ED Cálculo e Geometria Analítica – 2º Semestre Engenharia Básico

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ED UNIP Cálculo e Geometria Analítica – 2º Semestre Engenharia Básico 
1- (CQA/UNIP – 2011) A agricultura intensiva depende muito de fertilizantes 
inorgânicos que fornecem, entre outros nutrientes, particularmente o nitrogênio, 
essenciais para o desenvolvimento das plantas. A produção de fertilizantes 
nitrogenados requer um enorme gasto de energia e estima-se consumir 
aproximadamente metade do combustível fóssil aplicado nas atividades 
agrícolas atuais. Fertilizantes inorgânicos também causam problemas 
ambientais associados com a contaminação dos recursos hídricos. 
Fonte: Biotecnologia Agrícola – 15/08/2006 (p. 12). 
Os fertilizantes agrícolas inorgânicos citados anteriormente são compostos 
fundamentalmente por nitrogênio, óxido de fósforo e óxido de potássio, cujos 
percentuais, apresentados na ordem citada, são indicados nos rótulos dos 
produtos. 
Suponha que no rótulo do fertilizante “Agricultura Atual” esteja indicado “20-10-
10” (isso significa que esse fertilizante apresenta 20% de nitrogênio, 10% de 
óxido de fósforo e 10% de óxido de potássio). Considere que no rótulo do 
fertilizante “Terra Nossa” esteja indicado “10-10-20” (isso significa que esse 
fertilizante apresenta 10% de nitrogênio, 10% de óxido de fósforo e 20% de 
óxido de potássio). Se adicionarmos 100 kg do fertilizante “Agricultura Atual” a 
300 kg do fertilizante “Terra Nossa”, supondo perfeito estado de 
homogeneização, o rótulo do fertilizante resultante apresentará a seguinte 
indicação: 
100 Kg de fertilizante Agrícola atual têm: 
20 Kg de nitrogênio 
10 Kg de fósforo 
10 Kg de potássio 
300 Kg de fertilizante Terra Nossa têm: 
30 Kg de nitrogênio 
30 Kg de fósforo 
60 Kg de Potássio 
Misturando os dois teremos: 
400 Kg de fertilizante 
50 Kg de nitrogênio 
40 Kg de fósforo 
70 Kg de potássio 
Dividindo: 
50/400 = 12,5 Nitrogênio 
40/400 = 10 Fósforo 
70/400 = 17,5 Potássio 
 
 
2- (CQA/UNIP – 2011) Considere uma barra uniforme, feita de um material 
hipotético, com 60 cm de comprimento. Imagine que, em determinado instante, 
em uma das extremidades da barra, a temperatura seja de 35 ºC e, na outra 
extremidade, a temperatura seja de 5 ºC. Suponha que a temperatura T (ºC) da 
barra varie linearmente com a posição de um ponto L (em cm), medido a partir 
da extremidade mais quente da barra, como resumido no quadro 1 
Quadro 1. Conjunto de dados apresentados na análise do problema. 
T (ºC) L (cm) 
35 0 
5 60 
O gráfico apresentado na figura 1 mostra o comportamento da temperatura em 
relação ao comprimento da barra. 
Com base no texto acima e nos dados apresentados, assinale a alternativa 
correta. 
a = ∆t / ∆L = (35-5)/(0-60) = 30/(-60) = -0,5 
T = aL + b 
T = -0,5 * 60 + b 
b = 35 
T = -0,5L+35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- (CQA/UNIP - 2011) Um objeto cai do alto de um edifício, obedecendo à lei 
h=-4,9t²+49, sendo que h representa a posição ocupada pelo objeto, em 
metros, e t, o tempo, em segundos. Os dados foram anotados, com o auxílio de 
dispositivos eletrônicos que mapeavam o movimento, por um pesquisador ateto 
à queda do objeto, conforme mostrado no quadro 1. 
QUADRO 1. Anotação dos dados da queda do objeto do alto de um edifício 
t(s) h(m) 
0 49 
1 44,1 
2 29,4 
3 4,9 
A figura 1 mostra o gráfico obtido por meio do quadro 1 
Com base nos dados acima, assinale a alternativa verdadeira: 
O objeto gasta aproximadamente 3,2 s para atingir o solo. 
h= -4,9*10²+49 
h= -4,9*100+49 
h= -441m 
0= -4.9*t²+49 
t² = 49 / 4,9 
t= RAIZ(10) 
t= 3,2s 
h = -4,9t² + 49 
h’ = 2*(-4,9)t ²-¹ 
h’ = 9,8t 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- 
∆= -24²-4*1*143 
∆= 576-572 
∆= 4 
-(-24) ± RAIZ(4)/2*1 
X1= 24 + 2 / 2 
X1= 13 
X2= 24 – 2 / 2 
X2= 11 
Xv= -(-24)/2*1 = 24 / 2 = 12 
Yv= -4 / 4*1 = -1 
 
5- Se A= (-2,3) e B= (1,4), então AB = (3,-7) 
1-(-2) , -4-3 = (3,-7) 
 
6- Alternativa B 
=6 * 9 * cos150 
= -46,77 
=-27*RAIZ(3) 
 
7- Alternativa B 
I - u+v = (2i-i,3j+2j-k+0k)i,5j,-1 
II - u*v = 2i-i+3j*2j-k0 
=2;6;0; 
III - Matematicamente já provado acima 
 
8- ALTERNATIVA C 
(3i+2j-k)*(4i+2j+k) 
=-20+4j+k 
=-20+4-1 
 
 
9- ALTERNATIVA A 
V(3)= 15*3²-750*3+9000 
V(3)= 6885 l 
 
10- ALTERNATIVA E 
V(t) = 15t² - 750t + 9000 
V(t)’ = 30t – 750 
V(3) = 30*3 – 750 
V(3) = -660L/h 
 
11- ALTERNATIVA D 
V(t)' = -9t+18 
= -9t+18 
9t = 18 
t = 18/9 
t = 2s 
V(2)= -4,5*2²+18*2 
V(2)= 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12- ALTERNATIVA A 
I) -> u = (-3 , 4 , 0) -> |u|=5? 
-> ___________________ _______ __ | u | = √ (-3)^2 + 4^2 + 0^2 = √ 9 + 16 = 
√25 = 5 
II) ( -0,6 , 0,8 , 0 ) -> // u = (-3 , 4 , 0) Mesmo Sentindo? Comprimento = 1? 1º 
para saber se é paralelo é so dividir - 0,6 ------ = 0,2 -3 0,8 ----- = 0,2 4 
Deu 0,2 nos dois, Isso significa que são paralelas. 
2º tem as mesmas sinalizações - 0,6 contra -3 = mesmo sinal = mesmo sentido 
+ 0,8 contra + 4 = mesmo sinal = mesmo sentido 
Os dois primeiros são negativos os seguintes são positivos, neste caso tem os 
mesmos sinais então estão no mesmo sentido. 3º O comprimento do Vetor é 
1? ________________________ ___________ √(-0,6)^2 + (0,8)^2 + 0^2 = 
√0,36 + 0,64 = √1 Então o comprimento é 1__ = 1 
III) -> ( 9, -12 , 0 ) // u = (-3 , 4 , 0) 
1º São paralelos? 
9 ---- = -3 -3 -12 ----- = -3 4 
Os dois deram -3 então são paralelos 
2º tem sentido oposto? 
+9 contra -3 = sinais opostos = oposto -12 contra +4 = sinais opostos = oposto 
Sim tem, pois os sinais são contrários. 
3º Modulo 15? ____________________ √ 9^2 + (-12)^2 + 0^2 = _________ 
____ √ 81 + 144 = √ 225 = 15 
Sim modulo 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13- ALTERNATIVA A 
αeβ= W = αu + βV (-17 , 12) 
= α (-2 , 0) + β (3 ,- 4) (-17 , 12) 
= (-2α , 0) + (3β ,- 4β) (-17 , 12) 
= (-2α +3β ; -4β) -17 
= -2α +3β 12 
= -4β 
Descobrir β: 12 β = ---- = - 3 -4 
Agora conhecendo o valor de β = -3 da para descobrir 
α: -17 
= -2α +3β -17 
= -2α +3 . (-3) -17 
= -2α -9 2α 
= +17 -9 2α 
= 8 
8 α = ------ = 4 2 
β=3 
α=4 
 
14- ALTERNATIVA A 
1º Cancelar o PL com HI por que são opostos no mesmo sentido; 
2º Adicionar o OD e cancelar o DE; 
3º Adicionar DP Resultado AP; 
 
15- ALTERNATIVA E 
AQ = ? 
AQ = AE + EG + GQ 
AQ 
 
 
 
 
 = AE + AC + 2 GH ---3 
 
16- ALTERNATIVA D 
I) 2u -4v 
=2*(1 –2) –4*(-4 0) 
=(2-4)-(16-0) 
=(18 -4) VERDADEIRA 
II) | u + V | = (-3 , -2) 
| u + V | = √ (-3)^2 + (-2)^2 
√9+4 
√13 
VERDADEIRA 
III) u e V são paralelos? 
-4 ---- = -4 1 
0 ---- = 0 -2 Não são por que tem 0 e 0 é diferente de -4 
FALSA 
 
17- ALTERNATIVA 
u = (x +12 , 3) e v = (6 , 9) x=? u / / v 
= x + 12 -------6 3 -----9 
=x + 12 -------6 
= 3/3 -----9/3 
= x + 12 -------6 
= 1 -----3 
= x + 12 -------6/3 
= 1 -----3/3 
= x + 12 -------2 
= 1 -----1 
= x + 12 -------2 
= x + 12 = 2 x = 2 -12 x = -10 
 
 
18 – ALTERNATIVA D 
 
19- ALTERNATIVA B 
AB = (x2,y2) – (x1,y1) 
AB = (0,-4) – (-1,3) 
AB = (1,-7) 2 
u= (-4,28) 1 / -4 
u= 0,25 -7 / 28 
u= -0,25 
Os dois deram -0,25 sendo assim são paralelos. 
 
20- ALTERNATIVA B 
AB = (x2,y2) – (x1,y1) 
AB = (-2,1) – (-1,0) 
AB = (-1,1) 2 
Os sinais estão iguais, por isso estão no mesmo sentido. 
 
21- ALTERNATIVA C 
V(t)=6t3+1,5t 
V(2)= 6*(2^3)+1,5*2 
V(2)= 6*8 + 3 
V(2)= 48 + 3 
V(2)= 51 Litros 
 
22- ALTERNATIVA B 
V(t)=6t3+1,5t 
V’(t)= 6*3*T^2+1,5*1 
V’(t)= 18t²+1,5 
V(2)= 18*(2²)+1,5 
V(2)= 18*4+1,5 
V(2)= 73,5 L/min 
 
23- Qual a derivada da função y=(x+16).senx ? 
ALTERNATIVA B 
(u. v)'= u'.v+ u.v' 
y'=(1+0)*senx + (x+16)*cosx 
y'=1*senx + (x+16)*cosx 
y'= senx + (x+16)*cosx 
 
24- Qual a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 – 8 no ponto de 
abscissa igual a –2? 
ALTERNATIVA A 
 
25- Se f(x)=ex.sen(2x), então podemos dizer que: 
ALTERNATIVA A 
 
26- ALTERNATIVA E 
 
27- ALTERNATIVA C 
2u= 2*(2, -4) 5u= 5*(5, -10) 
2u= (4, -8) 5u= (25, -50) 
uv= x1.x2 + y1.y2 
uv= 4*5 + (-8)*(-10) 
uv= 20 + 80 
uv = 100 
 
28- ALTERNATIVA A 
 
29- ALTERNATIVA E 
 
30- ALTERNATIVA B 
 
 
 
31- ALTERNATIVA A 
uv= x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 
uv= 1*2 + (-2)*1 + (-1)*0 
uv= 2 + (-2) + 0 
uv= 2 -2 
uv = 0 
 
32- ALTERNATIVA C 
u.v = 0 |u| = 3 |v|=4 (u + v) . (u +2v) u . u + 2 . u . v + u . v + 2 . v .v substitui 
assim : u . u = |u|^2 e v.v = |v| ^2 e tudo que tiver: u .v =0 voltando: u . u + 2 . u 
. v + u . v + 2 . v .v |u|^2 + 2 . 0 + 0 + 2 . |v|^2 3^2 + 0 + 0 + 2 . |4|^2 9 + 2 . 16 9 
+ 32 41 
 
33- ALTERNATIVA B 
uv=0 
uv= x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 
0= 1*2 + 1*x + 8*(-4) 
0= 2 + x + (-32) 
0= 2 +x -32 
x -32 32 = x 
 
35- ALTERNATIVA D 
I) f(x)= e^cosx 
f’(x)=-sem*e^cosx 
CORRETA 
II) f(x) = ln(x^2 + 4) 
f’(x) = 2x + 0 
x^2 + 4 = f’(x) = 2x ------------x^2 + 4 
CORRETA 
III) A derivada de f(x) =V 3x + 6 \ _________ f(x) =V 3x + 6 \ = f(x) = (3x + 6)^-
1/2 é: f’(x) = 1 ----- . (3x + 6)^-1/2 . (3.1 + 0) 2 f’(x) = 1 ---- . (3x + 6)^-1/2 . 3 2 
f’(x) = 3 = ------------------2 (3x + 6)^-1/2 3 ------------------__________ 2V 3x + 6 \ 
CORRETA 
 
36- ALTERNATIVA C 
I. f(x) = sem (2x + 4) 
f'(x) = (2 . 1 + 0) cons (2x+4) 
f'(x) = 2 cons (2x+4) 
Resposta: I esta errada 
II. f(x) = cos (3x + 6) 
f'(x) = -(3 . 1 + 0) . sen (3x + 6) 
f’(x) = -3 sen (3x +6) 
Resposta: II esta certa 
III. f(x) = (x^2 + 4x)^3 
f'(x) = 3 (x^2 + 4x)^2 . (2x + 4 . 1) 
f'(x) = 3 (x^2 + 4x)^2 . (2x + 4) 
f'(x) = (x^2 + 4x)^2 . 3(2x + 4) 
f'(x) = (x^2 + 4x)^2 . (6x + 12) 
Resposta: III esta certa 
 
37- ALTERNATIVA D 
f(x) = x^3 + 4 
f’(x) = 3x^2 + 0 
f’(x) = 3x^2 
f(x) = x^4 + 2 
f’(x) = 4x^3 + 0 
f’(x) = 4x^3 
f(x) = x^5 – 2 
f’(x) = 5x^4 + 0 
f’(x) = 5x^4 
 
 
 
 
 
 
38- Suponha que a equação da velocidade v (em cm/s) de um ponto material 
em função do tempo t (em segundos) seja v(t)= 14t-6t2. Sabendo que, no 
instante 1 s, o ponto material encontra-se na posição 16 cm, qual a equação do 
espaço (em centímetros) em função do tempo? 
ALTERNATIVA B 
v(t)= 14t-6t2 
S(t) =(14 . t^2)/2 (-6.t^3)/3 + S(0) 
S(t) =7 . t^2 -2.t^3 + S(0) 
Sabe-se que em t=1 s=16, com isso podemos encontrar S(0): 
S(t) =7 . t^2 -2.t^3 + S(0) 
16(1) =7 . 1^2 -2.1^3 + S(0) 
16(1) =7 . 1 -2.1 + S(0) 
16(1) =7 -2 + S(0) 
16(1) =5 + S(0) 
 
39- ALTERNATIVA A 
 
40- ALTERNATIVA C