lista3 calculo1 2016

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089109 - Ca´lculo 1 - Turma C
Terceira lista de exerc´ıcios
Prof. Rafael F. Barostichi 6 de marc¸o de 2016
1. Prove o teorema da conservac¸a˜o do sinal visto em aula.
2. Seja f uma func¸a˜o definida em R e suponha que exista M > 0 tal que |f(x)− f(p)| 6 M |x− p|
para todo x. Prove que f e´ cont´ınua em p.
3. Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no ponto 3 com f(3) = 10. Mostre que existe δ > 0 tal que para
todo x ∈ Df ,
3− δ < x < 3 + δ ⇒ f(x) > 9.
4. (a) Mostre que existe um nu´mero real x0 tal que x
5
0 − 4x0 + 1 = 7, 21.
(b) Se f(x) = x3 − 5x2 + 7x− 9, mostre que existe x0 ∈ R tal que f(x0) = 100.
(c) Mostre que a equac¸a˜o x5 − 3x4 − 2x3 − x + 1 = 0 tem, pelo menos, uma raiz no intervalo
[0, 1].
5. Seja f : R → R uma func¸a˜o cont´ınua. Se lim
x→−∞ f(x) = −∞ (resp. +∞) e limx→+∞ f(x) = +∞
(resp. −∞), mostre que f possui pelo menos uma raiz real.
6. Mostre que a equac¸a˜o x3 − 1
x4 + 1
= 0 admite pelo menos uma raiz real.
7. Seja f definida em R. Suponha que lim
x→0
f(x)
x
= 1. Calcule:
(a) lim
x→0
f(3x)
x
(b) lim
x→0
f(x2)
x
(c) lim
x→1
f(x2 − 1)
x− 1 (d) limx→0
f(7x)
3x
8. Calcule:
(a) lim
x→0
tan(3x)
x
(b) lim
x→0
7x
6 sinx
(c) lim
x→
pi
2
cosx
x− pi
2
(d) lim
x→
pi
4
cosx− sinx
tanx− 1
(e) lim
x→2
tan(pix)
x− 2 (f ) limx→0
1− cosx
x2
(g) lim
x→p
tan(x− p)
x2 − p2 , p 6= 0 (h) limx→0
sin
(
x2 +
1
x
)
− sin
(
1
x
)
x
(i) lim
x→p
sinx− sin p
x− p (j) limx→p
tanx− tan p
x− p .
9. Calcule:
(a) lim
x→+∞[2
x − 3x] (b) lim
x→−∞[2
x + 2−x]
(c) lim
x→+∞ ln
x
x+ 1
(d) lim
x→+∞[ln(2x+ 1)− ln(x+ 3)]
(e) lim
x→+∞[x ln 2− ln(3
x + 1)] (f) lim
x→1
ln
x2 − 1
x− 1 .
1
10. Calcule:
(a) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
(b) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
(c) lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x
(d) lim
x→+∞
(
x+ 2
x+ 1
)x
(e) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x (f) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2x
(g) lim
x→0
e2x − 1
x
(h) lim
x→0
ex
2 − 1
x
(i) lim
x→0
ax − 1
x
, a > 0, a 6= 1. (j) lim
x→0+
3x − 1
x2
.
2