Erros e tratamentos estatísticos - Cibele/UENF

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19/09/2016 15:31:20 1 
•Expressão do valor de uma dada grandeza determinada 
experimentalmente; 
 
 
•O número de algarismos significativos expressa a precisão de uma 
medida; 
 
 
•Eles irão representar um resultado experimental de modo que 
apenas o último algarismo seja o algarismo duvidoso. 
 
 
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Com quantos algarismos significativos deve ser expressa a massa 
acima nas duas balanças? 
11,1213 g 
±0,1 g ±0,0001 g 
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•O número de algarismos significativos não depende do número de casas 
decimais; 
 
•Pode-se expressar, por exemplo, a massa de 15,1321 g em unidade de 
miligramas. O que nos dá o valor de 15132,1 mg. 
 
•Note que a massa expressa em g tem 4 casas decimais e o valor em mg 
1 casa decimal. Porém os dois valores tem 6 algarismos significativos. 
 
•Quantos algarismos significativos tem os números 1516, 151,6, 15,16 
1,516 e 0,1516 ? 
 
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•Os zeros são significativos quando fazem parte do número e não são 
significativos quando são usados somente para indicar a ordem de 
grandeza. 
 
• ZEROS À ESQUERDA DE OUTROS DÍGITOS NÃO SÃO 
SIGNIFICATIVOS, POIS INDICAM APENAS A CASA DECIMAL. 
 
•Exemplo: Expressar o valor de 11 mg em g. Então, termos 0,011 g 
(que continua tendo dois algarismos significativos!) 
 
•Exemplo 2: os números 0,1516, 0,01516, 0,001516 e 0,0001516 tem, 
todos 4 algarismos significativos, independente do número de zeros que 
existam à esquerda. 
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•ZEROS COLOCADOS À DIREITA DE OUTROS DÍGITOS SOMENTE 
SERÃO SIGNIFICATIVOS SE FOREM RESULTADO DE UMA MEDIDA. 
 
•NÃO SÃO SIGNIFICATIVOS SE APENAS INDICAM A ORDEM DE 
GRANDEZA DE UM NÚMERO. 
•Exemplo: Se a massa de um corpo, por exemplo, dois gramas é medido 
numa balança que fornece a precisão de ±0,1 g, deve-se representá-la por 
2,0 g. 
•Neste caso o ZERO É SIGNIFICATIVO, pois é resultado de uma medida. 
OBS: Se for necessário expressar esta massa em mg ou em µg, teríamos: 
•2.000 mg e 2.000.000 µg. Nos dois casos apenas o primeiro zero, é o 
significativo. 
•Em notação exponencial é mais fácil de se visualizar: 
•2,0 x 10-3 mg e 2,0 x 10-6 µg 
 
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Adição e subtração 
 
•QUANDO DUAS OU MAIS QUANTIDADES SÃO 
ADICIONADAS E/OU SUBTRAÍDAS, A SOMA OU 
DIFERENÇA DEVERÁ CONTER TANTAS CASAS 
DECIMAIS QUANTAS EXISTIREM NO COMPONENTE 
COM O MENOR NÚMERO DELAS. 
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• Um corpo pesou 2,2 g numa balança cuja sensibilidade é de ± 0,1 g 
e outro o,1145 ao ser pesado em uma balança analítica. Calcular a 
massa total dos dois corpos? Como deve ser expressado o resultado 
dessa soma? 
 
•Um pedaço de polietileno pesou 6,8 g numa balança cuja incerteza 
é de ± 0,1 g. Um pedaço deste corpo foi retirado e pesado em uma 
balança analítica cuja massa medida foi de 2,6367 g. Calcular a 
massa do pedaço de polietileno restante. 
 
•Qual o resultado da soma 1.000,0 + 10,5 + 1,66? Como deve ser 
expresso o resultado? 
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Multiplicação e divisão 
 
 
•O RESULTADO DEVE CONTER TANTOS 
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS QUANTOS 
ESTIVEREM EXPRESSOS NO COMPONENTE 
COM MENOR NÚMERO DE SIGNIFICATIVOS 
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•Calcular a quantidade de substância existente nos seguintes volumes de 
solução de HCl 0,1000 mol L-1. 
•A) 25,00 mL b) 25,0 mL c) 25 mL 
 
 
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Quantos algarismos significativos existem nas respostas dos 
seguintes cálculos? 
 
a) 0,0325 + 0,0812 + 0,0631 = 
 
b) 37, 596 – 36, 802 = 
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• Erro absoluto: definido como a diferença entre o valor medido e o valor 
verdadeiro de uma dada grandeza: 
 
•E = X – Xv 
•Onde E = erro absoluto; X = Valor medido e Xv = valor verdadeiro. 
 
•O erro de uma análise é geralmente expresso em termos relativos e, é 
calculado através da relação: 
•Er = E / Xv 
•Onde Er = erro relativo; E = erro absoluto e Xv = valor verdadeiro. 
Comumente expresso em %. 
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•O teor de verdadeiro de cloro num dado material é 33,30% m/v, mas o 
resultado encontrado por um analista foi de 32,90 % m/v. Calcular o 
erro absoluto e o erro relativo do resultado. 
•Erro absoluto: 32,90 – 33,30 = -0,40% m/v 
•Erro relativo = (0,40 / 33,30) x 100 = - 1,2 % m/v 
 
•O valor verdadeiro da concentração de uma solução é de 0,1005 mol 
L-1 e o valor encontrado é 0,1010 mol L-1. Calcular o erro absoluto e o 
erro relativo do resultado. 
•Erro absoluto: 0,1010 -0,1005 = + 0,0005 mol L-1 
•Erra relativo: (0,0005/0,1010) x 100 = 0,49 % (0,5 %) 
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• Erros determinados ou sistemáticos: possuem um valor definido e, pelo 
menos em princípio, podem ser medidos e computados no resultado final. 
São inúmeros e agregados em quatro grupos mais importantes: 
 
•Erros de método: erros inerentes ao próprio método. São os mais sérios 
dos erros determinados, pois são os mais difíceis de serem detectados; 
 
•Erros operacionais: Erros relacionados com as manipulações feitas 
durante a realização das análises. Dependem exclusivamente da 
capacidade técnica do analista. Ex: contaminação de precipitados. 
 
•Erros pessoais: provém da inaptidão de algumas pessoas em fazerem 
certas observações, corretamente. Ex: mudança de coloração de 
indicadores. 
 
•Erros devidos a instrumentos e reagentes: relacionados com as 
imperfeições dos instrumentos, aparelhos volumétricos e reagentes. 
 
 
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•Erros indeterminados: São aqueles que causam uma distribuição 
aleatória dos dados em torno de um ponto médio. Também 
chamados de erros aleatórios. 
 
•São associados ao efeito líquido de flutuações pequenas e 
imprevisíveis que podem ou não ser prontamente identificadas ou 
eliminadas. 
 
•Esses erros levam a uma baixa precisão. 
 
 
 
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•Exatidão: está relacionada com o seu erro absoluto, isto é, com a 
proximidade do valor medido em relação ao valor verdadeiro da 
grandeza; 
 
•Precisão: está relacionada com a concordância das medidas entre 
si, ou seja, quanto maior a dispersão dos valores, menor a precisão e 
vice versa. 
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• Repetitividade: Grau de concordância entre os resultados de medições 
sucessivas de uma mesmo mensurando efetuadas sob as mesmas condições de 
medição (mesmo procedimento de medição, mesmo observador, mesmo 
instrumento de medição utilizado nas mesmas condições, mesmo local, repetição 
das medidas em curto período de tempo); 
 
•Precisão intermediária: refere-se à precisão avaliada sobre a mesma amostra, 
amostras idênticas ou padrões, utilizando o mesmo método, no mesmo laboratório, 
mas definindo exatamente quais as condições a variar (diferentes analistas, 
diferentes equipamentos, diferentes períodos de tempo); 
 
•Reprodutibilidade: Grau de concordância entre os resultados de medições 
sucessivas de uma mesmo mensurando efetuadas sob condições variadas de 
medição. A definição das alterações das condições de medição devem ser 
especificadas (princípio, método e instrumento de medição, observador, padrão de 
referência, condição de utilização, local e tempo) 
 
 
 
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• O valor real ou exato da maioria das grandezas físicas nem sempre 
é conhecido! 
Em uma série de medidas de uma grandeza, utilizando um mesmo 
instrumento: 
- ocorrem erros experimentais inerentes a qualquer processo de medida 
- A teoria demonstra que o valor que mais se aproxima do valor real da 
grandeza é a média aritmética dos valores ( Xm), denominado valor 
médio. 
 
Se X1, X2, X3........XN forem valores encontrados para uma série finita de N 
medidas de uma mesma grandeza, temos: 
 
 
19/09/2016 15:31:20 19 




Ni
i
im XX N1
1
n Ln (cm) DLn = (Ln - ) 
(cm) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
5,7 
5,8 
5,5 
5,6 
5,5 
5,7 
5,8 
5,7 
5,9 
5,8 
0,0 
+ 0,1 
- 0,2 
- 0,1 
- 0,2 
0,0 
+ 0,1 
0,0 
+ 0,2 
+ 0,1 
N = 
10 
SLn = 57 
cm 
Sn çDLnç = 1,0 
cm 
L
Calculando-se a média aritmética das 
medidas efetuadas tem-se 
 
 
5,7 cm = valor mais provável para o 
comprimento da barra. 
 
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•DESVIO (di) é o módulo da diferença entre um valor obtido ao se medir uma 
grandeza e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. 
Na prática se trabalha na maioria das vezes com desvios e não erros. 
 
 
 
 
DESVIO MÉDIO (dm) é o módulo da soma de todos os desvios de cada 
medida dividida pelo número total d emedidas 
|| XXd mii 
 
N
XX
d
mi
m
|| 

19/09/2016 15:31:20 21 
n Ln (cm) DLn = (Ln - ) 
(cm) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
5,7 
5,8 
5,5 
5,6 
5,5 
5,7 
5,8 
5,7 
5,9 
5,8 
0,0 
+ 0,1 
- 0,2 
- 0,1 
- 0,2 
0,0 
+ 0,1 
0,0 
+ 0,2 
+ 0,1 
N = 
10 
SLn = 57 
cm 
Sn çDLnç = 1,0 
cm 
L


L
L


 
N
= 
(0,0+0,1+0,2+0,1+0,2+0,0+0,1+0,0+0,2+0,1)
10
cm=
1,0
10
cm=0,1 cm
n
L=(LLou sejaL cm ) (, ,)5701
Esse desvio significa que o erro que se comete ao adotar o valor médio (= 5,7 cm) é de 0,1 cm. 
 
O valor real deve estar entre 5,6 e 5,8 cm. 
Dessa maneira, o comprimento da barra pode ser expresso como: 
 
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•O desvio relativo é igual ao quociente entre o desvio médio e o valor 
médio e é, frequentemente expresso em termos percentuais. 
 
a) Caso uma medida única: 
Exemplo: L = (5,70 ± 0,25) cm 
Desvio Relativo = 0,25/5,70 = 0,043859...........= 4,38% 
 
b) Caso uma série de medidas: 
Exemplo: Lmédio = (5,7 ± 0,1) cm 
Desvio Relativo = 0,1/5,7 = 0,01754...........= 1,74% 
 
 
medido valor
avaliado desvio
 =relativo Desvio
médio valor
médio desvio
 =relativo Desvio
Obviamente: Desvio Percentual = Desvio relativo x 100 
- Fornecem informações a mais sobre a qualidade do processo de medida 
- Permite comparar duas medidas e estabelecer a melhor entre elas 
 
QUANTO MENOR O DESVIO RELATIVO MAIOR A PRECISÃO DA MEDIDA 
 
O valor médio é mais preciso e exato quanto maior for o número N de medidas (........?) 
 
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De maneira geral, para se considerar o número de 
algarismos significativos do valor médio, é conveniente, 
em primeiro lugar, considerar o desvio médio com apenas 
um algarismo significativo; este irá então precisar com 
quantos algarismos significativos deverá ser escrito o 
valor médio da grandeza. 
 
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Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a 
tabela. Com esse conjunto de medidas, obtém-se o valor médio e o desvio 
médio. 
n Dn (mm) DDn (10
-2 mm) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
12,2 
12,3 
12,1 
12,2 
12,2 
12,1 
12,4 
12,2 
- 1,25 
+ 8,75 
- 11,25 
- 1,25 
- 1,25 
- 11,25 
+ 
18,75 
- 1,25 
N= 
8 
SDn = 
97,7mm 
SçDDn ê= 
(55,00´10-2 )mm 
Valor Médio: 
D= 
D
N
= =12,2125 mm
n977
8
,
Desvio Médio: 


D 
D
N
= 
55,00 x 10
8
mm= 0,06875 mm0,07mmn
-2
 

D = (12,2125 ± 0,06875) 
D = (12,21 ± 0,07) mm 
19/09/2016 15:31:20 25 
•Mesmo na ausência de erros determinados, se uma pessoa faz uma 
mesma análise, haverá pequenas variações nos resultados. Isto é 
conseqüência dos chamados erros indeterminados. 
 
• Ao submetermos estes erros a um tratamento estatístico podemos 
obter o valor mais provável e também a precisão de uma série de 
medidas. 
 
•Admite-se que os erros indeterminados seguem a Lei da Distribuição 
Normal (Distribuição de Gauss) 
 
19/09/2016 15:31:20 26 
onde Y = probabilidade de ocorrência de um dado valor Xi da variável X 
m = média da população e s = desvio padrão 
(Xi – m) é o desvio de Xi em relação a média 
 
 












 2
2
2
1
exp
2
1 XiY
Probabilidade de ocorrência de um dado resultado é igual à relação entre o 
 número de casos em que o resultado ocorre e o número total de resultados observados. 
Ex. se em 20 determinações um dado resultado Xi ocorre 4 vezes então a 
probabilidade de ocorrência é: 4/20 = 0,20 = 20% 
19/09/2016 15:31:20 27 
1 – a media da população m divide a curva de Gauss em duas metades 
simétricas 
2 – O valor mais provável é a média aritmética de todos os valores 
3 – Desvio positivos e negativos são igualmente prováveis 
4 – Desvios pequenos são mais prováveis que desvios grandes 
5 – Na ausência de erro determinado e para um número infinito de 
medidas a média da população m coincide com o valor verdadeiro Xv. 
6 – Na presença de um erro determinado a forma da curva normal é a 
mesma, mas se apresenta deslocada, de modo que a média da 
população não coincide com o valor verdadeiro 
 
Curva normal padrão
19/09/2016 15:31:20 28 
É determinada por dois parâmetros: 
 
• Média ( µ) e Desvio-padrão (σ) 
 
•Média: distribuição dos valores em torno dela será simétrica; 
 
•Desvio-padrão: indica a extensão da dispersão dos valores em torno da 
média. 
19/09/2016 15:31:20 29 
• Todas as normais podem ser padronizadas : 
•O desvio-padrão é utilizado como unidade de medida dos afastamentos 
em relação à média. 
 
• z = (x - µ) / σ 
 
•Esta nova variável z possui média zero e desvio-padrão igual a 1 
19/09/2016 15:31:20 30 
19/09/2016 15:31:20 31 
• Quanto maior a dispersão das medidas menor a precisão dos 
resultados. 
 
•A precisão pode ser expressa de várias maneiras. Aqui vamos discutir 
o desvio médio e o desvio-padrão. 
 
19/09/2016 15:31:20 32 
• Em um trabalho analítico, somente um pequeno número de 
determinações é feito (duplicata, triplicata etc), tornando-se 
necessário examinar estes dados para uma interpretação lógica. 
 
•Os valores conhecidos são média e desvio-padrão. 
 
•É interessante saber em qual o intervalo em que deve estar a média 
da população. Quando σ é conhecido, esse intervalo é dado pela 
equação: 
 
19/09/2016 15:31:20 33 
• Willian S. Gosset (1876 – 1937) 
 
•Com a sua estatística t revolucionou o estudo de pequenas amostras; 
 
•t é a medida do desvio, usando o erro padrão como unidade de 
medida 
•T = (m-µ) Sm , 
 
•onde (m-µ) = medida do desvio e Sm = erro da medida 
 
•Quando N tende ao infinito, os valores de t coincidem com os de z. 
19/09/2016 15:31:20 34 
• É usado para identificar a existência de uma diferença significativa na 
precisão entre um conjunto de dados e outro conjunto de dados obtidos 
por um procedimento de referência; 
•Esta avaliação é feita usando-se o teste F; 
 
• O valor de F é calculado pela expressão: F = s2x/s
2
y 
 
•Quando o valor experimental de F excede o valor crítico tabelado, então 
a diferença em variância ou precisão é tomada como estatisticamente 
significante. 
19/09/2016 15:31:20 35 
• A questão aqui é saber se um resultado pode ser ou não excluído 
da avaliação total dos dados. 
•Essa rejeição obedece algumas regras: 
1. Colocar todos os valoresem ordem crescente; 
2. Determinar a diferença existente entre o maior e o menor valor 
da série de dados (faixa de variação); 
3. Determinar a diferença entre o menor valor da série e o 
resultado mais próximo; 
4. Dividir esta diferença, em módulo, pela faixa de variação, 
obtendo um valor Q; 
5. Se Q> Q tabelado, o menor valor é rejeitado; 
 
19/09/2016 15:31:20 36 
6. Se o menor valor é rejeitado, determinar a faixa para os valores 
restantes e testar o maior valor da série; 
7. Repetir o processo até que o menor e o maior valor sejam aceitos 
19/09/2016 15:31:20 37