MOD. III Digital Signal Processing RICARDO

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Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos-P3
Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
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1Processamento de Sinais Digitais_r17
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Collum, 
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(DS). Tech review edits made by CRT.
CLS CLS 4 Minor formatting edits
CLS CLS 5 Formatting edits
LGP CLS 6/6/02 6 LGP edits
LGP CLS 8/14/02 7 Objectives added
CLS 10/14/02 8 Correction type page 55
CLS 10/22/02 9 Correction slide 20
LGP CLS 12/02/02 10 Corrections from markup notebook PROT 403 Alaska
EB CLS 2-12-03 11 Convert to white, on-screen show format
LGP CLS 2-25-03 13 Fix animations, etc.
CLS 5-21-03 14 Corrections from PROT 407 St. Louis, colors improved
CLS 8-18-03 15 Title slide fixed
CLS 1-2-04 16 2004 template
LGP 1-4-2004 17 General Improvements
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2Processamento de Sinais Digitais_r17
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Nós usamos sinais para efetuar comunicações entre os seres humanos, ou entre seres 
3Processamento de Sinais Digitais_r17
Nós usamos sinais para efetuar comunicações entre os seres humanos, ou entre seres 
humanos e máquinas. Usamos sinais para examinar nosso meio ambiente, e para 
controlar e usar energia e informações. O processamento de sinais refere-se à 
representação, transformação e manipulação dos sinais, e às informações que eles 
contêm. O processamento de sinais digitais usa os algoritmos numéricos para este fim. 
Existem diversos campos de aplicação do processamento de sinais digitais no mundo 
atual, principalmente relacionados às aplicações on-line dos computadores digitais.
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Este slide mostra como as tensões se comportam em uma subestação durante uma falta 
5Processamento de Sinais Digitais_r17
Este slide mostra como as tensões se comportam em uma subestação durante uma falta 
fase-terra. Observando esta figura, é possível concluir que a falta foi uma falta fase-
terra. A análise detalhada dos transitórios da falta está fora do escopo desta seção do 
curso, porém o gráfico é mostrado para dar uma idéia da evolução instantânea das 
grandezas de fase durante a falta.
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Este gráfico mostra a corrente de falta.
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Este gráfico mostra a corrente de falta.
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Um sinal senoidal de freqüência simples pode sempre ser representado pela soma dos 
7Processamento de Sinais Digitais_r17
Um sinal senoidal de freqüência simples pode sempre ser representado pela soma dos 
componentes seno e coseno.
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Existe um fasor associado ao sinal senoidal. Os componentes seno e coseno do sinal 
8Processamento de Sinais Digitais_r17
Existe um fasor associado ao sinal senoidal. Os componentes seno e coseno do sinal 
estão diretamente relacionados às partes real e imaginária do fasor.
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Quando houver mais de uma freqüência presente, o sinal periódico não aparece como 
9Processamento de Sinais Digitais_r17
Quando houver mais de uma freqüência presente, o sinal periódico não aparece como 
uma senóide pura.
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10Processamento de Sinais Digitais_r17
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Neste slide encontram-se exemplos de diversas formas de onda que podem ser 
11Processamento de Sinais Digitais_r17
Neste slide encontram-se exemplos de diversas formas de onda que podem ser 
encontradas em qualquer sistema de potência. 
Primeira forma de onda - exemplo de um sinal de 60 hertz
Segunda forma de onda - exemplo de um sinal ¹ de 60 hertz ou harmônicos
Terceira forma de onda - exemplo do offset DC
Quarta forma de onda - exemplo de ruídos de alta freqüência (“white noise”)
Última forma de onda - todas as formas de onda acima combinadas
Em qualquer sistema de potência, o relé digital pode ter de lidar com a última forma de 
onda mostrada. Essa forma de onda é um exemplo perfeito da necessidade da filtragem. 
Os relés digitais não operam diretamente a partir dos valores amostrados da forma de 
onda original mas, de preferência, a partir dos componentes filtrados dos valores 
amostrados das formas de onda originais. A função do filtro é a de extrair os sinais de 
interesse. Em muitas aplicações, a porção fundamental (ou 60 hertz) da forma de onda 
amostrada é a grandeza de interesse. 
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Os requisitos de filtragem dependem da finalidade do relé. Os relés de onda viajante 
12Processamento de Sinais Digitais_r17
Os requisitos de filtragem dependem da finalidade do relé. Os relés de onda viajante 
não precisam da porção fundamental (60Hz) do sinal. Esses relés necessitam extrair e 
operar a partir da porção de alta freqüência da forma de onda. Os relés diferenciais do 
transformador necessitam de diversas grandezas da forma de onda. Neste tipo de relé, 
a porção fundamental da forma de onda é usada para calcular a grandeza de operação 
ou diferencial. O relé diferencial do transformador tem também de extrair o segundo e 
o quarto harmônicos para detectar a corrente de inrush de energização do 
transformador.
Adicionalmente, a presença do quinto harmônico pode ser usada para determinar a 
sobreexcitação do transformador. Os relés de distância e de sobrecorrente precisam 
extrair e desenvolver grandezas de operação somente a partir da porção fundamental 
da forma de onda.
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Neste slide, estão relacionados os objetivos do projeto de um bom filtro. Todas as 
13Processamento de Sinais Digitais_r17
Neste slide, estão relacionados os objetivos do projeto de um bom filtro. Todas as 
impedâncias do estudo da falta são baseadas nas impedâncias do sistema calculadas 
para a freqüência de operação do sistema de potência. Portanto, a componente 
fundamental da forma de onda do sinal de entrada é o valor que o relé precisa extrair 
para calcular valores precisos da falta. 
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O percurso do sinal para os sinais de entrada de corrente e tensão estão mostrados 
14Processamento de Sinais Digitais_r17
O percurso do sinal para os sinais de entrada de corrente e tensão estão mostrados 
acima. Após as correntes e tensões terem sido reduzidas a níveis aceitáveis pelos 
transformadores de instrumento, os sinais são filtrados por um filtro analógico, em 
seguida digitalizados e refiltrados por um filtro digital. Cada filtro tem uma finalidade 
específica que complementa o outro filtro; isto será discutido nos próximos slides. As 
grandezas numéricas de operação são então calculadas a partir das formas de onda 
processadas. 
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Estas são importantes definições para a seqüência do sinal amostrado (discreto).
20Processamento de Sinais Digitais_r17
Estas são importantes definições para a seqüência do sinal amostrado (discreto).
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Esta figura mostra o sinal original com freqüência w e seu sinal da freqüência w - w
21Processamento de Sinais Digitais_r17
Esta figura mostra o sinal original com freqüência w0 e seu sinal da freqüência ws - w0
submetido ao filtro aliasing (“aliased signal”).
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23Processamento de Sinais Digitais_r17
O algoritmo do relé é um conjunto de operações matemáticas implementadas em um 
programa. Essas operações são executadas para as últimas N amostras do sinal de 
entrada amostrado. O relé efetua a decisão de dar trip (ou não) no disjuntor baseando-
se no resultado desse algoritmo. O algoritmo apresentado no slide é um exemplo 
particular. As rotinas são:
ROTINAS DAS LEITURA (Ler a última amostra)
Esta parte do programa é a responsável pela leitura da última amostra dos sinais de 
entrada.
ROTINAS DA FILTRAGEM DIGITAL
O filtro digital suaviza o sinal, tornando-o uniforme através da eliminação dos 
componentes DC e das freqüências diferentes da fundamental (quando solicitado).
ROTINAS DO CÁLCULO FASORIAL
Essas rotinas determinam os fasores V e I a partir das amostras dos sinais amostrados.
ROTINAS DOS MÉTODOS DE PROTEÇÃO
Essas rotinas implementam a função da proteção: sobrecorrente, direcional, distância, 
diferencial, etc.
ROTINAS DA LÓGICA DO RELÉ
Com os resultados das rotinas dos métodos de proteção, as lógicas do relé efetuam as 
decisões finais para emitir o trip e outras funções do relé. Em alguns relés modernos, a 
lógica pode ser programada pelo usuário.
Algumas vezes, as rotinas da filtragem digital e as rotinas do cálculo fasorial são 
consideradas no mesmo módulo.
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O filtro digital suaviza o sinal, tornando-o uniforme através da eliminação dos 
24Processamento de Sinais Digitais_r17
O filtro digital suaviza o sinal, tornando-o uniforme através da eliminação dos 
componentes DC e das freqüências que são diferentes da fundamental (quando 
solicitado).
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Este é um exemplo de um filtro com 4 amostras-por-ciclo que filtra o offset DC de 
25Processamento de Sinais Digitais_r17
Este é um exemplo de um filtro com 4 amostras-por-ciclo que filtra o offset DC de 
uma corrente de falta.
Observe o seguinte:
1. O sinal é amostrado a 24 amostras por ciclo, entretanto o filtro usa 4 amostras por 
ciclo espaçadas igualmente. Este é um bom exemplo da diferença da freqüência de 
amostragem inicial e da freqüência de amostragem do processamento. A 
freqüência de amostragem inicial é 60*20 = 1200 Hz; enquanto a freqüência de 
amostragem do processamento é 50*4 = 240 Hz. 
2. O fato de que o filtro usa quatro amostras espaçadas igualmente em um ciclo 
significa que a janela de dados requerida pelo filtro é um ciclo completo. Dizemos 
que este filtro tem uma janela de dados de um ciclo, embora ele não use todas as 
amostras disponíveis dentro do ciclo, apenas as quatro em radianos elétricos com 
espaçamento de p/4.
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Esta é uma função de grande utilidade definida no processamento de sinais digitais 
26Processamento de Sinais Digitais_r17
Esta é uma função de grande utilidade definida no processamento de sinais digitais 
para modelar matematicamente os sistemas digitais.
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
Para este tipo de filtro, a resposta ao impulso é fornecida diretamente pelos 
27Processamento de Sinais Digitais_r17
Para este tipo de filtro, a resposta ao impulso é fornecida diretamente pelos 
coeficientes do filtro.
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A resposta à freqüência nos diz para quais freqüências que o filtro atenua a entrada. 
28Processamento de Sinais Digitais_r17
A resposta à freqüência nos diz para quais freqüências que o filtro atenua a entrada. 
Observe que, para o exemplo simples, o ganho é zero para f = 0 Hz. Isto significa que 
o filtro bloqueia a componente dc.
O slide mostra a resposta do filtro digital somente até 120 Hz.
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Esta é a resposta à freqüência exibida até a freqüência de amostragem (240 Hz). A 
29Processamento de Sinais Digitais_r17
Esta é a resposta à freqüência exibida até a freqüência de amostragem (240 Hz). A 
“folding frequency” é a metade da freqüência de amostragem.
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Esta é a resposta à freqüência exibida até 960 Hz. A resposta à freqüência se repete 
30Processamento de Sinais Digitais_r17
Esta é a resposta à freqüência exibida até 960 Hz. A resposta à freqüência se repete 
para freqüências maiores do que a freqüência de amostragem.
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Este é um outro exemplo. Observe que, para altas freqüências, o filtro não bloqueia a 
31Processamento de Sinais Digitais_r17
Este é um outro exemplo. Observe que, para altas freqüências, o filtro não bloqueia a 
entrada.
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Existem diversos tipos de filtros digitais. Os filtros de resposta ao impulso finito (FIR) 
32Processamento de Sinais Digitais_r17
Existem diversos tipos de filtros digitais. Os filtros de resposta ao impulso finito (FIR) 
são os mais adequados para aplicações de relés. A equação diferencial geral que 
representa um filtro é a melhor forma de caracterizá-lo.
São mostrados dois exemplos.
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Cada filtro possui características que serão discutidas nos slides seguintes.
33Processamento de Sinais Digitais_r17
Cada filtro possui características que serão discutidas nos slides seguintes.
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O filtro CAL é o mais simples dos filtros. Ele tem coeficientes do filtro de +/- 1, e o 
34Processamento de Sinais Digitais_r17
O filtro CAL é o mais simples dos filtros. Ele tem coeficientes do filtro de +/- 1, e o 
processo de filtragem usa somente adição e subtração. Isto elimina as demoradas 
multiplicações. Portanto, este é o filtro que é mais eficiente em termos de 
computação. Ele rejeita dc e offset dc exponencialmente decrescente. Entretanto, o 
filtro não rejeita harmônicos ímpares. 
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Uma maneira simples de aperfeiçoar o filtro coseno é eliminar o atraso de ¼ de ciclo 
35Processamento de Sinais Digitais_r17
Uma maneira simples de aperfeiçoar o filtro coseno é eliminar o atraso de ¼ de ciclo 
necessário para calcular a componente em quadratura da forma de onda amostrada. O 
filtro Fourier usa a combinação dos filtros ortogonais seno e coseno para eliminar o 
atraso de ¼ de ciclo do filtro, efetuando a extração simultânea dos componentes 
fasoriais da forma de onda. Entretanto, isto não correlaciona diretamente com uma 
melhora, de ¼ de ciclo, na velocidade operacional do relé. Na verdade, este método 
pode ser até mais lento do que o método do filtro coseno puro. Observe a resposta à 
freqüência dos filtros seno e coseno, conforme plotado acima. O filtro seno tem uma 
melhor rejeição a altas freqüências mas não rejeita sinais exponencialmente 
decrescentes. Portanto, a resposta a transitórios é ruim. Essa resposta aos transitórios, 
de má qualidade, está ilustrada nos slides seguintes, onde as técnicas de filtragem são 
estudadas através de um modelo do sistema de potência. 
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A figura mostra duas maneiras de extrair os componentes fasoriais das formas de onda 
36Processamento de Sinais Digitais_r17
A figura mostra duas maneiras de extrair os componentes fasoriais das formas de onda 
de tensão e corrente. Um método requer dois filtros que determinam grandezas de 
sinais simultaneamente em quadratura (defasados de 90 graus elétricos). 
Superficialmente, parece que este método pode ser mais rápido. Entretanto, será 
mostrado que em muitos casos este método pode ser mais lento devido à natureza ruim 
dos transitórios do método do filtro. Além disso, este método ocupa um burden
computacional maior no relé. 
Os relés SEL nunca utilizaram o método com dois filtros. Em vez disso, os relés SEL 
filtram as tensões e correntes, uma vez, e usam as amostras calculadas ¼ de ciclo 
depois para extrair as componentes fasoriais das formas de onda de tensão e corrente. 
As vantagens deste método serão ilustradas nos slides seguintes.
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O filtro coseno tem seus coeficientes amostrados em partes iguais a partir de uma 
37Processamento de Sinais Digitais_r17
O filtro coseno tem seus coeficientes amostrados em partes iguais a partir de uma 
forma de onda cosenoidal. Da mesma forma que o filtro CAL, este filtro rejeita sinais 
dc e sinais exponencialmente decrescentes. Adicionalmente, o filtro coseno rejeita 
todo os harmônicos e, portanto, tem uma vantagem sobre o filtro CAL.
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Os filtros FIR executam um bom trabalho de filtragem dos harmônicos de ordem 
38Processamento de Sinais Digitais_r17
Os filtros FIR executam um bom trabalho de filtragem dos harmônicos de ordem 
inferior. Entretanto, eles não filtram todos os harmônicos, especialmente os de ordem 
superior. Os harmônicos de ordem superior, especialmente aqueles que estão 
normalmente presentes nas grandezas de falta, têm de ser removidos do sinal antes de 
passar pelo filtro digital FIR.
A performance (ou resposta à freqüência) do filtro FIR, para harmônicos de ordem 
superior, segue um padrão prognosticado que é determinado através do uso de um 
conceito simples denominado “Nyquist Folding Frequency”, que indica quais as 
freqüências ou harmônicos que o filtro FIR vai deixar passar (ou não atenuar), 
baseado na “folding frequency”. A “folding harmonic frequency” é sempre a metade 
da taxa de amostragem. Esta técnica da “folding frequency” pode ser usada para 
ilustrar os requisitos teóricos do filtro passa-baixa FIR.
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
Acima está mostrada a resposta à freqüência do filtro coseno de 1 ciclo, com 4 
39Processamento de Sinais Digitais_r17
Acima está mostrada a resposta à freqüência do filtro coseno de 1 ciclo, com 4 
amostras por ciclo. Quando a taxa de amostragem for 4 amostras por ciclo, a resposta 
à freqüência do filtro coseno de 1 ciclo se sobrepõe (ou visualmente “flips over”) nos 
harmônicos pares.
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Acima está mostrada a resposta à freqüência do filtro coseno de 1 ciclo, com 8 amostras 
40Processamento de Sinais Digitais_r17
Acima está mostrada a resposta à freqüência do filtro coseno de 1 ciclo, com 8 amostras 
por ciclo. Quando a taxa de amostragem for 8 amostras por ciclo, a resposta à freqüência 
do filtro coseno de 1 ciclo se sobrepõe (ou visualmente “flips over”) nos harmônicos 4º, 
8º, 12º, 16º, 20º, 24º, 28º e 32º. Conforme ilustrado acima, um filtro coseno com 8 
amostras por ciclo atenua todos os harmônicos menos a fundamental, 7º, 9º, 15º, 17º, 23º, 
25º e 31º.
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41Processamento de Sinais Digitais_r17
Acima está mostrada a resposta à freqüência do filtro coseno de 1 ciclo, com 16 
amostras por ciclo. Quando a taxa de amostragem for 16 amostras por ciclo, a 
resposta à freqüência se sobrepõe (ou visualmente “flips over”) nos harmônicos 8º, 
16º, 24º e 32º. Conforme ilustrado acima, um filtro coseno com 16 amostras por 
ciclo atenua todos os harmônicos menos a fundamental, 15º, 17º e 31º.
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Os relés SEL usam uma combinação das técnicas de filtragem analógica e digital para 
42Processamento de Sinais Digitais_r17
Os relés SEL usam uma combinação das técnicas de filtragem analógica e digital para 
otimizar o projeto do filtro. Um filtro passa-baixa (denominado filtro anti-aliasing) é 
usado no sinal analógico para filtrar o conteúdo de alta freqüência dos sinais de 
corrente e tensão. Esta técnica usada no projeto permite o uso de um filtro digital 
mais simples sem comprometer a performance do relé. O projeto do filtro passa-baixa 
(ou as freqüências que ele tem de atenuar) será mostrado nos próximos slides, sendo 
dependente da taxa de amostragem e da janela do filtro digital. Efetivamente, o filtro 
passa-baixa ou anti-aliasing tem de filtrar todos os harmônicos que o filtro digital não 
atenua.
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O filtro analógico passa-baixa (anti-aliasing ) e o filtro digital complementam um ao 
43Processamento de Sinais Digitais_r17
O filtro analógico passa-baixa (anti-aliasing ) e o filtro digital complementam um ao 
outro e devem ser projetados em conjunto. No slide acima, pode ser verificado que a 
atenuação do filtro passa-baixa é uma função da taxa de amostragem do filtro digital. 
Os filtros digitais FIR, com taxa de amostragem mais lenta, não executam um bom 
trabalho de filtragem de todos os harmônicos que podem estar presentes no sistema de 
potência. Portanto, a amostragem mais lenta de filtros digitais requer mais atenuação 
do filtro analógico passa-baixa. Uma atenuação maior do filtro analógico passa-baixa 
resulta numa resposta mais lenta do filtro passa-baixa e menor velocidade de 
operação do relé.
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Os filtros devem ser avaliados sob dois aspectos: sua performance em regime e 
44Processamento de Sinais Digitais_r17
Os filtros devem ser avaliados sob dois aspectos: sua performance em regime e 
durante transitórios. O período transitório é definido como o tempo em que a janela 
do filtro inclui as amostras de pré-faltae pós-falta. Considera-se que o filtro esteja 
numa condição “regime pós-falta” depois que a janela do filtro incluir todos os dados 
pós-falta. Para estudar a resposta ao transitório de vários filtros, pode ser usado um 
modelo monofásico do sistema de potência para simular condições similares ao 
sistema mostrado acima. O modelo do sistema de potência tem de incluir uma forma 
de injetar ruído e harmônicos nos sinais do filtro para testar as várias técnicas do filtro.
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Um conjunto de formas de onda de corrente e tensão geradas a partir do modelo do 
45Processamento de Sinais Digitais_r17
Um conjunto de formas de onda de corrente e tensão geradas a partir do modelo do 
sistema de potência ilustrado no slide anterior está mostrado acima. As formas de 
onda mostradas acima são o resultado de uma falta simulada no sistema do modelo, 
localizada na extremidade da linha, sem resistência de falta. Um ângulo de início da 
falta igual a zero propicia offset dc total. Os dados pós-falta são corrompidos com 
ruído, e 2º, 3º e 5º harmônicos.
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As grandezas filtradas devem ser “limpas”, sem nenhum componente harmônico, 
46Processamento de Sinais Digitais_r17
As grandezas filtradas devem ser “limpas”, sem nenhum componente harmônico, 
offset dc ou ruído. A análise dessas grandezas vai fornecer fasores apropriados de 
corrente e tensão.
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Todos os fatores acima têm de ser considerados na avaliação da velocidade do sistema 
47Processamento de Sinais Digitais_r17
Todos os fatores acima têm de ser considerados na avaliação da velocidade do sistema 
de relés de proteção.
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
O filtro analógico passa-baixa é mais lento se ele tiver que rejeitar mais harmônicos. 
48Processamento de Sinais Digitais_r17
O filtro analógico passa-baixa é mais lento se ele tiver que rejeitar mais harmônicos. 
Foi demonstrado anteriormente, através do “folding theorem”, que taxas de 
amostragem mais lenta e filtros FIR com uma janela menor do que 1 ciclo requerem 
filtro passa-baixa para rejeitar mais harmônicos (têm uma freqüência de corte mais 
baixa). Portanto, o aumento da taxa de amostragem do filtro permite que a velocidade 
do filtro passa-baixa seja aumentada ao mesmo tempo em que diminui a velocidade do 
filtro digital.
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
O filtro digital é o principal determinante na velocidade de operação do relé. Nós 
49Processamento de Sinais Digitais_r17
O filtro digital é o principal determinante na velocidade de operação do relé. Nós 
demonstramos, nesta apresentação, que a janela de um ciclo para o filtro coseno 
propicia uma excelente performance.
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
O atraso inerente do processamento (“processing latency”) afeta a velocidade do relé 
50Processamento de Sinais Digitais_r17
O atraso inerente do processamento (“processing latency”) afeta a velocidade do relé 
como um todo pois, se o relé estiver processando somente a cada quarto de ciclo, o 
relé tem de esperar um tempo maior para executar o cálculo da impedância dos 
próximos valores amostrados. 
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
O efeito de todos os fatores de temporização está ilustrado acima. Observe que o filtro 
51Processamento de Sinais Digitais_r17
O efeito de todos os fatores de temporização está ilustrado acima. Observe que o filtro 
digital é o principal determinante da velocidade do relé.
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
O quanto o aumento da taxa de amostragem afeta a velocidade de operação? O slide 
52Processamento de Sinais Digitais_r17
O quanto o aumento da taxa de amostragem afeta a velocidade de operação? O slide 
acima indica que, se todos os fatores estiverem sendo considerados, o aumento da 
velocidade de amostragem para valores maiores do que 16 amostras por ciclo propicia 
pouca melhoria na velocidade de operação do relé. O aumento da velocidade é obtido 
principalmente a partir de uma redução no atraso inerente do processamento para uma 
taxa de amostragem maior, e o aumento da velocidade do filtro passa-baixa é obtido a 
partir de uma freqüência de corte maior. 
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Um dos principais fatores que afetam a velocidade de operação do relé é a localização da falta. No 
53Processamento de Sinais Digitais_r17
Um dos principais fatores que afetam a velocidade de operação do relé é a localização da falta. No 
slide acima, o limite do torque de trip é indicado por uma linha horizontal de magnitude 0,1 pu. No 
início da falta, pode ser observado que a trajetória do torque para faltas próximas é muito mais 
íngreme e o tempo de trip para a falta próxima é muito mais rápido. 
Esta trajetória do torque está relacionada ao lado da janela do filtro digital e ao torque para a falta em 
regime. Se o valor do torque para a falta em regime for próximo do valor limite de trip, mais pontos 
de dados amostrados da falta serão usados no filtro para alcançar o valor limite de trip calculado. 
Portanto, se o valor do torque para a falta em regime exceder enormemente o valor limite de trip, 
somente serão usadas algumas poucas amostras de dados no filtro para alcançar o valor limite de trip 
calculado. A seguir, um exemplo simples para ilustrar este ponto.
Exemplo de Filtro Simples – falta remota:
Valor da amostra do torque pré-falta =0.05, Valor da amostra do torque de falta = 0.11
Se o limiar do torque para trip for 0.1, este exemplo simples mostra que seriam usadas sete amostras 
dos dados da falta no filtro para o torque atingir o valor de trip.
Torque Amostra 1 = (0.05+0.05+0.05+0.05+0.05+0.05+0.05+0.11)/8 = 0.057
Torque Amostra 2 = (0.05+0.05+0.05+0.05+0.05+0.05+0.11+0.11)/8 = 0.065
Torque Amostra 3 = (0.05+0.05+0.05+0.05+0.05+0.11+0.11+0.11)/8 = 0.073
Torque Amostra 4 = (0.05+0.05+0.05+0.05+0.11+0.11+0.11+0.11)/8 = 0.080
Torque Amostra 5 = (0.05+0.05+0.05+0.11+0.11+0.11+0.11+0.11)/8 = 0.086
Torque Amostra 6 = (0.05+0.05+0.11+0.11+0.11+0.11+0.11+0.11)/8 = 0.095
Torque Amostra 7 = (0.05+0.11+0.11+0.11+0.11+0.11+0.11+0.11)/8 = 0.103 PONTO de TRIP
No exemplo, torna-se evidente que se os valores da amostra do torque de falta forem altos em relação 
ao valor limite de trip, não serão usadas tantas amostras da falta no filtro para ultrapassar o limiar do 
trip.
Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos-P3
Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
O exemplo anterior é prova de que o filtro coseno é preferido ao Fourier em função da 
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O exemplo anterior é prova de que o filtro coseno é preferido ao Fourier em função da 
resposta superior diante de transitórios. O slide acima ilustra que o filtro coseno de 1 
ciclo é também preferido aos filtros coseno de ½ ciclo e 2 ciclos. O filtro coseno FIR 
com uma janela menor do que 1 ciclo não pode rejeitar todos os harmônicos, e são os 
harmônicos pares que não são totalmente rejeitados. Pode também ser visto na 
ilustração acima que o filtro coseno de 2 ciclos não acrescenta muitos benefícios de 
filtragem. 
A perda da precisão com o filtro de ½ ciclo é crítica para algumas faltas que que caem 
bem no limiar do relé. Estes erros podem ser compensados de diferentes maneiras.
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
A figura mostra os diagramas de blocos de dois esquemas digitais.
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A figura mostra os diagramas de blocos de dois esquemas digitais.
O primeiro esquema tem um filtro coseno de 1 ciclo, para precisão e segurança 
máximas; entretanto, para certas faltas, o relé pode operar em torno de 1,25 ciclo. Este 
não é um algoritmo lento; entretanto, ele não é o mais rápido.
O segundo esquema tem filtros seno e coseno de ½ ciclo com um filtro offset DC 
antecedente. Um relé com um esquema de filtragem deste tipo pode ter tempos de trip 
menores do que 1 ciclo. Este esquema permite a passagem dos harmônicos pares (se 
estiverem presentes), produzindo um erro que pode ser intolerável em alguns casos.
O que é sugerido por alguns fabricantes é o uso de ambos os esquemas, conforme está 
mostrado no próximo slide. 
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
Uma solução possível para o conflito velocidade vs. segurança entre os esquemas de 
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Uma solução possível para o conflito velocidade vs. segurança entre os esquemas de 
filtro de 1 ciclo e os esquemas de filtro de ½ ciclo é a de usá-los conforme indicado de 
forma simplificada na figura acima. Os elementos ultra-rápidos podem ser ajustados e 
usados de forma conservadora, ou nos esquemas onde um erro relativamente pequeno 
não seja um problema (por exemplo, no esquema de sobrealcance). Além disso, a 
operação dos elementos ultra-rápidos pode ser bloqueada em caso de fenômeno 
transitório prejudicial, tal como a energização da linha. Nestes casos, o elemento 
seguro, e não tão lento, pode ser o responsável pelo controle de trip, sem perda da 
proteção, durante operações de chaveamento. Para a maioria das faltas, este esquema 
vai propiciar tempos de trip menores do que um ciclo.
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Concluindo, foi mostrado que uma combinação de filtros incluindo um filtro analógico 
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Concluindo, foi mostrado que uma combinação de filtros incluindo um filtro analógico 
passa-baixa FIR e um filtro digital coseno completo fornece um projeto de filtro 
bastante robusto. Adicionalmente, uma taxa de amostragem de 16 amostras por ciclo 
propicia um ótimo equilíbrio entre a velocidade do relé, a performance do filtro e o 
burden computacional. 
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Seção 9 - Processamento de Sinais Digitais
O filtro coseno de 1 ciclo, com 16 amostras por ciclo, é o melhor filtro FIR pois ele 
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O filtro coseno de 1 ciclo, com 16 amostras por ciclo, é o melhor filtro FIR pois ele 
permite que a freqüência de corte passa-baixa, anti-aliasing, seja maior e propicie uma 
melhor performance da velocidade do filtro passa-baixa, ao mesmo temo em que 
mantém a rejeição de DC exponencialmente decrescente e de todos os harmônicos. 
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