CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - Lista de Exercícios 2

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Segunda Lista de Calculo II 
 
1-) Desenhe as curvas a seguir, dê suas derivadas e a equação da reta tangente em t =2 em cada uma delas 
(considere sen2 = 0,9 e cos2 = – 0,4): 
 
a) γ (t) = (1,t,1) 
b) γ (t) = (t,t,1) 
c) γ (t) = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
tt 1,, , t>0 
d) γ (t) = (t, sen t, cos t) 
e) γ (t) = (sen t, sen t, t), t≥0 
 
2-) Determine o dominio das seguintes funções: 
 
a) γ (t) = (ln t, t, ²,1 t− t² ) 
b) f(x,y) = yxxy −+− 2² 
c) f(x,y) = z , onde z² + 4 = x² + y² e z≥0 
 
3-) Desenhe as curvas de nível das funções z = f(x,y): 
 
a) z = 
1−x
y 
b) z = 1 – x² – y² 
c) z = xy 
d) z = 
yx
yx
+
− 
e) z = ²² yx + 
 
4-) Mostre que as seguintes funções são limitadas e dê os limitantes: 
 
a) f(x,y) = 
²²
²
yx
x
+
 
b) f(x,y) = 
²² yx
x
+
 
c) f(x,y) = sen( x²+1) 
 
5-) Calcule ),(lim
)0,0(),(
yxf
yx →
, se existir. Senão mostre que não existe, onde: 
 
a) f(x,y) = ex² + 2y 
b) f(x,y) = xy + 2x – 3y² + 4 
c) f(x,y) = 
²² yx
xy
+
 
d) f(x,y) = 
42
2
yx
xy
+
 
e) f(x,y) = 
²²
²3
yx
yx
+
 
f) f(x,y) = 
²²
²)²(
yx
yxsen
+
+ 
6-) Verifique se a função f(x,y) = 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
+
+
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
²²
²)²(
yxse
yxse
yx
yxsen
 é contínua em (0,0) 
7-) Calcule as derivadas parciais em cada uma das funções a seguir: 
 
a) 4³²5),( 4 ++= xyyxyxf 
 
b) z = cos xy 
 
c) 
²²
²³
yx
yxz
+
+
= 
 
d) ²²),( yxeyxf −−= 
 
e) z = x² ln (1 + x² + y²) 
 
f) xyxyez = 
 
g) f (x,y) = ( 4xy – 3y³ )³ + 5x²y 
 
h) z = arc tg ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
y
x 
 
i) yxyxg =),( 
 
j) (x² + y²) ln (x² + y²) 
 
l) 3 3²³),( ++= yxyxf 
 
m) 
²)²cos(
.
yx
senyxz
+
= 
 
8-) Considere 
²²
²
yx
xyz
+
= . Verifique que : 
y
zy
x
zx
∂
∂
+
∂
∂ = z 
 
9-) Seja IRIR→:φ uma função de uma variável real, diferenciável e tal que φ ’(1) = 4. Seja 
g (x,y) = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
y
x
φ . Calcule: 
 a) 
x
g
∂
∂ (1, 1) b) 
y
g
∂
∂ (1, 1) 
 
10-) Seja g (x,y) = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
y
x
φ a função do exercício anterior. Verifique que: 0=
∂
∂
+
∂
∂
y
gy
x
gx , 
para todo (x, y) ∈ IR² tal que 0≠y 
 
 
 
11-) Considere a função w =xy + z4 , onde z = z(x,y) . Admita que 4
1
1
=
∂
∂
=
=
y
xx
z e que z = 1 para x = 1 e 
y = 1. Calcule 
1
1
=
=∂
∂
y
xx
w . 
 
12-) Seja )(6²³),( yxyyxyxf φ+−+= . Determine uma função φ de modo que: 
 
1²
6³2
+
+−=
∂
∂
y
yxyx
y
f 
 
13-) Determine uma função f (x, y) tal que: 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+−=
∂
∂
−=
∂
∂
1²
6³2
6²²3
y
yxyx
y
f
yyx
x
f
 
 
14-) Seja f (x, y) = x² + y² e seja γ (t) = ( t, t, z(t)) , t ∈ IR, uma curva cuja imagem está contida no gráfico 
de f: 
a) Determine z(t) 
b) Esboce os gráficos de f e γ 
c) Determine a reta tangente a γ no ponto (1, 1, 2). 
d) Seja T a reta do item c, mostre que T está contida no plano de equação: 
)1).(1,1()1).(1,1()1,1( −
∂
∂
+−
∂
∂
=− y
y
fx
x
ffz 
 
15-) Dizemos que (xo, yo) é um ponto crítico ( ou estacionário) de z = f (x, y) se 0),( 00 =∂
∂ yx
x
f e 
0),( 00 =∂
∂ yx
y
f . Determine (caso existam) os pontos críticos da função dada: 
 
a) f (x, y) = x² + y² 
b) f (x, y) = 2x + y³ 
c) f (x, y) = x² – 2xy + 3y² + x – y 
d) f (x, y) = x4 + 4xy + y4 
e) f (x, y) = 3x² + 8xy² – 14x – 16y 
f) f (x, y) = x³ + y³ – 3x – 3y 
 
16-) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado: 
a) f (x, y) = 2x²y em (1, 1, f (1, 1)) 
b) f (x, y) = x² + y² em (0, 1, f (0, 1)) 
c) f (x, y) = 3x³y – xy em (1, –1, f (1, –1)) 
d) f (x, y) = x.ex² - y² em (2, 2, f (2, 2)) 
17-) Calcule a diferencial de cada função: 
a) z = x³y² 
b) z = x.arc tg (x + 2y) 
c) z = sen xy 
d) u = ²² tse − 
e) T = ln (1 + p² + V ²) 
f) x = arc sen uv 
 
18-) Seja ²² yxxez −= . 
 a) Calcule o valor aproximado para a variação zΔ em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para 
x = 1,01 e y = 1,002. 
 b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1,01 e y = 1,002. 
 
19-) Calcule 
dt
dz quando z = sen (xy), x = 3t e y = t² 
 
20-) Seja g(t) = f (3t, 2t² – 1) , calcule g’(0) admitindo 
x
f
∂
∂ (0, – 1) = 
3
1 
 
 
21-) Expresse 
dt
dz em termos de suas derivadas parciais onde x = t² e y = 3t 
 
22-) Suponha que f (t², 2t) = t³ – 3t. Mostre que 
x
f
∂
∂ (1, 2) = – 
y
f
∂
∂ (1, 2) 
 
23-) Admita que x
x
f
∂
∂ (x, y) – y
y
f
∂
∂ ( x, y) = 0. Mostre que g(t) = f ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
t 2, é uma função constante. 
 
24-) Seja z = f (u + 2v, u² – v). Expresse 
du
dz e 
dv
dz em termos das derivadas parciais de f 
 
25-) Dê o vetor gradiente de f(x, y) = ln (xy) + x²y no ponto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1,1 
 
 
26-) Dê a reta tangente a curva de nível de f(x, y) = ln x + x²y no ponto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1,1 
 
 
27-) Indique a direção e o sentido que a função f(x, y) = cos (xy) cresce mais rapidamente, e a direção e o 
sentido que decresce mais rapidamente, ambas no ponto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1,π 
 
28-) Calcule 
u
f
!
∂
∂ (xo, yo) onde f(x, y) = ex² - y² , (xo, yo) = (1, 1) e u
! é o versor de (3,4) 
 
29-) Seja f(x, y) = x² + xy + y² Calcule 
u
f
!
∂
∂ (1, –2 ), onde u
! aponta no direção e sentido do máximo 
crescimento de f no ponto (1, –2) 
 
 
30-) Seja f(x, y) = x.arctg
y
x . Calcule 
u
f
!
∂
∂ (1, 1), onde u
! aponta no direção e sentido do máximo crescimento 
de f no ponto (1, 1) 
 
31-) Estude os máximos e mínimos locais das funções: 
 
a) f(x, y) = x² + 3xy + 4y² – 6x + 2y 
b) f(x, y) = x³ – 3x²y + 27y 
c) f(x, y) = x4 + y 4 – 2x² – 2y² 
 
32-) Argumente para mostrar que se γ é a curva de nível de IRIRf n →: , então IRtctf ∈∀= ,))(( γ! , onde 
c é uma constante. 
 
33-) Mostre que 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
+
−
=
)0,0(),(,0
)0,0(),(
²²
²²
),(
yxse
yxse
yx
yx
yxf não é contínua em (0,0) 
 
34-) Mostre que )).(,()).(,(),( 00000000 yyyxy
fxxyx
x
fyxfz −
∂
∂
+−
∂
∂
+= gera um plano tangente a f(x,y) em 
(xo; yo; f(xo;yo) ) onde IRIRf →³: é diferenciável em (xo,yo). 
 
35-) Mostre que ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
∂
∂
+= 1),,(),,()),(,,(),,( 00000000 yxy
fyx
x
fyxfyxzyx λ dá a equação vetorial do plano 
tangente a f(x,y) em (xo; yo; f(xo;yo) ) onde IRIRf →³: é diferenciável em (xo,yo). 
 
36-) Prove que se IRIRf →³: for diferenciável em (xo,yo) então f será contínua em (xo,yo). 
 
37-) Seja 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
+
=
)0,0(),(,0
)0,0(),(
²²
³
),(
yxse
yxse
yx
x
yxf , mostre que : 
a) f adimite derivadas parciais em (0,0) 
b) f é contínua em (0,0) 
c) f não é diferenciavel em (0,0) 
d) conclua que alguma derivada parcial não é contínua em (0,0) 
 
38-) Seja 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
)0,0(),(,0
)0,0(),(
²²
1²).²(
),(
yxse
yxse
yx
senyx
yxf , mostre que : 
a) as derivadas parciais de f não são contínuas em (0,0) 
b) f é diferenciavel em (0,0) 
c) f é diferenciavel em IR² 
 
 
39-) Argumente para mostrar que se (xo,yo) é extremante para f : IR2 → IR , então o plano tangente a f em 
(xo,yo) é paralelo ao plano xy.