Aço e Madeira

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

A�o e Madeira/Apostila - �rea 1.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS DE AÇO E 
MADEIRA - [ENG01110] 
 
 
 
 
 
 
 
 ÁREA I 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
 
 
Prof. Dr, Ruy Carlos Ramos Menezes 
 
 
 
Área 1 
 
AULA 1 
 
Introdução 
Estruturas de aço se destacam no cenário da construção civil pela sua modernidade. Oferecem 
aos projetistas uma grande gama de possibilidades, considerando sua aplicação versátil, segurança e 
afabilidade para com o ambiente. 
Somente após um estudo adequado, incluindo a seleção do sistema estrutural, no caso o aço, o 
projeto é desenvolvido. É onde se dá corpo ao projeto arquitetônico, calculando-se os elementos de 
sustentação, ligações principais, tipos de aço, carga nas fundações, especificando se a estrutura será 
soldada ou parafusada, entre outras necessidades. 
Para organizar a metodologia de projeto se tem como base um conjunto de normas técnicas que 
parametrizam a sua elaboração. No Brasil, a norma para projetos de estruturas de aço é a NBR 
8800/2008, e os aços utilizados são os chamados aços estruturais. 
 
Aços Estruturais 
O aço é uma liga de Ferro com Carbono, contendo ainda outros elementos químicos. O teor dos 
elementos de liga são dosados de acordo com a finalidade a que se destina um tipo de aço. Os 
elementos químicos Cobalto, Cromo, Níquel, Manganês, Molibdênio, Vanádio e Tungstênio são os 
mais usados na preparação de aços especiais. 
Quando os elementos predominantes na liga são apenas Ferro e Carbono, esta liga recebe o 
nome de aço-carbono, aço comum ou aço estrutural. Somente os aços-carbono interessam aos 
objetivos do fabricante de estruturas metálicas. 
 
Propriedades Mecânicas dos Aços 
Sabe-se que os aços são materiais dúcteis. Para determinar suas propriedades mecânicas 
submete-se o material a um ensaio de tração. Para sua realização é utilizado um corpo-de-prova, 
moldado ou obtido através da extração de testemunho de uma peça metálica. 
O corpo-de-prova é submetido a uma força de tração uniaxial crescente controlada, e, 
simultaneamente, se mede a sua elongação. De posse da área transversal inicial do corpo-de-prova e 
seu comprimento longitudinal pode-se traçar o diagrama tensão-deformação do material, com: 
Tensão: 
 
 
 e Deformação: 
 
 
 
Onde: : tensão no corpo-de-prova em um determinado instante de tempo i; 
 : força aplicada no corpo-de-prova em um determinado instante de tempo i; 
 : área transversal do corpo-de-prova; 
 : deformação no corpo-de-prova em um determinado instante de tempo i; 
 : comprimento do corpo-de-prova em um determinado instante de tempo i; e 
 : comprimento longitudinal inicial do corpo-de-prova. 
 
 
Figura 1.1 – Diagrama tensão-deformação usual de aços estruturais. 
 
Observações a respeito da curva da Figura 1.1: 
I. Região Elástica: região onde a tensão é linearmente proporcional à deformação. Quando 
descarregado, o material volta à sua condição inicial. Delimitada pelo limite de proporcionalidade , 
e, associada a ele, a tensão de escoamento do material , a partir de onde o material passa a se 
comportar de forma plástica. Dela podemos retirar um parâmetro muito importante de materiais 
dúcteis, o módulo de elasticidade longitudinal, dado pela tangente do ângulo θ. O módulo de 
elasticidade longitudinal é a constante de proporcionalidade da Lei de Hooke que é dada por: 
ζ = E.ε 
Onde: ζ = tensão; 
 E = módulo de elasticidade longitudinal (no aço este valor pode ser considerado 
constante e vale aproximadamente 205000 MPa); e 
 ε = deformação. 
II. Região Plástica: região, por sua vez, onde a tensão não é linearmente proporcional à 
deformação. Possui três regiões diferenciadas: uma região caracterizada por um patamar de 
escoamento, onde as deformações se ocorrem sem aumento de tensões; uma região de endurecimento 
do material; e uma região caracterizada por um estrangulamento localizado ou estricção da seção 
transversal do corpo-de-prova, após a ocorrência de uma tensão máxima, tensão de ruptura, . A 
deformação final do aço varia entre 20% e 30% de seu tamanho original. 
 
Principais Características dos Aços 
Dutilidade: capacidade do material de se deformar consideravelmente sob a ação de cargas 
antes de se romper. Estas deformações constituem um aviso prévio à ruptura final do material, o que é 
de extrema importância para prevenir acidentes em uma construção. 
Fragilidade: oposto à dutilidade é a característica dos materiais que rompem bruscamente, sem 
aviso prévio. Os aços podem se comportar fragilmente quando expostos à baixas temperaturas, em 
regiões de soldagens entre elementos ou quando há algum tipo de tratamento à frio. 
Efeito da temperatura: em geral, a resistência diminui e a ductilidade aumenta com o aumento 
da temperatura. Diminui também o módulo de elasticidade. No caso da diminuição da temperatura 
temos a ocorrência de características frágeis no aço, como já mencionado. 
Fadiga: ruptura de um material sob esforços repetidos ou cíclicos. A ruptura por fadiga é 
sempre uma ruptura frágil, mesmo para materiais dúcteis. 
Corrosão: pode-se definir corrosão como a interação destrutiva de um material com o 
ambiente, seja por reação química, ou eletroquímica. Os aços são materiais extremamente propícios a 
este fenômeno, especialmente quando expostos em ambientes ao ar livre. 
Peso específico: peso por unidade de volume do material – γ = 77 KN/m³ 
Coeficiente de dilatação térmica bidimensional: variação fracional por grau de alteração da 
temperatura, a uma pressão constante – β = 12. /ºC 
Coeficiente de Poison: razão entre a deformação específica lateral e longitudinal do material – 
υ = 0,3 
Módulo de Elasticidade Transversal: definido em função do módulo de elasticidade 
longitudinal e do Coeficiente de Poison do material: 
 
 
 υ 
 = 78850 MPa 
Onde: G: Módulo de Elasticidade Transversal; 
 E: Módulo de Elasticidade Longitudinal; e 
 υ: Coeficiente de Poison. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 
 
Produtos 
I. Perfis laminados (processo a quente): possuem grande eficiência estrutural, podendo 
assumir diversas formas conforme esquematizado na figura 1. 
 
 
Figura 2.1- Exemplos de perfis laminados em forma de L (cantoneira), T, I e C. 
 
II. Perfis soldados: são formados pela associação de chapas ou de perfis laminados ligados por 
solda. Esses perfis são evidentemente mais caros que os laminados simples e seu emprego justifica-se, 
por exemplo, para atender projetos onde se deseja um momento de inércia elevado nas duas direções 
principais (o momento de inércia aumenta com a espessura da mesa e não com a da alma). 
 
 
Figura 2.2 – Perfil I soldado pela união de três chapas. 
 
III. Perfis de chapa dobrada (processo a frio): geralmente são perfis finos e para evitar a 
fissuração da chapa, as dobras obedecem a raios mínimos de modo que os cantos são arredondados. 
 
 
Figura 2.3 – Perfis de chapa dobrada. 
 
- O perfil (b) tem maior momento de inércia que o perfil (a). Neste caso suas abas foram 
aproximadas para que esta situação fosse atingida. 
- Enrijecimento: Por serem muito finos, alguns perfis passam por um sistema de enrijecimento.
Figura 2.4 – Chapas dobradas enrijecidas. 
 
IV. Barras: são produtos laminados que possuem duas dimensões (da seção transversal) 
pequenas em relação à terceira (comprimento), sendo laminadas em seção circular ou retangular. 
 
V. Fios, cordoalhas e cabos: 
- Fios: são obtidos por trefilação. 
- Cordoalhas: são formadas por três ou sete fios arrumados em forma de hélice. 
- Cabos: são compostos por mais de sete fios ou por cordoalhas. 
 
Metodologia de Projeto – Critérios de segurança 
RESISTÊNCIA ≥ SOLICITAÇÃO 
 
Metodologia dos Estados Limites 
O projeto deve atender a todos os estados limites para que seja satisfatório e nenhum deles pode 
ser excedido quando a estrutura for submetida a qualquer combinação apropriada de carga. 
 
I. Estado Limite: a partir do qual a estrutura não mais atende a finalidade para qual foi 
concebida. É a fronteira entre a segurança e a não segurança. 
 
II. Estado Limite Último (ELU): associado à ruína da estrutura ou de algum de seus aspectos 
ou componentes. Entende-se por ruína, a ruptura, deformação plástica excessiva ou instabilidade 
(flambagem) da estrutura. São verificados em solicitações extremas. 
 
III. Estado Limite de Serviço (ELS): associado ao uso da estrutura e ao seu desempenho. 
Estados que, pela sua ocorrência, duração e freqüência, provocam efeitos incompatíveis com o uso da 
estrutura. São verificados com carregamentos freqüentes. 
 
Dimensionamento no ELU 
 
 
Figura 2.5 – Diagrama solicitação-resistência. 
 e – Valores característicos (valor nominal): correspondem a uma pequena 
probabilidade de serem excedidos no sentido desfavorável da segurança. De forma geral: 
 ≤ 
 
 
 
Onde: γ , γ : coeficientes parciais de segurança; 
 : solicitações de projeto; 
 : resistência de projeto. 
 
AULA 3 
 
Metodologia de Projeto 
 
I. Resistência de Projeto 
A resistência de projeto é dada a partir da equação: 
 
 
 
 
Sendo que . Os coeficientes são explicados abaixo: 
 – considera a variabilidade das propriedades da peça em questão. 
 – considera eventuais diferenças entre corpo de prova e o material utilizado. 
 – considera eventuais desvios introduzidos ao projeto pela montagem ou construção da 
estrutura. 
 
Combinações Aço Estrutural Concreto Armadura 
Escoamento Ruptura 
Normais 1,10 1,35 1,40 1,15 
Especiais/Construção 1,10 1,35 1,20 1,15 
Excepcionais 1,00 1,15 1,20 1,00 
Tabela 3.1 – Valores de a partir da normatização. 
 
Os dados da tabela estão relacionados à incerteza quanto ao material. Analisando o aço 
estrutural para uma combinação normal, o para o escoamento é 1,10, enquanto que para a ruptura é 
de 1,35. Isso mostra que a tensão na qual o aço estrutural começa a escoar é menos variável do que 
quando ocorre a ruptura do mesmo, resultando em um menor para o menos variável. 
 
II. Solicitações de Projeto 
As solicitações de projeto são devidas ao efeito das cargas atuantes na estrutura, as quais podem 
ser classificas em: 
 
 Permanentes (G): São as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a 
vida útil da estrutura. Também são consideradas permanentes as ações que crescem no tempo, 
tendendo a um valor-limite constante. São divididas em diretas e indiretas e devem ser consideras 
com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. 
- Ações permanentes diretas: constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos próprios 
dos elementos construtivos fixos. 
- Ações permanentes indiretas: são constituídas pelas deformações impostas por retração e 
fluência do concreto, deslocamentos de apoio e imperfeições geométricas. 
 
 Variáveis (Q): São as que ocorrem com valores que apresentam variações significativas 
durante a vida útil da estrutura. São causadas pelo uso e ocupação da edificação, decorrentes de 
sobrecargas em pisos e coberturas, de equipamentos e de divisórias móveis, de pressões hidrostáticas e 
hidrodinâmicas, pela ação do vento e pela variação da temperatura. 
 
 Excepcionais (E): São as que têm duração extremamente curta e probabilidade muito baixa de 
ocorrência durante a vida da estrutura, mas que devem ser consideradas nos projetos. São causadas por 
explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes e sismos. 
 
III. Combinações 
Um carregamento é definido pela combinação de ações que têm probabilidades de atuarem 
simultaneamente na estrutura, durante um período pré-estabelecido. 
 
 Normais e durante a construção ou montagem 
As combinações normais decorrem do uso previsto para a edificação. Devem ser consideradas 
tantas quanto forem necessárias para verificação das condições de segurança em relação a todos os 
estados-limites últimos aplicáveis. Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e 
a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com seus 
valores reduzidos de combinação. 
Para cada combinação, aplica-se a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
n – número de ações permanentes 
m – número de ações variáveis 
 - coeficiente de ponderação das ações permanentes 
 - coeficiente de ponderação das ações variáveis 
 - fator de combinação (considera a simultaneidade da ocorrência) 
 
 Especial 
As combinações especiais decorrem da atuação de ações variáveis de natureza ou intensidade 
especial, cujos efeitos superam em intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas nas 
combinações normais. A cada carregamento especial corresponde uma única combinação última 
especial de ações, na qual devem estar presentes as ações permanentes, a ação variável especial e as 
demais ações variáveis com probabilidade de ocorrência. 
Para cada combinação, aplica-se a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 – valor característico da ação variável especial 
 – representa os valores de combinação efetivos 
 
 Excepcionais 
As combinações últimas excepcionais decorrem da atuação de ações excepcionais que podem 
provocar efeitos catastróficos. As ações excepcionais somente devem ser consideradas no projeto de 
estruturas de determinados tipos de construção, nos quais essas ações não podem ser desprezadas e 
que não possam ser tomadas medidas que anulem ou atenuem a gravidade da conseqüência dos seus 
efeitos. 
Para cada combinação, aplica-se a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4 
 
Combinações de Cargas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Combinações 
Diretas 
Indiretas 
Peso 
próprio 
estrutura 
metálica 
Peso próprio 
estruturas 
pré-
moldadas 
Peso próprio 
estruturas moldadas 
no local e elementos 
construtivos 
industrializados 
Peso próprio 
elementos 
construtivos 
indust. com 
adição in loco 
Peso próprio 
elementos 
construtivos em 
geral e 
equipamentos 
Normais 
1,25 
(1,0) 
1,30
(1,0) 
1,35 
(1,0) 
1,40 
(1,0) 
1,50 
(1,0) 
1,2 
(0) 
Especiais ou de 
construção 
1,15 
(1,0) 
1,20 
(1,0) 
1,25 
(1,0) 
1,30 
(1,0) 
1,40 
(1,0) 
1,2 
(0) 
Excepcionais 
1,10 
(1,0) 
1,15 
(1,0) 
1,15 
(1,0) 
1,20 
(1,0) 
1,30 
(1,0) 
0 
(0) 
Tabela 4.1 – Valores δg – NBR8800/2008. 
 
 Como em etapas de construção tem-se mais controle do que em etapas normais, necessita-se 
de mais confiabilidade em etapas normais. 
 Aplica-se o valor entre parênteses para situações onde o carregamento é favorável a 
segurança. 
 
 
 
Permanentes Ação variável 
principal 
Demais ações 
variáveis 
Ação de projeto 
(combinações) 
 
Exemplo: Considerar o peso próprio igual a 10kN. 
 
a) Considerando apenas o peso próprio da estrutura. 
 
b) Considerando o peso próprio da estrutura e a reação 
 do vento sobre a mesma. 
 
 
a) Caso NÃO seja considerada a ação do vento usa-se δg = 1,25 utilizado para cálculos 
estruturais o peso de: 
Peso = 10kN x 1,25 = 12,5kN 
OBS.: O mesmo valor de δg será utilizado caso a ação 
do vento fosse para baixo (devido à aerodinâmica da 
estrutura) 
b) Considerando a ação do vento usa-se o valor entre parênteses na tabela (1,0), ou seja, utiliza-
se para cálculos o mesmo valor calculado do peso próprio (real) de 10kN. 
 
Combinações Efeito temperatura Ação do Vento Ações Truncadas 
Demais ações variáveis, 
incluindo as de uso e ocupação 
Normais 1,20 1,40 1,20 1,50 
Especiais 
Construção 
1,00 1,20 1,10 1,30 
Excepcionais 1,00 1,00 1,00 1,00 
Tabela 4.2 - Valores δq - NBR8800/2008. 
 
 Ação Truncada: é uma ação variada que é limitada por algum fator. 
 Nenhum estado limite aplicável pode ser excedido quando a estrutura estiver submetida a 
qualquer combinação de ações possíveis. 
 
vento 
Aplicação: Análise para estruturas considerando a sobrecarga. 
 
A sobrecarga é uma ação variável e não deve ser levada em 
conta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ação do vento 
Peso próprio 
Sobrecarga 
AULA 5 
 
Aplicação 
 
Determinar as ações de projeto na condição normal para o dimensionamento do arco metálico 
que suporte a cobertura do galpão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 – Esboço e dimensões do galpão (em metros) 
 
I. Identificar as ações de projeto para combinações normais: 
• Permanentes: 
- peso próprio do arco: estimado em 600 N/m*; 
- peso próprio dos demais componentes (telhas, terças, tirantes, fixadores – elementos 
construtivos industrializados): estimado em 120 N/m²*. 
• Variáveis: 
- sobrecarga: na falta de informações refinadas sobre possíveis sobrecargas na estrutura, a 
norma de segurança recomenda que se utilize um valor de 0,25 KN/m²; 
- vento: a análise da aerodinâmica nas construções é um assunto muito relevante e que 
deve ser levado em consideração. Porém, como esta análise não é o objetivo da disciplina, 
tomaremos como direções de incidência do vento na estrutura apenas a longitudinal e a 
transversal. Utilizaremos, respectivamente, uma carga de sobrepressão (para baixo) de 
100 N/m²* e uma carga de sustentação (para cima) de 628 N/m²*; 
- demais ações variáveis: desconsideradas no problema. 
*Os valores estimados tem base em bibliografias existentes, estudos de campo e ou de 
laboratório e até em projetos já executados. 
 
II. Detalhamento do carregamento sobre cada arco: 
Como vemos na figura, a sustentação da cobertura será dada por cinco arcos metálicos. Então, 
como queremos que todos os arcos trabalhem da mesma forma, consideramos que cada um deles será 
responsável por sustentar um vão de 6 m, três para cada lado no sentido longitudinal do galpão. 
Exceto, logicamente, os arcos das extremidades, que sustentarão somente um vão de 3 m cada um. 
Porém, faremos a análise para o pior caso: um arco que suporta um vão de 6m. 
Para obtermos as combinações, é necessário que todas as ações estejam na mesma ordem de 
grandeza. Em nível de estudo unidimensional do problema, os valores deverão estar em KN/m. Os 
valores que se encontram distribuídos por unidade de área deverão sem multiplicados pela área total 
plana da cobertura e divididos apenas pelo vão total. 
- peso próprio do arco: 0,6 KN/m 
- peso próprio dos demais componentes: 
 
 
 
 
 
 = 0,72 KN/m 
- sobrecarga: 
 
 
 
 
 
 = 1,5 KN/m 
- vento transversal: 
 
 
 
 
 
 = 3,77 KN/m (para cima) 
- vento longitudinal: 
 
 
 
 
 
 = 0,6 KN/m (para baixo) 
 
III. Combinações normais para o E. L. Último: 
 
 
 
 
 
 
 
Os coeficientes serão retirados de tabelas da NBR 8800, de acordo com as suas especificações. 
• hipóteses com resultante para baixo: 
a. com a sobrecarga como principal ação variável: 
 
 = 1,25.0,6 + 1,35.0,72 + 1,5.1,5 + 1,4.0,6.0,6 = 4,47 KN/m 
P.P.A. P.P.D.C. SOBREC. VENTO 
b. com o vento como a principal ação variável: 
 = 1,25.0,6 + 1,35.0,72 + 1,4.0,6 + 1,5.1,5.0,8 = 4,36 KN/m 
P.P.A. P.P.D.C. SOBREC. VENTO 
Como estamos trabalhando com o pior caso possível (a favor da segurança) e > , 
adotamos o valor de como a resultante para baixo da combinação. 
• hipóteses com resultante para cima: 
 = 1.0,6 + 1.0,72 + 1,4.(-3,77) = 3,96 KN/m* (para cima) 
P.P.A. P.P.D.C. VENTO 
*Nesta combinação destacam-se três pontos importantes: o primeiro é o fato de que, como o 
peso específico do arco e o peso específico dos demais componentes estão contra a segurança – são 
contrários à força de maior magnitude – os coeficientes usados são iguais à unidade. Utilizar um 
coeficiente maior diminuiria segurança da carga contrária. O segundo ponto é o sinal negativo 
utilizado na força exercida pelo vento. Como ela e contrária as demais deve diferenciar em sinal, e, por 
ser maior, a direção da resultante será a sua direção, no caso, para cima. E o terceiro é o fato da 
sobrecarga estar desconsiderada na soma das grandezas variáveis. Como vimos, nem sempre teremos 
sobrecarga sobre a estrutura. Como ela estaria contra a força de maior magnitude, ou seja, contra a 
segurança, ela deve ser descartada da combinação. Caso isso não aconteça, a segurança do arco deverá 
contar sempre com a sobrecarga, o que na prática sabe-se
que não acontece. 
 
IV. Resultados 
 
 
Figura 5.2 – Esboço do arco com a carga 
resultante para baixo = 4,47 KN/m 
 
 
Figura 5.3 – Esboço do arco com a carga 
resultante para cima = 3,96 KN/m 
 
A partir deste ponto devemos avaliar todas as barras de treliça e analisar, nos dois casos, quais 
as maiores solicitações, de tração e de compressão. Após isto parte-se para a fase de projeto, 
escolhendo, assim, a melhor forma possível de acordo com os recursos disponíveis, buscando sempre 
 ≥ . 
Depois da escolha das dimensões das barras, então, deve-se conferir se o peso próprio estimado 
para a estrutura está coerente. Caso for muito discrepante deve-se repetir o processo de forma iterativa. 
AULA 6 
 
Dimensionamento do ELU de Barras Tracionadas 
 
 
Figura 6.1- Exemplo de ruptura e escoamento em uma barra de aço tracionada. 
 
I. ELU (ruína): 
- Ruptura 
- Deformação plástica excessiva 
 Seções distantes das ligações (nós): 
A distribuição de tensões é aproximadamente uniforme. 
 Seções próximas às ligações: 
A distribuição de tensões não é uniforme, pois há concentração de tensões. 
 ≤ Nt, ≤ Nt, 
ELU de escoamento da seção bruta: deformação plástica excessiva, falha dúctil. 
Nt, = 
 
 
 = 
 
 
 
Onde: 
 Área bruta 
 – Tensão de escoamento 
 
a. ELU de ruptura da seção líquida efetiva: falha frágil. 
Nt, = 
 
 
 = 
 
 
 
 Onde: 
 Área efetiva; 
 – Tensão de escoamento. 
Obs: Quando a ruptura ocorre devido a uma falha frágil, é necessária maior segurança sobre essa área, 
o que justifica o maior coeficiente aplicado na equação de resistência da seção líquida efetiva. 
 
b. Área Líquida ( ): 
 Furos alinhados: 
- Furos realizados por punção: 
 
Figura 6.2 – Furos realizados por punção. 
 
 diâmetro do furo = diâmetro do parafuso (d) + folga 
 
 
Figura 6.3 - Furos alinhados. 
 
 
 Onde: 
 – Número de furos na seção transversal. 
 Furos não alinhados: 
 
Figura 6.4 – Furos não alinhados. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.5 – Furos não alinhados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Área Líquida Efetiva: 
 
Figura 6.6 – Chapa de ligação ao nó. 
 
Onde: 
 – Coeficiente de redução ( ≤ 1). Considera se a seção é realmente efetiva e depende da maneira 
como acontece a transmissão de esforços na ligação; 
 – Área líquida. 
 Quando , a força de tração é transmitida diretamente para cada um dos elementos da 
seção transversal da barra por soldas ou parafusos. 
 Quando a tração é transmitida apenas por soldas transversais, 
 
 
 ≤ 0,9. ( é a área da 
seção transversal dos elementos conectados). 
 Não é aceita ligação com < 0,6. 
Obs: verificar os casos na NBR 8800. 
 
Exemplo: 
 
 
Figura 6.7 – Croqui do caso para o exemplo. 
 
 
 
 ≥ 0,6 e ≤ 0,9 
Onde: 
 - Excentricidade da ligação, igual a distância do centro geométrico da seção da barra ao plano de 
cisalhamento da ligação. 
 
AULA 7 
 
Resistência das ligações com parafusos 
 
 Comuns: instalados com aperto normal; a transmissão de esforços se dá através do contato 
entre o corpo do parafuso e a parede da chapa. 
 Alta resistência: instalados com alto torque (mobilizam o atrito entre as paredes ligadas); a 
transmissão de esforços se dá inicialmente por atrito (instalação tal que a tensão à tração seja 
igual a cerca de 70% do . 
 
Tipo (MPa) (MPa) 
A307 - 415 
A325 635 
560 
825 
725 
 
 
A490 895 1035 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solicitações 
- Corte 
- Tração 
- Corte e tração combinados 
 
 Resistência no Estado Limite Último 
Parafusos de alta resistência são instalados com um torque tal que a tensão de tração seja 70% da . 
Constatação: independentemente de um parafuso comum ou de um parafuso de alta resistência, no 
estado limite último o mesmo estará trabalhando por contato e a ruína se dará por corte. 
 
 Resistência ao Corte 
 
- Quando pc não passa pela rosca 
 
 
 
 
- Quando pc passa pela rosca 
 
 
 
 
 
Observação: toda a ligação com parafuso comum deve ser verificada como se o pc passasse pela 
rosca. 
 
 Resistência à Tração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resistência à tração e corte combinados 
- devem resistir isoladamente 
- verificar o critério de “interação” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Comportamento da chapa 
 
 
 
 
 
 
 
 
t = espessura da chapa analisada 
 = distância entre a borda do furo à borda do furo adjacente ou à borda da chapa 
 = diâmetro do parafuso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 8 
 
Ligações Soldadas 
 
Soldagem é um tipo de união por fusão de duas partes adjacentes. A energia utilizada para que 
ocorra essa fusão pode ter origem elétrica, química, óptica ou mecânica. Em construção a solda mais 
utilizada é a elétrica. 
 
 
Figura 8.1 – Esquematização de soldas elétricas (muito usadas para funções estruturais). 
 
Considera-se o metal base como o metal a ser soldado e o metal base o material utilizado que 
passa pelo processo de soldagem. 
O maior desafio em soldagem é como isolar o processo de fusão do meio ambiente, uma vez 
que esse contato pode fazer com que o material fundido se contamine e forme impurezas na solda. 
 
 Processos de Solda: 
o Eletrodo Revestido: SMAW (Shielded Metal Arc Welding) – 
Foi o precursor da soldagem industrial moderna, sendo o processo mais 
utilizado por diversos ramos da indústria até os anos 80. 
Nesse processo o isolamento é realizado por material inerte da soldagem 
(material que não se mistura) 
o Arco Submerso: SAW (Submerged Arc Welding) – 
É o processo no qual o calor de soldagem é fornecido por arco(s) 
desenvolvido(s) entre eletrodo(s) e a peça. O arco ficará protegido por uma 
camada de fluxo granular fundido, assim como o metal fundido e a poça de 
fusão, da contaminação atmosférica. 
Como o arco elétrico fica completamente coberto pelo fluxo, esse não é 
visível, e a solda se desenvolve sem faíscas, luminosidades ou respingos, que 
caracterizam os demais processos de soldagem. 
o Arco com Proteção Gasosa: GMAW (Gas Metal Arc Welding) – 
Nesse processo o eletrodo é um arame sem revestimento e a proteção da poça 
de fusão é feita pelo fluxo de um gás lançado pela tocha de soldagem. 
 
 Tipos de Solda: 
São definidos conforme a posição do material de solda em relação ao material a soldar (metal 
base). 
o Entalhe (de Topo) – Existem diversas formas de preparação da superfície a ser 
soldada por Entalhe, os chanfos, onde os mais comuns são as da Figura 8.2. 
 
 
Figura 8.2 – Solda Tipo Entalhe
em (a) com penetração total e em (b) com penetração parcial. 
 
 
 
 
Figura 8.3 – Exemplo de outras formas utilizadas para preparação da superfície a ser soldada. 
o De Filete 
 
 
Figura 8.3 – Solda de Filete (fillet weld). 
o Tampão (de Orifício): Circular ou Alongado – Usado para ligações de chapas 
mais finas. Os diâmetros e dimensões podem ser variados da solda Tampão. 
 
 
Figura 8.4 – Solda de orifício ou tampão, circular (plug weld) e alongado (slot weld). 
 
 Tipos de Eletrodos: 
Os eletrodos são varas de aço-carbono ou aço de baixa liga. Os eletrodos com revestimento 
são designados por expressões do tipo E70XY: 
E – eletrodo 
70 – indica resistência à ruptura da solda (em ksi) 
X – posição de soldagem 
Y – corrente do eletrodo 
*eletrodos sem revestimentos (usados em soldas com arco submerso) recebem convenções 
numéricas convencionais indicativas de resistência e outras propriedades, iniciadas pela letra F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Compatibilidade Metal Base/Metal Solda 
o Tabela de Compatibilidade (NBR 8800) – são consideradas a compatibilidade 
devido a razões químicas e de resistência, onde na qual o metal solda deverá 
ser sempre mais resistente que o metal base. 
 
* Casos que não é necessário verificar a resistência de ligação soldada (por norma) 
 - solicitação à tração ou compressão perpendicular ao eixo de solda, com solda entalhe com 
penetração total (Figura 8.5). 
 
 
 
Figura 8.5 – exemplo de verificação não necessária. 
 
ATENÇÃO: para solicitação de tração ou compressão perpendicular ao eixo de solda entalhe com 
penetração parcial É NECESSÁRIO verificar a resistência. 
 
 - solicitação à tração ou compressão paralela ao eixo da solda, com solda de entalhe com 
penetração total ou parcial (Figura 8.6). 
 
 
fw (Mpa) 
E60 415 
E70 485 
Tabela 8.1 - Tensão de ruptura à tensão do metal solda 
 
Figura 8.6 – exemplo de verificação não necessária. 
 
 - solda de filete submetida à tração ou compressão uniforme paralela ao eixo da solda (Figura 
8.7). 
 
Figura 8.7 – exemplo de verificação não necessária de solda de filete. 
 
ATENÇÃO: em casos de cisalhamento na ligação, de filete, a verificação é necessária (Figura 8.8). 
 
Figura 8.8 – exemplo de verificação necessária. 
 
* De todas as solicitações, o cisalhamento na ligação é usualmente o mais crítico. 
 
Em verdade a distribuição de tensões é complexa nas ligações soldadas, sendo aceitas 
simplificações pela Norma. 
 
 Verificações: 
o Ruína no Metal Base: 
 
Rd = 
 n
 a
 = 
 y. AM 
 a
 = 
 y. AM 
 
 
AM : área teórica de fusão, igual a “lxD”. 
 
o Ruína no Metal Solda: 
 
Rd = = 
 n
 a
 = 
 w . Aw
 a
 = 
 w. Aw
 
 
 Aw: área efetiva de solda, igual a “twxl”. 
 
ATENÇÃO: Em solda de filetes faz-se a aproximação de seus lados a triângulos retângulos e os filetes 
são designados pelos comprimentos de seus lados. Na maioria dos casos os lados dos filetes são iguais. 
Denomina-se garganta a espessura desfavorável tw, perna o menor lado do filete e raiz a interseção 
das faces de fusão. 
 
 
Figura 8.9 – Soldas de filete, assimiladas, para efeito de cálculo, a triângulos retângulos. 
 
Assim o valor da espessura efetiva da solda (garganta) é de: 
tw = 
 
 
 
 
* Se os lados do triângulo forem de valores diferentes (b1 e b2): 
tw = 
 1 2
 1 2 
 
 
ATENÇÃO: No caso de entalhe (Figura 8.10) considera-se 
tw = t 
 
 
Figura 8.10 – Garganta em entalhes. 
 
* Para entalhes parciais deve-se considerar o ângulo da soldagem e da sua distância desde a superfície 
da placa (Figura 8.11): 
 
Se α ≥ 60o tw = D 
 45
o ≤ α ≤ 60o tw = D – 3mm 
 
Figura 8.11 – Garganta em entalhe parcial. 
 
 
 
AULA 9 
 
Resistência de Barras Comprimidas 
 
 
Figura 9.1 – Barra perfil I submetida à um esforço normal de compressão. 
 
No dimensionmamento de estruturas de aço, como qualquer outra estrutura, busca-se sempre 
obter uma resistência de projeto maior que uma solicitação de projeto ( ), sendo: 
 
 
 
 
Onde: : resistência de projeto; 
 : resistência nominal; e 
 : coeficiente parcial de segurança relacionado ao material. 
A resistência nominal da barra, ou seja, a encontrada analizando os estados limites, dependerá 
das condições de exposição das ações evolvidas. Para barras com tensões normais, como vimos para a 
tração, deve-se levar em consideração, para o estado limite último, o seguinte: 
 Ruptura; 
 Deformação plástica excessiva; e 
 Instabilidade. 
Para casos onde temos compressão, o foco será a instabilidade. Investigando desta forma, 
saberemos se realmente a flambagem, a qual barras comprimidas podem estar sujeitas, comandará a 
análise da resistênmcia nominal. Caso negativo, teremos conhecimento se estamos fora desta zona e 
dimensionando uma barra que irá se deformar plasticamente, por esmagamento, até a ruptura. 
Nos perfis de barras estudados poderemos ter dois tipos de flambagem: a global, que envolve 
toda a peça, e a local, que envolve parte dela. A flambagem global se caracteriza pela perca da 
estabilidade da peça toda, de uma forma geral, como mostra a Figura 0. Já a local acontece quando 
apenas uma parte da peça desestabiliza, como mostra a Figura 0. Isto pode ocasionar a perca da 
resistência nominal inicial e pode levar à desetabilização total, caso haja continuidade ou aumento a 
nos esforços. 
 
 
Figura 9.2 – Modo de flambagem por flexão 
global de uma peça esbelta. 
 
 
Figura 9.3 – Ilustração de flambagem local 
numa barra perfil I. 
De modo a levar em consideração as duas possibilidades de flambagem das peças, a 
resistência de projeto de uma barra submetida à compressão será: 
 
 
 
 
Onde: : resistência de projeto; 
 : redutor para considerar a flambagem global (≤ 1); 
 Q: redutor para considerar a flambagem local (≤ 1); 
 : área bruta da seção; 
 : tensão de escoamento; e 
 : coeficiente parcial de segurança relacionado ao material. 
 
Flambagem Local – Coeficiente Redutor Q 
 
 
Figura 9.4 – Análise empírica da flambagem local de peças através de seus perfis. 
 
Como na Figura 0, considerando os perfis e dimensões das barras, sabemos quais estarão 
mais propensas à flambagem. Teoricamente, este estudo se dá através da esbeltez das 
componentes, dada por: 
 
 
 
 
Onde: : esbeltez; 
 b: largura da peça; e 
 t: espesssura da peça. 
A análise dos problemas será feita na forma bidimensional, e a tensão crítica de 
flambagem se dará por: 
 
38 
 
 
 
 
Onde: k: coeficiente que depende das condições de contorno da peça e da forma do 
carregamento; 
 E: módulo de elasticidade do material; 
 ν: Coeficiente de Poison do material; e 
 : esbeltez da peça. 
 
 
 
Figura 9.5 – Gráfico que relaciona a esbeltez das peças com tensão crítica. 
 
A flambagem local é um problema de ocasionado na flambagem de placas. Neste sentido, 
daremos atneção à esses componentes. 
 
Figura 9.6 – Placa submetida
à esforços de compressão. 
 
39 
 
Simplificações Normatizadas 
* Tipos de componetes – analogia com placas 
Pode-se classificar os componentes das peças, após desmebrá-las, em: 
 Componente AL: apoiado-livre; e 
 Componente AA: apoiado-apoiado. 
Diz-se que, após as placas serem hipoteticamente separadas entre si, as partes internas – 
uniões entre placas – são as partes apoiadas, e as extremidades são as partes livres. 
 
 
Figura 9.7 – Exemplificação da separação de uma peça em placas e da classificação de seus 
lados. 
 
* Definição do coeficiente Q 
Para definir os coeficientes Q, a NBR8800 separa as partes das peças em grupos no seu 
Anexo F (tabela F.1). Nesta tabela se encontra a definição da esbeltez limite de cada 
componente e, a partir daí, as condições para calcular Q. Tem-se: 
 Elementos AA nos grupos 1 e 2; e 
 Elementos AL nos grupos 3, 4, 5 e 6. 
Uma peça com perfil L, por exemplo, tem ambas partes com esbeltez e Q definidos no 
grupo 3. Já uma peça com perfil I tem sua mesa com os itens citados definidos no grupo 5 e, sua 
alma, no grupo 2. Sabe-se que se a esbeltez da peça for menor que a esbeltez limite definida 
pela tabela, Q será igual a 1, ou seja, a peça não sofrerá flambagem local: 
Se 
 
 
 , Q = 1 
 
40 
Define-se: 
Q = : seções com apenas componentes AL; 
Q =: seções com apenas componentes AA; e 
Q = : seções com ambos componentes. 
1. Elementos AL - 
Os valores de dos elementos AL pela Tabela F.1 do Anexo F da NBR8800 são 
calculados de formas diferentes. Eles dependem da forma original da peça, ou seja, do grupo em 
que se encontram. Listam-se alguns exemplos: 
GRUPO 3: 
 
 
 
 
 
 
 Se ≤ 
 
 
  = 1  Não flamba 
 Se 
 
 
 ≤ 
 
 
  
 
 
  Flambagem não elástica 
 Se 
 
 
  
 
 
  Flambagem elástica 
GRUPO 4: 
 
 
 
 
 
 
 Se ≤ 
 
 
  = 1  Não flamba 
 Se 
 
 
 ≤ 
 
 
  
 
 
  Flambagem não 
elástica 
 Se 
 
 
  
 
 
  Flambagem elástica 
2. Elementos AA - 
Os valores de dos elementos AA pela Tabela F.1 do Anexo F da NBR8800 são 
calculados como segue: 
 Se ≤ 
 
 
  
 Caso contrário, 
 
 
, onde: 
 : área efetiva; e 
 : área bruta. 
 
Onde: b: largura da peça; 
 : largura efetiva da peça; e 
 
41 
 t: espesssura da peça. 
Nota: deve-se levar em consideração no somatório todas as larguras de elementos AA da 
peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (sempre 
Onde: : tensão atuante na peça (demanda processo iterativo). 
Pode-se calcular através da expressão (para a qual definiremos a seguir) 
ou, de forma conservadora, (tem-se, assim, a menor área efetiva possível). 
 
 
Figura 9.8 – Exemplificação da largura efetiva da peça. 
 
 
 
42 
AULA 10 
 
Resistência Barras Comprimidas 
 
 
 
 
Onde: 
 - Flambagem global ( ≤ 1,0); 
 – Flambagem local ( ≤ 1,0). 
 
Flambagem global 
 
 Tipos de flambagem: 
- Seções fechadas: possuem grande rigidez à torção e predomina a flambagem por flexão; 
- Seções abertas: possuem pequena rigidez à torção e pode ocorrer flambagem por torção. 
 
I. Flambagem por flexão: típica de seções fechadas e seções duplamente simétricas. 
 
Figura 10.1 – Seção duplamente simétrica. 
 
II. Flambagem por torção: típica em seções tipo cruz (simétrica em relação a um ponto). 
 
43 
 
Figura 10.2 – Seção tipo cruz. 
 
III. Flambagem por flexo-torção: típica em seções monossimétricas (com um ou nenhum 
eixo de simetria). 
 
Figura 10.3 – Seção monossimétrica. 
 
 Abordagem da Norma (NBR 8800): 
Calcula-se uma esbeltez “reduzida” da peça. 
 
 
 
 
Onde: 
 
44 
 - Capacidade da peça à flambagem elástica (menor valor entre os possíveis valores) 
Se 
 ã 
 
 
 ã 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 – Valores de em função do índice de esbeltez . 
 
 Casos de barras com dupla simetria ou simétricas a um ponto: 
 
1. Flambagem por flexão em relação ao eixo principal de inércia X: 
 
 
 
 
 
2. Flambagem por flexão em relação ao eixo principal de inércia Y: 
 
 
 
 
 
3. Flambagem por torção em torno do eixo longitudinal Z: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 - Parâmetro de flambagem (depende da vinculação); 
 - Momento de inércia à flexão; 
 
45 
 - Constante de empenamento da seção; 
 - Módulo de elasticidade longitudinal do aço; 
 - Módulo de elasticidade transversal do aço; 
 – Comprimento da barra; 
 - Constante de torção da seção transversal (torção pura); 
 - raio de giração polar da seção em relação ao centro de cisalhamento. 
 
 Onde: 
 e - Raios de giração em relação aos eixos principais de inércia x e y; 
 e - Coordenadas do centro de cisalhamento em relação ao centro geométrico da seção. 
 
 Casos de barras com seção monossimétrica cujo eixo de simetria é o eixo Y: 
 
1. Flambagem por flexão em relação ao eixo de inércia X: 
 
 
 
 
 
2. Flambagem por flexo-torção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Figura 10.5 – Seção monossimétrica cujo eixo de simetria é o eixo Y. 
 
 Coeficientes K para barras isoladas: 
 
 
Figura 10.6 – Coeficientes K para barras isoladas. 
 
 
 
 
 
 
A�o e Madeira/Apostila - �rea 2.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS DE AÇO E 
MADEIRA - [ENG01110] 
 
 
 
 
 
 
 
 ÁREA II 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
 
 
Prof. Dr, Ruy Carlos Ramos Menezes 
 
 
 
2 
 
Área 2 
 
AULA 1 
 
Resistência de Peças Submetidas à Flexão 
 
 
Mn
 
 ≥ Md momento fletor 
Rd ≥ Sd 
 
 n
 
 ≥ d esforço cortante 
 
Sd: solicitação de projeto 
Estados Limites: 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Esquema para o perfil I 
* considerando-se perfis compostos por chapas, conforme mostrado na Figura 1.1 
 
Mesa superior 
Alma 
 
3 
Figura 13.2 – perfis mais usados para flexão, sendo os três primeiros os de menor rigidez à torção 
 
 Plastificação: Mn
plast
 
 Flambagem Local (da mesa e da alma): Mn
FLM
 e Mn
FLA
 
 Flambagem Lateral com Torção: Mn
FLT
 
Sendo que o menor Mn será o valor a ser considerado de para o Mn. 
 
PLASTIFICAÇÃO: 
Ocorre ger lmente p r v lores de „b/t‟ pequenos. 
Deformações Tensões Seção 
 
 
 
 
 
 
 
no regime elástico
início do escoamento 
 
 
 
 
 
 
 
regime inelástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
plastificação total ** 
 
** momento de plastificação (rótula plástica). 
 
 
e<ey 
e<ey 
σ<fy 
σ<fy 
e=ey 
e=ey 
fy 
fy 
e>ey 
e>ey 
fy 
fy 
fy 
fy 
 
4 
 
AULA 2 
 
Resistência à Flexão 
 
 ELU Plastificação: 
 
 
 
 
Onde: 
 - Momento de plastificação; 
 - Momento de início de escoamento; 
 = 1,1 
 Revisando: 
 
- Regime elástico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- No caso de ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
5 
 – Propriedade da seção transversal; 
 – Propriedade geométrica da seção (módulo elástico); 
 – Propriedade física do material. 
I. Equilíbrio à Translação: 
 
 
 
 
 
 
 
II. Equilíbrio de Momentos: 
 
 
 
 
Onde: 
 – Propriedade da seção transversal; 
 – Propriedade geométrica da seção (módulo plástico); 
 – Propriedade física do material. 
III. Fator de Forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
a) Seção retangular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seção I duplamente simétrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (em perfis usuiais está entre 1,1 e 1,2) 
IV. Esbeltez dos Componentes: 
 
Alma: 
 
 
 
Mesa: 
 
 
 
 (limite) 
 Aplicação: 
 
 (considerando que o EL último é a plastificação) 
Dados: 
 
7 
Perfil: VS 300 x 50,9 
Aço: MR 250 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
AULA 3 
 
Plastificação 
 
P r “b/t” pequen s: 
 MRd = 
Mpl
1 10
 
 Mpl = Z.fy 
sendo Z: propriedade geométrica 
P r “b/t” gr ndes: C so de Fl mb gem Loc l 
Premissas: 
 Elementos estruturais são compostos por chapas; 
 Estas chapas são carregadas no seu plano. 
 
 
 
Problemas: Flambagem de placas 
A equação diferencial para o equilíbrio a direção deformada é a seguinte, 
 
4
w
 x
4 
2. 
4
w
 x
4
 y
4 
 
4
w
 y
4 
fx.t
 
. 
 
2
w
 x
4 = 0 
 sendo D: rigidez da placa à flexão, dada pela equação D = 
 
 
 
 
- Rigidez e flexão da barra 
mesa 
alma 
 
9 
 
EIx 
 .b.h
3
12
 
- Rigidez à flexão da placa (ou chapa) 
 
 
Rigidez: 
 
 
 tendo que (1 – ν2) < 1 
Para a solução de auto-valores (carregamento flambagem) e auto-vetores (forma de flambagem) 
considera-se o menor auto-valor, que é a carga crítica. 
sendo que k: considera como a placa está vinculada (apoiada, livre, engastada, etc) e 
como está carregada (forma do carregamento) 
 b/t: esbeltez da placa (da chapa) 
 Validade: 
 Regime elástico linear (lei de Hooke) 
 Placa sem imperfeições 
Observ ção: m c sos re is existem tensões residu is (σr). 
h
b
x
1
t
 
10 
 
 
 
 
Mesa: 
b
t
 carregamento uniforme; 
 vinculação livre/(apoio – engaste); 
 
Alma: 
b
t
 carregamento triangular (compressão e tração); 
vinculação (apoio – engaste)/(apoio – engaste); 
válido
cr 
(tensão)
fy
fy - r
r =B/t
elástico
inelástico
plastificação
Mn
Mpl
Mr
p r =B/t
b
b
t
t
 
11 
 
Conclusão: kmesa 
 Kalma 
limites λp e λr p r mes e p r lm 
MRd = 
Mn
1 10
 
genericamente: 
- se λ≤λp M = Mpl 
- se λ>λp e λ≤λr M – interpolado linearmente entre Mpl e Mr 
- se λ>λr M = Mcr = W.σcr 
 
* ver NBR8800 - nexo G: v lores λp e λr p r seções típic s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
AULA 4 
 
Resistência ao cisalhamento 
 
 Na plastificação 
 
 
 
 
Válido para perfil com componente 
 
 
 pequeno. 
 Estado Limite Último de Flambagem Local 
Considerações: 
- a peça estrutural é composta por chapas 
- estes componentes são solicitados no seu plano 
O equilíbrio na condição deformada resulta numa equação diferencial, cuja rigidez é dada por: 
 
 
 
 
Essas equações resultam em um problema de autovalores e autovetores, porém para a resistência o 
menor valor: 
 
 
 
 
 
 
 
Validade: 
- regime elástico (lei de Hooke) 
- isenta de imperfeições 
 
13 
 
Mesa: carregamento uniforme 
 
 
 : vinculação livre (apoio-engaste) 
Alma: carregamento com variação linear 
 
 
 : vinculação (apoio-engaste) - (apoio-engaste) 
Conclusão: mes e lm têm v lores de “K” diferentes conseqüentemente e . 
Casos reais são obtidos numericamente e experimentalmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
AULA 5 
 
Resistência ao Momento Fletor 
 
- ELÚltimo Flambagem Lateral com Torção (FLT) - 
 
[M] – o momento é uniforme (constante) ao longo da estrutura e igual a Mo. 
Para determinar o Mocrítico (o momento que leva a instabilidade) é necessário se equacionar 
a equilíbrio na condição deformada, gerando-se assim um problema de auto-valores e auto-vetores. 
Então, tem-se seguinte equação: 
ECw 
d4 
dz4
 - GI
d2 
dz2
 - 
Mo
 y
 = 0 
ECw: rigidez à torção com empenamento; 
GI: rigidez à torção pura; 
EIy: rigidez à flexão em torno do eixo de menor inércia. 
 Observação: 
Os seguintes perfis representados ao lodo não iriam flambar 
lateralmente, sendo que: 
- os dois últimos perfis tem a mesma inércia, pois são 
simétricos nos dois eixos; 
- o primeiro perfil, na posição desenhada, já está no eixo de menor inércia, e os perfis 
tendem a se acomodar em torno do eixo de menor inércia. 
 
 Validade: 
 Regime elástico; 
 Peça isenta de imperfeições 
 Momento uniforme (constante no trecho) 
Contenções laterais 
 
15 
 
A solução para o problema de auto-valores: cargas de flambagem 
 auto-vetores : formas
de flambagem 
Sendo o menor auto-valor: 
Mocrítico = 
 
Lb
 yG (
 
Lb
 
2
 y Cw 
 Porém em casos reais o momento no vão não é uniforme, sendo: 
Mocr
não unif 
= Mocr
unif
.Cb 
 
(não analítica) (analítica) 
Cb: 
 
A condição mais severa para a peça (sob a ótica de flambagem lateral) é a condição onde o 
momento aplicado é uniforme entre os pontos de contenção lateral: 
Cb ≥ 1 
 Cb = 
12 5.Mm x
2 5.Mm x 3M 4M 3MC
.Rm 
* os valores de Mmáx, MA, MB e MC serão determinados como o valor de Mmáximo no trecho 
considerado e pelos valores de M em divisões de mesma distância do trecho, com Lb/4. 
Rm: parâmetro de monosimetria; 
Rm = 0,5 + 2( 
 c
 y
)
2
 
Observação: A equação Rm é usada em casos onde a peça estiver submetida a curvatura severa, pois 
para a maioria dos casos considera-se Rm = 1. 
Iy: momento de inércia da peça em torno do eixo de simetria; 
Ic: menor momento de inércia da mesa comprimida em torno do eixo de simetria. 
Maior deformação 
(menor momento 
de flambagem) 
Maior Mo 
Cb≥1 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
AULA 6 
 
Resistência ao Momento Fletor 
 
 
No regime elástico 
Mcr = 
 
Lb
. yG (
 
Lb
 
2
 y Cw 
*não uniforme: Mcr = Cb.Mcr
unif.
 Cb ≥ 1 0 
Sendo Cb função da distribuição de momento (Mmáx, MA, MB, MC). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MnFLT - Flambagem Lateral com Torção
Mp
Mr
p r
Assim deveremos, primeiramente, calcular 
λ = Lb/ry 
Sendo Lb: distância entre contenções laterais 
 Se λ≤λp Mn = Mp 
 Se λp<λ≤λr interpolação linear entre Mp e Mr 
Mn = Mp – (Mp – Mr).(λ – λp)/(λr – λp) 
 Se λ>λr Mn = Mcr 
Para definir λp; λp; Mr; Mcr com valores apresentados no Anexo G da NBR 8800. 
 
18 
 
 
Resistência ao Esforço Cortante 
 
Rd ≥ Sd com VRd≥ Sd tal que VSd é o esforço das combinações de ação. 
VRd = 
 n
1 10
 
Estados Limite Últimos ssoci dos o cort nte d do sendo necess rio definir ζ conforme é 
representado na figura 18.1. 
 
 
Figura 18.1. – squem tiz ção de ζ p r seção . 
 
Assim, teremos que 
ζ = 
 
 x
.
S
b
 
Constatações: 
 As maiores tensões estão na alma; 
 As tensões variam, mas, do ponto de vista prático, podem ser consideradas uniformes na 
 lm com um v lor ζmed. 
ζmed = 
 
 w
 
Sendo V: esforço constante na seção 
 Aw: área efetiva para fins de cisalhamento 
Tal que 
Aw = tw.d 
Sendo tw: espessura da alma 
 d: altura da peça 
x
 
19 
 
- Problema sugerido: 
 
Placa submetida a um estado de tensões no seu plano 
 Se hw/tw for pequeno Plastificação 
 Se hw/tw for grande Flambagem (instabilidade) 
 
- Para a Plastificação: 
Vp = Aw.ζy ζy = 
fy
 3
 ≈ 0 6.fy 
Vn = Vp = 0,6.Aw.fy 
 
- Para a Flambagem no regime elástico: 
Vn = Vcr = Aw.ζcr 
* Sendo necess rio definir ζcr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 7 
a
hw
tw
 
20 
 
Flambagem de Placas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Validade: 
 Regime elástico; 
 Peça isenta de imperfeições. 
 
 
Se ; então 
Se ; então 
 
 
 
Se ; então 
 
 
 
 
 
Por exemplo: Perfil I 
 
 
 
 
 
 
 
 5,0 
 
 
 
 
 
 
 
 ; caso contrário: 
 
21 
a: distância entre enrijecedores de alma 
 
 Procedimento usual: encontrar o espaçamento entre enrijecedores que proporcione a 
resistência adequada ao cortante 
 
Resistência a Solicitações Combinadas 
Caso Real: Edifício (pórtico) 
 
Para carregamentos verticais (apenas): 
 Barras horizontais: flexão (vigas) 
 Barras vericais: axiais (almas) 
Para carregamentos horizontais em todas as barras: par de [M eN] (simultâneas) 
Abordagem: 
 
 
 
 
 
 
 (verificação da tensão) 
Obs: 
I) Na compressão há amplificação dos momentos atuantes; 
 
22 
II) É necessário, adicionalmente verificar a estabilidade. 
 
Estados Limites de Serviço: 
 Ações: freqüentes; ocorrem muitas vezes na saída útil da estrutura; 
 Resistências: 
- Estabelecidas pela forma de utilização da estrutura; 
- Deslocamentos máximos: visual; funcionamento de equipamentos; 
- Acelerações e vibrações: conforto. 
 Equações de projeto: difícil generalização e formulação 
 Normas: usualmente fixam limites de deslocamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 8 – 9 
Exemplo: 
 
23 
Determinar Pd que atenda os Estados Limites Últimos aplicáveis à viga abaixo: 
 
 
 
Viga: VS 400x78 
Aço: MR 250 
 Desconsiderar o peso próprio da viga; 
 Considerar as seguintes alternativas de contenção lateral: 
A. Contenção lateral nos apoios e pontos de aplicação das cargas concentradas; 
B. Contenção lateral apenas nos apoios; 
C. Contenção lateral de forma contínua. 
 
Resolução: 
Conforme estudado, tem-se que: 
 
 
 
 
Para a flexão: 
 Plastificação 
do catálogo: 
d = 400mm 
bf = 200mm 
tf = 19mm 
tw = 6,3mm 
Pelo cálculo das 
propriedades 
geométricas: 
 
hw = 362mm 
Ix = 30094cm
4 
Iy = 2534cm
4 
rx = 17,45cm 
ry = 5,06cm 
Wx = 1505cm
3
 
Zx = 1654cm
3 
Jt = 94,63cm
4 
Cw = 919353cm
6 
1 = 0,010471 
 
24 
ELÚltimo FLM; FLA 
 FLT 
 
MRd = 
 
 
 
Mn = Mcr = 
 
 
 (perfis viga soldada) 
 
Solicitações: Traçando os diagramas teremos os valores representados a seguir. 
 
FLM: 
 
λ = b/t = 100/19 = 5 3 
Mp = Zx.fy = 413,5 kN.m 
 
25 
Mr = Wx.(fy-σr) = Wx.0,7.fy = 263,3 kN.m 
Pelo Anexo G da NBR: 
λp = 0 38. 
 
fy
 = 10,9 
λr = 0,95. 
 
(fy- σr /Kc
 = 23,6 
tal que Kc = 
4
 hw/tw
 = 0,528 (dependerá da rigidez proporcionada pela alma) 
Mn
FLM
 
 = 
 
 
 = 375,91 
 
FLA: 
 
 
 
 
 
 
λ = 326/6,3 = 57,4 
Mp = 413,5 kN.m 
Mr = Wx.fy = 376,2 kN.m 
λp = 3,76. 
 
fy
 = 107,7 
λr = 5,7. 
 
fy
 = 163,2 
Mn
FL 
 
 = 
 
 
 = 375,91 
 
 
 
 
FLT: 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso A: Mp = 413,5 
 Mr = 263,3 (idem FLA) 
 Trecho i: Lb = 2,5m = 250cm Msd = 6Pd 
 Trecho ii: Lb = 600cm Msd = 6Pd 
 Trecho iii: Lb = 150cm Msd = 2,4Pd 
Assim o trecho ii é o mais uniforme, com menor Cb, sendo o trecho crítico e de menor resistência 
(rd). Já o trecho iii é o de maior resistência (rd). 
Lb = 600cm 
λp = 1 76. 
 
fy
 = 50,4 
λr = 
1 38. y. 
ry. . 1
. 1 1 
27.Cw.12
 y
 = 169,9
27 
tal que 1 = 
 fy- σr .W
 . 
 = 0,013574 
λ = 600/5 06 = 118 5 
 
Mn = [Mp – (Mp – Mr (λ – λp)/(λr – λp)].Cb ≤ Mp 
tal que Cb = 
12 5.Mm x
2 5.Mm x 3M 4M 3MC
.Rm = 1,32 
sendo 
 
com Mmáx = 6Pd 
 MA = 5,1Pd 
 MB = 4,2Pd 
 MC = 3,3Pd 
 
Mn = 328.1,32 = 433kN.m sendo assim maior que Mp, logo, por norma, 
Mn = Mp = 413,5kN.m 
 
 
 
Mn – menor (Mn
FLA
; Mn
FLM
; Mn
FLT
) = 413,5kN.m 
MRd ≥ Msd 
 
28 
413 5/1 10 ≥ 6Pd 
Pd ≤ 62,7kN 
 
 
Caso B: Contenção lateral apenas nos apoios. 
Lb = 1000cm 
λ = 1000/5 06 = 197 5 (regime el stico 
Mcr = 
 . . y
Lb
2 .Cb. (1 0 039.
 .Lb
2
Cw
 
Cw
 y
 = 273,4 kN.m 
Com Mmáx = 6Pd MA = 6Pd MB = 4,5Pd MC = 3Pd Cb = 1,25 
 
 
MRd ≥ Msd 
273 4/1 10 ≥ 6Pd 
Pd ≤ 41,4kN 
 
 
Caso C: Contenção lateral contínua. 
* não há flambagem lateral de torção. 
Mn - menor (Mn
FLA
; Mn
FLM
) 
Mn = 413,5 
MRd ≥ Msd 
413 5/1 10 ≥ 6Pd 
Pd ≤ 62,7kN 
 
Limite dado por Vsd 
Supondo que há enrijecedores de alma nos apoios e nos pontos de aplicação das cargas concentradas: 
a 250 600 150 
a/hw 6,9 16,6 4,14 
 
29 
Kv 5,0 5,0 5,0 
 
Vn = Vp = 0,6.Aw.fy = 0,6.(40.0,63).25 = 378kN 
hw/tw = λ= 57,4 
λp = 1,1. 
Kv. 
fy
 = 70,4 
λr = 1,37. 
Kv. 
fy
 = 87,5 
 
VRd ≥ sd 
378/1 10 ≥ 2 4Pd 
Pd ≤ 143,2kN 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
Vp 
=1,24. (
 
 
)2.Vp 
A�o e Madeira/Apostila - �rea 3.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS DE AÇO E 
MADEIRA - [ENG01110] 
 
 
 
 
 
 
 
 ÁREA III 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
 
 
Prof. Dr, Ruy Carlos Ramos Menezes 
 
 
 
2 
 
Área 3 
 
AULA 1 
 
Estados Limites de Serviço 
 
Observação: 
Conforme o que foi visto até agora: 
Ação: extremos – combinação de eventos com baixa probabilidade de ocorrência 
 Resistências: “no limite último” (plastificação, ruptura, instabilidade) 
Verificar segurança ao colapso; 
Limite de fácil generalização. 
 
Já no Estado Limite de Serviço: 
 Ação: ocorrem com relativa frequência 
 Resistências: associadas ao comportamento da esrutura 
 Deslocamento máximo: - visual 
- funcionamento de equipamentos 
 Acelerações/Vibrações: - conforto 
O limite é de difícil generalização. 
Pelas normas: Estabelecem verificações “indicativas”, como por exemplo deslocamentos 
máximos 
 
 
 
 
 
 
3 
AULA 2 
 
Metodologia de Projeto 
 
 NB 11/1951: tensões admissíveis; 
 NBR 7190/1997: estados limites (contestada - revisão). 
 
I. Características: 
 Excelente relação resistência/peso: 
 
 Sujeita à degradação biológica; 
 Material anisotrópico: resistência depende da orientação das fibras; 
 Sensível à umidade; 
 Apresenta fluência. 
 
II. Classificação: 
 Duras: provenientes de árvores frondosas (dicotiledôneas, da classe angiosperma), de lento 
crescimento. Ex: peroba, ipê, aroeira (carvalho brasileiro). 
 Macias: provenientes de árvores coníferas (da classe gimnosperma), de rápido crescimento. 
Ex: pinheiro-do-pará, pinheiro brasileiro, pinheiro bravo, pinheiro norte-americano, pinheiro 
europeu. As sementes dessas plantas se agrupam em forma de cone, nos quais existem falhas 
em forma de agulhas ou escamas. 
 
III. Propriedades Físicas: 
 Anisotropia; 
 Umidade: 
 
 
 
- Variações: 10 – 20% 
Material ρ (t/m³) f (MPa) f/ρ
Concreto 2,5 40 16
Aço 7,85 250 32
Madeira compressão 0.5 - 1,2 30 -60 50 - 60
Madeira tração 0,5 - 1,2 30 - 110 60 - 90
 
4 
- Umidade padrão: 12% 
 Variações dimensionais: retração e inchamento 
 
 Dilatação térmica linear: a /°C 
 Resistência à degradação: 
- Biológica; 
- Ataque do fogo. 
 Defeitos: 
 
 
 
 
 
5 
 
 
IV. Tipos de Peças em Madeira: 
 
 Maciça: 
- Bruta ou Roliça: escoramentos, portas, estacas, colunas 
- Falquejada: faces laterais são extraídas 
- Serrada: tronco serrado. Nas serrarias se obtém seções de dimensões comerciais. 
 Industrializadas: 
- Compensada: formada pela colagem de lâminas finas com direções das fibras alternadamente 
ortogonais. 
- Laminada: madeira selecionada, cortada em lâminas (15 – 50 mm) as quais são coladas sob 
pressão formando seções retangulares em geral. 
- Recomposta: produtos desenvolvidos com base em resíduo de madeira. 
 
V. Sistemas estruturais em madeira: 
 
 Treliças para cobertura 
 
 
6 
 Vigamentos de pisos 
 Pórticos 
 Pontes 
 Cimbramentos; escoramentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
AULA 3 
 
Resistência X Solicitação 
 
I. Propriedades Mecânicas para Base de Cálculo 
 
Origem - ensaios descritos no anexo B da NBR7190. 
 Resistência à compressão 
- Paralelo às fibras: 
- Normal às fibras: 
 Resistência à tração 
- Paralela às fibras: 
- Normal às fibras: (resistência baixa) 
 Resistência à flexão: ( ) 
 Resistência ao cisalhamento paralelo às fibras: 
 Resistência ao embutimento: 
- Pressão de apoio (em ligações com conectores) – normal ( e na direção das fibras 
 Módulo de elasticidade 
- Paralelo às fibras: 
- Normal às fibras: 
 Densidade 
- Básica 
- Aparente: na umidade padrão (12%) 
 Adicionais 
- Estabilidade dimensional 
- Flexão com choque 
- Fendilhamento; dureza 
 
II. Características dos Ensaios: 
 
- São realizados em peças isentas de defeitos 
- Apresentam dispersão de valores 
- Há correlação entre propriedades 
 
8 
 
 Dispersão: 
 
 
 
 
PROPRIEDADE MEDIDA COEF. DE VARIAÇÃO 
 
 
 
Resistência à flexão 16% 0,74 
Módulo de elasticidade 22% 0,64 
Resistência à compressão paralela às fibras 18% 0,70 
Resistência à compressão normal às fibras 28% 0,54 
Resistência ao cisalhamento 14% 0,77 
Peso específico 10% 0,84 
 
 Correlação entre propriedades 
 – módulo de elasticidade, obtido no ensaio de compressão paralela às fibras 
 – módulo de elasticidade aparente, medido no ensaio de flexão 
 - Coníferas: 
 - Dicotiledôneas: 
 (longitudinal); (radial); (tangencial). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Variações de propriedade com: 
- A posição da peça na árvore 
- Defeitos 
- Umidade 
 
9 
 
- Admite-se uma variação da resistência de 3% para cada 1% de variação da umidade 
 
 
 
 
- Para o módulo de elasticidade a variação é de 2% 
 
 
 
 
- Fluência 
 
 
- Temperatura
- Fadiga 
 
 
- Duração da carga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
III. Combinações de Projeto / Cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores de e 
Combinação 
Ações permanentes Ações variáveis 
Grande var. Peq. Var. Recalq. Dif. Demais ações Var. Temp. 
Normais 
1,40 
(0,90) 
1,30 
(1,00) 
1,20 
(--) 
1,40 
(--) 
1,20 
(--) 
Etapas construtivas 
Especiais 
1,30 
(0,90) 
1,20 
(1,00) 
1,20 
(--) 
1,20 
(--) 
1,00 
(--) 
Excepcionais 
1,20 
(0,90) 
1,10 
(1,00) 
(--) 
(--) 
1,00 
(--) 
(--) 
(--) 
 
 
 
 
 
 
11 
AULA 4 
 
I. Valores de (Fonte: tabela NBR): 
 
II. Resistência de Projeto: 
Em termos de tensões: 
 
 
 
 
Onde: 
 = tensão limite de projeto 
 = tensão característica (obtida nos ensaios) 
 = coeficiente de minoração da resistência 
 = ajusta diversas particularidades na resistência da madeira 
 
 = ajusta o tipo de produto e o tempo de duração da carga 
 = considera o efeito da umidade 
 = a classificação estrutural da madeira 
Valores de 
Variações uniformes de temperatura em relação à média 
0,60 
Pressão dinâmica 
0,50 
Cargas acidentais 
- em locais onde não há predominância de pesos de equipamentos físicos, nem elevada concentração de pessoas 
- em locais onde há predominância de pesos de equipamentos físicos ou elevada concentração de pessoas 
- bibliotecas; arquivos; oficinas 
0,40 
 
0,60 
 
0,80 
Cargas móveis 
- pontes de pedestres 
- pontes rodoviárias 
- pontes ferroviárias 
 
0,40 
0,60 
0,80 
 
12 
 
III. Classes de Carregamento: 
 
 Permanente – duração comparável com a vida útil da estrutura; 
 Longa duração – mais de 6 meses; 
 Média duração – 1 semana a 6 meses; 
 Curta duração – menos de 1 semana; 
 Instantâneos – duração muito curta. 
K mod 1 Serrada; laminada; compensada Recomposta 
Permanente 0,60 0,30 
Longa duração 0,70 0,45 
Média 0,80 0,65 
Curta 0,90 0,90 
Instantânea 1,10 1,10 
 
 Classes de umidade: 
Classe Umidade relativa do ambiente Umidade relativa 
1 (padrão) ≤ 65% 12% 
2 65% < ≤ 75% 15% 
3 75% < ≤ 85% 18% 
4 > 85% > 25% 
 
 
Classe de umidade Serrada; laminada; compensada Recomposta 
1 e 2 1,00 1,00 
3 e 4 0,80 0,90 
Valores de K mod 2 
 
 Categorias de madeira: 
- 1ª categoria – praticamente sem defeitos 
- 2² categoria – alguns defeitos não presentes em todas as faces 
Produto Tipo de madeira Categoria Kmod3 
Serrada Dicotiledônea 
 
Coníferas 
1ª 
2ª 
1ª e 2ª 
1,0 
0,8 
0,8 
Laminada ou colada Qualquer 1ª ou 2ª 1,0 (peça reta) 
 
 
 
 
 
 (peça curva) 
 
IV. Valores de 
 
 
13 
 Compressão paralela às fibras: 
 
 
 
 Tração paralela às fibras: 
 
 
 
 cisalhamento: 
 
 
 
Aplicação: 
 estrutura: treliça; madeira Pinho do Paraná 
 localizada em região com umidade freqüente: 80% 
 construída com madeira serrada/2ª categoria 
 carregamento: de longa duração 
 ensaios: (fonte IPT) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 5 
 
14 
 
Verificação de Peças Estruturais de Madeira 
 
I. Estado Limite Último – NBR 7190/1997 
Para a verificação de peças estruturais de madeira através do E. L. Último se utilizará da mesma 
comparação já conhecida que envolve o efeito das combinações de ações as quais a peça está 
submetida (combinações normais, especiais ou de construção e excepcionais) e da resistência 
nominal da peça. As solicitações atuantes na peça podem ser encontradas, em termos de forças ou 
de tensões, através de análises estruturais diversas. Já a resistência é encontrada, em termos de 
forças ou de tensões, através de valores obtidos em ensaios do material, tratados com coeficientes 
de segurança necessários para o projeto. 
No E. L. Último esta comparação é feita através das tensões da peça, atuante e resistente. Para 
relembrar: 
Combinação de ações normais e especiais ou de construção: 
 
 
 
 
 
 
 
Combinação de ações normais e excepcionais: 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão resistente de projeto para peças de madeira: 
 
 
 
, onde é obtido através de ensaios. 
Porém, para a obtenção da tensão resistente de projeto se tem um obstáculo prático: encontrar o 
valor da tensão de escoamento do material. Este valor pode ser obtido através de ensaios no 
material, mas nem sempre esta alternativa é viável. Ele também pode ser encontrado em bancos de 
dados ou também através de ensaios similares. 
Para simplificar, a NBR 7190/1997 traz como alternativa a divisão das madeiras em classes de 
resistência, as quais dividem as madeiras em classes distintas e estabelecem valores para 
resistência a compressão ( ), resistência ao cisalhamento ( ), módulo de elasticidade para 
 
15 
compressão médio ( ), peso específico básico médio para umidade a 12% ( ) e peso 
específico aparente para umidade a 12% ( ). Estes valores se dividem para: 
 Dicotiledôneas (madeiras duras) 
Classes [MPa] [MPa] 
C20 20 4 9500 500 650 
C30 30 5 14500 650 800 
C40 40 6 19500 750 950 
C60 60 8 24500 800 1000 
 
 Coníferas (madeiras macias) 
Classes [MPa] [MPa] 
C20 20 4 3500 400 500 
C25 25 5 8500 450 550 
C30 30 6 14500 500 600 
 
Deve-se adquirir a madeira para construção da estrutura de acordo com as características 
especificadas no projeto, após a escolha da classe em que serão realizados os cálculos da 
resistência. As características devem ser comprovadas por ensaio sempre que possível. 
 
II. Critérios de Dimensionamento no Estado Limite Último 
 Compressão paralela às fibras 
Tensão atuante  Tensão resistente 
 
 
 
 Compressão normal às fibras 
Tensão atuante  Tensão resistente 
 
 
16 
 
Figura 5.1 – Ilustração de um caso onde há compressões normal e paralela às fibras de uma peça. 
Neste caso, será o valor crítico da análise. 
 
 , onde é um valor empírico. 
 se b < 15 cm e a > 7,5 cm (valores obtidos experimentalmente, vide tabela abaixo); e 
 nos casos contrários ao já citado. 
b 1 2 3 4 5 7,5 10 15 
 2 1,7 1,55 1,4 1,3 1,15 1,1 1 
 
 Compressão inclinada às fibras 
Tensão atuante  Tensão resistente 
 
 
17 
 
Figura 5.2 – Ilustração de um caso de compressão inclinada às fibras. 
 
A “capacidade inclinada”