FÍSICA GERAL I

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FÍSICA GERAL I 
Prof. Dr. Romel Menezes Araujo
VETORES
São definidos como expressões matemáticas que tem intensidade, direção e sentido. São representadas por setas nas figuras. De forma manuscritas, um vetor pode ser expresso pelo desenho de uma pequena seta acima da letra usada para representá-lo ou sublinhando-se .
1.2. Conceito de direção orientada
Os eixos x e y de um sistema de coordenadas são linhas orientadas nas quais os sentidos positivos são indicados com na forma apresentada na figura. Uma linha ou eixo orientado define uma direção orientada. Linhas paralelas orientadas num mesmo sentido definem uma única direção orientada, num mesmo sentido, enquanto que linhas paralelas orientadas em sentidos opostos definem duas direções orientadas em sentidos opostos 
Uma direção orientada pertencente a um plano poderá ficar perfeitamente determinada por um único ângulo se for bidimensional e por dois ângulos se for tridimensional.
1.3. Escalares e Vetores
Escalares Grandezas físicas que ficam completamente determinadas por um único valor numérico, referido a uma unidade conveniente. Ex: volume(m3), massa(Kg), etc.
Vetores Grandezas físicas que além do seu valor numérico, necessitam do conhecimento de uma direção orientada. Ex: velocidade(m/s), aceleração(m/s2), etc.
1.4 Vetor Unitário
Vetor unitário é o vetor cujo módulo é a unidade. Qualquer vetor V, paralelo ao vetor unitário u, poderá ser escrito na forma
Um vetor precedido de sinal menos , representa um vetor que tem mesmo módulo, a mesma direção e sentido oposto
Quando dois vetores V e V’ são paralelos, podemos escrever as relações 
e
Então, sendo =V/V’ podemos, ainda escrever
SOMA DE VETORES
Como
Determinando o módulo da soma de dois vetores
Para determinar a direção de , basta encontrar o valor do ângulo 
De maneira análoga
Combinando os dois últimos resultados obtemos a relação simétrica.
.
No caso especial em que V1 e V2 são perpendiculares (=π/2), temos que: 
A diferença entre dois vetores é obtida somando-se o primeiro com o oposto do segundo. 
EXEMPLO 1. Dados dois vetores: A, com 6 unidades de
 comprimento e que faz um ângulo de +360 com o eixo x positivo; B, com 7 unidades de comprimento e de mesma direção e sentido que o eixo negativo. Determine: (a) a soma de dois vetores; (b) a diferença entre eles. 
Componentes de um vetor
Vetores Tridimensionais
Pode-se observar diretamente que: 
Definindo-se três vetores unitários paralelos a X,Y e Z, temos:
Se chamarmos de α e β os ângulos que o vetor V faz com os eixos X e Y, da mesma forma que θ faz com Z, teremos:
Usando estas duas últimas relações, juntamente com Vz=Vcosθ e substituindo em
Obteremos a relação:
onde as quantidades cosα, cosβ e cos são chamados cossenos diretores do vetor 
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Caso particular de um vetor tridimensional
(vetor posição r de um ponto P de coordenadas x, y z)
Vetor posição relativo de dois pontos P1 e P2
Elevando ao quadrado cada termo da expressão obtém-se a expressão da geometria analítica para a distância entre dois pontos
EXEMPLO 2. Determinar as componentes de um vetor cujo o módulo é 13 unidades de comprimento e cujo o ângulo θ com o eixo Z é de 22,60 sendo que a projeção desse vetor no plano XY faz um ângulo Ф, com o eixo +X, de 37º . Calcule também os ângulos com os eixos X e Y.
Portanto:
Soma de vários vetores
Onde αi é o ângulo que Vi faz com o eixo x positivo e Vicos αi e Visen αi são as componentes de Vi segundo os eixos X e Y, respectivamente
EXEMPLO 3. Determine o módulo da resultante e a direção dos cinco vetores seguintes: