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Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 1 FENÔMENOS DE TRANSPORTE – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. De uma caixa d’água sai um tubo horizontal com diâmetro D1 = 200 mm e pequeno comprimento. Logo após a saída, o tubo reduz seu diâmetro para D2 = 75 mm e jorra a água na atmosfera, com vazão Q = 32 l/s. Considere as perdas de energia igual a 15% da carga cinética do jato. Determine: a) a carga de pressão no início de D1. b) a carga total He. c) a potência da corrente líquida. Solução: a) A carga de pressão no início de D1. Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2: 1Z 2 2 1 1 2 2 v p v 0,15 Z 2g 2g 2 2 2v p 2g 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1p v v v p v v0,15 1,15 I 2g 2g 2g 2g 2g Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 22 3 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 22 3 22 2 2 2 Mas : Q v A v A Q v A e Q v A Q v A Substituindo : 0,2D Q 0,032 m / s A A m A 0,0314 m 4 4 0,032 Q v A 0,032 v 0,0314 v m / s v 1,02 m / s 0,0314 e Q v A Substituindo : 0,075D Q 0,032 m / s A A m A 0 4 4 2 2 2 2 2 2 ,00442 m 0,032 Q v A 0,032 v 0,00442 v m / s v 7,24 m / s 0,00442 Substituindo em (I): 2 22 2 1 2 1 1 1 1 7,24 1,02p v v p p p 1,15 1,15 m 3,07 0,053 m 3,017 m 2g 2g 19,62 19,62 b) A carga total He. Aplicando a Equação de Bernoulli entre 3 e 1, referência em 1: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 3 2 2 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 e v p v v p Z 0,15 Z 2g 2g 2g v H 2g 3 p 2 2 2 v 0,15 Z 2g 2 1 2v p 2g 2 2 1 2 1 e 2 22 2 1 2 1 e e e e v v p H 0,15 2g 2g Substituindo : 1,02 7,24v v p H 0,15 H 0,15 3,02 2g 2g 19,62 19,62 H 0,053 0, 4 3,03 m H 3,47 m c) A potência da corrente líquida. ot e ot ot P QH Substituindo : P 9,81 0,032 3,47 kW P 1,09 kW 2. A bomba E eleva a água entre os reservatórios R1 e R2. O eixo da bomba está situado 5,0 m acima da superfície livre de R1, ponto A. No ponto final do sistema elevatório (a 50,2 m acima do eixo E), a água descarrega na atmosfera. Há o desnível d = 20 cm entre o eixo (entrada) da bomba e a sua saída (ponto C). São dados: 2 C 2 AC 2 CF 3 água D 200 mm diâmetros das tubulações p 5,45 kgf / cm pressão em C v h 6 perda contínua na tubulação AC 2g v h 4 perda contínua na tubulação CF 2g 1000 kgf /m a) Esquematize o sistema b) Determine a potência da bomba c) Determine a vazão da água Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 4 Solução: a) Esquematize o sistema Aplicando a Equação de Bernoulli entre C e F, referência em C: 22 C C F F C F C v p v pv Z 4 Z 2g 2g 2g Z 2 0 v 2g 2 254500 v v 4 50 1000 2g 2g F p 0 2 2 2 2 2 v v 2v 4,5g 54,5 4 50 4 50 54,5 4,5 v 2g 2g g 2 4,5 9,81 v v 4,70 m / s 2 Aplicando a Equação de Bernoulli entre A e C, referência em A: 22 C cA A A B C 2 B A v pv p v Z 4 h Z 2g 2g 2g 4,70 54500 h 5,2 Z 19,62 1000 0 Av 2g 0 Ap 20 B B 4,70 4 19,62 h 5,2 1,126 54,5 4,5 h 65,3 m Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 5 b) Potência da Bomba 2 ot B ot B 22 ot B ot ot ot ot D P Qh P vh 4 Substituindo : 0,2D P vh P 1000 4,70 65,3 kgf m / s P 9642 kgf m / s 4 4 ou 9642 P cv P 128,56 cv 75 c) Vazão da Água 22 3 3 0,2D Q vA Q v Q 4,70 m / s Q 0,1476 m / s 4 4 3. Foram extraídos 51,2 kW de uma turbina, mantida as pressões manométricas em A e em B iguais a 144,4 kPa e -34,6 kPa, respectivamente. Considere os diâmetros AD 150 mm e B AD 3 D . Determine a vazão da água. Solução: Dados: A B A B A P 51,2 kW p 144,4 kPa p 34,6 kPa D 150 mm 0,150m D 3 D 3 150 mm 450 mm 0,450 m Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 6 Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli: 2 2 2 2 A A B B A A B B A T B T A B v p v p v p v p Z h Z h Z Z (1) 2g 2g 2g 2g Mas: 2 2 A A A A B B A B 2 2 A A B B A B A B A B D D Q v S v .S Q v v 4 4 0,450² v D v D v 0,150 ² v 0,450 ² v v v 9v 2 0,150² Fazendo as substituições em (1) e levando em consideração (2): 2 2 A A B B T A B B B T 2 2B B T T B v p v p h Z Z 2g 2g 9v ² 34,6v ²144,4 h 1 0 19,62 9,81 19,62 9,81 81v v ² h 1 14,72 3,53 h 19,25 4,08v (3) 19,62 19,62 Da expressão da potência, temos: T T 2 B B T B T B T T T B B P Qh 51,3 9,81 Q h D 3,14 0,450² V h 5,23 V h 5,23 0,0,159v h 5,23 4 4 5,23 32,89 h h (4) 0,159v v Comparando (3) e (4): 2 3 B B B B 3 B B 3 B 3 B 3 B 32,89 19,25 4,08v 4,08v 19,25v 32,89 0 v v 4,718v 8,061 (5) Por tentativas: v 1,2 m / s 1,20 4,718 1,20 8,061 7,3896 8,061 v 1,25 m / s 1,25 4,718 1,25 8,061 7,8506 8,061 v 1,30 m / s 1,30 4,718 1,30 8 3 B 3 B 3 B ,061 8,3304 8,061 v 1,28 m / s 1,28 4,718 1,28 8,061 8,1362 8,061 v 1,26 m / s 1,26 4,718 1,26 8,061 7,9450 8,061 v 1,27 m / s 1,27 4,718 1,27 8,061 8,040 8,061 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 7 B Av 1,27m / s v 11,43 m / s 2 2 B A A B D 3,14 0, 450 Q v S Q v 1,27 m³ / s Q 0,0908m³ / s Q 90,8 l / s 4 4 4. Um tubo de 150 mm transporta 81,3 l/s de água. Este se bifurca em um tubo de 50 mm de diâmetro e em outro de 100 mm de diâmetro. Se a velocidadeno tubo de 50 mm é de 12,2 m/s, qual é a velocidade no tubo de 100 mm? Solução: Dados: 3 150 150 50 50 100 100 Q 81,3 l / s 0,0813 m / s D 150 mm 0,150 m D 50 mm 0,050 m V 12,2 m / s D 100 mm 0,100 m V ? Vazão no tubo de 50 mm: 3 150 50 50 22 3 350 50 50 50 50 Q 81,3 l / s 0,0813 m / s D 50 mm 0,050 m V 12,2 m / s Mas : 0,050D Q V Q 12,2 m / s Q 0,02356 m / s 4 4 Vazão no tubo de 100 mm: 3 150 3 50 150 50 100 100 150 50 3 3 100 150 50 100 100 Q 81,3 l / s 0,0813 m / s e Q 0,02356 m / s Logo : Q Q Q Q Q Q Substituindo : Q Q Q Q 0,0813 0,02356 m / s Q 0,05774 m / s Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 8 Velocidade no tubo de 100 mm: 3 100 100 100 100 1002 2 100 100 100 100 100 1002 2 100 Q 0,05774 m / s Assim : Q 4Q V V D D 4 Substituindo : 4Q 4 0,05774 V V m / s V 7,35 m / s D 0,100 5. Em um tubo curvado tipo S, tem-se os pontos 1 (cota 124,35 m) e 2 (cota 131,78 m). No ponto 1 tem-se uma pressão de 2,29 kgf/cm², com diâmetro 25% maior que em 2. Na extremidade 2, com diâmetro D2 = 100 mm, a água é descarregada na atmosfera com uma vazão de 23,56 l/s. Calcular a perda de carga entre os pontos 1 e 2. (Dado: 3 água 1000 kgf /m ). Solução: Dados: 1 1 2 2 1 2 2 2 3 Z 124,35 m D 125 mm 0,125 m p 2,29 kgf / cm 22900 kgf / m Z 131,78 m D 100 mm 0,100 m p 0 atmosfera Q 23,56 l / s 0,02356 m / s Observe a figura a seguir: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 9 Aplicando a Equação de Bernoulli de 1 para 2: 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 v p v p Z h Z 2g 2g Substituindo : Z 124,35 m D 125 mm 0,125 m p 2,29 kgf / cm 22900 kgf / m Z 131,78 m D 100 mm 0,100 m p 0 atmosfera v p v p Z h Z 2g 2g 0 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 1 12 2 1 v v22900 124,35 h 131,78 2g 1000 2g v v 124,35 22,9 h 131,78 2g 2g v v h 124,35 22,9 131,78 2g 2g v v h 15, 47 I 2g 2g Mas : Q V A V A Onde : Q 0,02356 m / s Assim : 4Q 4 0,02356 V V m / s D 0,15 1 2 2 12 2 2 4Q 4 0,02356 V 1,92 m / s e V V m / s V 3,00 m / s D 0,10 Substituindo essas velocidades na equação (I): 2 2 1 2 2 1 2 22 2 2 1 2 v v h 15,47 2g 2g Onde : V 1,92 m / s V 3,00 m / s g 9,81 m / s 1,92v v 3 h 15,47 h 15,47 2g 2g 2 9,81 2 9,81 h 15,47 0,188 0,459 m h 15,2 m Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 10 6. Uma comporta é articulada e tem largura de L = 11 m. A equação da superfície é 2y x 4 . A profundidade da água à direita da comporta é de h = 5 m. Determine a força aplicada a b = 7,5 m da articulação, necessária para manter a comporta em equilíbrio, desprezando-se o seu peso próprio. Solução: Diagrama de corpo livre: Cálculo da Força Horizontal: H água cg cg água cg cg cg H água cg H H h F y A Mas : A L h A L h e y 2 onde : L 11 m h 5,0 m 9,81 kN / m³ Substituindo : A L h A 11 5 55 m² A 55 m² h 5 y y m y 2,5 m 2 2 F y A F 9,81 2,5 55 kN F 1349 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 11 Localização da Força Horizontal: cg 1 cg cg 3 3 4 4 cg cg cg cg 1 cg cg 1 1 1 I y y y A Lh 11 5 I I m I 114,6 m 12 12 Substituindo : I y y y A 114,6 y 2,5 y 0,83 2,5 m y 3,33 m 2,5 55 Cálculo da Força Vertical: h ² 1a 2 V 0 12 2 2 F L h a x dx onde : y x y 4x y 2x 4 h² 1a 2 V 0 6,25 3 16,25 2 2 V água água 0 0 6,25 3 1,5 2 V água água 0 V V Substituindo : F L h ax dx x F 11 5 2x dx 11 5x 2 3 2 4 4 F 11 5x x 11 5 6,25 6,25 3 3 F 11 9,81 31,25 20,83 kN F 107 V,9 10, 4 kN F 1122,2 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 12 Localização da Força Vertical h ² 1a 2 1 V 0 3 1 L x x h a x dx F Substituindo : 9,81 10 x 3 11 1122, 2 10 16,25 2 0 x 5 2x dx 16,25 2 1 0 36,25 2 1 0 6,25 5 2 53 2 31 0 1 1 1 x 0,0962 x 5 2x dx x 0,0962 5x 2x dx 5x 2x 5 6 x 0,0962 96, 2 6, 25 6, 25 52 2 5 3 x 0,0962 97,66 25, 45 m x 0,0962 72, 21 m x 6,95 m Somando os momentos em relação a O: 0M 0 1 V 1 H 1 V 1 H x F h y F bF 0 Substituindo : x F h y F bF 0 6,95 1122, 2 5 3,33 1349 7,5 F 0 10052,1 7799,3 2252,8 7,5 F 7,5 F 10052,1 F kN F 1340,3 kN 7,5 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 13 7. Na tubulação que parte da barragem (veja a figura abaixo), a vazão é de 28 l/s. A carga de pressão no ponto (1) é de 29,6 m. Calcular o diâmetro da tubulação desprezando-se as perdas de energia. Solução: Aplicando a Equação de Bernoulli no sentido do escoamento de (2) para (1), tomando como referência o ponto (1), temos: 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 21 1 1 1 1 v p v p v z z 30 0 0 0 29,6 2g 2g 19,62 v v 30 29,6 0,4 v 0,4 19,62 v 7,848 v 2,80m / s 19,62 19,62 Mas sabemos que: 2D Q v A e A 4 e fazendo as devidas substituições isolando D temos: D² 4Q 4Q Q v D² D 4 v v . Substituindo os valores: 4Q 4 0,028 D D m D 0,113 m v 3,14 2,8 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com/ afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 14 8. A água escoa através de um conduto de raio r = 0,3 m. Em cada ponto da seção transversal do conduto, a velocidade é definida por v = 1,8 – 20 x², sendo x a distância do referido ponto ao centro O da seção (veja a figura abaixo). Calcular a vazão. Solução: Na coroas circular (figura acima), de área elementar dA, estão os pontos que distam x do centro. Assim, podemos escrever: dA 2 xdx (1) Mas como cada ponto da coroa está submetido à velocidade v, temos: dQ vdA (2) Fazendo as devidas substituições e integrando: 0,3 Q 0,3 4 0 0 0 2 4 dQ vdA dQ 1,8 20x² 2 xdx 1,8x² 20x dQ 2 1,8x 20x³ dx Q 6,28 m³ / s 2 4 Q 6,28 0,9 0,3 5 0,3 m³ / s Q 0,254 m³ / s 9. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um tubo cônico de 1,83 m de altura. As extremidades superior e inferior do tubo têm diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente, como mostra a figura abaixo. Se a vazão é de 23 l/s, determinar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo. Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 15 Solução: Vamos aplicar a Equação de Bernoulli no sentido indicado: 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 v p v p z z 2g 2g p p v v z z (1) 2g 2g Mas pela Equação da Continuidade, podemos escrever: 1 1 2 2 22 1 1 1 22 2 2 1 Q v A v A , mas: 3,14 0,05D A m² A 0,00196 m² 4 4 3,14 0,10D A m² A 0,00784 m² 4 4 Substituindo: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Q A v A v 0,023 m³ / s 0,00196v 0,023 0,00196v 0,00784v 0,023 0,00784v 0,023 0,023 v m / s v 11,73 m / s 0,00196 0,023 v m / s v 2,93 m / s 0,00784 Substituindo os valores encontrados na Equação (1): 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 p p v v z z 2g 2g 11,73 2,93p p 0 1,83 19,62 19,62 p p 7,01 0, 438 1,83 p p 4,74 p p 4,74 4,74 9,81 kPa p p 46,50 kPa Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 16 10. A água escoa através de uma turbina. A vazão é de 0,214 m³/s e as pressões em A e B são, respectivamente, 147,5 kPa e – 34,5 kPa. Determinar a potência fornecida à turbina pela água. Solução: Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli: 2 2 2 2 A A B B A A B B A T B T A B v p v p v p v p Z h Z h Z Z (1) 2g 2g 2g 2g Mas: 2 2 A A A A B B A B A A B B D D Q v S v .S Q v v 0,214 4 4 4 0,214 v m / s v 3,03 m / s 3,14 0,3 ² 4 0,214 v m / s v 0,757 m / s 3,14 0,6 ² Substituindo os valores em (1): 2 2 A A B B T A B T T T v p v p h Z Z 2g 2g 34,53,03² 147,5 0,757² h 1 0 19,62 9,81 19,62 9,81 h 1 0,468 15,04 3,52 0,0292 h 20 m A potência é dada pela expressão: TP Qh P 9,81 0,214 20 kW P 41,99 kW Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 17 11. Para a turbina anterior, se forem extraídos 48,3 kW enquanto as pressões manométricas em A e B são, respectivamente, 141,3 kPa e – 33,1 kPa, qual será a vazão da água? Solução: Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli: 2 2 2 2 A A B B A A B B A T B T A B v p v p v p v p Z h Z h Z Z (1) 2g 2g 2g 2g Mas: 2 2 A A A A B B A B 2 2 A A B B A B A B A B D D Q v S v .S Q v v 4 4 0,6² v D v D v 0,3 ² v 0,6 ² v v v 4v 2 0,3² Fazendo as substituições em (1) e levando em consideração (2): 2 2 A A B B T A B B B T 2 2B B T T B v p v p h Z Z 2g 2g 4v ² 33,1v ²141,3 h 1 0 19,62 9,81 19,62 9,81 16v v ² h 1 14,40 3,37 h 18,77 0,764v (3) 19,62 19,62 Da expressão da potência, temos: T T 2 B B T B T B T T T B B P Qh 48,3 9,81 Q h D 3,14 0,6² V h 4,92 V h 4,92 0,283v h 4,92 4 4 4,92 17,38 h h (4) 0,283v v Comparando (3) e (4): 2 3 B B B B 3 B B 3 B 3 B 17,38 18,77 0,764v 0,764v 18,77v 17,38 0 v v 24,57v 22,75 (5) Por tentativas: v 0,91 m / s 0,91 24,75 0,91 22,75 23,28 22,75 v 0,80 m / s 0,80 24,75 0,80 22,75 20,31 22,75 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 18 3 B B B B B v 24,57v 22,75 v 0,86m / s 0,86 ³ 24,57 0,86 22,75 21,92 22,75 v 0,89m / s 0,89 ³ 24,57 0,89 22,75 22,73 22,75 v 0,89 m / s B Av 0,89m / s v 3,56 m / s 2 2 A A A A D 3,14 0,3 Q v S Q v 3,56 m³ / s Q 0,252m³ / s 4 4 OBS.: Utilizando O Maple 7.0 > solve(x^3+24.57*x-22.75=0); , ,-.4482957161 5.017260921 I -.4482957161 5.017260921 I .8965914322 B Av 0,8966m / s v 3,5864 m / s 2 2 A A A A D 3,14 0,3 Q v S Q v 3,5864 m³ / s Q 0,253m³ / s 4 4 12. A altura de carga utilizada pela turbina é de 61 m e a pressão em T é de 501 kPa. Para as perdas de 2 610v2 2g entre W e R e 2 305v3 2g entre C e T, determine: a) a vazão da água; b) a carga de pressão em R; c) traçar a linha energética. Solução: A linha energética em T está a 2 305 T T v p z 2g e é bem acima da cota de W, logo a água fluirá de T para W. Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 19 a) a Vazão da água Vamos aplicar a Equação de Bernoulli de T para W, com referência D-D 2 2 2 2 305 610 305T w W T T W 610 305 305 610 v v vp p v Z 2 3 h z (1) 2g 2g 2g 2g mas :D 2 D v 4 v (2) Substituindo os dados em (1) e levando em consideração (2), temos: 2 2 2 2 305 610 305T w W T T W 2 2 305 610 2 2 2 610 610 2 2 2 610 610 610 v v vp p v Z 2 3 h z 2g 2g 2g 2g v v501 76 2 2 61 46 desp 0 19,62 9,81 19,62 4v v 76 2 51,07 2 61 46 19,62 19,62 16v v 17v 127,07 61 46 127,07 61 9,81 9,81 9,81 2 2 2 610 610 610 610 46 20,07 1,733v 20,07 v v 11,58 v 3, 40 m / s 1,733 305 305 610 610 2 610 610 610 610 2 Q v S v S D Q v S Q v 4 3,14 0,610 Q 3,40 m³ / s Q 0,993 m³ / s 4 b) Vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre T e R, com referência R: 2 2 2 305 305T R R T T R 610 305 305 610 v vp p v Z 3 h z (1) 2g 2g 2g mas :D 2 D v 4 v (2) Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 20 2 2 2 305 305T R R T T R 610 305 2 2 305R T R T T R 2 2 R R R v vp p v Z 3 h z 2g 2g 2g v 3,40 m / s v 13,6 m / s vp p v z 2 h z 2g 2g 13,6 3,40p 501 76 61 30 9,81 9,81 19,62 p p 76 51,07 18,85 91 0,589 16,63 m c) Linha Energética e Linha Piezométrica 1º) Linha Energética em T 2 2 305 T T T T T v p 13,6 501 EE z 76 EE 76 9,43 51,07 EE 136,5 m 2g 19,62 9,81 2º) Linha Energética em C 2 2 305 C T C v 13,6 EE EE 3 EE 136,5 3 136,5 28,3 108,2 m 2g 19,62 3º) Linha Energética em R R C T REE EE h 108,2 61 47,2 m EE 47,2 m 4º) Linha Energética em W 2 2 610 W R W v 3,40 EE EE 2 47,2 2 47,2 1,2 46 m EE 46 m 2g 19,62 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 21 13. A água escoa de A para B. A vazão é de 0,37 m³/s e a carga de pressão em A é de 6,74 m. Admitindo que não haja perda de energia de A para B, determine a carga de pressão em B. Trace a linha de energia. Dados: ZA = 3,05 m; ZB = 7,62 m; DA = 305 mm; DB = 610 mm Solução: Da Equação da Continuidade, temos: A A B B A A B B 2 2 A B A B A A A B B B Q V S V S V S V S 0,37 D D V V 0,37 4 4 3,14 0,305² 0,37 V 0,37 V m / s V 5,07 m / s 4 0, 073 3,14 0, 610² 0,37 V 0,37 V m / s V 1, 27 m / s 4 0, 292 Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos A e B, temos: 2 2 A A B B A B B B B B B V p V p Z Z 2g 2g Substituindo : 5,07 ² 1, 27 ² p p p 3,05 6,74 7,62 3,05 1,31 6,74 7,62 0,082 11,1 7,70 19,62 19,62 p p 11,1 7,70 3, 40 m Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 22 14. A água circula no tubo tronco-cônico; nas seções (1) e (2) as pressões são p1 = 800 kgf/m² e p2 = 450 kgf/m². Calcular a perda de carga entre as seções. Dados: D1= 0,6 m, D2 = 0,4 m, Q = 0,3 m³/s e = 1000 kgf/m³. Solução: Aplicando a Equação de Bernoulli no sentido de (1) para (2): 1 2 1 2 1 As pressões são p = 800 kgf/m² e p = 450 kgf/m². D = 0,6 m, D = 0,4 m, Q = 0,3 m³/s e = 1000 kgf/m³. Z 2 1 1 12 2 V p h Z 2g 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12 12 2 2 1 2 12 V p 2g Substituindo : V V V V800 450 800 450 h h 2g 1000 2g 1000 2g 1000 2g 1000 V V350 h I 2g 1000 2g Aplicando a Equação da Continuidade 1 1 2 2Q = A V A V : Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 23 1 1 2 2 1 1 1 1 12 2 1 1 1 1 1 12 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 Q = 0,3 m³/s Q = A V A V Assim : Q Q 4Q Q A V V V V A D D 4 Substituindo : 4Q 4 0,3 V V m / s V 1,06 m / s D 0,6 e Q Q 4Q Q A V V V V A D D 4 Substituindo : 4Q 4 0,3 V V m / s V 2,39 m D 0, 4 / s 1 2 2 22 2 1 2 12 12 12 12 Substituindo V 1,06 m / s e V 2,39 m / s : 1,06 2,39V V350 350 h h m 2g 1000 2g 19,62 1000 19,62 h 0, 0573 0,350 0, 291 m h 0,116 m 15. A vazão de 1,44 m³/s de água ocorre em uma instalação contendo uma bomba que fornece 400 CV de energia à corrente líquida. São dados: A1 = 0,36 m², A2 = 0,18 m², Z1 = 9,15 m, 2Z 24, 4 m , 1p 14 m e 2p 7 m . Calcular a perda de carga entre as seções (1) e (2). Solução: Sabemos que: B B B B QH 1000 1, 44H P 400 1440H 30000 H 20,83 m 75 75 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 24 Escrevendo a Equação da Continuidade: 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Q = A V A V Q 1, 44 Q A V V V m / s V 4,00 m / s A 0,36 e Q 1, 44 Q A V V V m / s V 8,00 m / s A 0,18 Aplicando a Equação de Bernoulli de (1) para (2) e substituindo os valores encontrados anteriormente: 2 2 1 1 2 2 1 B 12 2 2 2 12 12 12 12 12 p v p v Z H H Z 2g 2g 4 8 9,15 14 20,83 H 24, 4 7 19,62 19,62 9,15 14 0,815 20,83 H 24, 4 7 3, 26 44,795 H 34,66 H 44,795 34,66 10,1 m H 10,1 m 16. Um jato de água de 150 mm de diâmetro é descarregado por um bocal. A velocidade do jato é de 36 m/s. Determine a potência do jato. Solução: Da Equação de Bernoulli, temos: 2 2 2 2 3 3 v 36 H H m H 66,06 m 2g 19,62 E da Equação da Continuidade : D v 3,14 0,15 36 Q v A Q Q m / s Q 0,636 m / s 4 4 Assim a potência do jato é dada por : P QH P 9810 0,636 66 W P 412 kW Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 25 COMPORTA ARTICULADA – DEDUÇÃO DE FÓRMULAS A comporta é articulada e tem largura de L. A equação da superfície é 2y x a , onde x e y são expressos em metros. A profundidade da água à direita da comporta é h. Determine a força F para manter a comporta em equilíbrio, despreze o peso próprio da comporta. Roteiro: Diagrama de Corpo Livre da Comporta: Temos que: (1) H água cg cg h F y A onde : A L h y 2 (2) 3 cg 1 cg cg cg I Lh y y ,onde : I y A 12 (3) h² 1a 2 V 0 F L h ax dx Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 26 Resolvendo a integral (3): 2 2 h h ² 3 a 1 1a 2 2 2 V V 0 0 h 3 1 3 12 2a 2 2 2 2 V V 0 213 2 V x F L h a x dx F L hx a 3 2 2 h 2 h F L hx a x F L h a 3 a 3 a h h 2 F L a a 3 3 2 1 33 32 2 V3 2 3 3 3 3 3 3 3 1 V V V V h 2 F L a h a a 3 a h 2 h 2h 3h 2h Lh F L h a F L F L F a 3 a 3a 3a 3a Assim, a força vertical para o perfil 2 3 V y Lh x é F a 3a . (4) h² 1a 2 1 V 0 L x x h a x dx F Resolvendo a integral (4): 2 2 h² h 1 3a a 2 2 1 1 V V0 0 h 1 5 1 5a 2 2 2 22 2 2 2 1 1 V V 0 L L x x h a x dx x hx a x dx F F L hx a x L h h 2a h x x 5F 2 F 2 a 5 a 2 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 27 1 2 4 2 1 2 V h L h h 2a x F 2 5a 5 2 1 5 5 52 2 15 2 V 2 5 2 5 5 5 5 5 1 1 12 2 2 2 2 V V V 5 5 5 1 12 2 V V 3 V L h 2a h a x F 52a a L h 2a h L h 2h L h 2h x x x F 5 F F2a 2a 5a 2a 5a L 5h 4h L h x x F F10a 10a Mas : Lh F 3a S 5 5 1 1 12 3 2 V ubstituindo : LL h L h x x x F 10a Lh 10a 3a 3 a 1 L 3h 5 h 2 h 2 10 a 2 1a 3h x 10a Assim, a localização da força vertical 3 V Lh F 3a é 2 1 3h x 10a . Somando os momentos em relação a O: (5) 0M 0 (6) 1 V 1 Hx F h y F bF 0 Momentos em relação a O: (5) 0M 0 (6) 1 V 1 Hx F h y F bF 0
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