatorial! Fatorial de um determinado número ݔ qualquer é equivalente à: ݔǨ ൌ ݔ ?ሺݔ െ ?ሻ ?ሺݔ െ ?ሻǥ ? ሺ ?ሻ ڄ ሺ ?ሻ ? ሺ ?ሻ Entendeu? Basta ir multiplicando o número pelos valores inferiores ao mesmo até o número 1. Por exemplo: ?Ǩ ൌ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ൌ E se estivermos sob o caso da divisão de dois números em fatoriais? Por exemplo: ?Ǩ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? Agora é só cancelar: ?Ǩ ?Ǩൌ ? ڄ ? ? ൌ Entendeu? Então vamos retornar à nossa fórmula de arranjo: ܣǡ ൌ ݊Ǩሺ݊ െ ሻǨ 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 7 de 27 Se você aplicar a fórmula ao problema do nosso exemplo: ܣǡ ൌ ݊Ǩሺ݊ െ ሻǨ ൌ ?Ǩሺ ? െ ?ሻǨ ൌ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ? ൌ ? ڄ ? ൌ Ora, é o mesmo resultado! Claro, pois esta é a fórmula que simplifica aquele raciocínio. -³(�VH�D�RUGHP�GRV�HOHPHQWRV não IRU�LPSRUWDQWH´" Aí nós vamos para o próximo tópico. 3. Combinação Se nós estivermos lidandocom um problema semelhante ao anterior, mas no qual a ordem não importa, o raciocínio será diferente. Neste caso, estamos diante de um problema de Combinação. Vamos a um exemplo: suponha que você tenha um conjunto de 5 gatos e você queira escolher 2 deste bichanos, ambos para vacina, sabendo-se que todo gato só pode tomar uma vacina. Quantas formas diferentes há de se fazer isso? Agora a coisa mudou. Perceba que a ordem de escolha dos gatos não irá afetar o resultado final, pois ambos os gatos tomarão vacina, independentemente da ordem em que foram selecionados. A título de ilustração, suponha que tenhamos escolhido RV�JDWRV�³$´�H�³%´��DVVLP��HP�WHUPRV�GH�UHDOL]DomR� Dica de um concurseiro Pessoal, muitas vezes decorar fórmulas pode ser uma ótima estratégia? Por que? Porque você tem de fazer uma prova em muito pouco tempo. Portanto, fórmula podem te ajudar a ir mais rápido! 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 8 de 27 ሺ�ǡ�ሻൌሺ�ǡ�ሻ Sendo que: ሺܺǡ ܻሻ ൌ ሺ ? ?�݁ݏ݈݄ܿܽǡ ? ?�݁ݏ݈݄ܿܽሻ para todo ܺ e ܻ. Ou seja, se VHOHFLRQDUPRV�RV�JDWRV�³$´�H�³%´��QmR�LPSRUWD�D�RUGHP�GH escolha, pois o resultado será o mesmo (ambos tomam vacina). Portanto, as nossas possibilidades de escolha são: Vacina Vacina 5 possibilidades 4 possibilidades Que nos dá um total de ሺ ? ڄ ? ൌ ? ?ሻ escolhas. ³-Mas, isso é o mesmo que no caso do DUUDQMR´" Falta uma coisinha, precisamos excluir os casos repetidos, ou seja, realizações de conjuntos equivalentes. Por exemplo, pode-se considerar que ሺ�ǡ�ሻ equivale à ሺ�ǡ�ሻ, dado que a ordem dos fatores não é importante no caso concreto. Precisamos dividir o resultado total obtido por meio de um arranjo pela quantidade WRWDO� GH� ³FDVRV� UHSHWLGRV´�� O cálculo da quantidade de casos repetidos pode ser detido da análise dos conjuntos que estamos formando, que é composto por dois elementos, a saber: ሺ ? ?�݁ݏ݈݄ܿܽ ൌ ݔǡ ? ?�݁ݏ݈݄ܿܽ ൌ ݕሻ Sabendo-se que cada um destes grupos de escolha contem dois elementos, a quantidade máxima de repetições que cada um pode ter é de duas. Isso pode ser detido da análise da expressão acima, pois, como só há dois elementos em cada conjunto, a única possibilidade de repetição é invertendo a ordem original, tal como: ሺ ? ?�݁ݏ݈݄ܿܽ ൌ ݕǡ ? ?�݁ݏ݈݄ܿܽ ൌ ݔሻ 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 27 Uma forma analítica de você saber qual o número máximo de repetições é: Ǩ Sendo a quantidade de unidades que cada grupo combinado contem. Neste caso, o número de formas diferentes que podemos combinar os gatos que vão tomas vacina é: ? ? ? ൌ Assim, não fica difícil perceber que a fórmula para combinações é: ܥǡ ൌ ݊Ǩሺ݊ െ ሻǨ ڄ Ǩ Quer testar? Vamos aplicar a fórmula no nosso exemplo: ܥǡ ൌ ݊Ǩሺ݊ െ ሻǨ ڄ Ǩ ൌ ?Ǩሺ ? െ ?ሻǨ ڄ ?Ǩൌ ?Ǩ ?Ǩ ڄ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ?ሺ ? ڄ ? ڄ ?ሻ ڄ ሺ ? ڄ ?ሻൌ ? ڄ ? ? ൌ Viram? Este procedimento permite que realizemos uma combinação de um determinado conjunto de forma que a ordem não seja importante e que não haja reposição! 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 10 de 27 4. Permutação Este é o mais fácil de todos! Pode-se visualizar a permutação como um caso específico da permutação, no qual: ݊ ൌ Assim, o número de elementos a ser combinado é igual à quantidade de observações em cada conjunto, ou seja, só há um conjunto e nós queremos saber quantas são as possibilidades de reordenação das observações em seu interior. Nós já estudamos isso, certo? Quando nós vimos quantas repetições são possíveis em um conjunto de um determinado número de elementos. No caso, nós vimos que este número é dado por Ǩ. Quer a prova? Sabendo que a permutação é um caso específico de arranjo quando (݊ ൌ ), então: ܣǡ ൌ ݊Ǩሺ݊ െ ሻǨ ൌ ݊Ǩሺ ?ሻǨ Sabendo-se que ሺ ?Ǩ ൌ ?ሻ: ܣǡ ൌ ݊Ǩ Esta é a fórmula da permutação. Um exemplo de uso é no caso de anagramas. Anagrama é uma espécie de jogo na qual, a partir do rearranjamento das letras de uma palavra, são formadas novas palavras. A permutação nos permite visualizar a quantidade de anagramas possíveis a partir de uma palavra qualquer. 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 27 A título de ilustração, vamos calcular a quantidade de anagramas que podem ser GHWLGRV� GD� SDODYUD� ³&+È´�� 2UD�� EDVWD� DSOLFDU� QRVVD� IyUPXOD�� FRPR há 3 letras na palavra: ?Ǩ ൌ ? ڄ ? ڄ ? ൌ ? Ou seja, podemos reescrever 6 palavras. Mas, este não é o caso genérico, pois, muitas vezes, precisaremos fazer a SHUPXWDomR�FRP�HOHPHQWRV�UHSHWLGRV��1mR�HQWHQGHX"�6XSRQKD�D�SDODYUD�³'$'2´�� neste caso tanto faz se coORFDUPRV� R� �� ³'´� QR� OXJDU�GR� VHJXQGR��SRLV�D�SDODYUD� continuará exatamente igual. Assim, para levarmos em conta elementos repetidos, nos basearemos na fórmula: Ǩሺ݊ï݉݁ݎ�݀݁�ݒ݁ݖ݁ݏ�݁݉�ݍݑ݁��݈݁݁݉݁݊ݐ�ݎ݁݁ݐ݅݀�ܽܽݎ݁ܿ݁ሻǨ Veja, no caso de DADO: ?Ǩ ?Ǩൌ ? ڄ ? ൌ Beleza pessoal? Vamos fazer alguns exercícios para treinar um pouco. 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 27 Exercício 1 (ANEEL ± ESAF/2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é: a) 24360 b) 25240 c) 24460 d) 4060 e) 4650 Resolução Neste primeiro exercício vamos tentar fazer sem fórmulas. Olhe, há 30 duplas e 3 lugares diferentes disputados, portanto a ordem importa. Além disso, não há repetição, pois cada dupla só pode ter uma colocação. Pensando em uma tabela: 1º lugar 2º lugar 3º lugar 30 possibilidades 29 possibilidades 28 possibilidades Assim, as possibilidades são: ? ?ڄ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ? ? ? Letra (a). 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 13 de 27 Exercício 2 (ANEEL ± ESAF/2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual a: a) 2180 b) 1180 c) 2350 d) 2250 e) 3280 Resolução Este exercício é mais difícil. Veja um esqueminha do que está ocorrendo: Perceba que os pontos que estão em linha reta não podem ser combinados entre si de forma a gerarem um triângulo, pois estes só formariam uma reta. 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof.Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 27 Pensar em quantos triângulos podem ser formados é fácil, pois trata-se de uma combinação (a ordem de ligação dos pontos não importa, pois formariam o mesmo triângulo) de 25 elementos em grupos de 3. Entretanto, devemos desconsiderar as combinações resultantes da ligação dos 10 pontos que estão em linha reta. Assim: ݐݎ݅݊݃ݑ݈ݏ ൌ ܥଶହǡଷ െ ܥଵǡଷ Portanto: ݐݎ݅݊݃ݑ݈ݏ ൌ ܥଶହǡଷ െ ܥଵǡଷ ൌ ? ?ڄ ? ?ڄ ? ? ? ڄ ? ڄ ? െ ? ?ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ?ൌ ? ? ? ?െ ? ? ?ൌ ૡ Letra (a) (ANAC ± CESPE\2009) Julgue os itens a seguir Exercício 3 O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo escala em São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte ou Brasília é múltiplo de 12. Resolução A melhor forma de resolver este exercício é usando uma tabela e dividindo o mesmo em etapas: Lugar de saída Escala Lugar de chegada 3 opções 4 opções 7 opções Então, temos ( ? ڄ ? ڄ ? ൌ ? ?) opções. Este resultado é múltiplo de 12. Gabarito: certo. 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 15 de 27 (Ministério da Saúde ± CESPE/2007) Julgue os itens a seguir: Exercício 4 Se o diretor de uma secretária do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para o cinema, outro com um ingresso para o teatro e o terceiro com um ingresso para um show, ele terá mais de 100 maneiras diferentes de fazê-lo. Resolução Esta questão é muito parecida com nosso exemplo de aula. No caso, trata-se de um arranjo, pois a ordem de sorteio dos indivíduos irá diferenciar seus prêmios. Assim, estamos tentando realizar um arranjo de 6 elementos em grupos de 3: ܣǡଷ ൌ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ൌ Gabarito: certo Exercício 5 Se o diretor de uma secretária do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para o teatro, ele terá mais de 24 maneiras diferentes de fazê-lo. 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 16 de 27 Resolução No caso, agora a ordem não mais afeta o prêmio a ser obtido, tratando-se de um caso de combinação. Assim, teríamos de fazer uma combinação de 6 elementos em grupos de 3: ܥǡଷ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ڄ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ?ൌ Gabarito: errado. Exercício 6 (Elaborada pelo autor) Quantos anagramas são possíveis a partir da palavra ³7$7Ò´" a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 20 Resolução A questão deve ser analisada por meio de uma permutação, tal como devemos fazer nos casos de anagramas. Entretanto, atente-se que há duas letras repetidas, portanto: Ǩሺ݊ï݉݁ݎ�݀݁�ݒ݁ݖ݁ݏ�݁݉�ݍݑ݁��݈݁݁݉݁݊ݐ�ݎ݁݁ݐ݅݀�ܽܽݎ݁ܿ݁ሻǨ ൌ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ڄ ? ൌ ? ? Ou seja, há 12 combinações possíveis. Letra (a). 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 27 Exercício 7 (AFRE-MG ± ESAF/2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 Resolução Vamos raciocinar para pensar na melhor forma de abordar a questão. Vamos pensar no total de combinações que podem ser feitas: ܣǡସ ൌ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ൌૡ Entretanto, há algumas restrições! Devemos excluir os casos em que as filas não são finalizadas com Ana, Beatriz, Carla ou Denise, além das filas em que a Denise é a primeira. Vamos aos casos em que as a última da fila não é uma das quatro: 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila 6 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades 4 possibilidades 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 18 de 27 Neste caso, há 3 possibilidades para a última posição da fila (7-4), assim, descontando esta do total de modelos temos: ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ൌ Agora, a quantidade de casos em que a Denise é a primeira: 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila Denise x y 3 possibilidades (Ana, Beatriz ou Carla) Ora, qual o valor de x e y? Você já escolheu duas modelos, portanto só sobram 5 para a segunda posição da fila e 4 para a terceira: 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila Denise 5 4 3 possibilidades (Ana, Beatriz ou Carla) Portanto, a quantidade de combinações em que a Denise é a primeira é: ? ڄ ? ڄ ? ൌ Assim, o total de combinações que queremos é o total possível menos os casos de restrições, sendo: ? ? ?െ ሺ ? ? ? ? ?ሻ ൌ Portanto, letra (a). 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 19 de 27 Exercício 8 (TFC ± ESAF/2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é: a) 128 b) 495 c) 545 d) 1485 e) 11880 Resolução Exercício bem simples, pois é só aplicar a fórmula de combinação de forma a encontrar todos quadriláteros possíveis. -³3RU�TXH�FRPELQDomR��SURIHVVRU´" Ora, a ordem de ligação dos lados do quadrilátero não altera o formato resultante. Veja: 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 20 de 27 /LJDU� ³$´� D� ³%´� Gi� QD� PHVPD� GR� TXH� OLJDU� ³%´� D� ³$´�� VHQGR� D� ILJXUD� UHVXOWDQWH� D� mesma. Então: ܥଵଶǡସ ൌ ? ?Ǩሺ ?ሻǨ ڄ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ?ڄ ? ?ڄ ? ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ൌ ૢ Letra (b). Exercício 9 (SERPRO ± ESAF/2001 ± alterada) Em uma sala de aula estão 10 alunos. A professora quer formar quadrilhas entre os alunos, quantas combinações são possíveis? a) 5040 b) 5050 c) 200 d) 250 e) 210 Resolução Bom, na combinação de uma quadrilha é fácil perceber que a ordem não importa. Veja, se você tiver uma quadrilha com João, Maria, Pedro e Juliana esse conjunto será o mesmo independentemente da ordem de seleção. Assim: ܥଵǡସ ൌ ? ?Ǩ ?Ǩ ڄ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ? ڄ ?ൌ Letra (e). 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentadosProf. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 21 de 27 Exercício 10 (Elaborada pelo autor) Quantos anagramas podem ser gerados a partir da SDODYUD�³$(5232572´" a) 20612 b) 26000 c) 27550 d) 30240 e) 32340 Resolução Essa eu só fiz para vocês treinarem permutação, o que não é comum de ser FREUDGR�HP�SURYD��3HUFHED�TXH��QHVWH�FDVR��YRFr�WHP���OHWUDV�TXH�VH�UHSHWHP�³R´�H� ³U´��2�TXH�YRFr�GHYH�ID]HU�p�R�VHJXLQWH� ǨሺሻǨ ൈ ሺݎሻǨ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ൈ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ൌ ? ? ? ? ? Letra (d). 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 22 de 27 Lista de exercícios resolvidos Exercício 1 (ANEEL ± ESAF/2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é: a) 24360 b) 25240 c) 24460 d) 4060 e) 4650 Exercício 2 (ANEEL ± ESAF/2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual a: a) 2180 b) 1180 c) 2350 d) 2250 e) 3280 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 27 (ANAC ± CESPE\2009) Julgue os itens a seguir Exercício 3 O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo escala em São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte ou Brasília é múltiplo de 12. (Ministério da Saúde ± CESPE/2007) Julgue os itens a seguir: Exercício 4 Se o diretor de uma secretária do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para o cinema, outro com um ingresso para o teatro e o terceiro com um ingresso para um show, ele terá Exercício 5 Se o diretor de uma secretária do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para o teatro, ele terá mais de 24 maneiras diferentes de fazê-lo. 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 24 de 27 Exercício 6 (Elaborada pelo autor) Quantos anagramas são possíveis a partir da palavra ³7$7Ò´" a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 20 Exercício 7 (AFRE-MG ± ESAF/2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 27 Exercício 8 (TFC ± ESAF/2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é: a) 128 b) 495 c) 545 d) 1485 e) 11880 Exercício 9 (SERPRO ± ESAF/2001 ± alterada) Em uma sala de aula estão 10 alunos. A professora quer formar quadrilhas entre os alunos, quantas combinações são possíveis? a) 5040 b) 5050 c) 200 d) 250 e) 210 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 27 Exercício 10 (Elaborada pelo autor) Quantos anagramas podem ser gerados a partir da SDODYUD�³$(5232572´" a) 20612 b) 26000 c) 27550 d) 30240 e) 32340 83395105172 Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 02 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 27 1-a 2-a 3-C 4-C 5-E 6-a 7-a 8-b 9-e 10-d Essa aula foi muito rápida! Mas, aproveitem o descanso porque a próxima aula cai em, praticamente, todo concurso. Um abraço e bons estudos jeronymo@estrategiaconcursos.com.br 83395105172
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