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RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 AULA 01: PRINCÍPIOS DE CONTAGEM SUMÁRIO PÁGINA 1. Princípios de contagem (análise combinatória) 01 2. Resolução de exercícios 13 3. Questões apresentadas na aula 56 4. Gabarito 70 Prezado aluno, em nossa primeira aula veremos o tópico “Princípios de contagem” do edital do MPU. Trata-se da famosa análise combinatória, que é a teoria necessária para resolver os exercícios de contagem. Na próxima, trabalharemos com foco na probabilidade. O entendimento da aula de hoje é essencial para o bom aproveitamento da próxima aula. Portanto, muita atenção... 1. PRINCÍPIOS DE CONTAGEM (ANÁLISE COMBINATÓRIA) 1.1 Contagem e análise combinatória Imagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2 pares de tênis. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir? Ora, basta imaginar que para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4 camisetas, e para cada conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer dos 2 pares de tênis. O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz que para obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta multiplicar o número de calças pelo número de camisas e pelo número de tênis, isto é: Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24 Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e independentes (escolha da calça, da camiseta e do tênis), basta multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento (isto é, 3 possibilidades para o acontecimento “escolha da calça”; 4 para a “escolha da camiseta” e 2 para a “escolha do tênis”). RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 Vejamos um outro exemplo: quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? Note que precisamos formar números com o formato “ABC”, onde cada letra simboliza um algarismo. Para a posição A temos 6 opções de algarismos. Para a posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo ocorre na posição C. Portanto, a quantidade de números de 3 algarismos é dada pela multiplicação: 6 x 6 x 6 = 216 possibilidades E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados devem ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teríamos também 6 opções para preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais podemos usar o número que já foi utilizado para A. Portanto, temos 5 opções. E para a posição C, restam apenas 4 opções. Assim, teríamos: 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, precisamos calcular quantos números podemos formar tendo o 2 na posição A, depois na posição B, e depois na posição C. Se o 2 estiver na posição A, teremos números do tipo “2BC”. Para a posição B temos 5 opções de algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a posição C temos 4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 possibilidades de números do tipo 2BC. Analogamente, para números do tipo “A2C”, temos 5 x 1 x 4 = 20 possibilidades. Temos outras 20 possibilidades para números do tipo “AB2”. Ou seja, ao todo temos 60 possibilidades. Você reparou que nos exemplos anteriores nós haviamos efetuado apenas multiplicações para chegar no resultado, e neste último exemplo foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para você saber quando somar e quando multiplicar é perceber a presença das expressões “E” e “OU”. Veja como fazer isso: - no exemplo das camisetas, calças e tênis, tínhamos 4 possibilidades para as camisetas E 3 possibilidades para as calças E 2 possibilidades para os tênis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 - para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tínhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 possibilidades para o segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo que novamente efetuamos a multiplicação 6 x 5 x 4. - já para obter números de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse presente, vimos que o 2 podia estar na primeira posição OU na segunda posição OU na terceira posição. Foi por isso que tivemos que somar as 20 possibilidades de ter o 2 na primeira posição com as 20 possibilidades de ele estar na segunda posição e com as 20 possibilidades de ele estar na terceira posição. Lembrando-se que o “E” remete à multiplicação e o “OU” remete à soma, você dificilmente errará uma questão. Em uma abordagem mais acadêmica, dizemos que: - o princípio multiplicativo é utilizado no caso de eventos independentes (a escolha da camiseta independe da escolha da calça, que independe da escolha do tênis); - o princípio aditivo é utilizado no caso de eventos mutuamente excludentes (a presença do 2 em uma posição exclui a possibilidade de ele estar nas demais posições); 1.2 Permutação simples Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem se sentar em uma fileira do cinema, uma ao lado da outra. De quantas maneiras diferentes podemos sentar essas pessoas? Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. Isto é, temos 5 possibilidades. Já na segunda cadeira, temos apenas 4 possibilidades, pois necessariamente uma pessoa já estará ocupando a primeira cadeira. Para terceira cadeira sobram 3 possibilidades, assim como sobram 2 possibilidades para a quarta cadeira, e uma para a última. Veja isso na tabela abaixo: Cadeira 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Possibilidades de ocupação 5 4 3 2 1 Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para obter o número total de formas de sentar as pessoas: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma dessas 120 possibilidades de arrumação das pessoas, as mesmas 5 pessoas estão presentes. O que torna diferente uma possibilidade da outra é somente a ordem de posicionamento das pessoas. Esse tipo de problema, onde o objetivo é arrumar “n” elementos em “n” posições distintas (no caso, 5 pessoas em 5 cadeiras), e onde a ordem de arrumação dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é chamado de PERMUTAÇÃO SIMPLES. O cálculo da permutação simples de n elementos é dada pela fórmula abaixo: P(n) = n! Nesta fórmula, n! significa “n fatorial”. Na matemática, chamamos de fatorial de um número “n” o produto de todos os números inteiros e positivos iguais ou inferiores a n, isto é: n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1 Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos aplicar esta fórmula na questão das cadeiras do cinema, teríamos: P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas Atenção para um detalhe: só podemos usar a fórmula de permutação simples nos problemas onde a ordem de arrumação dos “n” objetos torne uma possibilidade diferente da outra! Vamos nos deparar com vários problemas onde a ordem não torna uma possibilidade diferente da outra – e não poderemos resolvê-los de maneira tão simples como a vista aqui. Vejamos um outro exemplo de permutação simples: quantos anagramas podemos formarutilizando todas as letras da palavra BRASIL? Um anagrama é um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, é um anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras distintas entre si, isto é, sem repetição. Assim, cada anagrama será formado por 6 letras, distribuídas entre 6 posições: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª Letras disponíveis 6 5 4 3 2 1 Veja que o total de anagramas será dado por 6!, isto é, 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Utilizando a fórmula: P(6) = 6! = 720 1.3 Permutação com repetição Imagine que você queira calcular o número de anagramas da palavra ARARA. A princípio você usaria a fórmula de permutação simples, como fizemos no caso de BRASIL. Porém ARARA possui 3 repetições da letra A e 2 repetições da letra R. Isso faz com que alguns anagramas seja, na verdade, repetições uns dos outros. Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde simplesmente trocamos de posição o 2º R com o 2º A. Este mesmo anagrama poderia ter sido construído trocando de posição o 1º R com o 2º A, e, a seguir, colocando o 1º A na última posição. Não podemos contar 2 vezes esses anagramas, pois eles são idênticos. Por isso, quando há repetição devemos usar a fórmula da permutação simples, porém dividir o resultado pelo número de permutações de cada letra repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo que o A repete-se 3 vezes e o R repete- se 2 vezes, temos: 5! (5 ; 3 2) 10 3! 2! PR e = = × anagramas Generalizando, podemos dizer que a permutação de n elementos com repetição de m e p é dada por: ! ( ; ) ! ! n PR n m e p m p = × 1.4 Arranjo simples RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 Imagine agora que quiséssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas cadeiras do cinema, mas tivéssemos apenas 3 cadeiras à disposição. De quantas formas poderíamos fazer isso? Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis, isto é, 5 possibilidades. Já para a segunda cadeira, restam-nos 4 possibilidades, dado que uma já foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, na terceira cadeira poderemos colocar qualquer das 3 pessoas restantes. Veja que sempre sobrarão duas pessoas em pé, afinal temos apenas 3 cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas pessoas sentadas é dada pela multiplicação abaixo: Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60 Um caso como esse, onde pretendemos posicionar “n” elementos em “m” posições (m menor que n), e onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é chamada de ARRANJO SIMPLES. Sua fórmula é dada abaixo: ! ( , ) ( )! n A n m n m = − Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teríamos: ! ( , ) ( )! 5! 5! 5 4 3 2 1 (5,3) (5 3)! 2! 2 1 (5,3) 5 4 3 60 n A n m n m A A = − × × × ×= = = − × = × × = Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos elementos importa, isto é, a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade de outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, Carlos, Daniela e Eduardo. Uma forma de posicionar essas pessoas em 3 cadeiras seria: Cadeira 1ª 2ª 3ª Ocupante Beto Daniela Eduardo Neste caso, Ana e Carlos estão de fora. Outra forma de posicionamento seria: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 Cadeira 1ª 2ª 3ª Ocupante Daniela Beto Eduardo Veja que, novamente, Ana e Carlos estão de fora. E Eduardo está no mesmo lugar. A única mudança foi a inversão de posições entre Beto e Daniela. Ou seja, uma simples alteração na ordem dos elementos gera uma nova possibilidade de posicionamento. É isso que quero dizer quando afirmo que “a ordem importa” para os casos de Permutação e Arranjo. Note ainda que podemos usar a fórmula de Arranjo para resolver um problema de Permutação simples. Isto porque a permutação também é uma ordenação de “n” elementos em “m” posições, porém nos casos de permutação n = m. Sabendo que 0! é, por definição, igual a 1, podemos calcular o número de permutações de 5 pessoas em 5 cadeiras de cinema com a fórmula de arranjo: ! ( , ) ( )! 5! 5! 5 4 3 2 1 (5,5) (5 5)! 0! 1 (5,5) 120 n A n m n m A A = − × × × ×= = = − = 1.5 Arranjo com repetição Imagine que temos à disposição as letras A, B, C e D. Queremos utilizá-las para formar placas de carros. Assim, precisamos de formar grupos de 3 letras, sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto é, podemos ter placas como: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc. Para calcular o número de arranjos possíveis de “n” elementos em grupos de “m”, e podendo repetir os elementos, usamos a fórmula do Arranjo com repetição: A (n, m) = nm (leia: “arranjo de n elementos, m a m, é dado por n elevado a m) Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 (m = 3) podendo repetir as letras, será possível formar o total de arranjos abaixo: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 3 ( , ) (4,3) 4 (4,3) 64 arranjos mA n m n A A = = = Você pode resolver esse tipo de exercício sem o auxílio de fórmulas, apenas utilizando o princípio multiplicativo. Basta lembrar que você quer montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 possibilidades. 1.6 Combinação Imagine agora que você tem à sua disposição aquelas mesmas 5 pessoas, porém agora precisa formar uma dupla para participar de um determinado evento. Quantas duplas distintas é possível formar? Veja que agora a ordem não importa mais. A dupla formada por Ana e Beto é igual à dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, estamos diante de um problema de Combinação. Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a duas, é possível formar. Isto é feito através da fórmula abaixo: ( ) ! ( , ) ! ! n n C n m m m n m = = − Veja que n m é uma outra forma de simbolizar “combinação de n elementos, m a m”. Efetuando o cálculo para o exemplo acima, temos: ( ) ( ) ! ( , ) ! ! 5 5! 5! (5,2) 2 2! 5 2 ! 2! 3! 5 5 4 3 2 1 (5,2) 10 2 2 1 3 2 1 n n C n m m m n m C C = = − = = = − × × × × ×= = = × × × × Portanto, há 10 combinações de 5 elementos, dois a dois. Isto é, há 10 formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponíveis. Vejamos quais seriam as 10 duplas: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 - Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo - Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo; - Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo; - Daniela e Eduardo. A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as contas. Ao invés de utilizar a fórmula acima, você pode chegar ao mesmo caso fazendo o seguinte: 1. multiplicando os “m” primeiros termos de “n!” 2. dividindo esse resultado por m! No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros termos de 5! (que são 5 e 4) e dividir por 2! (2x1): 5 4 20 (5,2) 10 2! 2 C ×= = =Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2 a 2, é igual à combinação de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 – 2. Da mesma forma, a combinação de 15 elementos, 14 a 14, é igual à combinação de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 – 14). Generalizando: a combinação de n elementos, m a m, é igual à combinação de n elementos, (n-m) a (n-m): n n m n m = − 1.7 Permutação circular Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!. Entretanto, temos um caso particular de permutação, muito presente em provas de concurso, que é a Permutação Circular. Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras distintas podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 lugares. E se, ao invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa redonda com 5 lugares? Observe as duas disposições abaixo das pessoas A, B, C, D, e E ao redor da mesa: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais (afinal, a pessoa A tem à sua esquerda E, e à sua direita B, e assim sucessivamente). Não podemos contar duas vezes a mesma disposição. Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar à mesa, todas as 5 posições disponíveis são equivalentes. Isto porque não existe uma referência espacial. Nestes casos, devemos utilizar a fórmula da permutação circular de n pessoas, que é: Pc (n) = (n-1)! Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5 pessoas ao redor de uma mesa será: Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Note que se houvesse uma posição da mesa com uma cadeira “de ouro”, por exemplo, passaríamos a ter uma orientação espacial em relação a esta cadeira, e deixaríamos de ter uma permutação circular. 1.8 Comentários finais para resolução de exercícios Agora que já conhecemos os arranjos, permutações e combinações, gostaria de gastar mais um tempinho reforçando as diferenças entre estas ferramentas. Como você verá ao longo dos exercícios, é essencial saber diferenciar se estamos diante de um caso de arranjo, permutação ou combinação, para só então resolvê-lo. Ao se deparar com uma questão, você deve responder sempre a seguinte pergunta: - a ordem de escolha ou de disposição dos elementos torna uma escolha/disposição diferente da outra? RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 Exemplificando, imagine que você tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) à disposição, e o seu objetivo é formar equipes de 3 soldados. Veja que a equipe formada pelos soldados A, B, C é igual a equipe formada pelos soldados B, A, C, que também é igual à equipe formada pelos soldados C, B, A, e assim por diante. Isto é, a ordem de escolha dos soldados não é relevante, não torna uma escolha diferente da outra. Já se você quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C é diferente da fila B-A-C que é diferente da fila C-B-A, e assim por diante. Em uma fila, a ordem importa. Se trocamos a posição do primeiro colocado com a do último, temos uma fila diferente. Portanto, neste caso a ordem de escolha dos soldados é relevante, ou seja, torna uma escolha diferente da outra. Feita a pergunta, você tem duas possibilidades: - se a ordem NÃO É RELEVANTE: utilizar a fórmula de combinação. Isto é muito comum em questões onde o objetivo é formar equipes, grupos, comissões etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), concorda? - se a ordem É RELEVANTE: utilizar o princípio fundamental da contagem (aquela multiplicação simples), que se resume nas fórmulas de arranjos e permutações. No exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, concorda? Dependendo do caso, você precisa fazer alguns ajustes, como no caso de haver repetição. Isto é: - se houver repetição, basta dividir o resultado encontrado por n!, onde n é o número de repetições (ou usar direto a fórmula da permutação com repetição); - se houver mais de um item se repetindo, é preciso dividir por n!, s!, t! etc. (conforme o número de itens se repetindo). Caso 2 soldados fossem “idênticos”, de tal modo que não fosse possível diferenciá-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes conseguiríamos formar? Ora, temos uma repetição de 2 elementos, certo? Portanto, o número de filas seria 5x4x3/2! . E se quiséssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa redonda? Aí teríamos a permutação circular, que é dada por (n-1)!, ou seja, 4! = 24. Por fim, qual a diferença entre Arranjo e Permutação? Imagine que você dispõe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 - Quantas filas de 3 soldados você consegue? 5x4x3 = 60 - E quantas filas com os 5 soldados você consegue? 5x4x3x2x1 = 120 O primeiro caso é um arranjo, o segundo uma permutação. A diferença é que a permutação SEMPRE envolve TODOS os elementos disponíveis (você calcula quantas formas possíveis de dispor os 5 elementos possíveis), já o arranjo não envolve todos os elementos (para cada arranjo foi preciso usar apenas 3 dos 5 soldados, concorda?) Se você entendeu a explicação acima, conseguirá resolver a grande maioria das questões. Ah, e preste atenção nas resoluções onde misturo a fórmula de combinação com o princípio fundamental da contagem, pois estas são as questões mais difíceis, ok? RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 1. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações). Com base no texto acima, julgue o item a seguir. ( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será superior a 4.000. RESOLUÇÃO: Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é: Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30 Temos 30 homens, e queremos saber quantos grupos de 3 homens podemos criar. Repare que escolher os homens A, B e C é igual a escolher os homens C, B e A (em ambos os casos temos grupos formados pelos mesmos 3 indivíduos). Em outras palavras, a ordem de escolha dos homens para formar um grupo não importa, não torna um grupo diferente do outro. Quando a ordem não importa, devemos utilizar a fórmula da combinação de 30 homens, 3 a 3, para obter o total de grupos possíveis: 30 29 28 (30,3) 10 29 14 4060 3 2 1 C × ×= = × × = × × Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO. Resposta: C RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Limawww.estrategiaconcursos.com.br 14 2. CESPE – EBC – 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. RESOLUÇÃO: ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. Devemos combinar os 3 nomes dados (Alberto, Bento e Carlos) 2 a 2, para escolher dois deles. A seguir, devemos multiplicar este número de combinações pelo número de combinações dos 2 candidatos restantes para ocupar a última vaga. Isto é: C(3,2) x C(2,1) = 3 x 2 = 6 Item CORRETO. ( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. Para que uma lista contenha Alberto, e não contenha nem Bento nem Carlos, existe uma única possibilidade: Alberto e mais os 2 candidatos restantes. Analogamente, para que uma lista contenha Bento e não contenha nem Alberto e nem Carlos, a única possibilidade é: Bento e mais os 2 candidatos restantes. Por fim, para a lista conter apenas Carlos, a única opção é ela ser formada por Carlos e os 2 candidatos restantes. Ao todo, temos exatamente 3 listas possíveis com o nome de apenas um dos 3 rapazes citados. Item CORRETO. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. A combinação de 5 pessoas, 3 a 3 é: C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10 Item ERRADO. Resposta: C C E 3. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. ( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será superior a 100. ( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. RESOLUÇÃO: ( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será superior a 100. Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades é dado por 5x4x3x2x1 = 120. Este número é superior a 100, tornando o item CORRETO. ( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponíveis, 1 perito dos 2 disponíveis, 1 escrivão dentre os 2 disponíveis e 2 agentes dentre os 4 disponíveis. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 Como a ordem de escolha não importa, usamos a fórmula da combinação. Logo, o total de maneiras de compor as equipes é dado por: C(2,1)xC(2,1)xC(2,1)xC(4,2) = 2x2x2x6 = 48 Este número é inferior a 50, tornando o item ERRADO. Resposta: C E 4. ESAF – AFT – 2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192. b) 36. c) 96. d) 48. e) 60. RESOLUÇÃO: Se a equipe tem 3 pessoas, precisa ter pelo menos 1 homem e 1 mulher, temos 2 possíveis grupos: 2 homens e 1 mulher, ou 2 mulheres e 1 homem. Vejamos quantas possibilidades temos para cada tipo de grupo. � 2 homens e 1 mulher: Para escolher 2 homens em um total de 4 disponíveis, basta calcular a combinação de 4, 2 a 2: 4 4 3 (4,2) 6 2 2 1 C ×= = = × E para escolher 1 mulher em um total de 6, temos 6 possibilidades, como você pode comprovar abaixo: 6 6 (6,1) 6 1 1! C = = = RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17 Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 6 = 36 formas de agrupar 2 homens e 1 mulher. � 2 mulheres e 1 homem: Para escolher 2 mulheres em um total de 6 disponíveis, basta calcular a combinação de 6, 2 a 2: � 6 6 5 (6,2) 15 2 2 1 C ×= = = × E para escolher 1 homem em um total de 4, temos 4 possibilidades, como você pode comprovar abaixo: � 4 4 (4,1) 4 1 1! C = = = Pelo princípio fundamental da contagem, temos 15 x 4 = 60 formas de agrupar 2 mulheres e 1 homem. Assim, ao todo temos 36 + 60 = 96 equipes distintas com 3 funcionários, respeitando as condições do enunciado. Resposta: C 5. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? a) 15 b) 45 c) 31 d) 18 e) 25 RESOLUÇÃO: Veja que podemos ter equipes com 1 mulher e 1 homem, ou equipes com 2 mulheres. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18 No primeiro caso, precisamos combinar 3 mulheres, 1 a 1, e combinar 5 homens, 1 a 1: (3,1) 3 (5,1) 5 C C = = Portanto, é possível formar 3 x 5 = 15 equipes distintas. No segundo caso, precisamos apenas combinar as 3 mulheres, 2 a 2: 3 2 (3,2) 3 2 1 C ×= = × Assim, podemos formar 3 equipes distintas. Ao todo, temos 15 + 3 = 18 equipes distintas. Resposta: D 6. ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: a) 681384 b) 382426 c) 43262 d) 7488 e) 2120 RESOLUÇÃO: Veja no esquema abaixo as possibilidades de retiradas, e suas respectivas explicações: Retirada 1 Retirada 2 Retirada 3 Retirada 4 89 possibilidades (pois a caixa 20 não pode estar aqui, só na retirada 3) 88 possibilidades (pois nem a caixa 20 nem a da retirada 1 podem estar aqui) 1 possibilidade(caixa 20) 87 possibilidades (90 menos a caixa 20 e as das retiradas 1 e 2) Pelo princípio fundamental da contagem, temos: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 19 89 88 1 87 681384Possibilidades = × × × = Resposta: A 7. ESAF – MPOG – 2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a: a) 30 b) 40 c) 246 d) 124 e) 5 RESOLUÇÃO: Veja que temos 4 possibilidades de cores de meias: pretas, brancas, azuis e amarelas. Portanto, se Marcos tirar da gaveta apenas 4 meias, ele pode “dar o azar” de tirar exatamente 1 meia de cada cor. Entretanto, ao tirar a 5ª meia da gaveta, ela necessariamente será de uma das 4 cores que ele já tirou. Assim, ele certamente conseguirá formar um par de meias da mesma cor. Isso mostra que é preciso tirar pelo menos 5 meias da gaveta para ter certeza de obter um par da mesma cor. Resposta: E 8. ESAF – CGU – 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? a) 3003 b) 2980 RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 20 c) 2800 d) 3006 e) 3005 RESOLUÇÃO: Se temos 15 questões e, delas, queremos separar um grupo de 10 questões para resolver, basta calcular a combinação de 15, 10 a 10. Isso porque a ordem das questões não importa: escolher as questões 1, 3 e 5 é igual a escolher as questões 3, 5 e 1. Para calcular de uma forma mais fácil a combinação de 15, 10 a 10, você precisa lembrar a seguinte propriedade (que vimos na teoria de hoje): (15,10) (15,5)C C= Assim, 15 14 13 12 11 (15,10) (15,5) 3003 5 4 3 2 1 C C × × × ×= = = × × × × Ana pode escolher 10 das 15 questões de 3003 formas distintas. Resposta: A 9. ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21 Veja que temos 4 tipos de filas: aquelas com Ana no final, aquelas com Beatriz no final, aquelas com Carla no final e aquelas com Denise no final. Vamos calcular quantas filas podemos formar com Denise no final. Para isso, considere o desenho abaixo: Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 6 possibilidades (pois Denise já é a última) 5 possibilidades 4 possibilidades 1 possibilidade (Denise) Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 5 x 4 x 1 = 120 possibilidades de formar fila com Denise no final. Vamos calcular a quantidade de filas com Ana no final. Para isso, é importante lembrar que Denise não pode ser a primeira. Portanto, temos apenas 5 possibilidades para a posição 1 (pois Ana já está no final, e Denise não pode ser a primeira). Para a posição 2, temos outras 5 possibilidades (pois agora podemos incluir Denise). E para a posição 3, temos 4 possibilidades (pois já colocamos uma pessoa nas posições 1, 2 e 4): Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 5 possibilidades (pois Denise não pode ser a primeira) 5 possibilidades 4 possibilidades 1 possibilidade (Ana) Portanto, temos 5 x 5 x 4 x 1 = 100 possibilidades com Ana no final. O raciocínio é análogo para as filas com Beatriz ou Carla no final, isto é, teremos mais 100 possibilidades em cada caso. Assim, ao todo temos 120 + 100 + 100 + 100 = 420 possibilidades. Resposta: A 10. CESPE – TRT/16ª – 2005) Julgue os itens que se seguem. ( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 . RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 22 ( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880. RESOLUÇÃO: ( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 . O objetivo aqui é formar conjuntos de 8 dígitos, usando apenas 0 e 1, de forma que três dígitos sejam iguais a 0 e os demais cinco dígitos iguais a 1. Uma possibilidade seria: 00011111 Veja que é preciso permutar esses 8 dígitos, e há a repetição de três (0) e de cinco (1). Utilizando a fórmula da permutação com repetição, temos: 8! 8 7 6 5! 8 7 6 (8;3,5) 56 3!5! 3!5! 3! P × × × × ×= = = = Veja que esse número é superior a 50. Item CORRETO. ( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880. Vamos precisar calcular o número de senhas com 6 dígitos distintos e depois o número de senhas com 1 dígito repetido. No primeiro caso temos a permutação simples dos 6 dígitos disponíveis: P(6) = 6! = 720 No segundo caso, cada senha de 6 caracteres será formada com o uso de apenas 5 dígitos (pois um se repete 2 vezes). Assim, para cada conjunto de 5 dígitos que escolhermos (ex.: U, V, 5, 6, 7) o número de senhas possíveis será dado pela permutação de 6 caracteres, com a repetição de 2: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 23 6! 6 5 4 3 2! (6;2) 360 2! 2! P × × × ×= = = Quantos conjuntos de 5 dígitos podemos escolher, tendo um total de 6 dígitos disponíveis? Ora, trata-se da combinação de 6 dígitos, 5 a 5: (6;5) (6;1) 6C C= = Portanto, o número de senhas com 6 algarismo, com a repetição de 2, é dada por 6 x 360 = 2160. Ao todo, o número de senhas é: 720 + 2160 = 2880. Item CORRETO. Resposta: C C 11. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por exemplo,0110011010. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. ( ) O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a 512. RESOLUÇÃO: O número de sequências nas quais temos pelo menos 1 cara é igual ao total de sequências possíveis menos o número de sequências onde não temos nenhuma cara. Vejamos: � total de sequências possíveis: Pela regra do produto, como temos 2 possibilidades para cada lançamento, o total é: 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 210 = 1024. � total de sequências sem nenhuma cara: Ora, trata-se do caso onde obtemos coroa em todos os lançamentos. Trata- se de uma única possibilidade. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 24 Portanto, o número de sequências com pelo menos 1 cara é igual a 1024 – 1 = 1023. Este número é superior a 512, tornando o item ERRADO. Resposta: E 12. CESPE – MDS – 2009) Julgue os 2 itens acerca de contagem de elementos. ( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500. ( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo. RESOLUÇÃO: ( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500. Para obter anagramas que não possuam duas vogais juntas, é preciso contar apenas aqueles anagramas onde tenhamos uma consoante separando duas vogais consecutivas, como é o caso na palavra EXECUTIVO. Em resumo, devemos permutar as vogais apenas entre elas (nas posições ocupadas por vogais na palavra EXECUTIVO), e as consoantes entre elas. Veja exemplos de permutação possíveis: - trocando apenas vogais: IXOCUTEVE - trocando apenas consoantes: EVECUTIXO - trocando vogais e consoantes, mantendo uma consoante entre duas vogais: IVOCUTEXE. No caso das vogais, temos 5 letras com a repetição de 2 letras E. Portanto, o total de permutações de vogais é: 5! (5;2) 60 2! P = = RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25 No caso das consoantes, temos 4 letras, sem repetição. O número de permutações de consoantes é: P(4) = 4! = 24 Observe que, para cada uma das 60 permutações possíveis das vogais, devemos contabilizar as 24 permutações possíveis das consoantes. Portanto, o total de permutações das letras de EXECUTIVO (obedecendo a regra do enunciado) é dado por: 60 x 24 = 1440 Esse valor é inferior a 1500, tornando o item CORRETO. ( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo. Pela regra do produto, cada convidado tem 3 x 4 x 4 = 48 formas diferentes de escolher o seu jantar completo, dado que existem 3 possibilidades de pratos, 4 de bebidas e 4 de sobremesas. Item ERRADO. Resposta: C E 13. CESPE – MDS – 2009) Considere que o governo de determinado estado da Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular, tenha decidido enviar um representante para conhecer as instalações de restaurantes populares, restringindo que fossem visitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12 restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de São Paulo e 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante terá mais de 3.800 maneiras distintas para escolher os restaurantes para visitar. RESOLUÇÃO: Existem 5 possibilidades de se escolher 1 restaurante na Bahia (qualquer um dos 5 existentes). Para escolher 2 dentre 12 restaurantes em Minas, é preciso calcular o número de combinações de 12 restaurantes, 2 a 2: 12 11 (12,2) 66 2! C ×= = RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26 (usamos a combinação pois a ordem de escolha desses 2 restaurantes não importa. Escolher o restaurante A e o restaurante B, formando o par {A,B} a ser visitado em Minas, é igual a escolher o restaurante B e o restaurante A neste mesmo Estado) Analogamente, para escolher 2 dentre 12 restaurantes em São Paulo, temos outras 66 possibilidades. Por fim, existem 6 formas de escolher 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul. O número total de possibilidades é dado pela regra do produto: 5 x 66 x 66 x 6 = 130680 Este número é (bem) superior a 3800, portanto o item está CORRETO. Resposta: C Obs.: essa questão é uma exceção ao estilo CESPE. Quando temos questões como essa, onde o enunciado diz “terá mais de 3.800 maneiras” , o normal é você encontrar um resultado ligeiramente acima ou abaixo de 3.800 (tornando o item C ou E, respectivamente). Quando você encontrar um resultado muito diferente do valor “sugerido” no enunciado, muito cuidado: revise a sua resolução, verifique se não errou algum cálculo. 14. CESPE – MDS – 2009) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4 eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15 programas e ações, entre os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos financeiros para 5 dos programas e ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade por um comitê, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse comitê teria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e ações. RESOLUÇÃO: Numa questão como essa, normalmente você poderia pensar em calcular a combinação dos 14 programas restantes, 4 a 4. Entretanto, foi mencionada uma ordem de prioridade, de modo que a ordem de escolha dos programas passa a ser relevante. Assim, devemos calcular o arranjo de 14 programas, 4 a 4, ou seja, 14x13x12x11 = 24024 possibilidades. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27 Trata-se de um número menor que 30mil, portanto o item está ERRADO. Resposta: E Obs.: se você resolvesse através da fórmula da combinação, encontraria C(14,4) = 1001, que é um número MUITO menor que 30mil, valor “sugerido” pelo CESPE. Com isso, você deveria, no mínimo, desconfiar que a sua resolução pudesse estar incorreta (apesar de que, neste exercício, ainda assim você acertaria o gabarito). 15. CESPE – PREVIC – 2011) Julgue os 2 itens, considerando que planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez. ( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. ( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez sejacontratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104. RESOLUÇÃO: ( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. Trata-se da combinação de 5 benefícios, 3 a 3, que é: 5 4 (5,3) (5,2) 10 2! C C ×= = = De fato existem menos de 12 escolhas possíveis. Item CORRETO. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28 ( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104. Chamando o benefício “renda por invalidez” de A, “pensão por morte” de B, “pecúlio por morte” de C, “pecúlio por invalidez” de D e “aposentadoria” de E, teremos 3 A, 2 B, 2 C, 2 D e 1 E. Devemos permutar entre os 10 grupos esses 10 benefícios, sabendo que temos repetição de 3 A, 2 B, 2 C e 2 D: 10! 10 9 8 7 6 5 4 3! (10;3,2,2,2) 3!2!2!2! 3! (2 1) (2 1) (2 1) 10 9 8 7 6 5 (10;3,2,2,2) 75600 2 P P × × × × × × ×= = × × × × × × × × × × ×= = Este número é superior a 70.000 (7 x 104), logo o item está ERRADO. Resposta: C E 16. CESPE – Banco do Brasil – 2008) A Associação dos Correspondentes de Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo quinto ano consecutivo, o Prêmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes indicados serão seguidos pela votação de aproximadamente 250 correspondentes afiliados às associações de correspondentes do Rio de Janeiro, de São Paulo e de Brasília. Os vencedores serão escolhidos nas categorias Melhor Filme (ficção), Melhor Documentário, Melhor Diretor, Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia e Melhor Filme Júri Popular. Internet: <www.bb.gov.br> (com adaptações). A partir da organização do texto acima e considerando os princípios de contagem, julgue os itens subseqüentes. ( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras possíveis para se formar essa comissão. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29 ( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 103. ( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3, respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas. RESOLUÇÃO: ( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras possíveis para se formar essa comissão. O número de comissões de 3 integrantes retirados de um total de 50 é dado pela combinação: 50 49 48 (50,3) 19600 3! C × ×= = Esse número é inferior a 20mil, portanto o item está CORRETO. ( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 103. Temos 13 possibilidades para o primeiro lugar, 12 para o segundo e 11 para o terceiro, totalizando: 13 x 12 x 11 = 1716 Esse número é inferior a 2000 (2x103), portanto o item está CORRETO. ( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3, RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30 respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas. Esse correspondente tem 8 possibilidades para escolher o Melhor Filme e 3 possibilidades para o Melhor Documentário, totalizando 8 x 3 = 24 maneiras distintas de votar. Este número é superior a 20, portanto o item está CERTO. Resposta: C C C 17. CESPE – Banco do Brasil - 2008) Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem. ( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60. ( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 × 103. ( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6. ( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares distintos de letras. RESOLUÇÃO: ( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60. Se queremos apenas os casos que começam e terminam em R, devemos, em realidade, permutar apenas as letras E, P, E, T, I. Temos, portanto, a permutação de 5 letras com a repetição de 2, totalizando: 5! (5;2) 60 2! P = = possibilidades Item CORRETO. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31 ( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 × 103. A quantidade de senhas com 2 ou 3 letras repetidas é igual ao total de senhas possível menos a quantidade de senhas que não possuem letras repetidas. Assim, temos: � total de senhas: 26 x 26 x 26 = 17576 � quantidade de senhas que não possuem letras repetidas: 26x25x24 = 15600 Portanto, o número de senhas que possuam letras repetidas (2 ou 3 letras repetidas) é simplesmente 17576 – 15600 = 1976. Este valor é inferior a 2x103, portanto o item está ERRADO. ( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6. A palavra PROVAVELMENTE possui 2 repetições da letraV e 3 repetições da letra E. Normalmente consideraríamos que, ao trocar uma letra V pela outra, ou uma letra E pela outra, temos em realidade um único anagrama. Entretanto, o enunciado mandou incluir as repetições, ou seja, considerar que ao trocar uma letra V pela outra e/ou trocar uma letra E pela outra, cada alteração dessas deve ser considerada uma permutação distinta. Para a palavra PROVAVELMENTE continuar aparecendo, devemos considerar apenas os casos onde trocamos um V pelo outro e/ou trocamos um E por outro. O número de permutações das duas letras V entre si é igual a P(2) = 2! = 2. E o número de permutações das 3 letras E entre si é igual a P(3) = 6. Para cada permutação das letras V, devemos contabilizar as 6 permutações da letra E. Ao todo, temos 2 x 6 = 12 permutações onde são trocadas apenas as posições das letras V entre si mesmas e/ou as posições das letras E entre si mesmas. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32 Item ERRADO. ( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares distintos de letras. Temos 6 letras distintas nessa palavra. Para saber o número de pares que podemos formar, basta calcular o número de combinações destas 6 letras, 2 a 2: C(6,2) = 15 Este número é inferior a 300, portanto o item está ERRADO. Mesmo se considerássemos que a ordem das letras torna um par diferente do outro, teríamos 6 x 5 = 30 possibilidades apenas. Resposta: C E E E 18. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações). Com base no texto acima, julgue os itens a seguir. ( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será superior a 4.000. RESOLUÇÃO: Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é: Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30 O número de maneiras de formar grupos de 3 homens com 30 disponíveis é a combinação de 30, 3 a 3: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33 C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 3! = 30 x 29 x 28 / 6 C(30,3) = 5 x 29 x 28 = 4060 Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO. Resposta: C 19. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum evento. ( ) Suponha uma distribuição de prêmios em que são sorteados três números de dois algarismos. Para formar cada número, primeiro sorteia-se o algarismo das dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades é sorteado em seguida e varia de 0 a 9. Se, para formar cada número, o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades já sorteadas não puderem ser repetidos, então a quantidade de números que podem ocorrer é inferior a 104 RESOLUÇÃO: Veja que temos 6 possibilidades (de 0 a 5) para o algarismo das dezenas e 10 possibilidades (de 0 a 9) para o algarismo das unidades, totalizando 6 x 10 = 60 possíveis números de dois algarismos para o primeiro sorteio. Após sortear o primeiro número, sobram apenas 5 possibilidades para o algarismo das dezenas e 9 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 5 x 9 = 45 possibilidades para o segundo número a ser sorteado. A seguir, sobram 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e 8 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 4 x 8 = 32 possibilidades para o terceiro número a ser sorteado. Portanto, a regra do produto nos diz que temos ao todo 60 x 45 x 32 = 86400 possibilidades de sortear 3 números de dois algarismos. Muito cuidado, pois a resolução não termina aqui (embora quem parasse aqui acertasse o gabarito, por mera coincidência). A regra do produto, que utilizamos acima, é válida quando a ordem dos números sorteados torna um conjunto de 3 números diferente de outro. Entretanto, sabemos que o conjunto {21, 15, 07} é igual ao conjunto {07, 21, 15}, que é igual ao {15, 07, 21} e às demais permutações destes 3 números. Isto porque em qualquer RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34 desses casos o ganhador do sorteio será aquela pessoa que tiver, em qualquer ordem, estes três números em sua cartela. A permutação de 3 números é P(3) = 3! = 6. Portanto, devemos dividir as 86400 possibilidades encontradas através da regra do produto por 6, para evitar somar repetidas vezes um mesmo conjunto de 3 números. Dessa forma, temos: 86400 / 6 = 14400 Portanto, existem 14400 formas de sortear 3 números de dois algarismos seguindo a regra proposta no enunciado. Este número é superior a 10.000 (104) . Item ERRADO. Resposta: E 20. CESPE – TRE/BA – 2009) Sabendo que um anagrama é qualquer ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado, então, com a palavra CORREGEDOR será possível formar 151.200 anagramas distintos. RESOLUÇÃO: CORREGEDOR possui 10 letras, com a repetição de 2 letras O, 3 letras R, 2 letras E. O número de anagramas desta palavra é calculado pela fórmula de permutação com repetição: 10! 10 9 8 7 6 5 4 3! (10;2,3,2) 2!3!2! (2 1) 3! (2 1) (10;2,3,2) 10 9 8 7 6 5 151200 P P × × × × × × ×= = × × × × = × × × × × = Item CERTO. Resposta: C. 21. CESPE – EMBASA – 2009) A leitura mensal do consumo de água residencial em cada um dos quinze bairros de determinado município é feita por apenas um dos três funcionários responsáveis por essa atividade; a cada mês, há uma distribuição aleatória em que cinco desses bairros são designados para cada um desses funcionários. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir: ( ) Essa distribuição pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35 ( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica, em duas regiões, A e B, com dois bairros em A e três bairros em B, então esse funcionário poderá visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma região antes dos demais bairros. RESOLUÇÃO: � PRIMEIRO ITEM: Para o primeiro item, precisamos saber de quantas formas podemos distribuir 15 bairros entre 3 funcionários, deixando cada um deles com 5 bairros. A combinação de 15 em grupos de 5 (isto é, 15, 5 a 5) nos diz de quantas maneiras podemos distribuir os bairros do primeiro funcionário: 15 15 14 13 12 11 3003 5 5 4 3 2 1 × × × ×= = × × × × Após separarmos os 5 bairros do primeiro funcionário, sobram 10 bairros, dos quais 5 deverão ser distribuídos para o próximo funcionário. A combinação de 10 bairros, 5 a 5,nos dá o número de formas de efetuar essa distribuição: 10 10 9 8 7 6 252 5 5 4 3 2 1 × × × ×= = × × × × Por fim, sobram 5 bairros, que serão distribuídos para o último funcionário. Só há uma forma de fazer isso, como vemos abaixo: 5 1 5 = Multiplicando o número de formas de distribuir os bairros do primeiro funcionário pelo número de formas para distribuir os bairros do segundo funcionário e pelo número de formas de distribuir os bairros do último funcionário, temos: 3003 252 1 756756× × = Portanto, esse item está ERRADO. No gabarito preliminar, este item foi considerado correto, mas foi corrigido no gabarito definitivo. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36 � SEGUNDO ITEM: o funcionário pode visitar os 2 bairros da região A e, a seguir, os 3 bairros da região B, ou vice-versa. Vamos calcular de quantas formas ele fazer isso. Note que agora a ordem importa. Portanto, trata-se de um caso de permutação. - De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 2 bairros da região A? Basta permutar os 2 bairros: P(2) = 2! = 2. - De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 3 bairros da região B? P(3) = 3! = 6 - De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar as 2 regiões? Ora, ele pode ir primeiro na região A e depois na B, ou vice-versa. Temos 2 formas de fazer isso, que é justamente P(2). Como temos 2 formas de visitar as regiões, e, dentro das regiões, 2 formas de visitar os bairros de A e 6 formas de visitar os bairros de B, o total de formas de visitar todos os bairros é: 2 x 2 x 6 = 24. Item CORRETO. Resposta: E C 22. CESPE – MPE/AM – 2008) Com respeito aos princípios básicos da contagem de elementos de um conjunto finito, julgue os itens a seguir. ( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados. ( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos, então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1). RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37 � PRIMEIRO ITEM: quando o exercício diz que o código tem 2 dígitos, o primeiro dígito não pode ser o zero, pois nesse caso teríamos, na verdade, um número de apenas 1 dígito. Portanto, os códigos possíveis são aqueles que tem, no algarismo das dezenas, de 1 a 9 (9 possibilidades), e no algarismo das unidades, de 0 a 9 (10 possibilidades). Assim, ao todo temos 90 possibilidades de código. Como eram apenas 79 caixas de correspondência, 11 códigos não precisaram ser utilizados. CORRETO. � SEGUNDO ITEM: Se fossemos simplesmente montar um código com 4 letras retiradas do conjunto de 10 letras do enunciado, seria possível formar 10x10x10x10 =104 códigos. Além disso, podemos escolher 2 algarismos de 0 a 9 (10 possibilidades), ou seja, podemos escolher 10 x 10 = 102 pares de 2 algarismos. Multiplicando apenas a quantidade de grupos de 4 letras (104) pela quantidade de grupos de algarismos (102) já temos 106 possibilidades, que é um resultado maior que aquele dado pelo enunciado, portanto o item está ERRADO. Por fins didáticos, vamos prosseguir com a resolução. Teremos um código da seguinte forma: L L L L / / N N Neste código acima, os L representam as 4 letras, as / representam as barras e os N representam os 2 algarismos. Veja que não basta apenas multiplicar as quantidades de grupos de letras (104) pela de números (102). Precisamos ainda considerar que as letras, barras e números podem estar em qualquer posição. Veja os 3 exemplos abaixo. Cada um representa um código distinto, apesar de usar as mesmas letras e números: Q R S T / / 1 2 Q R S T 1 2 / / Q / R S / T 1 2 Assim, para cada grupo de 4 letras e 2 números que escolhermos, precisamos calcular o número de permutações possíveis. Para piorar, trata- se de uma permutação com repetição, pois a barra se repete. Temos, assim, RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38 8! (8, 2) 20160 2! PR = = Portanto, ao todo teríamos 20160 x 104 x 102 códigos. Resposta: C E 23. CESPE – TSE – 2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a: a) 263 x 10 x 9 x 8 b) 263 x 103 c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 d) 26 x 25 x 24 x 103 RESOLUÇÃO: Veja que teremos senhas do tipo __ __ __ - __ __ __, onde as três primeiras lacunas devem ser preenchidas por letras, e as três seguintes por números. Veja que não há repetição de letras. Pelo princípio fundamental da contagem, temos 26 possibilidades para a primeira letra, 25 para a segunda e 24 para a terceira, isto é: 26 x 25 x 24 possibilidades. Por outro lado, é permitido repetir algarismos. Temos 10 possibilidades para o primeiro, outras 10 para o segundo e outras 10 para o terceiro, perfazendo 10 x 10 x 10 = 103 possibilidades. Ao todo, teremos 26 x 25 x 24 x 103 possibilidades de senhas. Resposta: D Obs.: a título de exercício, repare que a letra A representa o caso onde podemos repetir letras, mas não algarismos. A letra B representa o caso onde RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39 podemos repetir tanto as letras quanto os algarismos. A letra C representa o caso onde não podemos repetir nem letras e nem algarismos. 24. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. RESOLUÇÃO: Observe que colocar as equipes 1, 2, 3, 4 e 5 no grupo A é equivalente a colocar as equipes 3, 2, 1, 5 e 4 neste grupo. Isto é, a ordem das equipes não importa. Estamos diante de um problema de combinação. O número de maneiras de se combinar 11 equipes em grupos de 5 é dado por: 11 11 10 9 8 7 (11,5) 462 5 5 4 3 2 1 C × × × ×= = = × × × × Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escolher 5 equipes que formarão o grupo A será SUPERIOR a 400. Resposta: E 25. CESPE – Polícia Federal – 2009) A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. Internet:<www.estadao.com.br> (com adaptações). Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. ( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. RESOLUÇÃO: RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 40 Veja que, das 17 cidades de fronteira, apenas 11 (17 – 6) não estão na fronteira do MS com o Paraguai, portanto apenas estas serão escolhidas pela organização criminosa. O número de maneiras de se combinar 11 em grupos de 6 é dado por: 11 10 9 8 7 (11,6) (11,5) 462 5 4 3 2 1 C C × × × ×= = = × × × × Este número é MENOR do que 500, portanto o item está ERRADO. Resposta: E 26. CESPE – ABIN – 2010) Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue os itens subsequentes. ( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da região Centro- Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem em prateleiras distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos. ( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio de carro, por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que, dado o caráter sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os agentes que participarão dessa operação devam chegar à referida cidade de maneira independente, em veículos distintos. Em face dessa situação, sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o número de maneiras de o servidor responsável pela organização das viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa missão é inferior a 50. ( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe, um para redigir o RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41 relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações —, o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200. RESOLUÇÃO: � PRIMEIRO ITEM: temos 5 prateleiras, e processos de 5 regiões para colocar em cada uma. Todos os processos de uma mesma região devem ficar na mesma prateleira. Isto pode ser representado pelo esquema abaixo: Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5 5 possibilidades 4 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade Pelo princípio fundamental da contagem, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas distintas de dispor os processos de cada região numa mesma prateleira. Imagine a seguinte distribuição: Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5 Região Norte (3 processos) Região Nordeste (3 processos) Região Sul (2 processos) Região Sudeste (1 processo) Região Centro-Oeste (2 processos) Note que é possível permutar os 3 processos da região Norte, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Da mesma forma, podemos permutar os da região Nordeste, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Para a região Sul temos 2! = 2 maneiras distintas, o mesmo se aplicando à região Centro-Oeste, e apenas 1 maneira para a região Sudeste. Assim, considerando as regiões distribuídas conforme esta última tabela, teríamos 6 x 6 x 2 x 1 x 2 = 144 formas distintas de distribuir os processos, devido às permutações dos mesmos dentro de cada prateleira. Isto é, para cada uma das 120 formas de dispor os processos de cada região nas prateleiras, existem 144 formas de organizar os processos de cada prateleira. Ao todo, temos 120 x 144 = 17280 formas de distribuir os processos. Item CERTO. � SEGUNDO ITEM: Será preciso escolher 3 veículos, um para transportar cada um dos agentes. A ordem não importa, o que interessa é escolher 3 dos 8 veículos disponíveis para transportar os agentes. Isto é, precisamos calcular a combinação de 8 veículos em grupos de 3: 8 7 6 (8,3) 56 3 2 1 C × ×= = × × RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42 Item ERRADO. � TERCEIRO ITEM: O número de formas de escolher 3 agentes em um grupo de 7 é dado pela combinação de 7, 3 a 3 (pois a ordem não importa): 7 6 5 (7,3) 35 3 2 1 C × ×= = × × Uma vez escolhidos esses 3 agentes, temos que alocar cada um em uma função: coordenar, redigir e fazer levantamentos. Aqui, a ordem importa, pois colocar o agente A para coordenar e o agente B para redigir é diferente de colocar o agente A para redigir e o agente B para coordenar. Assim, para a primeira função, temos 3 possibilidades (qualquer um dos 3 agentes), para a segunda temos 2 possibilidades e para a terceira temos 1 possibilidade, totalizando 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades. Assim, ao todo temos 35 grupos de 3 agentes, e cada grupo pode ser alocado de 6 maneiras distintas, totalizando 35 x 6 = 210 formas de escolher os agentes. Item ERRADO. Resposta: C E E 27. CESPE – ANAC – 2009) Com relação a análise combinatória, julgue os itens que se seguem. ( ) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. ( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, A seja a quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra AEROPORTO, B seja a quantidade de anagramas começando por consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então A = 21B. RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPU TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 01 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43 ( ) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala em C é igual a 400. ( ) O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210. RESOLUÇÃO: � PRIMEIRO ITEM: temos 3 cidades de partida, 4 para fazer escala e 7 de destino. Saíndo de uma das 3 cidades de partida, temos 4 vôos possíveis para a cidade de escala. Após esse primeiro vôo, temos outros 7 vôos possíveis para a cidade de destino. Portanto, ao todo temos 3 x 4 x 7 = 84 vôos (que é múltiplo de 12). Item CERTO. � SEGUNDO ITEM: Veja que AEROPORTO possui a repetição de 2 R e 3 O. Portanto, o número de anagramas é dado pela permutação de 9 letras, com a repetição de 2 e de 3: 9! 362880 (9;3,2) 30240 3!2! 12 P = = = Já TURBINA não possui letras repetidas. Entretanto, o exercício só quer os anagramas que comecem
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