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CA´LCULO I - 2016.2 - LISTA 4 1. Calcule: a) lim h→0 (9 + h)6 − 96 h b) lim h→0 1 − cosh h c) lim x→3 x2000 − 32000 x − 3 2. Derive cada func¸a˜o. (Se possı´vel, simplifique a func¸a˜o e/ou a derivada da func¸a˜o) a) f (x) = 2(x2 + 2x + 1)tgx b) f (x) = √ xsenx + x1/3 c) f (x) = 2xcosxtgx d) f (x) = x2 − 2x + 2 x4 + x2 + 1 e) f (x) = xsecx x2 + 2x + 3 f) f (x) = x 3sen(x) , x , 0 0 , x = 0 g) f (x) = |2x − 8|, x , 4 h) f (x) = 4√ 2x4 + 2x cos2x i) G(r) = 5 √ 2r2 − 2 r − 1 j) f (x) = (sen2x)(x3 + 2x)2/3 l) M(x) = √ x + √ x + √ x m) F(u) = u3 − 3u2 (u4 + 1)5/2 n) f (x) = x 3sen ( 1 x4 ) se x , 0 0 se x = 0 3. Calcule a derivada das func¸o˜es: a) g(x) = sen2 ( x2 3 √ x3 + √ x ) b) f (x) = x e ( x x7 + x6 + 7 ) c) f (x) = 4 √ sec ( ln( 1x ) ) d) f (x) = xxesec(x1001) 4. Sejam f (x) = √ 2x + 1 e g(x) = √ tgx. Calcule ( f ◦ g)′ ( pi 4 ) . 1 5. Considere f uma func¸a˜o diferencia´vel e g definida por g(x) = f 2(cosx). Sabendo que f (0) = 1 e f ′(0) = −1 2 , calcule g′ ( pi 2 ) . 6. Seja g : R→ R diferencia´vel; g(0) = 1 2 e g′(0) = 1. Calcule f ′(0), onde f (x) = (cosx)g2 ( tg x x2 + 2 ) . 7. Sejam g diferencia´vel e f (x) = xg(x2). (a) Mostre que f ′(x) = g(x2) + 2x2g′(x2); (b) Calcule g(4), sabendo que g(4) + g′(4) = 1 e f ′(2) = −1. 8. Calcule f ′′ para f (r) = 5 √ 2r2 − 2 r − 1 . 9. Calcule f ′′ para f (x) = x3sen 1x4 , x , 00 , x = 0 . 10. Calcule f ′′, f ′′′ e seus respectivos domı´nios para f (x) = x2cos1x , x , 00 , x = 0 . 11. Seja h(x) = |x2 − 4|, x ∈ R. (a) Deˆ os pontos onde h e´ duas vezes diferencia´vel e determine h′(x) e h′′(x); (b) Esboce o gra´fico de h. 12. Considere as func¸o˜es f (x) = 1 se x < −1|x| se x ≥ −1 e g(x) = 1 se x < 01 − x2 se x ≥ 0 . (a) Encontre ( f ◦ g)(x); (b) Usando (a), encontre ( f ◦ g)′(x) e determine seu domı´nio D; (c) Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular ( f ◦ g)′(x); (d) Usando a regra da cadeia, encontre ( f ◦ g)′(x),∀x ∈ C (e) Compare (b) e (d); (f) Esboce os gra´ficos de g, f e f ◦ g; (g) Indique nos gra´ficos os pontos onde g, f e f ◦ g na˜o sa˜o diferencia´veis. 13. Considere g(x) = cosx · f 2(x), onde f : R→ R e´ duas vezes diferencia´vel, f (0) = −1 e f ′(0) = f ′′(0) = 2. Calcule g′′(0). 2 14. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x 5 3 − √x, no ponto de abscissa x = 64. 15. Determine a equac¸a˜o da reta r tangente ao gra´fico de y = x2+3x+1 e que e´ paralela a` reta de equac¸a˜o y = 4x+7. 16. Determine as tangentes horizontais ao gra´fico de y = x3 3 − 5x 2 2 + 6x + 5. 3
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