Relatividade Geral

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Relatividade
Pedro Cunha de Holanda
DRCC ­ IFGW
UNICAMP
I Escola de Inverno do IFGW
julho/2008
Relatividade Geral
Relatividade Geral
Mas antes, um pouco mais de relatividade restrita, com 
uma visão geométrica
Separação entre 2 pontos no espaço tempo:
Geometria não euclidiana, devido ao sinal – no primeiro termo:
Princípio variacional:
Uma partícula livre percorre dois pontos no espaço­tempo separados 
por um intervalo do tipo tempo de forma a maximizar o tempo próprio.
Princípio variacional:
Uma partícula livre percorre dois pontos no espaço­tempo separados 
por um intervalo do tipo tempo de forma a maximizar o tempo próprio.
Parametrizando a trajetória a partir de um novo parâmetro :
Princípio variacional:
Aplicando a eq. de Euler para maximizar o valor de :
Princípio variacional:
Aplicando a eq. de Euler para maximizar o valor de :
e após poucas manipulações analíticas:
Princípio variacional:
Aplicando a eq. de Euler para maximizar o valor de :
e após poucas manipulações analíticas:
com um óbvio limite para velocidades baixas:
Princípio da equivalência:
Qual o valor de g na Estação Espacial Internacional (ISS)?
Princípio da equivalência:
Qual o valor de g na Estação Espacial Internacional (ISS)?
g = 8.82 ms­2
Princípio da equivalência:
Qual o valor de g na Estação Espacial Internacional (ISS)?
Sensação de gravidade zero vem do fato de que a ISS, e todos os corpos que estão dentro, 
estão “caindo” livremente.
g = 8.82 ms­2
Princípio da equivalência:
Qual o valor de g na Estação Espacial Internacional (ISS)?
Sensação de gravidade zero vem do fato de que a ISS, e todos os corpos que estão dentro, 
estão “caindo” livremente.
g = 8.82 ms­2
m
G
 = m
I
equivalência entre massas
inercial e gravitacional
Princípio da equivalência:
Experimentos em um laboratório suficientemente pequeno, em queda livre, durante 
um tempo suficientemente curto, produz resultados indistinguíveis  daqueles 
produzidos pelo mesmo experimento em um referencial inercial no espaço vazio.
Princípio da equivalência:
Experimentos em um laboratório suficientemente pequeno, em queda livre, durante 
um tempo suficientemente curto, produz resultados indistinguíveis  daqueles 
produzidos pelo mesmo experimento em um referencial inercial no espaço vazio.
Princípio da equivalência:
Exemplo simples, não relativístico (v/c)2  ­> 0, e de campo gravitacional fraco (gh/c2)2 ­> 0: 
dois físicos A e B estão dentro de um foguete que acelera com a=g, separados 
verticalmente por uma distância h.
Princípio da equivalência:
Exemplo simples, não relativístico (v/c)2  ­> 0, e de campo gravitacional fraco (gh/c2)2 ­> 0: 
dois físicos A e B estão dentro de um foguete que acelera com a=g, separados 
verticalmente por uma distância h.
O físico A dispara flashes de luz a um intervalo 
de tempo 
A
. O físico B recebe estes flashes 
de luz a um intervalo de tempo 
B
. Calculando 
classicamente a diferença entre 
A
 e 
B
:
Princípio da equivalência:
Exemplo simples, não relativístico (v/c)2  ­> 0, e de campo gravitacional fraco (gh/c2)2 ­> 0: 
dois físicos A e B estão dentro de um foguete que acelera com a=g, separados 
verticalmente por uma distância h.
O físico A dispara flashes de luz a um intervalo 
de tempo 
A
. O físico B recebe estes flashes 
de luz a um intervalo de tempo 
B
. Calculando 
classicamente a diferença entre 
A
 e 
B
:
Princípio da equivalência:
Exemplo simples, não relativístico (v/c)2  ­> 0, e de campo gravitacional fraco (gh/c2)2 ­> 0: 
dois físicos A e B estão dentro de um foguete que acelera com a=g, separados 
verticalmente por uma distância h.
O físico A dispara flashes de luz a um intervalo 
de tempo 
A
. O físico B recebe estes flashes 
de luz a um intervalo de tempo 
B
. Calculando 
classicamente a diferença entre 
A
 e 
B
:
Tudo clássico, nada de Relatividade aqui...
Princípio da equivalência:
O princípio de equivalência diz que o mesmo efeito é obtido se o foguete está parado em 
um planeta de campo gravitacional g.
Princípio da equivalência:
O princípio de equivalência diz que o mesmo efeito é obtido se o foguete está parado em 
um planeta de campo gravitacional g.
Princípio da equivalência:
O princípio de equivalência diz que o mesmo efeito é obtido se o foguete está parado em 
um planeta de campo gravitacional g.
dependência com o campo gravitacional
Princípio da equivalência:
Princípio da equivalência:
Pessoas em potenciais gravitacionais mais altos 
envelhecem mais depressa!
Redshift gravitacional:
­ Luz pode ser pensada como uma série de sinais sendo 
emitidos com frequência característica. 
Redshift gravitacional:
­ Luz pode ser pensada como uma série de sinais sendo 
emitidos com frequência característica. 
­ Portanto a luz emitida por uma estrela com frequência 
*
 é 
detectada a uma distância grande da estrela com uma 
frequência 

.
Redshift gravitacional:
­ Luz pode ser pensada como uma série de sinais sendo 
emitidos com frequência característica. 
­ Portanto a luz emitida por uma estrela com frequência 
*
 é 
detectada a uma distância grande da estrela com uma 
frequência 

.
­ como E=h, a luz perde energia ao se afastar da estrela.
Redshift gravitacional:
­ ok, luz não se desacelera, mas perde energia. 
­ A equivalência entre massa e energia sugere uma 
possibilidade para corrigir a lei de gravitação:
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Elemento de linha:
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Elemento de linha:
ou matriz g

:
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Tempo próprio:
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Tempo próprio:
e para dois pontos A e B em repouso (xi=0, i=1,2,3):
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Tempo próprio:
e para dois pontos A e B em repouso (xi=0, i=1,2,3):
OK!
Massas geram distorções no espaço­tempo.
 Partículas seguem trajetórias “livres” neste 
espaço­tempo distorcido.
Voltando à cama elástica da aula anterior:
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Voltando à cama elástica da aula anterior:
­ quem pula na cama elástica “rejuvenesce” devido a sua 
trajetória acelerada no espaço­tempo.
­ mas também passa algum tempo em uma região de valor de 
campo gravitacional maior, “envelhecendo” mais rápido.
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Voltando à cama elástica da aula anterior:
­ quem pula na cama elástica “rejuvenesce” devido a sua 
trajetória acelerada no espaço­tempo.
­ mas também passa algum tempo em uma região de valor de 
campo gravitacional maior, “envelhecendo” mais rápido.
Efeitos opostos, competindo.
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Refazendo o cálculo da cama elástica:
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Teste: Hafele e Keating, 1972
­ relógios atômicos em vôos comerciais (indo à leste e a oeste), 
comparados com relógios na superfície da Terra.
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Teste: Hafele e Keating, 1972
­ relógios atômicos em vôos comerciais (indo à leste e a oeste), 
comparados com relógios na superfície da Terra.
­ viagem à leste: ­59 ns (­40 ns previstos) para 41 h de viagem.
­ viagem à oeste: 273 ns (275 ns previstos) para 49 h de viagem.
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Teste: Hafele e Keating, 1972
­ relógios atômicos em vôos comerciais (indo à leste e a oeste), 
comparados com relógios na superfície da Terra.
­ viagem à leste: ­59 ns (­40 ns previstos) para 41 h de viagem.
­ viagem à oeste: 273 ns (275 ns previstos) para 49 h de viagem.Métrica para um campo gravitacional fraco:
Precisão de uma parte em 1013 !!
Aplicando o princípio variacional (máximo ) para esta métrica:
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Aplicando o princípio variacional (máximo ) para esta métrica:
e aplicando Euler:
Métrica para um campo gravitacional fraco:
Aplicando o princípio variacional (máximo ) em uma métrica genérica:
Métrica genérica:
Aplicando o princípio variacional (máximo ) em uma métrica genérica:
obtém­se:
Métrica genérica:
Aplicando o princípio variacional (máximo ) em uma métrica genérica:
obtém­se:
onde:
Métrica genérica:
Aplicando o princípio variacional (máximo ) em uma métrica genérica:
obtém­se:
onde:
Métrica genérica:
Símbolos de Christoffel
Equação de Geodésica
e pulando uma penca de derivações...
Equações de Einstein:
onde:
e
Equações de Einstein:
Tensor de energia­momento
Distorções geométricas do 
espaço­tempo
Outras métricas e aplicações de RG:
Precessão do periélio de Mercúrio
­ métrica esfericamente simétrica:
Outras métricas e aplicações de RG:
Precessão do periélio de Mercúrio
­ métrica esfericamente simétrica:
­ mecânica clássica:
Outras métricas e aplicações de RG:
Precessão do periélio de Mercúrio
­ métrica esfericamente simétrica:
­ mecânica clássica:
­ e com correções de RG:
Outras métricas e aplicações de RG:
Precessão do periélio de Mercúrio
Potencial Newtoniano
Correções de RG
Outras métricas e aplicações de RG:
Precessão do periélio de Mercúrio
Potencial Newtoniano
Correções de RG
órbita elíptica não fecha
precessão!
Outras métricas e aplicações de RG:
Desvio da Luz
­ Com a mesma métrica
Einstein previu um desvio da luz ao passar perto do Sol de 1,7´´. 
Outras métricas e aplicações de RG:
Desvio da Luz
­ Com a mesma métrica
Einstein previu um desvio da luz ao passar perto do Sol de 1,7´´. 
­ Em 1919, um eclipse total do Sol permitiu medir este desvio.
Outras métricas e aplicações de RG:
Desvio da Luz
­ Com a mesma métrica
Einstein previu um desvio da luz ao passar perto do Sol de 1,7´´. 
­ Em 1919, um eclipse total do Sol permitiu medir este desvio.
­ Resultados experimentais: 1,98´´. Primeira verificação experimental da 
R.G.
Outras métricas e aplicações de RG:
Cosmologia
­ métrica de Friedman­Robertson­Walker:
Outras métricas e aplicações de RG:
Cosmologia
­ métrica de Friedman­Robertson­Walker:
Componentes espaciais em expansão
Outras métricas e aplicações de RG:
Cosmologia
­ métrica de Friedman­Robertson­Walker:
­ termo 00 das equações de Einstein:
Componentes espaciais em expansão
Outras métricas e aplicações de RG:
Cosmologia
­ métrica de Friedman­Robertson­Walker:
­ termo 00 das equações de Einstein:
Componentes espaciais em expansão
densidade de energia
Outras métricas e aplicações de RG:
Cosmologia
mede­se a expansão do universo conhecemos o conteúdo de 
matéria do universo
Outras métricas e aplicações de RG:
Cosmologia
mede­se a expansão do universo conhecemos o conteúdo de 
matéria do universo
A conta não fecha!
Outras métricas e aplicações de RG:
Cosmologia
mede­se a expansão do universo conhecemos o conteúdo de 
matéria do universo
A conta não fecha!
­ matéria escura, energia escura, constante cosmológica (o maior erro 
de Einstein), mudanças na Relatividade Geral...
Bibliografia:
­ David J. Griffiths, “Introduction to 
Electrodynamics”
­ James B. Hartle, “Gravity. An Introduction to 
Eistein's General Relativity”.
­ Scott Dodelson, “Modern Cosmology”
notas de aula:
http://www.ifi.unicamp.br/~holanda/seminarios.html
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