licao06 campos eletricos em condutores

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Física 3
Campos Elétricos em Condutores
Giovani Manzeppi Faccin
Lição 06
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 1 / 26
A Lei de Gauss
Vimos na aula passada:
A Lei de Gauss:
ΦE =
∮
~E · d ~A = Q
�0
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi um dos maiores cientistas de
seu tempo. Era chamado de “O Príncipe dos Matemáticos”.
Além da Lei acima que leva seu nome, fez muitas outras descobertas
importantes, algumas delas ainda na adolescência e juventude.
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O Teorema de Earnshaw
Considere um arranjo qualquer
de cargas q1, q2, . . . qn, as quais
geram um campo elétrico ~E .
Se colocarmos em algum ponto P do espaço onde não há nada uma
carga puntiforme q, será que ela poderia se manter em equilíbrio
estável apenas sob a ação do campo criado pelas demais cargas?
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 3 / 26
O Teorema de Earnshaw
Para haver equilíbrio, é preciso
que a força resultante numa
partícula de prova seja nula.
Como temos apenas a força
eletrostática, isso implica em:
~Fe (P) = 0→ q ~E (P) = 0→ ~E (P) = ~0.
Além disso, para que o equilíbrio seja estável, é preciso que a força na
vizinhança de P seja restauradora, ou seja, atue puxando a carga q
sempre de volta para o ponto P .
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O Teorema de Earnshaw
Vamos agora traçar uma
superfície gaussiana em torno do
ponto P , de raio r .
Para que a força elétrica seja
restauradora na vizinhança de P ,
a componente normal de ~E na
superfície precisa ser negativa.
Se ~E é negativa, então isso quer dizer que o fluxo de campo ali
também é negativo, ou seja, Φ (r) < 0.
Isto ocorre se existir uma carga elétrica negativa dentro da superfície.
Mas por hipótese, as cargas que geram ~E não estão ali dentro.
Logo a existência de equilíbrio estável é absurda.
Este resultado é o Teorema de Earnshaw.
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O Teorema de Earnshaw
Uma consequência importante
deste resultado é que não
podemos construir modelos
clássicos estáveis para átomos
baseados em distribuições fixas
de carga.
Ou seja, segundo a teoria eletromagnética clássica, não há como
equilibrar elétrons e núcleos atômicos num sistema onde todos fiquem
parados.
Já modelos onde as cargas se movem são possíveis. Todavia, na escala
atômica, mesmo assim a teoria eletromagnética clássica falha em
descrever o comportamento da matéria.
Estas falhas levaram à posterior criação da mecânica quântica.
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O Campo Elétrico em Condutores Isolados
Até o momento estudamos o campo elétrico em materiais isolantes,
nos quais as cargas não podem se mover.
Na aula de hoje iremos verificar o que ocorre no caso de condutores,
nos quais as cargas elétricas se movimentam.
Em nosso estudo daremos foco a situações de equilíbrio
estacionário; ou seja, aquelas nas quais as cargas se encontram
paradas, já tendo tido tempo de se movimentar conforme necessário.
Na vida real, as cargas levam um tempo finito para se equilibrarem.
Em um bom condutor, o tempo para isso ocorrer é da ordem de 10−16
s, o que pode ser considerado instantâneo para a maioria das
aplicações do cotidiano.
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O Campo Elétrico em Condutores Isolados
Suponha por um momento que existam, dentro de um condutor
isolado, cargas elétricas.
Imediatamente estas cargas irão se atrair ou repelir, gerando corrente
elétrica, o que não corresponde a uma configuração de equilíbrio.
Daí segue que, para haver equilíbrio, não podemos ter cargas elétricas
no interior de um condutor isolado.
Mas se não há cargas elétricas, pela Lei de Gauss:∮
~E · d ~A = Q
�0
=
0
�0
→ ~E = ~0.
Logo, no equilíbrio estático, não podemos ter campos elétricos no
interior de condutores.
Mas então, onde fica a carga elétrica?
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O Campo Elétrico em Condutores Isolados
Em condutores, a carga elétrica se
concentra na superfície externa do
condutor.
Podemos tentar decompor o campo
elétrico gerado por estas cargas em
uma componente ortogonal à
superfície, e uma componente paralela:
~E = ~E⊥ + ~E‖
Se a componente paralela não for nula, teremos uma força elétrica que
geraria corrente ao longo da superfície do condutor.
Isto não condiz com a hipótese de equilíbrio estático. Logo: ~E‖ = 0.
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O Campo Elétrico em Condutores Isolados
Finalmente, considere a superfície
gaussiana na forma de uma pastilha
indicada ao lado.
Aplicando a Lei de Gauss a esta
pastilha, temos:∮
~E · d ~A = Q
�0
Na base interior da pastilha e nas laterais, ~E = 0.
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O Campo Elétrico em Condutores Isolados
Resta então a tampa superior, na qual:
~E · nˆHH∆S = σ
HH∆S
�0
~E =
σ
�0
nˆ
onde σ é a densidade superficial de carga no ponto onde estamos
calculando ~E .
Observe que este resultado é o dobro do encontrado, na aula anterior,
para o mesmo elemento de carga num material isolante.
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O Campo Elétrico em Condutores Isolados
No experimento ao lado temos o
padrão de campo elétrico entre um
anel e um cilindro, ambos condutores e
carregados com cargas opostas.
Observe que, dentro do anel, não há
campo elétrico.
Além disso, as linhas de campo são
sempre perpendiculares aos pontos na
superfície dos condutores no qual as
linhas tocam.
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Exercício
Duas esferas condutoras idênticas, cada uma tendo um raio r = 0.5 cm
estão conectadas por um fio fino fio condutor de 2 m de comprimento.
Uma carga Q = 60.0 µC é colocada em uma das esferas.
Supondo que a distribuição de carga superficial em cada esfera seja
uniforme, determine a tensão no fio.
a) 0 ≤ T < 1 N b) 1 ≤ T < 3 N c) 3 ≤ T < 7 N
d) 7 ≤ T < 10 N e) n.d.a.
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Exercício
Uma esfera sólida e condutora de raio
a carrega uma carga resultante
positiva de magnitude 2Q.
Uma casca esférica condutora de raio
interno b e raio externo c é
concêntrica com a esfera sólida e
carrega uma carga líquida −Q.
Utilizando a Lei de Gauss, encontre o campo elétrico na região 1,
indicada na figura.
a) ~E = 0 b) ~E = Q2pi�0r2 rˆ c)
~E = Q4pi�0r2 rˆ
d) ~E = Q8pi�0r2 rˆ e) n.d.a.
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Exercício
Uma esfera sólida e condutora de raio
a carrega uma carga resultante
positiva de magnitude 2Q.
Uma casca esférica condutora de raio
interno b e raio externo c é
concêntrica com a esfera sólida e
carrega uma carga líquida −Q.
Utilizando a Lei de Gauss, encontre o campo elétrico na região 2,
indicada na figura.
a) ~E = 0 b) ~E = Q2pi�0r2 rˆ c)
~E = Q4pi�0r2 rˆ
d) ~E = Q8pi�0r2 rˆ e) n.d.a.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 15 / 26
Exercício
Uma esfera sólida e condutora de raio
a carrega uma carga resultante
positiva de magnitude 2Q.
Uma casca esférica condutora de raio
interno b e raio externo c é
concêntrica com a esfera sólida e
carrega uma carga líquida −Q.
Utilizando a Lei de Gauss, encontre o campo elétrico na região 3,
indicada na figura.
a) ~E = 0 b) ~E = Q2pi�0r2 rˆ c)
~E = Q4pi�0r2 rˆ
d) ~E = Q8pi�0r2 rˆ e) n.d.a.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 16 / 26
Exercício
Uma esfera sólida e condutora de raio
a carrega uma carga resultante
positiva de magnitude 2Q.
Uma casca esférica condutora de raio
interno b e raio externo c é
concêntrica com a esfera sólida e
carrega uma carga líquida −Q.
Utilizando a Lei de Gauss, encontre o campo elétrico na região 4,
indicada na figura.
a) ~E = 0 b) ~E = Q2pi�0r2 rˆ c)
~E = Q4pi�0r2 rˆ
d) ~E = Q8pi�0r2 rˆ e)n.d.a.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 17 / 26
A Gaiola de Faraday
O Sr. ao lado se encontra
muito tranquilo, protegido
de grandes descargas
elétricas por uma gaiola.
Essa gaiola é conhecida
como Gaiola de Faraday.
Seu princípio de funcionamento é dado pelos resultados que acabamos
de estudar: no interior de uma casca condutora, ~E = 0, e as cargas se
movimentam apenas na superfície.
Logo as descargas elétricas permanecem na superfície externa dos fios,
jamais penetrando no interior da gaiola.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 18 / 26
A Gaiola de Faraday
Observe que, mesmo tocando a
parte interna da gaiola, a pessoa
não se eletrocuta, pois para
haver choque é preciso
passagem de corrente, e as
cargas se movem apenas no
exterior da gaiola.
E se a pessoa estiver do lado de
fora da gaiola e colocar a mão
sobre a mesma?
Neste caso, iria ser eletrocutada.
Gaiolas de Faraday são amplamente utilizadas para proteger
equipamentos elétricos sujeitos à queda de raios.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 19 / 26
Curiosidade: Better Call Saul!
No seriado Better Call Saul (2015) a personagem Charles "Chuck"
McGill sofre de uma suposta doença psicológica chamada de
hipersensibilidade eletromagnética.
Tentando escapar da influência de campos eletromagnéticos, Charles
se enrola numa lona metálica, na esperança de que ela atue como uma
gaiola de Faraday.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 20 / 26
A Forma Diferencial da Lei de Gauss
O teorema de Gauss, ou teorema da
divergência, relaciona integrais de
volume com integrais de superfície
em campos.
O Teorema de Gauss:∮
S
~C · d ~A =
∫
V
∇ · ~CdV
Na equação do teorema, ao integrarmos o campo vetorial ~C numa
superfície fechada, obteremos um resultado idêntico ao obtido
integrando-se o divergente deste campo ao longo do volume da mesma
superfície.
A demonstração deste teorema é estudada na disciplina de cálculo 2.
Observe que, se inserirmos o campo elétrico ~E no lado esquerdo da
equação, teremos ali exatamente a parte integral da Lei de Gauss.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 21 / 26
A Forma Diferencial da Lei de Gauss
A carga total Q que aparece na Lei de Gauss pode ser escrita como a
integral da densidade de carga no volume da superfície gaussiana:∮
~E · d ~A = Q
�0
=
∫
V ρ (V ) dV
�0
=
∫
V
ρ (V )
�0
dV
Mas, pelo teorema de Gauss, o lado esquerdo da equação equivale a:∮
S
~E · d ~A =
∫
V
∇ · ~EdV
Igualando as expressões equivalentes acima, temos:
∫
V
∇ · ~EdV =
∫
V
ρ (V )
�0
dV −→
Lei de Gauss:
∇ · ~E = ρ
�0
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 22 / 26
Formulações Equivalentes da Lei de Gauss
Formulações Equivalentes da Lei de Gauss
Forma Integral:∮
~E · d ~A = Q
�0
Forma Diferencial:
∇ · ~E = ρ
�0
Uma vez que temos duas formulações possíveis, você pode estar se
perguntando: qual eu devo usar?
Tudo vai depender do problema específico que se deseja resolver.
Seguindo a proposta didática de nosso livro texto, iremos neste curso
adotar, na maioria das vezes, a forma integral.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 23 / 26
O Efeito Casimir
Segundo o eletromagnetismo clássico, se
colocarmos duas placas planas condutoras,
ambas com carga nula, uma de frente para
o outra, nada acontecerá.
Isso vale desde que a separação entre as placas seja grande o suficiente
para que o eletromagnetismo clássico seja válido.
Todavia, se a separação for pequena o suficiente uma misteriosa força
surgirá entre as placas. É a manifestação do Efeito Casimir.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 24 / 26
O Efeito Casimir
Para placas metálicas separadas de 10 nm o
efeito pode gerar uma pressão nas placas
superior 1 atm, o que do ponto de vista de
nanotecnologia é suficiente para destruir a
maioria dos dispositivos.
A explicação para o efeito escapa ao escopo desta disciplina, porém o
efeito em si é um lembrete importante de que a teoria eletromagnética
clássica, bem como a mecânica clássica, perdem a validade para
objetos pequenos demais ou rápidos demais.
Como curiosidade, um vídeo contendo um efeito análogo ao Casimir,
que ocorre quando placas paralelas são colocadas numa bacia com
água onde existem pequenas ondas na superfície está disponível no
website da disciplina.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 06 25 / 26
Tarefa Para Casa
Capítulo 23 do livro do Halliday, 8ª edição:
21, 27, 38, 68, 77.
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